ANALISIS PEROLEHAN LABA PADA USAHA TERNAK AYAM RAS PEDAGING MENGGUNAKAN MODEL MATEMATIKA
Oleh
Agnecia Eca Putri
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRAK
ANALISIS PEROLEHAN LABA PADA USAHA TERNAK AYAM RAS PEDAGING MENGGUNAKAN MODEL MATEMATIKA
Oleh
Agnecia Eca Putri
Dalam era globalisasi dan persaingan yang semakin kuat, dunia bisnis atau usaha bukan menjadi hal yang tabu lagi, dalam bisnis dibutuhkan suntikan dana yang bersumber pada perbankan. Pemodelan matematika yang merupakan cabang ilmu matematika sangat berperan di bidang ilmu-ilmu yang lain. Sebagai contoh pada studi kasus usaha ternak ayam ras pedaging. Dalam suatu usaha diperlukan analisis perolehan laba untuk memperoleh laba maksimal. Perolehan laba tersebut dapat dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain frekuensi pembayaran kredit dan jumlah populasi akhir ternak.
Berdasarkan masalah ini maka dapat dibentuk model matematika fungsi kredit dan fungsi populasi ternak setelah waktu yang dipengaruhi oleh angka pertumbuhan ternak ( dan angka kematian ternak ( . Model pertumbuhan populasi ternak yang terbentuk adalah model pertumbuhan populasi eksponensial yaitu dan model matematis fungsi kreditnya yaitu . Dengan kedua model di atas setelah dianalisis secara matematis maka terdapat hubungan yang optimal antara pihak instansi kredit (bank) dengan pengusaha ternak yaitu jika nilai angka pertumbuhan populasi ternak dikurangi angka kematian ( ( = koefisien pembungaan pada bank).
i 1.1 Latar Belakang dan Masalah ... 1
1.2 Batasan Masalah ... 3
1.3 Tujuan Penelitian ... 3
1.4 Manfaat Penelitian ... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Model Matematika ... 4
2.2 Proses Penyusunan Model Matematika ... 4
2.3 Model Pertumbuhan Populasi ... 5
2.4 Fungsi Eksponen ... 6
2.5 Model Populasi Eksponensial ... 6
2.6 Pertumbuhan Eksponensial ... 7
2.7 Persamaan Diferensial Orde Satu ... 9
2.8 Metode Pemisahan Variabel ... 11
ii 3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ... 18
3.2 Metodelogi Penelitian ... 18
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Hasil Penelitian ... 19
4.2 Pembahasan ... 21
4.2.1 Asumsi Model ... 21
4.2.2 Model Pertumbuhan Populasi Ternak ... 21
4.2.3 Model Matematis Fungsi Kredit ... 24
4.2.4 Analisis Hubungan Optimal Fungsi Kredit dengan Fungi Ternak ... 25
4.2.5 Frekuensi Pembayaran Kredit Per Bulan ... 27
4.2.6 Angka Pertumbuhan Populasi ( ) Pada Ayam Ras Pedaging ... 28
4.2.7 Studi Kasus Hubungan Optimal Fungsi Kredit dengan Fungsi Ternak ... 29
V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ... 39
iii
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Dalam era globalisasi dan persaingan yang semakin kuat, dunia bisnis atau usaha
bukan menjadi hal yang tabu lagi, baik di negara maju maupun di negara
berkembang. Dalam suatu usaha modal menjadi penopang berdirinya suatu usaha
bagi para pengusaha yang ada di belahan dunia. Setiap usaha membutuhkan
modal baik materi maupun non materi, baik dari pengusaha kecil maupun
pengusaha besar. Tidak semua pengusaha mempunyai modal yang cukup dalam
membangun usaha yang didirikan, bahkan masih banyak pengusaha yang sering
terhambat oleh modal di tengah-tengah proses berjalannya suatu usaha sehingga
mereka membutuhkan suntikan dana atau modal tambahan agar usaha tetap
berjalan baik. Modal tersebut sangat berkaitan bahkan sudah mendarah daging
dalam dunia perbankan. Modal yang diberikan dari pihak bank berupa bunga
pinjaman atau kredit. Bagi masyarakat yang hidup di negara-negara maju
mendengar kata bank sudah bukan merupakan hal yang asing.
Bank merupakan mitra untuk memenuhi kebutuhan ataupun modal bagi para
pengusaha, seperti Usaha Mikro Kecil dan Menengah (UMKM) ataupun jenis
2
faktor-faktor yang harus diperhatikan agar pinjaman atau kredit tersebut menjadi
titik awal bagi kemajuan usaha dan bukan menjadi kerugian dalam berusaha,
contohnya dalam pemilihan bunga kredit. Oleh karena itu pengusaha harus
menganalisis terlebih dahulu sebelum mengambil keputusan dalam pengambilan
bunga kredit. Selain menganalisis pemilihan bunga kredit pengusaha harus
melihat faktor lain yang dapat berpengaruh pada masalah kredit dan bunga kredit,
seperti dari segi usaha yang di jalankannya, pengusaha harus membuat strategi
yang baik agar hubungan antara usaha dan modal yang dipinjamnya berimbang,
sehingga pengusaha memperoleh grafik laba yang terus meningkat. Akan tetapi
masih ada pengusaha yang belum memahami atau mempertimbangkan hal-hal
tersebut. Sehingga dalam hal ini pemodelan matematika yang merupakan salah
satu cabang ilmu matematika bisa membantu atau memberikan solusi dari
permasalahan tersebut.
Dalam kesempatan ini penulis mengambil contoh objek usaha ternak ayam ras
pedaging atau disebut juga broiler, di mana pertumbuhan populasi ternak sangat
berpengaruh terhadap perolehan laba. Selain itu usaha ternak ayam ras pedaging
merupakan usaha yang menjanjikan karena supply daging ayam di pasaran tinggi
akibat permintaan masyarakat terhadap daging ayam selalu dibutuhkan dari waktu
ke waktu. Selain itu ayam ras pedaging merupakan jenis ras unggulan yang
memiliki daya produktivitas tinggi, terutama dalam memproduksi daging ayam,
serta dalam waktu yang relatif singkat sekitar 4 minggu sudah bisa dipanen.
Dalam pelaksanaan usaha ternak, setiap peternak selalu mengharapkan
3
untuk mengukur keberhasilan suatu usaha adalah tingkat keuntungan yang
diperoleh. Oleh karena itu penulis akan menganalisis laba pada usaha ternak ayam
ras pedaging dengan pemodelan matematika.
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, penulis hanya membahas model pertumbuhan populasi
ternak, hubungan optimal fungsi kredit dan fungsi ternak, menganalisis
variabel-variabel dalam perkreditan yaitu frekuensi pembayaran bunga kredit yang sangat
berpengaruh dalam perolehan laba pihak instansi perkreditan.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mengkonstruksi model matematika untuk usaha ternak ayam ras pedaging
dan fungsi kredit serta mencari hubungan yang optimal.
2. Menganalisis laba pada usaha ternak ayam ras pedaging.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Menambah wawasan mengenai penerapan ilmu matematika pada usaha
ternak ayam ras pedaging.
2. Memberikan motivasi kepada mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA
akan pentingnya ilmu matematika bagi disiplin ilmu lain.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Matematika
Model Matematika adalah uraian secara matematika (sering kali menggunakan
fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata seperti populasi, permintaan
untuk suatu barang, kecepatan benda jatuh, konsentrasi dalam reaksi kimia,
harapan hidup seseorang pada waktu lahir, atau biaya reduksi emisi. Tujuan
model adalah memahami suatu fenomena dan mungkin membuat prakiraan
tentang perilaku di masa depan (Stewart, 1999).
2.2 Proses Penyusunan Model Matematika
Proses penyususan model matematika dapat dilakukan dengan tahap-tahap
sebagai berikut :
1. Mendeskripsikan masalah nyata yang akan dimodelkan.
2. Mengidentifikasi faktor-faktor atau variabel-variabel penting.
3. Menyederhanakan masalah nyata dengan membuat asumsi-asumsi yang
logis atau dengan menggunakan dalil-dalil dalam ilmu-ilmu terkait
misalnya ilmu fisika, biologi, rekayasa dan lain sebagainya.
4. Menterjemahkan masalah nyata tersebut dengan bahasa ilmu matematika.
5
dalam bentuk persamaan linier, persamaan nonlinier, persamaan
diferensial, pertidaksamaan, bentuk optimisasi, bentuk matrik, bentuk
statistika dan lain sebagainya.
5. Menyelesaikan model matematika. Untuk menyelesaikan model
matematika yang diperoleh, kita perlu mengetahui mengenai
bidang-bidang matematika terkait seperti bidang-bidang aljabar, analisis matematika,
pemrograman komputer dan lain-lain.
6. Menginterpretasikan model matematika, misalnya bisa geometris,
interpretasi fisik, dan lain-lain.
7. Apabila model sudah dianggap cocok, maka biasanya model matematika
dianggap baik dan layak digunakan. Sebaliknya jika model dianggap
belum cocok untuk kasus tertentu, maka model perlu dimodifikasi.
8. Modifikasi model matematika.
(Widodo, 2011)
2.3 Model Pertumbuhan Populasi
Sebuah model untuk pertumbuhan populasi didasarkan pada asumsi bahwa
populasi bertambah dengan laju yang sebanding dengan besarnya populasi. Ini
merupakan asumsi yang masuk akal untuk populasi bakteri atau hewan dalam
kondisi ideal (lingkungan takterbatas, nutrisi yang mencukupi, tidak adanya
pemangsa, imunitas terhadap penyakit).
Identifikasi dan nama variabel-variabel dalam model ini yaitu :
= waktu
6
= angka pertumbuhan populasi
Laju pertumbuhan populasi adalah turunan . Jadi diasumsikan bahwa laju
pertumbuhan populasi sebanding dengan besarnya populasi, dapat dituliskan
sebagai persamaan :
(2.1)
(Stewart, 1999)
2.4 Fungsi Eksponen
Fungsi eksponen umum :
Definisi :
=
Fungsi eksponen asli :
Fungsi eksponen asli didefinisikan sebagai invers dari logaritma asli dan
dinyatakan oleh ekp. Jadi :
(Purcell et al, 2003)
2.5 Model Populasi Eksponensial
Misalkan menunjukkan ukuran populasi pada waktu menunjukkan
jumlah kelahiran per individu per satuan waktu, dan menunjukkan jumlah
7
Maka perubahan populasinya adalah sebagai berikut :
[ ] (2.2)
Bagi persamaan (2.2) dengan . Jika mendekati nol, maka diperoleh :
(2.3)
Dengan adalah tingkat pertumbuhan intrinstik dari populasi. Model
(2.2) menggambarkan populasi akan tumbuh secara eksponensial jika dan
akan menurun secaraeksponensialjika (Hallam and Levin, 1986).
2.6 Pertumbuhan Eksponensial
Definisi laju pertumbuhan eksponensial adalah :
(2.4)
Secara umum laju pertumbuhan ini bergantung pada waktu. Itu berarti dikalkulasi
pada interval dari panjang waktu . Berdasarkan definisi ini laju pertumbuhan
juga bergantung pada ukuran interval waktu. Kemungkinan yang lebih menarik
adalah laju pertumbuhan saat itu
(2.5)
Laju pertumbuhan populasi yaitu laju perubahan dalam populasi setiap individu.
Dengan kata lain laju perubahan populasi, sebanding dengan laju pertumbuhan
R waktu populasi N. Sebagai model pertama, diasumsikan laju pertumbuhan
adalah tetap. Jika laju pertumbuhan adalah tetap , maka pertumbuhan populasi
digambarkan dengan solusi untuk persamaan diferensial linier orde pertama
8
(2.6)
Yang memenuhi kondisi awal
(2.7)
Solusi secaraeksponensial
(2.8)
Digambarkan dalam gambar berikut :
9
Gambar 2. Peluruhan Populasi
Pada gambar 1 jika > 0 sebuah pertumbuhan populasi jika laju pertumbuhan
bernilai positif.
Sedangkan pada gambar 2 jika 0 peluruhan populasieksponensial jika laju
pertumbuhan bernilai negatif (Ini sangat tepat atau cocok pada waktu awal =0)
(Haberman, 1977).
2.7 Persamaan Diferensial Orde Satu
Pengertian turunan dalam subbab ini yang akan digunakan dianggap sudah
diketahui dengan baik sehingga tidak dimasukkan. Persamaan diferensial adalah
persamaan yang memuat turunan-turunan satu atau lebih peubah tak bebas
0 0
turunan pertama dari y. Hubungan antara perubahan y, F
x
, dan f
x,y
yangdinotasikan dengan dy f
x,y
dx merupakan suatu persamaan diferensial.Berikutnya akan diberikan definisi persamaan diferensial orde satu.
Definisi :Diberikan persamaan diferensial orde satu :
dy
Untuk mengetahui ketunggalan solusi dari persamaan diferensial orde satu (2.10)
maka diberikan teorema di bawah ini :
Teorema :Diketahui persamaan diferensial orde satu (2.10) yaitu :
dy
Maka terdapat dengan tunggal penyelesaian Φ dari persamaan diferensial
(2.10) pada interval xx0 h dengan h cukup kecil serta memenuhi kondisi:
Φ
xfungsi linier maka persamaan diferensial di atas adalah persamaan diferensial
11
persamaan diferensial di atas adalah persamaan diferensial nonlinier orde satu
(Ross, 1984).
2.8 Metode Pemisahan Variabel
Langkah 1. Tulis kembali persamaan :
(2.11)
dalam bentuk yang terpisah :
(2.12)
Langkah 2. Integralkan masing - masing sisi dari persamaan (2.12) untuk
menemukan solusi implisit.
(2.13)
dengan c adalah suatu konstanta bebas.
Langkah 3. Jika mungkin selesaikan y dalam bentuk solusi implisit untuk
memperoleh solusi eksplisit (Farlow, 1994).
2.9 Maksimum dan Minimum Pada Fungsi
Jika suatu fungsi berlaku untuk batas-batas tertentu yaitu dimana
, mempunyai kemiringan ke bawah seperti terlihat pada gambar 3,
maka fungsi tersebut dinamakan fungsi yang menurun (decreasing function).
Dalam hal ini fungsi y menurun pada saat nilai x bertambah sehingga kemiringan
kurva yaitu . Sebaliknya apabila fungsi itu mempunyai kemiringan
12
dinamakan fungsi yang menaik (increasing function). Dalam hal ini fungsi y
menaik pada saat nilai x bertambah, sehingga kemiringan kurva yaitu
y y = f(x)
a b
x
Gambar 3. Grafik Fungsi Menurun
y
y = f(x)
a b
x
Gambar 4. Grafik Fungsi Menaik
13
2.10 Kredit
Definisi :
Penyediaan uang atau tagihan yang dapat dipersamakan dengan itu, berdasarkan
persetujuan atau kesepakatan pinjam meminjam antara bank dengan pihak lain
yang mewajibkan pihak peminjam melunasi hutangnya setelah jangka waktu
tertentu dengan pemberian bunga.
1. Dilihat dari segi kegunaan
a. Kredit investasi
b. Kredit modal kerja
2. Dilihat dari segi jangka waktu
a. Kredit jangka pendek
b. Kredit jangka menengah
c. Kredit jangka panjang
3. Dilihat dari segi sektor usaha
a. Kredit pertanian
14
Bunga bank dapat diartikan sebagai balas jasa yang diberikan oleh bank yang
berdasarkan prinsip konvensional kepada nasabah yang membeli atau menjual
produknya. Bunga bagi bank juga dapat diartikan sebagai harga yang harus
dibayar kepada nasabah (yang memiliki simpanan) dan harga yang harus dibayar
oleh nasabah kepada bank (nasabah yang memperoleh pinjaman). (Kasmir, 2002)
15
2.12 Bunga Sederhana
Dengan konsep bunga sederhana, besarnya bunga dihitung dari nilai pokok awal
( dikalikan dengan tingkat bunga ( dan waktu
( . Perhitungan bunga ini dilakukan satu kali saja yaitu pada akhir
periode atau pada tanggal pelunasan. Secara matematis, hal ini dapat dinyatakan
dalam persamaan sebagai berikut :
(2.15)
Dengan (bunga sederhana)
(pokok)
(tingkat bunga/tahun)
(waktu dalam tahun)
Karena satuan adalah tahun, jika waktu diberikan dalam bulan maka dapat
menggunakan persamaan sebagai berikut :
Jumlah bulan / 12
Sedangkan jika diberikan dalam hari, akan ada dua metode dalam mencari nilai
, yaitu :
1. Metode Bunga Tepat (Exact Interest Method) atau Sie dengan
= Jumlah hari/365
2. Metode Bunga Biasa (Ordinary Interest Method) atau Sio dengan
Jumlah hari/360
16
2.13 Bunga Majemuk
Dengan bunga majemuk, bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke nilai pokok
pada akhir setiap periode perhitungan bunga untuk mendapatkan pokok yang
baru. Perhitungan bunga untuk periode berikutnya akan didasarkan pada nilai
pokok baru ini dan bukan pada nilai pokok awal, demikian seterusnya. Periode
perhitungan bunga adalah periode bunga dihitung untuk ditambahkan ke pokok
periode perhitungan bunga, dapat dinyatakan dalam bulanan, triwulanan,
semesteran atau tahunan.
Untuk mempermudah perhitungan bunga majemuk, digunakan notasi sebagai
berikut :
nilai pokok awal
nilai akhir
jumlah periode perhitungan bunga
frekuensi perhitungan bunga dalam setahun
tingkat bunga nominal tahunan dengan periode perhitungan kali per tahun
tingkat bunga per periode perhitungan bunga
Perhatikan bahwa tingkat bunga selalu digunakan dalam perhitungan
bunga majemuk.
Dengan menggunakan notasi dan definisi di atas, persamaan dari bunga majemuk
dapat dinyatakan sebagai berikut:
(2.16)
17
2.14 Laba
Analisis Biaya Volume Laba (BVL) adalah metode dasar untuk menganalisa
bagaimana hubungan antara tiga faktor yaitu biaya, pendapatan, dan laba. Model
BVL adalah :
Laba = Pendapatan–Total Biaya
Total Biaya meliputi elemen biaya tetap dan biaya variabel.
Pendapatan = Biaya Tetap + Biaya Variabel + Laba
III. METODELOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung
pada semester ganjil (7) tahun 2013.
3.2 Metodelogi Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur (jurnal,
buku-buku teks, diktat kuliah) dengan tahap-tahap sebagai berikut :
1. Mengumpulkan bahan literatur serta studi pustaka sebagai bahan refrensi
model pertumbuhan populasi ternak.
2. Mengumpulkan data-data mengenai usaha ternak ayam ras pedaging seperti
analisis keuangan untuk modal serta pendapatan laba dan lain-lain.
3. Menentukan asumsi dan megkonstruksi model pertumbuhan populasi
ternak ayam ras pedaging.
4. Menganalisis hubungan antara fungsi ternak dan fungsi kredit dalam
perolehan laba.
39
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan di atas, diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Populasi ayam ras pedaging setelah waktu akan mengikuti model
matematika sehingga akan lebih mudah ditentukan angka
pertumbuhan populasi dan angka kematian ternak sebagai pedoman dalam
pengambilan bunga kredit yang juga berpengaruh pada perolehan laba.
2. Dari persamaan eksponensial dapat dicari angka
pertumbuhan populasi yaitu dan angka kematian
ternak yaitu .
3. Dari analisa fungsi bunga majemuk ⁄ maka frekuensi
pembayaran kredit mempengaruhi besarnya nilai jumlah kredit yang juga
mempengaruhi perolehan laba.
4. Hubungan optimal antara pihak instansi kredit (bank) dengan pengusaha
jika nilai angka pertumbuhan populasi dikurangi angka kematian ternak
( > ( = koefisien pembungaan pada bank).
5. Untuk mendapatkan laba yang optimal maka derivatif dari fungsi laba
harus lebih besar dari nol (
40
5.2Saran
Pada penulisan ini dibahas mengenai analisis laba yang dipengaruhi oleh
beberapa faktor antara lain funsgi kredit dan fungsi ternak, dengan objek ayam ras
pedaging. Bagi yang tertarik dapat mengembangkan penelitian dengan objek yang
lain dan pengembangan model matematika yang lebih sesuai terhadap objek yang
DAFTAR PUSTAKA
Ambarriani, Susty. 2000. Manajemen Biaya. Jakarta: Salemba Empat.
Assauri, Sofjan. 1995. Matematika Ekonomi. Jakarta: PT RajaGrafindo Persada.
Farlow, J. 1994. An Introduction To Differential Equations and Their
Applications. McGraw-Hill. New York.
Frensidy, Budi. 2007. Matematika Keuangan. Jakarta : Salemba Empat.
Haberman, Richard. 1977. Mathematical Models in Mechanical Vibrations,
Population Dynamics, and Traffic Flow. Prentice-hall. USA.
Hallam, G and S. A. Levin. 1986. Mathematical Ecology An Introduction.
Springer-Verlag. Berlin
Kasmir. 2002. Dasar-Dasar Perbankan. Jakarta: PT Raja Grafindo Persada.
Kellison, Stephen G. 1991. The Theory Of Interest. New York: Sons Company.
Perko, L., 2001, Differential Equations and Dynamical Systems .Texts in Applied Mathematics Vol. 7, Springer – Verlag , New – York , USA.
Purcell, et.al. 2003. Kalkulus. Jakarta: Erlangga.
Ross, S.L., 1984, Differential Equations, 3th Edition, John Wiley & Sons, Inc, New - York, USA.
Stewart, James. 1999. Kalkulus. Jakarta: Erlangga.
Berikut langkah-langkah membuat grafik menggunakan software maple :
1. Grafik fungsi bunga majemuk
Buka software maple kemudian masukkan fungsi bunga majemuk, untuk
membuat grafik tambahkan plot di depan fungsinya, lalu masukkan nama
labels dan nama grafik fungsi tersebut :
Setelah memasukkan fungsi, nama label, dan nama grafik tekan enter maka
grafik fungsi bunga majemuk akan muncul :
2. Grafik Fungsi Laba
Buka software maple kemudian masukkan fungsi laba, untuk membuat
grafik tambahkan plot di depan fungsinya, lalu masukkan nama labels dan
nama grafik fungsi tersebut :
Setelah memasukkan fungsi, nama label, dan nama grafik tekan enter maka
3. Fungsi Populasi Ternak Setelah 3 Bulan
Buka software maple kemudian masukkan fungsi populasi ternak setelah 3
bulan, untuk membuat grafik tambahkan plot di depan fungsinya, lalu
masukkan nama labels dan nama grafik fungsi tersebut :
Setelah memasukkan fungsi, nama label, dan nama grafik tekan enter maka
4. Fungsi Populasi Ternak Selama 5 Kali Produksi
Buka software maple kemudian masukkan fungsi populasi ternak selama 5 kali
produksi, untuk membuat grafik tambahkan plot di depan fungsinya, lalu
masukkan nama labels dan nama grafik fungsi tersebut :
Setelah memasukkan fungsi, nama label, dan nama grafik tekan enter maka
grafik fungsi populasi ternak selama 5 kali produksi akan muncul :
