MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM
MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH
TESIS
Oleh
DEWI SURYANI HANUM NASUTION 117021014/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM
MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
DEWI SURYANI HANUM NASUTION 117021014/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH
Nama Mahasiswa : Dewi Suryani Hanum Nasution Nomor Pokok : 117021014
Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi, Dekan,
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada
Tanggal 5 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH
TESIS
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar magister di suatu perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan juga tidak dapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Medan, Penulis,
Dewi Suryani Hanum Nasution
ABSTRAK
Suatu graf kovariansi merupakan suatu graf tak berarah dengan adanya suatu dis-tribusi probabilitas multivariat pada vektor acak dimana tiap verteks menunjukkan komponen yang berbeda dari vektor acak. Model graf merupakan kerangka kerja yang digunakan untuk merepresentasikan suatu struktur saling bebas kondisional dengan distribusi dengan menggunakan graf G. Dalam penelitian ini dikaji esti-masi distribusi dalam menentukan dekomposisi matriks kovariansi pada model graf Gauss tak berarah yang berkaitan dengan invers kovariansi (matriks konsentrasi). Sehingga diperoleh estimasi dekomposisi kovariansi dengan kompleksitas komputasi yang lebih baik. Hasil penelitian menunjukkan diperolehnya korelasi antar kom-ponen yang berbeda dalam suatu vektor acak yang diberikan yang diperoleh dari hasil penaksiran dekomposisi kovariansi matriks.
ABSTRACT
A covariance graph is an undirected graph associated with a multivariate probability multivariate of a given random vektor where each vertex represents of the different components of the random vector. Graphical models are framework for representing and conditional independence structures within distributions using graph G. This research discusses distribution estimation in determining decomposable covariance matrix in an undirected Gauss graphical model related to sparsity of invers conva-rince (concentration matrix). It showed decomposable covariance estimation with lower computational complexity. The result showed the correlation each different components in a given random vector that determined from decomposition covari-ance matrix estimation.
Keyword: Conditional independence, Covariance decomposition, Gauss graphical model, Concentration graph.
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah kehadirat ALLAH SWT, penulis panjatkan atas limpa-han Rahmat dan KaruniaNya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menye-lesaikan tesis dengan judul: ”Matriks Kovariansi Dekomposisi Dalam Model Graf Gauss Tak Berarah”. Selawat dan salam kepada junjungan Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabat sekalian.
Tesis ini merupakan salah satu persyaratan penyelesaian studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Dr. Sutarman, M.Scselaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Universitas Su-matera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Mate-matika di Fakultas MateMate-matika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara sekaligus sebagai anggota komisi pembanding yang telah banyak memberikan bantuan dan dorongan dalam penulisan tesis ini hingga selesai.
pembimbing dalam penulisan tesis ini, atas saran dan bantuan dari beliau hingga penulisan ini dapat diselesaikan.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku anggota komisi pembimbing yang telah banyak memotivasi dan membimbing dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc sebagai anggota komisi pembanding yang telah banyak memberikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Seluruh staf pengajar di Program Studi Magister Matematika Fakultas Mate-matika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Siselaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Ucapan terima kasih yang tak terhingga dan penghargaan setinggi-tingginya penulis ucapkan kepada Ibunda tercinta Syamsuarti yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis. Selain itu, terima kasih juga kepada suami tercinta Banda Satria dan Ananda tersayang Suci Widana serta selu-ruh keluarga yang telah membantu, memberikan semangat dan dorongan kepada penulis hingga penulisan tesis ini selesai. Tak lupa juga penulis mengucapkan ter-imakasih kepada Kepala Sekolah dan seluruh guru SMP N 1 Karang Baru yang telah banyak membantu dan memberikan motivasi hingga penulisan ini selesai.
Seluruh sahabat serta rekan-rekan seperjuangan mahasiswa angkatan 2011 ganjil atas kebersamaan dan bantuan dalam mengatasi masalah selama perkuliahan berlangsung. Terima kasih juga kepada sahabat dan rekan-rekan lainnya yang tidak
dapat disebutkan satu persatu, yang telah membantu dan memberikan semangat untuk penulis hingga tesis ini selesai.
Akhir kata penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna. Un-tuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran unUn-tuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lainnya yang memerlukannya.
Medan, Juni 2013 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Penulis di lahirkan di Karang Baru Kabupaten Aceh Tamiang Pada tanggal 12 Oktober 1968 dan merupakan anak ke 3 dari 5 bersaudara, dari ayah Palitan Nasution dan ibu syamsuarni. Penulis menamatkan Sekolah dasar SD Negeri No 2 Karang Baru lulus tahun 1981. Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Karang Baru lulus tahun 1984. Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Kuala Simpang lulus Tahun 1987. Pada tahun 1988 penulis melanjutkan pendidikan diplo-ma III di Universitas Abulyatadiplo-ma Banda Aceh pada Fakultas Keguruan dan Il-mu pendidikan (FKIP) Jurusan Matematika dan lulus tahun 1982. Selanjutnya pada tahun 1994 penulis berkesempatan untuk diangkat menjadi pegawai negeri sipil yang bertugas di SMP N 1 Karang Baru Aceh Tamiang sampai sekarang. Penulis melanjutkan pendidikan sarjana di Universitas syiahkuala di Banda Aceh pendidikan Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan alam (MIPA) jurusan ma-tematika dan lulus pada tahun 1998. Pada tahun 2011 penulis berkesempatan untuk melanjutkan program Master pada program studi Magister Matematika di Universitas Sumatera Utara Medan.
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vii
DAFTAR ISI viii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI 4
2.1 Graf Tak Berarah 4
2.2 Distribusi Gauss 7
2.3 Model Graf Gauss Tak Berarah 15 2.4 Kovariansi Dekomposisi dalam Graf 16
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 18
3.1 Model Graf Gauss 18
3.2 Matriks Kovariansi Dekomposisi dalam Model Graf Gauss Tak
Berarah 21
BAB 4 HASIL PERHITUNGAN 25
4.2 Matriks Dimensim×n 26
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 28
5.1 Kesimpulan 28
5.2 Saran 28
DAFTAR PUSTAKA 29
ABSTRAK
Suatu graf kovariansi merupakan suatu graf tak berarah dengan adanya suatu dis-tribusi probabilitas multivariat pada vektor acak dimana tiap verteks menunjukkan komponen yang berbeda dari vektor acak. Model graf merupakan kerangka kerja yang digunakan untuk merepresentasikan suatu struktur saling bebas kondisional dengan distribusi dengan menggunakan graf G. Dalam penelitian ini dikaji esti-masi distribusi dalam menentukan dekomposisi matriks kovariansi pada model graf Gauss tak berarah yang berkaitan dengan invers kovariansi (matriks konsentrasi). Sehingga diperoleh estimasi dekomposisi kovariansi dengan kompleksitas komputasi yang lebih baik. Hasil penelitian menunjukkan diperolehnya korelasi antar kom-ponen yang berbeda dalam suatu vektor acak yang diberikan yang diperoleh dari hasil penaksiran dekomposisi kovariansi matriks.
ABSTRACT
A covariance graph is an undirected graph associated with a multivariate probability multivariate of a given random vektor where each vertex represents of the different components of the random vector. Graphical models are framework for representing and conditional independence structures within distributions using graph G. This research discusses distribution estimation in determining decomposable covariance matrix in an undirected Gauss graphical model related to sparsity of invers conva-rince (concentration matrix). It showed decomposable covariance estimation with lower computational complexity. The result showed the correlation each different components in a given random vector that determined from decomposition covari-ance matrix estimation.
Keyword: Conditional independence, Covariance decomposition, Gauss graphical model, Concentration graph.
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Model graf adalah suatu ruang lingkup kerja dalam memperoleh struktur in-dependen kondisional pada suatu distribusi menggunakan graf. Salah satu model graf yang digunakan adalah model graf tak berarah yang sering digunakan untuk mendeskripsikan suatu distribusi berdimensi besar. Penelitian yang berkaitan de-ngan model graf pada graf tak berarah salah satunya adalah menunjukkan struktur bebas kondisional dalam suatu distribusi multivariat dan teknik komputasi yang diimplementasikan dengan pemodelan graf dalam persoalan peningkatan komplek-sitas dan dimensi (Dobra et al., 2004).
2
Asumsikan terdapat suatu vektor acak y = (y1, . . . , yd) berdasarkan suatu
distribusi Gauss multivariatNd(µ,Σ). Andaikan K = Σ−1 yang menyatakan
ma-triks kovariansi dari vektor acak, maka mama-triksK merupakan matriks konsentrasi yang menyatakan korelasi parsial antara y1 dan y2. Pada dasarnya, estimasi dari
parameter deterministik dalam model graf Gauss merupakan estimasi kovarian-si dimana distribukovarian-si Gauss diperoleh dari hakovarian-sil penakkovarian-siran statistik kedua setelah penaksiran yang umum digunakan, yaitu estimasi maximum likelihood. Estimasi kovariansi dalam model graf Gauss melibatkan kovariansi yang tidak diketahui berdasarkan struktur saling bebas kondisional dalam distribusi Gauss.
Dekomposisi model graf juga merupakan suatu struktur khusus yang digu-nakan dalam menentukan penaksiran estimasi maximum likelihood (MLE). Pe-naksiran ini umumnya digunakan dalam menentukan matriks konsentrasi dan var-iansinya (lihat Kavcic dan Monra, 2000; Bickel dan Levina, 2008) sebagai struktur multiskala (lihat Choi dan Willsky, 2007).
Riset mengenai model graf pada graph tak berarah telah berkembang untuk memperoleh struktur bebas bersyarat dalam distribusi multivariat, dan mengalami kemajuan dengan adanya metode secara komputasi yang dikembangkan ke dalam model graf, khususnya dalam persoalan peningkatan dimensi dan kompleksitas. Hasil yang diperoleh dari estimasi kovariansi diantara dua variabel dalam suatu distribusi Gauss multivariat merupakan hasil jumlah bobot path untuk semua path yang menghubungkan kedua variabel pada suatu graf bebas tak berarah (Wiesel dan Hero, 2012). Dalam penelitian ini, estimasi dekomposisi matriks kovariansi dilakukan pada model graf Gauss tak berarah.
3
tak berarah sehingga diperoleh tingkat keterhubungan tiap verteks pada suatu graf Gauss dengan nilai kovariansi yang diperoleh.
1.2 Perumusan Masalah
Kovariansi dekomposisi dua variabel pada suatu distribusi multivariat Gauss merupakan total penjumlahan seluruh bobot path yang menghubungkan dua vari-abel pada suatu graf. Penelitian ini menentukan matriks kovariansi dekomposisi antara dua variabel acak dalam suatu distribusi multivariat Gauss yang direpre-sentasikan pada suatu model graf Gauss tak berarah. Melalui model graf gauss tak bearah dapat ditentukan determinan matriks dan invers matriks dalam menyele-saikan persoalan yang berkaitan dengan dekomposisi kovariansi dalam suatu graf.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah menentukan hasil penaksiran matriks determi-nan dan matriks invers dengan menentukan matriks kovariansi dekomposisi pada semua path antara dua variabel acak pada model graf gauss tak berarah
1.4 Manfaat Penelitian
BAB 2
KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI
Dalam beberapa tahun terakhir, model graph secara statistik telah diap-likasikan dengan baik pada aplikasi pengenalan suara, pengolahan citra (Willsky, 2002 dan Choi dan Willsky, 2007), jaringan sensor (Cetin et al., 2006), jaringan komputer (Wiesel dan Hero, 2009) dan aplikasi lainnya dalam bidang proses sinyal. Bab ini mengkaji beberapa teori dan definisi yang berkaitan dengan model graf dan estimasi kovariansi pada model graf Gauss. Dalam penelitian ini, Cowell et al. (1999) menjadi rujukan mengenai teori graf yang diaplikasikan ke dalam model graf. Suatu model graf tak berarah merupakan suatu himpunan pasangan beru-rut G = (V, E) dimana V = {1, . . . , p} merupakan suatu himpunan hingga pada verteks dan E sebagai himpunan edge, merupakan suatu subhimpunan pasangan tak berurutan verteks. Andaikan terdapat dua buah verteksi, j ∈V yang memben-tuk suatu edge, makaidan j adalah saling bertetanggaan dan dinotasikan sebagai (i, j)∈E, dengan edge merupakan pasangan tak berurutan maka (i, j) = (j, i).
2.1 Graf Tak Berarah
Suatu graf G merupakan suatu pasangan G= (V, E) yang terdiri dari suatu him-punan hingga V 6= ∅ dan suatu himpunan E yang terdiri dari dua elemen sub-himpunan V. Elemen diV disebut dengan verteks. Suatu elemen e={a, b} diE disebut edge. a dan b dikatakan incident dengan e dan a dan b adalah adjacent atau saling bertetanggaan satu sama lain sehingga dapat dinyatakan dengane=ab (Jungnickel, 2005).
5
Suatu graf tak berarah merupakan pasangan berurut G = (V, E) dengan V = {1, . . . , p} merupakan suatu himpunan hingga verteks-verteks di G dan E, himpunan edge diG, merupakan suatu subhimpunan pada pasangan tak berurutan verteks yang berbeda-beda. Jika dua verteks,i, j ∈V membentuk suatu edge pada pasangan tak berurutan, sehingga (i, j) = (j, i). Untuk dua graf dengan himpunan verteks, G = (V, E) dan G′ = (V′, E′), asumsikan bahwa G′ lebih besar dari G, maka G ⊆ G′, jika E′ ⊆ E′ dimana tidak terdapat inklusi dengan E ⊂ E′, maka G ⊂G′. Suatu subhimpunan C ⊆ V dengan semua verteks adalah mutual adjacentdisebut lengkap, dan jikaV adalah lengkap, maka dapat dikatakan bahwa G merupakan graf lengkap. Suatu graf tak berarah dapat diidentifikasi dengan clique pada himpunanC. Himpunan ¯E merupakan himpunan edge yang hilang di G, sehingga untuk suatu pasangan i, j ∈ V, (i, j) ∈ E¯ jika dan hanya jika i 6= j dan (i, j)6∈E. Suatu pathdengan panjang 1 >0 dari verteksv0 ke v1 merupakan
suatu barisanv0, v1, . . . , v1 pada verteks yang berbeda dengan (vk−1, vk)∈E untuk
semua k = 1, . . . , l. Subhimpunan U ⊆ V memisahkan I ⊆ V dari J ⊆ V jika untuk setiap i ∈ I dan j ∈ J semua path dari i ke j mempunyai sedikitnya satu verteks di U (Roverato dan Castelo, 2006). Malouche (2009) juga menambahkan, suatu graf tak berarah G = (V, E) terdiri dari dua himpunan V dan E, dengan V menunjukkan himpunan verteks graf dan E ⊆ (V ×V)\ {(u, u), u ∈ V} yang menunjukkan himpunan edge yaitu:
∀(u, v)∈E⇐⇒(v, u)∈E (2.1) untuk u, v ∈ V, sehingga dapat dituliskan sebagai u ∼ Gv dimana (u, v) ∈ E.
Maka udan v adalah saling bertetanggaan di G(Malouche, 2009).
Definisi 1 Suatu path yang menghubungkan dua verteks yang berbeda, udan v, di G merupakan suatu barisan verteks yang berbeda (u0, u1, . . . , un) dimana u0 = u
6
Dengan suatupathyang didenotasikan denganp=p(u, v, G) dimanap=p(u, v, G) menghubungkanudan vatau sebaliknya. Panjangpathdidenotasikan dengan|p= p(u, v, G)|yang didefinisikan sebagai jumlah edge yang menghubungkan verteks di p. Pada kasus ini |p =p(u, v, G)| =n, sehingga P(u, v, G) adalah himpunan path antara u dan v.
Definisi 2 Asumsikan G = (V, E) suatu graf tak berarah. Graf G dikatakan tree jika suatu pasangan verteks(u, v)diGterhubung paling sedikit oleh satu path, yaitu
|P(u, v, G)|= 1,∀u, v∈V.
Suatu subgrafGyang dibatasi oleh suatu subhimpunanU ⊆V yang didenotasikan oleh GU = (U, EU), U ⊆V dan EU =E∩(U ×U).
Definisi 3 Suatu komponen terhubung pada graf G merupakan subgraf terbesar GU = (U, EU) di G dimana tiap pasangan verteks dapat dihubungkan oleh paling
sedikit satu path di GU.
Definisi 4 Untuk suatu graf terhubung, suatu pemisah merupakan suatu subhim-punanS diV dimana terdapat suatu pasangan verteks non-adjacentudanvdengan u, v6∈S dan
∀p∈ P(u, v, G), p∩S 6=∅ (2.2)
7
Definisi 5 Pemisah S didefinisikan sebagai pemisah minimum antara dua verteks yang non-adjacent, u dan v, jika untuk setiap w∈S, subhimpunan S\ {w} bukan merupakan pemisah di u dan v.
Pada kasus ini, grafGmempunyai lebih dari dua komponen yang terhubung dan ji-kaudanvmerupakan bagian komponen yang terhubung dimana himpunan kosong adalah satu-satunya pemisah yang mungkin diudan v. AmbilA, BdanS sebagai pasangan subhimpunan disjoint diV. SehinggaS memisahkanAdanB jika untuk setiap pasangan verteks (u, v) ∈ A×B, tiap path yang menghubungkan u dan v yang merupakan himpunan bagian diS. Pada kasus dimana A dan B merupakan bagian komponenGdengan subhimpunan S dapat berupa himpunan kosong kare-na himpukare-nan pathantara tiap pasangan verteks (u, v)∈A×B adalah himpunan kosong (Malouche, 2009).
2.2 Distribusi Gauss
Penelitian ini menggunakan beberapa teori pada proses distribusi Gauss dalam perolehan model, sehingga digunakan suatu proses Gauss untuk mendeskripsikan suatu distribusi tertentu pada suatu fungsi. Asumsikan µ ∈ Rp merupakan suatu vektor dan Σ∈Rp×p sebagai matriks definit positif.
Definisi 6 Distribusi dengan fungsi densitas probabilitas
f(x) = p 1
(2π)pdet(Σ)exp
−1
2(x−µ)
TΣ−1(x−µ)
, x∈Rp
selanjutnya disebut sebagai distribusi normal Gauss atau multivariat dengan rata-rataµ dan matriks kovariansi Σ yang dinotasikan dengan Np(µ,Σ).
8
Definisi 7 Suatu proses Gauss merupakan suatu kumpulan dari beberapa variabel acak, untuk bilangan hingga yang mempunyai suatu distribusi joint Gauss.
Asumsikan terdapat suatu fungsi rata-ratam(x) dan fungsi kovariansik(x, x′) pada proses riilf(x) sebagai
m(x) =E[f(x)]
k(x, x′) = E[(f(x)−m(x))−(f(x′)−m(x′))]
(2.3)
dan proses Gauss dapat dinyatakan sebagai
f(x)∼ GP(m(x), k(x, x′)) (2.4) Ambil X sebagai himpunan input yang mungkin pada suatu proses Gauss. Di-gunakan notasi umum dalam enumerasi untuk mengidentifikasi variabel-variabel acak terhadap pasangan (xi, yi). Lebih sederhananya, proses Gauss dinyatakan
dengan (y1, y2)∼ N(µ,Σ) yang juga menjelaskan bahwa y1 ∼ N(µ1,Σ11) dimana
Σ11 merupakan submatriks relevan pada Σ. Ambil rata-rata dan kovariansi pada
proses Gauss berturut-turut
E[f(x)] =φ(x)TE[w] = 0 E[f(x)f(x′)] =φ(x)T
E[wwT]φ(x′) =φ(x)TΣpφ(x′)
(2.5)
Sehingga f(x) dan f(x′) merupakan joint Gauss dengan nilai rata-rata 0 dan ko-variasi yang diberikan, φ(x)TΣ
pφ(x′). Nilai fungsi f(x1), . . . , f(xn) dipasangkan
ke suatu bilangan pada input titik n yang merupakan joint Gauss, meskipun jika N < n, maka proses Gauss adalah proses Gauss singular. Fungsi kovariansi antara variabel-variabel acak yang ada dinyatakan dengan
cov (f(xp), f(xq)) =k(xp, xq) = exp(−
1
2|xp−xq|
2) (2.6)
sehingga, pada vektor Gauss diperoleh matriks kovariansi
9
dengan X∗ merupakan matriks kovariansi yang diperoleh dari Persamaan (2.5). Gauss multivariat (atau distribusi normal) mempunyai suatu densitas joint probabilitas yaitu
denganm merupakan vektor rata-rata (dengan panjang D) dan Σ merupakan ma-triks kovariasi yang simetrik dan definit positif dengan ukuran D ×D. Sehingga dapat dituliskan dengan x ∼ N(m,Σ). Asumsikan x dan y sebagai vektor acak joint Gauss,
maka distribusi marginal x dan distribusi kondisional x diberikan y, yaitu x ∼
N(µx, A) dengan ketentuan
x|y ∼ N(µx+CB−1(y−µy), A−CB−1CT)
x|y ∼ N(µx−A˜−1C˜(y−µy),A˜−1)
(2.10)
Malouche (2009) memberikan pandangan distribusi Gauss pada suatu model graf dengan memperhatikan konsentrasi Gauss. Asumsikan terdapat suatu ruang probabilitas dengan triplet (Ω,F,P) dan ambilX : Ω→R|V| sebagai suatu vektor acak dimana X = (Xv, v ∈ V)′ dan P menunjukkan ukuran P oleh X. Jika
X merupakan suatu distribusi Gauss, maka fungsi densitas dengan penaksiran Lebesgue dapat dinyatakan dengan
dan Σ = (σuv)∈ P+ merupakan matriks kovariansi denganP+ merupakan matriks
10
µ= 0 diperoleh dari matriks kovariansi Σ, dimana himpunan distribusi multivariat Gauss dapat diidentifikasi oleh himpunan matriks definit positif simetrik. Selan-jutnya, distribusi Gauss dapat diperoleh dari hasil invers matriks kovariansi Σ yang didenotasikan dengan K = Σ−1 = (k
uv). Matriks S disebut matriks konsentrasi
atau invers kovariansi dimana untuk tiap pasangan (Xu, Xv) denganu6=vberlaku
Xu ⊥Xv|XV\{u,v} ⇐⇒kuv = 0 (2.12)
sehingga, graf konsentrasiG = (V, E) dapat dinyatakan secara sederhana dengan suatu matriks konsentrasiK dan sesuai dengan aturan
(u, v)6∈E ⇐⇒kuv = 0 (2.13)
Zhou et al. (2011) telah menjelaskan bahwa dalam hal menentukan matriks konsentrasi terdapat suatu graf tak berarah yang dinotasikan oleh G = (V, E0).
Ambil suatu himpunan verteksV = (1, . . . , p) dan suatu himpunan edge tak ber-arah E0 ⊆ V ×V yang didefinisikan sebagai berikut. Terdapat suatu edge tak
berarah antara node i dan j, maka
θ0,ij 6= 0 ⇐⇒βij 6= 0 dan βji 6= 0
sehingga dapat diperoleh ketentuan tertentu yang menyatakan korelasi atau hu-bungan antar node pada suatu graf Gauss tak berarah. Malouche (2009) mem-berikan pandangan mengenai matriks kovariansi pada model graf sebagai berikut.
Proposisi 2.1 Asumsikan XV = (Xv, v ∈ V)′ merupakan suatu vektor acak
de-ngan distribusi probabilitasP berdasarkan sifat interseksi kovariansi dan asumsikan G0 = (V, E0) sebagai graf kovariansi yang dihubungkan dengan P. Maka,
pernya-taan berikut adalah ekuivalen
1. jika untuk tiap pasangan subhimpunan disjoint A, B dan S di V: jika V \
11
2. jika untuk tiap pasangan subhimpunan disjoint A, B dan S di V: jika S memisahkan A dan B di G0, maka XA ⊥XB|XV\(A∪B∪S).
Bukti Asumsikan bahwa Pernyataan 1 benar, sehingga akan dibuktikan Pernya-taan 2. Asumsikan A, Bdan S sebagai pasangan subhimpunan disjointV dimana S memisahkan A dan B di G0. Maka dapat ditulis S sebagai berikut
S =V \(V \(A∪B∪S))∪A∪B
Karena (V \(A ∪B ∪S))∪A∪B = V \S dan V \(V \S) = S. Asumsikan S′ = V \(A∪B ∪S) dan karena S = V \(S′∪A∪B), gunakan Pernyataan 1 ke triplet (A, B, S′). Sehingga, X
A ⊥ XB|XS′. Sehingga XA ⊥ XB|XV\(S∪A∪B)
karena S′:=V \(S∪A∪B).
Kemudian, asumsikan A, B dan S sebagai pasangan subhimpunan disjoint V dengan V \(S ∪A∪B) memisahkan A dan B di G0. Denotasikan oleh S′ =
V\(S∪A∪B) merupakan subhimpunan yang memisahkanAdanBdiG0. Sehingga
diperoleh
V \(A∪B∪S′) =V \((V \(A∪B∪S))∪A∪B) = S
Akibatnya, dapat disimpulkan bahwa V \(A∪B∪S) memisahkanA dan B diG0
dengan XA ⊥XB|XS.
Wiesel et al. (2010) memberikan pandangan mengenai model graf Gauss tak berarah,G= (V, E), yang terdiri atas himpunan node-nodeV ={1, . . . ,|V|}yang dihubungkan dengan edge tak berarahE ={(i1, j1), . . . ,(i|E|, j|E|)}dengan adanya
ketentuan bahwa tiap node terhubung ke node itu sendiri, (i, i)∈E dengan∀i∈V. Ambilx = [x1, . . . , xp]T yang merupakan suatu vektor acak rata-rata nol dengan
12
memiliki sifat Markov keG, sehingga xi dan xj adalah saling independen pada xr
untuk{i, j} 6∈E dan r ={V \i, j}yang dapat dinyatakan sebagai berikut.
p(xi, xj|xr) =p(xi|xr)p(xj|xr)
dan fungsi distribusi yang diperoleh dengan faktorisasi sebagai berikut
p(xi, xj|xr) =
p(xi, xr)p(xj, xr)
p(xr)
Dalam Gauss, hasil faktorisasi tersebut digunakan untuk memperoleh sparsity dalam matriks invers kovariansi atau matriks konsentrasi dengan distribusi Gauss multivariat yang dinyatakan sebagai berikut.
p(x;K) =c|K|12e −1
2 xT Kx
dimanac merupakan suatu konstanta dan K ≺0 merupakan matriks invers kova-riansi. Dengan distribusi marginal dan menggabungkan Gauss diperoleh
p(xr) =c′|Kr|
1 2e
−1 2 xTrKr xr¯
dimanac′ merupakan suatu konstanta dan matriks konsentrasi adalah ¯
Kr|= (|K−1|r,r)−1
Dari persamaan yang diperoleh diatas, diperoleh konsentrasi sebagai berikut
Kr|= [ ¯Kir]0+ [ ¯Kjr]0 −[ ¯Kr]0
|K|= |K¯ir||¯K¯jr| Kr
dengan ¯Kir, ¯Kjr dan ¯Kr adalan konsentrasi pada {xi, xr},{xj, xr} dan {xr}.
Se-hingga sifat model graf Gauss yang dinyatakan sebagai berikut
13
Zhou et al. (2011) menjelaskan suatu model Gauss multivariat yang dinya-takan sebagai
X = (X1, . . . , Xp)∼Np(0,Σ0) dengan Σ0,ii= 1
Notasikan matriks konsentrasi adalah Θ0 = Σ−01. Gunakan formula model regresi,
sehingga diperoleh
Xi = Σj6=iβjiXj+Vi(i= 1, . . . , p) dengan
Vi ∼N(0, σ2vi) yang saling bebas pada {Xj;j 6=i}(i= 1, . . . , p)
Sehingga diperoleh untuk masing-masing galat kovariansi dan matriks konsentrasi Θ0 = (θ0,ij) sebagai berikut
βji = −θ0,ij θ0,ii
; Var(Vi) = σ2vi=
1 θ0,ii
(i, j = 1, . . . , p)
Diperoleh koefisien regresi sebagai berikut
θ0,ij 6= 0 ⇐⇒βij 6= 0 dan βji 6= 0
dengan asumsi Var(Vi)=
1 θ0,ii
>0 dan Var(Vj)=
1 θ0,ij
>0. Ini dapat dihubungkan ke suatu graf tak berarah yang dinotasikan olehG = (V, E0). Ambil suatu himpunan
verteks V = (1, . . . , p) dan suatu himpunan edge tak berarah E0 ⊆ V ×V yang
didefinisikan sebagai berikut. Terdapat suatu edge tak berarah antara node i dan j, maka
θ0,ij 6= 0 ⇐⇒βij 6= 0 dan βji 6= 0
Højsgaard dan Lauritzen (2007) memberikan model graf Gauss yang diper-oleh dari distribusi pada suatu vektor multivariat acak Y = (Yα)α∈V dan
dis-tribusiNd(µ,Σ) dimana d=|V|, dimana dapat diasumsikan bahwa µ = 0. Ambil
14
konsentrasi dengan elemen (kαβ)α,β∈V. Sehingga diperoleh korelasi parsial antara
Yα dan Yβ pada seluruh variabel lainnya dapat dinyatakan sebagai
ραβ|V α,β = −
kαβ
p
kααkββ
Akibatnya, nilai kαβ = 0 jika dan hanya jika Yα dan Yβ kondisional independen
terhadap seluruh variabel lainnya. Suatu model graf Gauss diperoleh dari suatu graf tak berarahG= (V, E) denganV merupakan himpunan verteks yang menun-jukkan banyaknya variabel dan E menyatakan himpunan edge yang tak berarah. Graf menunjukkan suatu model dengan K adalah matriks positif berhingga dan mempunyai nilai kαβ = 0 dimana tidak terdapat edge diantara α dan β pada G.
Lauritzen (1996) memperkenalkan model graf Gauss pada suatu graf tak ber-arah G = (V, E) dengan himpunan verteks V = {1, . . . ,|V|} yang dihubungkan oleh edge tak berarahE ={(i1, j1), . . . ,(i|E|, j|E|)} dan andaikanx = [x1, . . . , xp]T
sebagai vektor rata-rata acak dengan panjangp =|V| dimana masing-masing ele-men diindekskan oleh verteks pada V.
Wiesel et al. (2010) mengembangkan model tersebut ke beberapa aplikasi pa-da pemrosesan sinyal. Model graf merupakan suatu struktur kondisional karakte-ristik dengan melibatkan suatu distribusi. Ambil suatu graf tak berarahG= (V, E) yang terdiri dari suatu himpunan verteks V ={1, . . . ,|V|} yang dihubungkan de-ngan edge tak berarahE ={(i1, j1), . . . ,(i|E|, j|E|)}. Ambilx= [x1, . . . , xp]T
seba-gai suatu vektor acak rata-rata 0 dengan panjang p=|V| dimana masing-masing elemen diindekskan oleh titik pada V. Sehingga ambil xi dan xj yang kondisional
independen pada xr untuk tiap {i, j} 6∈E dan r={V\i, j}. Maka,
p(xi, xj|xr) =p(xi|xr)p(xj|xr)
Sehingga diperoleh, dengan faktorisasi diperoleh distribusi gabungan yaitu p(xi, xj, xr) =
p(xi, xr)p(xj, xr)
15
Dalam aturan Gauss, faktorisasi ini penting dalam matriks konsentrasi (invers kovariansi). Distribusi multivariat Gauss dapat didefinisikan sebagai
p(x;K) =c|K|12e− 1 2x
TKx
dimana c adalah suatu konstanta dan K ≻ 0 merupakan matriks konsentrasi. Wiesel et al. (2010) memperoleh [K]i,j = 0,∀{i, j} 6∈ E. Hal ini menunjukkan
bahwa matriksK mempunyai pola sparsity yang menunjukkan topologi pada graf bebas.
2.3 Model Graf Gauss Tak Berarah
Asumsikan terdapat suatu distribusi Gauss multivariatX = (X1, X2, . . . , Xp)
dengan vektor rata-rata 0 dan kovariansi Σ, maka Θ = Σ−1 menunjukkan distribusi
kondisional pada masing-masingXj. Maka edge pada graf merupakan invers
kova-riansi Σ−1 dimana (Σ−1
ij ) = 0 antara verteksidan j. Akibatnya,Xi dan Xj adalah
saling bebas yang dapat dinyatakan sebagai berikut Xj|Xj ∼ N(Σi=6 jXiβij, σjj)
yang selanjutnya dapat dinotasikan sebagai X ∼ Nd(ξ,Σ). Ambil λ = ei atau
λ = ei+ej dimana ei menyatakan unit vektor dengan koordinat ke-i, sehingga ξ
merupakan suatu vektor mean dan Σ adalah matriks kovariansi yang dinyatakan masing-masing sebagai berikut.
Xi ∼ N(ξ, σii),Cov(Xi, Xj) =σij (2.14)
Koefisien regresi βij merupakan proporsional terhadap kovariansi parsialθij,
yang juga proporsional terhadap korelasi parsialρij =θij/(θiiθjj)1/2. Sehingga,
βij = 0 ⇐⇒θij = 0
16
untuk suatu grafG= (V, E), model graf Gauss didasarkan pada grafGmerupakan suatu himpunan distribusi peluang
N ={N(0,Σ),Σ∈PG}
PG ={Σ : Σ ∈P+,Σij = 0 jika (i, j)6∈E}
(2.15)
dengan P+ merupakan himpunan matriks positif definit dan PG merupakan
him-punan matriks positif definit dengan batas 0 pada graf G.
Berdasarkan pada penjelasan diatas, diperoleh model matriks pada distribusi Gauss multivariat yaitu X = (X1, . . . , Xp) ∼ N(0,Σ). Ambil Θ = Σ−1, maka
log-likelihoodadalahℓ(Θ) = log det Θ−tr(SΘ) denganSmerupakan matriks kovariansi pada suatu graf G.
2.4 Kovariansi Dekomposisi dalam Graf
Teorema 2.4.1 Andaikan terdapat distribusi multivariat n-dimensi dengan suatu matriks kovariansi hingga Σ dan matriks invers kovariansi Ω = Σ−1. Ambil Ω
untuk memperoleh suatu matriks incidence pada graf tak berarah dengan verteks (1, . . . , n), dengan elemen nonzero dalam Ω yang menyatakan edge. Elemen pada Σ merupakan kovariansi antara x dan y yang dapat dinyatakan sebagai hasil total jumlah bobot seluruh path pada graf antara x dan y yaitu
Σxy =
X
P∈Pxy
(−1)m+1ωp1p2ωp2p3. . . ωpm−1pm
det(Ω\p) det(Ω)
dengan Pxy menunjukkan himpunan path antara x dan y, sehingga p = x1 dan
pm =y untuk semua P ∈Pxy danΩ\P merupakan suatu matriks antara baris dan
17
Lemma 2.4.2 Andaikan A adalah matriks n×n nonsingular, maka
(i.)
dimanaA\j,\i merupakan matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris
j dan kolom i pada A.
(ii.) untuk suatu baris i
det(A) =
n
X
j=1
(−1)i+jaijdet(A\j,\i)
dengan menambahkan satu kolom padaA.
Karena Σ = Ω−1 adalah simetrik, sesuai dengan Lemma 1(i), maka diperoleh
σxy =
(−1)x+ydet(Ω\ x,\y)
det(Ω) (2.16)
Sehingga, untuk menentukan korelasi antar dua variabel acakx dan y pada suatu path dalam graf dapat ditentukan dengan
σxy =
1
det(Ω)(ωx1d(Ω, x1, xy) +· · ·+ωxnd(Ω, xn, xy)) (2.17) dimana d(Ω, xi, xy) bernilai -1 untuk semua path dengan memperhatikan nilai Ω dimana x menunjukkan baris dan kolom pertama dan y menunjukkan baris dan kolom ke-m. Akibatnya, (−1)x+ydet(Ω
\x,\y) mempunyai koefisien (−1)m+1.
Akibatnya, elemen pada matriks kovariansi Σ dapat dinyatakan sebagai kofaktor Ωij pada Ω sebagai berikut
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Model Graf Gauss
Dalam penelitian ini digunakan beberapa asumsi dalam menentukan dekom-posisi matriks kovariansi dalam model graf Gauss. Asumsikan X = XV p, Vp =
{1, . . . , p}adalah suatu vektor acak dengan distribusi normal multivariat dimensi-p, Np(0, K−1). Ambil suatu graf G = (Vp, E) dimana tiap verteks i ∈ V
di-pasangkan dengan suatu variabel acakXi dan E ⊂Vp×Vp yang merupakan suatu
edge tak berarah, dengan ketentuan (i, j)∈E jika dan hanya jika (j, i)∈E. Suatu model graf Gauss dengan graf saling bebas kondisionalGdiperoleh dengan adanya batasan pada elemen diagonal di K yang tidak dipasangkan dengan edge di G. Jika (i, h 6∈ E, Xi dan Xj adalan bebas kondisional pada variabel-variabel acak
yang diberikan. Matriks konsentrasi K = (Kij)1≤i,j≤p merupakan batasan ke
ma-triks definit positif simetrik dengan entri diagonalKij = 0 untuk semua (i, j)6∈E.
Gunakan distribusi G-Wishart, W isG(δ, D) dengan densitas
p(K|G, δ, D) = 1 IG(δ, D)
( det K)(δ−2)/2exp
−1
2(K, D)
(3.1)
didasarkan pada penaksiran Lebesgue diPG(lihat Roverato, 2002; Atay-Kayis dan
Massam, 2005 dan Letac dan Massam, 2007). JikaGmerupakan graf lengkap (E = Vp×Vp), makaW isG(δ, D) merupakan distribusi Wishart W isp(δ, D). Kemudian,
gunakan dekomposisi Cholesky pada matriks K dengan K ∈ PG adalah K =
QT(ψTψ)Q dimana Q = (Q
ij)1≤i≤j≤p dan ψ = (ψij)1≤i≤j≤p merupakan segitiga
atas dengan D−1 =QTQ yang merupakan dekomposisi Cholesky dariD−1.
19
mempunyai densitas pada Rd yaitu
f(x|ξ,Σ) = (2π)−d/2(det K)1/2e−(x−ξ)TK(x−ξ)/2 (3.5) dengan K = Σ−1 adalah matriks konsentrasi pada distribusi. Karena matriks
adalah definit positif jika dan hanya jika matriks bersifat invertible, maka dapat disimpulkan bahwa Σ merupakan matriks regular.
AndaikanX1, X2, . . . , Xn saling bebas danXi ∼ N(ξi, σ2i), maka bentuk
den-sitas joint dapat dinyatakan sebagai
Σ = diag (σi2) (3.6) dan
20
dengan ρ menyatakan korelasi antara X1 dan X2. Maka,
det (Σ) =σ21σ22(1−ρ2) = det (K)−1 (3.9) Maka, densitas pada distribusi menjadi
f(x|ξ,Σ) =
Estimasi dari matriks kovarians merupakan suatu persoalan dasar dari statis-tik multivariat yang berhubungan dengan bidang ilmu pemrosesan sinyal, matema-tika keuangan, pengenalan pola, geometri konveks komputasi. Ambil suatu sample pada n titik yang saling bebas X1, . . . , Xn dari distribusi dan bentuk dari sampel
dengan Σn merupakan suatu matriks acak. Maka dilakukan estimasi matriks
ko-varians Σ dengan tingkat akuransi ε= 0.01 dalam operasi norm:
||Σn−Σ|| ≤ε||Σ||
Asumsikan X = (X1, X2, . . . , Xn) dari suatu distribusi Gaussian multivariat
Nd(0,Σ) dengan Σ merupakan matriks reguler. Maka diperoleh fungsi likelihood
L(K) = (2π)−nd/2(det K)n/2e−Pnv=1(xv)Kxv/2
∝ (det K)n/2e−Pnv=1tr{Kxv(xv)T}/2
= (det K)n/2e−tr{KPnv=1xv(xv)T}/2
21
merupakan matriks hasil penjumlahan dan perkalian. Sehingga persamaan likeli-hood pada matriks Gaussian menjadi
E(−W/2) = −nΣ
3.2 Matriks Kovariansi Dekomposisi dalam Model Graf Gauss Tak Ber-arah
Diadopsi dari struktur sederhana pada kajian model komponen variansi dan persoalan deret waktu, Anderson (1973) memberikan definisi dari formula model kovariansi linier yang dinyatakan dengan
Σ =α1U1+· · ·+αqUq (3.12)
dimanaUi merupakan matriks-matriks yang simetrik dan αi merupakan suatu
pa-rameter yang tidak diketahui yang menjadi syarat sehingga matriks selalu definit positif. Persamaan (3.12) merupakan bentuk formula umum termasuk dalam per-soalan model kovariansi deret waktu, mixed-linear dan model graf. Lebih khusus, dimensi besar q untuk sebarang matriks kovariansi dapat dinyatakan dengan
Σ = (σij) =
dengan Uij adalah matriks berdimensip×p dengan elemen 1 di (i, j) dan elemen
22
Dalam penelitian ini diberikan asumsi sebagai berikut. Andaikan terdapat suatu matriksX berdimensim×ndengan X =XV p, Vp ={1, . . . , p} adalah suatu
vektor acak dengan distribusi normal multivariat dimensi-p, Np(0, K−1). Ambil
suatu graf G = (Vp, E) dimana tiap verteks i ∈ V dipasangkan dengan suatu
variabel acakXi danE ⊂ Vp×Vp yang merupakan suatu edge tak berarah, dengan
ketentuan (i, j) ∈ E jika dan hanya jika (j, i) ∈ E. Kemudian asumsikan x = [x1, . . . , xp]T sebagai vektor rata-rata (mean) dengan panjang p=|V|dimana tiap
elemen diindekskan ke verteks di V. Asumsikan Vektor x didasarkan pada sifat Markov di G, jika untuk tiap pasangan verteks nonadjacent di x adalah bebas kondisional dixr dengan xi dan xj untuk{i, j} 6∈E dan r ={V \i, j}dengan
p(xi, xj|xr) =p(xi|xr)p(xj|xr) (3.14)
Sehingga, dari hasil faktorisasi diperoleh distribusi joint yaitu p(xi, xj, xr) =
p(xi, xr)p(xj, xr)
p(xr)
(3.15)
Untuk tiap kolomn dan baris dapat ditentukan matriks variansi dengan beberapa langkah sebagai berikut:
1. Ubah matriks X menjadi matriks deviasi untukx dengan ketentuan x=X −11′X
2. Hitung x′x, hasil penjumlahan dan perkalian silang dimensik×k pada ma-triksx
23
dengan
1 : Vektor kolom dengan elemen 1 berdimensin×1 x : Matriks deviasi berdimensim×n
X : Matriks data berdimensim×n V : Matriks kovariansi berdimensin×n
x′x : Matriks hasil penjumlahan deviasi dan hasil perkalian n : Jumlah pengamatan pada matriksX
Asumsikan bahwa matriks kovariansiV = Σ yang merupakan definit positif, yaitu jika λTΣλ >0 untuk λ6= 0. Maka, distribusi mempunyai densitas pada Rd
f(x|ξ,Σ) = (2φ)−d/2(detK)1/2c−(x−ξ)TK(x−ξ)/2 (3.18)
denganK = Σ−1 merupakan matriks kovariansi yang didekomposisi sehingga
diper-oleh matriks invers kovariansi yang menyatakan matriks konsentrasi pada matriks X. Karena matriks dekomposisi yang diperoleh adalah definit positif, maka dapat disimpulkan bahwa Σ merupakan matriks regular.
Menurut Pourahmadi (2004), formulai sederhana dari dekomposisi matriks kovariansi adalah
Σi =DiRiDi (3.19)
dimanaDi = diag (√σ11, . . . ,√σipp) adalah suatu matriks diagonal dengan entri
tiap elemen matriks merupakan hasil akar kuadrat Σi dan Ri merupakan matriks
korelasi yang diperoleh. Karena entri diagonal di Di adalah nonnegatif, maka
matriks korelasiRi adalah definit positif.
24
m+s = n. Secara khusus, Σ12 = 0 jika dan hanya jikaX1 dan X2 adalah saling
bebas. Maka, untuk densitas kondisional dapat ditentukan dengan f(x1|x2)∝fξ,Σ(x1, x2)
∝exp{−(x1−ξ1)TK11(x1−ξ1)/2−(x1−ξ1)TK12(x2−ξ2)}
(3.20)
dan bentuk linierx1 mempunyai koefisien yaitu
K11ξ1−K12(x2−ξ2) =K11{ξ1−K11−1K12(x2−ξ2)} (3.21)
Gunakan matriks identitas, maka
K11−1 = Σ11−Σ12Σ−221Σ21
K11−1K12=−Σ12Σ−221
(3.22)
Dari Persamaan (3.21) dan (3.22), ambil suatu matriks dengan dimensi 2×2. Maka, diperoleh vektor nilai rata-rata (mean), matriks konsentrasi dan matriks kovariansi pada matriks dengan dimensin×n, berturut-turut
ξ =
sehingga, Σ11 =r×r dan seterusnya untuk masing-masing entri matriks Σij. Jika
Σ22 adalah reguler, maka ini berlaku untukX1|X2 =x2 ∼Nr(ξ1|2,Σ1|2) dimana
ξ1|2 =ξ1+ Σ12Σ22−1(x2−ξ2)
Σ1|2 = Σ11−Σ12Σ−221Σ21
(3.24)
Selanjutnya, matriks kovariansi yang diperoleh didekomposisi dalam menen-tukan parsial korelasi antar dua variabel acak dengan ketentuan
ρi,j = −
kij
p kii.kjj
BAB 4
HASIL PERHITUNGAN
4.1 Matriks Dimensim×m
Asumsikan terdapat suatu matriks A3×3, yaitu
A3×3 =
1 4 1 2 1 4 3 3 1
!
Sehingga, ditentukan matriks kovariansi dari matriksAdengan ketentuan Cov (A) = A−11′A. Maka
Karenan = 3, maka tiap entri elemen pada hasil perolehan akhir matriks kovariansi adalah
26
dan untuk masing-masing korelasi sebagai berikut
ρ12|3 =
4.2 Matriks Dimensim×n
Asumsikan terdapat suatu matriks A5×3, yaitu
A5×3 =
Sehingga, ditentukan matriks kovariansi dari matriksAdengan ketentuan Cov (A) = A−11′A. Maka
27
Selanjutnya, matriks kovariansi yang diperoleh didekomposisi dan diperoleh ma-triks invers yaitu
Inv (A) =
76.1 55.3 136.2 20.8 492.8 1322.1
−136.2 1322.1 7612.2 !
dan untuk masing-masing korelasi sebagai berikut
ρ12|3 =
55.3 p
(76.1)(492.8) = 55.3
193.65 = 0.285
ρ13|2 =
55.3 p
(76.1)(7612.2) =
55.3
761.109 = 0.072
ρ23|1 =
1322.1 p
(492.8)(7612.2) =
1322.1
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dalam tesis ini dikaji estimasi pada dekomposisi kovariansi pada graf Gauss tak berarah. Estimasi kovariansi dalam suatu distribusi Gauss merupakan per-soalan dasar dalam statistika. Model graf Gauss merupakan suatu metode yang dapat digunakan untuk merepresentasikan struktur saling bebas kondisional an-tar variabel yang berbeda pada suatu graf tertentu. Dalam tesis ini telah dikaji hasil estimasi kovariansi pada graf Gauss tak berarah dengan menggunakan fungsi likelihood dengan tujuan untuk memperoleh konsentrasi masing-masing variabel yang terdapat dalam suatu graf. Dalam hasil perhitungan digunakan asumsi bah-wa matriks adalah dapat didekomposisi dan dapat digunakan dalam menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan dekomposisi kovariansi dalam graf, seperti proses pengiriman sinyal, matriks konsentrasi dan lainnya.
5.2 Saran
Dekomposisi kovariansi dalam model graf Gauss tak berarah perlu dikem-bangkan sehingga dapat digunakan dalam menentukan korelasi dan matriks kon-sentrasi suatu graf, khususnya graf Gauss tak berarah. Dekomposisi kovariansi ini dapat digunakan dalam sistem pemrosesan sinyal di bidang statistika, jaringan komputer dan di bidang teknologi lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Atay-Kayis, A. and Massam, H. (2005). A Monte Carlo method for computing the marginal likelihood in nondecomposable gaussian graphical models, Biomet-rica, Vol.92, pp.317-335.
Cetin, M., Chen, L. Fisher, W., Ihler, A.T, Moses, R.L., Wainwright, M.J., dan Willsky, A.S. (2006). Distributed fusion in sensor networks: A graphical mo-dels perspective, IEEE Signal Process Mag., Vol.23, No.4, pp.42-55.
Choi, M.J. dan Willsky, A.S. (2007). Multiscale Gaussian graphical models and algo-rithms for large-scale inference, in Proc.IEEE/SP 14th Workshop Statistical Signal Process (SSP), pp.229-233.
Cowell, R.G., Dawid, A.P., Lauritzen, S.L. and Spiegelhalter, D.J. (1999). Proba-bilistic networks and expert systems, Springer-Verlag, New York.
Dempster, A.P. (1972). Covariance selection, in Biometrics, Vol.28, pp.157-175. Dobra, A., Hans, C., Jones, B., Nevins, J.R, Yao, G. and West, M. (2004). Sparse
graphical models for exploring gene expression data, Journal of Multivariate Analysis, special issue on Multivariate Methods in Genomic Data Analysis, Vol.90, pp. 196-212.
Drton, M., Sturmfels and Sullivant. (2009). Lecture on Algebraic Statistics, Ober-wolfach Seminars Series, Vol.39, Birkh¨auser, Basel.
Dougherty, E.R., Datta, A. dan Sima, C. (2005). Research issues in genomic signal processing,IEEE Signal Process Mag., Vol.22, No.6, pp.46-68.
Edwards, D. (2011). Lecture 3 - Graphical models, PhD Couse, Department of Genetics and Biotechnology, Aarhus University, Denmark.
Højsgaard, S. dan Lauritzen, S.L. (2007). Interference in graphical gaussian models with edge and vertex symmetries with the gRc Package for R , Journal of Statistical Software, Vol.23, No.6.
Jones, B. dan West, M. (2004). Covariance decomposition in multivariate analysis, Institute of Statistics and Decision Sciences, Duke University, Durham, North California, USA.
Jungnickel, D. (2005). Graphs, networks and algorithms, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Germany.
Krim, H. dan Vilberg, M. (1996). Two decades of array signal processing research: The parametric approach, IEEE Signal Process Mag., Vol.13, No.4 pp.67-94. Lauritzen, S.L.L. (1996). Graphical models, Oxford, UK: Oxford University Press. Letac, G. and Massam, H. (2007). Wishart distributions for decomposable graphs,
The Annals of Statistics, Vol.35, pp.1278-1323.
30
Roverato, A. (2002). Hyper inverse Wishart distribution for nondecomposable graphs and its applications to Bayesian inference for Gaussian graphical mo-dels,Scandinavian Journal of Statistics, Vol.29, pp.391-411.
Shental, O., Siegel, P.H., Wolf, J.K., Bickson,D. dan Dolev, D. (2008). Gaus-sian belief propagation solver for systems of linear equations, in Proc. IEEE Int.Symp.Inf.Theory (ISIT), pp.1863-1867.
Weiss, Y. dan Freeman, W.T. (2001). Correctness of belief propagation in Gaussian graphical models of arbitrary topology, Neural Computation, Vol.13, No.10, pp.2173-2200.
Wiesel, A. dan Hero III, A.O. (2009). Decomposable principal component analysis , IEEE Trans.Signal Process, Vol.57, No.11 pp.4369-4377.
Wiesel, A., Eldar, Y.C. dan Hero III, A.O. (2010). Covariance estimation in decom-posable Gaussian graphical models, IEEE Trans. on Signal Processing, Vol.58, No.3, pp.1482-1492.
Wiesel, A. dan Hero III, A.O. (2012). Distributed covariance estimation in gaussian graphical models , IEEE Trans. on Signal Processing, Vol.60, No.1, pp.211-220.
Willsky, A. (2002). Multiresolution Markov models for signal and image processing , Proc.IEEE, Vol.90, No.8, pp.1396-1458.
