29
Jaringan lahir karena berbagai keperluan seperti: transportasi, listrik, komunikasi, perencanaan proyek, aliran air, pembuatan jalan, dan lain-lain. Saat ini jaringan sangat penting, sebab dengan jaringan maka masalah yang besar dan rumit dapat disederhanakan. Ada beberapa jaringan yang dapat diselesaikan dengan permasalahan program linear.
Pada kajian di sini akan dibahas empat masalah jaringan, yaitu: permasalahan lintasan terpendek, masalah diagram pohon terpendek, masalah aliran maksimum, dan penyelesaian proyek dengan Program Evaluation and Review Technique (PERT), dan Critical-Path Method (CPM).
Untuk lebih jelasnya kita bahas sebuah contoh sebagai prototype permasalahan
Gambar 3.1 Jarak antar tempat peristirahatan (dalam kilometer)
Sebuah lokasi sebut saja “Taman Sari” akan dijadikan sebagai taman wisata yang sejuk, nyaman, dan lingkungan yang terlindungi termasuk satwa di dalamnya. Pada node (bertanda huruf O, A, B, C, D, E, T) dibuat tempat peristirahatan. Jarak antar tempat peristirahatan seperti terlihat pada gambar di atas (dalam kilometer) lihat gambar 3.1. Untuk melindungi satwa dan kesejukan Taman Sari tersebut semua mobil pribadi, termasuk angkutan umum dilarang masuk. Sistem transportasi yang akan dibuat adalah kereta listrik, banyaknya kereta yang lewat setiap jalur dibatasi. Banyaknya kereta yang lewat maksimum setiap harinya terlihat pada Gambar 3.2, Ini diperlukan untuk menjaga ketenangan taman. Pintu masuk adalah node O, dan pintu keluarnya node T. Kembalinya kereta dari T ke O melalui jalur luar taman. Selanjutnya untuk kebutuhan air, akan dibuat jaringan pipa air dari O ke masing-masing tempat peristirahatan.
C 2 2
1
1 3
4 4
4 5
5 7
7 Gambar 3.2 Maksimum banyaknya kereta yang boleh lewat setiap harinya
Permasalahan yang muncul ada tiga yaitu:
1. Lewat jalur mana dari O menuju ke T sehingga diperoleh jarak terpendek, berapa jaraknya.
2. Buatlah jaringan air yang menghubungkan semua tempat peristirahatan agar panjang pipa yang digunakan minimum.
3. Buatlah jalur kereta, agar banyaknya lintasan maksimum.
Masalah yang pertama disebut sebagai masalah lintasan terpendek, masalah kedua disebut masalah diagram pohon terpendek, dan masalah ke tiga disebut masalah aliran maksimum.
1. Masalah Lintasan Terpendek
Masalah lintasan terpendek adalah masalah yang menyangkut node, panjang jalur, arah lintasan. Dalam lintasan ini perlu diperhatikan khusus yaitu node supply (node awal) dan node demand (node akhir). Dalam hal masalah di atas, node supply adalah node O, dan node demand adalah node T. Untuk menyelesaikan masalah lintasan terpendek ada algoritma yang bisa dipakai yaitu:
Algoritma masalah lintasan terpendek
a. Tujuan pada iterasi ke-n: Tentukan node terdekat dari titik awal (node awal).
b. Input pada iterasi ke-n: node terdekat ke n-1 ke node awal, termasuk di dalamnya lintasan terpendek dan jarak dari node awal. (node-node ini ditambah dengan node awal disebut node terselesaikan, yang lain node belum terselesaikan).
c. Kandidat untuk node terdekat ke-n: Setiap node terselesaikan yang langsung berhubungan dengan satu atau lebih node belum terselesaikan sebagai kandidat-node belum terselesaikan yang mempunyai hubungan terpendek.
d. Perhitungan node terdekat ke-n: Untuk setiap node terselesaikan dan node kandidat, ditambah dengan jarak diantaranya. Kandidat yang mempunyai total jarak terpendek ke-n.
Untuk masalah lintasan terpendek pada Taman Sari di atas adalah sebagai berikut:
Node awal adalah node O dan node akhir adalah node T.
Perhitungan lintasan dapat dilihat pada Tabel 3.3 berikut:
O B
A
E
Tabel 3.3 Penerapan Algoritma lintasan terpendek pada Taman sari
Jarak minimum dari node O ke node T adalah 13 kilometer dengan jalur
• O → A → B → E → D → T atau • O → A → B → D → T
Penyelesaian Masalah Lintasan Terpendek dengan Solver
Lintasan terpendek dapat dipandang sebagai transportasi dimana titik awal hanya
keluar satu kali dan titik tujuan hanya masuk satu kali. Titik-titik yang hanya mungkin dilalui,
jadi jika dilalui maka satu masuk dan satu keluar. Pada kasus diatas, selain titik O dan titik T
merupakan titik asal sekaligus titik tujuan sehingga pada Tabel transportasi dapat dibuat
Dari titik O mempunyai 3 jalur yaitu OA, OB, dan OC berturut-tutut dengan jarak 2,
5, dan 4, sedangkan ke titik D, E, dan T tidak ada jalurnya, maka masing-masing kita beri
nilai takhingga, dalam hal ini kita beri kode M. Dari titik B hanya mempunyai jalur ke titik B
dan D dengan jarak berturut-turut 2 dan 7 dan dari B ke B tidak mempunyaijarak jadi diisi
dengan 0, sedangkan dari titik B ke titik yang lain tidak ada jaringannnya, jadi kita isi dengan
M. Proses dari Titik-titik C, D, dan E identik. Dari proses ini diperoleh Tabel di atas.
Untuk mengolah data dengan Solver maka nilai M di atas kita ganti dengan bilangan
yang cukup besar maksudnya supaya dalam perhitungan tidak dipilih oleh program misalnya
diisi dengan nilai 100, sehingga diperoleh tabel berikut:
A B C D E T
O 2 5 4 100 100 100
A 0 2 100 7 100 100
B 100 0 1 4 3 100
C 100 100 0 100 4 100
D 100 100 100 0 1 5
E 100 100 100 1 0 7
Selanjutnya dari tabel ini dilengkapi dengan tabel jalur yang akan dilalui sehingga
diperoleh tabel berikut:
Tabel Jarak
A B C D E T
O 2 5 4 100 100 100
A 0 2 100 7 100 100
B 100 0 1 4 3 100
C 100 100 0 100 4 100
D 100 100 100 0 1 5
E 100 100 100 1 0 7
Tabel Jalur
A B C D E T Jumlah
O 0 0 0 0 0 0 0
A 0 0 0 0 0 0 0
B 0 0 0 0 0 0 0
C 0 0 0 0 0 0 0
D 0 0 0 0 0 0 0
E 0 0 0 0 0 0 0
Jumlah 0 0 0 0 0 0
Rumusan pada jumlah adalah adalah jumlah mendatar atau jumlah tegak dengan formula
SUM, sedangkan Total jarak dengan formula SUMPRODUCT(Tabel jarak;tabel lintasan).
Dengan menjalankan Solver dan mengisi form solver berikut:
Selanjutnya kalau dipilih Solve, maka akan diperoleh hasil berikut:
Tabel Jalur
A B C D E T Jumlah
O 1 0 0 0 0 0 1
A 0 1 0 0 0 0 1
B 0 0 0 0 1 0 1
C 0 0 1 0 0 0 1
D 0 0 0 0 0 1 1
E 0 0 0 1 0 0 1
Jumlah 1 1 1 1 1 1
Total Jarak = 13
Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa jarak terpendek adalah 13 dengan lintasan O – A – B
– E – D – T.
Setelah solver dijalankan dengan mengisi Form solver
Maka diperoleh hasil sebagai berikut:
Hasil ini menunjukkan bahwa Total jarak yang ditempuh adalah 13 dengan Lintasan: O – A –
B – D – T (Perhatikan kolom On Route dan kolom FROM dan TO pada tabel di atas).
2. Masalah Diagram Pohon Terpendek
Masalah kedua pada masalah jaringan di atas yaitu menentukan jaringan pipa air
C
menyelesaikan masalah ini digunakan algoritma untuk masalah diagram pohon terpendek
sebagai berikut:
a. Pilih sebarang node, dan hubungkan node tersebut dengan node berbeda yang terdekat.
b. Kenali node taktersambung yaitu yang disambungkan dengan node terdekat, dan
hubungkan kedua node tersebut. Ulangi sampai semua node tersambung.
Untuk permasalahan jaringan pipa air tersebut kita perhatikan langkah-langkah berikut:
Misalkan kita memulai dengan node B, maka node terdekat adalah C, hubungkan BC, maka diperoleh diagram berikut:
C
Selanjutnya berturut-turut node O ke node A, node E ke node B, node D ke node E, dan node T ke node D, sehingga diperoleh jaringan lengkap sebagai berikut:
Jumlah panjang pipa air bersih yang diperlukan adalah 2 + 2 + 1 + 3 + 1 + 5 = 14 km.
3. Masalah Aliran Maksimum
Diagram kapasitas maksimum dari transportasi kereta dari node awal O ke node akhir T Untuk membahas aliran maksimum, ada beberapa terminology yang harus kita pahami terlebih dahulu.
Perhatikan arah dan sambungan jaringan. Arah jaringan dari node awal O dan node akhir T. Diberikan kapasitas lintasan dan kita bertujuan memaksimumkan total lintasan dari node O ke node T. Kita menggunakan algoritma yang disebut residual network dan augmenting path.
Dari jaringan asli, residual network menunjukkan kapasitas sisa yaitu setelah adanya aliran. Sebagai contoh, kapasitas jalur dari O ke A adalah 5.
Bilamana ada aliran dari node O ke node A sebanyak 2, maka residual network adalah
1 Augmenting path adalah arah lintasan dari node awal ke node akhir pada residual network sedemikian hingga setiap jalur mempunyai kapasitas sisa positif.
Algoritma masalah aliran maksimum adalah sebagai berikut:
a. Identifikasi (kenali) augmenting path yang mempunyai kapasitas sisa positif.
b. Sebut kapasitas sisa c* dari augmenting path, yaitu minimum dari kapasitas setiap jalur (arc) yang dilalui.
c. Kurangkan dengan c* pada setiap awal jalur kapasitas sisa, dan tambahkan c* pada arah yang berlawanan. Selanjutnya kembali ke langkah a.
Selanjutnya marilah kita bahas masalah aliran maksimum pada Taman Sari dengan algoritma
ini:
Iterasi 1. Augmenting path O → A → D → T adalah min {5,3,9} = 3. Dengan lintasan ini maka diperoleh residual network
Iterasi 2. Augmenting path O → B → D → T adalah min {7,4,6} = 4. Dengan lintasan ini maka diperoleh residual network
Iterasi 3. Augmenting path O → C → E → T adalah min {4,4,6} = 4. Dengan lintasan ini maka diperoleh residual network
1 lintasan ini maka diperoleh residual network
Iterasi 5. Augmenting path O → B → E → T adalah min {2,4,2} = 2. Dengan lintasan ini maka diperoleh residual network
Dari gambar jaringan yang terakhir ini terlihat bahwa, sudah tidak ada augmenting path yang positif lagi, sehingga aliran telah mencapai optimal yaitu sebanyak 14 perjalanan dari node awal O ke node akhir T dengan lintasan:
1 5
1 0
0
4 4
4 7
0 3
0 2
0 C
0 0
0 0
5
6 9 1 0 0 Penyelesaian Masalah Aliran Maksimum dengan Solver
Masalah Aliran Maksimum dapat diselesaikan dengan Solver. Pada kasus seperti di atas, maka rumusan pada Excel adalah sebagai berikut:
Dengan rumusan sebagai berikut:
O B
A
E
Kemudian dengan menjalankan solver dan mengisi Form Solver
Maka akan diperoleh hasil pada tabel halaman 42 denga kesimpulan sebagai berikut: Total Aliran maksimum adalah 14, dengan aliran sebagai berikut:
Masuk melalui O sebanyak 14 dengan arah OA=3, OB=7, dan OC=4. Melalui titik A sebanyak 3 menuju titik D, melalui titik B sebanyak 7 menuju titik D sebanyak 4 dan menuju titik E sebanyak 3, selanjutnya melalui titik C sebanyak 4 menuju titik D semua.
4. Menyelesaikan proyek dengan PERT dan CPM a. PERT dengan Waktu Tepat
Keberhasilan pengelolaan proyek skala besar adalah kehati-hatian dalam perencanaan, penjadwalan, dan koordinasi antar kegiatan (aktivitas) yang terkait. Prosedur yang cukup terkenal adalah prosedur Program Evaluation and Review Technique (PERT) dan Critical-Path Method (CPM).
Sistem PERT dirancang untuk membantu di dalam perencanaan dan kontrol, sehingga tidak dibuat secara langsung untuk mengoptimalkan. Namun demikian dapat digunakan untuk menentukan dead line suatu pekerjaan.
Sistem PERT menggunakan jaringan proyek (project network) untuk melukiskan secara grafik hubungan antar unsur dalam suatu proyek.
Terminologi yang digunakan dalam PERT ini mirip dengan sistem jaringan sebelumnya, dimana garis/lintasan (arc) menggambarkan aktivitas, node menggambarkan peristiwa (event), dan anak panah menggambarkan arah jalannya aktivitas.
Tabel 3.4 Aktivitas Pembuatan Rumah
- . / 0 1 2
1 3
4 # 5
& /
3 0
6 5
# 1 , 5
+ 1 # 5
, 1 + +5
( 1 ( 5
* 1 * , (5
) 1 # *5
6 1 7 + *5
1 ( #5
1 7 ) # 5
1 8 , ) 65
# 1 5
+ '.' 8
No 7. (7)
Berapa lama pembuatan rumah tersebut, bilamana lama aktivitas-aktivitas tersebut di atas bersifat tepat (fix).
Pada kajian ini perlu diperkenalkan lagi dua istilah yaitu waktu paling cepat dan waktu paling lambat. Waktu paling cepat adalah waktu (dari awal) paling cepat (earliest time) yang dibutuhkan untuk berakhirnya aktivitas dan atau akan dimulainya aktivitas selanjutnya. Waktu paling lambat adalah waktu (dari awal) paling lambat (latest time) yang dibutuhkan untuk berakhirnya aktivitas dan atau akan dimulainya aktivitas selanjutnya. Pada setiap node terdapat pasangan waktu, yaitu pasangan waktu paling cepat, dan waktu paling lambat. Untuk memudahkan dalam pembacaan diagram, Sebuah peristiwa (event) dilambangkan dengan huruf kapital (A, B, C, …), sebuah aktivitas dengan nomor aktivitas (No 1, No 2, …), lama aktivitas ditulis dalam tanda kurung sesudah aktivitas dalam bentuk bilangannya saja (1, 2, …).
Pembuatan rumah sederhana tersebut diatas dapat digambarkan seperti Diagram berikut:
Dari diagram diatas, terlihat bahwa lama pembuatan rumah adalah 44 hari. Aktivitas kritis terjadi bilamana waktu paling cepat sama dengan waktu paling lambat, artinya adalah apabila sebuah aktivitas telah selesai, maka aktivitas selanjutnya harus segera dilaksanakan dan tidak boleh ditunda, sedangkan apabila waktu paling cepat tidak sama dengan waktu paling lambat, maka bilamana sebuah aktivitas selesai, maka aktivitas selanjutnya bisa ditunda sejauh perbedaan antara kedua waktu tersebut. Perbedaan waktu paling cepat dan waktu paling lambat disebut waktu slack. Sebuah aktivitas digambarkan dengan garis putus-putus artinya aktivitas dummy yaitu tidak ada aktivitas, namun perlu digambarkan karena akan menggambarkan prasyarat suatu aktivitas yang lain, sebagai contoh aktivitas No 13 dapat dilakukan setelah aktivitas no 9 dan aktivitas No 10. Demikian pula aktivitas No 12 dapat dilakukan setelah aktivitas No 5 dan aktivitas no 11 selesai.
Penyelesaian Penjadwalan Proyek dengan Bantuan Program Microsoft Project
Penjadwalan Proyek dapat dilakukan dengan program komputer. Program yang sering dipakai dalam perencanaan proyek adalah program Microsoft Project. Program ini mudal dipakai dan banyak memberikan gambaran pelaksanaan proyek sekaligus memberikan jadwal pelaksanaan setiap kegiatan. Untuk kasus pembuatan rumah seperti diatas,
Misalkan kita mulai mengerjakan pembuatan rumah adalah 2 Fepruari 2011, maka kita memberikan masukan sebagai berikut:
0
Distribusi beta b. PERT dengan pendekatan tiga-waktu
Sampai sejauh ini, kita menganggap bahwa perkiraan/perhitungan waktu adalah tepat, namun demikian kenyataan di lapangan tidaklah demikian. Ada kalanya waktunya lebih panjang dari perkiraan tetapi ada kalanya waktunya lebih cepat selesainya sebuah aktivitas. Untuk keperluan ini ada tiga macam waktu yang sering digunakan untuk memperkirakan penyelesaian sebuah aktivitas, yaitu: perkiraan tercepat (optimistic estimate) dinotasikan dengan a, perkiraan terlambat (pessimistic estimate) dinotasikan dengan b, dan perkiraan yang kebanyakan terjadi (most likely estimate) yang dinotasikan dengan m. Model hubungan antara a, b, dan m biasanya berdistribusi beta dimana a ujung kiri, b di ujung kanan dan m modusnya. Secara grafik dapat digambarkan sebagai berikut:
Model probabilitas suatu aktivitas dapat diselesaikan.
Selanjutnya di dalam Program Evaluation and Review Technique (PERT), untuk menyelesaikan proyek ada beberapa asumsi tentang estimasi (perkiraan waktu).
Asumsi 1.
Penyebaran antara a (optimistic estimate) dan b ( pessimistic estimate) adalah enam simpangan baku, sehingga diperoleh hubungan 6σ =b−a. Akibatnya varian dari aktivitas adalah
2
2 ( )
6 1
−
= b a
σ
Asumsi 2.
Distribusi probabilitas setiap aktivitas adalah (sekurang-kurangnya mendekati) distribusi beta.
Berdasarkan ke dua asumsi diatas, estimasi waktu (te) dapat didekati dengan +
Perhatikan bahwa ( ) 2 1
b
a+ adalah titik tengah antara a dan b.
Selanjutnya kita memisalkan ketiga waktu untuk proyek pembuatan rumah sederhana diatas
seperti Tabel 3. 5 berikut:
Tabel 3. 5 Perkiraan waktu penyelesaian suatu aktivitas
-adalah lintasan kritis.
Asumsi 3
Waktu aktivitas adalah bebas secara statistik dan merupakan peubah acak.
Asumsi 4
Lintasan kritis selalu mempunyai total waktu lebih panjang dari pada lintasan yang lain.
300
400
200 250
400
200
600
450
450 400
Tabel Lintasan Kritis
- '9 7
-e
t
: 7
2 σ
/ "0 3)
/" !0 #
/! &0 6 #
+ /& 40 # #3)
, /4 <0 +
* /< =0 *
6 /= 0 +
/ 0 , #3)
## )
Dari tabel lintasan kritis diatas, diperoleh: Expected project time = 44 hari Variance of project time = 9.
Asumsi 5
Distribusi probabilitas project time adalah distribusi normal.
Jadi Penyelesaian rumah sederhana di atas selama 44 hari dengan simpangan baku = 3.
Latihan
Buatlah lintasan kritis dari perjalanan pesawat dari Jakarta ke Jayapura.
Jakarta
Surabaya
Pontianak
Balikpapan
Makasar
Manado
