MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK PERSOALAN
OPTIMISASI FINANSIAL
TESIS
Oleh
AMIN HARAHAP 107021012/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK PERSOALAN
OPTIMISASI FINANSIAL
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara
Oleh
AMIN HARAHAP
107021012/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
Judul Tesis : MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK PERSOALAN OPTIMISASI FINANSIAL
Nama Mahasiswa : Amin Harahap Nomor Pokok : 107021012 Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Marwan Ramli, M.Si)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada
Tanggal : 17 Desember 2012
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK PERSOALAN OPTIMISASI FINANSIAL
TESIS
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar Magister di suatu perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah di-tulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara terdi-tulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Medan, Desember 2012 Penulis,
ABSTRAK
Salah satu faktor penyebab terjadinya kerugian bank, batas akhir/ limit pemba-yaran oleh debitur atau nasabah tidak dapat tercapai sehingga merugikan pihak bank. Untuk itu perlu dilakukan suatu metode pendekatan terhadap debitur agar bank dapat memberikan kredit sehingga dapat meminimalkan risiko kredit per-bankan, perubahan debitur tidak dapat diobservasi (hidden). Kejadian-kejadian perubahan debitur dapat berulang tetapi tidak dapat dipastikan waktunya. Di-asumsikan bahwa faktor penyebab kejadian perubahan debitur tidak diamati se-cara langsung dan membentuk rantai markov. Untuk itu diperlukan suatu del yang dapat meminimalkan risiko kredit perbankan yakni menggunakan mo-del hidden markov, dimana proses yang tidak dapat diobservasi (hidden),dapat diobservasi melalui proses yang dapat diobservasi, dengan langkah-langkah pelak-sanaan (1) Menghitung peluang observasi dengan algoritma maju dan algoritma mundur(2)Menentukan keadaan yang tersembunyi (Hidden State) dengan algo-ritma viterbi, (3)Penaksiran Parameter HMM dengan Algoalgo-ritma Baum-Welch, dengan hasil yang diperoleh diharapkan dapat digunakan untuk meramalkan pe-rubahan debitur tersebut selanjutnya.
Kata kunci: Kredit Bank,Proses Markov, Model Hidden Markov
ABSTRACT
One of the factors contributing to the losses, the deadline / limit the payment by the debtor or the customer can not be achieved to the detriment of the bank. It is necessary for an approach to the debtor so that the banks can provide credit so as to minimmize the risk of bank credit, changes in the debtor can not be observed (hidden). Such events can be repeated debtor changes but uncertain time. It is assumed that the factors causing the change event the debtor is not observed directly and form a Markov chain. For that we need a model that can minimize the use of bank credit risk of hidden markov models, which The process that is not observable (hidden) can be observed through a process that can be observed, with the implementation of the measures (1) Calculate the chance observation with forward algorithma and backward algorithma (2) Determine the state of the hidden (Hidden State)with viterbi algorithma , (3) Parameter Estimation HMM with Baum-Welch algorithm , with the results expected to be used to predict subsequent changes in the debtor.
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis mengucapkan ke hadirat Allah SWT yang telah me-limpahkan rahmat, hidayah, dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyele-saikan tesis dengan judul: MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK PERSOALAN OPTIMISASI FINANSIAL . Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menye-lesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Su-matera Utara.
Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K)selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Stu-di Magister Matematika Stu-di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Medan.
Prof. Dr. Herman Mawengkangselaku Ketua Program Studi Magister Mate-matika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Dr. Saib Suwilo, M.Scselaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, MSi dan Prof Dr Muhammad Zarlis selaku Tim Pem-banding Tesis.
Seluruh Staf Pengajarpada Program Studi Magister Matematika FMIPA Uni-versitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Ma-tematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan
pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa angkatan 2010/2011 Zulhendri, Agus, Hindra, Gomar, Dhia, Lena, Aghni, Rina, Vivi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantu-an moril dbantu-an dorongbantu-an kepada penulis.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghar-gaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta, Ayahanda Lahja Harahap dan IbundaHarmaini Siregaryang telah mencurahkan kasih sayang dan dukung-an kepada penulis, kepada abdukung-ang ddukung-an adik-adikkuIrwansyah Hrp, Ambi Hrp dan Meriyani Hrp dan Saudari Fitri Meilani Lubisyang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis berterima kasih atas semua bantuan yang diberikan, semoga Allah Swt membalaskan segala kebaikan yang telah diberikan, amin.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya baik perkembangan ilmu pengetahuan.
Medan, Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Amin Harahap dilahirkan di desa pangarungan, kecamatan Torgamba, Kabu-paten Labuhan Batuselatan Pada Tangga 21 Juli 1987 dari pasangan Lahja Hara-hap & Harmaini Siregar, dan merupakan anak ke dua dari empat bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri No 115497 desa Panga-rungan pada tahun 2000, Madrasah Sanawiyah Swasta (MTS)/Pondok Pesantren Darul Falah Langga Payung pada tahun 2003, Madrasah Aliyah Negeri (M AN) Rantau Prapat pada tahun 2006. Pada tahun 2006 memasuki Perguruan Tinggi Institut Agama Islam Negeri Sumatera Utara (IAIN SU) fakultas Tarbiyah Prog-ram Studi Pendidikan Matematika pada Jenjang Strata Satu (S-1)dan menyele-saikan perkuliahan pada tahun 2010. Pada awal tahun 2011 mengikuti program studi Magister Matematika di Pasca Sarjana FMIPA Universitas Sumatera Utara dan menyelesaikan perkuliahan pada akhir tahun 2012.
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Konstribusi 3
1.5 Metode Penelitian 3
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 6
BAB 3 LANDASAN TEORI 9
3.1 Risiko Kredit Bank 9
3.2 Proses Markov 10
3.3 Pengukuran Risiko 11
3.4 Persoalan Pemilihan Fortopolio 13
BAB 4 HIDDEN MARKOV MODEL 14
4.2 Asumsi pada HMM 15
4.3 Persoalan dalam HMM 16
4.3.1 Menghitung peluang observasi 16 4.3.2 Menetukan barisan keadaan tersembunyi 16 4.3.3 Menaksir parameter-parameter HMM 17 4.4 Metode Penyelesaian Masalah-Masalah dalam HMM 17 4.4.1 Menghitung peluang observasi dengan algoritma maju 17 4.4.2 Menghitung peluang observasi dengan algoritma mundur 18 4.4.3 Menentukan barisan keadaan tersembunyi dengan
meng-gunakan algoritma viterbi 19 4.4.4 Penaksiran parameter HMM dengan algoritma
Baum-Welch 20
BAB 5 KESIMPULAN 22
5.1 Kesimpulan 22
DAFTAR PUSTAKA 23
ABSTRAK
Salah satu faktor penyebab terjadinya kerugian bank, batas akhir/ limit pemba-yaran oleh debitur atau nasabah tidak dapat tercapai sehingga merugikan pihak bank. Untuk itu perlu dilakukan suatu metode pendekatan terhadap debitur agar bank dapat memberikan kredit sehingga dapat meminimalkan risiko kredit per-bankan, perubahan debitur tidak dapat diobservasi (hidden). Kejadian-kejadian perubahan debitur dapat berulang tetapi tidak dapat dipastikan waktunya. Di-asumsikan bahwa faktor penyebab kejadian perubahan debitur tidak diamati se-cara langsung dan membentuk rantai markov. Untuk itu diperlukan suatu del yang dapat meminimalkan risiko kredit perbankan yakni menggunakan mo-del hidden markov, dimana proses yang tidak dapat diobservasi (hidden),dapat diobservasi melalui proses yang dapat diobservasi, dengan langkah-langkah pelak-sanaan (1) Menghitung peluang observasi dengan algoritma maju dan algoritma mundur(2)Menentukan keadaan yang tersembunyi (Hidden State) dengan algo-ritma viterbi, (3)Penaksiran Parameter HMM dengan Algoalgo-ritma Baum-Welch, dengan hasil yang diperoleh diharapkan dapat digunakan untuk meramalkan pe-rubahan debitur tersebut selanjutnya.
ABSTRACT
One of the factors contributing to the losses, the deadline / limit the payment by the debtor or the customer can not be achieved to the detriment of the bank. It is necessary for an approach to the debtor so that the banks can provide credit so as to minimmize the risk of bank credit, changes in the debtor can not be observed (hidden). Such events can be repeated debtor changes but uncertain time. It is assumed that the factors causing the change event the debtor is not observed directly and form a Markov chain. For that we need a model that can minimize the use of bank credit risk of hidden markov models, which The process that is not observable (hidden) can be observed through a process that can be observed, with the implementation of the measures (1) Calculate the chance observation with forward algorithma and backward algorithma (2) Determine the state of the hidden (Hidden State)with viterbi algorithma , (3) Parameter Estimation HMM with Baum-Welch algorithm , with the results expected to be used to predict subsequent changes in the debtor.
Keyword : Credit Bank, Procces Markov, Hidden Markov Models
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Persoalan pemrograman stokastik adalah suatu persoalan optimisasi dima-na beberapa parameter tidak diketahui dengan pasti, tapi dijelaskan oleh variabel acak (untuk persoalan satu periode) atau proses stokastik (untuk persoalan be-berapa periode). Dalam banyak kasus, tidak mungkin membentuk suatu model optimisasi yang terhubung rantai dengan fungsi distribusi kontiniu. Model para-meter yang tidak pasti harus didekati oleh fungsi distribusi diskrit dengan jumlah hasil skenario yang terbatas, atau dengan kata lain, skenario harus digenerasikan. Dalam beberapa tahun terakhir, persoalan optimisasi finansial banyak mena-rik perhatian karena cakupan penerapannya termasuk analisis pasar saham, pera-malan nilai tukar asing, prediksi bank yang gagal, risiko keuangan manajemen, resiko kredit bank, manajemen hubungan pelanggan, dan lainnya. Dalam peneli-tian ini dipilih persoalan resiko kredit bank.
2
bulkan risiko yang tinggi, meskipun masing-masing perbankan telah memilih sek-tor ekonomi apa yang akan diberikan kredit dan kemungkinan memiliki risiko default paling kecil, namun tetap saja hal itu belum dapat diminimalisasi karena ada beberapa faktor yang tidak dapat diteliti atau tersembunyi(hidden)
Faktor penyebab terjadinya kerugian bank dalam memberikan kredit adalah kegagalan debitur dalam melakukan pembayaran yang tidak dapat diperkirakan atau karena debitur tidak dapat memenuhi kewajibannya sesuai perjanjian. Un-tuk itu perlu dilakukan suatu metode pendekatan terhadap debitur unUn-tuk memi-nimalkan risiko kredit perbankan agar bank dapat memberikan kredit.
Dalam tesis ini, digunakan sebuah pendekatanhidden markov model (HMM) untuk meminimalkan risiko kredit perbankan. Pendekatan ini berlandaskan pada dua aspek, yang pertama, proses pembayaran kredit memiliki rangkaian sifat tran-sisi, (debitur dapat berubah sewaktu-waktu, melakukan pembayaran atau tidak melakukan pembayaran) yang membentuk sebuah state (status), yang masing-masing state ditandai dengan bentuk parameter yang berbeda. Kedua, peruba-han debitur dapat diidentifikasi dengan mempertimbangkan status (state) yang sesuai.
HMMditerapkan pada beberapa bidang,Pengenalan Suara, Rabiner(1989). Hidden Markov Model dalam Custering Sequence Protein Globin, Sri Mulyana (2008), Tinjauan HMM dan penerapanannya di sajikan dalam (Ephraim,2002). Gupta (2004) menerapkan HMM pada masalah multi sequence alignment, yaitu suatu masalah pengenalan dan pembandingan pola sequence protein.
Dalam penelitian ini dijelaskan langkah-langkah dalam meminimalkan risiko kredit perbankan, pertama menjelaskan pengertian risiko kredit bank dan persoa-lan-persoalan dari risiko kredit bank yang diakibatkan kegagalan debitur dalam melunasi hutang-hutangnya, kedua membuat model untuk meminimalkan risiko kredit bank dengan mengimplementasikanM odel Hidden M arkov (HM M)
1.2 Perumusan Masalah
per-3
bankan, debitur mengalami keterlambatan atau tidak dapat melunasi hutang dalam proses pembayaran kredit bank, yang memngakibatkan pihak bank menga-lami kerugian, sehingga diperlukan suatu model untuk meminimalkan kerugian pihak bank.
Adapun yang menjadi rumusan masalah dalam penelitian ini terkait de-ngan meminimalkan kerugian pihak bank dalam memberikan kreditnya kepada nasabah/debitur dengan menggunakan model hidden markov (HMM)
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengimplementasikan model hidden markov (HMM)untuk meminimalkan kerugian bank
1.4 Konstribusi
Penelitian ini diharapkan bermanfaat bagi penulis maupun pembaca untuk menam-bah literatur tentang penggunaan model hidden markov (HMM) dalam persoalan optimisasi finansial.
1.5 Metode Penelitian
Untuk merumuskan suatu model optimisasi finansial dengan hidden Markov Mo-del diperlukan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Menghitung peluang observasi dengan algoritma maju (the F orward Algo−
rithm)
εs(k) =P(Q1, Q2, ...Qs, Ys =k|γ)
dengan menyatakanεs(k) total peluang observasi yang berakhir padastate k
pada saatsdimanas= 1,2, Sjika diketahui suatu barisan observasi{Q1, Q2, ..., Qs}.
4
maka :
τs(k) =P(Qs−1, Qs−2, ..., Qs|Ys =k, γ)
3. Menentukan keadaan yang tersembunyi (hidden state)
θs(k) =maxY1,Y2,...,Ys−1P(Q1),Q2,...,Qs,Y1,Y2,...Ys−1,Ys=k|γ dan
µs(l) =argmaxk≤1≤C{θs−1(k)dkl}
Variabelθs(k) menyatakan probabilitas terbesar sepanjangk observasi
per-tama dan berakhir pada state k, sehingga θs(k) merupakan probabilitas
dari state yang paling optimal untuk barisan observasi secara parsial. Se-mentaraµs(l) menyimpanstatesebelumnya yang akan membentuk barisan
stateyang optimal.
4. Penaksiran parameter HMM dengan Algoritma Baum Welch. Algoritma Baum Welch juga dikenal sebagai algoritma maju-mundur dengan variabel maju dan mundurnya didefinisikan sebagai :
Kemudian didefinisikan sebuah variabel baruϑs(k, l) dimanaϑs(k, l) adalah
probabilitas proses berada pada state k pada waktu s dan berada pada
state l pada waktul bila diketahui barisan observasi dan model :
ϑs(k, l) =P(Ys =k, Ys+1 =k|Q, γ) (2)
Dengan menggunakan definisi peluang bersyarat dan aturan bayes, maka variabel ϑs(k, l) dapat dinyatakan sebagai
ϑs(k, l) =
εs(k)εk,lhl(Qs+1)τs+1(l)
P(Q|γ) (3)
Dengan diperoleh nilai ϑs(k, l) maka bisa dihitung peluang yang berada
5
Karena diketahui dari hasil sebelumnya βs(k) merupakan peluang proses
yang berada pada state k pada waktus, maka penaksiran parameterα :
α(k) =β1(i) (5)
sementara untuk penaksiran dkl adalah
dkl=
PS−1
s=1 ϑs(k, l)
Ps−1
s=1βs(k)
(6)
Penaksiran tersebut diperoleh dengan membagi jumlah transisi daristate k
ke state l dengan total seluruh transisi dari state k, begitu juga dengan penaksiran hk(l) yaitu :
hk(l) =
PS
s=0,Qs=kβs(l)
PS
s=1βs(l)
(7)
yang diperoleh dengan membagi jumlah stateyang menghasilkan observasi
BAB 2
KAJIAN PUSTAKA
Bank sebagai sebuah lembaga yang diberikan izin oleh otoritas perbankan memberikan kredit (Badan Sertifikasi Manajemen Risiko, 2007), tentunya tidak akan lepas dari risiko pada setiap aktivitas yang ada di dalamnya. Risiko sering-kali diasumsikan dengan suatu peluang untuk terjadinya hasil yang buruk (Badan Sertifikasi Manajemen Risiko, 2007). Risiko dapat didefinisikan sebagaivolatilitas outcome yang umumnya berupa nilai dari suatu aktiva atau hutang (Ghozali, 2007).
Sektor perbankan melakukan pembagian sektor industri dalam memberikan kreditnya, hal ini lebih dikenal sebagai portofolio kredit perbankan. Setiap bank berhak menentukan pemberian kredit yag akan diberikan pada sektor ekonomi tertentu sesuai dengan risiko yang telah dipertimbangkan oleh masing masing manajemen perbankan itu sendiri. Penyebaran portofolio kredit yang dilakukan hampir seluruh bank sampai saat ini masih tetap banyak menimbulkan risiko yang tinggi, meskipun masing-masing perbankan telah memilih sektor ekonomi apa yang akan diberikan kredit dan kemungkinan memiliki risiko kegagalan paling kecil, namun tetap saja hal itu belum dapat diminimalisasi.
Risiko kredit adalah risiko yang timbul sebagai akibat kegagalan pihak lawan memenuhi kewajibannya (Tampubolon, 2004). Risiko ini dapat timbul karena kinerja satu atau lebih debitur yang buruk. Kinerja debitur yang buruk ini dapat berupa ketidak mampuan debitur untuk memenuhi sebagian atau selu-ruh isi perjanjian kredit yang telah disepakati bersama sebelumnya. Sementara itu definisi lain menjelaskan risiko kredit merupakan risiko yang timbul akibat tidak terpenuhinya kewajiban nasabah kredit untuk membayar angsuran pinja-man maupun bunga kredit yang berakibat hilangnya aset serta turunnya laba bank tersebut (Juli dkk, 2004). Risiko kredit merupakan kerugian yang dise-babkan terjadinyadef aultdari debitur atau karena terjadinya penurunan kualitas kredit debitur (Bessis Joel, 1998). Pada saat terjadinya penurunan kualitas
7
dit, meskipun belumdef ault, sudah mencerminkan adanya kenaikan risiko kredit, hal tersebut mencerminkan membesarnya peluang terjadi def aultakibat turunya kualitas kredit. Down dan Kevin (1999) mendefinisikan risiko kredit sebagai risiko meningkatnya kerugian akibat kegagalan nasabah memenuhi pembayaran pada waktu yang telah disepakati. Sementara Kountur (2006) mendefinisikan risiko adalah kemungkinan kejadian yang merugikan. Risiko akan menjadi besar apabila semakin banyak/kompleknya aktifitas yang dilakukan maka semakin besar risiko yang dihadapi. Namun risiko bank menurut Tampubolon (2004) adalah seba-gai kombinasi dari tingkat kemungkinan sebuah peristiwa terjadi disertai dampak dari peristiwa tersebut pada bank. Setiap kegiatan mengandung potensi sebuah peristiwa terjadi atau tidak terjadi, dengan dampak yang memberi peluang untuk untung atau mengancam sebuah kesuksesan.
Dari asumsi diatas debitur dapat menimbulkan risiko yang mengakibatkan pihak perbankan dapat mengalami kerugian, perubahan debitur tidak dapat diob-servasi (hidden) sehingga diperlukan suatu model yang dapat mengobservasi debi-tur melalui state yang dapat diobservasi yaitu dengan menggunakanmodel hidden markov (HM M). M odel hidden markov (HM M) menggabungkan dua atau lebih rantai markov dengan hanya satu rantai yang terdiri dari state yang dapat diobservasi dan rantai lainnya membentuk state yang tidak dapat di observasi (hidden) yang mempengaruhi hasil dari state yang dapat diobservasi
HMM didefinisikan sebagai 5 pasangan dimana masing-masing anggota bisa berupa himpunan atau ukuran sebagai berikut :
1. Banyaknya elemen keadaan yang tersembunyi (hidden state) terhadap mo-del yang dinotasikan dengan C.
2. Matrik peluang transisi D = {dkl} dimana dkl adalah elemen dari D yang
merupakan peluang bersyarat dari keadaan pada s + 1 , jika diketahui keadaan Y pada saats, ataudkl =P(Ys+1 =l|Ys=k) dimana 1≤k, l≤C.
Karena ituD berukuran CxC. Hal yang perlu jadi catatan adalah dkl ≥ 0
untuk setiap dan untuk setiap 1≤k, l ≤ C dan PC
8
3. Banyaknya elemen keadaan yang terobservasi B. B biasanya tetap, dan ditentukan oleh peneliti.
4. Distribusi peluang observasi pada saat s, pada keadaan k, yang dikenal dengan matriks emisiH ={hk(r)} dimana :
hrk=hk(r) =P(Qs =r|Ys =k),1≤k ≤c,1≤r ≤B (1)
radalah observasi pada waktu ke-sbernilair, jadi H adalah matriks beruku-ran CxB, dan seperti pada matriks transisi D, jumlah elemen setiap baris adalah 1.
5. Keadaan awal
α(k) =P(Y1 =k)1≤k ≤C (2)
Dari nilai 5 urutan (C, B, D, H, λ) terdapat tiga komponen yang merupakan ukuran probabilitas yaitu D, H, λ, sehingga HMM dikenal dengan notasi
BAB 3
LANDASAN TEORI
Pada bab ini dijelaskan beberapa teori dasar mengenai risiko kredit yang menyebabkan perbankan mengalami kerugian, pada persoalan ini ditandai dengan parameter-parameter yang dapat diobservasi melalalui proses markov. Model yang dapat membantu pihak perbankan dalam mengukur besarnya nilai (value) yang memiliki risiko (at Risk), salah satunya model V aR (value at Risk).
3.1 Risiko Kredit Bank
10
1. Lending risk yaitu risiko akibat debitur atau nasabah tidak mampu melu-nasi fasilitas yang telah disediakan oleh bank. Baik fasilitas kredit langsung maupun tidak langsung (cashloanmaupunnoncashloan)
2. Counterparty Risk yaitu risiko yang timbul karena pasangan usaha tidak dapat melunasi kewajibannya, baik sebelum maupun pada tanggal kesepa-katan
3. Issuer Risk yaitu yang timbul karena penerbit suatu surat berharga tidak dapat melunasi sejumlah nilai surat berharga yang dimiliki bank
3.2 Proses Markov
Proses markov adalah suatu proses stokastik dengan sifat, jika keadaan un-tuk saat sekarang diketahui, peluang keadaan dari proses di satu langkah ke depan hanya dipengaruhi oleh keadaan proses disaat sekarang. Artinya, keadaan proses diwaktu-waktu lampau tidak mempengaruhi keadaan ke depan.
Rantai Markov mempunyai sifat sebagai berikut : Proses stokastik {Xt}
dikatakan mempunyai sifat markov jika P{Xt+1 = j|X0 =s0, X1 = s1, ..., st−1 = st−1, Xt−1, Xt = i} = P{Xt+1 = j|Xt = i} Untuk t = 0,1, ..., dan setiap urutan
i, j, S1, ..., St−1(Hillier dan Lieberman, 2008). Sifat Markov ini menyatakan bahwa
peluang bersyarat dari kejadian mendatang dengan kejadian masa lampau dan
state saat ini adalah independent terhadap kejadian di waktu lalu dan hanya tergantung pada keadaan saat ini (Hillier dan Lieberman, 2008).
Peluang bersyarat P = {Xt+1 = j|Xt = i} untuk rantai markov disebut
peluang transisi. Jika untuk setiap i dan j, P{Xt−1 = j|Xt = i} = P{X1 =
j|X0 =i}untukt= 1,2, maka peluang transisi (satu langkah) dikatakanstasioner. Oleh karena itu, peluang transisi stasioner menyiratkan bahwa peluang transisi tidak berubah seiring dengan waktu. Keberadaan peluang transisi stasioner (satu langkah) juga menyiratkan bahwa untuk tiap i, j, dan v , (v = 0,1,2, ...,)
P{Xt+v =j|Xt=i}=P{Xv =j|X0 =i} (1)
11
Untuk menyederhanakan notasi penulisan dengan peluang transisi stasioner, misal-kan:
Pij =P{Xt+1|Xt =i} (2)
Pij(v) =P{Xt+v|Xt=i} (3)
Oleh karena itu, peluang transisi v langkah Pij(v) hanyalah merupakan peluang bersyarat sehingga sistem akan berada pada statejtepat setelahvlangkah(satuan waktu), jika sistem tersebut bermula pada state i pada waktu t kapanpun. Oleh karena Pij(v) adalah peluang bersyarat, peluang tersebut harus nonnegatif, dan oleh karena prosesnya harus membuat perubahan ke state lain maka peluang tersebut harus memenuhi sifat Pij(v) > 0, untuk semuai dan j ; v = 0,1,2, . Dan
Pl
j=0P (v)
ij = 1 untuk semuai;v = 0,1,2, .danj = 0,1,2, l(Hillier dan Lieberman,
2008). Bentuk matriks (matriks peluang transisi v-langkah) untuk menunjukkan semua peluang transisi :
12
pun mesti memperhatikan periode likuidisasi dari aset berisiko dari proses-proses berisiko yang terhitung gagal (khun dan Neu, 2003)
V alue at Risk (V aR) sekarang ini menjadi alat standar dalam mengelola risiko pada bank dan institusi keuangan lainnya. Hal ini diartikan sebagai kerugian untuk suatu tingkat kepercayaan yang di berikan. Untuk suatu tingkat kepercyaan
p = 99% , seorang percaya bahwa 99% pada akhir risiko terpilih tidak akan terdapat lebih besar kerugian dari VaR. Dalam teori peluang, VaR adalah kuartil, secara umum (1−p)% kuartil dari keuntungan dan distribusi kerugian.
Pendekatan dalam menentukan VaR dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu pendekatan umum berdasarkan empirik (numeric) atau pendekatan parametric. VaR numeric, misalkan untuk menghitung VaR dari suatu portofolio, dapat digu-nakan distribusi empiris yang didapatkan dari data observasi (misalnya dari data historis). Dengan mendefinisikan Po = investasi awal, dan Q = rate of return
terendah dengan espektasi (harapan) =τ dan volatilitasπ sertaP1 = nilai
teren-dah pada tingkat kepercayaan R, maka VaR dapat didefinisikan sebagai kerugian relatif terhadap mean :V aR=M(P)−P1 =P0(τ−Q1) VaR juga dapat didefini-sikan sebagai VaR absolute yaituV aR=P0−P1 = P0Q1 baik dalam VaR relatif atau absolute, menentukan VaR ekuivalen dengan mengidentifikasi nilai minimum
P1 atau cut of f return. Dalam bentuk umum, VaR dapat dihitung dari fungsi
densitas probabilitas dari nilai portofolio yang akan datang R(p). apabila P1 = nilai portofolio terendah pada tingkat kepercayaan B, makaP1 dicari sedemikian hingga probabilitas melebihi nilai tingkat kepercayaan B : B =R∞
P1R(p)dp atau
probabilitas suatu nilai kecil dariP1, P= probabilitas P ≤ P1, adalah 1−B :
atau 1−B =RP∗
−∞R(p)dp=P dengan kata lain, area dari −∞ sampaiP
1 harus
sejumlah P = 1−B, misal 1 bilangan P1 disebut kuantil sampel dari distribusi tersebut. Jadi untuk memperolehP1 tidak digunakan standar deviasi. Kita dapat menurunkan VaR pada tingkat 95%.
13
dengan vaktor pengaliλyang tergantung dari tingkat kepercayaan yang diperoleh dengan melihat tabel distribusi normal. Pada penetapan VaR dengan pendekatan parametrik,R(P) diubah kedalam bentuk distribusi normal standar γ(υ) dengan
υ yang memiliki mean nol dan standar deviasi 1. P1 diperoleh dari cut return Q1
dengan menggunakan persamaan P1 = P0(1 +Q1), Q1 dapat dihitung dengan −λ:−λ= −|Qγ∗|−τ hal ini ekuivalen dengan 1−B =RP1
−∞f(p)dwdengan demikian mencari VaR sama dengan mencari nilaiλ.
3.4 Persoalan Pemilihan Fortopolio
Masalah pemilihan portofolio dapat dijelaskan. Pada saat ini terdapat se-jumlah modal yang di investasikan dalam serangkainn yang tersedia. Keputusan-keputusan dibutuhkan pada proporsi modal yang di investasikan pada setiap aset, sehingga pada periode akhir investasi pendapatan dapat diraih sebesar mungkin. Setiap aset j di dalam (1, ..., n) memberikan suatu nilai (Rj) pada akhir periode
investasi. (Rj) adalah variabel acak (karena aset di masa akan datang tidak
dike-tahui), yang distribusinya didekati melalui pergerakan skenario distribusi diskrit dengan hasil yang terbatas. Misalkan (Xj) adalah suatu proporsi modal yang di
investasi dalam asetj(xjwj|w) dimanawjadalah modal yang diinvestasikan dalam
asetj danwadalah jumlah keseluruhan modal yang diinvestasikan. Dan misalkan
x= (x1, ..., xn) , maka dari itu untuk mengambil keputusanx= (x1, ..., xn)
BAB 4
HIDDEN MARKOV MODEL
Pada bab ini akan dipaparkan penggunaan model hidden markov (HMM) untuk meminimalkan kerugian bank yang diakibatkan debitur atau nasabah yang mengalami keterlambatan atau kegagalan dalam meyelesaikan perjanjian kredit yang telah disepakati bersama sebelumnya.
4.1 Model Matematika untuk Persoalan Optimisasi Finansial
Hidden Markov Model (HMM) adalah suatu proses stokastik ganda dimana salah satu prosesnya tidak dapat diobservasi (hidden). Proses yang tidak dapat diobservasi ini hanya dapat diobservasi melalui proses yang dapat diobservasi. Jika
Y ={Y1, Y2, ...Yn} adalah sebuah proses markov, dan Y ={Q1, Q2, ...Qn} adalah
sebuah fungsi dari Y . Maka Y adalah sebuah HMM yang dapat diobservasi melalui Q , atau dapat ditulis Q = f(Y) untuk suatu fungsi f . Parameter
Y menyatakan proses state yang tersembunyi (hidden), sementara parameter Q
menyatakan proses observasi yang dapat diobservasi.
HMM didefinisikan sebagai 5 pasangan dimana masing-masing anggota bisa berupa himpunan atau ukuran sebagai berikut :
1. Banyaknya elemen keadaan yang tersembunyi (hidden state) terhadap mo-del yang dinotasikan dengan C.
2. Matrik peluang transisi D = {dkl} dimana dkl adalah elemen dari D yang
merupakan peluang bersyarat dari keadaan pada s + 1 , jika diketahui keadaan Y pada saats, ataudkl =P(Ys+1 =l|Ys=k) dimana 1≤k, l≤C.
Karena ituD berukuran CxC. Hal yang perlu jadi catatan adalah dkl ≥ 0
untuk setiap dan untuk setiap 1≤k, l ≤ C dan PC
k=1dij = 1 untuk setiap
≤i≥C . Artinya jumlah elemen masing-masing baris adalah 1.
3. Banyaknya elemen keadaan yang terobservasi B. B biasanya tetap, dan ditentukan oleh peneliti.
15
4. Distribusi peluang observasi pada saat s, pada keadaan k, yang dikenal dengan matriks emisiH ={hk(r)} dimana :
hrk=hk(r) =P(Qs =r|Ys =k),1≤k ≤c,1≤r ≤B (1)
radalah observasi pada waktu ke-sbernilair, jadi H adalah matriks beruku-ran CxB, dan seperti pada matriks transisi D, jumlah elemen setiap baris adalah 1.
5. Keadaan awal
α(k) =P(Y1 =k)1≤k ≤C (2)
Dari nilai 5 urutan (C, B, D, H, λ) terdapat tiga komponen yang merupakan ukuran probabilitas yaituD, H, λ dan , sehingga HMM dikenal dengan no-tasi θ = (A, B, λ) dengan D berukuran CxC dan B berukuran CXB
4.2 Asumsi pada HMM
ada tiga asumsi pokok yang dibutuhkan dalam analisis HMM
1. Asumsi markov
Asumsi ini menyatakan bahwa keadaan berikutnya hanya dipengaruhi oleh keadaan saat ini.
2. Asumsi stasioneritas
Asumsi ini menyatakan bahwa peluang transisi dari suatu keadaan lainnya independen dengan waktu saat transisi itu terjadi, sehingga untuk sem-barang s1 dan s2 berlaku :
P(Ys1+1 =l|Ys1 =k) = P(Ys2+1=k|Ys2 =l) =Pkl (3)
3. Asumsi independensi kebebasan
Jika diketahui suatu barisan observasi Q=Q1, Q2, ..., Qsdan suatu barisan
keadaan Y = Y1, Y2, ..., Ys maka pengmatan saat ini bersifat independen
dengan pengamatan sebelumnya. Atau dapat dibuat
P(Q|Y, α) =
S
\
16
4.3 Persoalan dalam HMM
4.3.1 Menghitung peluang observasi
Bila diketahui sebuah model γ = (D, H, α) dan sebuah barisan observasi
Q=Q1, Q2, ..., Qt , kemudian akan di hitung P(Q|Y, γ) dapat ditulis sebagai :
P(Q|γ) =X
Y
P(Q|Y, γP(Y|γ) (5)
dimana Y = (Y1, Y2, ..., Ys) adalah suatu barisan, P(Q|Y, γ) adalah probabilitas
barisan observasi Quntuk suatu barisan state Y. dan P(Y|γ) merupakan proba-bilitas dari Y bila diberikan sebuah model, karena pada HMM barisan observasi diasumsikan independen, sehingga : Untuk menghitung P(Q|γ) diperlukan 2S.CS kali operasi perhitungan. Dengan
CSadalah kemungkinanhidden stateyang terjadi jika barisan observasi sepanjang
S dan hidden state-nya sebanyak C . Sehingga meskipun untuk C dan S yang bernilai kecil, jumlah operasi perhitungan yang dibutuhkan akan sangat banyak. Untuk itu diperlukan algoritma yang lebih efisien dalam menyelesaikan masalah ini. Algoritma yang digunakan dalam penyelesaian masalah ini adalah algoritma maju (f orward algorithm) dan algoritma mundur (backward algorithm).
4.3.2 Menetukan barisan keadaan tersembunyi
17
state Y yang akan memaksimumkanP(Y|Q, β). Misal, didefinisikan β(k)dimana
β(k) = P(Ys = k|Q, γ) jika β(k) dijumlahkan terhadap k, karena Ys = k
meru-pakan partisi dariY maka menurut aturan bayes mengenai partisi, hasilnya men-jadi:
C
X
K=1
β(k) =P(Ys=k|Q, γ) = 1 (8)
dapat dinyatakan bahwa state yang paling optimal untuk masing-masing s bisa diperoleh dari
Ys =arg max1≤k≥Cβ(k) (9)
Dengan demikian akan diperoleh barisan state yang paling optimal yaitu, terhadap suatu observasi yang diberikan. namun, pencarian barisan state yang paling optimal dengan cara tersebut akan berpeluang menimbulkan barisan yang tidak valid, karena tidak mempertimbangkan probabilitas transisi state. misalnya, apabila hasil dari perhitungan, sementara diketahui bahwa proses tidak mungkin berpindah dari state l ke state r, untuk menghindari masalah tersebut perlu di-gunakan suatu metode yang mempertimbangkan probabilitas transisi statepada proses pencarian barisan stateyang paling optimal. Metode yang digunakan un-tuk menyelesaikan masalah ini antara lain algorithma Viterbi.
4.3.3 Menaksir parameter-parameter HMM
permasalahan ketiga adalah masalah optimasi, permasalahan yang harus dipecahkan adalah mengestimasi model terbaik yang dapat menjelaskan suatu barisan observasi yang berkaitan dengan bagaimana menentukan estimasi pa-rameter HMM A, B dan π sehingga terbentuk model baru ˆλ( ˆA,B,ˆ πˆ) dimana
P(O|λˆ) ≥P(O|λ). untuk menyelesaikan permasalahan ini digunakan Algoritma Baum Welch.
4.4 Metode Penyelesaian Masalah-Masalah dalam HMM
18
ang bersyarat melalui sifat-sifat pada peluang. dengan menggunakan definisi pelu-ang bersyarat P(Q|γ) dapat dihitung :
di definisikan εs(k) sebagai variabel maju, dimana :
εs(k) =P(Q1, Q2, ...Qs, Ys =k|γ) (10)
Dengan menyatakanεs(k) total peluang observasi yang berakhir padastate kpada
saat s dimana s= 1,2, S jika diketahui suatu barisan observasi {Q1, Q2, ..., Qs}.
1. inisialisasi
εs(k) =α(k)hk(Q1) (11)
dimana 1≤k ≤CPersamaan tersebut diperoleh dari dafinisi variabel maju dengan cara mensubtitusikan dua defenisi parameter HMM yaitu α(k) =
P(Ys =k) dan hk(r) =P(Qs =r|Ys =k)
4.4.2 Menghitung peluang observasi dengan algoritma mundur
dalam algoritma mundur (Q1, Q2, ...Qs) pada persamaan (4.3.1)dirubah
ma-ka menjadi (Qs−1, Qs−2, ...Qt)sehingga :
τs(k) =P(Qs−1, Qs−2, ..., Qs|Ys =k, γ) (14)
adapaun tahap-tahap algoritma mundur :
1. Tahap inisialisasi
τs(k) = 1 (15)
19
4.4.3 Menentukan barisan keadaan tersembunyi dengan menggunakan algoritma viterbi
Algoritma viterbi digunakan dalam HMM untuk mencari barisan keadaan tersembunyi yang paling optimal dari suatu barisan observasi dengan mende-finisikanarg maxq{v}Yaitu argumen qyang bersesuaian dengan nilai maksimum
dari v. Algoritma viterbi memaksimalkan P(Y, Q) dan probabilitas bersyarat
P(Y|Q)
Algoritma viterbi didefinisikan
θs(k) =maxY1,Y2,...,Ys−1P(Q1),Q2,...,Qs,Y1,Y2,...Ys−1,Ys=k|γ (18)
dan
µs(l) =argmaxk≤1≤C{θs−1(k)dkl} (19)
Variabelθs(k) menyatakan probabilitas terbesar sepanjang k observasi
per-tama dan berakhir padastate k, sehinggaθs(k) merupakan probabilitas daristate
yang paling optimal untuk barisan observasi secara parsial. Sementara µs(l)
me-nyimpanstate sebelumnya yang akan membentuk barisan stateyang optimal. Adapun tahap-tahap algoritma viterbi
1. Tahap inisialisasi
20
4.4.4 Penaksiran parameter HMM dengan algoritma Baum-Welch Algoritma Baum Welch juga dikenal sebagai algoritma maju-mundur dengan variabel maju dan mundurnya didefinisikan sebagai :
Kemudian didefinisikan sebuah variabel baru ϑs(k, l) dimana ϑs(k, l) adalah
pro-babilitas proses berada pada state k pada waktus dan berada pada state l pada waktu l bila diketahui barisan observasi dan model :
ϑs(k, l) =P(Ys =k, Ys+1 =k|Q, γ) (25)
Dengan menggunakan definisi peluang bersyarat dan aturan bayes, maka variabel
ϑs(k, l) dapat dinyatakan sebagai
ϑs(k, l) =
εs(k)εk,lhl(Qs+1)τs+1(l)
P(Q|γ) (26)
Dengan diperoleh nilaiϑs(k, l) maka bisa dihitung peluang yang berada pada
state k pada waktus,βs(k) dengan menjumlahkanϑs(k, l) atas l
Karena diketahui dari hasil sebelumnya βs(k) merupakan peluang proses yang
berada pada state k pada waktus, maka penaksiran parameter α:
21
sementara untuk penaksiran dkl adalah
dkl=
PS−1
s=1 ϑs(k, l)
Ps−1
s=1βs(k)
(29)
Penaksiran tersebut diperoleh dengan membagi jumlah transisi dari state k ke
state l dengan total seluruh transisi dari state k, begitu juga dengan penaksiran
hk(l) yaitu :
hk(l) =
PS
s=0,Qs=kβs(l)
PS
s=1βs(l)
BAB 5
KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Telah diformulasikan sebuah model yang dapat digunakan untuk meneliti peruba-han debitur yang tidak dapat diobservasi hidden, sehingga dapat meminimalkan risiko kerugian bank dalam memberikan kredit kepada debitur. Model yang di-gunakan adalah Hidden Markov Model (HMM), dimana proses yang tidak dapat diobservasi (hidden) dapat diobservasi melalui proses yang dapat diobservasi, mo-del ini di formulasikan dengan cara :
1. Menghitung peluang observasi dengan algoritma maju dan mundur
εs(k) =P(Q1, Q2, ...Qs, Ys =k|γ)
τs(k) =P(Qs−1, Qs−2, ..., Qs|Ys =k, γ)
2. Menetukan keadaan yang tersembunyi (Hidden State), dengan algoritma viterbi
θs(k) =maxY1,Y2,...,Ys−1P(Q1),Q2,...,Qs,Y1,Y2,...Ys−1,Ys=k|γ dan
µs(l) =argmaxk≤1≤C{θs−1(k)dkl}
3. Penaksiran Parameter HMM dengan Algoritma Baum-Welch
dkl=
PS−1
s=1 ϑs(k, l)
Ps−1
s=1βs(k)
hk(l) =
PS
s=0,Qs=kβs(l)
PS
s=1βs(l)
DAFTAR PUSTAKA
Ali, Masyhud. (2006), Manajemen Risiko, Strategi Perbankan Dan Dunia Usa-ha MengUsa-hadapi Tantangan Globalisasi Bisnis, PT. Raja Grafindo Persada, Jakarta.
Azzouzi, M and Nabney. (1999).Modelling Financial Time Series with Switching State Space Models. Proceedings of the IEEE/IAFE 1999 Conference on Com-putational Intelligence for Financial Engineering, 240 249
Badan Sertifikasi Manajemen Risiko. (2007)
Bengio, y, Lauzon, dan Ducharme, r. (2001) Experiments on the Application of IOHMMs to Model Financial Returns Series. IEEE Transactions on Neural Networks 12(1), 113-123
Bessis, Joel. (1998), Risk Management in Banking. John Wiley dan Sons, New York.
Ephraim, Y. and Merhav, N. (2002)Hidden Markov Processes. IEEE Transactions on Information Theory 48(6), 1518- 1569.
Ghozali dan Imam, (2007). Manajemen Risiko Perbankan- Pendekatan Value at Risk. Badan Penerbit Universitas Diponegoro. Semarang
http://repositori.upi.edu/operator/ta.mtk.0706664-chater 3.
Hillier, F. S., and Lieberman, G. J. (2008). Introduction to Operation Research. Elex Media Komputindo, Jakarta, 2004
Kahar, Yuskar. (2009), Perhitungan value at risk pada institusi perbankan berdasarkan metode Variance Covariance.
Kountur, Ronny. (2006), Manajemen Resiko. Abdi Tandur, Jakarta
Khn, R. dan Neu, P. (2003).Functional Correlation Approach to Operational Risk in Banking
Messina, E. and Toscani (2007). Hidden Markov Models for Scenario Generation, IMA Journal of Management Maths Advance Access published online on October 8, 2007
Mulyana, Sri (2008) Penerapan Hidden Markov Model dalam clustering Sequence Protein Globin
abiner, L. R. (1989)A tutorial on Hidden Markov Models and selected applications in speech recognition. Proc. of the IEEE 77(2), 257286.
Firdaus, Rahmad dan Maya ariyanti, (2009). manajemen perkreditan bank Umum teori, masalah kebijakan dan aplikasinya, Bandung: Alfabet
dis-24
Sartono, R.Agus dan Sri Zulaihati, (1998).Rasionalitas Investor Terhadap Pemili-han Saham dan Penentuan Portorfolio Optimal Dengan Model Indeks Tung-gal di BEJ, Kelola No. 17/VII
Shi, S. dan Weigend, A. S. (1997) Taking Time Seriously: Hidden Markov Experts Applied to Financial Engineering. Proc. of the IEEE/IAFE 1997 Conference on Computational Intelligence for Financial Engineering, 244-252
Suhardjono, (2003).Manajemen Perkreditan Usaha Kecil dan Menengah. Jakarta : UPP AMP YKPN Ikut Mencerdaskan Bangsa
Tampubolon, Robert. (2004), Manajemen Resiko Pendekatan Kualitatif untuk Bank
