Masalah Penentuan Rute Kendaraan Antarjemput Roti

(1)

MASALAH PENENTUAN RUTE KENDARAAN

ANTARJEMPUT ROTI

SONIA MEITHANIA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Masalah Penentuan

Rute Kendaraan Antarjemput Roti adalah benar karya saya dengan arahan dari

komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan

tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang

diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks

dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada

Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Maret 2014

Sonia Meithania

(4)

ABSTRAK

SONIA MEITHANIA. Masalah Penentuan Rute Kendaraan Antarjemput Roti.

Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan FARIDA HANUM.

Pendistribusian produk merupakan salah satu kegiatan penting bagi sebuah

perusahaan. Karya ilmiah ini membahas tentang masalah antarjemput produk

dalam suatu perusahaan. Karya ilmiah ini bertujuan menentukan sebuah rute

optimal dalam bentuk

vehicle routing problem with pickup and delivery with time

windows

(VRPPDTW). Dalam karya ilmiah ini terdapat contoh yang

menggambarkan proses antarjemput produk dalam suatu perusahaan roti dengan

1 depot, 10 pelanggan, dan 7 buah kendaraan. Tahap pertama dengan menentukan

jumlah minimum kendaraan yang digunakan. Tahap kedua dengan menentukan

rute dengan biaya minimum. LINGO 11.0 digunakan dalam menyelesaikan

masalah tersebut.

Kata kunci: antarjemput produk, optimasi,

time windows

,

vehicle routing problem

ABSTRACT

SONIA MEITHANIA. Route Decision Problem of Bread Pickup and Delivery.

Supervised by TONI BAKHTIAR and FARIDA HANUM.

Product distribution is one of important activitis for a company. In this

paper we discussed a pickup and delivery problem in a company. The objective is

to find an optimal route in the framework of vehicle routing problem with pickup

and delivery with time windows (VRPPDTW). We provided an illustrative

example which describes a pickup and delivery process in a bread company with 1

depot, 10 customers, and 7 units of vehicles. In the first stage we decided the

minimum number of vehicles required. Then, in the second stage, we determined

the route with minimum cost. LINGO 11.0 is utilized in solving the problem.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

MASALAH PENENTUAN RUTE KENDARAAN

ANTARJEMPUT ROTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

(6)

(7)

Judul Skripsi : Masalah Penentuan Rute Kendaraan Antarjemput Roti

Nama

: Sonia Meithania

NIM : G54090049

Disetujui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Pembimbing I

Dra Farida Hanum, MSi

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah

subhanahu wa t

a’ala

atas

segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang

dipilih dalam karya ilmiah ini ialah Riset Operasi, dengan judul Masalah

Penentuan Rute Kendaraan Antarjemput Roti.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc dan Ibu

Dra Farida Hanum, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Drs Siswandi, MSi yang

telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada

ayah, ibu, serta teman-teman, atas segala doa dan kasih sayangnya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Maret 2014

(9)

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

1

Vehicle Routing Problem

(VRP)

1

Definisi dan Karakteristik VRP

1

Metode Penyelesaian VRP

2

Formulasi Matematika VRP

2

Kelas-kelas VRP

3

Vehicle Routing Problem with Time Windows

(VRPTW)

4

Formulasi Matematika VRPTW

5

Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery

(VRPPD)

6

Formulasi Matematika VRPPD

6

APLIKASI PENDISTRIBUSIAN ROTI PADA PT NIPPON INDOSARI

CORPORINDO

7

HASIL DAN PEMBAHASAN

13

SIMPULAN

21

DAFTAR PUSTAKA

21

LAMPIRAN

23

RIWAYAT HIDUP

46

(10)

DAFTAR TABEL

1

Jarak antarlokasi depot dan pelanggan

9

2

Banyak roti yang dikirim dan diambil, waktu pelayanan,

dan

time windows

10

3

Kapasitas, kecepatan, dan biaya operasional kendaraan

10

4

Time windows

yang berlaku pada kendaran 4

16

5

Jumlah roti diantarjemput dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh

Kendaraan 4

17

6

Time windows

yang berlaku pada kendaran 5

17

7

Kendaraan 5

18

8

Time windows

19

9

Kendaraan 6

19

10

Time windows

20

11

Kendaraan 7

20

DAFTAR GAMBAR

1

Lokasi depot dan semua pelanggan

9

2

Rute Kendaraan 4 pada Tahap 1

14

3

14

4

14

5

Rute Kendaraan 7 pada Tahap 1

14

6

15

7

15

8

15

9

15

10 Aktivitas antarjemput roti dan

time windows

pada Kendaraan 4 17

time windows

pada Kendaraan 5 18

12 Aktivitas antarjemput roti dan

time windows

pada Kendaraan 6 19

time windows

pada Kendaraan 7 21

DAFTAR LAMPIRAN

1

Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam menyelesaikan

jumlah kendaraan optimal pada pendistribusian roti

22

2

Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam menentukan

(11)

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Dalam suatu perusahaan ada beberapa masalah yang dihadapi di antaranya

ialah masalah pendistribusian hasil produksi perusahaan dari depot ke semua

pelanggannya.

Akibatnya

harus

ditentukan

rute

yang

tepat

dengan

mempertimbangkan jarak yang ditempuh, jumlah, dan kapasitas kendaraan yang

dipakai, waktu yang diperlukan dalam perjalanan, serta faktor lain yang lazimnya

dapat meminimumkan biaya operasional.

Dalam karya ilmiah ini dibahas masalah pendistribusian roti ke sejumlah

pelanggan. Pada masalah pendistribusian roti dalam kasus ini, setiap kendaraan

tidak hanya bertugas untuk mengantarkan roti baru kepada pelanggan, namun juga

mengambil roti yang sudah kadaluarsa. Pada proses pengambilan dan pengiriman

roti tersebut dipertimbangkan pula kendala batas waktu (

time windows

) dari setiap

pelanggan yaitu waktu kendaraan harus tiba di suatu pelanggan dan waktu

kendaraan harus meninggalkan pelanggan tersebut, serta ditentukan pula waktu

setiap kendaraan harus berangkat dan kembali ke depot.

Masalah antarjemput tersebut termasuk dalam

Pickup and Delivery

with Time Windows

(VRPPDTW). Model tersebut bertujuan

meminimumkan banyaknya kendaraan yang dipakai dan mampu meminimumkan

biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan dengan rute yang optimal.

Tujuan Penelitian

Tujuan karya ilmiah ini ialah:

1

memformulasikan masalah pendistribusian roti sebagai

Vehicle Routing

Problem with Pickup and Delivery and Time Windows

(VRPPDTW),

2

menerapkan model VRPPDTW tersebut pada pendistribusian roti pada PT

Nippon Indosari Corporindo.

TINJAUAN PUSTAKA

(VRP)

Definisi dan Karakteristik

(VRP)

(12)

2

Pada TSP terdapat sejumlah kota dan seorang

salesman

yang harus menemukan

jalur terpendek untuk mengunjungi setiap kota tepat satu kali dan selesai di kota

asal, sementara pada

m

-TSP terdapat sejumlah

salesman

yang akan mengunjungi

sejumlah kota tepat satu kali. Pada VRP, kota-kota di

m

-TSP merupakan

pelanggan-pelanggan yang memiliki permintaan terhadap barang dan jasa.

Salesman

pada

m

-TSP merupakan kendaraan yang memiliki kapasitas tertentu

sehingga total permintaan dari pelanggan-pelanggan pada suatu rute tidak boleh

melebihi kapasitas kendaraan yang melayani rute tersebut, dan setiap pelanggan

dalam VRP hanya boleh dikunjungi satu kali (Benavent dan Martinez 2009).

VRP pertama kali dipelajari oleh Dantzig dan Ramser pada tahun 1959

dalam bentuk rute dan penjadwalan truk. Pada tahun 1964 Clarke dan Wright

kemudian melanjutkan penelitian ini dengan memperkenalkan istilah depot

sebagai tempat keberangkatan dan kembalinya kendaraan. Sejak saat itu penelitian

VRP terus berkembang karena peran VRP yang penting dalam distribusi dunia

industri. Terdapat empat tujuan utama VRP, yaitu meminimalkan biaya

transportasi, meminimalkan jumlah kendaraan yang dibutuhkan, mengoptimalkan

rute, dan meminimalkan biaya penalti akibat pelayanan yang kurang memuaskan.

Karakteristik utama VRP berdasarkan komponen-komponennya terdiri

dari rute perjalanan yang digambarkan dengan

graph

yang terdiri dari

arc

(lengkung) dan verteks (titik), pelanggan yang ditandai dengan suatu verteks

(titik) yang memiliki jumlah permintaan barang dan

time windows

yang

berbeda-beda, depot yang ditandai dengan verteks (titik) yang menjadi titik awal dan akhir

perjalanan dari tiap kendaraan (Toth dan Vigo 2002).

Metode Penyelesaian VRP

Permasalahan untuk mendapatkan hasil solusi yang optimal dari

pemecahan VRP (

) menjadi bertambah jika terdapat

penambahan kendala (

constraints

) pada kasus yang harus diselesaikan. Pada

dasarnya terdapat tiga macam penyelesaian VRP yaitu dengan metode solusi

eksak yang melakukan pendekatan dengan menghitung sampai satu solusi terbaik

dapat diperoleh, dengan metode heuristik yaitu dengan melakukan pendekatan

namun waktu penyelesaian lebih cepat daripada solusi eksak, dan dengan metode

metaheuristik yaitu dengan melakukan perbaikan mulai dengan satu atau lebih

solusi awal (Toth dan Vigo 2002). Dalam karya ilmiah ini digunakan metode

solusi eksak dengan bantuan

software

LINGO 11.0 dalam mencari solusi optimal.

Formulasi Matematika VRP

(13)

3

Variabel keputusan

= { ,

,

selainnya

jika terjadi kunjungan dari pelanggan

i

ke pelanggan

j

Fungsi objektif

min

∑ ∑

� �

Kendala

∑

= , ∀

� − { }

�

. . .

(1)

∑

= , ∀

� − { }

�

. . .

(2)

∑

= �

�

. . .

(3)

∑

= �

�

. . .

(4)

∑ ∑

�

S

� , ∀� ⊆ � − { }, � ≠ ∅ . . .

(5)

{ , }, ∀ ,

� . . .

(6)

Dari formulasi matematika tersebut ditunjukkan bahwa fungsi objektif

bertujuan meminimumkan biaya perjalanan. Kendala (1) dan (2) menyatakan

bahwa tiap pelanggan tepat dikunjungi satu kali. Kendala (3) dan (4) menyatakan

bahwa banyaknya kunjungan yang masuk ke depot dan keluar dari depot besarnya

sama dan ditunjukkan dengan

�

. Kendala (5) menyatakan kunjungan yang terjadi

bernilai lebih besar atau sama dengan jumlah kendaraan yang tersedia. Kendala

(6) menyatakan bahwa variabel kunjungan bernilai biner (Toth dan Vigo 2002).

Kelas-Kelas VRP

(14)

4

Route Length

Backhauling

Time Windows

Mix Service

Dalam karya ilmiah ini dibahas dua kelas VRP yaitu VRP

with Time Windows

(VRPTW) dan VRP

with Pickup and Delivery

(VRPPD).

with Time Windows

(VRPTW)

Vehicle Routing Problem with Time Windows

(VRPTW) adalah masalah

penentuan rute kendaraan dengan biaya minimum untuk melayani seluruh

pelanggan dan memenuhi kendala kapasitas kendaraan dan

time windows

pada

setiap pelanggan dan depot.

Time windows

pada depot didefinisikan sebagai

selang waktu kendaraan berangkat dan kembali lagi ke depot.

Time windows

pada

depot disebut juga

scheduling horizon

, yang berarti bahwa setiap kendaraan tidak

boleh meninggalkan depot sebelum waktu awal depot dimulai dan harus kembali

ke depot sebelum waktu akhir depot selesai.

Time windows

pada setiap pelanggan

didefinisikan sebagai selang waktu sehingga kendaraan dapat memulai pelayanan

setelah waktu awal pelanggan dimulai dan sebelum waktu akhir pelanggan selesai.

Jika kendaraan datang sebelum waktu awal pelanggan maka kendaraan harus

menunggu sampai tiba waktu awal pelanggan dapat dilayani, dan kendaraan yang

menunggu tidak dikenai biaya tambahan. Terdapat dua tipe

time windows

pada

VRPTW, yaitu

hard time windows

dan

soft time windows

. Pada

hard time

windows

, kendaraan harus tiba di pelanggan sebelum waktu akhir pelanggan.

Kendaraan yang datang setelah waktu akhir pelanggan disebut

tardy

. Pada

soft

time windows

, kendaraan boleh datang setelah waktu akhir pelanggan dan

dikenakan biaya tambahan (Kallehauge

et al

. 2005).

VRPTW memiliki beberapa kriteria yaitu rute setiap kendaraan pasti

berawal dan berakhir di depot, setiap pelanggan dilewati tepat oleh satu rute,

jumlah permintaan dari pelanggan pada suatu rute tidak melebihi kapasitas

CVRP

(

Capacitated

VRP)

DCVRP

(

Distance

Capacitated

VRP)

VRPB

(VRP

Backhauls

)

VRPTW

(VRP

with Time

Windows

)

VRPPD

(VRP

with Pickup

and Delivery

)

VRPBTW

(VRP

with

Backhauls&Time

Windows

)

VRPPDTW

(VRP

with Pickup

(15)

5

kendaraan, dan setiap pelanggan memiliki kendala

time windows

(batas waktu)

(Cordeau

et al

. 2002).

Formulasi Matematika VRPTW

Didefinisikan

� = �, �

merupakan graf lengkap dengan

� = { , , . . }

,

verteks 0 menunjukkan depot dan selainnya menunjukkan pelanggan. Dan

dimisalkan bahwa

⊆ � − { }

menunjukkan himpunan pelanggan sedangkan K

menunjukan himpunan kendaraan. A didefinisikan sejumlah lintasan yang terdiri

dari lintasan berlawanan

,

dan

,

untuk setiap

,

�

dan menyatakan

kendaraan,

�

. Notasi

menunjukkan besarnya biaya yang dikeluarkan

untuk perjalanan dari pelanggan ke pelanggan ,

menunjukkan banyaknya

permintaan pada pelanggan , menyatakan kapasitas kendaraan,

menyatakan

waktu dimulainya pelayanan pada pelanggan oleh kendaraan , menyatakan

lama pelayanan pelanggan ,

menyatakan lama perjalanan dari pelanggan ke

pelanggan

dengan kendaraan

,

[ , ]

menyatakan

time windows

yang

menunjukkan waktu tercepat dan waktu terlama dalam melayani pelanggan ,

serta merupakan konstanta positif yang nilainya relatif besar.

Variabel keputusan

= { ,

,

jika

selainnya

pelanggan

j

dilayani setelah pelanggan

i

oleh kendaraan

k

Fungsi objektif

min

∑ ∑

, �

�

Kendala

∑ ∑

= , ∀

…

1

� �

∑

= , ∀

�

…

2

∑

= , ∀

�

…

3

∑

− ∑

�

= , ∀

�,

�

…

4

∑

�

∑

�

, ∀

� …

5

+ +

−

( −

)

, ∀

�, ,

� …

6

…

7

+

…

8

…

9

, ∀

�, ,

� …

10

(16)

6

Dari formulasi matematika di atas terlihat bahwa fungsi objektif bertujuan

meminimumkan biaya perjalanan. Kendala 1 menyatakan tiap pelanggan tepat

dikunjungi sekali oleh tiap kendaraan. Kendala 2 dan 3 menyatakan bahwa semua

kendaraan harus memulai rute perjalanan dari depot dan kembali lagi ke depot.

Kendala 4 menyatakan kekontinuan rute yaitu ketika kendaraan meninggalkan

pelanggan, kendaraan tidak akan kembali ke pelanggan tersebut. Kendala 5

menyatakan bahwa banyaknya permintaan tidak akan melebihi kapasitas

kendaraan. Kendala 6-8 menyatakan batas waktu (

time windows

) yang berlaku

pada setiap pelanggan. Kendala 9 dan 10 merupakan kendala ketaknegatifan.

Kendala 11 menyatakan bilangan biner yaitu jika terjadi kunjungan maka bernilai

1 sedangkan jika tidak terjadi kunjungan maka bernilai 0 (Cordeau

et al

. 2002).

with Pickup and Delivery

(VRPPD)

Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery

(VRPPD) adalah

aktivitas pendistribusian barang pada VRP yang tidak hanya sekedar mengantar

barang tetapi juga mengambil barang dari setiap pelanggan pada satu rute.

VRPPD bertujuan meminimumkan biaya dengan cara meminimumkan jarak/rute

yang ditempuh oleh kendaraan dengan batasan semua aktivitas antarjemput

barang terpenuhi dan setiap pelanggan hanya sekali dikunjungi oleh satu

kendaraan dengan kapasitas yang terbatas (Desaulniers

et al

. 2002). Dalam

VRPPD diasumsikan bahwa pengiriman dilakukan sebelum pengambilan.

Formulasi Matematika

Didefinisikan

� = �, �

merupakan graf lengkap dengan

� = { , , . . }

,

verteks 0 menunjukkan depot dan selainnya menunjukkan pelanggan. Dimisalkan

bahwa

⊆ � − { }

yang menunjukkan himpunan pelanggan, sedangkan

A

adalah

himpunan yang terdiri dari rute yang berlawanan

,

dan

,

untuk setiap

,

�

. Diketahui

dan

menunjukkan banyaknya barang yang diantar dan

dijemput pada sepanjang lintasan

,

�

, sedangkan

merupakan bilangan

biner yang menyatakan ada atau tidak adanya kunjungan yang dilakukan dari

pelanggan ke pelanggan

j.

Parameter

= biaya perjalanan dari pelanggan

i

ke pelanggan

j

yang dikeluarkan oleh

perusahaan

= banyaknya barang yang diantar pada sepanjang lintasan dari pelanggan

i

ke

pelanggan

j

= banyaknya barang yang diambil pada sepanjang lintasan dari pelanggan

i

ke

pelanggan

j

m

= banyaknya kendaraan yang tersedia

Q

= kapasitas kendaraan

Variabel keputusan

(17)

7

Fungsi objektif

min

∑ ∑

� �

.

Fungsi objektif bertujuan meminimumkan total biaya perjalanan dari semua

perjalanan di setiap pelanggan.

Kendala

1

Setiap pelanggan harus dikunjungi tepat sekali:

∑

�

= , ∀

�,

∑

�

= , ∀

�.

2

Kendaraan yang tersedia cukup untuk melakukan pendistribusian:

∑

�

.

3

Banyaknya barang antarjemput pada pelanggan

j

bergantung pada banyaknya

barang pada sepanjang lintasan:

∑

�

− ∑

�

= , ∀

�,

∑

�

− ∑

�

= � , ∀

�.

4

Total barang yang dikirim dan diambil tidak melebihi kapasitas kendaraan:

+

, ∀ ,

�.

5

Kendala ketaknegatifan:

, ∀ ,

�,

, ∀ ,

�,

{ , }, ∀ ,

�.

(Subramanian dan Ochi 2010).

APLIKASI PENDISTRIBUSIAN ROTI PADA PT NIPPON

INDOSARI CORPORINDO

(18)

8

kapasitas kendaraan, jarak, serta beberapa kendala yang lainnya. Pada formulasi

permasalahan ini digunakan asumsi-asumsi sebagai berikut:

1

semua permintaan antarjemput roti dari pelanggan dapat terpenuhi,

2

dari beberapa variasi dan ukuran roti yang diproduksi, dalam simulasi ini

jenis roti yang diantarjemput adalah homogen (memiliki ukuran dan jenis

yang sama), karena akan berpengaruh pada kapasitas kendaraan dan biaya

yang dikeluarkan perusahaan,

3

jarak antarpelanggan adalah simetrik, artinya jarak dari pelanggan ke

pelanggan

sama dengan jarak dari pelanggan ke pelanggan ,

4

kecepatan dari tiap kendaraan berbeda-beda satu dengan yang lain, namun

kecepatan kendaraannya konstan yakni kendaraan tidak mempercepat

maupun memperlambat kecepatan,

5

pengiriman dan pengambilan roti dilakukan di pelanggan yang sama, yaitu

dengan mengantar roti yang baru ke suatu pelanggan sekaligus mengambil

roti yang sudah kadaluarsa.

Langkah awal yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah

pendistribusian produk dalam model VRP. Dalam karya ilmiah ini, data yang

dipakai berasal dari beberapa sumber. Data banyaknya pengiriman dan waktu

yang dibutuhkan untuk melayani tiap pelanggan diperoleh dari hasil penelitian

Raditya pada tahun 2009. Data jarak antarpelanggan diperoleh dengan bantuan

Googlemap

, sedangkan data banyaknya pengambilan, data waktu tercepat dan

terlama, dan data tentang kendaraan yang dipakai dalam pendistribusian

merupakan data hipotetik.

Karya ilmiah ini mengambil studi kasus pendistribusian roti pada PT

Nippon Indosari Corporindo yang dikenal dengan produ

knya bermerek “Sari

(19)

9

Gambar 1 Lokasi depot dan semua pelanggan

Dari peta pada Gambar 1, dapat dilihat letak dari depot dan pelanggan,

sedangkan jarak di antaranya diasumsikan simetris yaitu jarak dari pelanggan ke

pelanggan sama dengan jarak dari pelanggan ke pelanggan . Jarak antarlokasi

diperoleh dari bantuan

Googlemap

dapat dilihat pada tabel sebagai berikut:

Tabel 1 Jarak antarlokasi depot dan pelanggan (km)

Setiap pelanggan memiliki jumlah permintaan barang yang harus diantar

dan dijemput. Lamanya waktu yang dibutuhkan untuk melayani tiap pelanggan

berbeda-beda. Selain itu, tiap pelanggan memiliki batas waktu (

time windows

)

yang berbeda pula yaitu selang waktu tercepat dan terlama dalam melayani tiap

pelanggan. Banyaknya roti yang diantar dan lamanya waktu pelayanan diperoleh

dari hasil penelitian Raditya pada tahun 2009, sedangkan banyaknya roti yang

dijemput dan

time windows

merupakan data hipotetik. Data disajikan pada Tabel

2.

Jarak A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

A

0

28.6 27.3 29.3 27.3 29.4 29.8 20.9 16.5 33.6 29.8

B

0 4.3 7.7 5.8

6.8 10.2

9.6

8 13.7

6.8

C

0

11.4 9.9

8

8.1

8.3

8.4

3.4

D

0 4.6

6.4 15.9 14.7

13 12.4

11

E

0 10.5 16.8 16.8 11.1 15.6 13.3

F

0 16.8 15.3 12.1

7.2

5.7

G

0 11.1 18.7 17.5

7.2

H

0

5.4 14.4 11.2

I

0 19.6 10.8

J

0

10

(20)

10

Tabel 2 Banyak roti yang dikirim dan diambil, waktu pelayanan, dan

time

windows

Proses pendistribusian roti menggunakan 7 buah kendaraan, yaitu 2 buah

mobil boks besar, 2 buah mobil boks sedang, 2 buah mobil boks kecil, dan 1 buah

sepeda motor. Setiap kendaraan memiliki kapasitas dan kecepatan yang

berbeda-beda dan besarnya biaya operasional yang berberbeda-beda. Data disajikan pada Tabel 3.

Tabel 3 Kapasitas, kecepatan, dan biaya operasional kendaraan

No.

Kend

Jenis Kendaraan

Kapasitas

(kardus)

Kecepatan

(km/menit)

Biaya Operasional

(rupiah/km)

1

Mobil Boks Besar

100

0.5

100 000

2

Mobil Boks Besar

100

0.5

100 000

3

Mobil Boks Sedang

80

0.7

80 000

4

Mobil Boks Sedang

80

0.7

80 000

5

Mobil Boks Kecil

50

1.2

50 000

6

Mobil Boks Kecil

50

1.2

50 000

7

Sepeda Motor

25

1.3

25 000

Label

Nama tempat

Jumlah

roti

dikirim

(kardus)

Jumlah

roti

diambil

(kardus)

Waktu

pelayanan

(menit)

Time

windows

(menit ke)

A

PT Nippon Indosari

Corporindo (depot)

-

B

Lion Superindo

Borobudur Bekasi

7

5

34

07.13-09.40

C

Giant Jati Bening

9

10

47

07.16-09.38

D

Carrefour Cakung

12

4

54

07.27-09.44

E

Giant Pondok Kopi

15

10

18

07.40-09.11

F

Star Mart Persada

Golf

4

8

07.11-08.42

H

Hero Kemang

Pratama

12

9

37

07.34-09.14

I

Carrefour Bekasi

Square

8

1

91

07.06-09.57

J

Tip-Top Pondok

Bambu

37

25

81

07.23-09.10

(21)

11

Penyelesaian masalah pendistribusian roti melalui 2 tahap yaitu

meminimumkan banyak kendaraan yang digunakan, dan meminimumkan biaya

yang dikeluarkan perusahaan. Formulasi matematika dari masalah tersebut dapat

ditulis sebagai berikut :

Himpunan

ℕ = {A, B, . . K} =

himpunan depot dan pelanggan, dengan

A

menyatakan depot

ℍ = {B, C, . . K} =

himpunan pelanggan

� = { , , … , } =

himpunan kendaraan

Indeks

, =

indeks untuk menyatakan depot dan pelanggan

=

indeks untuk menyatakan kendaraan

Parameter

= biaya perjalanan dari pelanggan

i

ke pelanggan

j

yang dikeluarkan oleh

perusahaan (Rp 1 000.00/km)

= banyaknya roti baru yang dikirim ke pelanggan

�

= banyaknya roti lama yang diambil dari pelanggan

= jumlah roti baru yang dibawa pada sepanjang lintasan dari pelanggan

ke pelanggan

ℎ

= jumlah roti lama yang dibawa pada sepanjang lintasan dari pelanggan

ke pelanggan

= kapasitas kendaraan

= biaya penggunaan kendaraan

�

= kecepatan kendaraan

= jarak antara pelanggan ke pelanggan (km)

= lama perjalanan dari pelanggan ke pelanggan dengan kendaraan

= lama pelayanan pelanggan

= waktu dimulainya pelayanan pada pelanggan oleh kendaraan

k

[ , ]

=

time windows

yang menunjukkan waktu tercepat dan waktu terlama

dalam melayani pelanggan

= total biaya yang dikeluarkan perusahaan

= konstanta positif yang nilainya relatif besar

Dalam simulasi ini digunakan 1 depot, 10 pelanggan, dan 7 kendaraan. Maka nilai

dari

= , , . .

,

= , , . .

, sedangkan 0 menyatakan depot dan

= , , . .

.

Variabel keputusan

= { ,

,

selainnya

pelanggan

,

j

dilayani setelah pelanggan

i

oleh kendaraan

k

= {

1,

,

selainnya.

jika kendaraan

k

digunakan

Fungsi objektif

Tahap 1 (Meminimumkan jumlah kendaraan)

min

� = ∑

=

(22)

12

Kendala

1

Total biaya yang dikeluarkan perusahaan meliputi biaya perjalanan dan biaya

operasional kendaraan:

= ∑ ∑ ∑

= = =

+ ∑

=

, ∀ , , ≠ ,

=

.

2

Tidak semua kendaraan keluar dari depot:

∑

=

, ∀

�.

3

Setiap pelanggan dikunjungi tepat sekali oleh satu kendaraan:

∑ ∑

= = ≠

= , ∀ ,

∑ ∑

= = ≠

= , ∀ .

4

Kekontinuan rute yaitu ketika kendaraan meninggalkan pelanggan, kendaraan

tidak akan kembali ke pelanggan tersebut:

∑

= ≠

− ∑

= ≠

= , ∀ , .

5

Total barang yang dikirim dan diambil tidak melebihi kapasitas setiap

kendaraan:

+ ℎ

∑

=

, ∀ , , ≠ .

6

Lama perjalanan dipengaruhi oleh jarak antarpelanggan dan kecepatan

kendaraan yang digunakan:

= � ,∀ , , , ≠ .

7

Banyaknya barang yang diambil pada pelanggan

bergantung pada

banyaknya barang pada sepanjang lintasan:

∑ ℎ

= ≠

− ∑ ℎ

= ≠

= � , ∀ , > .

8

Banyaknya barang yang dikirim pada pelanggan

bergantung pada

banyaknya barang pada sepanjang lintasan:

∑

= ≠

− ∑

= ≠

= , ∀ , > .

9

Kendala ketaknegatifan:

(23)

13

ℎ

, ∀ , , ≠ .

10

Waktu pelanggan mulai dilayani oleh kendaraan :

+ +

− ( −

)

, ∀ , , , ≠ ,

.

11

Time window

yang berlaku di setiap pelanggan:

, ∀ , ,

,

+

, ∀ , ,

,

, ∀ , , ≠

.

Tahap 2 (Meminimumkan biaya)

min

∑ ∑ ∑

∗

= = ≠ =

+

.

Kendala

∑

=

∗

,

dengan

∗

merupakan banyaknya kendaraan minimum yang diperoleh dari Tahap

1. Selainnya sama dengan kendala pada Tahap 1 nomor 1-10.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam karya ilmiah ini solusi optimal masalah pendistribusian roti dicari

dengan peranti lunak LINGO 11.0. Tujuan akhir dari masalah ini adalah

menemukan rute antarjemput roti yang meminimumkan biaya operasional

kendaraan. Ada dua tahap pencarian solusi, pertama menentukan jumlah

minimum kendaraan yang diperlukan. Setelah jumlah ditentukan, tahap kedua

adalah mengatur ulang rute agar mendapatkan rute yang optimal sedemikian

sehingga biaya operasional dapat ditekan sekecil mungkin.

Tahap 1

Meminimumkan jumlah kendaraan

Dari 7 kendaraan yang tersedia diperoleh kendaraan optimal yang

digunakan untuk pendistribusian ini adalah 4 kendaraan, yaitu kendaraan 4, 5, 6

dan 7. Waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan solusi tersebut adalah 3 jam 50

menit 11 detik

dengan menggunakan komputer Intel® Atom™ CPU

N450@1.66Ghz 512KB Cache

dengan banyaknya iterasi adalah 14 826 800

iterasi.

Biaya yang dikeluarkan

(24)

14

Rute yang dihasilkan

Hasil dari iterasi program LINGO 11.0 rute Kendaraan 4 adalah A-K-C-A

pada gambar 2, rute Kendaraan 5 adalah A-D-E-G-A pada gambar 3, rute

Kendaraan 6 adalah A-J-B-A pada gambar 4, sedangkan rute Kendaraan 7 adalah

A-F-H-I-A pada gambar 5. Berikut rute yang diperoleh pada pendistribusian roti

ini:

Kendaraan 4

Kendaraan 5

Kendaraan 6

Kendaraan 7

Tahap 2

Biaya minimum yang dikeluarkan

Setelah diketahui pada Tahap 1 bahwa banyaknya kendaraan yang dipakai

sebanyak 4 buah yakni kendaraan 4, 5, 6, dan 7 kemudian digunakan untuk

melakukan simulasi selanjutnya dengan fungsi objektif untuk meminimumkan

jumlah biaya yang dikeluarkan perusahaan. Dengan 1 depot dan 10 pelanggan

serta 4 kendaraan yang digunakan, biaya minimum yang harus dikeluarkan

E

A B

C D

F

G

H I J

K

E

A B

C D

F

G

H I J

K E

A B

C D

F

G

H I J

K

E

A B

C D

F

G

H I J

K

Gambar 2 Rute Kendaraan 4 pada

Tahap 1

(25)

15

perusahaan adalah sebesar Rp 485 400.00. Waktu yang dibutuhkan untuk

mendapatkan solusi tersebut adalah 1 jam 25 menit 41 detik dengan menggunakan

komputer Intel® Atom™ CPU

N450@1.66Ghz 512KB Cache

dan banyaknya

iterasi sebanyak 8 632 269 iterasi.

Rute yang dihasilkan

Rute yang dihasilkan dari iterasi program tersebut mendapatkan 4 rute, rute

Kendaraan 4 adalah A-K-G-A pada gambar 6, rute Kendaraan 5 adalah A-J-B-A

pada gambar 7, rute Kendaraan 6 adalah A-C-E-D-A pada gambar 8, sedangkan

rute Kendaraan 7 adalah A-F-H-I-A pada gambar 9. Berikut rute yang diperoleh

pada pendistribusian roti ini:

Kendaraan 4

Kendaraan 5

Kendaraan 6

Kendaraan 7

Jika dilihat hasil antara Tahap 1 dan Tahap 2 maka terjadi perubahan pada

rute yang ditempuh oleh kendaraan, serta terjadi perubahan besar biaya yang

E

A B

C D

F

G

H I J

K

H

Tahap 2

E

A B

C D

F

G

H I J

K

Tahap 2

E

A B

D

F

G

H I J

K

Tahap 2

E

A B

C D

F

G

I J

(26)

16

dikeluarkan. Dengan memastikan terlebih dahulu kendaraan yang digunakan dari

hasil Tahap 1, maka mampu menghemat biaya sebesar Rp 3 100.00.

Aktivitas antarjemput roti beserta

time windows

yang berlaku

Kendaraan 4

Dari data yang telah ditunjukkan di awal serta dari hasil LINGO 11.0 maka

dapat diketahui waktu yang diperlukan pada setiap kendaraan. Lama pelayanan

dan

time windows

telah diketahui, sedangkan lama perjalanan dan waktu

pelanggan mulai dilayani dapat dilihat dari hasil LINGO 11.0. Waktu tunggu

adalah selisih antara waktu pelanggan mulai dilayani dikurangi dengan total lama

perjalanan.

Sebagai contoh pada Kendaraan 4, rute yang diperoleh A-K-G-A maka dari

pelanggan A ke K menghasilkan lama perjalanan selama 42,57 menit sedangkan

pelanggan mulai dilayani di menit ke-42,57 maka waktu tunggu adalah nol.

Diketahui lamanya pelayanan selama 58 menit, maka total waktu yang dibutuhkan

100,57 menit. Kemudian kendaraan menuju pelanggan G selama 10,28 menit,

maka kendaraan tiba pada menit ke-110,85 sedangkan pelanggan baru dilayani di

menit ke-120 maka waktu tunggu kendaraan selama 9,15 menit dan lama

pelayanan selama 60 menit, maka total waktu yang dibutuhkan 180 menit

kemudian kendaraan kembali ke depot selama 24,83 menit, maka kendaraan tiba

pada menit ke-204,83. Penjelasan dapat dilihat sebagai berikut:

Tabel 4

Time windows

yang berlaku pada Kendaraan 4

Rute

Lama

perjalanan

(

(menit)

Waktu mulai

dilayani (

)

(menit ke-)

Waktu

tunggu

(menit)

Lama

pelayanan

( )

(menit)

Time

windows

[

, ]

(menit)

A-K

42.57

0

58

07.18-08.59

K-G

10.28

120

9.15

60

07.30-10.00

G-A

24.83

-

Dari

time windows

tersebut, diketahui lama waktu yang dibutuhkan untuk

mengambil roti lama, mengantarkan roti baru, dan waktu yang harus dipenuhi

untuk sampai pada pelanggan selanjutnya tepat waktu.

(27)

17

Tabel 5 Jumlah roti diantarjemput dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh

Kendaraan 4

Rute

Jumlah roti

baru dikirim

(

(kardus)

Jumlah roti

lama diambil

(

�

(kardus)

Jumlah roti baru

pada sepanjang

lintasan (

(kardus)

Jumlah roti lama

pada sepanjang

lintasan (

ℎ

(kardus)

A-K

18

10

29

0

K-G

11

5

11

10

G-A

-

0

15

Rute pendistribusian dengan menggunakan Kendaraan 4 dapat dilihat pada

gambar berikut dengan asumsi aktivitas pendistribusian dimulai dari pukul 07.00

WIB.

10.25

07.00

, ℎ

= ,

(

, ℎ

=

,

)

=

� =

08.51-10.00 (

, ℎ

=

,

07.43-08.41

Kendaraan 5

Alur waktu yang terjadi pada Kendaraan 5 dengan metode perhitungan

yang sama dengan Kendaraan 4 maka waktu yang dibutuhkan oleh Kendaraan 5

dimulai sejak meninggalkan depot sampai kembali ke depot dapat dilihat sebagai

berikut:

Tabel 6

Time windows

Rute

Lama

perjalanan

(

(menit)

Waktu mulai

dilayani (

)

(menit ke-)

Waktu

tunggu

(menit)

Lama

pelayanan

( ) (menit)

Time windows

[

, ]

(menit)

A-J

28

0

81

07.23-09.10

J-B

11,42

126

5,58

34

07.13-09.40

B-A

23,83

-

Gambar 10 Aktivitas antarjemput roti dan

time

windows

pada Kendaraan 4

A

K

(28)

18

Jumlah roti yang diantarjemput pada setiap pelanggan dan jumlah roti

pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan 5 dengan kapasitas 50 kardus dapat

dilihat pada tabel berikut:

Kendaraan 5

Rute

Jumlah roti

baru dikirim

(

(kardus)

Jumlah roti

lama diambil

(

�

(kardus)

Jumlah roti baru

pada sepanjang

lintasan (

(kardus)

Jumlah roti lama

pada sepanjang

lintasan (

ℎ

(kardus)

A-J

37

25

44

0

J-B

7

5

7

25

B-A

-

0

30

Dengan asumsi aktivitas pendistribusian dimulai pukul 07.00 WIB maka rute

pendistribusian pada Kendaraan 5 bisa dilihat sebagai berikut :

10.04

07.00

, ℎ

= ,

, ℎ

=

,

=

� =

09.00-09.40

, ℎ

= ,

07.28-08.49

Kendaraan 6

yang sama dengan Kendaraan 4 maka waktu yang dibutuhkan oleh Kendaraan 6

berikut:

Gambar 11 Aktivitas antarjemput roti dan

time

windows

pada Kendaraan 5

A

(29)

19

Tabel 8

Time windows

Rute

Lama

perjalanan

(

(menit)

Waktu mulai

dilayani (

)

(menit ke-)

Waktu

tunggu

(menit)

Lama

pelayanan

( )

(menit)

Time

windows

[

, ]

(menit)

A-C

22,75

32,92

10,17

47

07.16-09.38

C-E

8,25

88,17

0

18

07.40-09.11

E-D

3,83

110

0

54

07.27-09.44

D-A

24,42

-

Jumlah roti yang diantarjemput pada setiap pelanggan dan jumlah roti pada

sepanjang lintasan oleh Kendaraan 6 dengan kapasitas 50 kardus dapat dilihat

pada tabel berikut:

Kendaraan 6

Rute

Jumlah roti

baru dikirim

(

(kardus)

Jumlah roti

lama diambil

(

�

(kardus)

Jumlah roti baru

pada sepanjang

lintasan (

(kardus)

Jumlah roti lama

pada sepanjang

lintasan (

ℎ

(kardus)

A-C

9

10

36

0

C-E

15

10

27

10

E-D

12

4

12

20

D-A

-

0

24

Dengan asumsi aktivitas pendistribusian dimulai pukul 07.00 WIB maka rute

pendistribusian pada Kendaraan 6 bisa dilihat sebagai berikut :

07.00

, ℎ

=

,

07.23-08.20

10.08

=

� =

, ℎ

= ,

, ℎ

=

,

=

, ℎ

=

,

=

� =

08.50-09.44

08.28-08.46

E

D

C

A

(30)

20

Kendaraan 7

[image:30.595.76.489.89.812.2]

yang sama dengan Kendaraan 4 maka waktu yang dibutuhkan oleh Kendaraan 7

berikut:

Tabel 10

Time windows

Rute

Lama

Perjalanan

(

(menit)

Waktu Mulai

Dilayani

(

)

(menit ke-)

Waktu

Tunggu

(menit)

Lama

Pelayanan

( )

(menit)

Time

Windows

[

, ]

(menit)

A-F

22,63

25

2,38

8

07.11-08.52

F-H

11,77

44,85

0,08

37

07.34-09.14

H-I

4,15

86

0

91

07.06-08.57

I-A

12,69

-

Jumlah roti yang diantarjemput pada setiap pelanggan dan jumlah roti pada

sepanjang lintasan oleh Kendaraan 7 dengan kapasitas 25 kardus dapat dilihat

pada tabel berikut:

Kendaraan 7

Rute

Jumlah roti

baru dikirim

(

(kardus)

Jumlah roti

lama diambil

(

�

(kardus)

Jumlah roti baru

pada sepanjang

lintasan (

(kardus)

Jumlah roti lama

pada sepanjang

lintasan (

ℎ

(kardus)

A-F

4

24

0

F-H

12

9

20

4

H-I

8

1

8

13

I-A

-

0

14

(31)

21

07.00

, ℎ

=

,

07.23-07.33

10.10

=

� =

, ℎ

= ,

, ℎ

=

,

08.26-09.57

07.45-08.22

=

, ℎ

= ,

=

� =

SIMPULAN

Masalah penentuan rute optimal dalam pendistribusian antarjemput roti

dapat dimodelkan dengan

Vehicle Routing Problem Pickup and Delivery

(VRPPD) dengan tambahan kendala

time windows

, sehingga selain dapat

diketahui rute pendistribusian optimal, tiap kendaraan juga dapat menyesuaikan

waktu pelanggan dapat dilayani. Dalam kasus ini digunakan 2 tahap simulasi,

yaitu dengan meminimumkan jumlah kendaraan yang digunakan lalu dengan

meminimumkan total biaya yang dikeluarkan perusahaan. Penyelesaian masalah

ini menggunakan

software

LINGO 11.0 dapat menghasilkan rute optimal yang

memenuhi semua permintaan pelanggan.

DAFTAR PUSTAKA

Benavent E, Martinez A. 2009. A polyhedral study of the multi depot multiple

traveling salesman problem.

Universtat de Valencia

. 1:1-34.

Cordeau JF, Desaulniers G, Desrosiers J, Solomon MM, Soumis F. 2002. Vehicle

routing problem with time windows. Di dalam: Toth P, Vigo D, editor.

The

. Philadelphia (US): Siam. hlm 155-186.

Desaulniers G, Desrosiers J, Erdmann A, Solomon MM, Soumis F. 2002. Vehicle

routing problem pickup and delivery. Di dalam: Toth P, Vigo D, editor.

The

. Philadelphia (US): Siam. hlm 225-238.

Kallehauge B, Larsen J, Madsen OBG, Solomon MM. 2005. Vehicle routing

problem with time windows. Di dalam: Desaulniers G, Desorsiers J, Marius

M.S, editor.

Column Generation

. Unitated Stated of America (US): Springer

Science. hlm 67-68.

I

F

A

H

Gambar 13 Aktivitas antarjemput roti dan

[image:31.595.122.504.103.493.2]

(32)

22

Raditya A. 2009. Penggunaan metode heuristik dalam permasalahan

vehicle

routing problem

dan implementasinya di PT Nippon Indosari Corporindo

[skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

Subramanian A, Ochi LS. 2010. New lower bounds for the vehicle routing

problem with simultaneous pickup and delivery.

Instituto de Computacao

.

1:1-22.

(33)

23

Lampiran 1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam

menyelesaikan jumlah kendaraan optimal pada pendistribusian roti

model:

sets:

kendaraan/1..7/:a,v,f,z;

!a=kapasitas v=kecepatan

f=biaya tetap dr penggunaan kendaraan z=menggunakan kendaraan k;

pelanggan/1..11/:s,e,l,p,d;

!s=lama pelayanan e=waktu tercepat l=waktu terlama

p=banyak barang yg diambil di pelanggan j d=banyak barang yg dikirim di pelanggan j;

load(pelanggan,kendaraan):b;

!b=waktu pelanggan i mulai dilayani oleh kendaraan k;

link(pelanggan,pelanggan):r,c,g,h;

!r=jarak antar pelanggan c=biaya perjalanan

h=banyak barang sepanjang lintasan saat pengambilan dari pelanggan i ke j

g=banyak barang sepanjang lintasan saat pengiriman dari pelanggan i ke j;

rute(pelanggan,pelanggan,kendaraan):x,t;

!x=variabel keputusan jika kendaraan k melayani j setelah i t=lama perjalanan dari pelanggan i ke j dengan kendaraan k;

endsets DATA: p=

0 5 10 4 10 4 5 9 1 25 10; d=

0 7 9 12 15 4 11 12 8 37 18;

!Jarak;

r=

0 28.60 27.30 29.30 27.30 29.40 29.80 20.90 16.50 33.60 29.80 28.60 0 4.30 7.70 5.80 6.80 10.20 9.60 8.00 13.70 6.80 27.30 4.30 0 11.40 9.90 8.00 8.00 8.10 8.30 8.40 3.40 29.30 7.70 11.40 0 4.60 6.40 15.90 14.70 13.00 12.40 11.00

27.30 5.80 9.90 4.60 0 10.50 16.80 16.80 11.10 15.60 13.30 29.40 6.80 8.00 6.40 10.50 0 16.80 15.30 12.10 7.20 5.70

29.80 10.20 8.00 15.90 16.80 16.80 0 11.10 18.70 17.50 7.20 20.90 9.60 8.10 14.70 16.80 15.30 11.10 0 5.40 14.40 11.20 16.50 8.00 8.30 13.00 11.10 12.10 18.70 5.40 0 19.60 10.80 33.60 13.70 8.40 12.40 15.60 7.20 17.50 14.40 19.60 0 10.00 29.80 6.80 3.40 11.00 13.30 5.70 7.20 11.20 10.80 10.00 0

;

!kapasitas;

a=

100 100 80 80 50 50 25;

!biaya tetap penggunaan kendaraan;

f=

100000 100000 80000 80000 50000 50000 25000;

!kecepatan kendaraan(dalam satuan km/menit);

v=

0.5 0.5 0.7 0.7 1.2 1.2 1.3;

(34)

24

s=

0 34 47 54 18 8 60 37 91 81 58;

!waktu tercepat;

e=

0 13 16 27 40 11 30 34 6 23 18;

!waktu terlama;

l=

0 160 158 164 131 102 180 134 177 130 119; M=1000000;

!=@size(kendaraan);

END DATA

!fungsi objektif;

min =@sum(kendaraan(k):z(k)); !jumlah kendaraan yang di pakai;

@for(pelanggan(i):@for(pelanggan(j)|j#NE#i:c(i,j)=1000*r(i,j)));

y =

@sum(kendaraan(k):@sum(pelanggan(i):@sum(pelanggan(j)|j#NE#i:c(i,j

)* x(i,j,k))))

+@sum(kendaraan(k):f(k)*z(k));

!kendala;

!tidak setiap kendaraan keluar dari depot;

@for(kendaraan(k):@for(pelanggan(i):@for(pelanggan(j)|i#NE#j:x(i,j

,k)<=z(k))));

@for(kendaraan(k):@sum(pelanggan(j)|j#NE#1:x(1,j,k))<=1);

!Setiap pelanggan tepat dikunjungi 1 kali oleh satu kendaraan;

@for(pelanggan(j)|j#NE#1:@sum(kendaraan(k):@sum(pelanggan(i)|j#NE#

i:x(i,j,k)))=1);

@for(pelanggan(i)|i#NE#1:@sum(kendaraan(k):@sum(pelanggan(j)|j#NE#

i:x(i,j,k)))=1);

!kekontinuan rute;

@for(kendaraan(k):@for(pelanggan(i):@sum(pelanggan(j)|j#NE#i:x(j,i

,k))-@sum(pelanggan(j)|i#NE#j:x(i,j,k))=0));

!barang yang diangkut untuk didistribusikan tidak melebihi kapasitas masing2 kendaraan;

@for(pelanggan(i):@for(pelanggan(j)|i#NE#j:g(i,j)+h(i,j)<=@sum(ken

daraan(k):x(i,j,k)*a(k))));

!hubungan lama perjalanan, jarak, dan kecepatan;

@for(kendaraan(k):@for(pelanggan(i):@for(pelanggan(j)|i#NE#j:t(i,j

,k)=(r(i,j)/v(k)))));

!ketaknegatifan g dan h;

@for(pelanggan(i):@for(pelanggan(j)|i#NE#j:g(i,j)>=0));

@for(pelanggan(i):@for(pelanggan(j)|i#NE#j:h(i,j)>=0));

!persamaan yang menunjukkan kekontinuan pengambilan barang (pickup);

@for(pelanggan(j)|j#GT#1:@sum

(pelanggan(i)|j#NE#i:h(j,i))-@sum(pelanggan(i)|i#NE#j:h(i,j))=p(j));

!persamaan yang menunjukkan kekontinuan pengiriman barang (delivery);

@for(pelanggan(j)|j#GT#1:@sum

(pelanggan(i)|j#NE#i:g(i,j))-@sum(pelanggan(i)|i#NE#j:g(j,i))=d(j));

(35)

25

@for(kendaraan(k):@for(pelanggan(j)|j#GT#1:@for(pelanggan(i)|i#NE#

j:

b(i,k)+s(i)+t(i,j,k)-M*(1-x(i,j,k))<=b(j,k))));

!memastikan dilayani pada time window dari masing-masing pelanggan;

@for(pelanggan(i)|i#GT#1:@for(kendaraan(k):e(i)<=b(i,k)));

@for(pelanggan(i)|i#GT#1:@for(kendaraan(k):b(i,k)+s(i)<=l(i)));

!b(i,k) non-negatif;

@for(pelanggan(i)|i#NE#1:@for(kendaraan(k):b(i,k)>=0));

!x(i,j,k) adalah biner;

@for(pelanggan(i):@for(pelanggan(j)|i#NE#j:@for(kendaraan(k):@bin(

x(i,j,k)))));

@for(kendaraan(k):@bin(z(k)));

end

(36)

26

Global optimal solution found.

Objective value: 4.000000 Objective bound: 4.000000 Infeasibilities: 0.4884981E-14 Extended solver steps: 28034 Total solver iterations: 14826800

Variable Value Reduce Cost M 1000000. 0.000000 y 488500.0 0.000000 A( 1) 100.0000 0.000000 A( 2) 100.0000 0.000000 A( 3) 80.0000 0.000000 A( 4) 80.00000 0.000000 A( 5) 50.00000 0.000000 A( 6) 50.00000 0.000000 A( 7) 25.00000 0.000000 V( 1) 0.500000 0.000000 V( 2) 0.500000 0.000000 V( 3) 0.700000 0.000000 V( 4) 0.700000 0.000000 V( 5) 1.200000 0.000000 V( 6) 1.200000 0.000000 V( 7) 1.300000 0.000000 F( 1) 100000.0 0.000000 F( 2) 100000.0 0.000000 F( 3) 80000.00 0.000000 F( 4) 80000.00 0.000000 F( 5) 50000.00 0.000000 F( 6) 50000.00 0.000000 F( 7) 25000.00 0.000000 Z( 1) 0.000000 1.000000 Z( 2) 0.000000 1.000000 Z( 3) 0.000000 1.000000 Z( 4) 1.000000 1.000000 Z( 5) 1.000000 1.000000 Z( 6) 1.000000 1.000000 Z( 7) 1.000000 1.000000 S( 1) 0.000000 0.000000 S( 2) 34.00000 0.000000 S( 3) 47.00000 0.000000 S( 4) 54.00000 0.000000 S( 5) 18.00000 0.000000 S( 6) 8.000000 0.000000 S( 7) 60.00000 0.000000 S( 8) 37.00000 0.000000 S( 9) 91.00000 0.000000 S( 10) 81.00000 0.000000 S( 11) 58.00000 0.000000 E( 1) 0.000000 0.000000 E( 2) 13.00000 0.000000 E( 3) 16.00000 0.000000 E( 4) 27.00000 0.000000 E( 5) 40.00000 0.000000 E( 6) 11.00000 0.000000 E( 7) 30.00000 0.000000 E( 8) 34.00000 0.000000 E( 9) 6.000000 0.000000 E( 10) 23.00000 0.000000 E( 11) 18.00000 0.000000 L( 1) 0.000000 0.000000 L( 2) 160.0000 0.000000 L( 3) 158.0000 0.000000

(37)

27

B( 5, 6) 113.0000 0.000000 B( 5, 7) 113.0000 0.000000 B( 6, 1) 11.00000 0.000000 B( 6, 2) 94.00000 0.000000 B( 6, 3) 11.00000 0.000000 B( 6, 4) 94.00000 0.000000 B( 6, 5) 94.00000 0.000000 B( 6, 6) 11.00000 0.000000 B( 6, 7) 25.07692 0.000000 B( 7, 1) 120.0000 0.000000 B( 7, 2) 61.40000 0.000000 B( 7, 3) 120.0000 0.000000 B( 7, 4) 30.00000 0.000000 B( 7, 5) 120.0000 0.000000 B( 7, 6) 30.00000 0.000000 B( 7, 7) 120.0000 0.000000 B( 8, 1) 34.00000 0.000000 B( 8, 2) 34.00000 0.000000 B( 8, 3) 34.00000 0.000000 B( 8, 4) 34.00000 0.000000 B( 8, 5) 97.00000 0.000000 B( 8, 6) 97.00000 0.000000 B( 8, 7) 44.84615 0.000000 B( 9, 1) 86.00000 0.000000 B( 9, 2) 27.40000 0.000000 B( 9, 3) 6.000000 0.000000 B( 9, 4) 6.000000 0.000000 B( 9, 5) 86.00000 0.000000 B( 9, 6) 86.00000 0.000000 B( 9, 7) 86.00000 0.000000 B( 10, 1) 49.00000 0.000000 B( 10, 2) 49.00000 0.000000 B( 10, 3) 48.00000 0.000000 B( 10, 4) 48.00000 0.000000 B( 10, 5) 23.00000 0.000000 B( 10, 6) 28.00000 0.000000 B( 10, 7) 48.00000 0.000000 B( 11, 1) 18.00000 0.000000 B( 11, 2) 18.00000 0.000000 B( 11, 3) 61.00000 0.000000 B( 11, 4) 42.57143 0.000000 B( 11, 5) 18.00000 0.000000 B( 11, 6) 18.00000 0.000000 B( 11, 7) 61.00000 0.000000 R( 1, 1) 0.000000 0.000000 R( 1, 2) 28.60000 0.000000 R( 1, 3) 27.30000 0.000000 R( 1, 4) 29.30000 0.000000 R( 1, 5) 27.30000 0.000000 R( 1, 6) 29.40000 0.000000 R( 1, 7) 29.80000 0.000000 R( 1, 8) 20.90000 0.000000 R( 1, 9) 16.50000 0.000000 R( 1, 10) 33.60000 0.000000 R( 1, 11) 29.80000 0.000000 R( 2, 1) 28.60000 0.000000 R( 2, 2) 0.000000 0.000000 R( 2, 3) 4.300000 0.000000 R( 2, 4) 7.700000 0.000000 R( 2, 5) 5.800000 0.000000 R( 2, 6) 6.800000 0.000000 R( 2, 7) 10.20000 0.000000 R( 2, 8) 9.600000 0.000000 R( 2, 9) 8.000000 0.000000 R( 2, 10) 13.70000 0.000000

(38)

28

R( 8, 10) 14.40000 0.000000 R( 8, 11) 11.20000 0.000000 R( 9, 1) 16.50000 0.000000 R( 9, 2) 8.000000 0.000000 R( 9, 3) 8.300000 0.000000 R( 9, 4) 13.00000 0.000000 R( 9, 5) 11.10000 0.000000 R( 9, 6) 12.10000 0.000000 R( 9, 7) 18.70000 0.000000 R( 9, 8) 5.400000 0.000000 R( 9, 9) 0.000000 0.000000 R( 9, 10) 19.60000 0.000000 R( 9, 11) 10.80000 0.000000 R( 10, 1) 33.60000 0.000000 R( 10, 2) 13.70000 0.000000 R( 10, 3) 8.400000 0.000000 R( 10, 4) 12.40000 0.000000 R( 10, 5) 15.60000 0.000000 R( 10, 6) 7.200000 0.000000 R( 10, 7) 17.50000 0.000000 R( 10, 8) 14.40000 0.000000 R( 10, 9) 19.60000 0.000000 R( 10, 10) 0.000000 0.000000 R( 10, 11) 10.00000 0.000000 R( 11, 1) 29.80000 0.000000 R( 11, 2) 6.800000 0.000000 R( 11, 3) 3.400000 0.000000 R( 11, 4) 11.00000 0.000000 R( 11, 5) 13.30000 0.000000 R( 11, 6) 5.700000 0.000000 R( 11, 7) 7.200000 0.000000 R( 11, 8) 11.20000 0.000000 R( 11, 9) 10.80000 0.000000 R( 11, 10) 10.00000 0.000000 R( 11, 11) 0.000000 0.000000 C( 1, 1) 0.000000 0.000000 C( 1, 2) 28600.00 0.000000 C( 1, 3) 27300.00 0.000000 C( 1, 4) 29300.00 0.000000 C( 1, 5) 27300.00 0.000000 C( 1, 6) 29400.00 0.000000 C( 1, 7) 29800.00 0.000000 C( 1, 8) 20900.00 0.000000 C( 1, 9) 16500.00 0.000000 C( 1, 10) 33600.00 0.000000 C( 1, 11) 29800.00 0.000000 C( 2, 1) 28600.00 0.000000 C( 2, 2) 0.000000 0.000000 C( 2, 3) 4300.000 0.000000 C( 2, 4) 7700.000 0.000000 C( 2, 5) 5800.000 0.000000 C( 2, 6) 6800.000 0.000000 C( 2, 7) 10200.00 0.000000 C( 2, 8) 9600.000 0.000000 C( 2, 9) 8000.000 0.000000 C( 2, 10) 13700.00 0.000000 C( 2, 11) 6800.000 0.000000 C( 3, 1) 27300.00 0.000000 C( 3, 2) 4300.000 0.000000 C( 3, 3) 0.000000 0.000000 C( 3, 4) 11400.00 0.000000 C( 4, 1) 29300.00 0.000000 C( 4, 2) 7700.000 0.000000 C( 4, 3) 11400.00 0.000000 C( 4, 4) 0.000000 0.000000

(39)

29

C( 10, 5) 15600.00 0.000000 C( 10, 6) 7200.000 0.000000 C( 10, 7) 17500.00 0.000000 C( 10, 8) 14400.00 0.000000 C( 10, 9) 19600.00 0.000000 C( 10, 10) 0.000000 0.000000 C( 10, 11) 10000.00 0.000000 C( 11, 1) 29800.00 0.000000 C( 11, 2) 6800.000 0.000000 C( 11, 3) 3400.000 0.000000 C( 11, 4) 11000.00 0.000000 C( 11, 5) 13300.00 0.000000 C( 11, 6) 5700.000 0.000000 C( 11, 7) 7200.000 0.000000 C( 11, 8) 11200.00 0.000000 C( 11, 9) 10800.00 0.000000 C( 11, 10) 10000.00 0.000000 C( 11, 11) 0.000000 0.000000 G( 1, 4) 38.00000 0.000000 G( 1, 6) 24.00000 0.000000 G( 1, 10) 44.00000 0.000000 G( 1, 11) 27.00000 0.000000 G( 4, 5) 26.00000 0.000000 G( 5, 7) 11.00000 0.000000 G( 6, 8) 20.00000 0.000000 G( 8, 9) 8.000000 0.000000 G( 10, 2) 7.000000 0.000000 G( 11, 3) 9.000000 0.000000 H( 2, 1) 30.00000 0.000000 H( 3, 1) 20.00000 0.000000 H( 4, 5) 4.000000 0.000000 H( 5, 7) 14.00000 0.000000 H( 6, 8) 4.000000 0.000000 H( 7, 1) 19.00000 0.000000 H( 8, 9) 13.00000 0.000000 H( 9, 1) 14.00000 0.000000 H( 10, 2) 25.00000 0.000000 H( 10, 6) 0.000000 0.000000 H( 10, 7) 0.000000 0.000000 H( 11, 3) 10.00000 0.000000 X( 1, 4, 5) 1.000000 0.000000 X( 1, 6, 7) 1.000000 0.000000 X( 1, 10, 6) 1.000000 0.000000 X( 1, 11, 4) 1.000000 0.000000 X( 2, 1, 6) 1.000000 0.000000 X( 3, 1, 4) 1.000000 0.000000 X( 4, 5, 5) 1.000000 0.000000 X( 5, 7, 5) 1.000000 0.000000 X( 6, 8, 7) 1.000000 0.000000 X( 7, 1, 5) 1.000000 0.000000 X( 8, 9, 7) 1.000000 0.000000 X( 9, 1, 7) 1.000000 0.000000 X( 10, 2, 6) 1.000000 0.000000 X( 11, 3, 4) 1.000000 0.000000 T( 1, 2, 1) 57.20000 0.000000 T( 1, 2, 2) 57.20000 0.000000 T( 1, 2, 3) 40.85714 0.000000 T( 1, 2, 4) 40.85714 0.000000 T( 1, 2, 5) 23.83333 0.000000 T( 1, 2, 6) 23.83333 0.000000 T( 1, 2, 7) 22.00000 0.000000 T( 1, 3, 1) 54.60000 0.000000 T( 1, 3, 2) 54.60000 0.000000 T( 1, 3, 3) 39.00000 0.000000 T( 1, 3, 4) 39.00000 0.000000

(40)

30

T( 2, 1, 7) 22.00000 0.000000 T( 2, 2, 1) 0.000000 0.000000 T( 2, 2, 2) 0.000000 0.000000 T( 2, 2, 3) 0.000000 0.000000 T( 2, 2, 4) 0.000000 0.000000 T( 2, 2, 5) 0.000000 0.000000 T( 2, 2, 6) 0.000000 0.000000 T( 2, 2, 7) 0.000000 0.000000 T( 2, 3, 1) 8.600000 0.000000 T( 2, 3, 2) 8.600000 0.000000 T( 2, 3, 3) 6.142857 0.000000 T( 2, 3, 4) 6.142857 0.000000 T( 2, 3, 5) 3.583333 0.000000 T( 2, 3, 6) 3.583333 0.000000 T( 2, 3, 7) 3.307692 0.000000 T( 2, 4, 1) 15.40000 0.000000 T( 2, 4, 2) 15.40000 0.000000 T( 2, 4, 3) 11.00000 0.000000 T( 2, 4, 4) 11.00000 0.000000 T( 2, 4, 5) 6.416667 0.000000 T( 2, 4, 6) 6.416667 0.000000 T( 2, 4, 7) 5.923077 0.000000 T( 2, 5, 1) 11.60000 0.000000 T( 2, 5, 2) 11.60000 0.000000 T( 2, 5, 3) 8.285714 0.000000 T( 2, 5, 4) 8.285714 0.000000 T( 2, 5, 5) 4.833333 0.000000 T( 2, 5, 6) 4.833333 0.000000 T( 2, 5, 7) 4.461538 0.000000 T( 2, 6, 1) 13.60000 0.000000 T( 2, 6, 2) 13.60000 0.000000 T( 2, 6, 3) 9.714286 0.000000 T( 2, 6, 4) 9.714286 0.000000 T( 2, 6, 5) 5.666667 0.000000 T( 2, 6, 6) 5.666667 0.000000 T( 2, 6, 7) 5.230769 0.000000 T( 2, 7, 1) 20.40000 0.000000 T( 2, 7, 2) 20.40000 0.000000 T( 2, 7, 3) 14.57143 0.000000 T( 2, 7, 4) 14.57143 0.000000 T( 2, 7, 5) 8.500000 0.000000 T( 2, 7, 6) 8.500000 0.000000 T( 2, 7, 7) 7.846154 0.000000 T( 2, 8, 1) 19.20000 0.000000 T( 2, 8, 2) 19.20000 0.000000 T( 2, 8, 3) 13.71429 0.000000 T( 2, 8, 4) 13.71429 0.000000 T( 2, 8, 5) 8.000000 0.000000 T( 2, 8, 6) 8.000000 0.000000 T( 2, 8, 7) 7.384615 0.000000 T( 2, 9, 1) 16.00000 0.000000 T( 2, 9, 2) 16.00000 0.000000 T( 2, 9, 3) 11.42857 0.000000 T( 2, 9, 4) 11.42857 0.000000 T( 2, 9, 5) 6.666667 0.000000 T( 2, 9, 6) 6.666667 0.000000 T( 2, 9, 7) 6.153846 0.000000 T( 2, 10, 1) 27.40000 0.000000 T( 2, 10, 2) 27.40000 0.000000 T( 2, 10, 3) 19.57143 0.000000 T( 2, 10, 4) 19.57143 0.000000 T( 2, 10, 5) 11.41667 0.000000 T( 2, 10, 6) 11.41667 0.000000 T( 2, 10, 7) 10.53846 0.000000 T( 2, 11, 1) 13.60000 0.000000

(41)

31

T( 3, 9, 4) 11.85714 0.000000 T( 3, 9, 5) 6.916667 0.000000 T( 3, 9, 6) 6.916667 0.000000 T( 3, 9, 7) 6.384615 0.000000 T( 3, 10, 1) 16.80000 0.000000 T( 3, 10, 2) 16.80000 0.000000 T( 3, 10, 3) 12.00000 0.000000 T( 3, 10, 4) 12.00000 0.000000 T( 3, 10, 5) 7.000000 0.000000 T( 3, 10, 6) 7.000000 0.000000 T( 3, 10, 7) 6.461538 0.000000 T( 3, 11, 1) 6.800000 0.000000 T( 3, 11, 2) 6.800000 0.000000 T( 3, 11, 3) 4.857143 0.000000 T( 3, 11, 4) 4.857143 0.000000 T( 3, 11, 5) 2.833333 0.000000 T( 3, 11, 6) 2.833333 0.000000 T( 3, 11, 7) 2.615385 0.000000 T( 4, 1, 1) 58.60000 0.000000 T( 4, 1, 2) 58.60000 0.000000 T( 4, 1, 3) 41.85714 0.000000 T( 4, 1, 4) 41.85714 0.000000 T( 4, 1, 5) 24.41667 0.000000 T( 4, 1, 6) 24.41667 0.000000 T( 4, 1, 7) 22.53846 0.000000 T( 4, 2, 1) 15.40000 0.000000 T( 4, 2, 2) 15.40000 0.000000 T( 4, 2, 3) 11.00000 0.000000 T( 4, 2, 4) 11.00000 0.000000 T( 4, 2, 5) 6.416667 0.000000 T( 4, 2, 6) 6.416667 0.000000 T( 4, 2, 7) 5.923077 0.000000 T( 4, 3, 1) 22.80000 0.000000 T( 4, 3, 2) 22.80000 0.000000 T( 4, 3, 3) 16.28571 0.000000 T( 4, 3, 4) 16.28571 0.000000 T( 4, 3, 5) 9.500000 0.000000 T( 4, 3, 6) 9.500000 0.000000 T( 4, 3, 7) 8.769231 0.000000 T( 4, 4, 1) 0.000000 0.000000 T( 4, 4, 2) 0.000000 0.000000 T( 4, 4, 3) 0.000000 0.000000 T( 4, 4, 4) 0.000000 0.000000 T( 4, 4, 5) 0.000000 0.000000 T( 4, 4, 6) 0.000000 0.000000 T( 4, 4, 7) 0.000000 0.000000 T( 4, 5, 1) 9.200000 0.000000 T( 4, 5, 2) 9.200000 0.000000 T( 4, 5, 3) 6.571429 0.000000 T( 4, 5, 4) 6.571429 0.000000 T( 4, 5, 5) 3.833333 0.000000 T( 4, 5, 6) 3.833333 0.000000 T( 4, 5, 7) 3.538462 0.000000 T( 4, 6, 1) 12.80000 0.000000 T( 4, 6, 2) 12.80000 0.000000 T( 4, 6, 3) 9.142857 0.000000 T( 4, 6, 4) 9.142857 0.000000 T( 4, 6, 5) 5.333333 0.000000 T( 4, 6, 6) 5.333333 0.000000 T( 4, 6, 7) 4.923077 0.000000 T( 4, 7, 1) 31.80000 0.000000 T( 4, 7, 2) 31.80000 0.000000 T( 4, 7, 3) 22.71429 0.000000 T( 4, 7, 4) 22.71429 0.000000 T( 4, 7, 5) 13.25000 0.000000

(42)

32

T( 5, 6, 1) 21.00000 0.000000 T( 5, 6, 2) 21.00000 0.000000 T( 5, 6, 3) 15.00000 0.000000 T( 5, 6, 4) 15.00000 0.000000 T( 5, 6, 5) 8.750000 0.000000 T( 5, 6, 6) 8.750000 0.000000 T( 5, 6, 7) 8.076923 0.000000 T( 5, 7, 1) 33.60000 0.000000 T( 5, 7, 2) 33.60000 0.000000 T( 5, 7, 3) 24.00000 0.000000 T( 5, 7, 4) 24.00000 0.000000 T( 5, 7, 5) 14.00000 0.000000 T( 5, 7, 6) 14.00000 0.000000 T( 5, 7, 7) 12.92308 0.000000 T( 5, 8, 1) 33.60000 0.000000 T( 5, 8, 2) 33.60000 0.000000 T( 5, 8, 3) 24.00000 0.000000 T( 5, 8, 4) 24.00000 0.000000 T( 5, 8, 5) 14.00000 0.000000 T( 5, 8, 6) 14.00000 0.000000 T( 5, 8, 7) 12.92308 0.000000 T( 5, 9, 1) 22.20000 0.000000 T( 5, 9, 2) 22.20000 0.000000 T( 5, 9, 3) 15.85714 0.000000 T( 5, 9, 4) 15.85714 0.000000 T( 5, 9, 5) 9.250000 0.000000 T( 5, 9, 6) 9.250000 0.000000 T( 5, 9, 7) 8.538462 0.000000 T( 5, 10, 1) 31.20000 0.000000 T( 5, 10, 2) 31.20000 0.000000 T( 5, 10, 3) 22.28571 0.000000 T( 5, 10, 4) 22.28571 0.000000 T( 5, 10, 5) 13.00000 0.000000 T( 5, 10, 6) 13.00000 0.000000 T( 5, 10, 7) 12.00000 0.000000 T( 5, 11, 1) 26.60000 0.000000 T( 5, 11, 2) 26.60000 0.000000 T( 5, 11, 3) 19.00000 0.000000 T( 5, 11, 4) 19.00000 0.000000 T( 5, 11, 5) 11.0833