Uji Komputasi Algoritme Modifikasi Newton-Like Untuk Menyelesaikan Optimasi Nonlinear Tanpa Kendala

(1)

UJI KOMPUTASI ALGORITME MODIFIKASI

NEWTON-LIKE UNTUK MENYELESAIKAN OPTIMASI NONLINEAR

TANPA KENDALA

RAHMAH LAILA

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Uji Komputasi Algoritme Modifikasi Newton-Like untuk Menyelesaikan Optimasi Nonlinear Tanpa Kendala adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, September 2016

Rahmah Laila

(4)

RINGKASAN

RAHMAH LAILA. Uji Komputasi Algoritme Modifikasi Newton-Like untuk Menyelesaikan Optimasi Nonlinear Tanpa Kendala. Dibimbing oleh BIB PARUHUM SILALAHI dan IMAS SUKAESIH SITANGGANG.

Dalam perkembangan kehidupan saat ini banyak dijumpai kegiatan yang berhubungan dengan optimasi dan diimplementasikan dalam berbagai bidang seperti ekonomi, pertanian, keteknikan, sains, industri dan berbagai bidang lainnya. Pengoptimasian yang baik akan mempertimbangkan metode yang digunakan serta pemrograman dalam aspek komputasi.

Komputasi dapat didefinisikan sebagai cara untuk menemukan pemecahan permasalahan dari data input dengan menggunakan suatu algoritme. Sebuah algoritme yang baik dapat meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang dalam menyelesaikan sebuah fungsi. Banyak metode pengoptimasian yang bentuknya sederhana akan tetapi membutuhkan waktu yang lama dalam proses komputasinya. Oleh karena itu diperlukan suatu perbaikan dari metode pengoptimasian baik dari segi kompleksitas ruang maupun waktunya. Salah satu metode terbaik untuk menentukan solusi dari persamaan nonlinear menggunakan metode Newton. Tujuan dari penelitian ini adalah mengkombinasikan algoritme Newton, Invers Newton dengan algoritme Halley untuk melihat efesiensi algoritme serta membandingkan hasil uji komputasi dari modifikasi algoritme baru dengan metode Newton untuk menyelesaikan persamaan optimasi nonlinear

tanpa kendala.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa dengan menggunakan kombinasi algoritme metode Newton, Invers Newton dan Halley (NIH) dan kombinasi algoritme metode Newton, Harmonik, Invers dan Secant (NHIS), kedua algoritme dapat digunakan untuk mencari solusi akar dari fungsi-fungsi nonlinear yang diberikan. Berdasarkan hasil percobaan uji komputasi, secara umum metode NIH mempunyai kinerja yang lebih unggul dari aspek jumlah iterasi dan running time,

akan tetapi tidak untuk metode NHIS dari aspek running time. Namun untuk beberapa kasus fungsi metode NIH memperoleh nilai running time yang besar. Hal ini disebabkan karena dalam proses iterasi metode NIH melakukan evaluasi fungsi sebanyak tiga kali dan NHIS sebanyak empat kali evaluasi fungsi, sehingga waktu proses penyelesaian masalahnya meningkat. Walaupun begitu, secara umum dapat disimpulkan bahwa rata-rata running time metode NIH dapat menyeimbangi bahkan lebih kecil dari metode N, H, NH dan IH yang secara garis besar mempunyai running time yang kecil. Dari segi akurasi atau ketepatan, metode NIH dan metode NHIS dalam mencari solusi akar khususnya pada fungsi-fungsi nonlinear yang cukup sulit memperoleh hasil yang lebih mendekati pada nilai akar yang diinginkan. Metode Halley yang digunakan untuk kombinasi algoritme NIH sangat berpengaruh terhadap besarnya banyak iterasi dan running time. Dengan menggunakan kombinasi metode Halley, maka iterasi yang diperoleh dalam pencarian solusi akar sebuah fungsi menjadi lebih sedikit, hanya saja metode Halley memuat turunan kedua dari sehingga membutuhkan cost

yang lebih banyak untuk eksekusi program.

Kata kunci: Invers newton, iterasi, metode Halley, metode Newton, optimasi,

(5)

SUMMARY

RAHMAH LAILA. Computational Test Modified Newton-Like Algorithm for Solving Non-Linear Optimization Without Constraint. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and IMAS SUKAESIH SITANGGANG.

In the present life, activities related to optimization are often found and implemented in various fields such as an economy, agriculture, engineering, science, industry and other areas. A good optimization will consider the methods employed as well as programming in computational aspects.

Computation can be defined as a way to find a solution the problem of input data with an algorithm. A suitable algorithm can minimize the needs of time and space to complete a function. Many methods of optimizing that are simple but requires a long time in computation process. Therefore, we need an improvement of methods of optimization in terms space and time complexity. One of the best methods to determine the solution of nonlinear equations is Newton's method. The purpose of this study to combine the Newton algorithm, the Inverse Newton with Halley algorithm to see the efficiency of algorithms and computational comparing test results from modification of the new algorithm with Newton's method to solve nonlinear equations optimization without constraints.

These results showed that using a combination of algorithmic methods of Newton, Inverse Newton and Halley (NIH) and the combination algorithm method of Newton, Harmonic, Inverse and secant (NHIS), can be used to find solutions root of nonlinear functions are given. Based on the test results of computational experiments, the general method of NIH has a superior performance concerning the number of iterations and running time. But, for some cases of a function of NIH and obtained the increased value of running time. This is because the process of iterative NIH method to evaluate the three times of function and NHIS method to evaluate the three times of function so that the solution of processing time the problem increases. However, in generally it can be concluded that the average of running time NIH method be able to balance out the even smaller than N,H, NH and IH methods that have a short of running time value. Concerning accuracy or precision, NIH methods and NHIS methods in finding a solution to the root especially nonlinear functions are quite difficult to obtain a closer result of desirable value. Halley method is used for a combination of very influential on many iterations and the amount of running time. By using a combination of Halley methods, then iterations obtained in search of the roots of a function solutions becoming fewer, but the Halley method containing of the second derivative of f thus requiring more cost for program execution.

(6)

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016

Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB

Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini

(7)

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains

pada

Program Studi Ilmu Komputer

UJI KOMPUTASI ALGORITME MODIFIKASI

NEWTON-LIKE UNTUK MENYELESAIKAN OPTIMASI NONLINEAR

TANPA KENDALA

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2016

(8)

(9)

(10)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir ini disusun sebagai laporan penelitian yang telah dilakukan penulis sejak bulan januari 2016 dengan judul Uji Komputasi Algoritme Modifikasi Newton-Like untuk Menyelesaikan Optimasi Nonlinear Tanpa Kendala

Alhamdulillah atas bimbingan dan petunjuk dari Allah Subhana wa ta'ala serta bimbingan dari semua pihak, penyusunan tugas akhir ini dapat diselesaikan. Tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada:

1. Ayah, Ibu serta adik-adik yang selalu mendoakan, memberi nasihat, kasih sayang, semangat, dan dukungan sehingga penelitian ini bisa diselesaikan dengan baik.

2. Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom dan Ibu Dr Imas Sukaesih Sitanggang, SSi MKom selaku dosen pembimbing I dan II yang selalu bersedia membantu, memberi saran, masukan dan ide-ide dalam penelitian ini.

3. Bapak Dr Eng Wisnu Ananta Kusuma ST MT selaku dosen penguji atas kesediannya sebagai penguji pada tugas akhir.

4. Teman-teman mahasiswa Magister Ilmu Komputer angkatan 2014 yang dua tahun ini telah bersedia berbagi ilmunya selama masa perkuliahan dan pelaksanaan penelitian.

5. Departemen Ilmu Komputer IPB, staf dan dosen yang telah banyak membantu selama masa perkuliahan hingga penelitian.

Semoga tesis ini dapat bermanfaat.

Bogor, September 2016

(11)

DAFTAR ISI

Ruang Lingkup Penelitian 3

Manfaat Penelitian 3

2 TINJAUAN PUSTAKA 3

Algoritme 3

Optimasi Matematik 4

Deret Konvergen dan Deret Divergen 4

Metode Harmonik Newton 4

Metode Secant 4

Metode Iterasi Newton 5

Metode Iterasi Newton Invers Secant (NIS) 6

Metode Iterasi Jain 6

Tempat dan Waktu Penelitian 8

Perangkat Penelitian 8

Tahapan Penelitian 8

4 HASIL DAN PEMBAHASAN 10

Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Invers Newton dengan

Metode Halley 11

Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Harmonik, Invers dan

Metode Secant 12

Pembuatan Algoritme 13

Implementasi Algoritme 14

Pengujian Komputasi 15

5 SIMPULAN DAN SARAN 23

Simpulan 23

Saran 23

DAFTAR PUSTAKA 24

LAMPIRAN 26

(12)

DAFTAR TABEL

1 Perbandingan jumlah iterasi masing-masing metode untuk toleransi

₁₆

2 Perbandingan running time masing-masing metode untuk toleransi

₁₈

3 Perbandingan rata-rata running time masing-masing metode untuk tiga

kali uji komputasi 18

4 Perbandingan nilai akar masing-masing metode untuk toleransi - 20

DAFTAR GAMBAR

1 Interpretasi metode Newton 6

2 Tahapan penelitian metode NIH 9

3 Tahapan Penelitian metode NHIS 10

4 Perbandingan banyak iterasi dan running time (a) dengan toleransi dan (b) dengan toleransi 20 5 Perbandingan banyak iterasi dan running time (a) dengan

toleransi dan (b) dengan toleransi 20 6 Perbandingan banyak iterasi dan running time (a) dengan

toleransi dan (b) dengan toleransi 21 7 Perbandingan banyak iterasi dan running time (a) dengan

toleransi dan (b) dengan toleransi 21 8 Perbandingan banyak iterasi dan running time dengan

toleransi 21

DAFTAR LAMPIRAN

1 Sintaks dari setiap metode menggunakan program Matlab 27

2 Perbandingan jumlah iterasi masing-masing metode untuk toleransi

₃₃

3 Perbandingan running time masing-masing metode untuk toleransi

₃₄

4 Perbandingan nilai akar untuk masing-masing metode dengan toleransi

- ₃₅

5 Perbandingan selisih nilai akar sebenarnya dan akar pendekatan untuk

masing-masing metode dengan toleransi - 36

6 Perbandingan jumlah iterasi untuk masing-masing metode dengan tiga

7 Perbandingan running time untuk masing-masing metode dengan tiga

8 Perbandingan jumlah iterasi dan running time masing-masing untuk

(13)

1 PENDAHULUAN

Latar Belakang

Dalam perkembangan kehidupan saat ini banyak dijumpai kegiatan yang berhubungan dengan optimasi. Tujuan dari optimasi untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi yang diberikan. Pengoptimasian biasa dijumpai atau diimplementasikan dalam berbagai bidang seperti ekonomi, pertanian, keteknikan, sains, industri dan berbagai bidang lainnya. Penggunaan optimasi tersebut tidak terlepas dari ilmu eksakta yang erat dengan rumus dan perhitungan yang dapat dijadikan sebagai alat untuk menyederhanakan pembahasan masalah. Menurut fungsinya optimasi terbagi menjadi dua yaitu optimasi linear dan optimasi nonlinear. Adapun dari segi bentuknya optimasi dibedakan menjadi optimasi berkendala dan optimasi tanpa kendala. Optimasi berkendala adalah optimasi yang memperhatikan faktor-faktor pembatas dalam penyelesaian optimasi. Adapun optimasi tanpa kendala adalah optimasi yang tidak dipengaruhi oleh faktor-faktor pembatas pada proses perhitungan sampai optimasi tercapai.

Kegiatan optimasi erat kaitannya dengan mencari nilai terbaik dari suatu fungsi. Akan tetapi, pengoptimasian yang baik akan mempertimbangkan metode digunakan serta pemrograman dalam aspek komputasi. Komputasi erat kaitannya dengan kompleksitas waktu. Komputasi dapat didefinisikan sebagai cara untuk menemukan pemecahan permasalahan dari data input dengan menggunakan suatu algoritme. Sebuah algoritme dikatakan baik jika dapat meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang dalam menyelesaikan sebuah fungsi. Pada kenyataannya banyak metode pengoptimasian yang bentuknya sederhana akan tetapi membutuhkan waktu yang lama dalam proses komputasinya. Dua aspek penting dalam merekonstruksi sebuah algoritme adalah orde kekonvergenan serta komputasi yang efesien (Sharma et al. 2011). Oleh karena itu diperlukan suatu perbaikan dari metode pengoptimasian baik dari segi kompleksitas ruang maupun waktunya.

(14)

membuat fungsi tersebut menjadi nol (Homeier 2005). Dalam hal ini nilai ialah akar dari fungsi .

Metode Newton merupakan salah satu metode terbaik untuk menentukan solusi akar dari persamaan nonlinear (Sánchez 2009). Pada perkembangannya metode ini telah mengalami banyak kemajuan, tidak hanya mencari akar dari suatu fungsi, namun metode ini juga digunakan untuk mencari titik optimal dari suatu persamaan dalam optimasi nonlinear. Metode Newton merupakan satu dari teknik terbaik untuk menyelesaikan persamaan nonlinear dan meminimumkan fungsi. Metode ini sangat mudah untuk diimplementasikan dan sering konvergen dengan cepat menurut Kumar et al. (2013), bila iterasi dimulai cukup dekat dengan akar yang diinginkan.

Beberapa peneliti mencari metode yang paling efektif dan efesien sehingga metode Newton banyak mengalami modifikasi, seperti yang telah di kembangkan oleh beberapa peneliti diantaranya Werakoon dan Fernando (2000). Mereka memodifikasi metode Newton menggunakan aturan trapesium sehingga menghasilkan metode Trapesium Newton yang memiliki orde kekonvergenan kubik di mana metode tersebut lebih baik dari metode Newton. Hasil dari metode WF telah memicu banyak penelitian terhadap metode Newton. Penelitian tersebut dilakukan untuk mendapatkan algoritme pencarian nilai akar fungsi

nonlinear dan memungkinkan untuk meningkatkan orde kekonvergenannya

kesuatu nilai. Peneliti berikutnya Frontini (2003) dan Ozban (2004) dengan mengaproksimasikan integral Newton menggunakan aturan midpoint yang hasilnya mendapatkan metode midpoint Newton, rata-rata Aritmatik Newton untuk metode Aritmatik Newton dan rata-rata Harmonik Newton untuk metode Harmonik Newton, seluruh metode ini juga menghasilkan orde kekonvergenan kubik yang sama dengan metode WF. Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Homeier (2005) memodifikasi metode Newton dengan menggunakan fungsi

Invers dan juga menghasilkan orde kekonvergenan kubik. Kemudian Noor

(2006) memodifikasi metode Halley dengan konsep dasar metode Newton dan menghasilkan beberapa pengembangan baru dari metode Halley sehingga menghasilkan performa yang lebih baik.

Berdasarkan penelitian-penelitian yang telah dilakukan, maka penelitian ini akan menggunakan metode Newton, Invers Newton yang dikombinasikan dengan metode Halley untuk memperoleh iterasi yang cepat namun konvergen mendekati nilai eksak. Modifikasi yang dilakukan diharapkan dapat memperkecil kompleksitas ruang dan waktu yang dibutuhkan algoritme serta dapat memperoleh solusi berupa nilai akar dari suatu fungsi optimasi.

Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dijabarkan maka rumusan masalah yang akan dikaji pada penelitian ini adalah :

1. Bagaimana mengkombinasi algoritme Newton, Invers Newton dengan algoritme Halley untuk melihat efesiensi algoritme ?

2. Bagaimana perbandingan hasil uji komputasi dari modifikasi algoritme baru dengan metode Newton untuk menyelesaikan fungsi optimasi

(15)

3

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Mengkombinasikan algoritme Newton, Invers Newton dengan algoritme Halley untuk melihat efesiensi algoritme

2. Membandingkan hasil uji komputasi dari modifikasi algoritme baru dengan metode Newton untuk menyelesaikan fungsi optimasi nonlinear

tanpa kendala.

Ruang Lingkup Penelitian

Ruang lingkup penelitian yang dilakukan meliputi:

1. Data uji komputasi yang digunakan merupakan data yang diperoleh dari penelitian sebelumnya oleh (Werakoon dan Fernando 2000) yaitu sembilan fungsi nonlinear

2. Fungsi nonlinear yang digunakan pada uji komputasi mewakili fungsi-fungsi yang sulit seperti fungsi-fungsi polinomial, logaritmik, trigonometri, dan eksponensial.

Manfaat Penelitian

Kombinasi metode yang diperoleh dari penelitian dapat dijadikan sebagai referensi terbaru untuk membantu penyelesaian masalah-masalah khususnya mencari akar dari fungsi yang cukup sulit seperti fungsi nonlinear dan fungsi

derivative (turunan).

2 TINJAUAN PUSTAKA

Algoritme

Secara umum algoritme adalah prosedur komputasi yang terdefenisi secara baik dengan mengambil beberapa nilai, atau himpunan dari nilai-nilai yang dijadikan sebagai input dan menghasilkan beberapa nilai atau himpunan nilai-nilai sebagai output. Dengan demikian sebuah algoritme adalah urutan langkah yang mentransformasikan input ke output (Cormen et al. 2009).

Sebuah algoritme dapat dijadikan sebagai alat untuk memecahkan masalah komputasi yang lebih spesifik. Secara umum terdapat hubungan antara input dan

output yang diinginkan. Algoritme dapat menggambarkan prosedur komputasi

khusus untuk mencapai hubungan input dan output (Cormen et al. 2009).

Optimasi Matematik

(16)

matematik pada suatu permasalahan. Pada umumnya optimasi matematik menurut (Snyman 2005) adalah proses dari :

(i) Formulasi

(ii) Solusi dari masalah optimasi dibatasi dari bentuk umum matematik : Meminimumkan harus memenuhi kendala :

(1)

di mana dan adalah fungsi skalar. pada komponen disebut dengan desain variabel, adalah fungsi tujuan, disebut fungsi kendala dan disebut dengan fungsi kendala kesetaraan.

Defenisi Orde Konvergensi

Misalkan adalah akar dari persamaan nonlinear dan adalah barisan yang konvergen ke , defenisikan nilai error sebagai berikut (Chasnov 2012):

(2)

Untuk besar memiliki hubungan penaksiran :

| | | | (3)

Nilai disebut orde konvergensi, dengan adalah konstanta positif. Deret Konvergen dan Deret Divergen

Deret konvergen yaitu suatu deret di mana jumlah ( ) dari n suku dari deret tersebut cenderung mendekati suatu nilai tertentu, yaitu ketika . Jika ( ) tidak mendekati satu nilai tertentu ketika , maka deret ini disebut dengan deret divergen (Stroud 2003).

Metode Harmonik Newton

Metode Harmonik Newton adalah varian dari metode Newton. Pada penelitian Ozban (2004) mengaproksimasi integral dengan aturan titik tengah

(midpoint) yang dianalogkan dengan rata-rata Harmonik, maka menghasilkan

metode Harmonik Newton. Untuk menghitung metode Harmonik Newton menggunakan persamaan 4 berikut (Ozban 2004) :

̅

(4)

di mana adalah tebakan awal fungsi, adalah fungsi awal yang diberikan, adalah turunan pertama fungsi, dan menyatakan turunan pertama fungsi dengan adalah nilai tebakan awal berikutnya.

Metode Secant

(17)

5

(5)

di mana merupakan nilai tebakan awal fungsi. Karena metode Secant adalah salah satu metode iteratif yang mana proses perhitungannya menghasilkan urutan atau rentetan solusi, maka menyatakan nilai yang diperoleh dari solusi perhitungan sebelumnya. Sedangkan menyatakan fungsi dengan nilai substitusi dan menyatakan fungsi dengan nilai substitusi .

Metode Iterasi Newton

Metode iterasi Newton adalah salah satu metode yang dipandang sebagai metode untuk mencari akar dari suatu fungsi. Metode ini banyak dikembangkan untuk memecahkan masalah optimasi multivariabel. Metode iterasi Newton diinterpretasikan sebagai pendekatan kuadratik dari suatu fungsi tujuan . Misalkan untuk mencari akan-akar persamaan di mana merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut. Pada solusi eksak nilai fungsi yang dapat dinyatakan sebagai dan nilai dari turunan fungsi pertama adalah

. Nilai merupakan solusi yang diperoleh pada iterasi ke-k. Andaikan berubah dari menjadi maka perubahan adalah . Selanjutnya, metode Newton dapat ditinjau dari tiga suku pertama dari suatu deret Taylordisekitar pada iterasi k, yaitu (Luenberger dan Ye 2008) :

(6)

Syarat perlu untuk mencari titik optimum dari pers (6) adalah

(7)

sehingga (Luenberger dan Ye 2008) :

(8)

Pada setiap iterasi k, titik optimum dari pendekatan kuadratik menjadi titik yang akan digunakan untuk membuat fungsi pendekatan kuadratik yang selanjutnya. Jadi nilai dibuat sama dengan dalam persamaan (8) untuk mendapatkan rumus iterasi Newton sebagaiberikut (Luenberger dan Ye 2008) :

(7)

Proses ini diilustrasikan pada Gambar 1 (Luenberger dan Ye 2008) :

(18)

Metode Iterasi Newton Invers Secant (NIS)

Kombinasi metode NIS diperoleh dari penelitian Jain (2013), yang mana sebelumnya modifikasi metode Invers Newton diperoleh dari penelitian Homeier (2005), kemudian Jain mengkombinasikan dengan metode Secant. Berikut adalah modifikasi metode Newton Invers Secant (Jain 2013) :

(9)

̅ (10)

̅ _̅ ̅ _̅ ̅ (11) Tahapan perhitungan dengan Metode NIS adalah, menghitung metode Newton terlebih dahulu. Kemudian hasil perhitungan dari metode Newton persamaan 9 berupa titik disubstitusikan pada metode Invers persamaan 10. Selanjutnya hasil perhitungan dari persamaan 10 berupa titik ̅ menjadi inputan dengan mensubstitusikan nilai ̅ pada metode Secant persamaan 11.

Metode Iterasi Jain

Jain (2013) pada penelitiannya menggunakan kombinasi metode Secant dengan modifikasi metode Newton yang telah dikembangkan oleh Weerakoon dan Fernando (2000) yaitu aturan trapesium dan Homeier (2005) yaitu fungsi

Invers. Jain mendapatkan formula yang disebut dengan metode secant trapesium

Newton dan metode secant Invers Newton. Adapun bentuk dari hasil penurunan metode secant trapesium Newton (Jain 2013):

̅ ̅

̅ ̅ (12) di mana

̅

(13)

dengan

(14)

Berikutnya dengan cara yang sama untuk menurunkan metode secant Invers Newton dimulai dengan modifikasi metode Newton yang telah dikembangkan oleh Homeier (2005) yang selanjutnya dikombinasikan dengan bentuk alternatif metode Secant. Adapun bentuk dari hasil penurunan metode secant Invers Newton (Jain 2013):

(15)

dengan

̅ (16)

dengan cara yang sama, pada metode (12) di mana (Jain 2013) :

(19)

7

Metode Halley

Metode Halley adalah metode yang memilki algoritme orde ketiga. Algoritme tersebut konvergen kubik, yang mana jumlah signifikan digit akhirnya sejauh tiga kali lipat untuk masing-masing iterasi. Metode halley tidak hanya melakukan turunan pertama dari orde ketiga iterasi fungsi, tetapi terus berlanjut sampai turunan kedua (Scavo dan Thoo 1994).

Seperti yang kita ketahui bahwa metode Newton merupakan metode iteratif untuk menghitung pendekatan dari akar (root) dengan menggunakan persamaan 18 (Scavo dan Thoo 1994) :

, (18)

berdasarkan persamaan 18 yang diturunkan menggunakan deret taylor polynomial tingkat pertama sebagai berikut (Scavo dan Thoo 1994) :

(19)

maka di peroleh rumus metode Halley dengan menggunakan turunan dari deret taylor polynomial tingkat dua seperti pada persamaan 20 berikut (Scavo dan Thoo 1994)

̅ _̅ ̅_̅ ̅_̅ (20) Metode Iterasi Newton Halley (NH)

Beberapa penelitian tentang modifikasi maupun kombinasi metode iteratif telah banyak dilakukan. Diantaranya adalah penelitian Noor et al (2006) yang mengembangkan salah satu dari metode iteratif yaitu metode Halley menggunakan metode Newton. Berikut adalah kombinasi metode Newton Halley (Noor et al. 2006) :

(21)

̅ _̅ ̅_̅ ̅_̅ (22) Tahapan perhitungan dengan Metode NH adalah, menghitung metode Newton terlebih dahulu. Kemudian hasil perhitungan dari metode Newton persamaan 21 berupa titik akan menjadi inputan pada metode Halley persamaan 22. Dengan mengganti nilai ̅ pada persamaan 22 dan mensubstitusikan nilai ̅ .

Metode Iterasi Invers Halley (IH)

Metode Halley adalah metode konvergen kubik untuk akar sederhana dan memerlukan turunan kedua dari fungsi yang terkadang memerlukkan cost yang besar untuk memperolehnya (Putra et al. 2012). Bedasarkan hal tersebut maka kombinasi dari metode IH dengan menghitung metode Invers pada persamaan 23 (Homeier 2005) :

(20)

dan metode Halley pada persamaan 24 (Noor et al. 2006) :

̅ _̅ ̅_̅ ̅_̅ (24) Tahapan perhitungan dengan Metode IH adalah, menghitung metode Invers terlebih dahulu. Kemudian hasil perhitungan dari metode Invers persamaan 23 berupa titik ̅ akan menjadi inputan pada metode Halley persamaan 24, yaitu dengan mensubstitusikan nilai ̅ .

Iterasi

Iterasi adalah sifat tertentu dari algoritme atau program computer di mana suatu urutan atau lebih dari langkah algoritmik yang dilakukan pada loop

program. Iterasi merupakan proses yang dilakukan secara berulang dalam menyelesaikan permasalahan numerik (Chapman 2008).

3 METODE

Tempat dan Waktu Penelitian

Lokasi penelitian bertempat di Lab CI (computer intelligence) Departemen Ilmu Komputer, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengethuan Alam (FMIPA), Institut Pertanian Bogor (IPB). Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Januari 2016 – Mei 2016.

Perangkat Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan perangkat keras dan perangkat lunak sebagai berikut :

Perangkat keras berupa komputer personal dengan spesifikasi sebagai berikut :

 Processor Intel (R) Pentium (R) CPU B970@2.30Ghz

 RAM 2 GB

 Mouse dan keyboard

Perangkat lunak yang digunakan adalah sebagai berikut :

 Sistem operasi windows 7 Ultimate 32-bit

 Microsoft Excel 2013 untuk pegolahan data

 Matlab R2010b ver. 7.11.0 untuk pengujian komputasi Tahapan Penelitian

Langkah awal yang dilakukan pada penelitian ini melalui kajian literatur.

(21)

9

dengan metode Newton tanpa modifikasi. Tahapan penelitian metode kombinasi metode Newton Invers Halley (NIH) dapat dilihat pada Gambar 2.

Gambar 2 Tahapan penelitian metode NIH

Studi Literatur

Pada tahap ini peneliti mengumpulkan semua bahan berupa buku dan jurnal yang berhubungan dengan metode Newton dan metode Halley.

Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Invers Newton dengan Metode Halley

Pada tahap ini dikombinasikan metode Newton, Invers Newton dengan metode Halley. Dalam proses ini akan dicoba kombinasi metode yang sejenis dan masih dalam satu kategori metode iteratif sehingga metode tersebut dapat menyelesaikan suatu masalah yang diberikan berupa pencarian titik untuk solusi sebuah fungsi. Setelah diperoleh hasil kombinasi metode Newton, Invers Newton dengan metode Halley kemudian metode-metode tersebut akan diformulasikan sehingga dapat diketahui proses evaluasi fungsi dalam satu kali iterasi. Proses formulasi metode yaitu dengan mensubstitusikan hasil perhitungan satu formula ke formula berikutnya dalam setiap satu kali terasi.

Pembuatan Algoritme

Pada tahap ini dibuat algoritme berdasarkan hasil dari kombinasi metode yang diusulkan. Tahapan ini dilakukan dengan menyesuaikan langkah-langkah iterasi pada metode yang diusulkan dengan algoritme yang dibuat.

Implementasi Algoritme

Hasil analisis yang diperoleh kemudian diimplementasikan menggunakan sebuah aplikasi Matlab. Hasil implementasi kemudian digunakan untuk mempermudah tahap pengujian komputasi.

Pengujian Komputasi

Pada tahap ini akan dilakukan uji komputasi untuk membandingkan kemampuan metode yang diusulkan dengan metode Newton tanpa modifikasi dengan menggunakan beberapa contoh fungsi nonlinear tanpa kendala dari aspek jumlah iterasi. Hasil uji komputasi ini juga digunakan untuk melihat waktu tempuh (running time) yang dibutuhkan algoritme untuk menyelesaikan beberapa fungsi yang telah diberikan. Berikut adalah persamaan yang digunakan untuk

(22)

data uji komputasi dengan adalah root dari masing-masing fungsi (Weerakoon mengkombinasikan serta menformulasikan metode Newton, Harmonik, Invers Newton dan Secant. Kemudian membuat algoritme dari metode yang telah diusulkan. Penelitian dilanjutkan dengan melakukan implementasi algoritme yang telah dibuat program komputer. Kemudian tahap pengujian komputasi dilakukan untuk membandingkan metode yang diusulkan dengan metode Newton tanpa modifikasi menggunakan fungsi-fungsi nonlinear berdasarkan penelitian Werakoon dan Fernando (2000). Tahapan penelitian metode kombinasi metode Newton Harmonik Invers Secant (NHIS) dapat dilihat pada Gambar 3.

Gambar 3 Tahapan penelitian metode NHIS

4 HASIL DAN PEMBAHASAN

Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Invers Newton dengan Metode Halley

Kombinasi metode yang digunakan pada penelitian ini adalah metode Newton, metode Invers Newton dan metode Halley yang mana ketiga metode tersebut mempunyai karateristik sama yaitu tergolong dalam metode iteratif. Metode Newton merupakan metode pencarian akar yang penerapannya memerlukan satu titik tebakan awal . Pemberian tebakan awal ini merupakan kriteria dari suatu metode iteratif. Metode Newton juga tidak memerlukan cost

yang besar dalam pencarian akar fungsi, sehingga pada proses kombinasi formula metode Newton diletakan pada langkah pertama. Secara umum formula

(23)

11

metode Newton untuk mencari nilai akar sebuah fungsi adalah seperti pada persamaan 25 (Luenberger dan Ye 2008).

(25)

dengan adalah titik tebakan awal, menyatakan fungsi dengan substitusi nilai titik tebakan awal, dan menyatakan turunan pertama fungsi dengan substitusi nilai titik tebakan awal.

Setelah ditentukan metode awal, maka tahap selanjutnya yaitu dengan menambahkan formula metode Invers Newton yang berada pada langkah kedua dalam proses pencarian akar fungsi. Metode Invers Newton yang dikembangkan oleh (Homeier 2005) merupakan pengembangan dari metode Newton dengan menggunakan fungsi Invers. Penggunaan metode Invers Newton pada langkah kedua menghasilkan jumlah iterasi yang lebih sedikit dalam pencarian akar suatu fungsi berdasarkan penelitian (Homeier 2005). Selanjutnya hasil perhitungan dari persamaan 25 berupa titik digunakan sebagai nilai yang disubstitusikan untuk menemukan nilai akar pada langkah kedua menggunakan formula Invers Newton pada persamaan 26 (Homeier 2005).

̅ (26)

dengan menyatakan turunan pertama fungsi ) dengan dari hasil perhitungan langkah pertama pada persamaan 25.

Metode Halley merupakan salah satu metode iteratif dengan kekonvergenan tiga. Artinya, setiap iterasi mendapatkan digit angka yang tepat kira-kira sebanyak tiga. Formula metode Halley memuat turunan kedua sehingga membutuhkan cost dan time yang cukup banyak dalam proses perhitungan. Oleh karena itu, metode ini diletakkan pada langkah ketiga untuk mencari solusi pendekatan dari sebuah fungsi yang diberikan. Bentuk umum dari formula metode Halley adalah sebagai berikut (Noor et al. 2006)

̅ _̅ ̅_̅ ̅ _̅ (27) tiga formula metode yang berbeda.

Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Harmonik, Invers dan Metode Secant

(24)

dan kecepatan konvergensi dalam memecahkan masalah nonlinear (Atkinson 1988). Metode Newton penerapannya memerlukan satu titik tebakan awal . Pemberian tebakan awal ini merupakan kriteria dari suatu metode iteratif. Metode Newton juga tidak memerlukan cost yang besar dalam pencarian akar fungsi, sehingga pada proses kombinasi formula metode Newton diletakan pada langkah pertama. Secara umum formula metode Newton untuk mencari nilai akar sebuah fungsi seperti pada persamaan 28 (Luenberger dan Ye 2008):

(28)

dengan adalah titik tebakan awal, menyatakan fungsi dengan substitusi nilai titik tebakan awal, dan menyatakan turunan pertama fungsi dengan substitusi nilai titik tebakan awal.

Tahap selanjutnya yaitu dengan menambahkan formula metode Harmonik Newton yang berada pada langkah kedua dalam proses pencarian akar fungsi. Metode Harmonik Newton yang dikembangkan oleh Ozban (2004) merupakan varian dari metode Newton dengan menggunakan pendekatan integral dengan aturan trapesium. Kemudian hasil perhitungan dari persamaan 28 berupa titik disubstitusikan pada persamaan 29 untuk menemukan nilai akar pada langkah kedua menggunakan formula Harmonik Newton (Putra 2013):

̅ (29) dengan menyatakan turunan pertama fungsi ) di mana adalah hasil perhitungan langkah pertama pada persamaan 28.

Langkah selanjutnya yaitu dengan menambahkan formula metode Invers Newton yang berada pada langkah ketiga dalam proses pencarian akar fungsi. Setelah dilakukan perhitungan metode Harmonik Newton, kemudian hasil perhitungan dari persamaan 29 berupa titik ̅ digunakan sebagai nilai yang disubstitusikan pada persamaan 30 untuk menemukan nilai akar pada langkah ketiga menggunakan formula Invers Newton (Homeier 2005):

_̅ (30)

dengan ̅ menyatakan turunan pertama fungsi ). Nilai ̅ adalah nilai yang disubstitusi dari hasil perhitungan langkah kedua metode Harmonik Newton pada persamaan 29.

Setelah menghitung formula metode Invers Newton, maka langkah keempat yaitu menghitung metode Secant. Metode Secant merupakan salah satu metode iteratif yang memiliki orde kekonvergenan linear (Putra 2013). Metode ini diletakkan pada langkah keempat untuk mencari solusi pendekatan dari sebuah fungsi yang diberikan. Bentuk umum dari formula metode Secant adalah sebagai berikut (Chavnov 2012) :

(25)

13

Pembuatan Algoritme

Hasil kombinasi dan fomulasi metode selanjutnya digunakan untuk membuat algoritme yang mana setiap langkah penyelesaian untuk mengeksekusi sebuah fungsi disesuaikan dengan langkah-langkah formulasi metode. Adapun algoritme NIH dan Algoritme NHIS dituliskan dalam tahap-tahap sebagai berikut:

Algoritme NIH (Newton Invers Halley) Langkah 1. Diberikan fungsi awal

Langkah 2. Diberikan titik tebakan awal dan batas toleransi Langkah 3. Diberikan batas maksimum iterasi

Langkah 4. Hitung

Langkah terpenting dalam proses kombinasi metode NIH berada pada langkah 4 yaitu penentuan urutan formula untuk mengeksekusi sebuah fungsi

nonlinear yang diberikan. Urutan pertama ditempati oleh formula metode

Newton yang memiliki cost paling rendah. Hasil perhitungan dari metode Newton berupa sebuah titik digunakan sebagai input dalam proses formula metode Invers Newton. Kemudian urutan terakhir menggunakan formula metode Halley yang mana proses inputan titiknya diperoleh dari hasil perhitungan formula metode Invers Newton sehingga akan diperoleh titik yang baru. Proses ini akan terus berlangsung sampai kriteria berhenti terpenuhi. Meskipun secara teoritis metode-metode yang digunakan dapat terbukti konvergen, tetapi dalam prakteknya tidak dapat secara efektif konvergen untuk semua penyelesaian fungsi. Hal ini tergantung pada nilai tebakan awal yang diberikan, jika tebakan awal yang diberikan terlalu jauh dari akar sebenarnya maka hasil yang diperoleh tidak terpenuhi atau hasilnya akan divergen. Berikut adalah tahap-tahap dari algoritme metode NHIS :

Algoritme NHIS (Newton Harmonik Invers Secant) Langkah 1. Diberikan fungsi awal

Langkah 2. Diberikan titik tebakan awal dan batas toleransi Langkah 3. Diberikan batas maksimum iterasi

Langkah 4. Hitung

Hitung ̅ Hitung

(26)

Hitung Langkah 5. Hitung

Langkah 6.Jika atau iterasi mencapai titik maksimum, kembali ke langkah 4

Langkah terpenting dalam proses kombinasi metode NHIS berada pada langkah 4 yaitu penentuan urutan formula untuk mengeksekusi sebuah fungsi

nonlinear yang diberikan. Urutan pertama ditempati oleh formula metode

Newton yang memiliki cost paling rendah. Hasil perhitungan dari metode Newton berupa sebuah titik yang digunakan sebagai input dalam proses formula metode Harmonik Newton. Urutan berikutnya yaitu melakukan proses perhitungan menggunakan metode Invers Newton dengan inputan dari hasil perhitungan metode Harmonik. Kemudian proses perhitungan terakhir menggunakan formula metode Secant yang mana proses inputan titiknya diperoleh dari hasil perhitungan formula metode Invers Newton sehingga akan diperoleh titik yang baru. Proses ini akan terus berlangsung sampai kriteria berhenti terpenuhi.

Pada algoritme metode Newton Invers Halley (NIH) dan metode Newton Harmonik Invers Secant (NHIS) memerlukan sembarang nilai tebakan awal yaitu . Selanjutnya metode ini memerlukan batas toleransi sebesar yang digunakan untuk pemberhentian dari proses iterasi. Pembatasan ini dilakukan untuk menentukan tingkat ketelitian dari solusi yang didapatkan. Semakin kecil tolerensi yang diberikan maka solusi dari permasalahan akan semakin mendekati ke nilai yang sebenarnya. Pada dasarnya untuk menentukan solusi numerik mempunyai kriteria pemberhentian adalah sama untuk semua metode. Salah satu kriteria untuk pembatasan proses iterasi program komputasi atau uji konvergesi adalah selisih dua nilai atau titik terakhir yang disimbolkan dengan |

| selain itu, dapat menggunakan nilai fungsi yaitu | | (Sharma 2011). Ketika salah satu kriteria terpenuhi maka proses iterasi komputasi akan berhenti.

Implementasi Algoritme

Dari hasil pembuatan algoritme sebelumnya, algoritme tersebut diimplementasikan kedalam sebuah program. Hal ini dilakukan untuk mempermudah proses uji komputasinya. Hasil dari kedua implementasi algoritme tersebut kemudian dibandingkan algoritme mana yang lebih baik dalam hal ketepatan mencari solusi sebuah fungsi.

1. Implementasi algoritme NIH

(27)

15

yaitu memasukkan formula metode Newton, Invers dan Halley pada program. Ketiga metode tersebut yang menghitung proses pencarian akar dari fungsi yang diinputkan pada program. Akar yang diperoleh dari hasil perhitungan metode NIH tersebut menjadi solusi akhir yang diperoleh saat eksekusi program. Tahap terakhir dari implementasi algoritme NIH adalah menghitung selisih dari nilai akar terakhir dan nilai akar sebelumnya yang dijadikan sebagai syarat pemberhentian iterasi pada saat eksekusi program. Jika selisih nilai akar yang diperoleh kurang dari toleransi yang diberikan, maka proses eksekusi program akan berhenti. Sebaliknya jika tidak memenuhi kriteria pemberhentian, maka proses eksekusi program akan terus berjalan. Untuk implementasi lengkap algoritme NIH pada program dapat dilihat di Lampiran 1.

2. Implementasi Algoritme NHIS

Secara umum, langkah-langkah implementasi algoritme NHIS sama dengan metode NHIS. Perbedaannya hanya pada implementasi program untuk turunan fungsi dan proses implementasi formula metode NHIS. Pada metode Newton, Harmonik, Invers dan Secant tidak memuat turunan kedua fungsi, sehingga tidak perlu mendefinisikan turunan kedua fungsi. Setelah pendefinisian turunan fungsi pertama, maka dilakukan pendefinisian terhadap fungsi dengan substitusi nilai untuk masing-masing variabel yang ada pada turunan fungsi dalam hal ini hanya fungsi dengan turunan pertama. Tahap berikutnya yaitu memasukkan formula metode Newton, Harmonik, Invers dan Secant pada program. Ketiga metode tersebut yang menghitung proses pencarian solusi dari fungsi yang diinputkan pada program dan menghasilkan sebuah akar. Akar yang diperoleh dari hasil perhitungan metode NHIS tersebut menjadi solusi akhir yang diperoleh saat eksekusi program. Tahap terakhir dari implementasi algoritme NHIS adalah menghitung selisih dari nilai akar terakhir dan nilai akar sebelumnya yang dijadikan sebagai syarat pemberhentian iterasi pada saat eksekusi program. Jika selisih nilai akar yang diperoleh kurang dari toleransi yang diberikan, maka proses eksekusi program akan berhenti. Sebaliknya jika tidak memenuhi kriteria pemberhentian, maka proses eksekusi program akan terus berjalan. Untuk implementasi lengkap algoritme NHIS pada program dapat dilihat di Lampiran 1.

Pengujian Komputasi

Pada bagian ini pengujian komputasi dilakukan dengan cara membandingkan hasil numerik dari setiap metode yang telah dijelaskan sebelumnya dengan tujuan untuk melihat kelebihan dan kekurangan dari masing-masing metode. Adapun beberapa metode yaitu, Newton, NIS (Newton Invers Secant), Halley, NH (Newton Halley), IH (Invers Halley), NHIS (Newton harmonik Invers secant), NIH (Newton Invers Halley). Uji komputasi dilakukan untuk kasus fungsi nonlinear dengan akar tunggal. Untuk masing-masing fungsi

nonlinear pada uji komputasi ini memiliki nilai tebakan awal yang berbeda-beda.

(28)

; dengan ; dengan ; dengan . Kemudian untuk toleransi yang digunakan sebesar dan toleransi . Adapun perbandingan jumlah iterasi dari masing-masing kombinasi metode untuk toleransi ditunjukkan pada Tabel 1.

Tabel 1 Perbandingan jumlah iterasi masing-masing metode untuk toleransi

* nilai epsilon belum terpenuhi sehingga proses iterasi berhenti

(29)

17

namun kombinasi metode NIH bisa dikatakan masih lebih baik dari segi iterasinya. Titik awal dan toleransi juga berpengaruh pada banyak iterasi. Jika menggunakan titik awal atau tebakan awal yang cukup dekat dengan nilai akar, maka proses iterasi menjadi lebih cepat. Untuk besar toleransi yang diberikan juga berpengaruh terhadap jalannya proses komputasi. Jika kriteria pemberhentian proses iterasi terpenuhi yaitu | | maka proses komputasi akan berhenti (Sharma 2011).

Pada penelitian ini juga dilakukan uji komputasi menggunakan toleransi

_{. Perbandingan jumlah iterasi menggunakan toleransi untuk toleransi}

_{masing-masing metode disajikan pada Lampiran 2. Dari Lampiran 2,} diketahui bahwa metode NIH memperoleh jumlah iterasi yang lebih sedikit sebanyak 58, disusul oleh metode NHIS sebanyak 77. Besar toleransi juga berpengaruh terhadap banyaknya jumlah iterasi. Jika dibandingkan antara toleransi dan toleransi berdasarkan aspek jumlah iterasi, maka jumlah iterasi dari metode N, NIS, H, NH, IH, NHIS, dan NIH yang diperoleh menggunakan toleransi lebih sedikit. Adapun yang dimaksud dengan iterasi pada kombinasi metode NIH dan NHIS adalah perhitungan sebanyak tiga kali pada metode NIH dan empat kali pada metode NHIS untuk memperoleh nilai akar pendekatan dari fungsi yang diberikan.

Berdasarkan hasil uji komputasi dari aspek running time menggunakan beberapa kombinasi metode untuk toleransi pada tabel 2, dapat dilihat bahwa metode NIH memperoleh total nilai running time yang cukup besar yaitu (0.2671 ms) dibandingkan dengan metode NH (0.2307 ms) dan IH (0.2296 ms) pada saat eksekusi program. Hal ini terjadi karena dalam satu kali proses iterasi metode NIH melakukan tiga kali evaluasi fungsi sehingga running time pogram menjadi lebih besar daripada metode lainnya. Akan tetapi, jika dibandingkan jumlah nilai running time metode N (0.2748 ms), NIS (0.664 ms), H (0.3273 ms) dan NHIS (0.5492 ms), metode NIH memperoleh nilai running time yang lebih kecil yaitu (0.2671 ms). Dari tabel 2 juga dapat dilihat metode NIH dibandingkan metode NHIS memperoleh running time yang terbilang kecil. Untuk besar cost

setiap kombinasi metode juga berpengaruh terhadap eksekusi running time.

Semakin besar cost suatu formula metode, maka running time yang dihasilkan suatu kombinasi metode akan meningkat. Contohnya kombinasi metode NHIS yang memiliki running time terbesar jika dibandingkan dengan metode lainnya. Hal ini disebabkan karena metode NHIS melakukan empat kali evaluasi fungsi dalam satu kali iterasinya.

(30)

Tabel 2 Perbandingan running time masing-masing metode untuk toleransi melihat rata-rata running time yang dihasilkan oleh masing-masing kombinasi metode. Berdasarkan Tabel 3 total rata-rata running time metode NIH lebih kecil dibandingkan dengan metode NIS (0.5016 ms), H (0.1749) dan NHIS (0.2645 ms). Apabila dibandingkan dengan metode N (0.1327 ms), NH (0.1303 ms) dan IH (0.1255 ms), total rata-rata running time metode NIH (0.1348 ms) masih lebih besar, akan tetapi dapat menyeimbangi ketiga metode tersebut. Kemudian total rata-rata running time untuk metode NHIS (0.2645 ms) lebih kecil dibandingkan metode NIS (0.5016 ms). Secara umum metode NHIS masih memperoleh nilai

running time yang cukup besar dibandingkan metode N,H,NH,IH dan NIH.

Hasil lengkap dari total rata-rata running time untuk semua metode disajikan pada Lampiran 7. Tabel 3 menunjukkan perbandingan rata-rata running time

masing-masing metode untuk tiga kali uji komputasi.

(31)

19

Berdasarkan hasil uji komputasi pada Tabel 4 menunjukan bahwa hampir semua kombinasi metode yang dibandingkan menemukan nilai akar yang diharapkan dari semua fungsi yang diberikan. Selanjutnya nilai akar yang diperoleh dari hasil uji komputasi pada Tabel 4 menggunakan toleransi sebesar tidak terdapat perbedaan nyata jika dibandingkan dengan nilai akar yang diperoleh dari penelitian (Weerakoon dan Fernando 2000. Akan tetapi, pada

dengan nilai akar sebesar berdasarkan (Werakoon dan Fernando 2000), terdapat perbedaan nilai akar dengan masing-masing metode N (3.4374), NIS (3.4374), H (3.4374), NH (3.4374) dan IH (3.4374). Sedangkan untuk metode NHIS (4.7667) dan metode NIH (4.6221) memperoleh nilai akar yang mendekati dengan nilai akar pada penelitian sebelumnya. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa metode NHIS dan NIH merupakan metode yang lebih baik dalam hal pencarian solusi untuk fungsi-fungsi yang sulit seperti pada . Hal ini disebabkan karena metode NHIS dan NIH lebih banyak melakukan evaluasi fungsi dalam setiap satu kali iterasi. Di mana metode NHIS melakukan evaluasi fungsi sebanyak empat kali dan metode NIH melakukan tiga kali evaluasi fungsi. Jika dibandingan dari solusi yang diperoleh dari metode NHIS dan NIH, maka terlihat bahwa metode NHIS memperoleh nilai akar yang lebih mendekati dengan nilai akar pada penelitian Werakoon dan Fernando (2000). Bedasarkan nilai akar tersebut, maka dapat dikatakan bahwa ketelitian dari metode NHIS dan metode NIH untuk memperoleh solusi lebih baik jika dibandingkan dengan metode lainnya yang hanya melakukan satu kali atau dua kali evaluasi fungsi.

(32)

(33)

21

Berdasarkan hasil uji komputasi yang dilakukan, dapat dilihat hubungan antara jumlah iterasi dan running time program yang dieksekusi. Gambar 2 sampai dengan Gambar 6 menunjukkan perbandingan running time dan jumlah iterasi dari masing-masing kombinasi metode yang mewakili satu fungsi

nonlinear dan satu tebakan awal fungsi.

(34)

(a) (b) menggunakan sembilan fungsi nonlinear yang berbeda dan hanya menggunakan satu nilai tebakan awal, dapat dilihat bahwa banyaknya iterasi tidak berbanding lurus terhadap jalannya running time. Semakin kecil jumlah iterasi maka tidak menjamin bahwa semakin kecil running time. Sebaliknya jika jumlah iterasi besar, tidak menjamin akan semakin besar pula running time. Namun ada beberapa hal yang dapat mempengaruhi besarnya iterasi yaitu kombinasi metode yang digunakan untuk menyelesaikan suatu fungsi dan tebakan awal fungsi serta jenis fungsi yang diselesaikan. Pada Gambar 4a menggunakan dengan dan Gambar 4b menggunakan dengan , terlihat bahwa jumlah iterasi metode Newton lebih banyak dibandingkan dengan metode NIH, namun dari segi running time metode Newton memperoleh running time yang lebih kecil dari pada metode NIH. Sedangkan metode NIH memperoleh iterasi lebih sedikit namun menghasilkan running time yang lebih besar. Pada fungsi sampai dengan dengan titik awal yang berbeda-beda untuk setiap fungsi menunjukkan bahwa metode NIH merupakan metode yang unggul dari segi banyak iterasi dibandingkan dengan metode N, NIS, H, NH, IH dan NHIS. Meskipun demikian, pada beberapa kasus fungsi tertentu running time metode NIH masih terbilang kecil, sebagai contoh ditunjukkan pada Gambar 4a menggunakan dengan

(35)

23

, 5b menggunakan dengan , 6a menggunakan dengan

, 6b menggunakan dengan dan 7b menggunakan dengan

. Kombinasi metode yang digunakan juga dapat mempengaruhi besarnya

running time pada saat eksekusi program.

Gambar lengkap perbandingan jumlah iterasi dan running time untuk toleransi disajikan pada Lampiran 8. Untuk beberapa kasus fungsi

nonlinear khususnya menggunakan fungsi dengan , dengan ,

dengan , dengan , dengan , dengan , dengan , dengan dan dengan , dari grafik pada Lampiran 8 dapat disimpulkan bahwa metode NIH memperoleh nilai running time yang kecil dibandingkan dengan metode N,H,NH dan IH. Sedangkan metode NHIS berada pada posisi yang paling tinggi dari aspek running time

dibandingkan dengan semua metode.

5 SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Hasil penelitian menunjukkan bahwa dengan menggunakan kombinasi algoritme metode Newton, Invers Newton dan Halley (NIH) dan kombinasi algoritme metode Newton, Harmonik, Invers dan Secant (NHIS), kedua algoritme dapat digunakan untuk mencari solusi akar dari fungsi-fungsi

nonlinear yang diberikan. Berdasarkan hasil percobaan uji komputasi, secara

umum metode NIH mempunyai kinerja yang lebih unggul dari aspek jumlah iterasi dan running time, akan tetapi tidak untuk metode NHIS dari aspek

running time. Namun untuk beberapa kasus fungsi metode NIH memperoleh

nilai running time yang besar. Hal ini disebabkan karena dalam proses iterasi metode NIH melakukan evaluasi fungsi sebanyak tiga kali dan NHIS sebanyak empat kali evaluasi fungsi, sehingga waktu proses penyelesaian masalahnya meningkat. Walaupun begitu, secara umum dapat disimpulkan bahwa rata-rata

running time metode NIH dapat menyeimbangi metode N, H, NH dan IH yang

secara garis besar mempunyai running time yang kecil. Dari segi akurasi atau ketepatan, metode NIH dan metode NHIS dalam mencari solusi akar khususnya pada fungsi-fungsi yang cukup sulit memperoleh hasil yang lebih mendekati pada nilai akar yang diinginkan daripada metode lainnya. Metode Halley yang digunakan untuk kombinasi algoritme NIH sangat berpengaruh terhadap besarnya banyak iterasi dan running time. Dengan menggunakan kombinasi metode Halley, maka iterasi yang diperoleh dalam pencarian solusi akar sebuah fungsi menjadi lebih sedikit, hanya saja metode Halley memuat turunan kedua dari sehingga membutuhkan cost yang lebih banyak untuk eksekusi program.

Saran

(36)

running time saat eksekusi program. Perlu dilakukan analisis lebih lanjut tentang pencarian akar pada fungsi delapan serta uji komputasi dengan fungsi-fungsi

nonlinear lain yang tingkatnya lebih sulit untuk melihat sejauh mana kinerja dari

metode yang dikombinasikan.

DAFTAR PUSTAKA

Atkinson KE. 1988. An Introduction to Numerical Analysis Second Edition. Canada : John Wiley & Sons, Inc.

Chapman SJ. 2008. Matlab Programming for Engineers. 4th ed. Ontario (CA): Thomson Learning.

Chavnov JR. 2012. Introduction to Numerical Method. The Hongkong University of Science and Technology, Hogkong : Creative Commons Attribution 3.0 Hong Kong.

Cormen TH, Leiserson CE, Rivest RL, Stein C. 2009. Introduction to Algorithm

Third Edition. London, England : The MIT Press.

Frontini M, Sormain E. 2003. Some Variant of Newton’s Method with Third

-Order Corvergence. Applied Mathematic and Computation 140: 419-426.

Homeier HHH. 2005. On Newton-type Methods with Cubic Convergence. Journal of Computational and Applied Mathematic 176: 425-432.

Jain D. 2013. Families of Newton-Like Methods with Fourth-Order Convergence.

International Journal of Computer Mathematic 90(5): 1072-1082.

Kumar M, Singh AK, Srivastava A. 2012. Various Newton-type Iterative

Methods for Solving Nonlinear Equations. Journal of the Egyptian

Mathematic Society 21,334-339.

Luenberger DG, Ye Y. 2008. Linear and Nonlinear Programing Third Edition. Stanford, California: Springer.

Noor MA, Khan WA, Hussain A. 2006. A new modified Halley method without

second derivatives for nonlinear equation. Applied Mathematics and

Computation.189: 1268–1273

Ozban AY. 2004. Some New Variants of Newton’s Methods. Applied Mathematic Letters 17: 677-682.

Putra S, Agusni, Restu YP. 2012. Kombinasi Metode Newton dengan Metode Iterasi yang Diturunkan Berdasarkan Kombinasi Linear Beberapa

Kuadratur untuk Menyelesaikan Persamaan Nonlinear. Jurnal Sains,

teknologi Industri. 10 (1): 85-89

Putra S. 2013. Modifikasi Sederhana dari Varian Metode Newton untuk

Menyelesaikan Persamaan Nonlinear. Jurnal Ilmiah Edu Research. 2(2):

111-118

Rochmad . 2013. Aplikasi Metode Newton-Raphson untuk Menghampiri Solusi

Persamaan Nonlinear. Jurnal MIPA 36(2): 193-200.

Sánchez MG. 2009. Improving Order and Efficiency: Composition with a

Modified Newton’s Method. Journal of Computational and Applied

Mathematics 231, 592-597.

(37)

25

Sharma JR, Guha RK, Sharma R. 2011. Some Modified Newton’s Methods with

Four-order Convergence. Advance in Applied science Research

2(1):240-247.

Skiena SS. 2008. The Algorithm Design Manual. Second Edition. Department of Computer Science. State University of New York at Stony Brook. New York, USA : Springer.

Snyman JA. 2005. Practical Mathematical Optimization. An Introduction to Basic Optimization Theory and Classical and New Gradient-Based Algorithms. University of Pretoria, South Africa : Springer.

Stroud KA. 2003. Matematika Teknik. Edisi Kelima Jilid 2. Penerbit Elangga. Utami NNR, Widan IN, Asih ND. 2013. Perbandingan Solusi Sistem Persamaan

Nonlinear Menggunakan Metode Newton-Raphson dan Metode Jacobian.

E-jurnal Matematika 2(2): 11-17

Weerakoon S, Fernando T.G.I. 2000. A Variant of Newton’s Method With

(38)

(39)

27

Lampiran 1 Sintaks dari setiap metode menggunakan program Matlab Sintaks untuk metode Newton

Sintaks untuk metode Newton Invers Secant (NIS)

clear;

toleransi = input ('input nilai toleransi:'); max_iterasi = input ('input max iterasi:');

tic; %Mulai menghitung waktu eksekusi program

y=x0;

%menghitung waktu eksekusi program selesai execution_time = toc

(40)

Lampiran 1 Lanjutan Sintaks dari setiap metode menggunakan program Matlab

Sintaks untuk metode Halley (H)

y=x0;

for i=1:max_iterasi

x_new= y - [f(y)/f1(y)];

x_inv=y-(f(y)./2) * ((1./f1(y)) +

(1./f1(x_new)));

x_sec=x_inv-[(x_inv-y)/(f(x_inv)-y))]*[f(x_inv)];

syms x; %

fun = input ('input f(x): '); f=inline(fun);

z=diff(f(x)); %turunan pertama fungsi

k=diff(z); %turunan kedua fungsi

f1=inline(z); f2=inline(k);

x0=input('input nilai X:');

tic; %Mulai menghitung waktu eksekusi program y=x0;

for i=1:max_iterasi

x_hall=y-[2*f(y)*f1(y)]/[2*(f1(y))^2-2(y)*f(y)];

(41)

29

Sintaks untuk metode Newton Halley (NH)

if (c <= toleransi)

break; end

end end

%menghitung waktu eksekusi program selesai

execution_time = toc

syms x; %

x0=input('input nilai X:');

y=x0;

(42)

Lampiran 1 Lanjutan Sintaks dari setiap metode menggunakan program Matlab Sintaks untuk metode Invers Halley (IH)

Sintaks untuk metode Newton Harmonik Invers Secant (NHIS)

syms x; %

x0=input('input nilai X0:');

y=x0;

for i=1:max_iterasi

x_inv= y - ([f(y)]/2) * [(1/f1(y)) + (1/f1(y))]; x_hall=x_inv-

2*f(x_inv)*f1(x_inv)]/[2*(f1(x_inv))^2-f2(x_inv)*f(x_inv)];

n(i)= x_hall; y = n(i); if i==1 else

b = n(i)-n(i-1); c = abs(b);

if (c <= toleransi) break; end

end end

syms x; %

z=diff(f(x)); %turunan pertama fungsi f1=inline(z);

(43)

31

Sintaks untuk metode Newton Invers Halley (NIH)

y=x0;

for i=1:max_iterasi

x_new=y- [f(y)/f1(y)];

x_har=y-[f(y)*(f1(x_new)+f1(y))]/ [2*f1(x_new)*f1(y)];

x_inv=y- ([f(y)]/2) * [(1/f1(y)) +

(1/f1(x_har))];

x_sec=x_inv-[(x_inv-y)/(f(x_inv)-f(y))]* [f(x_inv)];

n(i)= x_sec; y = n(i); if i==1 else

b = n(i)-n(i-1); c = abs(b);

end end

syms x; %

x0=input('input nilai X0:');

(44)

y=x0;

for i=1:max_iterasi

x_new= y - [f(y)/f1(y)];

x_inv=y-([f(y)]/2) * [(1/f1(y)) +

(1/f1(x_new))];

x_hall=x_inv-2*f(x_inv)*f1(x_inv)]/

[2*(f1(x_inv))^2-f2(x_inv)*f(x_inv)];n(i)= x_hall;

y = n(i); if i==1 else

b = n(i)-n(i-1); c = abs(b);

end end

(45)

33

Lampiran 2 Perbandingan jumlah iterasi masing-masing metode untuk toleransi

Jumlah iterasi

N NIS H NH IH NHIS NIH

-0.5 132 14* 73 7 4 14* 6

1 6 2* 3 3 3 2* 2

2 6 3* 3 3 3 3* 2

-0.3

54 div 52 25 24 div

1 0

1 7 4 4 3 3 4 2

3 7 4 4 3 4 4 3

2 2 div 2 2 2 div 2

3 7 3* 4 3 2 3* 3

1 5 2* 3 2 3 2* 2

1.7 5 3* 4 2 3 3* 2

-0.3 6 3* 4 3 4 3* 3

3.5 8 4 4 3 4 4 3

2.5 7 3* 4 3 3 3* 2

1.5 7 3* 4 3 3 3* 2

-2 9 5 4 3 4 5 3

5 10 15* 6 4 5 15* 4

3.5 13 6* 6 4 5 6* 4

3.25 9 4* 4 4 3 3* 3

Total

300 78 188 80 82 77

(46)

Lampiran 3 Perbandingan running time masing-masing metode untuk toleransi

Tol Running time (ms)

-0.5 0.0930 0.1261 0.0743 0.0295 0.0143 0.1469 0.0295

1 0.0071 0.1035 0.0097 0.0144 0.0122 0.1521 0.0144

2 0.0071 0.1304 0.0097 0.0138 0.0057 0.1498 0.0138

-0.3 0.0387 0.1187 0.0524 0.0455 0.0682 0.1592 0.0455

1 0.0087 0.0161 0.0132 0.0113 0.0069 0.0197 0.0162

3 0.0087 0.0156 0.0134 0.0146 0.0090 0.0218 0.0159

2 0.0030 0.1296 0.0060 0.0082 0.0095 0.1850 0.0118

3 0.0092 0.0141 0.0146 0.0098 0.0040 0.1791 0.0136

1 0.0053 0.0974 0.0070 0.0091 0.0050 0.1438 0.0128

1.7 0.0026 0.1062 0.0087 0.0092 0.0056 0.1397 0.0135

-0.3 0.0062 0.1006 0.0111 0.0118 0.0149 0.1393 0.0129

3.5 0.0086 0.0138 0.0111 0.0121 0.0100 0.0200 0.0131

2.5 0.0076 0.1026 0.0112 0.0122 0.0550 0.1446 0.0108

1.5 0.0073 0.1330 0.0085 0.0089 0.0047 0.1330 0.0130

-2 0.0138 0.0308 0.0179 0.0197 0.0141 0.0332 0.0186

5 0.0188 0.1760 0.0296 0.0207 0.0284 0.2568 0.0282

3.5 0.0169 0.1212 0.0207 0.0202 0.0174 0.1726 0.0237

3.25 0.0119 0.1182 0.0179 0.0063 0.0082 0.1946 0.0192

(47)

Lampiran 4 Perbandingan nilai akar untuk masing-masing metode dengan toleransi

Nilai akar

-0.5 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409

1 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409

2 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409

-0.3 1.36523001341409 - 1.36523001341409 1.36523001341409 1.36523001341409 - 1.36523001341409

1 1.40449164821534 1.40449164821534 1.40449164821534 1.40449164821534 1.40449164821534 1.40449164821534 1.40449164821534

3 1.40449164821534 1.40449164821534 1.40449164821534 1.40449164821534 1.40449164821534 1.40449164821534 1.40449164821534

2 0.2575302854397710 - 0.2575302854397710 0.2575302854397710 0.2575302854397710 - 0.2575302854397710

3 0.2575302854397710 0.2575302854397710 0.2575302854397710 0.2575302854397710 0.2575302854397710 0.2575302854397710 0.2575302854397710

1 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161

1.7 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161

-0.3 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161 0.739085133215161

3.5 2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000

2.5 2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000

1.5 2.15443469003188 2.15443469003188 2.15443469003188 2.15443469003188 2.15443469003188 2.15443469003188 2.15443469003188

-2 -1.20764782713091 -1.20764782713091 -1.20764782713091 -1.20764782713091 -1.20764782713091 -1.20764782713091 -1.20764782713091

5 3.43747174342176 3.43747174342176 3.43747174342176 3.43747174342176 3.43747174342176 4.76676506130314 4.62210416355283

3.5 3.00000000000000 3.00000000000000 3.00000000000000 3.00000000000000 3.00000000000000 3.00000000000000 3.00000000000000