Pengujian Ketepatan Model Ekonometrika dan Hubungan Geometri

PENGUJI AN KETEPATAN MODEL EKONOMETRI KA DALAM HUBUNGAN GEOMETRI

D r s. R. Joha nne s P. M a t a nia r i Ju r u sa n M a t e m a t ik a

Fa k u l t a s M a t e m a t i k a d a n I l m u P e n g e t a h u a n Al a m U n i v e r si t a s Su m a t e r a U t a r a

Pendahuluan

A. Latar Belakang

Geometri suatu bidang ilmu ukur yang membahas prinsip-prinsip dasar yang menjadi

pokok suatu struktur subyek’sehingga dapat dibentuk menjadi suatu struktur logis dan sistematik.

Bidang statistika membutuhkan geometri sebab dapat menjelaskan suatu permasalahan lebih

sistematik dan mudah dimengerti .

Pertanyaan yang sering muncul dalam proses pemodelan adalah sejauh mana model yang

dibangun itu mampu menjelaskan permasalahan nyata yang dihadapi. Dengan perkataan lain

kita menanyakan bagaimana ketepatan model ekonometrika yang dibangun itu? Berapa besar

penyimpangan yang terjadi apabila model itu dipergunakan . Dalam hal ii dapat kita tanyakan

bagaimana ketepatan model dalam suatu fungsi, contohnya dalm fungsi linier. Untuk

mendukung hal diatas digunakan atas dasar adanya regresi linier sederhana dengan

modelY =β₀+β₁+U: yang kemudian dapat juga digambarkan model itu secara geometri .

Regresi itu mempelajari hubungan kausal antara sutu variabel tak bebas dan satu variabel

penjelas variabel bebas dan hubungan kausal antara suatu variabel bebas dan satu variabel

penjelas tak bebas dalam bentuk sederhana . Analisis regresi telah digunakan secara luas antara

lain untuk menerangkan fungsi konsumsi, funsi produksi, fungsi permintaan, fungsi biaya, fungsi

investasi, dll. Dengan latar belakang inilah maka geometri punya peranan penting dalam

menggambarkan model dan suatu keputusan dari suatu pengujian ketepatan model ekonometrika.

B. Rumusan Masalah

Sifat-sifat geometri yang penting dalam permasalahan statistika masih menggunakan

dibahas dalam pengujian ketepatan model ekonometrika adalah dengan pengukuran kesesuaian

garis regresi yang dapat menghasilkan model untuk menjelaskan permasalahan yang ada.

Model yang digunakan adalah model regresi linier sederhana dalam ekonometrika

hingga akhirnya pengertian geometri diperoleh dari rumusan diatas.

C. Maksud Dan Tujuan

Maksud dari pegertian geometri dalam bidang statistika adalah agar mampu menjelaskan

adanya penyimpangan (perbedaan) dari asumsi yang ada. misalnya dalam menentukan nilai

dugaan individual berdasarkan persamaan regresi yang didapat . maka dengan menggambarkan

penyimpangan/perbedaannya secara geometri dapatlah disimpulkan bahwa tujuan tercapai yaitu

mampu menjelaskan permasalahan nyata yang dihadapi ,seperti dalam makalah ini maka

Metodologi Penelitian

Pada dasarnya yang menjadi metodologi penelitian adalah mencakup beberapa langkah

yaitu:

1. Pengertian ssuatu teori khusus untuk ekonometrika ,contoh teori tentang meningkatnya

konsumsi oleh karena peningkatan pendapatan sekelompok masyarakat.

2. Spesifikasi model ekonometrika untuk menguji ,dalam paper ini model ekonometrika

yang digunakan adalah analisis regresi sederhana yang akhirnya didapat suatu model

pengujian dengan fungsi sederhana c yang secara geometri dapat ditunjukkan :

Berarti : konsumsi itu berhubungan secara linier dengan pendapatan.

3. Pendugaan paramater: Untuk menetapkan model ekonometrik maka yang dilakukan

adalah pendugaan parameter berdasarkan data yang tersedia.

4. Pengujian hipotesis secara statistika bisa dengan hipotesis sbb:

1 : H₀ β₁=

1 :

H₁ β₁ =〈

5. Penggunaan model ekonometrika yang tepat dengan pengujian serta dapat digambarkan

secara geometri hingga didapatkan suatu kebijaksanaan dari pengujian ketepatan model

ekonometrika dan dapat diambil contoh penerapan dengan suatu persamaan.

Pengeluaran

0

β

X

1

β

Dapat digambarkan metodologi penelitian untuk Pengujian Ketepatan Model

Ekonometrika

Teori Khusus Spesifikasi _masalah

Pendugaan

Pengujian Menerima

Teori

Penggunaan model ekonometrika

secara tepat

Pembahasan

Pertanyaan yang selalu muncul dalam proses pemodelan adalah sejauh mana model yang

dibangun itu mampu menjelaskan permasalahan nyata yang dihadapi. Beberapa bagian perlu

untuk pengujian ketepatan model ekonometrika:

A. Pengukuran Kesesuaian Garis Regresi

Pengukuran sisaan (residual) dari regresi atau sering disebut dengan galat (error)dari

regresi dapat membantu untuk mengetahui sejauh mana persamaan regresi yang diduga sesuai

atau cocok dengan data contoh. Untuk membahas hal ini maka model regresi contoh yaitu :

e

Y =β₀+β₁+ ……….(a)

atau apabila ditulis dalam nilai-nilai pengamatan menjadi

i i 1 0

i X

Y =β +β +ε ……….(b) dengan n = ukuran contoh.

Dugaan untuk pers diatasY^ =β₀+β₁x ……….(c)

yang ditulis dalam nilai pengamatan Yi =β₀+β₁xi: I= 1,2,3,…n ……….(d) Galat(error) atau sisaan dari persamaan regresi yang diduga adalah

1 1 0 i i i

i = y −yˆ =y −b −bx

ε ……….(e)

i

ε itu menunjukkan adanya penyimpangan antara nilai sesungguhnya y dan nilai _i yˆ . Dari _i

prinsip metode kuadrat terkecil telah ditetapkan bahwa b₀ =y−b₁x maka dapat kita lakukan manipulasi aljabar persamaan (e), dapat ditulis menjadi persamaan (f):

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

y y

) (

yˆ y

)

y x b b y y x b b y y y x b X b y y x b X b y y x b b y yˆ y i i i 1 0 i i 1 0 i i 1 1 i i 1 1 i i i 0 i i i − − − = − + − − = − − + − = − + − = − − − = − − = − = ε

i

y

i

yˆ

y

0 x_i

B

A C

1 1

0 bx

b yˆ= − Y

X sehingga:

(

y_i −y

) ( )

= yˆ_i −y +

(

y_i −yˆ_i

)

………(g)

Sehingga dengan pengertian geometri maka persamaan (g) dapat dilihat pada gambar (I).

Dari gambar (I) dapat dijelaskan bahwa penyimpangan (perberdaan) diantara nilai contoh dari y

dan nilai rata-rata dari y yaitu AC merupakan penjumlahan dari penyimpangan AB dan BC

dimana AB adalah penyimpangan dari nilai dugaan berdasarkan persamaan regresi dengan nilai

rata-rata dari y. Sedangkan BC adalah penyimpangan antara nilai contoh (nilai individual) dari y

dan nilai y dugaan individual berdasarkan persamaan regresi.

Gambar (I) pengertian geometri untuk bentuk hubungan (g)

keterangan gambar

) yˆ y ( BC

) y yˆ ( AB

) y y ( AC

i i i i

− =

− =

− =

Sebelumnya telah ditetapkan ukuran contoh ada n buah pengamatan, maka jumlah

kuadrat sebanyak n buah penyimpangan dalam bentuk hubungan (g) dapat ditulis sebagai

berikut:

∑

− =

∑

− +

∑

− 2

i i 2

i 2

i y) (yˆ y) (y y)

y

( ……….(h)

JKT = jumlah kuadrat total

JKR = jumlah kuadrat regresi

JKG = jumlah kuadrat galat (error)

Sehingga total keragaman dari y merupakan penjumlahan total keragaman yang

dijelaskan oleh kesamaan regresi (model ekonometrik) dan tidak dijelaskan oleh model regresi

yang disebut keragaman galat.

Tentunya model yang baik mampu menjelaskan keragaman total dari y yang

sebesar-besarnya dengan galat yang sekecil-kecilnya, sehingga persamaan (h) dapat ditulis:

JKT JKG JKT JKR JKT JKT + = JKT JKG JKT JKR

1= + ……….(i)

JKR/JKT dalam statistika disebut koefisien determinasi dinotasikan R2=proporsi dari

total keragaman . Y dapat diterangkan atau dijelaskan oleh model regresi y terhadap x .

Persamaan R2akan berada diantara nilai 0 dan 1 dan dituliskan 0<R2<1 dimana semakin tinggi

nilai R2 menunjukkan model regresi semakin baik dan mampu menerangkan total keragaman

dari y dengan proporsi tinggi .Untuk model regresi linier sederhana maka semakin besar

JKT,JKR.JKG disebabkan oleh :

( )

) l ( ... JKR JKT JKG ) k ( ... n y x y x b JKR ) j ( ... n y y ) y y ( JKT i i i i i 2 i 2 i 2 i − =       ₋ = − = − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Jika kita memiliki dat pengamatan Xi yang berulang maka dapat dilakukan pengujian

lanjutan untuk mengetahui ketepatan model regresi yang dibangun yaitu dengan memecah JKG

menjadi dua komponen dituliskan:

JKG = JKGM + JKSDM ……….(m)

JKGM = jumlah kuadrat galat murni

JKSDM = jumlah kuadrat simpangan dari model

JKGM dapat ditentukan dengan formula berikut :

( )

∑ ∑

∑

    

  

− =

i

x

2 i 2

i

n y y

jkgm ……….(n)

dimana xi adalah data berulang

yi adalah nilai nilai dari variabel y yang bersesuaian dengan nilai xi berulang.

B. Pengujian Persamaan Regresi

Biasanya diuji dengan menggunakan statistik uji F sbb:

(

)

(

n k

)

jkg 1 k

jkr

F

− −

= ……….(o)

JKR = Jumlah Kuadrat Regresi

(k-1) = Derejat bebas regresi

JKG = Jumlah kuadrat galat

(n-k) = Derejat bebas galat

Dalam distribusi F derejat bebasnya V1= k-1 dan V2=n-k ynag berhubungan dengan

koefisien determinasi R2 sebagai berikut :

(

(

)

)

(

n k

)

R 1

1 k

R

F ₂

2

− −

−

= ……….(p)

Jika terdapat 2 parameter yang diduga dalam model mis b1 dan b2 maka statistik F nya

adalah:

(

)

(

) (

n 2

)

jkg

1 jkr

2 n

jkg 1 2

jkr

F

− = − − =

V2=n-2

Dapat disusun dalam tabel

Sumber Keragaman Jumlah Kuadrat Derejat bebas Kuadrat tengah F hitung

Regresi jkr k-1 KTR-JKR/K-1 KTR/KTG

Galat jkg n-k KTG-JKG/N-K -

Total jkt n-1 -

Catatan: KTG = S² disebut nilai dugaan bagi ragam Galat/ ragam dugaan dari pers regresi.

Akar pangkat dua dari KRG disebut galat baku (SER = Standart Error of Regresion)

Galat baku dalam Regresi adalah salah satu ukuran Kesesuaian atau kecocokan pers

regresi disamping ukuran lainnya seperti koef determinari, R²,…F untuk pers regresi dsb.

Contoh penerapan

Data penjualan (Kuantitas yang ditawarkan dalam satuan ton) dari komoditi z serta data

harga dari komoditi itu selama 12 bulan. Data kuantita penawaran yi dan harga komoditi (x¹ )

dalam table A

Lembar harga untuk pendugaan fungsi penawaran dari komoditi z

n yi xi yi2 xi² xiyi

1 69 y 4761 81 621

2 76 12 5776 144 912

3 52 6 2704 36 312

4 56 10 3136 100 560

5 57 9 3249 81 513

6 77 10 5929 100 776

7 77 7 3364 49 406

9 55 12 4489 144 804

10 33 6 2809 36 318

11 72 11 5184 121 792

12 64 8 4096 64 512

756 108 48.522 1020 6960

^

y= a+ bx

a =

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

− − 2 2 2 ) ( ) )( ( ) )( ( i i i i i i i x x n y x x x y b =

∑

∑

∑

∑ ∑

− − 2 2 ) ( ) )( ( i i i i i i x x n y x y x n

a = 33,75

) 108 ( ) 1020 ( 12 ) 6960 )( 108 ( ) 1020 )( 756 ( 2 = − −

b = 3,25

) 108 ( ) 1020 ( 12 ) 756 )( 108 ( ) 6960 ( 12 2 = − −

yˆ = 33,75+3,25x

Model fungsi penawaran linier berdasarkan tabel adalah :

yˆ = 33,75+3,25x

maka koefisien determinasi R2 :

R2 =

= 00 . 894 00 . 507 = 0,5671

JKG = JKT-JKR

= 894.00- 507.00

=387.00

Maka perhitungan jumlah kuadrat galat murni (JKGM)

JKGM =

∑ ∑

∑

        − i x i i i n y y 2

2 ( )

2 ) 67 76 ( ) 67 ( ) 76 ( 2 ) 77 56 ( ) 77 ( ) 56 ( 2 ) 57 69 ( ) 57 ( ) 69 ( 2 ) 64 55 ( ) 64 ( ) 55 ( 2 ) 53 52 ( ) 53 ( ) 52 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + + + − + + + − + + + − + + + − + =

= 0,50 + 40,50 + 72.00 + 220.50+40.50

= 374.00

Derejat hitung galat murni = 1+1+1+1+1 = 5

JKGM = 374.00

Maka :

JKSGM = JKG – JKGM

= 387.00 – 374.00

= 13.00

035 . 0 5 / 374

5 / 00 .

13 ₌

= =

dbGM JKGM dbSDM JKSDM

F = F Hitung

Dari tabel distribusi F α = 0,05 db1 =5

db2 =5

F0,05L5,5) = 5,05

Untuk pengujian hipotesisnya adalah:

H0 : Simpangan dari model bersifat tidak nyata

H1 : Simpangan dari model bersifat nyata

Karena distribusi F tabel > F hitung maka H0diterima jadi simpangan dari model bersifat tidak

nyata . Dapat digambarkan :

Daerah penerimaan (1-α)=0.95

Daerah kritis

0

Gambar distribusi F untuk pengujian simpangan dari model fingsi penawaran linier

Kita juga dapat melakukan pengujian terhadap model fungsi penawaran linier (uji

persamaan regresi) melalui tahap-tahap berikut:

1. H0 : persamaan regresi (model fungsi penawaran) bersifat tidak nyata.

H1: Persamaan regrasi bersifat nyata.

Catatan:

Suatu model yang baik apa bila hasil uji bersifat nyata karena hal itu berarti variabel yang

dimasukan dalam model berpengaruh nyata dalam menjelaskan keragaman total dari y.

2. α=0.05

3. Daerah kritis:

F>Fα; v =k-1: v =n -k

dari tabel distribus F diperoleh:

F0.05; v =2 -1; v =12-2 = F0.05;1;10 = 4.96

Sehingga daerah kritis F>4.96

Catatan:

K adalah banyaknya parameter yang diduga dalam model perasamaan regresi untuk kasus

diatas k=2 sedangkan n adalah ukuran contoh (sample size), untuk kasus ini n=12.

4. Statistik uji yang sesuai untuk pengujian hipotesis diatas adalah F yang dihitung

berdasarkan persamaan berikut;

Nilai F=0.03 berada dalam daerah penerimaan sehingga H0 diterima

0

(

)

(

)

(

)

(

)

10 . 13

2 12

00 . 387

1 2

00 . 507

k n JKG

1 k JKR

F =

− − = −

− =

5. Keputusan: Karena F=13.10 lebih besar daripada F0.05;1;10 = 4.96, yang berarti berada

dalam daerah kritis, maka H0 ditolak. Hal ini berarti persamaan regresi (fungsi penawaran

linier) bersifat nyata dalam menerangkan keragaman total dari y (kuantitas penawaran).

Distribusi F dari pengujian hipotesis diatas ditunjukkan dalam gambar.

Distribusi F untuk pengujian persamaan regresi penawaran linier

C. Pelaporan dan Evaluasi Hail Analisis Regresi

Terdapat bermaaam cara orang melaporkan hail dari suatu analisis regresi, namun format

berikut dianjurkan untuk dipergunakan .Berikut ini dikemukakan hasil analisis regresi penawaran

linier bedaarkan data :

Nilai F=13.10 berada dalam daerah kritis, sehingga H0 ditolak

Daerah penerimaan (1-α)=0.95

4.96

Daerah kritis

Sistem pelaporan hail seperti persamaan diatas akan memberikan kesempatan kepaada

orang lain untuk menilai sejauh mana kesesuaian model regresi yang dibangun.Dalam pelaporan

hasil regresi yang diperoleh dapt diberikan informasi tentang :

1. Persamaan regresi yaang diperoleh yaitu : yˆ = 33,75+3,25x

2. Galat baku (standart error) dari koefisien regresi yang diperoleh yaitu :

S(bo) = 8.28

S(b1) = 0.90

3. Nilai t yang diperoleh berdasarkan pengujian hipotesis tentang parameter model

dengan 0 yaitu bo=0,dan b1 = 0.Nilai ini merupakan hasil bagi antara koefisien

dugaan bagi parameter model dan galat baku dari koefisien tersebut sebagai misalnya:

t(bo) = bo/s(bo) = 33.75/8.28 =4.076

t(b1) = b1/s(b1) = 3.25/0.90 =3.611

4. Nilai R2 yang menunjukkan proporsi keragaman total dari variabel y yang mampu

diterangkanoleh persamaan regresi ,sebagai contoh pers regresi sebelumnya menjelaskan

keragaman total variabel y sssebesar 56,71%.

5. Galat baku (standart error) dari persamaan regresi yang dihitung dengan jalan menarik

akar pangkat dua dari KTG atau S2

6. Nilai F yang diperoleh dari pengujian persamaan regresiyang dibangun itu.

Setelah hasil analisis regresi dilaporkan seperti pers diata maka timbul pertanyaan

bagaiman baiknya hasil itu dengan kata lain kriteria apa yang perlu dijadikan pegangan untuk

menilain suatu hasil regresi ? Berikut ini akan dikemukakan beberapa kriteria yang dapat

dijadikan pegangan untuk menilai hasil dari suatu analisis regresi.

1. 1.Tanda dari koefisien yang diduga seharusnya sesuai dengan teori ekonomi atau harapan

semula .sebagai contoh untuk kasus pers Q tanda dari koefisien regresi adalah positif dan

memang sesuai dengan yang diharapakan karena berdasarkan teori ekonomi variabel

harga mempengaruhi secara positif tehadap kuantitas penawaran dengan kata lain slope

2. Koefisien regresi seharusnya bersifat nyata secara statistik agar sesuai dengan teori

ekonomi yang sejak awal penyusunan model telah mempostulatkan bahwa variabel

variabel bebas yang dimasukkan dalam model regresi memang berpengaruh terhadap

variabel tak bebas.

3. Koefisien determinasi R2 sebagai salah satu ukuran kecocokan model regresi seharusnya

cukup tinggi misalnya diatas 0.80 atau paling tidak harus diusahakan tidak terlalu rendah

misalnya dibawah 0.60 sebab jikalau rendah maka model yang dibangun belum mampu

menjelaskan keragaman total yang ada dalam variabel tak bebas y berarti masih ada

faktor lain yang tidak ikut diperhitungkan dalam model.Untuk model fungsi penawaran Q

dimana besaran R2= 0.5671 menunjukkan model hanya mampu menerangkan keragaman

total dalam kuantitas penawara variabel y sebesar56,71% berarti maih ada sekitar 43,29%

keragaman total dalam kuantitas penawaran variabel y yang diakibatkan oleh pengaruh

faktor lainselain harga komoditi x. Untuk meningkatkan besaran R2 kita dapat mencari

variabel lain yang relevan untuk dimasukkan dalam model regresi dengan demikian

untuk kasus penawaran komoditi Z perlu melibatkan lebih dari atu variabel x .Namun

perlu diperhatikan bahwa setiap penambahan variabel yang baru kedalam model regresi

harus meningkatkan besaran R2 secara berrti dan yang lebih penting bahwa koefisien dari

variabel baru x yang dimasukkan kemudian kedalam model harus bersifat nyata secara

statistik,sehingga model baru itu tetap memenuhi kriteria 1 dan 2 diatas.

4. Jika keadaan data memungkinkan (seperti ada pengulangan dari nilai2 variabel x ),maka

perlu melakukan uji simpangan dari model itu dan seharusnyauji simpangan dari model

itu bersifat tidak nyata yang menunjukkan tidak terdapat penyimpangan atau kesalahan

yang berarti dari model yang dibangun itu .Untuk kasus penawaran komoditi z maka

model fungsi penawaran linier yang dibangun berdaarkan data telah cocok karena uji

simpangan dari model bersifat tidak nyata yang menunjukkan penyimpangan atau

5. Beberapa kriteria lain yang relevan akan dibaha kemudian seperti model harus memenuhi

asumsi-asumsi yang ada yaitu tidak terdapat korelai sempurna diantara variabel-variabel

bebas.

D. Penggunaan Model Ekonometrika

Sesuai dengan penjelaan dalam metodologi ekonometrik apabila suatu model

ekonometrik yang dibangun dapat diterima karena konsisten dengan teori ekonomi yang ada

maka model ekonometrik itu dipergunakan untuk peramalan atau perkiraan .

Berdasarkan serangkaian pengujian yang telah dilakukan menunjukkan bahwa model

fungsi penawaran linier dapat diterima karena konsisten dengan teori penawaran dalam ekonomi

sehingga model itu dapat dipergunakan untuk peramalan kuantitas penawaran (variabeeel tak

bebas y berdarkan harga tertentu dari komoditi itu.

Untuk pembahasan maka kita akan menggunakan model fungsi penawaran linier yang

diperoleh berdasarkan analisa data yaitusesuai dengan perkiraan sebelumnya yˆ = 33,75+3,25x .

Kesimpulan

Dari metodologi penelitian maka didapat suatu kesimpulan bahwa penggunaan model

ekonometrika yang tepat dengan pengujian yang benar Kesimpulan

Dari metodologi penelitian maka didapat suatu kesimpulan bahwa penggunaan model

ekonometrika yang tepat dengan pengujian yang benar pula maka model dari suatu fungsi

penawaran dapat digambarkan secara geometri dan akhirnya diperoleh ketepatan model

ekonometrika yang baik.

Seperti pada pembahasan ,suatu model yang cocok atau sesuai harus menunjukkan bahwa

uji simpangan dari model bersifat tidak nyata .Uji simpangan dari model merupakan salah satu

ukuran kesesuaian atau kecocokan model regresi disamping ukuran lain seperti koefisien

determinasi ,R2,uji F,galat baku dari persamaan regresi dll.Dengan demikian dapat digambarkan

daerah penerimaan penolakan dalam distribusi F.Besar R2= 0……5671 menunjukkan bahwa

model fungsi penawaran linier telah mampu menerangkan atau menjelaskan sekitar 56,71% dari

keragaman total kuantitas penawaran.Sedangkan sisanya 43,29% tidak dapat dijelaskan oleh

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa model fungsi penawaran linier yang

dibangun tidak sesuai atau cocok karena penyimpangannya menunjukkan hasil yang bersifat

tidak nyata,berrti penyimpangan model dapat diabaikan karena sangat kecil.

Daftar Pustaka

1. Gaspersz,Vincent : Ekonometrika Terapan 1

2. Dr.Sudjana M.A.Msc : Metoda Satistika