PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION DAN GM-S1S
HANNA RIFATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan GM-S1S adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
ABSTRAK
HANNA RIFATIKA. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan GM-S1S. Dibimbing oleh NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO.
Parameter dari suatu model dinamik yang belum diketahui nilainya dapat diduga dengan menggunakan metode Least Square (LS). Metode LS adalah metode yang paling umum digunakan dalam pendugaan parameter. Namun, metode ini memiliki kelemahan yaitu sangat sensitif terhadap pencilan. Metode robust adalah metode yang dapat mengatasi kelemahan itu. Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan GM-S1S cukup baik dalam melakukan pedugaan parameter untuk jenis data tanpa pencilan maupun dengan pencilan. Pada karya ilmiah ini, pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan data hipotetik model dinamik Gompertz dan SIR (Susceptibles, Invectives, Recovered). Keakuratan pendugaan parameter pada model dinamik diukur dengan Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) dan divisualisasikan ke dalam boxplot. Metode GM-S1S relatif lebih baik dalam pendugaan parameter dibanding metode MAD, untuk data pencilan. Ketiga metode baik digunakan pada data dengan tanpa pencilan.
Kata kunci: GM-S1S, Least Square, Median Absolute Deviation, pencilan, robust
ABSTRACT
HANNA RIFATIKA. Parameter Estimation of Dynamical Models using Robust Median Absolute Deviation and GM-S1S Methods. Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO.
Unknown parameters of a dynamical model can be estimated using the least outliers. In this paper, parameter estimation is undertaken by using hypothetical data on Gompertz and SIR dynamical models. The accuracy of parameter estimation of those dynamical models is measured with SMAPE and boxplot. It is obtained that GM-S1S method is relatively better than the MAD method to the data with outliers. Moreover, all methods are suitable to be applied to the data without outliers.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION DAN GM-S1S
HANNA RIFATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan GM-S1S berhasil diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1 Papa, mama, adik, serta seluruh keluarga besar atas dukungan, motivasi, kasih sayang dan doa yang tiada henti-hentinya.
2 Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing atas arahan, bimbingan, dan motivasi dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 3 Bapak Dr Hadi Sumarno, MS selaku penguji yang telah banyak memberi saran
dan perbaikan.
4 Dosen, staf Departemen Matematika IPB, dan Ibu Susi atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama perkuliahan.
5 Muhammad Buchari Gaib atas segala bantuan, motivasi, dan dukungan dalam penyusunan tugas akhir ini.
6 Ariyanto Hermawan, dan Riefdah Imro’atul Azizah selaku teman satu dosen pembimbing yang telah membantu dan memberi support dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
7 Intan, Atikah, Resty, Kio, Sifa, Alfi, Riefdah, Putri, Andin, Lidya, dan Ebi selaku sahabat yang telah memberi saran dan support dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
8 Teman-teman Matematika 48, kakak Matematika 46, 47, dan adik-adik Matematika 49 yang telah banyak membantu dalam proses penyusunan tugas akhir ini.
9 Semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang turut mendukung dan membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
DAFTAR ISI
Metode Least Square (LS) 2
Metode Heun 3
Metode Robust 3
Metode Median Absolute Deviation (MAD) 4
Metode Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S) 4
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) 5
METODE PENELITIAN 5
Model Analisis 5
Data Pengamatan 7
Metode Analisis 7
HASIL DAN PEMBAHASAN 7
Pendugaan Parameter Model Gompertz 7
Pendugaan Parameter Model Sistem SIR 12
SIMPULAN 18
DAFTAR PUSTAKA 19
LAMPIRAN 16
DAFTAR TABEL
1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk model dinamik 7 2 Parameter dugaan pada model Gompertz untuk metode LS, MAD, GM-S1S 10 3 Nilai SMAPE untuk setiap metode pada model Gompertz 11 4 Parameter dugaan pada model SIR untuk metode LS, MAD, GM-S1S 13
5 Nilai SMAPE untuk setiap metode pada model SIR 16
DAFTAR GAMBAR
1 Bentuk umum boxplot 5
2 Diagram dinamika model SIR 6
3 Tebaran data model Gompertz tanpa pencilan 8
4 Plot pendugaaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD,
GM-S1S tanpa pencilan 9
5 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD,
GM-S1S dengan pencilan atas 10% 9
6 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD,
GM-S1S dengan pencilan bawah 10% 9
7 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD,
GM-S1S dengan pencilan atas-bawah 10% 10
8 Boxplot error hasil dugaan untuk data tanpa pencilan dengan metode LS,
MAD, dan GM-S1S 11
9 Boxplot error hasil dugaan untuk data dengan pencilan atas 10% dengan
metode LS, MAD, dan GM-S1S 11
10 Boxplot error hasil dugaan untuk data dengan pencilan bawah 10%
menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S 12
11 Boxplot error hasil dugaan untuk data dengan pencilan atas-bawah masing-masing 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1 12 12 Tebaran data state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR tanpa pencilan 12 13 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR untuk data tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan GM-S1S 14 14 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR untuk data dengan pencilan atas 10% dengan metode LS, MAD, dan GM-S1S 14 15 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR untuk data dengan pencilan bawah 10% dengan metode LS, MAD, dan GM-S1S 15 16 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c)model SIR untuk
data dengan pencilan atas-bawah masing- masing 10% dengan metode LS,
MAD, dan GM-S1S 15
17 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data tanpa pencilan menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S 16 18 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data
dengan pencilan atas 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S 17 19 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data
dengan pencilan bawah 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S 17 20 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data
dengan pencilan atas-bawah masing – masing 10% menggunakan metode LS,
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Model dinamik merupakan model yang dinamis, artinya perubahan parameter dalam model akan mengakibatkan perubahan struktur solusi model seperti banyaknya titik tetap kestabilan solusi model. Waktu pada model ini merupakan variabel bebas. Pada model dinamik, terdapat beberapa parameter yang biasanya nilainya belum diketahui. Hal ini dikarenakan kurangnya data real dari lapangan. Untuk itu, dibutuhkan suatu metode untuk menduga nilai dari parameter-parameter tersebut.
Pendugaan parameter model dinamik dapat dilakukan secara tidak langsung ataupun langsung. Pendugaan parameter model dinamik secara tidak langsung dimulai dengan mencari solusi analitik dari model dinamik kemudian dilanjutkan dengan melakukan regresi. Namun, tidak semua model dinamik dapat ditentukan solusi analitiknya. Untuk mengatasi hal ini, diperkenalkan pendugaan secara langsung.
Metode yang paling umum digunakan untuk menduga nilai parameter dari suatu model dengan menggunakan segugus data pengamatan, yaitu dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galatnya. Metode ini disebut metode Least Square (LS). Namun, metode LS ternyata tidak tahan dan sangat sensitif terhadap pencilan (Yafee 2002). Untuk mengatasi pencilan, digunakan metode yang robust terhadap adanya pencilan data, yaitu metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S). Metode MAD lebih baik dibandingkan metode robust LAD, karena dapat meminimumkan median nilai mutlak selisih antara galat dengan median galat (Widiasari 2014). Menurut Bai (2010) metode GM-S1S merupakan salah satu metode penduga robust yang relatif baru ditemukan dengan memberikan pengaruh seminimal mungkin terhadap pencilan.
Pada karya ilmiah ini, akan diduga nilai parameter dari model dinamik dengan menggunakan metode Least Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD), dan Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S). Dari ketiga metode ini, akan dibandingkan ketahanannya terhadap pencilan. Model dinamik yang akan digunakan adalah model Gompertz dan model SIR (Susceptibles, Invectives, dan Recovered). Adapun data yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah data hipotetik (bangkitan).
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:
1 Mengkaji dan membandingkan pendugaan parameter model dinamik dengan metode Least Square (LS) dan metode robust, yaitu Median Absolute Deviation (MAD) dan GM-S1S.
2
LANDASAN TEORI
Model Dinamik
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan � state variabel , ,… , � yang dinyatakan dengan � buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada waktu dinyatakan sebagai berikut:
̇ = ,… , �, diferensialnya dapat dinyatakan sebagai berikut:
�̇ = � = �, , � , (2)
Pencilan merupakan suatu keganjilan dan menandakan suatu titik data yang sama sekali tidak tipikal dibandingkan dengan data lainnya. Oleh karena itu, suatu pencilan patut diperiksa secara saksama untuk mengetahui alasan atau penyebab terdapatnya pencilan (Draper dan Smith 1992).
Misalkan terdapat � buah pengamatan data , , … , �. Q1 merupakan
kuartil pertama dan Q3 merupakan kuartil ketiga. Pencilan antara lain dapat
dideteksi dengan aturan metode Tukey yaitu pengamatan yang lebih besar dari Q3
+ 1.5 (Q3 – Q1) atau lebih kecil dari Q1− 1.5 (Q3– Q1) (Seo 2002).
Metode Least Square (LS)
3 menyelesaikan persamaan differensial yang mempunyai masalah nilai awal. Masalah nilai awal merupakan masalah penyelesaian suatu persamaan diferensial dengan syarat awal yang telah diketahui. Metode Heun memperbaiki taksiran turunan pertama dengan mengambil rata-rata dari kedua turunan pada titik-titik ujung subinterval. Turunan di titik awal subinterval[ ; + ] yaitu
′= , .
Sementara itu, taksiran untuk + dihitung mengunakan metode Euler:
+ ≈ + ℎ , (4)
yang selanjutnya digunakan untuk menaksir turunan di titik akhir subinterval: +
′ =
+ , + ≈ ( + ℎ, + ℎ , . Karena itu, diperoleh rata-rata turunan pertama di = yaitu
′ = , + ( + ℎ, + ℎ , . (5) Barisan numerik yang diperoleh metode Euler dinyatakan sebagai
= , persamaan (5) dinamakan korektor.
(Cheney 2008) Metode Robust
4
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
Parameter � juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut:
min median |( �- ̂) - median( � - ̂)|.
(Ripley 1992) Metode Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S)
Metode Penduga GM-S1S memberi pengaruh seminimal mungkin terhadap pencilan. Metode Penduga GM-S1S memiliki dua tahap pendugaan parameter. Pada tahap pertama, pengamatan yang diindikasikan pencilan akan dipangkas atau tidak diikutkan dalam proses pendugaan parameter. Kemudian pada tahap yang kedua dilakukan pembobotan pada pengamatan dengan nilai sisaan besar. Prosedur pendugaan parameter Metode Penduga-GM-S1S:
Penduga Schweppe One-Step (S1S)
Metode Penduga-S1S merupakan pengembangan dari metode Penduga-Least Trimmed Square (LTS) yang termasuk dalam Bounded Influence. Pengembangan ini bertujuan untuk meningkatkan efisiensi Penduga-LTS dengan cara pembobotan kembali pada sisaan bernilai besar dengan metode Penduga-GM (Cizek dan Visek 2003) mendefinisikan metode Penduga-S1S sebagai:
�̂ � � = arg�min ,
5 Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) didefinisikan sebagai berikut:
6 McKendrick. Model � (Susceptibles, Invectives, Recovered) pada awalnya dikembangkan untuk mengetahui laju penyebaran dan kepunahan suatu wabah penyakit dalam populasi tertutup dan bersifat epidemik (Makinde 2007). Pada tulisan ini pembentukan model SIR didasarkan pada beberapa asumsi. Penyebaran penyakit dalam suatu populasi diasumsikan memiliki jumlah konstan dan dalam satu periode waktu wabah. Pada saat t misalkan suatu populasi terdiri dari:
Susceptibles : adalah subpopulasi di mana anggotanya terdiri dari orang-orang yang rentan terkena penyakit tersebut.
Invectives � : adalah subpopulasi di mana anggotanya terdiri dari orang-orang yang sudah terjangkit penyakit tersebut.
Recovered : adalah subpopulasi yang telah sembuh dari penyakit tersebut.
Proporsi + � + = . Diasumsikan terdapat kontak yang tetap dari subpopulasi dan � dalam populasi tersebut dan angka susceptibles ditambah dengan bilangan konstan � yang menyatakan kondisi kelahiran baru dan bayi yang baru lahir otomatis masuk dalam kondisi rentan. Dinamika tersebut dinyatakan dengan model berikut:
= � − � − � , (7)
: laju penularan penyakit,
: laju kesembuhan.
Diagram bagi model tersebut ditampilkan pada Gambar 2.
Gambar 2 Diagram dinamika model SIR
7 Data Pengamatan
Data yang digunakan merupakan data bangkitan atau hipotetik dengan bantuan software Mathematica 10. Data hipotetik diperoleh berdasarkan solusi numerik model dinamik dengan memberikan nilai parameter awal dan nilai awal seperti pada Tabel 1, kemudian diberi galat berupa bilangan acak dan beberapa data dibuat sebagai pencilan.
Dalam menduga parameter digunakan metode Least Square (LS), metode robust Median Absolut Deviation (MAD), dan metode Generalized-M Schweppe One-Step (GM-S1S). Penduga parameter model yang diperoleh digunakan untuk menghitung akurasi model dengan Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) yang ditampilkan pada boxplot.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pendugaan Parameter Model Gompertz
Misalkan terdapat persamaan model Gompertz ′ = −� ln � � � , dengan nilai awal = . . Solusi penyelesaian dari persamaan model Gompertz dapat diperoleh melalui langkah- langkah berikut:
8 Substitusi nilai awal
= � ��0
= � � � =
� � = ln (�).
Dengan demikian, solusi khusus model Gompertz menjadi:
= � ln �0� �−�� 10%. Grafik tebaran data model Gompertz ditampilkan pada Gambar 3.
Gambar 3 Tebaran data model Gompertz tanpa pencilan
9 pencilan. Plot hasil pendugaan parameter terlihat saling berimpit mengikuti pola tebaran data.
Gambar 4 Plot pendugaaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD, GM-S1S tanpa pencilan
Selajutnya, untuk data dengan pencilan dapat dilihat pada Gambar 5, 6, dan 7. Dengan menggunakan metode LS, plot model Gompertz akan cenderung bergeser mendekati pencilan. Untuk metode MAD, plot mengalami sedikit pergeseran saat data yang digunakan mengandung pencilan. Sedangkan dengan metode GM-S1S, plot pendugaan cenderung tetap. Dari hasil tersebut, dapat dilihat bahwa nilai dugaan parameter dengan menggunakan metode GM-S1S paling mendekati nilai parameter awal untuk setiap jenis data dengan pencilan, sehingga metode GM-S1S relatif lebih baik dalam menduga nilai parameter dibanding metode LS dan MAD.
Gambar 5 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD, GM-S1S dengan pencilan atas 10%
GM-10
Gambar 7 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan metode LS, MAD, GM-S1S dengan pencilan atas-bawah 10%
Nilai hasil dugaan parameter � dan � dengan menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S pada model Gompertz, dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2 Parameter dugaan pada model Gompertz untuk metode LS, MAD,
GM-� 100.0000 98.8648 100.0000 100.0000
Selisih � -0.0003 0.0002 -0.0002
� 100.0000 70.5843 100.0000 100.0540
Selisih � -0.0173 0.0007 -0.0001
� 100.0000 117.8730 100.0000 100.0540
Selisih � 0.0065 0.0007 -0.0001
� 100.0000 45.4654 100.0000 100.0000
Selisih � -0.2824 0.0001 -0.0001
� 54.5346 0 0
Selanjutnya, nilai SMAPE digunakan untuk menentukan metode mana yang paling baik untuk menduga nilai parameter awal dari model Gompertz. Semakin kecil nilai SMAPE, semakin kecil pula tingkat kesalahan pendugaan dari metode tersebut. Berikut merupakan tabel nilai SMAPE model Gompertz dengan
11 menandakan bahwa metode GM-S1S relatif lebih baik dibandingkan metode LS dan MAD dalam menduga nilai parameter awal dari model Gompertz.
Cara lain untuk membandingkan metode LS, MAD, GM-S1S, yaitu dengan mengetahui distribusi SAPE yang dihasilkan masing-masing metode. Untuk mengetahui hal tersebut, dapat digunakan diagram boxplot dari data SAPE hasil dugaan. Untuk diagram boxplot dengan data tanpa pencilan dapat dilihat pada Gambar 8, sedangkan untuk diagram boxplot dengan data pencilan dapat dilihat pada Gambar 9, 10, dan 11. Diagram boxplot bagi data tanpa pencilan terlihat seragam untuk semua metode. Pada data dengan pencilan, untuk metode LS cenderung memiliki nilai lebih besar dibandingkan metode MAD dan GM-S1S.
12
Gambar 10 Boxplot error hasil dugaan untuk data dengan pencilan bawah 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S
Gambar 11 Boxplot error hasil dugaan untuk data dengan pencilan atas-bawah masing-masing 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1
Pendugaan Parameter Model Sistem SIR
Pada karya ilmiah ini juga dilakukan pendugaan parameter model dinamik terhadap model sistem SIR pada persamaan 3, 4, dan 5, dengan nilai parameter awal
� = . , = . , dan = . . Data hipotetik yang digunakan untuk pendugaan parameter, yaitu data tanpa pencilan dan data dengan pencilan. Grafik tebaran data model SIR ditampilkan pada Gambar 12.
13 0.004000 0.004029 0.004002 0.004007 0.005000 0.004991 0.004993 0.005007 Selisih
� -0.000011 0.000001 -0.000023
-0.000029 -0.000002 -0.000007 0.000009 0.000007 -0.000007 Dengan pencilan
atas 10%
� 0.000100 -0.001172 0.000099 0.000123 0.004000 0.002813 0.004002 0.004007 0.005000 0.005354 0.004993 0.005007 Selisih
� -0.001072 0.000001 -0.000023
0.001187 -0.000002 -0.000007 -0.000354 0.000007 -0.000007 Dengan pencilan
bawah 10%
� 0.000100 0.001067 0.000099 0.000123 0.004000 0.003318 0.004002 0.004007 0.005000 0.005307 0.004993 0.005007 Selisih
� -0.000967 0.000001 -0.000023
0.000682 -0.000002 -0.000007 -0.000307 0.000007 -0.000007 Dengan pencilan
atas-bawah masing- masing 10%
� 0.000100 -0.000200 0.000099 0.000123 0.004000 0.002483 0.004002 0.004007 0.005000 0.005453 0.004993 0.005007 Selisih
� -0.000100 0.000001 -0.000023
0.001517 -0.000002 -0.000007 -0.000453 0.000007 -0.000007 Dapat dilihat nilai hasil dugaan parameter dengan masing – masing metode untuk data tanpa pencilan, dapat menduga parameter �, , dan dengan baik untuk ketiga metode tersebut. Namun, untuk data dengan pencilan menggunakan metode LS, hanya parameter yang menghasilkan parameter yang baik
14 metode LS plot model SIR cenderung bergeser mendekati pencilan. Jika pencilan di atas tebaran data maka plot hasil pendugaan dengan metode LS akan tertarik ke atas mendekati pencilan atas, begitupula sebaliknya. Plot untuk metode MAD dan GM-S1S mengikuti pola tebaran data dan saling berimpit.
15
Gambar 15 Plot pendugaan parameter state variabel (a), � (b), dan (c) model SIR untuk data dengan pencilan bawah 10% dengan metode LS, MAD, dan GM-S1S
16 model SIR dapat dilihat secara lengkap pada Lampiran 3.
Pada Gambar 17, diagram boxplot untuk data tanpa pencilan menghasilkan SAPE seragam untuk setiap metode. Hal ini menunjukkan bahwa ketiga metode dapat digunakan untuk data tanpa pencilan. Gambar 18 (pencilan atas 10%), Gambar 19 (pencilan bawah 10%), dan Gambar 20 (pencilan atas-bawah masing – masing 10%) menghasilkan distribusi yang serupa, yaitu kedua metode MAD dan GM-S1S menghasilkan SAPE lebih seragam dibandingkan metode LS. Hal ini menandakan nilai SAPE yang memusat di sekitar nilai SMAPEnya.
Gambar 17 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data tanpa pencilan menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S SMAPE
(c)
17
Gambar 18 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data dengan pencilan atas 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S
Gambar 19 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data dengan pencilan bawah 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S
SMAPE
SMAPE
(a) (b)
(c)
(a) (b)
18
Gambar 20 Boxplot SAPE hasil dugaan state variabel (a), � (b), dan (c) untuk data dengan pencilan atas-bawah masing – masing 10% menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S
SIMPULAN
Dari hasil pendugaan parameter yang dilakukan pada model Gompertz dan model SIR dengan menggunakan metode LS, MAD, dan GM-S1S, terdapat perbedaan hasil pendugaan dari masing-masing metode tersebut. Ketiga metode dapat digunakan pada data tanpa pencilan. Pada data dengan pencilan, terlihat bahwa metode LS menghasilkan hasil pendugaan dengan tingkat akurasi lebih rendah dibandingkan dengan metode MAD dan GM-S1S. Hal ini menandakan merupakan metode yang relatif lebih baik dan robust terhadap pencilan dibandingkan metode MAD maupun LS.
SMAPE
(a) (b)
19
DAFTAR PUSTAKA
Bai X. (2010). Robust Linear Regression, Kansas State University, Kansas, hal 14.
(Susceptible-Infected-Recovered) [skripsi]. Bogor: Institut Pertanian Bogor.
Bodnar M, Foryś U. 2007. Three types of simple DDE’s describing tumor growth.
World Scientific [internet]. [diunduh 2014 Sept 29]. Warsaw (PL). Tersedia pada: http://www.minuw.edu.pl/badania/preprinty-imsm/papers/166/pr-ism-166.pdf.
Cheney, DK. 2008. Numerical Mathematics and Computing, Sixth edition. Dedicated to David M. Young.
Cizek P, and Visek, JA. (2003). Least Trimmed Square, http://www.quantlet.com/mdstat/scripts/xag/html/xaghtmlnode10.pdf. Diakses tanggal 8 Oktober 2012.
Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Sumantri B, penerjemah. Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression analysis. Ed ke-2.
Mulisi S. 2011. Pengaruh Vaksinasi terhadap Dinamika Populasi pada Model SIR
Ripley BD. 1992. Robust statistics. M.Sc. in Applied Statistics MT2004. Springer: Verlag.
Seo S. 2002. A review and comparison of methods for detecting outliers in univariate data sets [tesis]. United States: University of Pittsburgh.
Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos. United States (US): Perseus Books Publishing, LLC.
Weisstein EW. 1999. Box-and-whisker plot. MathWorld [diunduh 2014 Feb 10]. Tersedia pada: http://mathworld.wolfram.com/Box-and-WhiskerPlot.html. Widiasari LY. 2014. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Robust
Median Absolute Deviation (MAD) [skripsi]. Bogor: Institut Pertanian Bogor. Yafee RA. 2002. Robust regression analysis: some popular statistical package
20
25
45
Lampiran 3 Nilai SMAPE untuk setiap metode pada state variabel model SIR
Data Hipotetik Metode State Variabel SMAPE (dalam %)
46 penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur Ujian Talenta Mandiri Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
