METRIK EINSTEIN (
ANTI
-)
SELF
-
DUAL
BERDIMENSI
EMPAT DENGAN METODE CARTAN
AINOL YAQIN
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Metrik Einstein (Anti-) Self-Dual Berdimensi Empat dengan Metode Cartan adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
vii
ABSTRAK
AINOL YAQIN. Metrik Einstein (Anti-) Self-Dual Berdimensi Empat dengan Metode Cartan. Dibimbing oleh HUSIN ALATAS dan M. FAKHRUL ROZI ASHADI.
Persamaan medan gravitasi dapat dirumuskan dengan differential forms (differential geometry), yang menggambarkan gravitasi sebagai manifestasi kelengkungan ruang-waktu. Kelengkungan ruang-waktu tersebut dikarakterisasi oleh metrik yang memenuhi persamaan medan gravitasi. Dengan differential forms dapat dirumuskan persamaan (anti-) self-dual Einstein, yang merupakan modifikasi dari struktur Cartan dalam basis (anti-) self-dual. Dalam empat dimensi, metrik dapat dikelompokkan sebagai self-dual dan anti-self-dual. Perhitungan (anti-) self-dual dari sebuah metrik dapat dilakukan dengan metode tensor yang melibatkan simbol Christoffel. Tetapi, perhitungan metrik (anti-) self-dual dengan persamaan (anti-) self-dual Einstein lebih sederhana dari pada perhitungan dengan simbol Christoffel.
Kata kunci: (anti-) self-dual, differential forms, differential geometry, simbol Christoffel, struktur Cartan
ABSTRACT
AINOL YAQIN. (Anti-) Self-Dual Einstein Metric Four Dimention with Cartan Method. Supervised by HUSIN ALATAS and M. FAKHRUL ROZI ASHADI.
Gravitational field equation can be formulated in differential forms (differential geometry), which describes gravity as a manifestation of the curvature of space-time. Curvature of space-time is characterized by a metric that satisfies the gravitational field equation. With differential forms it can be formulated the (anti-) self-dual Einstein equation, which is a modification of the Cartan structure in (anti-) self-dual basis. Calculation of (anti-) self-dual metric with (anti-) self-dual Einstein equation is simpler than the calculation using Christoffel symbols.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Fisika
METRIK EINSTEIN (
ANTI
-)
SELF
-
DUAL
BERDIMENSI
EMPAT DENGAN METODE CARTAN
AINOL YAQIN
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Penelitian : Metrik Einstein (Anti-) Self-Dual Berdimensi Empat dengan Metode Cartan
Nama : Ainol Yaqin
NIM : G74080001
Disetujui oleh
Dr. Husin Alatas Pembimbing I
M. Fakhrul Rozi Ashadi, S.Si, M.Si Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr. Akhiruddin Maddu, M.Si Ketua Departemen
vii
PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayahnya, penulis dapat menyelesaikan usulan penelitian yang berjudul “Metrik Einstein (Anti-) Self-Dual Berdimensi Empat dengan Metode Cartan”. Hasil penelitian ini sebagai syarat untuk melakukan seminar hasil pada Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor. Dalam penulisan karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak, oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Dr. Husin Alatas dan M. Fakhrul Rozi Ashadi, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi
2. Ayah, ibu dan semua keluarga besar yang selalu memberikan doa, nasehat, semangat, motivasi dan kasih sayang kepada penulis
3. Bapak Moh. Nur indro, M.Sc dan Bapak Dr. Akhiruddin Maddu, M.Si sebagai dosen penguji, Bapak Hanedi Darmasetiawan, M.S selaku editor, beserta semua dosen dan staff Departemen Fisika IPB
4. Teman-teman fisika 45, 46, 47 yang membantu dan memberi semangat dan motivasi kepada penulis
Selanjutnya, penulis menyadari bahwa penelitian ini masih jauh dari sempurna, sehingga kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan .
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
DAFTAR ISI
Curvature 2-Forms dan Persamaan Medan Einstein 11
Hodge Dual 2-Forms dalam 4-dimensi 12
Metrik (Anti-) Self-Dual 4-dimensi dengan Differential Form 14
Metrik dan Simbol Christoffel 19
SIMPULAN DAN SARAN 20
Simpulan 20
Saran 20
vii
LAMPIRAN 22
DAFTAR TABEL
1 p-forms pada ℝ2 8
2 p-forms pada ℝ3 8
DAFTAR GAMBAR
1 Sebuah kurva parametrik 26
2 Sebuah kurva terdeformasi, dengan ujung P dan Q tetap 27
DAFTAR LAMPIRAN
AAturan Penjumlahan Einstein 23
B Manifold 24
C Persamaan Medan Gravitasi 30
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Sebelum teori relativitas umum (TRU) diperkenalkan oleh Einstein pada tahun 1915, mekanika Newton dan hukum gravitasi Newton digunakan untuk menganalisis orbit planet. Fenomena gerak benda-benda langit khususnya planet yang mengitari matahari menempuh lintasan elips. Gravitasi Newton berhasil menerangkan interaksi gravitasi antara benda-benda langit tersebut dengan kete-litian tinggi, tetapi hukum gravitasi Newton gagal menghitung gerak presisi planet Merkurius.1,2
Pada tahun 1915, Einstein3 mengemukakan idenya tentang gravitasi (teori relativitas umum). Ia mengemukakan saran yang cukup revolusioner bahwa gra-vitasi bukanlah seperti gaya-gaya yang lain, tetapi gragra-vitasi merupakan efek dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi dalam ruang-waktu tersebut. Tahun 1916, Einstein3 mempuplikasikan persamaan medan gravitasi yang disebut juga persamaan medan Einstein. Dalam TRU, waktu meru-pakan faktor yang juga harus diperhitungkan. Kelengkungan ruang-waktu tersebut dikarakterisasi oleh sebuah metrik yang memenuhi persamaan medan gravitasi. Persamaan medan tersebut dapat diperoleh dengan prinsip aksi, dengan melakukan variasi terhadap tensor Ricci dari simbol Christoffel yang diturunkan dari tensor metrik.4,5
Pada penelitian ini persamaan medan gravitasi akan dirumuskan kembali dengan metode Cartan atau disebut juga differential forms yang merupakan modern differential geometry. Dalam differential geometry, ruang-waktu diper-kenalkan sebagai suatu differentiable manifold berdimensi empat. Dalam dimensi empat, metrik dapat dikelompokkan menjadi metrik self-dual dan anti-self-dual. Metrik (anti-) self-dual diperoleh dari perhitungan tensor Weyl yang dapat dikelompokkan dalam bagian self-dual dan anti-self-dual. Tetapi, dalam penelitian ini, metrik (anti-) self-dual akan dihitung menggunakan struktur Cartan yang dinyatakan dalam basis-basis self-dual dan anti-self-dual.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk memperkenalkan aplikasi modern differential geometry dalam relativitas umum. Yaitu, menurunkan persamaan medan Einstein serta menghitung sebuah metrik berdimensi empat yang bersifat self-dual dan anti-self-dual.
Perumusan Masalah
2
Hipotesis
Metrik Einstein self-dual dan anti-self-dual dapat dirumuskan secara lebih sederhana dengan menggunakan differential forms dibandingkan perhitungan dengan simbol Christoffel.
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah perhitungan persamaan medan Einstein dan (anti-) self-dual dari sebuah metrik dengan differential forms. Penelitian ini dapat menambah perbendaharaan pengetahuan tentang differential geometry dan gravitasi sebagai kelengkungan ruang-waktu.
Ruang Lingkup Penelitian
Penelitian ini melingkupi perhitungan matematis menggunakan differential forms untuk memperoleh persamaan medan Einstein dan (anti-) self-dual Einstein serta perhitungan (anti-) self-dual dari sebuah metrik secara analitik. Metrik yang dihitung dikhususkan pada metrik yang merupakan (anti-) self-dual.
TINJAUAN PUSTAKA
Manifold
Sebuah manifold M secara lokal adalah ruang yang terlihat seperti ruang Euclidean. Artinya, manifold merupakan ruang topologi yang secara lokal dapat dipetakan satu-satu pada ruang euclidean.4 Secara formal, manifold didefinisikan segagai berikut.
Definisi 2.15 Sebuah manifold n-dimensi (M) memenuhi kondisi: (i) M merupakan ruang Hausdorff
(ii) untuk setiap pemetaan x dari sub-himpunan U⊂�M yang merupakan
disebut buka (open) jika setiap titik p di U terdapat sebuah bilangan positif sedemikian sehingga setiap titik u di ℝn dengan jarak dari p berada di U:
3 Jika ℝ dan ℝ , maka sebuah pemetaan : → disebut kontinu pada sebuah titik jika titik-titik di dekat p dipetakan ke titik-titik dekat ( ). Secara matematik dituliskan:
dan − < ( )− ( ) < . (2)
dengan , > 0. Kemudian disebut kontinu jika kontinu pada setiap titik di . Jika : → kontinu dan bijektif, serta −1: → juga kontinu maka disebut homeomorfisme, dan disebut homeomorfis. Dan fungsi f disebut differentiable manifold jika turunan ke-∞ ada ( ∞).5
Tangent dan Cotangent Space
Ditinjau sebuah titik di ℝ3 pada sebuah permukaan bola. Koordinat titik p dapat dinyatakan dengan vektor seperti persamaan (1) yang dinyatakan dalam basis-basis koordinat kartesian. Basis koordinat tersebut dapat didefinisikan seperti persamaan (4), dengan arah ∂/∂r , / , / � , saling tegak lurus. Dan basis ortonormal diberikan pada persamaan (5). 6
4
Definisi 2.24 Tangent space T(p)(M) adalah ruang vektor yang direntang (span)
oleh tangent vector (vektor tangensial) di p untuk semua kurva yang melewati .
Dalam aljabar linier sering dipelajari ruang yang merupakan pemetaan linier dari sebuah ruang vektor V. Ruang vektor hasil pemetaan tersebut disebut dual ruang vektor V yang dinotasikan V*. Pada ruang vektor V terdapat vektor-vektor v, sedangkan V* terdapat kovektor-kovektor ω.4
Definisi 2.34 Jika merupakan basis-basis sebuah ruang vektor V, maka � merupakan basis-basis V* sedemikian sehingga
� , = , (9)
Dengan menggunakan persamaan (9), duality antara sebuah vektor = dan 1-form � = � dapat dituliskan seperti persamaan (10). Dan kompo-nen dari vektor dan 1-form � dapat dituliskan dalam persamaan (11) dan (12).
�, =� = (10)
Pada bagian sebelumnya, telah dijelaskan bahwa terdapat pemetaan pada T(M) dan T*(M). Pemetaan V yang didefinisikan pada setiap p disebut medan vektor (vector field). Sedangkan pemetaan V* yang didefinisikan pada setiap p disebut medan kovektor atau disebut juga 1-form.
Dalam koordinat lokal, dapat dituliskan basis-basis =∂ ∂ untuk T(p)(M) dan � = untuk ∗ ( ). Sehingga medan vektor dan 1-form dapat
dituliskan seperti persamaan (13) yang memenuhi transformasi koordinat → ′ seperti persamaan (14) serta basis koordinat persamaan (15). Sehingga berlaku invarian yang dinyatakan dalam persamaan (6). Dari persamaan (16) diperoleh bentuk delta kronecker yang memenuhi transformasi koordinat, persamaan (17).4,6
= (13a) � = (13b)
′ = ′ (14a)
′ =
5
Tensor merupakan generalisasi dari skalar dan vektor. Jika terdapat tensor dengan dim(Q) = 1 maka q disebut vektor, dan jika dim(Q) = 0 maka q disebut skalar. Seperti yang dijelaskan sebelumnya, sebuah vektor secara umum dapat dituliskan dalam komponen vektor dan basis vektor seperti persamaan (7) dengan transformasi mengikuti persamaan (13a) dan persamaan (14a). Vektor dapat menggambarkan posisi atau koodinat sebuah titik. Dalam relativitas umum, terdapat dua jenis sistem koordinat, yaitu koordinat kovarian dan kontravarian. Untuk membedakan dua sistem koordinat ini, digunakan indeks atas untuk kontravarian dan indeks bawah untuk kovarian. Untuk sebuah vektor kovarian dan kontravarian berlaku transformasi:6
vektor kovarian ∶ ′ ( ) = ′
( ) (18a) vektor kontravarian ∶ ′ ( ) = ′ ( ) ( ) (18b) Dari tangent dan cotangent space, dapat dibentuk cartesian product seperti persamaan (19). Jika ditinjau suatu pemetaan multilinier ∶ → ℝ, persamaan (20) maka pemetaan multilinear T tersebut dinamakan tensor tipe ( , ) dengan p jumlah indeks atas dan q jumlah indeks bawah. Dengan menerapkan persamaan (18), pada tensor berlaku aturan transformasi seperti persamaan (21).
6
Operasi pada Tensor 1. Kontraksi
Jika T adalah tensor jenis ( + 1, + 1), sebuah tentor S jenis ( , ) dapat diperoleh dengan kontransi indeks atas pertama dan indeks bawah pertama:
…
… =
…
… (22)
Kontraksi juga dapat dilakukan pada urutan indeks yang lain. 2. Simetri dan Anti-simetri
Sebuah tensor jenis ( , ) disebut simetri jika memenuhi persamaan (23), dan disebut anti-simetri jika memenuhi persamaan (24).4,6
…
penjumlahan ganti tanda semua permutasi indeks
… dari … …
1 maka jenis tensor W haruslah 0 2 . Tensor Metrik
Tensor metrik digunakan untuk menggambarkan jarak ds antara dua titik yang berdekatan (Lampiran B). Jika diberikan metrik:
7 Secara umum, g simetri:
g = g (27) Tensor metrik dapat digunakan untuk menaikkan atau menurunkan indeks:
= g (28a) = g (28b) dengan g adalah tensor metrik kontravarian.9,11
Curvature Tensor : Tensor Riemann
Pada Lampiran B, tensor Riemann telah diturunkan dengan parallel transport seperti persamaan (29), dengan Г adalah koefisien koneksi atau
Tensor Ricci diperoleh dengan kontraksi indeks pertama dan ketiga pada tensor Riemann seperti persamaan (31a), dan skalar Ricci didefinisikan dalam persamaan (31b). Jika tensor Riemann nol, maka permukaan yang digambarkan datar (flat). Jika tensor Riemann nol, maka tensor Ricci nol yang mengakibatkan skalar Ricci juga nol. Tetapi penyataan tersebut tidak berlaku sebaliknya.1,6,7
= (31a) = g (31b) Tensor Weyl
Tensor Weyl merupakan salah tensor fundamental yang juga dapat menggambarkan ruang-waktu akibat medan gravitasi. Tensor Weyl dalam n-dimensi didefinisikan dalam persamaan (32), dengan > 3. Pada tensor Weyl berlaku kesimetrian seperti tensor Riemann, persamaan (33).9
= − 1
−2 − − +
8 matematika, seperti: cross-product , divergensi dan curl, orientasi arah manifold dan integrasi manifold, Teorema Stokes dan Gauss, serta syarat integrasi dari sistem persamaan diferensial parsial.10
Exterior Product dan Hodge Duality
Dari penjelasan sebelumnya, 1-form merupakan dual dari vektor. Dan 2-forms dapat didefinisikan dari perkalian anti-simetri seperti persamaan (35). Perkalian anti-simetri ini sering disebut wedge product atau exterior product. Jika diperhatikan, 1-form merupakan diferensial elemen garis sedangkan 2-forms merupakan diferensial dari elemen luas. Dengan analogi yang sama 3-forms merupakan diferensial elemen volume. Beberapa p-forms di ℝ2 dan ℝ3 dirangkum dalam Tabel 1 dan Tabel 2.6
∧ = ⊗ − ⊗ (34)
9 dirumuskan seperti persamaan (36) atau persamaan (37).4,6,10
∗ −forms = − −forms (35)
Operator Hodge star diterapkan pada basis-basis forms untuk n = 2,
∗1 =
2! ∧ = ∧ ∗ ∧ = 011 = 1
∗ = 0 = 0 = ∗ = − .
Jika kita gunakan operator Hodge star sekali lagi, maka ∗∗1 = 1 ∗∗ ∧ = ∧ Duality sebuah tensor diperoleh dengan menerapkan operator Hodge star,
10
persamaan (40) maka exterior derivative dari p-forms tersebut menghasilkan persamaan (41). 4,6,10
�= 1⋯ 1 ∧ ⋯ ∧ (40)
�= 1⋯ ( ) ∧ 1∧ ⋯ ∧ (41)
Operator exterior derivative memenuhi sifat:
(i) memetakan 1-form menjadi 2-forms, 2-forms menjadi 3-forms dsb. (ii) Poincare lemma 2�= � = 0
(iii)jika � sebuah p-forms dan � sebuah q-forms berlaku:
� ∧ � = � ∧ �+ (−1) � ∧ � (42)
Struktur Cartan
Struktur Cartan pertama dan kedua, dirumuskan dalam persamaan (43). Notasi merupakan koneksi 1-form dan merupakan curvature 2-forms.4,6,10
� = − ∧ � , (43a) = − , (43b)
= � +� ∧ � (43c)
METODE
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Februari 2012 sampai bulan Februari 2013. Tempat penelitian dilakukan di laboratorium Fisika Teori dan Komputasi, Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor (IPB).
Bahan dan Alat Penelitian
11 Metode Penelitian
Studi Pustaka
Pada penelitian ini studi pustaka dilakukan untuk memahami prinsip aksi, differential forms, serta mengnalisis persamaan Medan Einstein/manifold Einstein.
Penurunan Persamaan Medan Einstein
Proses ini dilakukan untuk membandingkan penurunan persamaan medan Einstein dengan koneksi Levi-Civita dan differential forms.
Perhitungan Metrik (Anti-) Self-Dual
Proses ini dilakukan untuk membandingkan perhitungan metrik (anti-) self-dual dengan simbol Christoffel dan differential forms.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Curvature 2-Forms dan Penurunan Persamaan Medan Einstein
Pada Lampiran C, persamaan medan Einstein diturunkan dengan kalkulus variasi. Persamaan medan tersebut dapat diperoleh dengan cara berbeda yang akan dihahas berikut ini. Dari struktur Cartan, curvature 2-forms dinyatakan dalam persamaan (44), dengan dapat dinyatakan dalam tensor dan basis 2-forms seperti persamaan (45).
= � +� ∧ � (44) = 1 2 � ∧ � (45)
Dalam kasus lokal dapat dinyatakan dalam persamaan (47), yang merupa-kan tensor Riemann seperti persamaan (B.41) pada Lampiran B.
Jika operator d diterapkan pada persamaan (44), diperoleh persamaan (48). Persamaan (49) dan persamaan (48) dapat dituliskan menjadi persamaan (50) yang sering disebut identitas Bianchi dalam bentuk curvature 2-forms.
= � ∧ � − � ∧ � (48)
12
∧ � = � ∧ � +� ∧ � ∧ � (49b)
= ∧ � − � ∧ (50)
Jika operator d diterapkan pada persamaan (45), akan diperoleh persamaan (51). Untuk koordinat lokal, = 0, sehingga dari persamaan (51) dapat dituliskan menjadi persamaan (52) yang dapat dinyatakan juga dalam turunan kovarian seperti persamaan (53).
= 1 2 , ∧ ∧ (51) , + , + , = 0 (52) ; + ; + ; = 0 (53)
Dengan mengontraksi ν dan , persamaan (53) dapat dituliskan menjadi persamaan (54), dinamakan tensor Ricci kovarian. Jika dikontraksi lagi dan
ρ, diperoleh persamaan (55) dengan merupakan skalar dari tensor Ricci atau disebut tensor Einstein. Dengan syarat kelengkapan konstanta kosmologi persamaan (56) dapat dituliskan menjadi persamaan (58), yang merupakan persamaan medan Einstein untuk ruang vakum seperti persamaan (C.5) pada untuk empat dimensi dengan k konstanta kesebandingan. Sehingga persamaan (58) dalam 4-dimensi dapat disederhanakan menjadi:
=�g (59)
Hodge Dual 2-Forms dalam 4-dimensi
13
tanda (+) untuk self-dual dan (–) anti-self-dual.
Dengan menerapkan operator Hodge star pada tensor Riemann , diperoleh dual tensor Riemann seperti persamaan (62) dan (anti-) self-dual tensor Riemaan persamaan (63).
14
persamaan (anti-) self-dual Einstein berikut. Analog dengan persamaan (43a), persamaan koneksi dapat dituliskan menjadi persamaan (66). Sedangkan persamaan medan Eintein dapat dituliskan menjadi persamaan (67) dengan � adalah konstanta kosmologi dan simbol Levi-Civita. Persamaan (67) selanjutnya disebut persamaan (anti-) self-dual Einstein karena memenuhi syarat Einstein dan syarat (anti-) self-dual. Persamaan (66) dan (67) akan memenuhi sebuah mertik self-dual jika = − dan anti-self-dual jika = +.
=− ∧ , = 1,2,3 (66) + ∧ = � (67)
Metrik (Anti-) Self-Dual 4-Dimensi dengan Differential Forms
Pada bagain ini, sebuah metrik akan dihitung syarat self-dual dan anti-self-dual dengan persamaan (66) dan (67). Didefinisikan sebuah metrik13 berikut:
2 = merupakan matrik 4×4 seperti persamaan (69).
g =
15
Pada proses perhitungan dengan metode Cartan, terlebih dahulu dihitung koneksi 1-form ( ) dengan persamaan (66), diperoleh persamaan (72) untuk basis self-dual dan persamaan (73) untuk basis anti-self-self-dual. Selanjutnya curvature 2-forms dihitung dengan persamaan (67) yang akan menghasilkan persamaan (anti)-self-dual Einstein untuk metrik (68). Metrik (68) disebut anti-self-(anti)-self-dual jika memenuhi persamaan (74) dan self-dual jika memenuhi persamaan (75).
+
Syarat anti-self-dual dari metrik (68) diberikan dalam 10 persamaan berikut.
17
Syarat self-dual dari metrik (68) diberikan dalam 10 persamaan berikut.
19
Sebelum metode Cartan dikembangkan dalam fisika-matematika, sebuah metrik dapat dihitung dengan metode tensor klasik diawali dengan mencari simbol Christoffel/koneksi Affine, persamaan (B.25). Tensor metrik yang digunakan dalam perhitungan ini diberikan oleh persamaan (69), dan basis-basis tensor metrik (69) dituliskan sebagai berikut.
0 = , 1 = , 2 = , 3 =
� (76)
20
dilakukan dengan membandingkannya pada perhitungan metrik Schwarzschild. Metrik Schwarzschild hanya memiliki elemen diagonal pada tensor metrik. Sehingga, jumlah simbol Christoffel yang dihitung pada metrik Schwarzschild sebanyak 12 dan tensor Riemann 24 termasuk simetrinya.6,7
Jika metrik (68) dihitung dengan differential forms, persamaan (66) dan (67), seperti yang telah dilakukan pada bagian sebelumnya; pertama dibutuhkan enam perhitungan untuk memperoleh koneksi 1-form. Kemudian menghitung curvature sebanyak enam buah sehingga diperoleh syarat (anti-) self-dual Einstein. Perhitungan tersebut lebih mudah dan lebih efisien daripada perhitungan dengan simbol Christoffel.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Metode Cartan yang sering disebut differential forms digunakan sebagai pendekatan yang lebih formal dalam relativitas umum dengan merumuskan ruang- waktu sebagai differential manifold 4-dimensi. Metode Cartan dapat digunakan untuk merumuskan persamaan medan Einstein. Hasil perumusannya sama seperti yang diperoleh dengan kalkulus variasi. Persamaan medan Einstein memberikan paradigma cukup menarik tentang gravitasi. Medan gravitasi muncul sebagai gejala geometri belaka, yaitu sebagai manifestasi kelengkungan ruang-waktu.
Dengan differential form, dapat dirumuskan persamaan (anti-) self-dual Einstein yang dapat digunakan untuk menghitung syarat self-dual dan anti-self-dual dari sebuah metrik. Persamaan tersebut diturunkan dari struktur Cartan yang ditambahkan syarat (anti-) self-dual dengan operator Hodge dual. Berbeda dengan metode tensor klasik yang membutuhkan perhitungan tensor Weyl dalam menghitung syarat (anti-) self-dual dari sebuah metrik. Tensor Weyl bagian tensor Riemann yang diperoleh dengan menghitung simbol Christoffel terlebih dahulu. Sehingga jumlah perhitungan dengan differential forms dalam mencari syarat (anti-) self-dual dari sebuah metrik lebih efisien dan lebih mudah daripada metode tensor klasik yang melibatkan simbol Christoffel.
Saran
21
DAFTAR PUSTAKA
1. Anugraha R. Teori Relativitas dan Kosmologi. Yogyakarta (ID): UGM Pr. hlm 76-77. 2011.
2. Einstein A. Relativity, The Special and the General Theory. Lawson Robert W, editor. London (GB): Routledge Classics. hlm 127-129. 2001.
3. Lorentz H.A, Einstein A, Minkowski H, Weyl H. The Principle of Relativity. United States (US): Dover Puplications, Inc. hlm 117-196. 1923.
4. Eguchi T, Gilkey P.B, & Hanson A.J. Gravitation, Gauge Theories and Differential Geometry. Amsterdam (NL): Nort-Holland Puplishing Company. hlm 7-46. 1980.
5. Pressley A. Elementary Differential Geometry. London (GB): Springer London Dordrecht Heidelberg. hlm 1-79. 2010.
6. Ryder L. Introduction to General Relativity. Cambridge (GB): Cambridge University Press. hlm 63-316. 2009.
7. d’Inverno R.A. Introducing Einstein's Relativity. London (GB): Oxford University Press. hlm 55-99. 1992.
8. Dirac P.A.M. General Theory of Relativity. New York (US): John Wiley & Sons. hlm 24. 1975.
9. Weinberg S. Gravitation Principles and Aplications of The General Theory of Relativity. New York (US): J Wiley. hlm 125-145. 1972.
10. Baez J, Muniain J.P. Gauge Fields, Knots and Gravity. London (GB): World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. hlm 74-79. 1994.
11. Schutz Bernard F. A First Course in General Relativity. Cambridge (GB): Cambridge University Press. hlm 9-70. 2009.
12. Atiyah M.F., Hitchin N.J., Singer I.M. Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry. Proc.R.Soc.Lond.A.362.425-461. 1978.
22
23 Lampiran A Aturan Penjumlahan Einstein
Pada persamaan-persamaan dalam tulisan ini, digunakan aturan penjumlahan Einstein. Jika sebuah kuantitas mempunyai indeks atas atau indeks bawah atau keduanya, maka penjumlahan dilakukan terhadap semua nilai indeks yang mungkin.
Contoh:
(A. 1)
dengan mempunyai nilai sebanyak n buah,
= 0 0+ 1 1+⋯+ −1 −1 =
−1
=0
(A. 2)
24
Lampiran B Manifold
Topologi Manifold dan Ruang Metrik
Definisi B.114 Misalkan ≠ ∅ adalah suatu himpunan dan adalah keluarga dari subhimpunan-subhimpunan dari X. Dan disebut topologi jika:
(i) X,∅ ;
(ii) ⊂ � � ;
(iii) ⊂ � � (k berhingga) pasangan (X, ) disebut ruang topologi. Contoh B.1: diberikan = , , , , , ,
�1 = ,∅, , , , , , , , , , , ,
�2 = ,∅, , , , , , , , , , dan
�3 = ,∅, , , , , , , , , , , ,
�1 merupakan topologi pada X, tetapi �2 dan �3 bukan topologi pada X karena
tidak memenuhi aturan (ii) dan (iii) pada Definisi B.1.
Ruang topologi dapat digambarkan salah satunya dengan fungsi jarak yang disebut juga dengan metrik. Fungsi jarak dalam ℝ biasa dirumuskan:
, = −
dan pasangan (X,d) disebut ruang metrik.
Kurva dan Fungsi
Contoh dari kurva, garis lurus ( = + 3), lingkaran ( 2+ 2 = 4) atau parabola ( = 2 −5) merupakan contoh dari kurva. Setiap kurva dapat digambarkan dalam koordinat kartesian , = , dengan f fungsi dari x dan y, c adalah konstanta. Kurva merupakan sekumpulan titik di ℝ2, secara matematik dinyatakan dalam persamaan (B.2). Untuk kurva di ℝ3, misal sumbu-x merupakan garis lurus yang dipenuhi oleh = 0 dan = 0. Dan secara umum kurva di ℝ3, didefinisikan sebagai pasangan persamaan (B.3)
� = , ℝ2 , = (B. 2)
25 Terdapat cara berbeda untuk mengungkapakan kurva-kurva di atas, antara lain kurva dapat digambarkan sebagai lintasan dari gerakan sebuah titik. Didefi-nisikan ( ) sebagai posisi sebuah titik pada waktu t, kurva digambarkan oleh sebuah fungsi dari sebuah parameter skalar t. Ide ini akan digunakan untuk definisi formal dari sebuah kurva di ℝ .5
Definisi B.3 Sebuah kurva parametrik di ℝ adalah sebuah pemetaan ∶ menhubungkan titik-titik u dan v di ℝ . Untuk menemukan rumusan dari panjang kurva parametrik , kita tinjau dua titik yang berdekatan ( ) dan + . Jarak dua titik tersebut pada kurva � diberikan oleh, + − ( ) . Karena
sangat kecil, bentuk tersebut dapat dituliskan menjadi:
( ) . (B. 5)
26 tensor metrik kovarian, dengan besar metrik dinyatakan dalam persamaan (B.12). dan didefinisikan g (tensor metrik kontravarian), dengan indeks atas, sebagai invers dari g yang memenuhi identitas (B.13).
2 = g d d (B. 11)
Selanjutnya ditinjau titik P dan Q (Gambar B.1) yang panjangnya diberikan oleh persamaan (B.15). Jika kurva diparameterisasi dengan , dengan batas-batas P( 1)
27
Dalam prinsip aksi, geodesik terkait dapat diturunkan dengan mencari dengan melakukan variasi terhadapnya sedemikian rupa sehingga = 0, dimana
menyatakan simbol variasi. Sebuah kurva terdeformasi, → +
Secara umum ≠0, sehingga diperoleh persamaan Euler-Lagrange untuk geodesik (persamaan (B.20)) dengan ( , ) disebut fungsi lagrange yang dinyatakan oleh persamaan (B.17).
−dd = 0 (B. 20)
Dengan menerapkan persamaan (B.20) ke persamaan (B.17), diperoleh persamaan (B.21). Jika persamaan (B.21) dikalikan g dan bentuk g , dapat dituliskan
28
yang disebut koefisien koneksi atau simbol Christoffel /koneksi Affin.6,11
Turunan Kovarian dan Koneksi Levi-Civita
Ditinjau vektor ℝn yang dapat dituliskan oleh persamaan (B.24). Diferensial persamaan (B.26) dinyatakan dalam persamaan (B.27) dengan me-rupakan turunan parsial dalam indeks .
= (B. 24) = , + , (B. 25)
Kuantitas , di atas dihitung dengan meninjau perhitungan berikut. Diberikan basis koordinat polar dalam koordinat kartesian, = cos� + (sin�) dan Sehingga persamaan (B.25) dituliskan menjadi persamaan (B.27).
, = Г (B. 26)
= ; (B. 27)
dengan
; = , + Г (B. 28)
yang disebut dengan turunan kovarian dari sebuah vektor kontravarian. Notasi didefinisikan sebagai koneksi Levi-Civita yang menghubungkan ruang-ruang vektor dan tensor pada sebuah titik.6,11
Parallel Transport dan Curvature Tensor
Analog dengan persamaan (B.28), turunan V dalam arah U dapat dituliskan dalam persamaan (B.29). Dengan memilih = , diperoleh persamaan (B.30).
= ; κ = , +Г κ = 0 (B. 29)
=−Г (B. 30)
Selanjutnya sebuah medan vektor dilakukan parallel transport mengelilingi loop tertutup ABCDA pada sebuah permukaan. Koordinat untuk masing-masing titik: A( 1 = , 2 = ), B( 1 = + , 2 = ), C( 1 = +
29
dengan menuliskan sebagai 1 2 dan sifat anti-simetri, maka persamaan di atas secara umum dituliskan
∆ = 1 2 ∆ (B. 37)
dengan ∆ = luas daerah loop ABCDA dan
=Г , − Г , +Г Г − Г Г (B. 38)
yang merupakan Riemann-Christoffel atau tensor kelengkungan.6,11
Dua kuantitas yang lain yang mempunyai peranan penting dalan relativitas umum, tensor Ricci (persamaan (B.39)) dan curvature scalar atau Ricci scalar (persamaan (B.40)).
= = g (B. 39)
30
Lampiran C Persamaan Medan Gravitasi
Prinsip Aksi pada Medan Gravitasi
Ekspresi total aksi merupakan penjumlahan dari kontribusi materi dan medan gravitasi:6,7
= + g (C. 1)
g diberikan oleh persamaan:
g = ( + 2�) −g 1 2 d4 (C. 2)
dimana = g dan � adalah konstanta kosmologi. Variasi terhadap medan gravitasi:
g = ( + 2�) −g 1 2 d4
g = ( −g 1 2) d4 + 2� −g 1 2 d4 (C. 3)
Variasi −g 1 2,
( −g 1 2) = ( −g 1 2 g )
= −g 1 2 δg + −g 1 2+ −g 1 2g
Dengan menggunakan identitas Palatini = ( Г ); −( Г ); dan
identitas ; = −g −1 2( −g 1 2 ); diperoleh sebuah total divergensi.
−g 1 2g = ( −g 1 2g Г ); −( −g 1 2g Г );
= −g 1 2g Г − −g 1 2g Г =
Jika kita evaluasi Ω −g 1 2 pada daerah Ω dengan g = 0 pada batas Ω, berdasarkan teorema Gauss total divergensi Ω tidak memberikan kontribusi.10 Dan variasi −g 1 2, −g 1 2 =−1/2 −g 1 2g δg . Sehingga total variasi untuk medan gravitasi
g = g −g 1 2( −
1
2g − �g )d
4
Ω (C. 4)
Diperoleh persamaan medan Einstein ruang vakum,
31 Kehadiran materi akan memberikan:
= −
2 ( ) −g
1 2g d4 (C. 6)
dan
=−
2 ( ) −g
1 2 g d4
Diperoleh persamaan medaan Einstein dengan kehadiran materi,
−1
2g − �g = (C. 7)
34
Selanjutnya perhitungan persamaan anti-self-dual Einstein, + + + ∧ + =
� +:
diperoleh 10 persamaan yang merupakan syarat anti-self-dual dari metrik (D.1):
36
diperoleh 10 persamaan yang merupakan syarat self-dual dari metrik (D.1):
39
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di pamekasan pada tanggal 22 Agustus 1989 sebagai anak bungsu dari dua bersaudara dari pasangan Ali Wafa dan Sulastri. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Pamekasan dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten Mekanika I pada tahun ajaran 2010/2011 dan 2011/2012, asisten Mekanika II pada tahun ajaran 2010/2011, asisten Fisika Lanjut pada tahun ajaran 2011/2012 , dan asisten Fisika Kuantum pada tahun ajaran 2011/2012 di Departemen Fisika. Penulis juga aktif mengajar Olimpiade Fisika dan Matematika tingkat SMA di Bogor dan Bekasi. Penulis juga aktif sebagai Tim Khusus Kompetisi Fisika Pesta Sains Nasional pada tahun 2009, 2010, dan 2011.
