MENENTUKAN DIMENSI METRIK DARI GRAF FRIENDSHIP FN, GRAF LOLLIPOP LM;N , DAN GRAF PETERSEN PN;M.

MENENTUKAN DIMENSI METRIK DARI GRAF

FRIENDSHIP F

N

, GRAF LOLLIPOP L

M,N

,

DAN GRAF PETERSEN P

N,M

Oleh

WULANDARI NIM : 4122230010 Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan UntukMemenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

JudulSkripsi : Menentukan Dimensi Metrik dari Graf Friendship Fn, Graf

Lollipop Lm,n, dan Graf Petersen Pn,m

NamaMahasiswa

Dr. Asrin Lubis, M.Pd. NIP. 196010021987031004

Dr.Edy Surya,M.Si.

NIP. 196710191992031003

Tanggal Lulus : 16 Juni 2016

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di Kisaran pada 9 Oktober 1994. Ayah bernama Toni Harsono

dan ibu bernama Murniwati Harahap. Penulis merupakan anak pertama dari tiga

bersaudara. Pada tahun 1999 penulis mulai mengenyam pendidikan di Taman

Kanak-kanak Haqqul Yaqin, Kisaran, Asahan. Kemudian pada tahun 2000 penulis

melanjutkan pendidikan di SDN 0100086 Kisaran, Asahan dan lulus pada tahun

2006. Pada tahun 2006 hingga 2009 penulis bersekolah di SMPN 1 Kisaran,

Asahan. Kemudian pada tahun 2009 penulis melanjutkan pendidikan di SMAN

1 Kisaran dan lulus tahun 2012. Setelah menamatkan pendidikan SMA, pada tahun

2012 penulis melanjutkan pendidikan ke jenjang perguruan tinggi di Universitas

Negeri Medan dengan konsentrasi matematika dan lulus tahun pada 2016.

MENENTUKAN DIMENSI METRIK DARI GRAF

FRIENDSHIP

F

N

, GRAF

LOLLIPOP

L

M,N

, DAN GRAF

PETERSEN

P

N,M

Wulandari

NIM: 4122230010

ABSTRAK

Misalkan u dan v adalah simpul dalam graf terhubung G, jarak d(u, v)

adalah panjang lintasan terpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan

terurut W = {w1, w2, w3, . . . , w_k} dari simpul-simpul dalam graf terhubung G

dan simpulv ∈ V(G), representasi dari v terhadapW adalah vektor-k r(v|W) = (d(v, w1), d(v, w2), . . . , d(v, wk)). Jika r(v|W) untuk setiap simpul v ∈ V(G)

berbeda, maka W disebut himpunan pembeda dari V(G). Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda disebut dimensi metrik dari grafGdan dinotasikan dengan

dim(G). Pada penelitian ini dilakukan analisis dimensi metrik pada graffriendship Fn, graflollipopLm,n, dan graf PetersenPn,m denganm= 1. Dari hasil penelitian

diperoleh dimensi metrik graf friendship Fn adalah dim(Fn) = n untuk n ≥ 2,

dimensi metrik graf lollipop adalah dim(Lm,n) = m− 1untuk m ≥ 3, n ≥ 1, dimensi metrik graf Petersen adalahdim(Pn,m) = 2untukm = 1,n ganjil,n ≥ 3

sertadim(Pn,m) = 3untukm = 1,ngenap,n≥4.

Kata kunci: himpunan pembeda, dimensi metrik, graffriendship, graflollipop, graf Petersen

KATA PENGANTAR

Puji Syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk setiap

berkat dan anugerah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan kepada

penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul ”Menentukan

Dimensi Metrik dari Graf Friendship _Fn, Graf Lollipop Lm,n, dan Graf

Petersen _Pn,m”. Disusun untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas negeri Medan.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah banyak mendapatkan bantuan dan

bimbingan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.

Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Bapak Prof Dr.Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri Medan,

Bapak Dr. Asrin Lubis, M.Pd, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam.

2. Bapak Dr.Edy Surya, M.Si., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs.

Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, dan Bapak Dr.

Pardomuan Sitompul, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika serta

Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA Universitas Negeri Medan.

3. Bapak Dr. E. Elvis Napitupulu, MS, selaku Dosen Pembimbing Akademik.

4. Bapak Dr. Mulyono, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah

banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan dan saran kepada penulis.

5. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si., Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si., dan

Ibu Dr. Yulita Moliq Rangkuti, M. Sc, Ph.D, selaku Dosen Penguji yang telah

banyak memberikan saran-saran dalam penulisan skripsi ini.

6. Ibu Dra. Ratnawati Dora, SIP selaku Kepala Perpustakaan Universitas Negeri

Medan yang telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian atau observasi

di Perpustakaan Universitas Negeri Medan.

7. Teristimewa buat orangtuaku tercinta (Ibunda Murniwati Harahap dan Ayahanda

Toni Harsono) yang senantiasa memberikan kasih sayang yang tak ternilai yang

selalu mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam segala hal,

untuk saudara-saudaraku (Adikku Khairani dan Suci Rahmi), juga untuk nenek

tersayang, ujing-ujing dan seluruh sanak saudara atas semua dukungan dan

doanya.

8. Sahabat-sahabatku di bangku kuliah (Ade Tri Kurnia Purba, Essa Novalia, Sri

Marhaini), sahabat terbaikku Annisa Soraya, geng chocolatoz (Ayu, Bintang,

Delpi, Dian), roommate _{ku Isnayanti, Keluarga Besar UKMI Ar-Rahman}

Universitas Negeri Medan yang telah memberikan semangat, saran dan bantuan

serta teman-teman seperjuangan Matematika Nondik 2012 atas kebersamaan

selama perkuliahan dan penyusunan skripsi ini (Penny, Nina, Ester, Rahma,

Silva, Ramlah, dan yang lainnya yang tidak disebutkan).

Penulis telah berupaya semaksimal mungkin dalam penyusuan skripsi ini,

maupun penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari

segi isi maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari

semua pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Penulis juga

mengharapkan kiranya skripsi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi penulis dan

pembaca dalam usaha peningkatan pendidikan di masa yang akan datang.

Medan, Mei 2016

Penulis

Wulandari

NIM. 4122230010

vi

DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG ... xii

vii

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ... 15

3.1. Tempat dan Waktu Penelitian ... 15

4.3.1. Dimensi Metrik dari Graf Petersen Pn,m dengan m =1, n ganjil, ... 26

viii

BAB V PENUTUP ... 34

5.1. Kesimpulan... 34

5.2. Saran ... 34

DAFTAR PUSTAKA... 35

x

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Jarak antara simpul pada graf friendship ... 17

xi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Himpunan Lain untuk Graf Friendship ... 37

Lampiran 2. Himpunan Lain untuk Graf Lollipop ... 40

Lampiran 3. Himpunan Lain untuk Graf Petersen ... 44

Lampiran 4. Surat Permintaan Kesediaan Dosen PS ... 49

Lampiran 5. Surat Permohonan Izin Penelitian ... 50

Lampiran 6. Surat Izin Penelitian dari Fakultas ... 51

Lampiran 7. Surat Izin Penelitian dari Tempat Penelitian ... 52

xii

: graf lengkap dengan order n

: graf lingkaran dengan order n

: graf lintasan dengan order n

Misalkan u dan v adalah simpul dalam graf terhubung G, jarak d(u, v)

adalah panjang lintasan terpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan

terurut W = {w1, w2, w3, . . . , w_k} dari simpul-simpul dalam graf terhubung G

dan simpulv ∈ V(G), representasi dari v terhadapW adalah vektor-k r(v|W) =

(d(v, w1), d(v, w2), . . . , d(v, wk)). Jika r(v|W) untuk setiap simpul v ∈ V(G)

berbeda, maka W disebut himpunan pembeda dari V(G). Himpunan pembeda

dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum (basis metrik),

dan kardinalitas dari basis metrik tersebut dinamakan dimensi metrik dari G

dinotasikandim(G).

Kajian mengenai dimensi metrik bermanfaat dalam berbagai pengembangan

ilmu pengetahuan. Chartrand (2003) telah mengaplikasikan himpunan pembeda

dalam dimensi metrik pada bidang kimia untuk mengklasifikasi senyawa kimia.

Senyawa kimia direpresentasikan dalam bentuk graf dengan asumsi atom sebagai

simpul dan ikatan valensi antara dua atom sebagai sisi. Misalkan V(G) adalah

himpunan semua simpul terurut dengan W ⊆ V(G). Dengan menghitung jarak

setiap simpul v ∈ V(G) terhadap semua simpul w ∈ W, konsep himpunan

pembeda memastikan setiap simpul v ∈ V(G) mempunyai representasi berbeda.

Jika dua senyawa berbeda mempunyai himpunan V(G) dan jarak u ke w sama,

untuk semua v ∈ V(G) dan w ∈ W, maka kedua senyawa tersebut berada

dalam satu klasifikasi. Khuller juga telah mengaplikasikan permasalahan dimensi

metrik graf pada bidang navigasi robot dan pencarian (Khuller 1996). Selanjutnya

Sebo mengaplikasikan dimensi metrik pada permasalahan optimasi kombinasi

(Sebo 2004).

Penelitian mengenai dimensi metrik telah dilakukan oleh Hindayani pada

tahun 2011. Hindayani (2011) meneliti dimensi metrik pada graf Kr + mKs ,

dim(Kr +mKs) = m+ (r−2) untukm ≥ 2, s = 1 dandim(Kr +mKs) =

(s − 1)m + (r − 1) untuk m, s ≥ 2. Selanjutnya Permana (2012) meneliti

dimensi metrik pada graf pohon bentuk tertentu, diantaranya graf ulat teratur

dim(Cm,n) = m(n − 1) dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2 , graf kembang api teratur

dim(Fm,n) = m(n − 1) dengan m, n ≥ 2, serta graf pohon pisang teratur

dim(Bm,n) =m(n−2)denganm ≥2dann ≥3.

Dimensi metrik pada kelas graf friendship Fn, graf lollipop Lm,n, dan graf

Petersen Pn,m belum ditentukan oleh para peneliti sebelumnya. Graf friendship

Fn merupakan pengembangan dari graf lingkaranC3 yang dikonstruksikan dengan

menggabungkan graf lingkaranC3 sebanyak nkali. Sedangkan graflollipopL_m,n

merupakan pengembangan dari graf lengkap Km, m ≥ 3 dengan graf lintasan

Pn yang mana kedua graf tersebut dihubungkan oleh jembatan. Selanjutnya graf

Petersen diambil dari nama Peter Christian Julius Petersen pada tahun 1898. Graf

Petersen adalah graf teratur berderajat 3 dan dinotasikan denganPn,m, dengan nilai

n menyatakan banyaknya simpul luar yang sama dengan banyaknya simpul dalam

dan nilaimmenyatakan lompatan sisi dalam, dimanan ≥3,1≤m≤ n−1 2 .

Berdasarkan uraian diatas, penulis termotivasi untuk mengembangkan

penelitian tentang dimensi metrik dengan judul ” Menentukan Dimensi Metrik

dari GrafFriendship_Fn, GrafLollipop_Lm,ndan Graf PetersenPn,m”.

1.2.

Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang , dapat disusun perumusan masalah yaitu

1. Bagaimana dimensi metrik graffriendshipFn?

2. Bagaimana dimensi metrik graflollipopLm,n ?

3. Bagaimana dimensi metrik graf PetersenPn,m ?

1.3.

Batasan Masalah

Pada penelitian ini, akan ditentukan dimensi metrik dari graffriendshipFn,

graflollipopLm,n, dan graf PetersenPn,mdenganm= 1.

1.4.

Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah, penelitian ini dilakukan dengan tujuan

untuk

1. Menentukan dimensi metrik graffriendshipFn.

2. Menentukan dimensi metrik graflollipopLm,n.

3. Menentukan dimensi metrik graf PetersenPn,m.

1.5.

Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini yaitu dapat menentukan rumus

umum dari dimensi metrik graffriendshipFn, graflollipopLm,n, dan graf Petersen

Pn,m. Selanjutnya dapat digunakan sebagai sarana dalam mengaplikasikan dan

mengembangkan ilmu pengetahuan yang telah diperoleh oleh penulis.

DAFTAR PUSTAKA

Abdollahi, A. Janbaz, S. O. M., (2013): Graphs Cospectral With A Friendship

Graph or Its Complement,Transactions on Combinatorics,2_{(4), 37–52.}

Chairulloh, R., (2014): Super (a,d) Edge Antimagic Total Labelling pada Graf

Petersen [Skripsi], Institut Pertanian Bogor, Bogor.

Chartrand, G., d., (2003): Boundary Vertices in Graphs, Discrete Mathematics,

(263), 25–34.

Chartrand, G. Lesniak, L., (1986): Applied and Algorithmic Graph Theory, Pacific

Graw, California.

Chartrand, G. Zhang, P., (2012): A First Course in Graph Theory, Dover

Publi-cation, Inc., New York.

Goodaire, E.G. Parmenter, M., (2008): Discrete Mathematics with Graph Theory

Third Edition, Pacific Graw, California.

Harary dan Melter (1976): On the Metric Dimension of Graph, Combinatoria,

2_{, 1991–1995.}

Hindayani (2011): Dimensi Metrik Graf Kr + mKs, m, r, s ∈ N, Cauchy,

1_{(4), 2086–0382.}

Khuller, S. Raghavachari, B. R. A., (1996): Landmarks in Graph, Disc. Applied

Mathematics, (70), 217–229.

Liu, C.L. Mohapatra, D., (2008): Elements of Discrete Mathematics and Its

Appli-cation, Mc Graw Hill, New York.

Melati, R., (2011):Resolving Set dan Dimensi Metrik Graf Lengkap, Graf Lintasan,

dan Graf Bipartit Lengkap [Skripsi], Universitas Andalas, Padang.

Munir, R., (2005): Matematika Diskrit, Penerbit Informatika, Bandung.

Mustika, N., (2012):Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada GrafnP2∪Pndan Graf

nP2∪Pn+2[Skripsi], Universitas Andalas, Padang.

Ngurah, A.A.G. Baskoro, E., (2003): On Magic and Antimagic Labeling

Gener-alized of Petersen Graph,Utilitas Math, (63), 97–107.

Permana, A. D., (2012): Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu, Jurnal

Teknik POMITS,1_{(1), 1–4.}

Sebo, A. Tannier, E., (2004): On Metric Generators of Graphs, Math. Oper. Res.,

29_{(2), 383–393.}

Siddiq, M., (2014): Pemberian Nomor Vertex pada Topologi Jaringan Graf Wheel,

Graf Helm, dan Graf Lollipop [Skripsi], Universitas Sebelas Maret, Surakarta.

Vasudev, C., (2006): Graph Theory with Applications, New Age International P.

Limited, Bangalore.