SUPER EDGE MAGIC STRENGTH PADA
GRAF FIRE CRACKERS DAN GRAF BANANA TREES
ANDINI QASHRINA DARMANAGARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Super Edge Magic Strength pada Graf Fire Crackers dan Graf Banana Trees adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
ABSTRAK
ANDINI QASHRINA DARMANAGARI. Super Edge Magic Strength pada Graf Fire Crackers dan Graf Banana Trees. Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan FARIDA HANUM.
Karya ilmiah ini menjelaskan pembuktian teorema-teorema yang menyatakan bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees memiliki super edge magic strength. Suatu graf disebut super edge magic jika terdapat pemetaan satu-satu dari himpunan verteks ke himpunan bilangan bulat , dengan adalah banyaknya verteks dan pemetaan satu-satu dari
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
SUPER EDGE MAGIC STRENGTH PADA
GRAF FIRE CRACKERS DAN GRAF BANANA TREES
ANDINI QASHRINA DARMANAGARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Super Edge Magic Strength pada Graf Fire Crackers dan Graf Banana Trees
Nama : Andini Qashrina Darmanagari
NIM : G54110031
Disetujui oleh
Teduh Wulandari Mas’oed, MSi Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, saran, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini,
3 Nopi Elida selaku kakak tingkat penulis sejak TPB yang telah mendengarkan curahan hati selama penulisan skripsi ini, yang selalu memberikan motivasi, semangat, serta saran,
4 Intan, Kiki, Lidya, Sifa, Hanna, Alfi, Riefdah, Putri, Atikah, Resty selaku sahabat yang menemani penulis selama masa kuliah dan memberikan motivasi, doa, serta dukungan,
5 Teman-teman Matematika angkatan 48 yang selalu memberikan keceriaan, dukungan, doa, dan segala bantuan yang telah diberikan,
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR vii
DAFTAR LAMPIRAN vii
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 2
TINJAUAN PUSTAKA 2
HASIL DAN PEMBAHASAN 7
Graf Fire Crackers 7
Graf Banana Trees 21
SIMPULAN DAN SARAN 26
Simpulan 26
Saran 27
DAFTAR PUSTAKA 27
LAMPIRAN 28
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang banyak berperan dalam pengembangan matematika terapan dan telah mengalami perkembangan sejak tahun 1920-an. Pada awalnya, teori graf diperkenalkan oleh Leonhard Euler sebagai solusi permasalahan mungkin tidaknya melewati ketujuh jembatan di kota Königsberg (sekarang dikenal sebagai Kaliningrad, Rusia) dan kembali ke tempat asal semula tepat satu kali. Kemudian, Leonhard Euler memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika berupa bagan yang terdiri dari titik dan garis. Titik merepresentasikan kota yang dihubungkan oleh jembatan dan garis sebagai jembatan yang menghubungkan kota. Model ini kemudian dikenal sebagai “Teori Graf”.
Mengikuti perkembangan zaman, teori graf terus dikembangkan dan memiliki banyak terapan, di antaranya model jaringan komunikasi, ilmu komputer, penjadwalan, riset operasi, dan sebagainya. Hal itu disebabkan teori graf memiliki cakupan model yang luas. Salah satu permasalahan utama dalam teori graf adalah bagaimana melabelkan suatu verteks dan edge sedemikian sehingga setiap verteks dan edge yang saling terhubung memiliki label yang berbeda.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah menjelaskan pembuktian teorema-teorema yang menyatakan bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees memiliki super edge magic strength.
TINJAUAN PUSTAKA
Graf
Walk, Cycle, Tree, Path
Suatu walk pada graf adalah suatu deretan berhingga dari verteks dan edge secara bergantian yang diawali dan diakhiri dengan verteks, sedemikian sehingga setiap edge, incident dengan dua verteks yang berdekatan. Contohnya dan dapat dituliskan sebagai atau Suatu walk yang menghubungkan dengan dikatakan tertutup jika Jika maka walk tersebut dikatakan terbuka (Foulds 1992). Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk . Cycle pada suatu graf adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga verteks dan semua verteks berbeda (Foulds 1992). Pada Gambar 2, terdapat cycle pada graf yang terdiri atas tiga verteks yaitu
Gambar 2 Cycle
Tree adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai cycle (Foulds 1992). Path pada suatu graf adalah suatu walk dengan semua verteksnya berbeda. Graf ber-order yang berbentuk path disebut graf path ber-order dituliskan (Chartrand & Oellermann 1993). Pada Gambar 1, merupakan salah satu contoh path.
Regular Graph
Graf yang setiap verteksnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap verteks adalah maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat ( -regular graphs) (Chartrand & Oellermann 1993). Pada Gambar 3, terdapat 3-regular graphs dengan derajat setiap verteks adalah 3.
Gambar 3 3-regular graph Star Graph
Gambar 4 Graf 6-star
Graf Fire Crackers
Misalkan adalah graf -star dengan . Misalkan adalah salah satu verteks pendant dari graf dan adalah salah satu verteks pendant dari graf Misalkan adalah verteks yang adjacent dengan untuk Misalkan merupakan verteks pendant yang adjacent dengan untuk Tree yang diperoleh dengan menghubungkan dan untuk disebut graf Fire Crackers dan dinotasikan dengan (Swaminathan & Jeyanthi 2006). Notasi menyatakan banyaknya graf star yang ada pada graf Fire Crackers dan menyatakan banyaknya verteks pendant yang menempel pada setiap graf star yang ada pada graf Fire Crackers. Contoh graf Fire Crackers ditunjukkan pada Gambar 5.
Gambar 5 Graf Fire Crackers
Berdasarkan definisi, graf Fire Crackers pada Gambar 5 memiliki nilai dan Pada Gambar 5, diberikan notasi dan Notasi terdiri dari verteks-verteks penghubung (menghubungkan antara 2 graf star yang ada pada graf Fire Crackers) yaitu dan atau secara umum dituliskan dengan Selanjutnya notasi terdiri dari verteks-verteks pusat yaitu dan atau secara umum dituliskan dengan dan notasi terdiri dari verteks pendant yaitu dan atau secara umum dituliskan dengan Akibatnya, pada Gambar 5 diperoleh himpunan verteks dari graf Fire
Kemudian pada graf Fire Crackers terdapat 11 edge. Verteks dihubungkan dengan verteks untuk setiap maka akan didapatkan edge yaitu untuk setiap Edge berikutnya menghubungkan setiap verteks dan verteks dinotasikan dengan untuk setiap Edge selanjutnya menghubungkan
setiap verteks dan verteks dinotasikan dengan { } untuk setiap dan Akibatnya diperoleh himpunan edge secara keseluruhan dari graf Fire Crackers sebagai berikut, = {
Graf Banana Trees
Misalkan adalah graf -star, -star sampai -star. Misalkan adalah salah satu verteks pendant dari graf . Misalkan juga
adalah sebuah verteks baru. Tree yang diperoleh dengan menghubungkan dengan setiap untuk disebut Banana Trees, dinotasikan oleh dan adalah sembarang bilangan bulat positif dan (Swaminathan & Jeyanthi 2006). Contoh graf Banana Trees ditunjukkan pada Gambar 6.
Gambar 6 Graf Banana Trees
Graf Banana Trees memiliki 12 edge. Edge yang didapatkan dari super edge magic (Enomoto et al. 1998). Contoh pelabelan super edge magic dapat dilihat pada Gambar 7.
Gambar 7 Pelabelan super edge magic pada graf Fire Crackers
Misalkan verteks-verteks pada graf Fire Crackers diberi pelabelan:
Kemudian diberikan pelabelan untuk edge-edge pada graf Fire Crackers
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap edge yang incident terhadap verteks :
Akan dibuktikan: yang paling kecil (minimal) merepresentasikan bahwa graf Fire Crackers mempunyai super edge magic strength. Nilai didapat dengan cara menjumlahkan semua
Gambar 8 Verteks pada graf Fire Crackers
Pada Gambar 8 di atas, setiap verteks minimal berderajat . Untuk sampai berderajat 3, secara umum penjumlahan label verteks dapat dituliskan sebagai berikut ∑ ∑
Gambar 9 Verteks pada graf Fire Crackers
Untuk verteks dapat dilihat pada Gambar 9. Verteks mempunyai derajat (berasal dari verteks pendant yang menempel pada graf star) dan juga berderajat satu untuk verteks yang adjacent dengan . Dapat dituliskan penjumlahan label verteks oleh rumus sebagai berikut ∑
Gambar 10 Verteks pada graf Fire Crackers
Setiap verteks selalu berderajat , maka dapat dituliskan penjumlahan label verteks sebagai berikut ∑ ∑ ( )
∑
∑ ∑ ∑ ∑ ( )+ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ + ∑
Pilih pelabelan untuk i genap, j genap pada ( ) ( ):
( )
( )
Akibatnya diperoleh konstanta magic c(f) sebagai berikut. ( ) ( )
Karena merupakan salah satu nilai konstanta magic yang didapat maka , jika ganjil dan genap. Contoh pelabelan super edge magic dengan ganjil dan genap dapat dilihat pada Lampiran 4 yaitu dengan dan Lampiran 5 yaitu dengan .
Kasus (ii): genap. Misalkan
Didefinisikan sebagai berikut:
{
{
( ) {
Adapun pelabelan edge adalah sebagai berikut :
2. Graf Banana Trees verteks yang ada pada graf dinotasikan dengan Total verteks pada graf Banana Trees didapatkan dari penjumlahan unsur pembentuk graf star, jumlah graf star yang ada pada graf Banana Trees dan satu verteks yang disebut dengan verteks baru. Dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut Graf dengan tree yang
Pada graf Banana Trees ini akan dicari konstanta magic Konstanta magic yang paling kecil (minimal) merepresentasikan bahwa graf Banana Trees mempunyai super edge magic strength. Nilai didapat dengan cara menjumlahkan semua verteks dan edge yang ada. Derajat (degree) pada rumus di atas mempresentasikan bahwa setiap verteks akan digunakan sebanyak edge yang incident dengan verteks tersebut.
Simbol melambangkan verteks dan simbol melambangkan edge. Simbol terdiri dari beberapa verteks lagi yaitu verteks , dan dengan dan dan edge w terdiri dari beberapa edge lagi yaitu dan
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ∑
Rumus di atas, dijelaskan menggunakan gambar. Pada gambar di bawah ini, dijelaskan masing masing suku yang membentuk rumus tersebut.
Gambar 11 Verteks pada graf Banana Trees
Dapat dilihat pada Gambar 11, bahwa verteks a berderajat sebanyak graf star yang akan dibentuk atau dapat dituliskan dengan
Gambar 12 Verteks pada graf Banana Trees
Karena masing-masing berderajat 2, maka secara umum penjumlahan label verteks dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut ∑
Untuk verteks dapat dilihat pada Gambar 13. Verteks mempunyai derajat (berasal dari verteks yang membentuk graf star). Maka dari itu penjumlahan label verteks dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut ∑
Gambar 14 Verteks pada graf Banana Trees
Setiap verteks selalu berderajat 1, maka penjumlahan label verteks dapat dituliskan sebagai berikut ∑ ∑ ( )
( ∑ ∑ ) ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ∑ ( ∑ ) ∑
Dengan memisahkan suku untuk setiap verteks dan edge yang ada, maka akan didapatkan deret aritmatika (4 suku pertama sama dengan banyaknya verteks dan edge pada graf sehingga penjumlahan label diperoleh
c(f) = ( ∑ ) ∑ c(f) = ( ∑ ) ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ∑ secara umum juga dapat dituliskan ( .
Karena didapatkan hasil,
( ∑ ) ∑
Karena yang akan dicari adalah nilai minimum dari suatu konstanta magic, maka atur verteks yang berderajat tinggi dilabelkan dengan nilai terkecil, maka diperoleh:
( ( )
∑
∑
2
Karya ilmiah ini telah menjelaskan pembuktian teorema-teorema yang menyatakan bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees memiliki super edge magic strength. Pembuktian dilakukan dengan merekonstruksi rumus dan juga menunjukkan konstanta magic yang didapat dari pelabelan yang sudah ada.
Saran
Dalam karya ilmiah ini telah dibahas teorema-teorema tentang super edge magic strength pada graf Fire Crackers dan graf Banana Trees Karya ilmiah ini dapat diperluas untuk penggunaan graf lainnya di antaranya unicyclic graph.
DAFTAR PUSTAKA
Avadayappan S, Vasuki R, Jeyanthi P. 2000. Magic strength of a graph. Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. 31(7): 873-883.
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New York (US): McGraw-Hill.
Enomoto H, Llado AS, Nakamigawa T, Ringel G. 1998. Super edge-magic graph. SUT Journal of Mathematics. 34(2): 105–109.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York (US): Springer-Verlag.
Kotzig A, Rosa A. 1970. Magic valuations of finite graphs. Canadian Mathematical Bulletin. 13: 451–461. doi: 10.4153/CMB-1970-084-1.
Ngurah AAG, Baskoro ET. 2003. On magic and antimagic total labeling of generalized Petersen graph. Utilitas Math. 63: 97-107.
Lampiran 1 Bukti teorema yang berlaku pada tree Teorema 3.1
Misalkan tree yang mempunyai order maka juga mempunyai size . Bukti :
Karena adalah suatu tree dengan order dan size hasilnya benar untuk Misalkan adalah suatu bilangan integer dan diasumsikan hasilnya benar untuk semua tree yang berorder .
Lampiran 2 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari dengan Berdasarkan teorema, memiliki:
Batas bawah = = =
Batas atas = = =
Super edge magic strength terletak pada
Lampiran 3 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari dengan
Lampiran 5 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari dengan
Lampiran 6 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari dengan Berdasarkan teorema, memiliki:
Batas bawah = = =
Batas atas = = = ,5
Super edge magic strength terletak pada
Lampiran 7 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari dengan Berdasarkan teorema, memiliki:
Batas bawah = =
=
Batas atas = =
=
Super edge magic strength terletak pada
Lampiran 8 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari dengan
Lampiran 9 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari dengan Berdasarkan teorema, memiliki :
Batas bawah = =
=
Batas atas = = =
Super edge magic strength terletak pada
Lampiran 10 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari dengan Berdasarkan teorema, memiliki :
Batas bawah = =
= Batas atas = = =
Super edge magic strength terletak pada
Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari dengan
Lampiran 11 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari dengan
Lampiran 12 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari dengan Berdasarkan teorema, memiliki:
Batas bawah = =
= Batas atas = =
=
Super edge magic strength terletak pada
Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari dengan
Lampiran 13 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari dengan .
Lampiran 14 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari dengan
Lampiran 15 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari dengan Berdasarkan teorema, memiliki :
Batas bawah = =
= Batas atas = = =
Super edge magic strength terletak pada
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 29 Juli 1993 dari pasangan Isman Yahya dan Rini Usman. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Kota Bekasi dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur undangan dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
