POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS
TESIS
Oleh
MONALISA BR SEMBIRING
POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
MONALISA BR SEMBIRING 117021049/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
Judul Tesis : POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS Nama Mahasiswa : Monalisa Br Sembiring
Nomor Pokok : 117021049
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
Telah diuji pada
Tanggal 17 Desember 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S., M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
PERNYATAAN
POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Penulis,
ABSTRAK
Interaksi sosial sering dimodelkan dengan jaringan. Karakteristik kunci dari inter-aksi sosial adalah perubahannya yang kontinu. Namun banyak analisis jaringan sosial dimasa lalu pada dasarnya adalah statis dimana semua informasi tentang waktu interaksi sosial berlangsung diabaikan. Dalam tesis ini diteliti pola dari analisis jaringan sosial dinamis, dimana jaringan itu selalu berubah atas waktu. Pola ini membantu membangun model yang dapat menjelaskan dan mempredik-si perilaku jaringan. Model ini terdiri dari model deterministik dan stokastik. Tesis ini membahas model deterministik yaitu model ILT(Iterated Local Transi-tivity) yang didalam setiap langkah waktu dan untuk setiap node x, node baru muncul dimana node ini bergabung dengan himpunan tetangga yang tertutup dari x. Model menunjukkan bahwa properti jaringan seperti pemadatan ( den-sification) power law, penurunan rata-rata jarak(average distance)dan clustering adalah lebih tinggi daripada graf random dengan rata-rata derajat yang sama.
ABSTRACT
Social interactions are often modeled with networks. A key characteristic of so-cial interactions is their continual change. However, most past analysis of soso-cial networks are essentially static in that information about the time that social inter-actions take place is discarded. In this thesis researched pattern of dynamic social networks, where the networks evolve over time. Pattern help us develop model and the model help us to reason, and predict networks behavioral. This model consist of deterministic model and stochastic model. In this thesis discussed the deter-ministic model namely ILT(Iterated Local Transitivity) which at each time-step and for every existing node x, a new node appears which join to the closed neigh-bour set of x. The ILT model show that network properties such as densification power law, decreasing average degree and higher clustering than in random graph with the same average degree.
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang memberikan berkat dan rahmat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Mate-matika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembanding I yang telah memberikan saran dan kritik dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembimbing II yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-I yang telah banyak mem-berikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Dr. Marwan Ramli, M.Si, Pembanding-II yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Su-matera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :
Ayahanda dan ibunda tercinta, M. Sembiring(Alm) dan S. Br Sitepu(Alm) serta Abang-Kakak, Jermia Sembiring, Sejahtera Sembiring, Elyasari Sembiring, Ro-sinta Sembiring dan Jetro Sembiring yang telah memberikan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.
Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 genap, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Desember 2013 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Monalisa Br Sembiring dilahirkan di Tiga Jumpa pada tanggal 10 Juli 1983, merupakan anak keenam dari enam bersaudara dari ayahanda M. Sem-biring(Alm) dan ibunda S Br Sitepu(Alm). Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 040515 Tiga Jumpa pada tahun 1995, Seko-lah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP Negeri 1 Barus Jahe pada tahun 1998, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 4 Medan pada tahun 2001.
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR GAMBAR ix
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4
2.1 Analisis Jaringan Sosial 5
2.2 Representasi Jaringan 6
2.3 Properti Jaringan 8
2.4 Derajat Node dan Derajat Rata-rata (Average Degree) 8
2.5 Jarak, Diameter dan Average Path Length 9
2.11 Clique 16
BAB 3 JARINGAN SOSIAL DINAMIS 18
3.1 Properti Jaringan Dinamis 18
3.2 Model Graf Random(Random Graph Model) 19
3.3 Model Small-World dari Watts dan Strogatz dan Scale Free dari
Barabasi dan Albert 20
3.4 Model Jaringan Sosial 21
3.5 Struktur dan Perkembangan Jaringan 22
3.6 Pola dalam Graf yang Berkembang 23
BAB 4 MODEL JARINGAN SOSIAL DINAMIS 24
4.1 Model ILT 25
4.2 Derajat Rata-rata dan Densifikasi 27
4.3 Average Distance dan Diameter 29
4.4 Koefisien Clustering dan Derajat 33
BAB 5 KESIMPULAN 37
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
2.1 Tipe jaringan 7
2.2 Clustering Coefficient. Node X memiliki kX = 6 tetangga. Terdapat hanya nX = 5 edge antar tetangga. Sehingga Clustering coefficient lokal dari node X adalah nX/kX = 5/15 = 1/3 15
ABSTRAK
Interaksi sosial sering dimodelkan dengan jaringan. Karakteristik kunci dari inter-aksi sosial adalah perubahannya yang kontinu. Namun banyak analisis jaringan sosial dimasa lalu pada dasarnya adalah statis dimana semua informasi tentang waktu interaksi sosial berlangsung diabaikan. Dalam tesis ini diteliti pola dari analisis jaringan sosial dinamis, dimana jaringan itu selalu berubah atas waktu. Pola ini membantu membangun model yang dapat menjelaskan dan mempredik-si perilaku jaringan. Model ini terdiri dari model deterministik dan stokastik. Tesis ini membahas model deterministik yaitu model ILT(Iterated Local Transi-tivity) yang didalam setiap langkah waktu dan untuk setiap node x, node baru muncul dimana node ini bergabung dengan himpunan tetangga yang tertutup dari x. Model menunjukkan bahwa properti jaringan seperti pemadatan ( den-sification) power law, penurunan rata-rata jarak(average distance)dan clustering adalah lebih tinggi daripada graf random dengan rata-rata derajat yang sama.
ABSTRACT
Social interactions are often modeled with networks. A key characteristic of so-cial interactions is their continual change. However, most past analysis of soso-cial networks are essentially static in that information about the time that social inter-actions take place is discarded. In this thesis researched pattern of dynamic social networks, where the networks evolve over time. Pattern help us develop model and the model help us to reason, and predict networks behavioral. This model consist of deterministic model and stochastic model. In this thesis discussed the deter-ministic model namely ILT(Iterated Local Transitivity) which at each time-step and for every existing node x, a new node appears which join to the closed neigh-bour set of x. The ILT model show that network properties such as densification power law, decreasing average degree and higher clustering than in random graph with the same average degree.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Jaringan sosial adalah himpunan individu atau grup individu dengan be-berapa pola kontak dan interaksi antara individu atau grup individu tersebut. Pola pertemanan antar individu, hubungan bisnis antar perusahaan, dan perka-winan antar keluarga adalah beberapa contoh jaringan yang telah diteliti dimasa lalu (Newman, 2003). Jaringan sosial ini biasanya dimodelkan dengan graf yang terdiri dari verteks (node) dan edge (link).
Setiap individu dalam jaringan sosial direpresentasikan oleh node(aktor) dan terdapat link(ties) yang menghubungkan dua node jika terjadi interaksi sosial dalam suatu waktu tertentu antara mereka. Bedasarkan sumber data, interaksi sosial dapat merupakan komunikasi verbal dan tertulis (telepon genggam, email, blog, chatroom dll), kolaborasi ilmiah (co-authorship), penyebaran penyakit(HIV, virus), kedekatan fisik atau virtual (pengunjung website, lokasi fisik, grup hewan). Link biasanya dibobot oleh frekuensi interaksi(Berger-Wolf dan Saia, 2006).
Model jaringan dari interaksi sosial ini telah sukses dimodelkan. Namun kekurangan dari model-model itu adalah sifatnya yang pada dasarnya statis di-mana dalam setiap informasi tentang waktu terjadinya diabaikan. Sifat statis dalam model dapat memberikan informasi yang tidak akurat tentang pola dalam data. Graf statis ini tidak mampu menjawab pertanyaan mendasar misalnya tentang penyebab dan konsekuensi dari pola sosial ini, misalnya seberapa cepat penyebaran penyakit melewati suatu populasi dan individu mana yang seharusnya ditindak lanjuti untuk menekan penyebaran penyakit.
2
saat ini telah menjadi tekhnik komputasi utama untuk menggabungkan informasi jaringan dinamis. Beberapa tahun terakhir telah terlihat perkembangan dari pen-dekatan algoritma sistematik pada analisis jaringan sosial, sebagian besar dalam konteks jaringan informasi (Berger-Wolf dan Saia, 2006).
Pada umumnya jaringan sosial adalah jaringan dinamis, karena jaringan sosial adalah jaringan nyata dimana setiap individu dalam jaringan ini selalu me-lakukan sesuatu yang mempengaruhi jaringan seperti komunikasi. Jaringan sosial telah lama menjadi topik penelitian yang penting dalam banyak bidang. Pehaman yang dalam tentang jaringan menjadi kunci untuk menerangi banyak ma-salah dalam bidang sosiologi dan ekologi. Beberapa tahun terakhir ini teknologi modern lebih menjadi jaringan virtual melapisi jaringan fisik yang sudah lebih du-lu ada. Perubahan ini telah membuat penelitian tentang jaringan menjadi lebih penting. Oleh karena itu dalam banyak kasus skala dari jaringan yang diberikan sangat besar sehingga tidak ada peneliti yang dapat mengadakan secara manual pengumpulan data dan mengangkat penyelidikan yang berhubungan. Dalam ka-sus lain, sering kali terlalu sulit untuk melacak perkembangan jaringan, misalnya evolusi dari populasi binatang atas beberapa generasi. Sebagai hasilnya penge-tahuan simulasi jaringan sosial muncul dan menjadi alat yang sangat tepat bagi peneliti jaringan (Zhang dan Wu, 2012).
Didalam tulisan ini dianalisis jaringan sosial dinamis yang menghasilkan pola yang dapat membantu membangun suatu model yang dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan yang tidak mampu dijawab dalam jaringan statis. Pola ini dianalisis dengan menggunakan properti-properti jaringan.
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah membangun model secara matematis berda-sarkan pola yang dihasilkan analisis jaringan sosial dinamis yang dapat membantu memberi penjelasan, memonitor dan memprediksi ciri jaringan di masa depan.
1.4 Manfaat Penelitian
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis jaringan adalah penelitian tentang graf dalam ukuran yang besar. Banyak sistem di dunia yang mengambil bentuk jaringan misalnya internet, World Wide Web(WWW), jaringan sosial atau koneksi antar individu, jaringan organisa-sional dan relasi bisnis antar perusahaan, jaringan neural, jaringan metabolisme, jaringan makanan, jaringan distribusi misalnya pembuluh darah atau rute pe-ngiriman pos, jaringan pengarang karya ilmiah dan lain-lain (Newman, 2003). Penelitian menyangkut jaringan telah banyak diteliti di permulaan abad 20, di-mana paling banyak didominasi oleh ahli matematika dan peneliti ilmu sosial yang telah menuntun kepada perkembangan saat ini dimana subjek yang semakin luas dan berbeda-beda beberapa diantaranya biologi, ekologi, ekonomi, ilmu komputer dan fisika.
Jaringan sosial memegang peranan yang sentral dalam kegiatan sehari-hari, dalam fenomena sosial, dalam kehidupan ekonomi dan politik. Oleh karena itu penting untuk memberikan analisis lengkap dari struktur jaringan sosial dan meneliti pengaruh yang mungkin diberikan pada perilaku manusia.
Dalam analisis jaringan sosial, jaringan dikategorikan oleh sifat dasar dari himpunan aktor dan properti relasi antara aktor-aktor tersebut. Aktor atau en-titas dapat merupakan tipe dari variasi individu, organisasi atau koleksi atau kumpulan dari orang atau organisasi. Koleksi dari orang misalnya grup ma-hasiswa yang menghadiri kuliah yang sama dan kumpulan organisasi misalnya himpunan negara bagian.
5
2.1 Analisis Jaringan Sosial
Social Networks Analysis (SNA) mulai berkembang sekitar tahun 1920 an dan berfokus pada hubungan antara entitas sosial, misalnya komunikasi antara anggota suatu grup, perdagangan antar negara atau transaksi ekonomi antara perusahaan (Boccaletti,et al. 2005).
Dalam ilmu sosial, analisis jaringan memiliki tradisi yang panjang. Tu-juan utama analisis jaringan sosial adalah mendeteksi dan menginterpretasikan pola dari relasi sosial antara aktor. Namun, akhir-akhir ini bidang ini juga se-makin populer di banyak area penelitian seperti immunulogy, sistem transportasi, biologi molekular, sistem informasi, sistem komputer dan lain-lain. Meskipun do-main dari aplikasi adalah menetapkan bentuk analisis yang tepat, metode yang umum dalam analisis jaringan dapat dibedakan berdasarkan level analisis. Ana-lisis jaringan dapat dilakuakan dalam tiga level yaitu, elemen-level, group-level dan network-level.
Dalam element-level analysis, memberi penekanan pada analisis properti dari individual node atau link. Misalnya dalam mesin pencarian yang mana mencoba halaman penting diantara interlink dalam website. Dalam goup-level analysis, korelasi antara node dianalisis secara khusus, salah satunya menyelidiki tentang properti grup dari node atau link. Dalam network level analysis, pro-perti graf dianalisis secara keseluruhan. Network level analysis digunakan untuk membedakan antara tipe network yang berbeda, dan menetapkan pengertian yang bernilai dan mengimplementasikannya ke dalam algoritma.
trans-6
portasi, jaringan telepon, internet dan World Wide Web, kolaborasi aktor dalam database perfilman, kolaborasi penulisan karya ilmiah (scientific coauthorship) dan lain-lain.
2.2 Representasi Jaringan
Jaringan dapat direpresentasikan dengan dua cara yaitu sebagai matriks dan graf. Didalam matriks baris dan kolom berkorespondensi dengan aktor/entitas, matriks akan bujursangkar untuk one-mode network, dan persegi panjang untuk two-mode network. Entri sel mengandung nilai link hubungan yang menghubung-kan aktor/entitas, jadi sel yang ke(i, j) merepresentasikan hubungan dari aktori
ke aktor j. Matriks ini disebut juga dengan adjacency matrix.
Adjacency matrix merupakan cara yang paling sedehana untuk merepresen-tasikan jaringan. Misalkan diasumsikan terdapat n verteks dalam jaringan, yang terhubung satu sama lain dengan m edge, selanjutnya misalkan edge tidak be-rarah. Dapat dispesifikasikan secara lengkap struktur hubungan dalam jaringan dengan matriksA dengan ordo nxn yang elemen-elemennya:
Aij =
(
1, jika terdapat suatu sisi menghubungkan i,j 0, jika tidak ada
Jaringan biasanya dimodelkan sebagai graf. Suatu graf G = (V, E) adalah suatu objek dimanaV menotasikan himpunan verteks(titik),E menyatakan him-punan edge (sisi) yang menghubungkan pasangan verteks . Sisi tak berarah yang menghubungkan titiku, v ∈V yang dinotasikan dengan (u, v). Dalam ilmu jaring-an verteks biasjaring-anya disebut dengjaring-an node atau aktor sedjaring-angkjaring-an edge disebut link atau relasi.
Suatu graf G′ = (V′, E′) adalah subgraf dari graf G = (V, E) jika V′ ⊆ V dan E′ ⊆ E. Subgraf disebut induced subgraph jika E′ mengandung semua sisi
7
Gambar 2.1 Tipe jaringan
Himpunan verteks yang disatukan oleh edge adalah tipe sederhana dari jaringan. Jaringan bisa saja lebih kompleks karena verteks itu mungkin saja lebih dari satu tipe berbeda dalam jaringan dan lebih dari satu tipe edge yang berbeda (Gambar 2.1).
Walk dari v1 kevk dalam graf tak berarah G= (V, E) adalah barisan alter-nating dari titik-titik dan sisi v1, e1, v2, e2, v3, ..., ek−1, vk, dimana ei = (vi, vi+1),
yang mana setiap titik adalah insiden dengan sisi yang mengikuti dan mendahu-luinya dalam barisan itu. Panjang dari walk ini didefinisikan oleh jumlah sisi dalam barisan itu. PathP adalah walk dimana semua titik dan semua sisi adalah berbeda: ei 6= ej dan vi 6= vj untuk i 6= j. Suatu path p dari u ke v dalam grafG= (V, E) adalah path terpendek(shortest path) atau geodesicjika bobotnya
w(p) adalah bobot terkecil yang mungkin diantara semua path dari u ke v, di-manaw(p) didefinisikan sebagai jumlah semua bobot sisi pada p. Panjang d(u, v) dari path terpendek disebut shortest-path distance atau geodesic distance. Jika tidak ada path terpendek antara dua titik maka jarak antara mereka adalah tak terhingga.
8
G′ = (V′, E′) yang maksimal yang artinya tidak ada subgraf yang terhubung.
G′′ = (V′′, E′′) dengan V′′ ⊃ V′. Dengan perkataan lain, komponen terhubung adalah suatu subgraf dimana terdapat path antara semua pasangan titik dan tidak ada path antara sisi dalam komponen dan tidak ada titik dalam komponen.
2.3 Properti Jaringan
Peneliti selama beberapa tahun terakhir telah mengidentifikasi properti-properti jaringan yang dapat ditemukan dalam banyak jaringan nyata dari do-main yang beragam. Properti yang mempunyai peranan dalam pencarian pola adalah distribusi derajat(degree distribution) dan diameter kecil(small diameter). Selanjutnya dalam bagian ini akan dikaji juga properti-properti lain dari suatu jaringan yaitu derajat node, derajat rata-rata, densitas, diameter, dan sentralitas.
2.4 Derajat Node dan Derajat Rata-rata (Average Degree)
Properti kunci dari setiap node dalam jaringan adalah derajatnya. Derajat dari node dinotasikan sebagai ki (derajat node ke-i dalam jaringan) adalah jum-lah link yang insiden dengan node tersebut atau dengan kata lain derajat adajum-lah banyaknya node yang adjacent dengan node itu. Misalkann adalah jumlah node dalam suatu jaringan tak berarah maka jumlah total dari linkL dapat diekspre-sikan sebagai jumlah derajat node-node nya.
L= 1
Derajat rata-rata node < k > dalam suatu jaringan (average degree) dinyatakan dengan:
Di dalam jaringan berarah terdapatin-degree(derajat masuk)kin
9
Pada persamaan (2.3) tidak menggunakan faktor 1/2 seperti persamaan (2.1) karena menghitung derajat masuk dan derajat keluar secara terpisah. Derajat rata-rata jaringan berarah adalah
2.5 Jarak, Diameter dan Average Path Length
Dalam sistem fisik komponen dikategorikan berdasarkan jarak (distance) yang jelas, seperti jarak antara dua atom dalam kristal, atau antara dua galaksi dalam jagat raya. Dalam jaringan jarak adalah suatu konsep yang menantang. Apa yang dimaksud engan jarak antara dua halaman web dalam WWW, atau dua individu yang mungkin saling mengenal atau tidak saling mengenal? Jarak fisik tidak relevan disini, dua halaman web terhubung satu sama lain mungkin oleh dua orang yang berada di belahan dunia yang berbeda atau mungkin oleh dua orang yang berada di gedung yang sama tapi tidak saling mengenal satu sama lain. Dalam jaringan jarak fisik digantikan denganpath length (panjang path), dimana panjang path adalah banyaknya link yang dimiliki oleh path tersebut (Barabasi, 2012).
Shortest path atau geodesic path antara node i dan j adalah path dengan jumlah link yang paling sedikit. Shortest path sering juga disebut sebagai jarak (distance) antara node i dan j yang disimbolkan dengan d(i, j) atau dij. Jika tidak ada path antara node, jarak antara mereka adalah tak terhingga. Konsep ini menuntun kepada karakteristik penting lain dalam jaringan yaitu diameter. Diameter (dmax) adalahshortest pathmaksimum antara dua node dalam jaringan. Dengan perkataan lain ketika panjang semua shortest path dari setiap node ke semua node dihitung, diameter adalah shortest pathterpanjang.
dmax :=max{d(u, v)|u, v ∈V} (2.5)
10
Average path length (rata-rata path) antara node disimbolkan dengan < d > adalah rata-rata jarak antara semua pasangan node dalam jaringan. Untuk jaringan tak berarah dengan n buah node, diberikan oleh:
< d >= 2
n(n−1)
X
i,j=1,n
di,j (2.6)
2.6 Densitas Graf dan Subgraf
Derajat adalah suatu konsep yang menganggap jumlah sisi yang insiden dengan setiap node dalam graf. Dapat juga dianggap jumlah dan perbandingan dari sisi dalam graf secara keseluruhan. Suatu graf dapat memiliki banyak sisi tapi jumlah maksimum yang mungkin ditentukan oleh jumlah node dalam graf tersebut. Misalkan terdapat n buah node dalam suatu graf (tanpa loop) maka terdapat kemungkinan pasangan tidak terurut node, sehingga n(n−1)/2 adalah banyak sisi yang mungkin dalam graf tersebut.
Densitas adalah perbandingan dari banyak sisi yang ada pada suatu graf (L) dengan jumlah maksimum yang mungkin sisi dari graf tersebut. Jika densitas dilambangkan dengan △ maka dapat dihitung sebagai:
△= L
n(n−1)/2 = 2L
n(n−1) (2.7)
densitas bernilai terendah 0 yaitu jika L = 0 dan tertinggi bernilai 1 yaitu jika banyaknya sisi/garis yang ada sama dengan banyaknya maksimum yang mungkin
n(n−1)/2.
Jika setiap sisi ada, maka setiap node disebut adjacent dan graf dikatakan komplit (complete). Suatu graf komplit dengan g buah node biasanya dinotasikan dengan Kn. Graf komplit mengandung semua n(n −1)/2 sisi yang mungkin, dengan densitas sama dengan 1, dan semua derajat node sama dengan n−1.
11
subgraf. Misalkan dinotasikan jumlah node dalam subgraf Gs adalah ns, dan jumlah sisi dalam subgraf sebagai Ls. Jumlah sisi yang mungkin dalam suatu subgraf adalah sama dengan ns(ns−1)/2. Sehingga densitas dari subgraf dapat dihitung sebagai:
△s =
2Ls
ns(ns−1)
(2.9)
densitas dari subgraf menyatakan proporsi ikatan yang muncul diantara subset aktor dalam suatu jaringan.
2.7 Sentralitas (Centrality) dan Wibawa (Prestige)
Konsep sentralitas menangkap tentang menonjol atau tidaknya suatu node dalam jaringan. Sentralitas adalah ukuran dalam graf yang digunakan dalam ana-lisis jaringan untuk menemukan struktur penting dari node dan edge. Sentralitas umumnya menetapkan pentingnya suatu node hanya berdasarkan struktur graf. Definisi yang paling sederhana dari sentralitas node adalah bahwa node sentral haruslah node yang paling aktif atau node yang memiliki ikatan paling banyak dengan node lain dalam jaringan. Misalkan dalam suatu organisasi seseorang de-ngan hubude-ngan atau komunikasi yang ekstensif dede-ngan banyak orang lain dalam organisasi dinilai lebih penting daripada orang lain dengan kontak yang lebih sedikit. Sentralitas adalah ukuran dalam level node sedangkan sentralisasi adalah ukuran dalam level jaringan.
Ada empat ukuran dalam sentralitas yang digunakan secara luas dalam ana-lisis jaringan yaitu: derajat sentralitas (degree centrality), keantaraan(betweenness), kedekatan(closeness), dan eigenvector centrality.
Derajat sentralitas didefinisikan sebagai jumlah link yang incident atas suatu node (jumlah ikatan yang dimiliki node). Degree centralityCD(v) dari verteksu
dalam graf tak berarh G= (V, E) didefinisikan sebagai: CD(v) =deg(u). Untuk graf G(V, E) dengan n verteks, derajat sentralitas CD(v) untuk verteksv adalah:
CD(v) =
deg(v)
n−1 (2.10)
Perhitungan derajat sentralitas diatas membutuhkan waktu kompleksitiO(| E |).
12
lokasi yang cocok untuk mall dalam suatu kota dengan tujuan meminimumkan jarak para konsumen. Oleh karena itu closeness centrality cC(u) untuk verteksu didefinisikan sebagai:
Perhitungan closeness centrality menjadi aplikasi sederhana dari algoritma all pairs shortest path (APSP), yang memiliki algoritma standart seperti algoritma Floyd-Warshall yang memiliki waktu kompleksitiO(|V |3) (Floyd, 1962).
Sama halnya denganCloseness Centrality,Betweennes Centralitymenandai pentingnya verteks berdasarkan jumlah shortest pathyang melalui nya. Jika ada dua node yang saling berdekatan, yaitu v dan w, ingin berinterkasi dan node u
berada pada lintasan hubungan antaravdanw, makaumemiliki kontrol terhadap interaksi keduanya danbetweennesmengukur kontrol tersebut. Jikauberada pada lintasan dari beberapa interaksi maka u adalah sebuah node yang penting atau berpengaruh. Secara matematisbetweennes centralitycB(u) dari verteksuadalah
cB(u) =X
dimana σst adalah jumlah shortest pathantara s dan t dan σst(u) adalah jumlah shortest path antara s dan t dimana terdapat u didalamnya.
Untuk menghitung betwenees centrality dapat mengikuti modifikasi seder-hana dari algoritma Dijkstra untuk menemukan sumber tunggal shortest path antara pasangan verteks. Proses ini membutuhkan total waktu O(| V |3).
Se-lanjutnya fakta bahwa verteks v berada dalam shortest path antara s dan t jika dan hanya jikad(s, t) =d(s, v) +d(v, t) dan dalam kasus ini jumlahshortest path yang melaluiu, diperoleh dari perkalian jumlah shortest pathantaras,v dan v,t
13
relasi berarah. Seorang aktor yang prestige adalah aktor yang memiliki ikatan sebagai penerima (in-links). Perbedaan utama antara centrality dengan prestige adalah centrality fokus pada out-links sementara prestigue fokus pada in-links.
2.8 Distribusi Derajat(Degree Distribution)
Distribusi derjat (pk) adalah probabilitas node yang terpilih secara ran-dom dalam jaringan dengan derajat k. Karena (pk) adalah probabilitas, maka
P∞
k=1(pk) = 1. Untuk jaringan tetap dengann node, derajat distribusinya adalah
histogram normalisasi dengan pk = nnk dimana nk adalah jumlah derajat dari k buah node. Oleh sebab itu jumlah derajat node dapat diperoleh dari distribusi derajat selamank =npk. Distribusi derajat mempunyai peran sentral dalam teori
jaringan karena banyak perhitungan dalam jaringan yang mengharuskan untuk mengetahui nilaipk. Misalnya derajat rata-rata jaringan dapat ditulis sebagai
< k >=
Salah satu cara untuk menemukan himpunan verteks yang saling berkolerasi adalah dengan mempartisi graf. Partisi yang efektif selanjutnya akan menjadikan entitas dalam grup yang sama lebih berkolerasi satu sama lain daripada entitas antar grup yang berbeda. Clustering dapat menyajikan sembarang divisi atau verteks.
Misalkan G = (V, G) adalah graf tak berarah. Suatu cluster Ci ⊆ V adalah himpunan bagian tak kosong dari verteks-verteks. Suatu clustering ζ = {C1, ..., Ck} dari G adalah partisi dari semua verteks kedalam cluster Ci. Him-punan E(Ci, Cj) terdiri atas semua sisi yang titik asalnya Ci dan titik tujuan-nya dalam Cj.E(Ci) adalah himpunan sisi yang memiliki titik asal dan tujuan dalam Ci. E(ζ) := Sk
i=1E(Ci) adalah himpunan sisi intra-cluster dan E(ς) :=
14
Kualitas suatu clustering ditentukan berdasarkan nosi densitas node dalam suatu cluster dan nosi kejarangan anatara cluster yang berbeda. Kualitas ini didefinisikan berdasarkan dua fungsi pembantu. Misal A(G) adalah himpunan dari semua clustering yang mungkin dari G, dan misalkan f dan g adalah fungsi yang mengukur densitas didalam cluster dan kejarangan antara cluster secara berturut-turut sehingga;
f, g :A(G)→R+∪ {0} (2.14)
Selanjutnya indeks kualitas dari clusteringζ didefinisikan sebagai:
index(ζ) = f(ζ) +g(ζ)
max{f(ζ′) +g(ζ′) :ζ′ ∈A(G)} (2.15)
Sebagian besar clustering trivial yakni partisi kedalam himpunan tunggal dan partisi kedalam hanya satu himpunan, akan memaksimumkan fungsi utili-tas. Idealnya akan dicariclustering non trivialyang juga memaksimumkan fungsi utilitas, atau semaksimum mungkin. Beberapa cara memodelkan fungsi f,g dan clustering yang diperoleh.
Cara yang paling dasar untuk membagi graf ke dalam cluster dengan memak-simumkan bobotintra-cluster edge. Coverageκ(ζ) mengukur bobot dari sisi intra-cluster, dibandingkan dengan bobot semua sisi yakni:
f(ζ) = X e∈E(ζ)
w(e), g ≡0 (2.16)
Nilai maksimum dari indeks coverage adalah ketika tidak di cluster sama sekali, atau ketika sisinya intra-cluster. Oleh karena itu nilai kualitas diberikan oleh:
κ(ζ) =
P
e∈E(ζ)w(e)
P
e∈Ew(e)
(2.17)
densi-15
f(ζ) := k
X
i=1
w(E(Ci)) (2.18)
dan
g(ζ) := (X u,v∈V
M.[(u, v)6∈E].[u∈Ci, v ∈Cj, i6=j]) (2.19)
2.10 Koefisien Clustering dan Transitifitas
Dalam banyak jaringan ditemukan bahwa jika verteksA terhubung dengan verteks B dan verteksB dengan verteks C, sehingga mempertinggi probabilitas bahwa verteksAakan terhubung dengan verteksC. Dalam bahasa jaringan sosial, teman dari temanmu kemungkinan akan menjadi temanmu.
Definisi: 2.10 Misalkan suatu node i yang memiliki ki tetangga, dan terdap-at ni edge diantara tetangga-tetangga nya. Selanjutnya koefisien clustering dari
i didefinisian sebagai:
Ci =
ni
ki ki >1
0 ki = 0atau1
(2.20)
jadi persamaan diatas mengukur derajat transitifitas suatu graf, semakin tinggi nilainya mengimplikasikan bahwa teman dari teman kemungkinan besar dengan sendirinya akan menjadi teman, hal ini menuntun kepada struktur graf. Sebagai contoh perhatikan Gambar 2.2.
16
Dalam istilah topologi jaringan, transitifitas berarti kehadiran segitiga dalam jumlah besar dalam jaringan, himpunan dari 3 verteks yang terhubung satu sama lain. Ini dapat diukur dengan mendefinisikan koefisien clustering C.
C = 3x jumlah segitiga dalam jaringan
jumlah connected triple dari verteks (2.21)
dimana ”connected triple” terdiri dari 3 verteks yang terhubung oleh 2 atau 3 sisi tak berarah. Misalnya, suatu segitiga A, B, C membuat 3 tripleABC, BCA,dan
CAB. Sebaliknya rantai dari node A, B, C yang terhubung dimanaB terhubung dengan A dan C namun A tidak terhubung dengan C yaitu membentuk triplet tunggal terbuka. Faktor pengali 3 pada pembilang persamaan diatas menunjukkan fakta bahwa setiap segitiga dihitung tiga kali dalam perhitungan triple.
Salah satu teknik clustering adalah melibatkan graf partisi: Graf dipecah menjadi dua partisi atau komunitas yang kemudian dapat mempartisi dirinya sendiri. Beberapa ukuran berbeda dapat dioptimisasikan ketika graf dipartisi.
Clustering data secara umum adalah untuk menemukan grup homogen di-mana kesamaan dalam grup diminimumkan dan kesamaan antar grup dimaksi-malkan. Dalam (Han dan Kamber, 2006) metodeclustering untuk data statis di-klasifikasikan kedalam 5 kategori utama, metode partisi, metode hirearki, metode berdasarkan densitas, dan metode berdasarkan grid dan model.
Metode partisi membangun k partisi data. Partisi ini rapuh jika sebagian dan setiap objek dalam dataset diijinkan dalam hanya satu partisi. Namun dalan partisi fuzzy suatu objek dapat menjadi lebih dari satu partisi dengan probabilitas yang beragam.
2.11 Clique
17
antar titik.
BAB 3
JARINGAN SOSIAL DINAMIS
Dalam bab ini akan dibicarakan tentang definisi jaringan sosial dinamis dan properti-propertinya. Jaringan sosial dinamis tidak hanya memodelkan relasi antara manusia dalam interaksi interpersonal, tapi juga melihat perkembangan dari relasi ini, baik cara dan luasnya relasi tersebut yang disebabkan perubahan atas waktu. Pada umumnya jaringan dalam dunia nyata tidak statis atau selalu berubah atas waktu, dimana node mungkin bertambah atau berkurang dan link baru terbentuk atau hilang. Jaringan sosial dinamis dapat digunakan untuk mem-odelkan dan menganalisis hubungan manusia dalam beberapa skenario potensial: hubungan sosial informal dari individu antar keluarga atau teman, kolaborasi struktural pekerja dari perusahaan besar, dan lain-lain. Definisi dari jaringan sosial dinamis secara matematis adalah:
Definisi 3.1: Jaringan sosial dinamis didefinisikan sebagai suatu graf inisial G dengan tak hingga rangkaian perubahan c1, ..., c∞, dimana setiap perubahan ci memiliki satu tipe berikut ini, penghapusan link, penghapusan node, penamba-han link, dan penambapenamba-han node, yang dinotasikan denganuv−, u−, uv+,dan u+ berturut-turut.
3.1 Properti Jaringan Dinamis
Hampir semua jaringan nyata yang luas berkembang atas waktu dengan penambahan dan pengurangan node dan edge. Model yang paling banyak akhir-akhir ini menangkap perubahan proses perkembangan dengan menggabungkan dua ”conventional wisdom” (Leskovec, et al. (2007)):
19
model dalam jaringan nyata, selanjutnya model Small-World yang diusulkan oleh Watts dan Strogatz(1998), dan model Scale-Free dari Barabasi dan Albert(1999).
3.2 Model Graf Random(Random Graph Model)
Induk dari semua model jaringan adalah model graf random Erdos dan Renyi (Bilgin dan Yener, 2006) yang merupakan model graf berkembang yang paling sederhana dan yang pertama. Setiap pasangan node memiliki kesamaan, dengan probabilitas dihubungkan suatu edge adalahp, dank adalah derajat node dan < k > adalah rata-rata derajat node dalam graf, sedangkan pk adalah dis-tribusi derajat yang menyatakan probabilitas terpilihnya secara random node yang berderajat k. Penelitian tentang model dasar ini telah menuntun kepada teori matematika yang kaya, namun model ini gagal menjelaskan banyak properti pen-ting dari jaringan dunia nyata, jadi adalah penpen-ting untuk mencari model baru. Walaupun model ini gagal tapi model ini sangat penting karena banyak sifat-sifat dari graf random telah dipelajari seperti derajat distribusi, clustering coefficient, connected component, dan diameter graf.
Model ini memiliki perkiraan geodesic path length yang kecil, dengan orde
lnN, dimana N adalah jumlah node dalam graf. Ini tidak mendemonstrasikan clustering local. Koefisien clustering (C) yang diharapkan dar suatu graf Erdos Renyi adalah C =< k > /N, karena terdapat pk(k− 1)/2 sisi antara tetangga suatu node dengan derajat k, diluar dari jumlah terbesar yang mungkin dari
k(k −1)/2. Oleh karena graf Erdos Renyi telah menghilangkan C untuk nilai
< k >tertentu dalam batas dari sistem berukuran besar. KetikaN → ∞,< k >
divergen jika ptertentu, dan p= <k> N−1.
Probabilitas suatu node random memiliki derajat k adalah perkalian dari tiga ketentuan yakni:
1. probabilitas bahwak link ada atau pk
2. probabilitas bahwa (N −1−k) link yang tersisa hilang atau (1−p)N−1−k
20
Oleh karena itu distribusi derajat dari graf random mengikuti distribusi binomial
pk =
N −1
k
pk(1−p)(N−1−k) (3.1)
untuk jumlah node N yang besar dan rata-rata derajat< k > tertentu, distribusi derajat lebih tepat diperkirakan mengikuti distribusi Poisson daripada distribusi power law.
pk=e<−k>
< k >k
k! (3.2)
Persamaan (3.1) dan (3.2) adalah distribusi derajat dari jaringan random. Dis-tribusi Binomial dan Poisson menggambarkan kuantitas yang sama, karena memi-liki beberapa kesamaan properti.
Probabilitas dua tetangga menjadi terhubung satu sama lain, menunjuk sebagai clustering coefficient dari graf random ditunjukkan sebagai perbandingan kecil terhadap jaringan nyata. Clustering coefficient dari graf random denganN
verteks diberikan oleh:
p= < k >
N (3.3)
dimana < k > adalah rata-rata derajat node dalam jaringan. Metrik yang lain yang sudah dibicarakan dalam tulisan ini adalah diameter jaringan yang dide-finisikan sebagai shortest path yang terpanjang dalam jaringan. Diameter dari jaringan random diberikan oleh persamaan berikut:
dmax =
log N
log < k > (3.4)
dari persamaan (3.4) jumlah verteks dalam jaringan meningkat maka diameter jaringan juga secara perlahan meningkat.
21
peta jalan, electric power grid, metabolite processing networks, dan jaringan neu-ron otak. Dalam banyak jaringan dunia nyata terdapat juga level yang lebih tinggi dari clustering dari yang ditemukan di graf random. Model Watts dan Strogatz mencoba menghitung properti small world dan mengclustering dengan cara sesederhana mungkin. Namun model menghasilkan graf yang mempunyai derajat homogen jadi tidak memiliki hub atau distribusi derajat scale free.
Terdapat banyak jaringan dalam dunia nyata yang strukturnya berubah, diatur oleh perkembangan secara dinamis dari sistem, misalnya dalam jaringan sosial ketika individu baru bergabung atas waktu. Model graf dibangun dengan mencoba menghasilkan proses perkembangan jaringan dalam dunia nyata. Mo-del Barabasi dan Albert dari jaringan yang berkembang adalah salah satu yang pertama yang menghasilkan jaringan melalui penambahan node dan sisi pada setiap langkah waktu (Barabasi dan Albert, 1999). Distribusi derajat dari jaring-an adalah scale-free, mencerminkan banyak jaringan dunia nyata seperti world wide web, jaringan kutipan karya ilmiah, dan jaringan aktor Hollywood. Dis-tribusi derajat p(k), dimana k adalah derajat node, mengikuti distribusi power law P(k)∼k−γ.
Graf dalam model ini dibangun menggunakan preferential attachment rules yang artinya node dengan derajat yang lebih tinggi lebih cenderung menerima sisi baru daripada node dengan derajat rendah. Sayangnya model preferential attachment rules tidak dapat menerima atau menambahkan sisi diantara node yang lama.
3.4 Model Jaringan Sosial
Misalkan terdapat sebuah jaringan sosial dalam bentuk jaringan pertemanan dimana individu sebagai node dan link tak berarah antar individu yang saling mengenal. Jaringan pertemanan berkembang dengan terbentuknya kenalan baru antar individu dan individu-individu ini akan bergabung dan meninggalkan jaring-an.
22
1. Satu individu terpilih secara acak dan saling memperkenalkan 2 kenalan se-cara sembarang. Kedua kenalan saling berteman satu sama lain, walaupun belum saling mengenal sebelumnya, dan satu link terbangun(transitive link-ing). Jika orang yang terpilih memiliki kurang dari 2 kenalan dia akan men-genalkan dirinya sendiri kepada individu lain yang dipilih secara random.
2. Dengan peluang sebesar p, orang yang terpilih secara acak meninggalkan jaringan, dan semua link antara dia dan kenalannya terhapus. Sebaliknya satu individu baru bergabung kedalam jaringan dan menjadi kenalan dengan satu individu random yang terpilih.
Sebagai catatan jumlah dari node n yang tersisa konstan, dengan mengabaikan fluktuasi dalam jumlah individu menjadi bagian dari jaringan pertemanan. Masa hidup link yang berhingga menuju pada titik stasioner dari jaringan memperki-rakan perilaku jaringan sosial nyata. Namun, sebaliknya model jaringan yang paling dinamis berdasarkan jaringan pertumbuhan. Dua skala waktu dari mo-del dipisahkan oleh probabilitas p. Dasar dari pembentukan koneksi sosial yang baru dapat dalam satuan menit atau jam, mengingat skala waktu dari bergabung atau meninggalkan jaringan mungkin terjadi dalam jangka waktu tahunan atau dekade.
3.5 Struktur dan Perkembangan Jaringan
Walaupun distribusi Gauss mempunyai sifat dasar yang umum, banyak kasus dimana probabilitas kejadian jauh dari rata-rata yang secara signifikan lebih tinggi dari distribusi Gauss. Didalam internet, misalnya rute paling banyak memiliki derajat rendah (misalnya rute beranda(home)), ketika beberapa rute yang secara ekstrim memiliki derajat tinggi (mungkin rute inti dari internet)(Faloutsos,et al. 1999). Distribusi power law mencoba untuk memodelkan.
23
Definisi 3.4.2 (Distribusi Power Low). Variabel acak didistribusikan menurut power law ketika fungsi densitas peluang(pdf) dengan:
p(x) =Ax−γ, γ >1, x≥xmin (3.6)
3.6 Pola dalam Graf yang Berkembang
Pencarian pola graf telah difokuskan terutama pada pola statis yang da-pat diekstraksi dari satu gambaran graf dalam waktu seketika. Banyak graf yang berkembang atas waktu (misalnya Internet dan WWW) dan akhir-akhir ini banyak peneliti yang memulai mencari pola dari graf yang berkembang ini. Berdasarkan percobaan yang dilakukan Leskovec, et al. (2007), dua pola kunci telah muncul:
1. Densification power Law. Leskovec,et al. (2007) menemukan beberapa graf nyata berkembang atas waktu menurut power low: jumlah node N(t) pada waktu t direlasikan dengan jumlah edge E(t) oleh persamaan:
E(t)∝N(t)α dimana 1≤α ≤2, (3.7)
parameterαdisebut eksponen densification power law dan terletak diantara 1 dan 2. Eksponen α = 1 berkorespondensi dengan derajat rata-rata kon-stan atas waktu dan α= 2 berkorespondesi dengan pemadatan graf secara ekstrim.
2. Shrinking Diameter. Leskovec, et al. (2007) juga menemukan bahwa dia-meter efektif dari suatu graf sebenarnya menyusut atas waktu, meskipun graf sendiri berkembang.
BAB 4
MODEL JARINGAN SOSIAL DINAMIS
Jaringan sosial dapat dimodelkan secara deterministik dan stokastik. Dalam bab ini akan dibahas model determinstik yaitu model Iterated Local Transitivi-ty(ILT) berdasarkan Bonato, et al. (2009). Model ini diaplikasikan terutama dalam jaringan sosial On-Line, untuk memodelkan interaksi sosial yang dinamis dalam jaringan tersebut. Gagasan utama dibalik model ini adalah transitifitas yang telah dibahas sebelumnya dalam subbab 2.10. Dalam bentuk yang seder-hana, transitifitas membangkitkan ide tentang kloning, dimana u dengan semua tetangga dari v. Dalam model ILT, diberikan beberapa graf inisial sebagai titik awal, node secara berulang ditambahkan atas waktu dengan mengklon setiap node, sehingga node baru terbentuk sebagai himpunan bebas. Model ILT tidak hanya melibatkan transitivitas, tapi juga menggunakan pengetahuan lokal dalam evolusi jaringan, dimana node yang baru hanya bergabung dengan tetangga dari suatu node yang sudah ada. Pengetahuan lokal adalah ciri utama dari jaring-an sosial djaring-an kompleks, dimjaring-ana node memiliki pengaruh yjaring-ang terbatas dalam topologi jaringan.
25
4.1 Model ILT
Model ini membangun graf sederhana dan tidak berarah (Gt : t ≥ 0) atas barisan tak hingga dari langkah waktu diskrit. Satu-satunya parameter dari mo-del ini adalah graf inisial G0, dari setiap graf terhubung berhingga tetap. Gt menyatakan graf pada waktu t dengan graf awal adalah G0, nt menyatakan banyaknya node atau orde dari grafGt dengan orde awal adalahn0, sedangkan et menyatakan jumlah sisi atau link dari graf Gt dengan jumlah sisi awal e0.
Ide kloning analog dengan bagaimana jaringan sosial bertumbuh atas waktu. Pada waktut, misalGtmenyatakan graf dalam suatu jaringan sosial. Pada waktu
t+ 1, pengguna baru y bergabung dengan jaringan dan menemukan temannya, sebut saja x, dan menjadi teman dengannya. Dengan menggunakan ide transi-tifitas, y juga menjadi teman dengan temannya x. Oleh karena itu, fenomena kloning secara alami muncul dalam jaringan nyata seperti jaringan sosial. Node-node dalam graf awal secara berulang ditambahkan atas waktu dengan mengklon setiap node.
Pada waktut+ 1 semua node dalamV(Gt) dikloning, sehingga untuk setiap node x ∈ V(Gt) terdapat x′ ∈ V(G
t+1) yang terhubung dengan x dan semua
tetangganya, maka banyaknya node pada waktu t+ 1 adalah dua kali banyaknya node pada waktu t. Sebagai catatan semua node baru padat+ 1 terbentuk dari himpunan bebas (tidak mengandung sisi dengan kardinalitas | V(Gt) |). Jika nt adalah banyak node atau orde dari Gt pada waktu t, dan et untuk jumlah sisi-sisinya maka dapat dilihat bahwant= 2tn0 selengkapnya dalam teorema berikut
ini.
Teorema 4.1 Untukt ≥0 makant= 2tn0
Bukti Dengan menggunakan induksi pada t ≥ 0, maka n0 = 20n0. Seperti
hipotesis induksi, untuk suatu t≥0 maka nt = 2tn0. Sekarang untuk nt+1, catat
bahwaGt+1 orde nya menjadi dua kali lipat pada waktut+ 1. Dengan perkataan
lain, nt+1 = 2nt. Oleh karena itu:
nt+1= 2nt = 2(2tn0) = 2t+1n0
26
Gambar 4.1 Contoh klon graf
sebagai:
degt+1(x) = 2degt(x) + 1, (4.1)
degt+1(x′) =degt(x) + 1 (4.2)
Persamaan 4.1 berasal dari fakta bahwa pada waktu t+1 setiap tetangga x dan klon nya memberikan kontribusi sisi yang baru pada x sehingga derajat x men-jadi dua kali lipat semula karena setiap tetangga x memiliki tepat satu klon dan bertambah satu dari klon nya sendiri yaitu x′, sehingga diperoleh:
degt+1(x) =degt(x) +degt(x) + 1 = 2degt(x) + 1
Sedangkan persamaan 4.2 berasal dari fakta bahwa node baru x′ berhubungan dengan semua tetangga x dan x sendiri, sehingga derajat dari x′ sama dengan derajat darix dan bertambah satu karena x′ berhubungan dengan x. Oleh sebab itu,
degt+1(x′) =degt(x) + 1
27
4.2 Derajat Rata-rata dan Densifikasi
Sekarang akan dihitung jumlah sisi dan derajat rata-rata dariGt, dan bukti mengikutidensification power lawuntuk model ILT. Didefinisikan volumeGtoleh:
vol(Gt) = X x∈V(Gt)
degt(x) = 2et (4.3)
Lemma 4.2Untukt ≥0, maka
vol(Gt+1) = 3vol(Gt) +nt+1
Bukti: Berdasarkan persamaan 4.1 dan 4.2 diperoleh bahwa:
vol(Gt+1) =
X
x∈V(Gt)
degt+1(x) +
X
x′∈V(Gt+1)\V(Gt)
degt+1(x′)
= X
x∈V(Gt)
(2degt(x) + 1) + X x′∈V(Gt)
(degt(x) + 1)
= (2(2et) +nt) + (2et+nt) = 6et+ 2nt
= 3vol(Gt) +nt+1 (4.4)
Teorema 4.3 Untukt >0, maka
vol(Gt) = 3tvol(G
0) + 2n0(3t−2t)
Bukti: Teorema ini akan dibuktikan dengan induksi padat≥0. Sebagai langkah awal ambilt = 1 sehingga diperoleh:
vol(G1) = 3vol(G0) + 2n0
Dengan hipotesis induksi, untukt ≥0, tetapkanvol(Gt) = 3tvol(G
28
Sekarang pada waktut+ 1 dengan menggunakan Lemma 4.2 diperoleh:
vol(Gt+1) = 3vol(Gt) +nt+1
Oleh karena induksi pada t, diperoleh
vol(Gt) = 3tvol(G
0) + 2n0(3t−2t)
Berikut diberikan rumusan untuk derajat rata-rata dari graf Gt.
Teorema 4.4 Untukt >0, maka rata-rata derajatGt, ditulis dengan degave(Gt) sama dengan:
Bukti:Berdasarkan Teorema 4.3 diperoleh bahwa:
degave(Gt) = vol(Gt)
Sekarang dapat dihitung ukuranetdari Gt menggunakan fakta bahwa
29
Lemma 4.5Untukt ≥0, maka et= 3t(e0+n0)−nt Bukti: Berdasarkan Teorema 4.3 diperoleh bahwa:
et =
Sebagai catatan Teorema 4.4 dan Lemma 4.5 memenuhi suatu densification power law dengan eksponen a = loglog32 ≈ 1.58. Densification power law membuat model ILT realistis, khususnya dalam menerangi pengambilan data dunia nyata dari jaringan kompleks.
4.3 Average Distance dan Diameter Didefinisikan indeks Wiener dari Gt sebagai:
W(Gt) = P
x,y∈V(Gt)dt(x, y)
dimana dt(x, y) adalah jarak antara 2 node berbeda sembarang x dan y pada waktu t. Indeks Wiener muncul dari aplikasi teori graf dalam ilmu kimia, dan mungkin digunakan untuk mendefinisikan jarak rata-rata(average distance) dari
Gt yang dinyatakan dengan L(Gt) sebagai:
L(Gt) = W(nGt t)
2
Selanjutnya akan dihitung akan dihitung rata-rata jarak dengan menurunkan ter-lebih dahulu indeks Wiener. Definisikan rata-rata jarak akhir (Ultimate Average Distance) dari G0 sebagai:
UL(G0) = lim
t→∞L(Gt)
asumsikan limitnya ada. Tetapkan nilai eksak dari L(Gt) dan hitung rata-rata jarak akhir u untuk setiap graf inisial G0. Berikut adalah Lemma yang penting
30
ikut serta dihilangkan. Karena dalam model ILT edge tidak dapat dihapus, jarak tidak dapat meningkat setelah suatu langkah kloning terjadi. Oleh karena itu
dt+1(x, y)≤ dt(x, y) Sekarang misalkan untuk suatu kontradiksi bahwa ada path
P′ menghubungkanx dan y dalam G
t+1 dengan panjang k < dt(x, y). Oleh
kare-na P′ memuat node tidak dalam Gt. Pilih suatu P′ dengan jumlah node paling sedikit, sebut s > 0, tidak dalam Gt. Ambil z′ adalah node berada dalam P′ tidak dalam Gt, dan misal tetangga dariz′ dalamP′ adalah udanv. Selanjutnya
z ∈V(Gt) bergabung denganudanv. Dari pathQ′ dengan menggantikanz′ oleh
z. Tapi selanjutnyaQ′ memiliki panjangk dans−1 banyaknya node tidak dalam
Gt, yang mengakibatkan suatu kontradiksi.
Teorema 4.7
1. Untukt >0 maka nilai indeks Wiener untuk Gt adalah
W(Gt) = 4tW(G0) + (e0+n0)
1− 3 4
t
2. Untukt >0 maka nilai jarak rata-rata Gt adalah
31
Jarak rata-rata dari Gt diatas adalah terbatas oleh diam(G0) + 1.
Selan-jutnya kondisi 3 untuk UL(G0) < L(G0) berpengaruh pada sikel dan path yang
besar. Oleh karena itu, banyak graf inisialG0, jarak rata-ratanya menurun.
Bukti:
Bukti bagian (1): Akan diuraikan perhitungan W(Gt) sebagai berikut. Untuk menghitung W(Gt+1), terdapat lima kasus yang harus dipertimbangkan: jarak
dalamGt, dan jarak dari bentuk: dt+1(x, y′), dt+1(x′, y), dt+1(x, x′),dandt+1(x′, y′).
Tiga kasus pertama menghasilkan 3W(Gt) oleh Lemma 4.6. Kasus ke empat menghasilkan nt dan kasus terakhir menghasilkan W(Gt) +et (bentuk et berasal dari fakta bahwa setiap sisi xy memberikandt(x, y) + 1).
Oleh Lemma 4.5 diperoleh bahwa:
W(Gt+1) = 4W(Gt) + 3t(e0+n0)−nt+nt = 4W(Gt) + 3t(e0+n0)
(4.6)
Sekarang dibuktikan W(Gt) dengan induksi.
Sebagai langkah dasar, menggunakan persamaan 4.6 diperoleh:
W(G1) = 4W(G0) +e0+n0
32
Pada waktu t+1 diperoleh bahwa:
W(Gt+1) = 4W(Gt) + 3t(e0+n0)
sehingga dengan induksi untuk semua t≥1 diperoleh:
W(Gt) = 4tW(G0) + (e0+n0)
1− 34t
Bukti bagian (2): Dari Teorema 4.7 bagian (1) bahwa
L(Gt) = W(Gt)
Bukti bagian (3): Berdasarkan Teorema 4.7 bagian (2),
33
Teorema 4.7 bagian (3) menyatakan bahwa untuk graf tertentu, jarak rata-rata akhir lebih kecil dari jarak rata-rata. Oleh karena itu banyak dari graf inisialG0,
memiliki rata-rata jarak menurun.
Lemma 4.8 UL(G0) ≤ L(G0) jika dan hanya jika W(G0) ≥ (n0 −1)(e0 +n0).
Bukti: UL(G0)≤ L(G0) dipenuhi jika dan hanya jika
0≥ 2 (W(G0) +e0 +n0) (n0)2
− 2W(G0) (n0)2−n0
Hal ini pada gilirannya ekivalen dengan:
2W(G0)n0 ≥ 2(e0n02−e0n0+n30−n20)
W(G0) ≥ e0n0 −e0+n20−n0
W(G0) ≥ (n0−1)(e0+n0)
Rata-rata jarak dariGt terbatas oleh diam(G0)−1, dan kondisi UL(G0)≤
L(G0) diatas memenuhi untuk sikel dan path yang besar, sehingga untuk banyak
graf inisial G0 rata-rata jarak menurun disetiap langkah.
Diameter adalah konstan dalam model ILT. Ini dicatat sebagai indikasi yang kuat dari propertismall world dalam model.
Lemma 4.9Untuk setiap graf Gyang berbeda dengan Clique, maka:
diam (Gt)=diam(G0) dan diam (Gt)=diam(G0) + 1 = 2 ketikaG0 adalah Clique.
Bukti: Selama diameter graf adalah maksimum dari semua jarak, bukti lem-ma ini langsung mengikuti Lemlem-ma 4.6.
4.4 Koefisien Clustering dan Derajat
Tujuan dari subbab ini adalah untuk mengestimasi koefisien Clustering dari
Gt. MisalNt(x) menjadi himpunan tetangga darixpada waktut, dan misale(x, t) adalah jumlah sisi dalam subgraf Gt induced oleh Nt(x). Untuk node x∈V(Gt) dengan derajat paling sedikit 2 didefinisikan sebagai:
ct(x) = edeg(x, t)
34
Dengan ketentuanct(x) = 0 jika derajat x paling banyak 1. Koefisien clustering dari Gt adalah
C(Gt) =
P
x∈v(Gt)
ct(x)
nt
Tinjau bahwaC(Gt) menuju 0 ketikat → ∞. Jika nilaint=n(sehingga t∼
log2 n), selanjutnya menghasilkan
C(Gt) =nlog2(7/8)+o(1) (4.7)
Berbeda dengan gaf random G(n, p) dengan rata-rata yang sebanding pn = Θ((3/2)log2n) = Θ(nlog2(3/2)) sebagaiGt, Koefisien clustering adalahp= Θ(nlog2(3/4))
yang mendekati 0 lebih cepat dari C(Gt).
Berikut akan dijelaskan struktur tidak bebas yang akan membantu meng-klasifikasikan derajat node. Diberikan sebuah nodex∈(G0) didefinisikan
descen-dant tree pada waktu t, dituliskan T(x, t), menjadi pohon biner dengan akar x, dan daunnya adalah semua node pada waktu t. Untuk mendefinisikan baris ke (k + 1) dari T(x, t), misal y adalah node dalam baris ke k (y berkorespondensi dengan node dalamGk). Selanjutnyaymemiliki 2descendantdalam barisk+1: y
sendiri dan y′. Dengan cara ini, dapat diidentifikasi node dari G
t dengan panjang barisan binertyang berkorespondensi kepadadescendantx, dengan menggunakan ketentuan suatu klon dilabel 1. Ditunjuk barisan itu sebagai barisan bilangan bin-er untuk x pada waktu t.
Lemma 4.10 Misal S(x, k, t) node dari T(x, t) dengan tepat k banyak barisan bilangan biner 0 pada waktut. Selanjutnya untuk semua y∈S(x, k, t)
35
Faktanya N(≥k) = Θ(nt) untuk k ≤ √nt, oleh karena itu derajat distribusi Gt tidak mengikuti power law. Karena kt node memiliki derajat sekitar 2k, de-rajat distribusinya mengikuti perilaku tipe binomial.
Lemma 4.11 Untuk semua x ∈ V(Gt) dengan k buah nol dalam barisan biner, diperoleh bahwa Ω(3k) =e(x, t) =O(3kt2)
Bukti: Untuk semua x∈ V(Gt) diperoleh bahwa
e(x, t+ 1) =e(x, t) + degt(x) +
Karena terdapat k banyaknya 0 dan e(x,2) selalu bernilai positif untuk semua graf inisial G0, e(x, t)≥3k−2e(x,2) =ω(3k) dan juga batas bawah.
Untuk batas atas, barisan biner umum yang berkorespondensi dengan x
dalam bentuk:
(1, ....,1,0,1, ....,1,0,1, ....,1,0,1, ...1,0,1, ...,1)
dengan posisi 0 dalam ik(1 ≤ i ≤ k). Anggap suatu lintasan dalam descendant tree dari akar pohon pada node x. Oleh Lemma 4.10, node pada lintasan dalam baris ke i (i < ij) memiliki (pada waktu ke t) derajat O(2j−1t).
Oleh karena itu, jumlah sisi diperkirakan menjadiO(t2) sampai baris ke (i 2−
1) meningkat menjadi 3O(t2))+O(21t) di baris berikutnya. Dengan menggunakan
36
Bukti: Untuk x ∈ V(Gt) dengan k banyaknya 0 dalam barisan binernya, oleh Lemma 4.10 dan 4.11 diperoleh bahwa:
c(x) = Ω
node dengan k banyaknya 0 dalam barisan biner,
C(Gt) =
Dengan cara yang sama, ini mengikuti
C(Gt) =
jaring-BAB 5
KESIMPULAN
Banyak sistem kompleks dalam dunia nyata dapat direpresentasikan sebagai graf. Entitas dalam sistem ini direpresentasikan dengan nodes atau verteks dan edge atau link yang menghubungkan setiap pasang node. Sistem ini disebut juga dengan jaringan dan sering sekali dijumpai dalam hampir semua bidang aplikasi misalnya ilmu komputer, sosiologi, kimia, biologi, antropologi, psikologi, geografi, sejarah dan lain-lain. Sampai saat ini penelitian tentang teori jaringan umum-nya berfokus pada graf yang diasumsikan statis atau tidak berubah atas waktu. Penelitian dalam teori jaringan dinamis telah dimotivasi oleh penemuan pola dan dalil. Penemuan pola ini dapat menjawab pertanyaan yang tidak dapat dijawab dalam jaringan statis misalnya tentang penyebab dan konsekuensi dari pola ini.
DAFTAR PUSTAKA
Albert, R. dan Barabasi, A. L. (2002). Statistical mechanics of complex networks Modern Physics vol.74, 47–97.
Barabasi, A. L. (2012). Network Sciencehttp://barabasilab.com/networksciencebook pdf version
Barabasi, A. L. dan Albert, R. (1999). Emergence of scaling in random networks Science vol. 286, 509-512.
Berger-Wolf, T. dan Saia, J. (2006). Framework for analysis of dynamic social network.Proceedings of 12 th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data mining 523–528
Bhan, A., Galas, D.J. dan Dewey, T.G. (2002) A Duplication growth model of gene expression networks. Bioinformatics 18, 1486-1493.
Bilgin, C.C. dan Yener, B. (2006). Dynamic network evolution: models, clustering, anomaly detection .IEEE Networks
Boccaletti, S., Latora,V., Moreno, Y., Chavez, M., dan Hwang, D.U.(2005). Com-plex networks: structure and dynamics. Physics ReportsPLREP 1398, Else-vier B.V.
Bonato, A.,dan Janssen, J. (2009). Infinite limits and adjacency properties a ge-neralized copying model.Internet Mathematics 4, 199-223
Bonato, A.,Hadi, N., Horn, P.,Pralat, P., dan Wang, C. (2009). Algorithms and models for Web-Graph lecture notes.Computer Science vol 5427, 127-142 Chakrabarti, D. (2006). Graph mining: laws, generators, and algorithms.ACM
Computing surveys vol. 38, Article 2.
Ding,X., Zhang,L., Wan, Z., dan Gu, M.(2011). De-anonymizing dynamic social network.IEEE Globecom 978-1-4244-9268-8/11
Ebel, H. , Davidson, J. dan Bornholdt, S. (2003) Dynamic of social network.Wiley Periodicals Inc., vol. 8, no. 2.
Falkowski , T. (2009). Community analysis in dynamic social networkDissertation Fakultat fur Informatik der Otto-von-Guericke, Universitat Magdeburg. Floyd, R. W., (1962). Shortest Path.Commun. ACM vol. 5, pp.345
39
Newman, M. E. J. (2003). The Structure and function of complex networks.SIAM Rev. 45 no. 2. 167–256.
Wasserman, S. dan Faust, K.(1994). Social network analysis: methods and appli-cations.Cambridge University Press. Cambridge, MA.
Watts, D. J. dan Strogatz, S.H. (1998). Collective dynamics of small-world net-works. Nature vol. 393, 440-442. .
