Memaksimumkan Nilai Harapan Kekayaan Investor dengan Strategi Investasi Saham Dua Perusahaan yang Bergabung

MEMAKSIMUMKAN NILAI HARAPAN KEKAYAAN

INVESTOR DENGAN STRATEGI INVESTASI SAHAM

DUA PERUSAHAAN YANG BERGABUNG

NUR AZIEZAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

ABSTRAK

NUR AZIEZAH. Memaksimumkan Nilai Harapan Kekayaan Investor dengan Strategi Investasi

Saham Dua Perusahaan yang Bergabung. Dibimbing oleh SISWANDI dan ENDAR HASAFAH

NUGRAHANI.

Saham merupakan sarana investasi yang paling populer. Harga saham berubah secara dinamis dan acak. Diasumsikan perubahan harga saham mengikuti gerak Brown. Ada kemungkinan investor dapat memperoleh keuntungan yang lebih besar jika perusahaannya bergabung dengan perusahaan lain. Jika terjadi penggabungan dua perusahaan maka terjadi kombinasi linear dua harga saham yang mengikuti gerak Brown. Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menentukan nilai harapan yang maksimum dari kekayaan investor dengan strategi investasi saham dua perusahaan yang bergabung. Hasil kajian dalam suatu teorema yang

menyatakan bahwa strategi yang digunakan adalah dengan melihat tingkat return saham

perusahaan pada saat tertentu. Dengan teorema tersebut dibuktikan bahwa ada dua kemungkinan bagi investor, yaitu berinvestasi di kedua perusahaan atau berinvestasi di salah satu perusahaan saja. Nilai harapan dari kekayaan investor akan maksimum jika alokasi investasi di dua perusahaan adalah maksimum.

ABSTRACT

NUR AZIEZAH. Maximizing Expected Value of Wealth with Investment Strategy on Stocks of

Two Merging Companies. Supervised by SISWANDI and ENDAR HASAFAH NUGRAHANI

Stock is the most popular form of investment. Its price changes dynamically and randomly. It is assumed that the price moves according to Brownian motion. Investors can earn more profit when a company merges with another one. In case of a merger of two companies, there is a linear combination of two stock prices that change according to Brownian motion. The objective of this

research is to determine the expected value of investor’s wealth with a certain strategy. The result

is presented in a theorem, which describes the investment strategy according to the company’s

stock return at certain time. It has been proved that the investor can have two possibilities, i.e. the investor does not invest in either companies, or the investor invest only in one company. The expected value of wealth will be maximum if the allocation of investment in both companies are maximum.

MEMAKSIMUMKAN NILAI HARAPAN KEKAYAAN

INVESTOR DENGAN STRATEGI INVESTASI SAHAM

DUA PERUSAHAAN YANG BERGABUNG

NUR AZIEZAH

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul Skripsi : Memaksimumkan Nilai Harapan Kekayaan Investor dengan

Strategi Investasi Saham Dua Perusahaan yang Bergabung

Nama

: Nur Aziezah

NRP

: G54062457

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Drs. Siswandi, M.Si

Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS

NIP. 19640629 199103 1 001

NIP. 19631228 198903 2 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

NIP. 19650505 198903 2 004

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu,

kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

2. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas

semua ilmu, saran, dan motivasinya).

3. Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya).

4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah

diberikan).

5. Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Deni, Mas Yono, Mas Heri.

6. Keluargaku tercinta: Bapak (terima kasih atas semua nasihat dan motivasinya. Keinginan

Bapak udah Cici laksanakan), Ibu (terima kasih banyak atas semua doa, dukungan, kasih sayang, dan kesabarannya), Teteh (terima kasih sudah membantu memeriksa tugas akhir dan slide presentasi), Mang Tata, Mang Wanda, Mang Kanda, Mang Yadi, Mang Asep, Mas Anggi, Ene, Mang Iam, Pak Asep, dan lain-lain (terima kasih atas doanya).

7. Teman-teman Math 43: Dandi, Gandi, Subro, Desi, Rizky NS, Rizky SN, Apri, Slamet,

Irsyad, Narsih, Fardan, David, Kuntoaji, Sendy, Rian, Ace, Zulkarnaen, Mubarok, Faizal, Dwi, Nanu, Syahrul, Kiki, Peli, dan lain-lain (terima kasih doanya, senang bisa belajar bersama).

8. BBB : Ka Amin, Slamet, Eck, Syahrul, Desi, SN (terima kasih doanya, senang bisa

mengukir kenangan bersama).

9. Keluarga Bahagia : Mba Lia Y (terima kasih atas bantuannya. Ilmunya sangat

bermanfaat), Mba Ana (terima kasih sudah memberi semangat dan motivasi, share

pengalamannya sangat berharga), Ka Iput (terima kasih sudah sabar membantu), slamet (terima kasih sudah membantu mencari buku, terima kasih tidak bosan memberi semangat dan motivasinya dengan berbagai cara), Mas Ian, Eck, Ayu, Mega (terima kasih atas doanya).

10. Adik-adik Math 44 dan Math 45: terima kasih atas doa, semangat dan dukungannya.

11. Keluarga Yapsir : Pak Andri, Bu dodo, Kevin, Kristie terima kasih atas bantuannya.

12. Teman-teman KSR PMI kota Bogor (terima kasih atas semangat dan doanya).

13. _{Semua pihak yang telah ikut membantu baik secara moril maupun secara materiil.}

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, September 2012

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 28 Juni 1988 sebagai anak bungsu dari dua bersaudara, anak dari pasangan Sudardjat (alm) dan Nurulhuda.

Tahun 2000 penulis lulus dari SDN Sindangbarang 6 Bogor. Tahun 2003 penulis lulus dari SMPN 4 Bogor. Tahun 2006 penulis lulus dari SMAN 1 Bogor dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB). Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai staf Biro Kaderisasi Departemen Pengembangan Sumber Daya

Manusia (PSDM) periode 2008 – 2009. Penulis juga aktif mengikuti kepanitiaan Masa Perkenalan

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ...ii

DAFTAR LAMPIRAN ...ii

I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI ... 2

2.1 Investasi, Saham, dan Volatilitas ... 2

2.2 Proses Stokastik ... 2

2.3 Gerak Brown ... 2

2.4 Pergerakan Harga Saham ... 3

2.5 Proses Wiener Umum ... 3

2.6 Proses Ito ... 4

2.7 Lema Ito ... 4

2.8 Proses Stokastik untuk Harga Saham ... 4

III HASIL DAN PEMBAHASAN ... 5

3.1 Teorema 1 ... 5

3.2 Proposisi 1 ... 6

3.3 Proposisi 2 ... 7

3.4 Akibat ... 9

3.5 Nilai Harapan Kekayaan Investor ... 9

IV SIMPULAN DAN SARAN ... 10

4.1 Simpulan ... 10

4.2 Saran ... 10

DAFTAR PUSTAKA ... 10

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1: Pembuktian Persamaan (25) dan (26) ... 12

1

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Tujuan suatu investasi adalah untuk

memperoleh keuntungan yang besar

dengan tingkat resiko yang rendah. Saat ini keberadaan pasar modal telah menjadi salah satu bentuk investasi yang dapat memberikan keuntungan yang cukup besar.

Salah satu instrumen utama yang diperdagangkan di pasar modal adalah saham. Saham merupakan instrumen pasar keuangan yang paling populer. Perusahaan menerbitkan saham untuk menambah dana perusahaan.

Faktor yang mempengaruhi besarnya permintaan saham dan penawaran saham adalah tingkat harga saham tersebut. Apabila harga saham dinilai terlalu tinggi oleh pasar, maka jumlah permintaan akan berkurang. Sebaliknya, bila pasar menilai terlalu rendah, jumlah permintaan akan meningkat.

Ada kemungkinan investor dapat

memperoleh keuntungan yang lebih besar jika perusahaannya bergabung dengan perusahaan lain. Ketika penggabungan

berlangsung pada waktu T, kita

mengasumsikan bahwa rasio dari dua harga

saham akan sama dengan ,

1 2

T

T S

C S  .

Konstanta ini merupakan rasio harga

saham dari dua perusahaan yang mengganti saham lama mereka dengan yang baru dari perusahaan yang bersatu. Diasumsikan bahwa informasi ini tersedia untuk orang dalam, artinya hanya yang melakukan merger saja yang mengetahui, selain itu tidak. Ada banyak contoh dari pasar konvergen ketika ada dua atau lebih proses dari harga saham, tingkat bursa, atau tingkat suku bunga yang salah satu dapat

memiliki banyak informasi tentang

perubahan perkembangan yang akan

datang.

Jika tidak dibatasi, maka orang dalam dapat mencapai kekayaan tak terhingga dalam waktu yang terbatas karena orang

tersebut mempunyai cukup informasi

tambahan dibanding orang lain yang berada di pasar. Hal ini jelas sesuatu yang kita ingin kesampingkan. Diasumsikan informasi tambahan hanya tersedia untuk orang dalam yaitu penggabungan akan

terjadi pada waktu . Ada model strategi

yang diharapkan memaksimalkan kekayaan akhir mengikuti gerak Brown. Strategi dibatasi oleh kendala pada waktu yang singkat yang berkaitan dengan kekayaan sekarang.

Pada saat penggabungan dua

perusahaan, kondisi ini sama artinya dengan kombinasi linear dari dua harga saham yang mengikuti gerak Brown. Hal ini serupa dengan proses jembatan Brown, tetapi proses dua dimensi. Kita mengacu pada proses jembatan Brown planar dan menyatakan sebagai solusi bagi suatu

sistem persamaan diferensial yang

mengikuti dua gerak Brown. Posisi ini merupakan sistem persamaan diferensial untuk dua harga saham, begitu juga untuk dinamika kekayaan dari strategi optimal yang ditemukan.

Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Jonsson & Vecer (2005) yang

berjudul “Insider Trading in Convergent Markets.”

1.2 Tujuan

2

II LANDASAN TEORI

Untuk memahami masalah-masalah yang terjadi pada karya tulis ini diperlukan pengertian beberapa konsep berikut ini.

2.1 Investasi, Saham, dan Volatilitas

Definisi 2.1 (Investasi)

Investasi adalah komitmen atau sumber daya saat ini dengan harapan yang lebih besar di masa depan.

(Bodie et al. 2009)

Definisi 2.2 (Saham)

Saham adalah sarana investasi dengan pendapatan tetap dan bersifat jangka panjang.

(Bodie et al. 2009)

Definisi 2.3 (Volatilitas)

Volatilitas adalah ukuran ketidakpastian pendapatan saham.

(Hull 2009)

Harga saham sangat dipengaruhi oleh informasi yang bersifat acak, dan karenanya harga saham juga bernilai acak. Volatilitas

saham, yang biasanya dilambangkan σ,

menyatakan tingkat keacakan harga saham. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harga saham. Sebaliknya, semakin kecil nilai volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga saham tersebut.

2.2 Proses Stokastik

Definisi 2.4 (Medan )

Medan – adalah suatu himpunan yang

anggotanya terdiri atas himpunan bagian

ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat

berikut.

1.   .

2. Jika Α , maka Ac .

3. JikaA A₁, ₂, , maka

1

i i

A



 

Ç

.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 2.5 (Ukuran Peluang)

Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu

percobaan dan adalah medan pada Ω.

Suatu fungsi yang memetakan unsur-unsur

ke himpunan bilangan nyata , atau

:

P  disebut ukuran peluang jika :

1. tak negatif, yaitu untuk setiap A ,

( ) 0 P A  ,

2. bersifat aditif tak hingga, yaitu jika

1, 2,

A A  dengan A_iA_j  , i j,

maka

1 1

( )

n n

n n

P A P A

 

 

 _{ }

 



Ç





.

3. bernorma satu, yaitu P

 

Ω 1 .

Pasangan (Ω, , )P disebut ruang ukuran

peluang atau ruang probabilitas.

(Hogg & Craig 1995)

Definisi 2.6 (Proses Stokastik)

Proses stokastik adalah sekumpulan peubah

acak



X_t

 



,t T,



Γ



yang tergantung

pada parameter dan terdefinisikan pada

ruang probabilitas( , , ) P .

(Sobczyk 1991)

Definisi 2.7 (Turunan Stokastik)

Misalkan X tt,



 ,



adalah proses

stokastik. Jika terdapat fungsi a t( ) dan b t( )

sehingga untuk sembarang t₁, t₂, dengan

1 2

t t



  



memenuhi

 

 

2 2

1 1

2 1 ( ) ( ) ( )

t t

t t

X t X t 



a t dt



b t dW t

maka dikatakan bahwa X t( )memiliki turunan

stokastik dX t( ) yaitu

( ) ( ) ( ) ( ).

dX t a t dt b t dW t

(Sobczyk 1991)

2.3 Gerak Brown

Definisi 2.8 (Gerak Brown Standar)

Sebuah gerak Brown standar



W t

 

:t0



adalah sebuah proses stokastik yang memiliki 1. continuous Path,

2. stasioner, independent increments, dan

3. _{W(t)~ ( ,N 0t)untuk semua} t0.

(Chang 2007)

Definisi 2.9 (Gerak Brown)

Sebuah proses X dikatakan gerak Brown



2



,

 

jika dapat dituliskan sebagai

 

 

0 ( )

X t X   t W t ,

dengan W adalah sebuah gerak Brown

standar.

3

Definisi 2.10 (Proses Gaussian)

Suatu proses stokastik



X t t

 

, 0



dikatakan proses Gaussian jika

 

1 , , ( )n

X t X t memiliki sebaran normal

bersama untuk semua t₁,,t_n.

(Ross 1996)

Definisi 2.11 (Jembatan Brown Standar)

Sebuah jembatan Brown standar adalah

sebuah proses Gaussian X dengan path yang

kontinu, rataan 0, dan fungsi kovarian

   



,



(1 )

Cov X s X t s t untuk 0  s t 1. (Chang 2007)

2.4 Pergerakan Harga Saham

Secara umum, pergerakan harga saham dapat dipecah menjadi dua faktor, yaitu faktor yang dapat diperhitungkan (misalnya suku

bunga) dan faktor yang tidak dapat

diperhitungkan (misalnya berita naik-turunnya harga saham perusahaan lain). Faktor kedua ini menyebabkan pergerakan harga saham tidak dapat dimodelkan secara deterministik. Model yang biasa digunakan untuk kasus seperti ini adalah model/proses stokastik.

Menurut Willmot et al. (1996), model

stokastik bagi pergerakan harga saham memiliki bentuk sebagai berikut :

dS

dt dW

S   . (1)

Dalam hal ini, dS

S adalah perubahan harga

saham selama interval dt dibagi harga saham

sebelum interval dt. μ adalah rata-rata

pertumbuhan harga saham, σ adalah

volatilitas, dan dWadalah bagian yang

mengandung keacakan/ketidakpastian dari

harga saham. Diasumsikan bahwa dW

mengikuti proses Wiener serta memiliki sifat:

• dWadalah variabel acak yang menyebar

normal,

• rataan dari dWadalah nol,

• ragam dari dWadalah dt.

2.5 Proses Wiener Umum

Proses Wiener merupakan salah satu proses stokastik markov dengan perubahan rataan nol dan laju varian 1 per tahun.

Variabel W dikatakan mengikuti proses

Wiener jika mempunyai sifat:

1. Perubahan W selama periode waktu

yang kecil  adalah

W



t

  

dimana  adalah peubah acak dengan

sebaran normal baku 

 

0,1 .

2. Nilai dari W untuk dua interval waktu

yang singkat t adalah bebas.

(Hull 2009)

Proses stokastik memiliki turunan yang bersifat stokastik. Perubahan rataan persatuan waktu untuk proses stokastik diketahui

sebagai laju drift dan varian per satuan waktu

diketahui sebagai laju varian. Proses Wiener

dasar, mempunyai laju drift nol dan laju

varian satu. Laju drift dari rataan nol adalah

nilai harapan dari W pada waktu yang akan

datang adalah sama dengan nilai yang sebenarnya. Laju varian 1 maksudnya bahwa

perubahan varian di pada interval waktu

dengan panjang sama dengan . Proses

Wiener umum untuk variabel dapat

didefinisikan dalam bentuk sebagai

dxadt bdW (2)

dimana dan konstan.

Bentuk mengakibatkan mempunyai

harapan laju drift per satuan waktu. Jika

bagian dikeluarkan maka persamaan

menjadi :

dxadt

dx adt

 

x at c

0

0

t  x c

sehingga

0

x x at (3)

dengan adalah nilai dari saat , pada

periode waktu dengan panjang T, dan variabel

naik sebanyak .

Proses Wiener mempunyai standar deviasi

1. Pada saat proses Wiener mempunyai

simpangan baku sebesar

~ ( , )

dxadt bdz N adt b dt

2 2

dx b dt

  (4)

dalam selang interval waktu yang kecil ,

perubahan menjadi:

x a t b



t

     . (5)

Sebelumnya  mempunyai sebaran

normal baku, sehingga mempunyai

sebaran normal dengan

rataan :

simpangan baku : √

4

2.6 Proses Ito

Jenis proses stokastik lainnya adalah proses Ito. Proses Ito merupakan proses

Wiener umum dengan parameter dan

adalah fungsi dari nilai underlying variabel x

dan waktu t. Proses Ito dapat ditulis secara

aljabar sebagai :

 

, ( , )

dxa x t dt b x t dW . (6) Pada interval waktu yang kecil antara dan , variabel berubah dari ke

, dimana

 

, ( , )

x a x t t b x t t

      . (7)

Diasumsikan bahwa laju drift dan varian

tetap konstan yaitu dan

selama interval waktu antara dan

~ ( ( , ) , ( , ) )

dx N a x t dt b x t dt . (8)

2.7 Lema Ito

Misalkan X(t) memiliki turunan stokastik

( ) ( ) ( ) ( )

dX t a t dt b t dW t

dan misalkan g(t,x) adalah fungsi kontinu

dalam t dan x bersama turunannya

, ,

maka fungsi memiliki turunan

stokastik (dengan Proses Wiener )

sebagai berikut :

2 2

2

1

( ) ( ) ( ) ( )

2

G G G G

dG a t b t dt b t dW t

t x x x

    

_   _ 

   

 

(Sobczyk 1991)

Harga opsi saham adalah fungsi yang mendasari harga saham dan waktu. Secara umum dikatakan bahwa harga dari suatu derivatif adalah fungsi yang mendasari peubah acak stokastik, sebuah derivatif dan waktu.

Misalkan nilai dari peubah acak x

mengikuti proses Ito:

 

, ( , )

dxa x t dt b x t dW (9)

dimana adalah proses Wiener, dan

adalah fungsi dari dan . Peubah acak

mempunyai laju drift dan laju varian .

Lema Ito menunjukkan bahwa fungsi dari

dan memenuhi

2 2 2

1 2

G G G

dG a b dt

x t x

   

_   _

  

 

GbdW

x

 

 (10)

dimana adalah proses Wiener yang sama

pada persamaan (9) sehingga juga

mengikuti proses Ito dengan laju drift

2 2 2

1 2

G G G

a b

x t x

 _ _ 

  

dan laju varian

2 2

G b x



 

_ 

  .

Sehingga dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa

dS



Sdt



SdW (11)

dengan µ dan σ konstan, adalah model

perubahan harga saham berdasarkan lema Ito.

Proses tersebut diikuti oleh fungsi terhadap

dan sebagai berikut

2 2 2 2

1 2

G G G

dG S S dt

S



t S



   

_   _

  

 

G S dW S

 

 (12)

dan dipengaruhi oleh sumber yang

mendasari ketidakpastian yang sama.

2.8 Proses Stokastik untuk Harga Saham

Pada bagian ini akan dibahas proses stokastik yang biasanya diasumsikan untuk harga saham tanpa pembayaran dividen. Harga saham mengikuti proses Wiener umum

yang mempunyai harapan laju drift konstan

dan laju varian konstan. Misalkan S adalah

harga saham, maka

 

,

 

,

dSa S t dt b S t dW . (13)

Jika adalah harga saham pada waktu ,

maka harapan laju drift pada diasumsikan

S

 untuk parameter  konstan. Pada interval

waktu yang kecil , akan naik sebesar

S t

  . Parameter  merupakan laju harapan

imbal hasil pada saham. Jika volatilitas dari harga saham selalu nol, maka modelnya menjadi:

S µS t

   (14)

saat →0.

Dengan demikian

dSµSdt

.

dS dt

S  (15)

Integralkan kedua ruas pada (15) menjadi

dS d S   t





lnS 



t k, (16)

dengan k = konstanta sembarang.

Persamaan (16) dapat ditulis menjadi

t k Se 

.

t k

5

Dengan memisalkan , maka

persamaan (17) menjadi

 

1

t

S t c e (18)

Misalkan dan merupakan harga

saham pada waktu dan , maka persamaan

(18) menjadi

₍₁₉₎

Persamaan (19) menunjukkan bahwa laju varian nol, harga saham tumbuh dengan laju

continous compounding per satuan waktu. Pada kenyataannya harga saham menunjukkan volatilitas karena asumsinya variasi dari persentasi imbal hasil pada periode waktu yang singkat sama tanpa memperhatikan harga saham.

Simpangan baku dari perubahan dalam periode waktu yang singkat akan proporsional ke harga saham dan berperan penting untuk model:

dS



Sdt



SdW

μdt dS

dW

S   (20)

Persamaan (20) sebagian digunakan untuk memodelkan tingkah laku harga saham.

Variabel adalah volatilitas dari harga

saham. Variabel adalah harapan laju imbal

hasil. Persamaan (20) disebut juga sebagai gerak Brown geometrik.

III HASIL DAN PEMBAHASAN

Misalkan ada dua perusahaan yang akan bergabung. Misalkan pula harga saham masing-masing perusahaan mengikuti gerak Brown geometrik

1

1

1 1

1

t

t t

dS

dt dW

S 







2

2

2 2

2

t

t t

dS

dt dW

S 







(21)

i t

S adalah harga saham perusahaan pada

saat ,



_iadalah rata-rata pertumbuhan harga

saham perusahaan ,



_i adalah volatilitas

perusahaan , Wt1 dan

2

t

W adalah gerak

Brown dengan dW dWt1 t2dt,   1  1

,

adalah korelasi antara gerak Brown perusahaan pertama dengan gerak Brown

perusahaan kedua, dan pada saat

penggabungan (yaitu saat T) berlaku

1 2

.

T T

S  C S (22)

Diasumsikan tingkat suku bunga adalah

nol, misalkan kekayaan awal adalah yang

merupakan kekayaan tetap investor dan

kekayaan investor saat dengan strategi



1_, 2



t t t





 

adalah Yt



, dan berlaku

1 2

1 2

1 2

t t t

t t

t t t

dY dS dS

Y S S



 







(23)

dengan ti adalah bagian dari kekayaan yang

diinvestasikan pada saham , oleh karenanya

1 2

1  t t adalah bagian dari kekayaan yang

didepositokan.

Untuk memaksimumkan harapan dari kegunaan suatu kekayaan dengan beberapa kendala perdagangan, diasumsikan tidak ada

peminjaman dan short selling. Dengan kata

lain 1 2

, 0

t t

   dan 1 2

1

t t

   . Total

kekayaan Yt bernilai tak negatif.

Diasumsikan juga fungsi harapan dari

kekayaan yang ingin dimaksimumkan oleh investor adalah fungsi linear.

Ada dua kemungkinan strategi



_t yang

memaksimumkan nilai harapan kekayaan investor yaitu:

1.



_t



     

0,0 , 1,0 , 0,1 ,



2.



t









,0



,



0,



 

, 1 

 

,



,







,1



 

, 1



,0

 

, 0,1







,

Strategi yang dibahas pada karya ilmiah ini adalah strategi yang pertama.

3.1 Teorema

Strategi



_t yang memaksimumkan E Y _{ T}

selalu memenuhi



_t



     

0,0 , 1,0 , 0,1



dan hanya tergantung pada

1 2

1

log t

t

t S X

T t CS



 .

Lebih tepatnya, menetapkan proses planar Z_t

dengan melihat tingkat return saham

perusahaan i saat t ( i)

t

Z sebagai



1 2







1 1 2 2

, ,

t t t t t

6





1 1 2

1 2 2

1 2 1 2 2

A   

   

 

  dan





2 2 1

2 2 2

1 2 1 2 2

A   

   

 

  ,



2 2



1 1 2 2 1 2 1

1 2

B 



A _





 

 _A

  dan



2 2



2 2 1 1 2 1 2

1 2

B 



A_





 

 _A

  , maka

 

 

 

1 2

1 2 1

2 1 2

0,0 0 0

1,0 0

0,1 0

t t

t t t t

t t t

jika Z dan Z jika Z dan Z Z jika Z dan Z Z



        _{ }  .

Artinya jika dan , maka

investor tidak berinvestasi di kedua

perusahaan. Jika dan , maka

investor berinvestasi di perusahaan pertama.

Jika dan , maka investor

berinvestasi di perusahaan kedua. Untuk membuktikan Teorema tersebut, diperlukan Proposisi 1 dan Proposisi 2.

3.2 Proposisi 1

Misalkan Wt1 dan

2

t

W adalah dua gerak

Brown dimulai dari W01W020 dengan

1 2

t t

dW dW dt, saat

1 2

1 T 2 T

a W a W b (24)

dimana dan b adalah konstan. Dinamika

dari dan dapat ditulis sebagai











1 2



1 1 2 1 2 1

1 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 2 1 2 2

t t

t t

b a W a W a a

dW a a dt d

T t a a a a a a a a

                2 2 2 2 2

1 1 2 2

1

2 t

a

d

a a a a







 

  (25)











1 2



2 1 2 2 1 1

2 1 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 2 1 2 2

t t

t t

b a W a W a a

dW a a dt d

T t a a a a a a a a

                2 2 1 2 2

1 1 2 2

1

2 t

a

d

a a a a







 

  (26)

dengan dt1 dan

2

t

d adalah dua gerak

Brown standar yang bebas.

Bukti:

Untuk membuktikan proposisi 1 diketahui

bahwa kondisi sebuah gerak Brown

 

Xt ₀ t T

pada nilai ujung X_t mengarah pada sebuah

jembatan Brown. Jika nilai awal X₀adan

nilai akhir X_T b, maka

0

,

t

t t

b X

dX dt dW X a

T t



  

 . (27)

Persamaan (27) merupakan jembatan Brown satu dimensi. Sedangkan, jembatan Brown planar merupakan versi dua dimensi dari persamaan (27).

Kita definisikan dua proses baru:

1 1 2

1 2

t t t

U a W a W (28)









2 1 2

2 1 1 2

t t t

U   a 



a W  a



a W (29)

dengan U1t dan

2

t

U bebas.

1

2 2

1 2 1 2 2

t U a  a a a

adalah kondisi sebuah gerak Brown pada nilai

ujung dan







2

2 2 2

1 1 2 2

1 2

t U

a a a a

 

  

adalah sebuah gerak Brown. Sehingga berdasarkan persamaan (27), kita dapat

menuliskan Ut1 dan

2

t

U dalam bentuk

1

1 2 2 1

1 2 1 2 2

t

t t

b U

dU dt a a a a d

T t







   

 (30)

2 2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

t t

dU  



a 



a a a d



(31)

dimana dt1 dan

2

t

d adalah gerak Brown

standar yang bebas.

Substitusi persamaan (28) ke persamaan (30), akan diperoleh



_{1 2}





1 1 2 2



1 2

t t

t t

b

a W

a W

d a W

a W

dt

T t











2 2 1

1

2

1 2 2 t

a



a a

a d



7

Persamaan tersebut akan menghasilkan (lihat Lampiran 1a)











1 2



2

1 1 2 1 2 1 2 2

1 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2

. 1

2 2

t t

t t t

a

b a W a W a a

dW a a dt d d

T t a a a a a a a a a a a a

                      

Substitusi persamaan (29) ke persamaan (31)











1 2



2 2 2 2

2 1 t 1 2 t 1 1 2 1 2 2 t

d  a 



a W  a 



a W  



a 



a a a d



.

Persamaan tersebut akan menghasilkan (lihat Lampiran 1b)











1 2



2

2 1 2 2 1 1 1 2

2 1 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2

. 1

2 2

t t

t t t

a

b a W a W a a

dW a a dt d d

T t a a a a a a a a a a a a

















              

Dengan menggunakan jembatan Brown, diperoleh dinamika dari dua saham yang bergabung.

3.3 Proposisi 2

Misalkan dinamika dari dua harga saham diberikan sebagai berikut

1 1 1 1 1 t t t dS dt dW

S 







2 2 2 2 2 t t t dS dt dW

S 







(32)

dimana Wt1 dan

2

t

W adalah dua gerak Brown

dengan dW dWt1 t2dt pada saat

1 2

t t

S  C S (33)

maka harga saham dinamik dapat

diekspresikan sebagai





1

1 2

1 1 1

1

t

t t t

t dS

A X B dt C d Dd

S    







. (34)





2

1 2

2 2 2

2

t

t t t

t dS

A X B dt C d Dd

S   







. (35)

Bukti:

Dari pembahasan terdahulu diketahui t1

dan t2 adalah dua gerak Brown bebas dengan

1 2 1 2

, , , ,

t

X A A B B ada pada teorema dan





1 1 2

1 _{2 2}

1 2 1 2 2

C   

   

 

 





2 2 1

2 _{2 2}

1 2 1 2 2

C   

        2 1 2 2 2

1 1 2 2

1 2

D

 





  

    Didefinisikan i t GlnS .

Jika fungsi diturunkan terhadap , maka

1 i i t t G S S    .

Jika fungsi diturunkan dua kali terhadap ,

maka

 

 

2 2 2 1 i i t t G S S  _{ }  .

Jika fungsi diturunkan terhadap , maka

0

G t

 

 . (36)

Berdasarkan persamaan (12) didapat

 

 

2 2 2 2 1 2 i i

i t i t

i _i

t _t

G G G

dG S S dt

t

S  _S 

_{  }    _   _   _   i i

i t t

i t G S dW S    

dengan mensubstitusi

 

2 2 , , i i t _t G G S _S  

 _ dan

G t

  ,

persamaan (12) menjadi

 

 

2 2 2

1 1 1

0 2

i i

i t i t

i _i

t _t

dG S S dt

S  _S 

   

   

_   _ _{ }

 _{ } 

 

 

1i i ti ti t S dW S   sehingga 2 1 2 i

i i i t

dG_







_dt



dW

  (37)

dan 2 1 2 i t

i i i

dW dG

dt    dt

 

_  _

  . (38)

Karena GlnSti, maka persamaan (38)

menjadi

2

( ) 1

2

i i

t t

i i i

d lnS dW

dt    dt

 

_  _

  (39)

sehingga 2 1 1 2 i i t t

i i i

i t

dS dW

dt dt

S   

 

 _  _

8 atau 2 1 2 i i t

i i i t

i t dS

dt dW

S   

 

_  _ 

  (41)

Untuk mendapatkan persamaan dalamSti,

dilakukan pengintegralan kedua ruas pada persamaan (41) 2 1 2 i i t

i i i t

i t dS

dt dW

S







    _  _  _    





2 1 2 i i

t i i i t

lnS _







_t



W C

 

1 2

2

i i

t i i i t

S exp_







_t



W C_

 

 

 

1 2

.

2

i i

t i i i t

S exp C exp_







_t



W _

 

 .

Jika [ ], maka

2 0

1 2

i i i

t i i i t

S S exp_







_t



W _

 

 . (42)

sehingga untuk kondisi 1

2

T T S

C

S  diartikan

sebagai 1 2 T T S C S 

1 2 1

0 1 1 1

2 2 2

0 2 2 2

1 2 1 2 T T

S exp T W

C

S exp T W

       _  _    _{ }   _{ }  _  _    _{ }    2 1

1 1 1 2

0 1

2 2 0

2 2 2

1 2 1 2 T T

exp T W

S C

S

exp T W

       _  _    _{ }   _{ }  _  _    _{ }    2

2 1 2 2 0

1 1 1 2 2 2 1

0

1 1

2 T 2 T

S

exp T W T W C

S        _  _  _  _  _ _ __ _  _{ }_ _ _   2

2 1 2 2 0

1 1 1 2 2 2 1

0

1 1

2 T 2 T

S

T W T W ln C

S          _  _  _  _  _ _{ }      _{ }  _{ }        2

2 1 2 2 0

1 1 1 2 2 2 1

0

1 1

2 T 2 T

S

T T W T T W ln C

S

        _{ } _

 









2

1 2 2 2 0

1 2 2 1 2 1 1

0

1 2

T T

S

W W T T ln C

S

        _{ } _

 









2

1 2 2 2 0

1 2 2 1 2 1 1

0

1 2

T T

S

W W T T ln C

S

        _{ } _

 





2

1 2 2 2 0

1 2 2 1 2 1 1

0

1 2

T T

S

W W T ln C

S

  _     _{  } _

  _{ }. (43)

Persamaan (43) sesuai dengan persamaan (24) dengan

1 1

a 



, a₂ 



₂, dan





2

2 2 0

2 1 2 1 1

0

1 2

S

b T ln C

S

     

 

_    _  _ _. (44)

Dinamika jembatan Brown planar diberikan pada Proposisi 1, persamaan dari dua gerak

Brown standar dan . Jika persamaan (25)

disubstitusi ke persamaan (32), maka













1 1 2

1

1 2 1 2

1 1 1 2

1 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 2 1 2 2

t t t

t t

dS b a W a W a a

dt a a dt d

S T t a a a a a a a a

        _{  }             2 2 2 2 2

1 1 2 2

1

2 t

a

d

a a a a

 _    _     _.

Berdasarkan teorema, persamaan tersebut menjadi (lihat Lampiran 2)





1

1 2

1 1 1

1

t

t t t

t dS

A X B dt C d Dd

9

Jika persamaan (26) disubstitusi ke persamaan (32), maka













2 1 2

1

1 2 2 1

2 2 2 1

2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 2 1 2 2

t t t

t t

dS b a W a W a a

dt a a dt d

S T t a a a a a a a a

        _{  }             2 2 1 2 2

1 1 2 2

1

2 t

a

d

a a a a

 _    _     _.

Berdasarkan teorema, persamaan tersebut menjadi (lihat Lampiran 2)





2

1 2

2 2 2

2

t

t t t

t dS

A X B dt C d Dd

S   







.

Dengan demikian Proposisi 2 terbukti.

3.4 Akibat

Diasumsikan bahwa saham tunggal

mengikuti t t t dS dt dW

S   . (45)

Saat S_T C, maka

2 1 1 2 t T t t t dS S

log dt d

S T t S



 

 

_  _ 



  (46)

dengan



_t adalah sebuah gerak Brown

standar.

Bukti:

Persamaan (46) merupakan kasus khusus

dari proposisi 2 dengan 1

t t

S S ,

 

 ₁,

1

 

 ,

 

₂ ₂0, 2

1

t S  .





1

1 2

1 1 1

1

t

t t t

t dS

A X B dt C d Dd

S    











1 1 2

1

2 2

1 2 1 2 2

C   

       





2 2 0 σ 0 0            2 1 2 2 2

1 1 2 2

1 2

D

 





  

 

 

  

2

2 0 1 0 0 0        









1 1 2

1 2 2 2

1 1 2 2

0 1

2 0 0

A

  

 



  



 

  

   









2 2 1

2 2 2 2

1 1 2 2

0 0

0

2 0 0

A

  





  



 

  

   



2 2



1 1 2 2 1 2 1

1 2

B 



A _





 

 _A

 

 

0 0 1



2 0



 

1 1 2

2 2











 _   _   

 

1 2 1 1 1 t t t t t S S

X log log

T t CS T t S

    1 t t S log

T t S

  maka





1 1 2

1 1 1

1

t

t t t

t dS

A X B dt C d Dd

S    







 

1 1 2

1 0 2 t t t S

log dt d

T t S   

     _  _  _       2 1 1 2 T t t S

log dt d

T t S



 

 

_  _ 



  .

Dengan demikian akibat terbukti.

3.5 Nilai Harapan Kekayaan Investor

Persamaan (23) yang menyatakan

kekayaan investor adalah

1 2

1 2

1 2

t t t

t t

t t t

dY dS dS

Y S S

  







1 2 1 2 1 2 t t

t t t t

t t dS dS dY Y S S  _



_



      1 2 1 2 1 2 0 T t t

t t t t

t t dS dS Y Y S S  _ 



_



     



(47)

Nilai harapan dari kekayaan investor adalah kekayaan tetap investor ditambah dengan nilai harapan kekayaan investor yang dimaksimumkan.

1 2

1 2

0 1 2

0

T

t t

T t t T

t t

dS dS

E Y Y E Y

S S

  _{ }  

        

  _{   }





. (48)

10











1 1 2 2 2 2



0 1 1 1 2 2 2

0

T

T t t t t t t t t T

E Y   _  Y E_



_ A X B dt C d



Dd



_



_ A X B dt C d



Dd



 Y dt _

 





_











1 2



0 1 1 2 2

0

T

t t t t T

Y E



A X B



A X B Y dt 

  _     _





 (49)

Berdasarkan teorema



1 2







1 1 2 2

, ,

t t t t

Z Z  A X B A X B ,

maka persamaan (49) menjadi



1 1 2 2



0 0

T

T t t t t T

E Y   _{ } Y E_



Z 



Z Y dt _





.

Karena nilai harapan dari proses Wiener adalah nol, maka nilai harapan dari gerak

Brown ( ) adalah nol, sehingga integral

mempunyai nilai harapan nol. Karena asumsi

tanpa pinjaman, maka . Integral

tersebut akan maksimal jika 1tZ1t t2Zt2

maksimal untuk setiap t.

IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan

Dengan asumsi pergerakan harga saham mengikuti gerak Brown yang mempunyai harapan laju drift konstan dan laju varian konstan. Strategi yang digunakan adalah

dengan melihat tingkat return saham

perusahaan i saat t ( ). Ada dua

kemungkinan strategi



1_, 2



t t

 

bagi investor

yang dibahas, yaitu: tidak berinvestasi di

kedua perusahaan

 

0,0 atau berinvestasi di

salah satu perusahaan



   

0,1 , 1,0



. Dengan

strategi investasi tersebut diperoleh nilai

harapan kekayaan investor dari dua

perusahaan yang bergabung akan maksimum

jika 1 1 2 2

tZt tZt

  maksimum.

4.2 Saran

Analisis lebih lanjut mengenai

memaksimumkan nilai harapan dari kekayaan investor dapat dikembangkan untuk strategi







,0 ,



0,

 

, ,1

 

, 1 ,



,

t









   



 

 



1



,0

 

, 0,1







.

DAFTAR PUSTAKA

Bodie, Kane, Markus. 2009 . Investment. 8th

Ed. The McGraw-Hill Companies Inc.

Chang J. 2007. Stochastic Processes. Yale

University.

Grimmett GR, DR Stirzaker. 1992.

Probability and Random Processes. 2th Ed. Clarendon Press. Oxford.

Hogg RV, AT Craig. 1995. Introduction to

Mathematical Statistics. 5th Ed. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey

Hull JC. 2009. Options, Futures, and Other

Derivatives. 7th Ed. Prentice Hall International Inc. Toronto.

Jonsson M, Vecer J. 2005. Insider Trading in

Convergent Markets, Applied

Mathematical Finance, Vol. 12: 243-252

Ross SM. 1996. Stochastic Processes.

University of California.

Sobczyk K. 1991. Stochastic Differential

Equations with Aplications to Physics and Engineering. Kluwer Academic Publisher.

Wilmott P, Howison S, Dewynne J. 1996. The

Mathematics of Financial Derivatives.

Cambridge University Press.

12

Lampiran 1: Pembuktian Persamaan (25) dan (26)

a. Akan dibuktikan

Persamaan (25), yaitu











1 2



1 1 2 1 2 1

1 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 2 1 2 2

t t

t t

b a W a W a a

dW a a dt d

T t a a a a a a a a











  

  

    

2

2 2

2 2

1 1 2 2

1

2 t

a

d

a a a a







 

  (L-1)

Bukti:

Diberikan persamaan

1 1 2

1 2

t t t

U a W a W (L-2)









2 1 2

2 1 1 2

t t t

U   a a W  a a W (L-3)

dengan dan bebas.

1

2 2

1 2 1 2 2

t U

a  a a a

adalah kondisi sebuah gerak Brown pada nilai

ujung dan







2

2 2 2

1 1 2 2

1 2

t U

a a a a

 

   adalah sebuah gerak Brown. Sehingga berdasarkan

persamaan (27), kita dapat menuliskan dan dalam bentuk

1

1 2 2 1

1 2 1 2 2

t

t t

b U

dU dt a a a a d

T t







   

 (L-4)

2 2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

t t

dU  



a 



a a a d



(L-5)

Substitusi persamaan (L-2) ke persamaan (L-4), akan diperoleh







1 2



1 2

1 2 2 2 1

1 2 1 2 1 2 2

t t

t t t

b a W a W

d a W a W dt a a a a d

T t  

 

    

 .

Misalkan:



1 2



1 t 2 t b a W a W m

T t

 



 dan

2 2

1 2 1 2 2

n a 



a a a , maka



1 2



1

1 t 2 t t

d aW a W mdt nd



.

Berdasarkan sifat turunan,

  

1 2



1

1 t 2 t t

d aW d a W mdt nd



1 2 1

1 t 2 t t

a dW a dW mdt nd  . (L-6)

Substitusi persamaan (L-3) ke persamaan (L-5)











1 2



2 2 2 2

2 1 t 1 2 t 1 1 2 1 2 2 t

d  a 



a W  a 



a W  



a 



a a a d



.

Jikan a122



a a1 2a22, maka











1 2



2 2

2 1 t 1 2 t 1 t

d  a 



a W  a 



a W  



nd



. (L-7)

Berdasarkan sifat turunan, persamaan (L-7) menjadi







1









2



2 2

2 1 t 1 2 t 1 t

d  a 



a W d a 



a W  



nd







1





2 2 2

2 1 t 1 2 t 1 t

a



a dW a



a dW



nd



      (L-8)

Jika persamaan (L-6) dikali



a1a2



dan persamaan (L-8) dikali a2 kemudian dilakukan

eliminasi, maka akan diperoleh





1





2









1

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

aa a dWt  aa a dWt  a a mdt a a ndt





a₂



a a dW₁



_{2 t}1



a₁



a a dW₂



_{2 t}2 1



2na d₂



_t2 -



a1



a a dW2



1 t1



a2



a a dW1



2 t1



a1



a mdt2







a1



a nd2





t1 1



2na d2



t2









2 1 1 1 2 1 1 2 2

1 t 1 2 t 1 2 t 2 t 1 2 1 2 t 1 2 t

13



a₁22



a a_{1 2}a dW₂2



_t1



a₁



a mdt₂







a₁



a nd₂





_t1 1



2na d₂



_t2

n dW2 t1



a1



a mdt2







a1



a nd2





t1 1



2na d2



t2









2

1 2 1 2

1 1 2 2

2 2 2

1

t t t

a a m a a n na

dW dt d d

n n n











  

  









2

1 2 1 2

1 1 2 2

2

1

t t t

a a m a a a

dW dt d d

n n

n











  

   (L-9)

Dengan mengganti kembali m dan n pada persamaan (L-9), diperoleh











1 2



2

1 1 2 1 2 1 2 2

1 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1

2 2 2

t t

t t t

a

b a W a W a a

dW a a dt d d

T t a a a a a a a a a a a a



















  

   

      

b. Akan dibuktikan

Persamaan (26), yaitu













1 2

2 1 2 2 1 1

2 1 2 2 _{2 2}

1 2 1 2 2 1 2 1 2 2

t t

t t

b a W a W a a

dW a a dt d

T t a a a a a a a a











  

  

   _{ }

2

2 1

2 2

1 1 2 2

1

2 t

a

d

a a a a







 

  (L-10)

Bukti:

Dengan cara yang sama saat pada a, jika persamaan (L-6) dikali 



a2a1



dan persamaan

(L-8) dikali a₁ kemudian dilakukan eliminasi, maka akan diperoleh





1





2









1

2 1 1 t 2 1 2 t 2 1 2 1 t

a a a dW a a a dW a a mdt a a nd

        





1





2 2 2

2 1 1 t 1 2 1 t 1 1 t

a



a a dW a



a a dW



na d



      -





2





2









1 2 2

2 1 2 t 1 2 1 t 2 1 2 1 t 1 1 t

a



a a dW a



a a dW a



a mdt a



a nd





na d



          



a2



a a dW1



2 t2



a1



a a dW2



1 t2



a2



a mdt1







a2



a nd1





t1 1



2na d1



t2 (L-11)

Dengan sifat distributif, persamaan (L-11) menjadi









2 2 2 2 2 2 1 2 2

2 t 1 2 t 1 2 t 1 t 2 1 2 1 t 1 1 t

a dW 



a a dW 



a a dW a dW  a 



a mdt a 



a nd



 



na d











2 2 2 2 2 1 2 2

2 t 2 1 2 t 1 t 2 1 2 1 t 1 1 t

a dW 



a a dW a dW  a 



a mdt a 



a nd



 



na d



(L-12)

Faktorkan pada persamaan (L-12), sehingga persamaan menjadi



2 2



2









1 2 2

1 2 1 2 2 t 2 1 2 1 t 1 1 t

a 



a a a dW  a 



a mdt a 



a nd



 



na d



(L-13)

Karenan a122



a a1 2a22, maka persamaan (L-13) menjadi









2 2 1 2 2

2 1 2 1 1 1 .

t t t

n dW  a 



a mdt a 



a nd



 



na d



(L-14)

Selanjutnya kedua ruas persamaan (L-14) dibagi dengan n2, sehingga persamaan menjadi









2

2 1 2 1

2 1 1 2

2 2 2

1

t t t

a a m a a n na

dW dt d d

n n n











  

   . (L-15)

Persamaan (L-15) disederhanakan menjadi









2

2 1 2 1

2 1 1 2

2

1

t t t

a a m a a a

dW dt d d

n n

n











  

   . (L-16)

Jika mengganti kembali m dan n pada persamaan (L-16), maka diperoleh











1 2



2

2 1 2 2 1 1 1 2

2 1 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1

2 2 2

t t

t t t

a

b a W a W a a

dW a a dt d d

T t a a a a a a a a a a a a





