BELAJAR TENTANG STATISTIKA INFERENSIAL

STATISTIKA INFERENSIAL

Materi:

Distribusi Dan Uji Chi-Square ( � )

Ir. GINANJAR SYAMSUAR, ME

SEKOLAH TINGGI ILMU EKONOMI INDONESIA (STEI) – JAKARTA

2017

V-1

DISTRIBUSI DAN UJI CHI-SQUARE ( � )

A. DISTRIBUSI CHI-SQUARE ( � )

Distribusi khi-kuadrat (Chi-square distribution) atau distribusi χ² dengan � derajat bebas adalah distribusi jumlah kuadrat � peubah acak normal baku yang saling bebas.

Fungsi kepekatan (density) distribusi khi-kuadrat dirumuskan sebagai berikut:

�

� =

_�

� � �

^{�− −�}

Jadi pada dasarnya Grafik distribusi khi-kuadrat bergantung pada derajat kebebasan �(db), yang umumnya merupakan kurva positif dan miring ke kanan.

Kemiringan kurva ini akan semakin berkurang jika derajat kebebasasan � makin besar. Untuk � =1 dan �=2, bentuk kurvanya berlainan daripada untuk �≥ . Distribusi khi-kuadrat mempunyai rata-rata dan variansi sebagai berikut : Rata-rata : μ = E(χ²) = �

Variansi : σ² = 2 �

V-2 Probablitas suatu sampel acak yang menghasilkan nilai χ2 yang lebih besar dari suatu nilai tertentu, sama dengan luas daerah di bawah kurva di sebelah kanan nilai tersebut. Nilai tertentu tersebut biasanya ditulis dengan χ²α. Dengan demikian χ²α menyatakan nilai χ²α yang luas di sebelah kanannya sama dengan α. Daerah yang luasnya sama dengan α ini dinyatakan oleh daerah yang diarsir

Nilai-nilai kritis χ²α untuk berbagai nilai α dan derajat kebebasan � tersedia pada tabel distribsi chi-kuadrat. (Terlampir)

 Untuk α = 0,05, disebelah kanan, dan � = 10, maka nilai kritis χ^20,05 = 18,307.

Karena kurva distribusi chi-kuadrat tidak simetri, maka luas daerah di sebelah kiri harus dicari. Luas daerah sebelah kiri, yaitu 1 –α = 1- 0,05 = 0,95. Derajat kebebasan � =10, maka diperoleh χ²0,95 = 3,940

 Bila x , x , x , …, xn merupakan variabel acak yang masing-masing terdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ2 dan semua variabel acak tersebut bebas satu sama lain, maka variabel acak berikut ini:

= ∑ ( − �

=

� )

mempunyai distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan � =n.

 Bila diambil sampel acak berukuran n dari populasi berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ2, dan pada setiap sampel tersebut dihitung variansi S², maka variabel acak berikut ini, yaitu :

V-3

� = − �

�

mempunyai distribsi chi-kuadrat χ² dengan deraja kebebasan � = n-1

INTERVAL KEPERCAYAAN

� =

^{− �}_�

Secara umum, interval kepercayaan untuk χ² sebesar 1- α dinyatakan sebagai

�

_{( −�⁄ )}

< � < �

_�⁄

= − �

Nilai kritis χ²1- α/2 membatasi luas daerah di sebeleah kanan sebesar 1 - α/2 pada derajat kebebasan � = n.-1. Sedangkan nilai kritis χ²α/2 membatasi luas daerah di sebelah kanan sebesar α/2 pada derajat kebebasan � = n-1.

Dengan mensubstitusikan nilai (n-i)S² maka diperoleh

− �

�

_�⁄

< � < − �

�

_−�⁄

= − �

B. UJI CHI-SQUARE ( � )

Beberapa manfaat dari distribusi chi-kuadrat, yaitu antara lain:

1. Uji Kecocokan (Goodness of fit test)

a. Untuk menguji apakah data sampel mempunyai distribusi yang mendekati distribusi teoritis tertentu atau distribusi hipotesis tertentu (distribusi populasi), seperti distribusi binomial, distribusi poisson, atau distribusi normal.

b. Untuk menguji apakah frekuensi yang diamati (observasi) berbeda secara signifikan dengan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan.

2. Uji Independensi

Untuk menguji kebebasan antar faktor variabel data dalam daftar kontingensi.

3. Uji Proporsi

Untuk menguji proporsi antar faktor variabel data dalam daftar kontingensi, uji proporsi dengan uji independesi berbeda hanya pada formulasi hipotesisnya.

V-4 1. Uji Kecocokan (Goodness of fit test)

a. Uji Distribusi (Kesesuaian distribusi data)

Untuk menguji apakah data sampel mempunyai distribusi yang mendekati distribusi teoritis tertentu atau distribusi hipotesis tertentu (distribusi populasi), seperti distribusi binomial, distribusi poisson, atau distribusi normal.

Secara Umum:

Misalkan terdapat sebuah sampel acak berukuran n dimana didalamnya terdapat k kategori yaitu A1 , A2, A3, …, Ak dan masing-masing kategori mempunyai o1,o2,…o^k pengamatan. Probabilitas masing-masing kategori dapat ditentukan sesuai dengan distribusi yang ada dalam hipotesis nol sehingga frekuensi harapan untuk masing-masing kategori dapat dihitung, yaitu :

_� = ��� ; p_i=Pr(A_i) , i=1,2,…,k

� + � + ⋯ + � = � dan � + � + ⋯ + � =

KATEGORI A1 A2 … Ak

Frekuensi

Observasi (Oi) O1 O2 … Ok

Frekuensi

Harapan (ei) e1 e2 … ek

Langkah-langkah dalam pengujian ini adalah:

1. Formulasi hipotesis:

Ho: : Distribusi X ialah F(x) H1 : Distribusi X bukan F(x) 2. Tentukan tingkat signifikasi  3. Tentukan frekuensi pengamatan Oi

4. Hitung frekuensi harapan _� = ��� (frekuensi yang diharapkan jika Ho benar)

5. Hitung statistik uji:

�

_�

= ∑ −

−

; ∑ = ∑ =

V-5 X² berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas ( d.b ) v, dimana:

a. v = k-1 jika frekuensi harapan dapat dihitung tanpa mengestimasi parameter populasi dari statistik sampel.

Pengurangan dengan 1 dari k karena berdasarkan kondisi

∑ �� = ∑ � = �, yang artinya jika k-1 frekuensi harapan telah diketahui, maka frekuensi harapan yang tersisa dapat dihitung karena jumlah semua frekuensi harapan harus sama dengan n.

b. V=k-m-1, jika frekuensi harapan dapat dihitung hanya dengan mengestimasi m parameter populasi dari statistik sampel.

k : banyak katagori ; m : banyak parameter yang diduga

6. Bandingkan nilai statistik penguji X² dengan nilai kritik X_,k-m-1

Keputusan: Jika

�

_�

≥ �

_{�; − −} maka Ho ditolak.

7. Buat kesimpulan.

Pendekatan pada distribusi khi-kuadrat ini baik jika frekuensi harapan setiap katagori/sel ≥ 5.

Bila ada frekuensi harapan yang kurang dari 5, sebaiknya sel-sel yang berdekatan digabung.

Contoh

Seorang manager sedang meneliti banyaknya kedatangan pelanggan pada pasar swalayan yang dia pimpin. Pengamatan dilakukan berdasarkan periode waktu lima menit.Dalam periode ini dihitung banyaknya pelanggan yang datang.Dari suatu sampel 500 periode lima menitan ini terdapat 22 ,74, 115 , 95 , 94 , 80 dan 20 periode dimana masing-masing terdapat 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 dan lebih dari 5 pelanggan yang datang.

Berdasarkan data diatas, apakah dapat disimpulkan bahwa banyaknya pelanggan yang datang per periode 5 menitan berdistribusi Poisson dengan μ= ? Gunakan =0.05

Jawab

X : banyak pelanggan yang datang per periode

Banyak pelanggan ( X ) 0 1 2 3 4 5 >5

Banyak periode ( Oi ) 22 74 115 95 94 80 20 1. Hipotesis:

Ho: X berdistribusi Poisson dengan μ=3 H1 : Tidak demikian

2. Tingkat signifikansi =0.05.

3. Menghitung nilai-nilai ei.

V-6 Untuk menghitung frekuensi harapan e_i, terlebih dahulu kita harus menghitung p_i.

^{p1P X}



^{ 0}



^{0, 0498 } e¹np¹

 

500 0, 0498



24,9 p₂ 0,1493  e₂ 74, 65

p₃ = 0,2241 ; p₄= 0,2240 ; p₅= 0,1681 ; p₆= 0,1008 ; p7= 0,0839

e₃112, 05 ; e₄ 112 ; e₅ 84, 05 ; e₆ 50, 4 ;

7 41,95 e 

4. Hitung Statistik uji:

�

_�

= ∑ −

−

  

²



²

 

²

7 2

1

22 24,9 20 41,95

24,9 41,95

i i

i i

o e

 e



  





  ^{= 33,049}

d.b = 7-1= 6 ;  0, 05. Nilai kritik : _0,05;6² 12,592.

5. Keputusan: Karena ² 33, 049 > 12,592 maka H₀ ditolak pada 0, 05. 6. Kesimpulan :

Banyaknya pelanggan yang datang per periode waktu lima menit tidak mengikuti distribusi Poisson dengan 3.

b. Uji Kesesuaian frekuensi data observasi dengan frekuensi harapan Contoh:

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1. Jika 500 kg adonan yang dihasilkan, diketahui mengandung 275 kg Coklat, 95 kg Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim, apakah mesin itu bekerja sesuai dengan perbandingan yang telah ditentukan? Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 1 %.

Solusi :

1. H₀ : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1 H₁ : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim  5 : 2 : 2 : 1 2. Statistik Uji ²

3. Nilai  = 1 % = 0.01 4. Nilai Tabel ²

V-7 k = 4; db =k -1 = 4-1= 3

db = 3;  = 0.01 ² tabel = 11.3449

5. Wilayah Kritis = Penolakan H₀ jika ² hitung > ² tabel (db; ) ² hitung > 11.3449 6. Perhitungan ²

�

_�

= ∑ −

−

kategori: Oi ei*) (Oi-ei) (Oi-ei)² (Oi-ei)²/ei

Coklat 275 250 25 625 2.50

Gula 95 100 -5 25 0.25

Susu 70 100 -30 900 9.00

Krim 60 50 10 100 2.00

 500 500 13.75

*) Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 :1

Dari 500 kg adonan  Nilai ekspektasi Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg Nilai ekspektasi Gula = 2/10 x 500 = 100 kg

Nilai ekspektasi Susu = 2/10 x 500 = 100 kg

Nilai ekspektasi Krim = 1/10 x 500 = 50 kg

² hitung = 13.75 7. Keputusan:

² hitung > ² tabel ( 13.75 > 11.3449) H₀ ditolak, H₁ diterima.

8. Kesimpulan:

Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim  5 : 2 : 2 :1

V-8 2. Uji Independensi (Kebebasan antar variabel)

Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai ada atau tidak adanya hubungan (asosiasi)atau kaitan antara dua faktor. Misalnya, apakah prestasi belajar mahasiswa ada hubungan dengan kondisi sosial ekonomi orang tuanya, apakah agama yang dipeluk ada hubungannya dengan ketaatan beribadah.

Jika tidak ada hubungan antar dua faktor tersebut, maka dikatkan bahwa dua faktor itu saling bebas atau independen.

Prosedur chi-kuadrat dapat dipakai juga untuk menguji ada tidaknya pengaruh dari satu faktor terhadap faktor lainnya.

Contoh:

Misalkan dilakukan survei pada 1.000 orang di Jakarta dan ingin diketahui apakah penghasilan masyarakat ada hubungannya dengan tingkat pendidikan. Penghasilan sebagai faktor 1 dan pendidikan sebagai faktor 2.

Penghasilan dibedakan menjadi dua katagori, yaitu penghasilan rendah dan tinggi. Sedangkan pendidikan dibagi menjadi tiga tingkat, yaitu SMU ke bawah, sarjana muda, dan sarjana (termasuk pasca sarjana). Hasil survey tersebut disajikan pada tabel kontingensi berikut :

Penghasilan Pendidikan Total Baris

SMU kebawah Sarjana muda Sarjana

Rendah 182 213 203 598

Tinggi 154 138 110 402

Total Kolom 336 351 313 1.000

Tabel di atas adalah tabel kontingensi berukuran 2 x 3, yang terdiri dari 2 baris dan 3 kolom. Bilangan dalam sel disebut frekuensi yang diobservasi, sedangkan totalnya disebut frekuensi marjinal.

Untuk menguji kebebasan dua faktor digunakan statistik hitung:

�

_�

= ∑ ∑ −

−

�

=

b = Jml baris dan k = jml kolom, sehingga derajat kebebasan � = (b – 1) (k – 1).

fe = frekuensi harapan = jumlah menurut baris x jumlah menurut kolom/

jumlah total. Jika nilai χ²h > χ²α, maka hipotesis nol (Ho) ditolak sedangkan jika tidak, maka hipotesis nol (Ho) diterima.

V-9 Dengan demikian frekuensi yang diobservasi dan yang diharapkan secara lengkap adalah sebagai berikut:

Hitung frekuensi harapan masing-masing sel sbb.:

� = ^{� � �� �}_{� � �}^{� � �� �}_� = ^∗ = .

� = ^{� � �� �}_{� � �}^{� � �� �}_� = ^∗ = .

� = ^{� � �� �}_{� � �}^{� � �� �}_� = ^∗ = .

� = ^{� � �� �}_{� � �}^{� � �� �}_� = ^∗ = .

� = ^{� � �� �}_{� � �}^{� � �� �}_� = ^∗ = .

� = ^{� � �� �}_{� � �}^{� � �� �}_� = ^∗ = .

Penghasilan Pendidikan Total

Baris SMU kebawah Sarjana muda Sarjana

Rendah 182 213 203 598

(200.9) (209.9) (187.2)

Tinggi 154 138 110 402

(135.1) (141.1) (125.8)

Total Kolom 336 351 313 1.000

1. Ho: dua faktor saling bebas, penghasilan saling bebas dengan pendidikan.

H1: dua faktor tidak saling bebas

2. Taraf signifikansi = 5% dan � = (2-1) x (3-1) = 2, maka χ^2tabel = 5.99146 3. Statistik Uji hitung:

� _�= ∑₌ ∑₌ ⁻ = ∑₌ ⁻ =

− .

. + ⁻ _. ^{. −} _. ^{. −} _. ^{. −} _. ^{. −} _. ^. = .

4. Keputusan:

Karena Nilai χ²h > χ²α, maka disimpulkan Ho ditolak pada taraf signifikansi 5%.

5. Kesimpulan: Antara penghasilan dan pendidikan masyarakat tidak saling bebas pada taraf signifikansi 5%.

V-10 3. Uji Proporsi

Contoh:

Berikut adalah data proporsi penyiaran film (satuan pengukuran dalam persentase (%) jam siaran TV) di 3 stasiun TV. Apakah proporsi pemutaran Film India, Kungfu dan Latin di ketiga stasiun Tv tersebut sama? Lakukan Pengujian proporsi dengan Taraf Nyata = 2.5 %

ATV (%)

BTV (%) CTV (%) Total Baris (%) Film India 4.17

4.5

2.92 3.5

2.92 2.0

10 Film Kungfu 3.33

2.5

2.33 1.0

2.33 4.5

8 Film Latin 2.50

3.0

1.75 2.5

1.75 0.5

6 Total Kolom

(%) 10

7

7

Total Observasi (%) = 24

*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi!

Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 x 3( 3 baris dan 3 kolom) db = (3-1)(3-1) = 2 x 2 = 4

Solusi :

1. Ho : Proporsi pemutaran film India, Kungfu dan Latin di ketiga stasiun TV adalah sama.

H1 : Ada proporsi pemutaran film India, Kunfu dan Latin di ketiga stasiun TV yang tidak sama.

2. Statistik Uji = ²

3. Nilai  = 2.5 % = 0.025

4. Nilai Tabel ² db = 4;  = 0.025 ² tabel = 11.1433

5. Wilayah Kritis : Penolakan H₀  ² hitung > ² tabel ² hitung > 11.1433 6. Perhitungan ²

frekuensi harapan untuk

India, ATV = ^� = . Kungfu, ATV = ^� = .

Latin, ATV = ^� = .

V-11 India, BTV = ^� = . Kungfu,BTV = ^� = .

Latin,BTV = ^� = .

India,CTV= ^� = . Kungfu,CTV= ^� = .

Latin, CTV = ^� = .

Tabel perhitungan ² berikut

kategori : Oi ei (Oi-ei) (Oi-ei)² (Oi-ei)²/ei

Ind,ATV 4.5 4.17 0.33 0.1089 0.1089/4.17 = 0.0261 Kf,ATV 2.5 3.33 -0.83 0.6889 0.2069 Lat,ATV 3.0 2.50 0.50 0.2500 0.1000 Ind,BTV 3.5 2.92 -0.58 0.3364 0.1152 Kf,BTV 1.0 2.33 -1.33 1.7689 0.7592 Lat,BTC 2.5 1.75 0.75 0.5625 0.3214 Ind,CTV 2.0 2.92 -0.92 0.8464 0.2899 Kf,CTV 4.5 2.33 2.17 4.7089 2.0201 Lat,CTV 0.5 1.75 -1.25 1.5625 0.8929

 24 --- --- --- ² hitung = 4.7317

7. Kesimpulan : ² hitung terletak di daerah penerimaan Ho.

Ho diterima, proporsi pemutaran ketiga jenis film di ketiga s stasiun TV adalah sama.

V-1

SOAL LATIHAN:

No.1:

PT Kiwi Sentosa adalah perusahaan transportasi untuk buah-buahan dari Madiun ke Jakarta. Perusahaan menginginkan kerusakan buah yang diangkut tidak sampai 15%.

Berikut ini adalah data buah yang rusak selama 6 bulan terakhir.

Data Prosentase Kesrusakan Buah per bulan

Bulan % Kerusakan Buah

1 9

2 12

3 14

4 15

5 18

6 16

Dari data tersebut, Ujilah apakah masih sesuai harapan dari perusahaan dengan taraf nyata 1%.

No.2:

Pemerintah menghendaki bahwa inflasi pada tahun 2003 sebesar 8% pertahun.

Data tahun 2003 inflasi dibeberapa kota besar adalah sebagai berikut:

Kota Inflasi (%)

Medan 9.49

Palembang 12.25

Padang 10.22

Jakarta 9.08

Bandung 11.97

Semarang 13.56

Surabaya 9.15

Denpasar 12.49

Banjarmasin 9.18

Makasar 8.25

Menado 15.22

Dengan data tersebut apakah target atau harapan pemerintah masih sesuai dengan kondisi sebenarnya dengan taraf nyata 5%?

No.3:

Sebuah perusahaan yang memiliki empat lokasi produksi ingin mengetahui apakah proporsi tenaga kerja terampil pada masing-masing lokasi sama. Data untuk menyelidiki proporsi tenaga kerja terampil tertera pada tabel 1. dibawah.

Susunlah hipotesisnya, lalu uji secara statistik pada taraf nyata signifikansi α=5%.

Tabel 1. Daftar Tenaga Terampil dan Tidak Terampil pada empat Lokasi Produksi

Tenaga Kerja Lokasi Produksi

A B C D

Terampil 89 99 193 82

Tidak Terampil 161 151 148 168

V-2 No.4:

Suatu contoh acak 310 orang dewasa diklasifikasikan menurut tingkat pendidikan dan tingkat kepercayaan terhadap adanya alam gaib sesuai tabel dibawah . Susunlah hipotesisnya, lalu uji secara statistik apakah percaya-tidaknya seseorang terhadap alam gaib tergantung atau tidak tergantung pada tingkat pendidikannya. Gunakan taraf uji α=1%.

Tingkat Kepercayaan

Tingkat Pendidikan

Total

SD-SMP SMU Perguruan Tinggi

Percaya 50 30 25 105

Tidak Percaya^*) 35 45 65 145

Ragu-ragu 20 20 20 60

Total 105 95 110 310

*) Meyakini hanya Allah/Tuhan saja yang gaib selain itu tidak ada hal gaib.

V-3

Tabel Distribusi Chi-Square �

df α

0.25 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001

1 1.32330 2.70554 3.84146 6.63490 7.87944 10.82757

2 2.77259 4.60517 5.99146 9.21034 10.59663 13.81551

3 4.10834 6.25139 7.81473 11.34487 12.83816 16.26624

4 5.38527 7.77944 9.48773 13.27670 14.86026 18.46683

5 6.62568 9.23636 11.07050 15.08627 16.74960 20.51501

6 7.84080 10.64464 12.59159 16.81189 18.54758 22.45774

7 9.03715 12.01704 14.06714 18.47531 20.27774 24.32189

8 10.21885 13.36157 15.50731 20.09024 21.95495 26.12448

9 11.38875 14.68366 16.91898 21.66599 23.58935 27.87716

10 12.54886 15.98718 18.30704 23.20925 25.18818 29.58830

11 13.70069 17.27501 19.67514 24.72497 26.75685 31.26413

12 14.84540 18.54935 21.02607 26.21697 28.29952 32.90949

13 15.98391 19.81193 22.36203 27.68825 29.81947 34.52818

14 17.11693 21.06414 23.68479 29.14124 31.31935 36.12327

15 18.24509 22.30713 24.99579 30.57791 32.80132 37.69730

16 19.36886 23.54183 26.29623 31.99993 34.26719 39.25235

17 20.48868 24.76904 27.58711 33.40866 35.71847 40.79022

18 21.60489 25.98942 28.86930 34.80531 37.15645 42.31240

19 22.71781 27.20357 30.14353 36.19087 38.58226 43.82020

20 23.82769 28.41198 31.41043 37.56623 39.99685 45.31475

21 24.93478 29.61509 32.67057 38.93217 41.40106 46.79704

22 26.03927 30.81328 33.92444 40.28936 42.79565 48.26794

23 27.14134 32.00690 35.17246 41.63840 44.18128 49.72823

24 28.24115 33.19624 36.41503 42.97982 45.55851 51.17860

25 29.33885 34.38159 37.65248 44.31410 46.92789 52.61966

26 30.43457 35.56317 38.88514 45.64168 48.28988 54.05196

27 31.52841 36.74122 40.11327 46.96294 49.64492 55.47602

28 32.62049 37.91592 41.33714 48.27824 50.99338 56.89229

29 33.71091 39.08747 42.55697 49.58788 52.33562 58.30117

30 34.79974 40.25602 43.77297 50.89218 53.67196 59.70306

31 35.88708 41.42174 44.98534 52.19139 55.00270 61.09831

32 36.97298 42.58475 46.19426 53.48577 56.32811 62.48722

33 38.05753 43.74518 47.39988 54.77554 57.64845 63.87010

34 39.14078 44.90316 48.60237 56.06091 58.96393 65.24722

35 40.22279 46.05879 49.80185 57.34207 60.27477 66.61883

36 41.30362 47.21217 50.99846 58.61921 61.58118 67.98517

37 42.38331 48.36341 52.19232 59.89250 62.88334 69.34645

38 43.46191 49.51258 53.38354 61.16209 64.18141 70.70289

39 44.53946 50.65977 54.57223 62.42812 65.47557 72.05466

40 45.61601 51.80506 55.75848 63.69074 66.76596 73.40196

41 46.69160 52.94851 56.94239 64.95007 68.05273 74.74494

42 47.76625 54.09020 58.12404 66.20624 69.33600 76.08376

43 48.84001 55.23019 59.30351 67.45935 70.61590 77.41858

44 49.91290 56.36854 60.48089 68.70951 71.89255 78.74952

45 50.98495 57.50530 61.65623 69.95683 73.16606 80.07673

46 52.05619 58.64054 62.82962 71.20140 74.43654 81.40033

47 53.12666 59.77429 64.00111 72.44331 75.70407 82.72042

48 54.19636 60.90661 65.17077 73.68264 76.96877 84.03713

49 55.26534 62.03754 66.33865 74.91947 78.23071 85.35056

50 56.33360 63.16712 67.50481 76.15389 79.48998 86.66082