Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan Area Kecil

(1)

RINGKASAN

IKA WIDYAWATI. Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan Area Kecil. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan HARI WIJAYANTO.

Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation, SAE) ialah metode khusus yang dikembangkan untuk meningkatkan presisi dan akurasi pendugaan pada area kecil. Salah satu metode dalam SAE adalah General regression (GREG). Metode GREG adalah metode yang proses pendugaannya berbasis rancangan (design based estimation) dengan koreksi informasi (auxiliary variable). Metode ini rentan terhadap adanya pencilan karena menggunakan metode kuadrat terkecil dalam menduga koefisien regresinya. Ketika terdapat pencilan dalam data, metode kuadrat terkecil seringkali memiliki performa yang rendah. Perlu pengkajian lebih lanjut tentang GREG dengan regresi kekar (Robust Regression) sebagai metode untuk menduga koefisien regresi. Regresi kekar diperlukan untuk memberikan metode alternatif yang sama baiknya dengan metode kuadrat terkecil, tetapi tidak terlalu dipengaruhi oleh pencilan atau hal lain dalam asumsi model. Salah satu metode dalam regresi kekar adalah penduga Huber M (M Regression) yang meminimumkan fungsi objektif dalam data.

(2)

PENERAPAN PENDUGA HUBER M DALAM GENERAL REGRESSION

PADA PENDUGAAN AREA KECIL

IKA WIDYAWATI

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(3)

(4)

RINGKASAN

IKA WIDYAWATI. Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan Area Kecil. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan HARI WIJAYANTO.

Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation, SAE) ialah metode khusus yang dikembangkan untuk meningkatkan presisi dan akurasi pendugaan pada area kecil. Salah satu metode dalam SAE adalah General regression (GREG). Metode GREG adalah metode yang proses pendugaannya berbasis rancangan (design based estimation) dengan koreksi informasi (auxiliary variable). Metode ini rentan terhadap adanya pencilan karena menggunakan metode kuadrat terkecil dalam menduga koefisien regresinya. Ketika terdapat pencilan dalam data, metode kuadrat terkecil seringkali memiliki performa yang rendah. Perlu pengkajian lebih lanjut tentang GREG dengan regresi kekar (Robust Regression) sebagai metode untuk menduga koefisien regresi. Regresi kekar diperlukan untuk memberikan metode alternatif yang sama baiknya dengan metode kuadrat terkecil, tetapi tidak terlalu dipengaruhi oleh pencilan atau hal lain dalam asumsi model. Salah satu metode dalam regresi kekar adalah penduga Huber M (M Regression) yang meminimumkan fungsi objektif dalam data.

(5)

PENERAPAN PENDUGA HUBER M DALAM GENERAL REGRESSION

IKA WIDYAWATI

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Statistika

(6)

Judul Skripsi

: Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression

pada Pendugaan Area Kecil

Nama

: Ika Widyawati

NRP

: G14104004

Menyetujui :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Anang Kurnia, M.Si

Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS

NIP. 132158749

NIP. 131878950

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA

NIP. 131578806

(7)

PRAKATA

Alhamdulillah. Segala puji dan rasa syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat terselesaikan. Karya ilmiah ini berjudul Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan Area Kecil.

Selesainya karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh sebab itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Anang Kurnia, M.Si. dan Bapak Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS selaku pembimbing yang selalu memberikan arahan, saran dan kesabarannya dalam membimbing penulis. 2. Orangtua yang telah mencurahkan segala kasih sayangnya kepada penulis. Kakak

penulis, Semoga tenang di sisi Allah SWT.

3. Keluarga besar Niti Redjo dan Amat Djuki atas kasih sayang dan dukungan kepada penulis.

4. Seluruh dosen Departemen Statistika FMIPA IPB atas ilmu yang diajarkan dan seluruh staf Departemen Statistika (Bu Markonah, Bu Sulis, Bu Dedeh, Bu Aat, Pak Edi, Pak Iyan, Mang Sudin, Mang Herman, Mang Dur) yang telah membantu penulis selama belajar di Statistika IPB.

5. Kak Rahayu Wulandari atas bantuannya kepada penulis.

6. Ratih Nokowati , teman praktik lapang dan satu bimbingan, atas segala kesabarannya. 7. Rekan-rekan di Statistic Centre atas dukungan, keceriaan dan semangatnya. Semoga kita

dapat terus berjuang bersama.

8. Teman, sahabat dan saudara seperjuangan penulis, Statistika 41. Terima kasih atas kebersamaan dan kenangan yang indah selama 4 tahun.

9. Teman-teman Salatiga atas dukungannya kepada penulis.

10. Rekan-rekan kamar 324 dan 326, Baitussalam, Ananda Putri 2 (dan The-X ananda) atas keceriaan dan kebersamaannya.

11. Kakak-kakak kelas STK 40 dan adik-adik STK 42, 43 dan 44.

12. Teman-teman Rohis STK 41dan KAMMUS, terima kasih atas persaudaraannya.

13. A. Z. Surya Buana, Kak Asih, Neng Ani, Mala, Wita dan Keluarga, Teh Rina, Ami, Wiwik, Ufi, Iin dan keluarga, Agung dan Ardila atas jasanya kepada penulis.

14. Teman teman SAE’rs (Iren, Ranur, Agus, Rere), terima kasih atas diskusinya.

15. Teman-teman yang telah direpotkan menjadi seksi sibuk dalam kolokium dan seminar penulis.

16. Semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang telah membantu penulis dalam pembuatan karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.

Bogor, Agustus 2008

(8)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Salatiga pada tanggal 07 Oktober 1986 sebagai putri tunggal dari pasangan Wagimin dan Sunarti.

Setelah menyelesaikan pendidikan dasar di SDN Ledok 5 Salatiga pada tahun 1998, studi penulis dilanjutkan di SLTP Negeri 1 Salatiga yang ditamatkan pada tahun 2001. Tahun 2004 penulis lulus dari SMU Negeri 1 Salatiga, dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa di Departemen Statistika Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI).

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... vii

DAFTAR GAMBAR ... vii

DAFTAR LAMPIRAN ... vii

PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

TINJAUAN PUSTAKA Small Area Estimation (SAE) ... 1

Direct Estimator ... 1

Regresi Kekar (Robust Regression) ... 2

Iterative Reweighted Least Squares (IRLS) ... 3

BAHAN DAN METODE Bahan ... 3

Metode ... 3

HASIL DAN PEMBAHASAN Kajian Simulasi ... 4

Aplikasi pada Data Riil ... 6

Eksplorasi Data ... 6

Perbandingan antara LS-GREG dengan M-GREG ... 7

SIMPULAN ... 8

SARAN ... 8

DAFTAR PUSTAKA ... 8

(10)

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Statistik pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor ... 6

2 Sisaan terstandardisasi dari data pencilan ... 6

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Fungsi

ρ

(.) dan

Ψ

(.) dari penduga Huber M ... 3

2 Fungsi pembobot dari penduga Huber M ... 3

3 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data yang tidak mengandung pencilan ... 4

4 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi pencilan 2,5% ... 5

5 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi pencilan 5 % ... 5

8 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data pada setiap proporsi pencilan ... 6

9 Diagram kotak garis pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor... 6

10 Diagram kotak garis dari sisaan standardisasi ... 6

11 Perbandingan RRMSE LS-GREG dengan M-GREG... 7

12 Selisih RRMSE LS-GREG dengan M-GREG untuk PCAG ... 7

13 Selisih RRMSE LS-GREG dengan M-GREG untuk PCAS ... 7

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 RRMSE antara LS-GREG dengan M-GREG ... 10

(11)

3 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 2,5 %... 11

4 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 5 %... 12

5 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 10 % ... 12

6 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 20 %... 13

7 Diagram pencar antara peubah penjelas populasi dengan pengeluaran per kapita ... 13

8 Data pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor... 14

9 Dugaan GREG dan RRMSE pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor... 15

(12)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Otonomi daerah di Indonesia membuat pemerintah daerah memiliki wewenang lebih dalam mengatur dan memajukan daerahnya. Wewenang dan upaya dalam meningkatkan kemajuan daerah memerlukan informasi yang akurat mengenai daerah itu sendiri. Salah satu sumber informasi yang dapat digunakan adalah Survei Sosial Ekonomi Nasional (SUSENAS). Statistik yang dihasilkan SUSENAS sebagai salah satu sumber informasi daerah pada skala desa/ kelurahan memiliki presisi rendah. Hal ini disebabkan karena pendugaan dilakukan dengan objek survei berukuran kecil. Metode khusus yang dikembangkan untuk meningkatkan presisi pendugaan pada area kecil disebut Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation, SAE).

Salah satu metode pendugaan yang ada dalam SAE adalah General Regression (GREG). Metode GREG termasuk dalam design based estimator. Karakteristik metode ini adalah menggunakan metode kuadrat terkecil dalam menduga koefisien regresinya. Metode klasik ini sangat tergantung pada asumsi yang seringkali tidak dipenuhi dalam praktiknya dimana data sering diasumsikan menyebar normal. Ketika terdapat pencilan dalam data, metode kuadrat terkecil seringkali memiliki performa yang rendah. Berdasarkan penelitian Wulandari (2008), perlu pengkajian lebih lanjut tentang GREG dengan regresi kekar (Robust Regression) sebagai dugaan koefisien regresinya. Regresi kekar diperlukan untuk memberikan metode alternatif yang sama baiknya dengan metode kuadrat terkecil, tetapi tidak terlalu dipengaruhi oleh pencilan atau hal lain dalam asumsi model.

Regresi kekar mempunyai banyak metode yang telah dikembangkan. Penduga kekar yang dikaji dalam skripsi ini adalah penduga Huber M (Huber M Estimator). Penduga M (M-Estimator) merupakan penduga yang meminimumkan fungsi objektif dalam data. Metode ini banyak digunakan dalam praktiknya dibandingkan metode lainnya.

Tujuan

1. Membandingkan antara GREG penduga Huber M dan GREG metode kuadrat terkecil pada data yang mengandung pencilan.

2. Menerapkan metode GREG pada SAE dengan metode Huber M sebagai penduga koefisien regresinya.

TINJAUAN PUSTAKA

Small Area Estimation (SAE)

Suatu area disebut kecil apabila contoh yang diambil dari area tersebut tidak mencukupi untuk melakukan pendugaan langsung dengan hasil dugaan yang akurat (Rao 2003). Metode SAE mengatasi masalah tersebut dengan memberikan pendugaan yang sesuai dari suatu peubah yang dikaji pada area tertentu yang contohnya tidak cukup bagus untuk memberikan pendugaan langsung dengan presisi yang memuaskan (Best et al. 2007).

Direct Estimator

Penduga langsung (direct estimator) merupakan penduga berbasis rancangan (design based estimator) dan hanya dapat digunakan jika semua area dalam suatu populasi digunakan sebagai contoh. Bentuk dari penduganya adalah sebagai berikut :

ijk s k j ijk s k j ijk DIRECT

i

w

y

w

Y

i i

∑

∈ ∈

=

, ,

1

ˆ

...(1)

dengan bobot

w

ijk merupakan kebalikan

(inverse) dari peluang pengambilan contoh

yaitu {

∑

∈ }

=

i s k j ijk

s

p

w

,

)

(

1

dan notasi i

merupakan indeks untuk setiap area kecil. Notasi j merupakan indeks untuk setiap blok sensus dan notasi k merupakan indeks untuk setiap rumah tangga. Salah satu penduga berbasis rancangan adalah General Regressionestimator (Rao 2003).

GREG merupakan metode pendugaan parameter yang memungkinkan untuk menggunakan beberapa informasi tambahan dan dirancang untuk meningkatkan presisi dan akurasi dengan menggunakan informasi tambahan xi yang berkorelasi dengan yi. Metode ini dapat digunakan untuk menduga total populasi, nilai tengah populasi ataupun proporsi populasi. Metode GREG pada penelitian ini didasarkan atas model linier, yaitu :

(13)

β x X ˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆGREG T s j ijk ijk ij i s j ijk ijk ij i i i w N y w N

Y _

      − + =

∑

∈ ∈

ˆ

(

ˆ

)

T

β

ˆ

i i DIRECT

i

X

Y

+

−

=

…….…(3)

dengan :

-

X

_i

=

(

X

_i,1

,...,

X

_i,_p

)

Tadalah vektor dari

nilai tengah p populasi

-

∑

∈

=

i s k j ijk ij

w

N

,

ˆ

-{

∑

∈ }

=

i s k j ijk

s

p

w

,

)

(

1

-

∑

∈

=

i s j i ijk ijk ij

i

w

x

Y

x

N

X

ˆ

(

)

ˆ

1

ˆ

_...(4) -

∑

∈

=

i s j i ijk ijk ij DIRECT

i

w

x

Y

y

N

Y

ˆ

(

)

ˆ

1

ˆ

_..(5)

-

β

ˆ

merupakan penduga koefisien regresi dengan metode kuadrat terkecil. GREG penduga Huber M (M-GREG) berarti menduga koefisien regresi pada GREG dengan metode Huber M.

Regresi Kekar (Robust Regression) Prosedur statistik yang bersifat kekar ditujukan untuk mengakomodasi adanya keanehan data dan sekaligus meniadakan pengaruhnya terhadap analisis tanpa terlebih dahulu mengadakan identifikasi data yang aneh. Prosedur ini lebih bersifat otomatis dalam menanggulangi keanehan data (Aunuddin 1989). Pencilan dalam sekumpulan data hasil pengamatan adalah sebuah pengamatan yang muncul dan nilainya tidak konsisten dengan nilai data yang lainnya (Bartnett & Lewis 1994). Menurut Aunuddin (1989), pencilan dapat dilihat sebagai pengamatan dengan sisaan yang cukup besar (mutlak standardized residual >2).

Dua hal yang diperlukan dalam penduga kekar adalah resisten dan efisien. Suatu penduga dikatakan resisten terhadap pencilan jika sebagian kecil dari contoh tidak dapat memberikan efek yang terlalu besar terhadap pendugaan. Penduga memiliki efisiensi yang baik pada berbagai sebaran jika ragamnya mendekati ragam minimum untuk setiap sebaran.

Beberapa pendekatan telah dikembangkan pada regresi kekar, yaitu dengan penduga R (R-estimators), penduga L (L-estimators)dan penduga M (M estimators). Penduga M lebih sering mendominasi pada praktiknya

disebabkan karena lebih mudah dipahami, dan lebih aman dibandingkan metode kuadrat terkecil.

Penduga M meminimumkan fungsi deviasi antara pengamatan dengan dugaan (fungsi objektif), yang lebih umum jika dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil. Kasus khusus dalam penduga M adalah rataan dan median.

Penduga M untuk paramater lokasi

µ

berdasarkan generalisasi dari prinsip kuadrat terkecil (Bartnett & Lewis 1994). Andaikan, dalam model dasar, dengan contoh berasal dari peubah acak kontinu dengan sebaran kumulatif F(x) dan fungsi kepekatan f(x). Prinsip untuk menduga

µ

dari Tr =

Tr(x1,...,xr) dipilih untuk meminimumkan

∑

=

−

r j r j

T

x

1

)

(

ρ

...(6)

atau dengan menyelesaikan persamaan

∑

=

−

Ψ

r j r j

T

x

1

0

)

(

...(7) dimana

ρ

(. ) = - log f(. )

) ; ( ) / ( ) ,

(x

θ

= ∂ ∂

θ

ρ

x

θ

Ψ

∑

∀ ∀

=

j j j j j r

w

x

w

T

Untuk memperoleh regresi penduga M diperoleh dengan meminimumkan

)

(

1 1

∑

= =

−

a j a j j j

x

y

β

ρ

...(8)

dengan menurunkan persamaan (8) maka diperoleh persamaan

(

)

0

1 1

=

−

Ψ

∑

= = j

a

j

a

j j

j

x

y

β

...(9)

j=1,...,a

Penduga M pada prinsipnya mendefinisikan pada masalah pemilihan fungsi

Ψ

yang memenuhi prinsip efisiensi dan kekekaran. Efisiensi pada fungsi F berarti mendapatkan masalah lokasi dengan mengambil

Ψ

proporsional dari log-likelihood yang dijelaskan oleh kepekatan

F:

Ψ

(x) =

−

(

f

'

/

f

)(

x

)

. Kekekaran diperoleh dengan memilih

Ψ

yang sesuai dan dibatasi, untuk mengurangi pengaruh dari proporsi kecil pengamatan. Kedua prinsip tersebut dapat terjadi jika fungsi

(14)

Penduga Huber M adalah salah satu penduga M yang diperkenalkan oleh Huber pada tahun 1964. Fungsi

ρ

(.) dan

Ψ

_(.) dari penduga Huber M adalah

2/2

x , |x|

≤

k

=

) (x

ρ

| | 2/2 k x

k − , |x| > k ...(10) atau

-k, x<-k

)

(

x

k

Ψ

= x,

−

k

≤

x

≤

k

+k , +k< x ………….……(11) dengan nilai k yang besar menandakan pada suatu pendugaan yang efisien. Nilai k tuning constant, yang ketika nilainya semakin kecil menghasilkan dugaan yang lebih tahan terhadap pencilan namun menghasilkan efisiensi yang lebih rendah ketika sisaan mempunyai sebaran normal.

Fungsi

ρ

(.) dan

Ψ

(.) dari penduga

Huber M digambarkan sebagai berikut (Maronna et al 2006)

Gambar 1 Fungsi

ρ

(.) dan

Ψ

(.) dari

penduga Huber M.

Penduga Huber M juga mempunyai fungsi bobot. Fungsi ini dapat dilihat pada Gambar 2.

Gambar 2 Fungsi pembobot dari penduga Huber M.

Penghitungan pendugaan Huber M menggunakan berbagai algoritma, salah satunya adalah Iterative Reweighted Least Squares. Algoritma ini yang menjadi dasar

algoritma pendugaan Huber M di software SAS 9.1.

Iterative Reweighted Least Squares

(IRLS)

Algoritma dasar untuk menghitung regresi penduga M adalah IRLS. Dugaan IRLS didapatkan dari prosedur iterasi. Dalam setiap iterasi, bobot untuk pengamatan digunakan dalam menduga persamaan regresi. Bobot tersebut diperoleh dari menerapkan fungsi pembobot penduga M untuk setiap sisaan. Bobot awal berdasarkan sisaan awal dari inisialisasi pendugaan (SAS 9.1 Help and Documentation).

Terminologi IRLS berdasarkan Staudte dan Sheater (1990) sebagai berikut :

1. Pilih inisialisasi

B

0 dari

β

.

2. Hitung sisaan

r

j

=

Y

−

XB

(j) pada setiap dugaan ke-j kemudian hitung bobot yang akan digunakan untuk pendugaan selanjutnya.

3. Gunakan bobot yang diperoleh pada tahap 2 untuk mendapatkan

B

(j+1) sampai tidak lebih dari akurasi yang diinginkan.

BAHAN DAN METODE

Penelitian ini menggunakan data simulasi dan aplikasi. Simulasi dilakukan dengan cara: 1. Membangkitkan data X populasi sebanyak

36.

2. Membangkitkan data

x

_ij sebanyak 576,

dengan

X

_populasi sebanyak 36.

v

_isebanyak 36.

e

_ijsebanyak 576.

5. Menghitung nilai

Y

_ij dengan cara.

ij

Y

=

x

_ijβ +

v

_i+

e

_ij

β ditetapkan sebesar 2,5. 6. Menduga Yi.

7. Memberikan proporsi pencilan pada Yi , yaitu tanpa pencilan, pencilan 2,5%, pencilan 5%, pencilan 10%, pencilan 20%. Simulasi tersebut dilanjutkan dengan kajian analisis sebagai berikut :

1. Meregresikan antara Yi dengan

populasi

X dengan metode kuadrat terkecil. 2. Meregresikan antara Yi dengan

populasi

X dengan metode penduga Huber M.

(15)

4. Menghitung YGREG dengan dugaan β metode penduga Huber M.

5. Menghitung nilai Relative Root Mean Squared Error (RRMSE) dugaan pada tahap 3 dan 4, kemudian membandingkan hasilnya.

Tahap-tahap di atas diulang sampai 30 kali kemudian menghitung rataan RRMSE dari GREG kuadrat terkecil (LS-GREG) dan M-GREG.

Data aplikasi yang digunakan adalah data PODES (Potensi Desa) 2006 dan SUSENAS (Survei Sosial Ekonomi Nasional) 2005. Data PODES adalah data yang berurusan dengan wilayah/tata ruang dengan basis desa atau kelurahan, sedangkan data SUSENAS adalah data berbasis rumah tangga yang diselenggarakan tahunan (Badan Pusat Statistik). Data SUSENAS berisi tentang informasi demografi dan sosio-ekonomi rumah tangga. Peubah yang diamati ialah pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor. Peubah pendukung atau peubah penjelas luas lantai, dipilih sesuai dengan penelitian Wulandari (2008). Peubah yang di amati dan peubah pendukung diperoleh dari data SUSENAS, sedangkan data jumlah keluarga dan jumlah blok sensus diperoleh dari data PODES. Peubah penjelas populasinya adalah luas pemukiman. Metode penarikan contoh yang dilakukan SUSENAS pada level desa adalah dengan menentukan terlebih dahulu blok sensus kemudian menentukan rumah tangga dalam blok sensus yang terpilih. Tahapan yang dilakukan pada penelitian ini adalah :

1. Menduga pengeluaran per kapita dengan penduga langsung (Direct Estimators). 2. Eksplorasi data pengeluaran per kapita

masyarakat Kota Bogor.

3. Menduga

β

dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dan menduga pengeluaran per kapita masing-masing desa/kelurahan dengan menggunakan LS-GREG untuk metode penarikan contoh acak sederhana (PCAS) dan penarikan contoh acak gerombol dua tahap (PCAG). 4. Menduga

β

dengan menggunakan

metode penduga Huber M dan menduga pengeluaran per kapita masing-masing desa/kelurahan dengan menggunakan metode GREG.

5. Membandingkan antara penduga tahap 3 dan penduga GREG tahap 4 dengan melihat nilai Relative Root Mean Squared Error (RRMSE) dan selisihnya yang

diperoleh dengan perhitungan sebagai berikut:

%

100

ˆ

)

ˆ

(

)

ˆ

(

=

×

i i i

Y

MSE

Y

RRMSE

Selisih RRMSE = RRMSELS – RRMSEM

Software yang digunakan adalah SAS 9.1, Minitab 14, dan Microsoft Office Excel 2003.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Kajian Simulasi

Simulasi dilakukan dengan proporsi pencilan yang berbeda-beda, yaitu pada proporsi 0% (tanpa pencilan), 2,5%, 5%, 10% dan proporsi pencilan 20%. Pencilan dilakukan pada data-data ekstrim dengan menambah atau mengurangi data Yi dengan 3 kali standar deviasi dari data

Y

_ij.

Simulasi tanpa ada pencilan menunjukkan bahwa LS-GREG memiliki RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan M-GREG, meskipun bedanya tidak terlalu jauh. Kedua metode memiliki nilai RRMSE yang hampir sama ketika diterapkan pada metode GREG untuk pendugaan area kecil. Grafik RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG dapat dilihat pada Gambar 3.

RRMSE Tanpa Pencilan

0 2 4 6 8 10 12 14 16

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

area kecil R R M S E LS Huber

Gambar 3 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-LS-GREG pada data yang tidak mengandung pencilan.

(16)

RRMSE Pencilan 2,5% 0 2 4 6 8 10 12 14 16

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Gambar 4 Perbandingan RRMSE antara LS GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi pencilan 2,5%.

Simulasi proporsi pencilan 5% menunjukkan bahwa M-GREG dalam GREG menghasilkan nilai RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan LS-GREG. Perbedaan nilai RRMSE antara M-GREG pada proporsi pencilan 5% dengan LS-GREG terlihat jelas. Selisih nilai RRMSE kedua metode cukup jauh. Nilai RRMSE kedua metode pada proporsi pencilan 5% dapat dilihat pada Gambar 5.

RRMSE Pencilan 5%

0 2 4 6 8 10 12 14 16

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Area Kecil R R M S E LS Huber

Gambar 5 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-LS-GREG pada data dengan proporsi pencilan 5%.

RRMSE Pencilan 10%

0 2 4 6 8 10 12 14 16

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

LS-GREG pada simulasi proporsi pencilan 10% . Simulasi ini memperlihatkan kekekaran Huber M dalam mengatasi adanya pencilan. Ketika nilai RRMSE pada LS-GREG semakin

naik dengan naiknya proporsi pencilan, RRMSE dari M-GREG cenderung cukup stabil. Nilai RRMSE kedua metode pada proporsi pencilan 10% dapat dilihat pada Gambar 6.

RRMSE Pencilan 20%

0 2 4 6 8 10 12 14 16

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

area k e cil

R R M S E LS Huber

Proporsi pencilan 20% membuat nilai RRMSE baik untuk LS-GREG maupun M-GREG menjadi naik. Akan tetapi, penggunaan regresi kekar Huber M dalam GREG menghasilkan nilai RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan LS-GREG, karena kenaikan RRMSE pada M-GREG lebih kecil dibandingkan kenaikan LS-GREG. Nilai RRMSE LS-GREG pada proporsi pencilan 20% paling besar dibandingkan dengan nilai RRMSE LS-GREG pada semua kemungkinan proporsi pencilan. Nilai RRMSE dari M-GREG pada proporsi pencilan 20% juga paling tinggi dibandingkan RRMSE M-GREG yang lain. Nilai RRMSE kedua metode pada proporsi pencilan 20% dapat dilihat pada Gambar 7.

(17)

Pencilan yang semakin jauh dari pola sebaran data akan menyebabkan semakin lebarnya selisih RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG. Hal ini terjadi karena RRMSE LS-GREG akan semakin besar pada saat terdapat pencilan yang semakin jauh dari pola sebaran data.

Gambar 8 Perbandingan RRMSE antara LS GREG dan M-GREG pada setiap proporsi pencilan.

Aplikasi pada Data Riil Eksplorasi data

Tabel 1 berisi statistik yang menggambarkan pengeluaran per kapita masyarakat Kota bogor berdasarkan dugaan langsung. Pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor mempunyai rataan sebesar Rp. 333.210,-, dengan koefisien keragaman yang cukup besar yaitu 49,81%. Pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor yang paling besar adalah pengeluaran per kapita masyarakat Kelurahan Pabaton, yaitu sebesar Rp. 1.135.393,-.

Tabel 1 Statistik pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor.

Statistik Nilai

Minimum Rp. 162.406,-

Maksimum Rp. 1.135.393,-

Median Rp. 313.731,-

Rata-rata Rp. 333.210,-

Koefisien Keragaman 49,81

Diagram kotak garis (Gambar 9) menunjukkan bahwa terdapat 2 pencilan pada pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor. Pencilan pertama merupakan kelurahan Kebonkelapa yang masyarakatnya memiliki pengeluaran per kapita sebesar Rp.593.462,-. Pencilan yang cukup jauh dari kumpulan data yang ada ialah pengeluaran per kapita masyarakat kelurahan Pabaton dengan nilai Rp. 1.135.393,-.

Tabel 2 menunjukkan adanya sisaan terstandardisasi (standardized residual) yang cukup besar atau lebih dari |2|. Sisaan tersebut didapat dari hasil regresi antara pengeluaran per kapita dengan luas pemukiman, yaitu kelurahan Kebonkelapa dan Pabaton. Kelurahan Pabaton mempunyai sisaan terstandardisasi sebesar 2,83 sedangkan Kelurahan Kebonkelapa sisaan standardisasinya sebesar 2,58.

Gambar 9 Diagram kotak garis pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor.

Tabel 2 Sisaan terstandardisasi dari data pencilan.

Kelurahan

Standardized Residual Pabaton 2,82816 Kebon Kelapa 2,57802

Gambar 10 Diagram kotak garis dari sisaan standardisasi.

(18)

Aunuddin) memberikan patokan yang lebih besar bahwa yang termasuk pencilan adalah pengamatan dengan sisaan terstandardisasi lebih besar dari |3|. Jika mengacu pada kedua sumber tersebut, maka 2 pencilan yang ada, yaitu kelurahan Pabaton dan Kebon Kelapa, merupakan pencilan yang nilainya tidak terlalu besar.

Perbandingan antara LS-GREG dengan M -GREG

MetodeGREG dalam menduga area kecil menggunakan metode kuadrat terkecil untuk menduga parameter β. Penelitian Wulandari (2008) menggunakan dua pendekatan, yaitu Penarikan Contoh Acak Sederhana (PCAS) dan Penarikan Contoh Acak Gerombol 2 tahap (PCAG). Data pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor terdapat pencilan yang menyebabkan metode kuadrat terkecil kurang baik digunakan. Pendekatan metode lain yang digunakan untuk menduga parameter β adalah penduga M (Huber M Regression). Pembandingan kedua metode ini pada GREG dilakukan dengan membandingkan RRMSE dan melihat selisih RRMSE kedua metode.

Gambar 11 Perbandingan RRMSE LS-GREG dengan M-LS-GREG.

Gambar 11 menunjukkan nilai RRMSE dari LS-GREG dan GREG. Metode M-GREG mempunyai nilai RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG untuk kedua penarikan contoh. Perbedaan nilai RRMSE sangat besar di antara kedua penarikan contoh, baik antara LS-GREG PCAG dengan LS-GREG PCAS, maupun antara GREG PCAG dengan M-GREG PCAS. Beberapa kelurahan memiliki nilai RRMSE LS-GREG yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE M-GREG. Kelurahan tersebut antara lain kelurahan Pabaton, Kedungwaringin, Menteng, Kedungbadak, Kayu Manis, dan Kelurahan Kencana. Nilai RRMSE M-GREG memiliki

nilai RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG meski selisihnya tidak terlalu besar.

Gambar 12 menunjukkan perbedaan nilai RRMSE yang lebih jelas dengan melihat selisih nilai RRMSE dari LS-GREG PCAG dengan M-GREG PCAG. Selisih RRMSE antara LS-GREG PCAG dengan M-GREG PCAG terlihat besar pada Kelurahan Kencana, dengan nilai -0,45775. Hal ini berarti kelurahan Kencana memiliki nilai RRMSE LS-GREG PCAG yang lebih kecil dibandingkan nilai RRMSE M-GREG PCAG.

Selisih RRMSE PCAG (LS-Huber)

-0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Kelurahan S e li s ih R R M S E

Selisih RRMSE (LS-Huber)

Gambar 12 Selisih RRMSE LS-GREG dengan M-GREG untuk PCAG.

Selisih RRMSE (LS-Huber) PCAS

-4 -3 -2 -1 0 1 2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Kelurahan S e li s ih R R M S E

Selisih RRMSE PCAS

Gambar 13 Selisih RRMSE LS-GREG dengan M-GREG untuk PCAS.

Gambar 13 memperlihatkan perbedaan nilai RRMSE dari LS-GREG PCAS dengan M-GREG PCAS. Kelurahan Kencana memiliki selisih RRMSE antara LS-GREG PCAS dengan M-GREG PCAS yang cukup besar yaitu -3,1363, seperti pada PCAG. Selisih nilai RRMSE pada PCAS lebih besar dibandingkan dengan selisih RRMSE pada PCAG.

(19)

SIMPULAN

Kajian simulasi memperlihatkan bahwa M-GREG lebih baik dibandingkan LS-GREG pada data yang mengandung pencilan berdasarkan RRMSE. LS-GREG sebaiknya digunakan pada data yang tidak mengandung pencilan karena kesederhanaan dalam perhitungan dan mempunyai RRMSE yang relatif sama dengan M-GREG. Selisih RRMSE antara kedua metode cukup besar pada proporsi pencilan 10%.

M-GREG pada kasus pengeluaran per kapita di Kota Bogor memiliki RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG, meskipun selisihnya relatif kecil. Selisih RRMSE yang kecil dapat disebabkan oleh data pencilan yang relatif tidak berpengaruh terhadap pendugaan β.

SARAN

Perlu pengkajian lebih lanjut mengenai tingkat kestabilan dari M-GREG, yaitu proporsi pencilan yang menyebabkan performa M-GREG mengalami penurunan dan proporsi pencilan ketika LS-GREG dengan M-GREG memiliki performa yang sama. Pengkajian mengenai pengaruh pencilan pada peubah pendukung terhadap dugaan GREG juga menarik untuk dilakukan.

DAFTAR PUSTAKA

Andrews et al.1972. Robust Estimates of Location: Survey and Advances. Princeton University Press.

Aunuddin. 1989. Analisis Data. Institut Pertanian Bogor.

Bartnett, V. & T. Lewis. 1994. Outliers in Statistical Data. Third Edition. Chichester: John Willey and Sons.

Best, N., S. Richardson & V. Gomez-Rubio. 2007. A Comparison of Methods for Small Area Estimation. Journal.

Bunke, H. & O. Bunke. 1989. Non linear Regression, Functional Relation and Robust Method: Statistical Method Of Model Building. Volume 2.Berlin: John Willey and Sons.

Hoaglin, D.C, F. Mosteller, & J.W. Tukey. 1983. Understanding Robust and Exploratory Data Analysis. New York: John Willey and Sons.

Huber, P.J. 1996. Robust Statistical Procedures.Second Edition. Philadelpia: Society For Industrial And Applied Mathematics.

Maronna et al. 2006. Robust Statistics: Theory and Method. Chichester: John Willey and Sons.

Rao, J. N. K. 2003. Small Area Estimation. New York : John Willey and Sons.

Staudte, R.G. & S.J. Sheather. 1990. Robust Estimation and Testing. Canada: John Willey and Sons.

Sagitra, M.A. 2001. How Robust Are Robust Regression Methods Really With Respect To Outliers and Influential Point? [skripsi]. FMIPA IPB.

(20)

9

(21)

10

Lampiran 1 RRMSE antara LS-GREG dengan M-GREG.

Tanpa

Pencilan Pencilan 2,5% Pencilan 5% Pencilan 10% Pencilan 20% Id

Area

LS Huber LS Huber LS Huber LS Huber LS Huber 1 _6,01 _6,04 _7,11 _6,47 _8,55 _6,49 _11,38 _6,76 _11,71 _9,69

2 _6,3 _6,31 _7,05 _6,33 _8,63 _6,36 _10,75 _6,51 _11,21 _9,31

3 _6,16 _6,17 _6,88 _6,15 _8,57 _6,5 _10,78 _6,59 _13,34 _11,35

4 _5,96 _5,96 _6,52 _5,95 _7,71 _5,91 _9,64 _6,09 _11,69 _9,63

5 _6,33 _6,33 _7,95 _7,45 _9,17 _7,06 _12,38 _7,66 _12,82 _11,06

6 _5,91 _5,91 _6,55 _5,9 _8,57 _6,31 _12,14 _7,3 _12,55 _10,93

7 _6,33 _6,34 _6,83 _6,33 _7,94 _6,2 _10,84 _6,75 _11,78 _10,21

8 _6,29 _6,29 _6,95 _6,24 _8,62 _6,65 _10,96 _6,73 _12,29 _10,64

9 _6,01 _6,03 _6,95 _5,99 _8,49 _6,1 _11,81 _7,23 _10,6 ₉

10 ₆ _6,01 _8,41 _7,08 _11,76 _8,02 _13,3 _7,46 _16,02 _14,48

11 _5,9 _5,91 _6,43 _5,92 _8,54 _6,52 _11,08 _6,84 _11,15 _9,81

12 _6,5 _6,5 _8,16 _7,08 _8,85 _6,52 _12,51 _7,5 _14,07 _11,74

13 _5,68 _5,69 _6,58 _5,68 _8,34 _5,71 _12,82 _6,96 _12,55 _10,39

14 _5,98 _6,01 _7,4 _6,54 _8,88 _6,6 _12,93 _7,54 _13,9 _12,14

15 _6,11 _6,13 _6,84 _6,14 _8,02 _6,1 _10,32 _6,34 _12,31 _10,59

16 _6,63 _6,67 _8,03 _7,25 _9,32 _7,31 _11,97 _7,51 _14,59 _12,93

17 _5,93 _5,94 _6,68 _5,92 _7,87 _6,03 _12,34 _7,41 _12,2 _10,34

18 _6,21 _6,21 _6,8 _6,2 _7,98 _6,18 _10,39 _6,47 _10,34 _8,96

19 _5,36 _5,36 _6,34 _5,59 _7,84 _5,66 _11,42 _6,36 _12,21 _10,56

20 _5,48 _5,5 _6,09 _5,5 _7,45 _5,56 _11,25 _6,3 _11,72 _9,74

21 _6,03 _6,04 _6,86 _6,04 _8,3 _6,02 _11,13 _6,43 _11,25 _9,42

22 _6,06 _6,07 _6,98 _6,1 _8,68 _6,26 _11,15 _6,54 _12,41 _9,7

23 _5,77 _5,8 _6,73 _5,98 _8,32 _6,23 _11,22 _6,72 _11,55 _9,77

24 _5,79 _5,82 _6,72 _5,85 _9,17 _6,83 _11,3 _7,01 _11,82 _10,11

25 _6,21 _{6,22 10,52} _9,34 _13,35 _10,07 _15,16 _9,35 _16,27 _13,26

26 _6,13 _6,15 _6,92 _6,17 _7,98 _6,16 _11,66 _7,13 _11,51 _9,74

27 _5,71 _5,73 _6,6 _6,01 _7,31 _5,61 _9,75 _5,88 _10,96 _9,44

28 _6,23 _6,25 _6,72 _6,21 _7,92 _6,19 _11,45 _6,99 _11,34 _9,84

29 _6,12 _6,12 _6,89 _6,16 _8,04 _6,12 _10,72 _6,47 _11,21 _9,55

30 _5,72 _5,73 _6,49 _5,83 _7,57 _5,88 _9,37 _5,83 _11,72 _10,36

31 _5,58 _5,57 _6,16 _5,47 _7,4 _5,49 _10,88 _6,36 _11,11 _9,82

32 _5,73 _5,75 _6,06 _5,74 _7,44 _5,96 _9,43 _6,05 _9,84 _8,56

33 _5,71 _5,73 _6,9 _6,09 _8,23 _6,14 _10,4 _6,41 _11,63 _10,38

34 _5,97 _5,98 _6,48 _5,91 _8,3 _6,41 _11,43 _6,82 _11,2 _9,79

35 _5,76 _5,77 _6,72 _5,94 _8,05 _5,92 _10,77 _6,13 _10,24 _8,77

(22)

11

Lampiran 2 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 0 %.

Variable Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Median LS 5,9957 0,0468 0,2808 0,0788 4,68 6,0042 Huber 6,0078 0,0470 0,2822 0,0796 4,70 6,0186

Lampiran 3 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 2,5%.

(23)

12

! $

! %&

(24)

13

! "&

Lampiran 7 Diagram pencar antara peubah penjelas populasi dengan pengeluaran per kapita.

'

(

)

%

&

(* '

(25)

14

Nama Desa Y x X

PAMOYANAN 170791 70,0000 130,6858

GENTENG 182730 88,8750 111,6786

HARJASARI 223460 77,5000 102,6806

CIPAKU 210153 83,4375 121,9487

BATUTULIS 363204 40,9375 56,3540 EMPANG 383120 35,8125 39,2502

CIKARET 315169 49,1875 108,5796

SINDANGRASA 387938 122,8125 174,6821

KATULAMPA 162406 47,8125 189,3923

BARANANGSIANG 267890 80,3125 178,8025

SUKASARI 237197 31,5625 69,2250

BANTARJATI 267890 80,3125 124,9490 TEGALGUNDIL 331109 61,6875 157,9899

TANAHBARU 390992 53,2500 171,1806

CIMAHPAR 213313 69,4375 203,3388

CIBULUH 359151 72,5000 134,5829

KEDUNGHALANG 443976 169,6667 165,8716

CIPARIGI 224661 67,5000 157,9365 BABAKANPASAR 232711 25,5625 65,6350

TEGALLEGA 273747 47,6250 85,9166

PABATON 1135393 191,6250 88,9967

KEBONKELAPA 593462 61,5000 47,3263

PASIRMULYA 321191 62,5000 199,0891

PASIRJAYA 246303 37,0625 148,9885

GUNUNGBATU 353346 67,1250 114,2352 MENTENG 313731 114,7500 176,5049

CILENDEK BARAT 375531 107,1250 153,3861

SINDANGBARANG 427145 98,3125 172,8639

SITUGEDE 311550 59,3125 152,0295

SEMPLAK 373888 60,7500 76,3179

KEDUNGWARINGIN 244109 99,8125 74,7402

KEDUNGJAYA 335310 65,6875 60,9940 KEBONPEDES 278218 45,1875 62,1076

KEDUNGBADAK 411120 98,8750 70,3488

KAYUMANIS 300458 106,7500 81,4120

(26)

15

Lampiran 9 Dugaan GREG dan RRMSE pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor (dalam ribu rupiah).

Penduga GREG (dalam ribuan)

PCAS PCAG Huber PCAS Huber PCAG Nama Desa Y RRMSE Y RRMSE Y RRMSE Y RRMSE

PAMOYANAN 303,3951 12,5659 303,3951 1,7414 310,4711 12,3455 310,4711 1,7108

GENTENG 232,5578 18,6552 232,5578 3,4204 235,2167 18,2943 235,2167 3,3543

HARJASARI 278,4819 13,4998 278,4819 2,0001 281,4179 13,3372 281,4179 1,9761

CIPAKU 294,3040 24,3643 294,3040 2,9473 298,7945 23,9197 298,7945 2,8935 BATUTULIS 396,8911 53,2211 396,8911 7,6488 398,6886 52,9098 398,6886 7,6041

EMPANG 390,6319 37,3756 390,6319 2,6061 391,0328 37,2733 391,0328 2,5990 CIKARET 444,9470 22,3859 444,9470 2,5633 451,8722 22,0129 451,8722 2,5206

SINDANGRASA 501,2782 13,7802 501,2782 1,5607 507,3262 13,8230 507,3262 1,5655

KATULAMPA 471,7720 7,0075 471,7720 0,6683 488,2803 6,7210 488,2803 0,6410

BARANANGSIANG 483,1004 25,1915 483,1004 2,5230 494,5843 24,5990 494,5843 2,4637

SUKASARI 319,4932 17,2469 319,4932 2,4405 323,8846 16,9855 323,8846 2,4035

BANTARJATI 365,4253 33,2954 365,4253 3,4253 370,6299 32,8178 370,6299 3,3762 TEGALGUNDIL 541,5390 43,6084 541,5390 4,0955 552,7678 42,6510 552,7678 4,0055

TANAHBARU 648,6819 17,7609 648,6819 1,9839 662,4326 17,3643 662,4326 1,9396

CIMAHPAR 505,9010 15,1354 505,9010 1,9497 521,5139 14,7203 521,5139 1,8962

CIBULUH 494,8088 21,3102 494,8088 2,9669 502,0477 21,1054 502,0477 2,9384

KEDUNGHALANG 430,4144 54,7125 430,4144 6,1261 429,9719 54,1460 429,9719 6,0627

CIPARIGI 422,2737 26,6299 422,2737 3,0713 432,8186 25,9211 432,8186 2,9895

BABAKANPASAR 320,2731 19,2042 320,2731 2,7744 324,9456 18,8598 324,9456 2,7247 TEGALLEGA 357,4175 32,5206 357,4175 4,0619 361,8823 31,9235 361,8823 3,9874

PABATON 919,5011 40,6216 919,5011 9,7218 914,4674 40,7217 914,4674 9,7458

KEBONKELAPA 562,4908 30,8878 562,4908 3,9681 560,8382 30,8751 560,8382 3,9665

PASIRMULYA 619,6523 9,7745 619,6523 1,9463 635,5786 9,5066 635,5786 1,8930

PASIRJAYA 490,8723 15,4471 490,8723 1,7734 503,9229 15,0389 503,9229 1,7265

GUNUNGBATU 456,2867 10,6154 456,2867 1,1382 461,7798 10,4150 461,7798 1,1167

MENTENG 448,6713 25,5402 448,6713 2,3956 455,8720 25,8603 455,8720 2,4256 CILENDEK BARAT 476,6160 21,6109 476,6160 2,1483 482,0100 21,2806 482,0100 2,1155

SINDANGBARANG 590,0477 29,5638 590,0477 3,7238 598,7404 29,0357 598,7404 3,6573

SITUGEDE 514,1453 20,2471 514,1453 2,9870 524,9561 19,7876 524,9561 2,9192

SEMPLAK 407,9056 18,9305 407,9056 3,4817 409,7208 18,7404 409,7208 3,4467

KEDUNGWARINGIN 189,3238 60,7266 189,3238 7,0145 186,4004 62,0451 186,4004 7,1668

KEDUNGJAYA 325,0538 38,7974 325,0538 5,9579 324,5065 38,7092 324,5065 5,9444 KEBONPEDES 315,1898 25,2328 315,1898 2,5562 317,1627 25,0381 317,1627 2,5365

KEDUNGBADAK 225,8563 37,4996 225,8563 7,0982 222,5301 37,8947 222,5301 7,1769

KAYUMANIS 245,0920 47,0947 245,0920 6,3333 242,1376 47,5912 242,1376 6,4001

(27)

16

Lampiran 10 Penduga ragam GREG PCAS dan GREG PCAG.

Ragam dari GREG PCAS :

(

)

∑

= − − − = . 1 . 2 . . . . 1 ˆ ˆ ) 1 ( 1 ) ˆ ( i m i i i k i i i i GREG m e e M m m Y Var

Ragam dari GREG PCAG :

( )

(

)

1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ) 1 ( ) ˆ ( 2 1 1 2 2 . 1 2 2 . − −         ₋ + − − − =

∑

∑∑

= = = ij ij ijk ij ij ij n j m k ij ij i i i n j i i ij i i i i i GREG m e e M m M m M M n N n e e N n M n N Y Var i ij i

(28)

PENERAPAN PENDUGA HUBER M DALAM GENERAL REGRESSION

IKA WIDYAWATI

(29)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tujuan

TINJAUAN PUSTAKA

Small Area Estimation (SAE)

i

w

y

w

Y

i i

∑

∈ ∈

=

, ,

1

ˆ

...(1)

dengan bobot

w

yaitu {

∑

∈ }

=

i s k j ijk

s

p

w

,

)

(

1

dan notasi i

(30)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tujuan

TINJAUAN PUSTAKA

Small Area Estimation (SAE)

i

w

y

w

Y

i i

∑

∈ ∈

=

, ,

1

ˆ

...(1)

dengan bobot

w

yaitu {

∑

∈ }

=

i s k j ijk

s

p

w

,

)

(

1

dan notasi i

(31)

β x X ˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆGREG T s j ijk ijk ij i s j ijk ijk ij i i i w N y w N

Y _

      − + =

∑

∈ ∈

ˆ

(

ˆ

)

T

β

ˆ

i i DIRECT

i

X

Y

+

−

=

…….…(3)

dengan :

-

X

_i

=

(

X

_i,1

,...,

X

_i,_p

)

Tadalah vektor dari

nilai tengah p populasi

-

∑

∈

=

i s k j ijk ij

w

N

,

ˆ

-{

∑

∈ }

=

i s k j ijk

s

p

w

,

)

(

1

-

∑

∈

=

i s j i ijk ijk ij

i

w

x

Y

x

N

X

ˆ

(

)

ˆ

1

ˆ

_...(4) -

∑

∈

=

i s j i ijk ijk ij DIRECT

i

w

x

Y

y

N

Y

ˆ

(

)

ˆ

1

ˆ

_..(5)

-

β

ˆ

merupakan penduga koefisien regresi dengan metode kuadrat terkecil. GREG penduga Huber M (M-GREG) berarti menduga koefisien regresi pada GREG dengan metode Huber M.

Regresi Kekar (Robust Regression) Prosedur statistik yang bersifat kekar ditujukan untuk mengakomodasi adanya keanehan data dan sekaligus meniadakan pengaruhnya terhadap analisis tanpa terlebih dahulu mengadakan identifikasi data yang aneh. Prosedur ini lebih bersifat otomatis dalam menanggulangi keanehan data (Aunuddin 1989). Pencilan dalam sekumpulan data hasil pengamatan adalah sebuah pengamatan yang muncul dan nilainya tidak konsisten dengan nilai data yang lainnya (Bartnett & Lewis 1994). Menurut Aunuddin (1989), pencilan dapat dilihat sebagai pengamatan dengan sisaan yang cukup besar (mutlak standardized residual >2).

Dua hal yang diperlukan dalam penduga kekar adalah resisten dan efisien. Suatu penduga dikatakan resisten terhadap pencilan jika sebagian kecil dari contoh tidak dapat memberikan efek yang terlalu besar terhadap pendugaan. Penduga memiliki efisiensi yang baik pada berbagai sebaran jika ragamnya mendekati ragam minimum untuk setiap sebaran.

Beberapa pendekatan telah dikembangkan pada regresi kekar, yaitu dengan penduga R (R-estimators), penduga L (L-estimators)dan penduga M (M estimators). Penduga M lebih sering mendominasi pada praktiknya

disebabkan karena lebih mudah dipahami, dan lebih aman dibandingkan metode kuadrat terkecil.

Penduga M meminimumkan fungsi deviasi antara pengamatan dengan dugaan (fungsi objektif), yang lebih umum jika dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil. Kasus khusus dalam penduga M adalah rataan dan median.

Penduga M untuk paramater lokasi

µ

berdasarkan generalisasi dari prinsip kuadrat terkecil (Bartnett & Lewis 1994). Andaikan, dalam model dasar, dengan contoh berasal dari peubah acak kontinu dengan sebaran kumulatif F(x) dan fungsi kepekatan f(x). Prinsip untuk menduga

µ

dari Tr =

Tr(x1,...,xr) dipilih untuk meminimumkan

∑

=

−

r j r j

T

x

1

)

(

ρ

...(6)

atau dengan menyelesaikan persamaan

∑

=

−

Ψ

r j r j

T

x

1

0

)

(

...(7) dimana

ρ

(. ) = - log f(. )

) ; ( ) / ( ) ,

(x

θ

= ∂ ∂

θ

ρ

x

θ

Ψ

∑

∀ ∀

=

j j j j j r

w

x

w

T

Untuk memperoleh regresi penduga M diperoleh dengan meminimumkan

)

(

1 1

∑

= =

−

a j a j j j

x

y

β

ρ

...(8)

dengan menurunkan persamaan (8) maka diperoleh persamaan

(

)

0

1 1

=

−

Ψ

∑

= = j

a

j

a

j j

j

x

y

β

...(9)

j=1,...,a

Penduga M pada prinsipnya mendefinisikan pada masalah pemilihan fungsi

Ψ

yang memenuhi prinsip efisiensi dan kekekaran. Efisiensi pada fungsi F berarti mendapatkan masalah lokasi dengan mengambil

Ψ

proporsional dari log-likelihood yang dijelaskan oleh kepekatan

F:

Ψ

(x) =

−

(

f

'

/

f

)(

x

)

. Kekekaran diperoleh dengan memilih

Ψ

yang sesuai dan dibatasi, untuk mengurangi pengaruh dari proporsi kecil pengamatan. Kedua prinsip tersebut dapat terjadi jika fungsi

(32)

ρ

(.) dan

Ψ

2/2

x , |x|

≤

k

=

) (x

ρ

| | 2/2 k x

k − , |x| > k ...(10) atau

-k, x<-k

)

(

x

k

Ψ

= x,

−

k

≤

x

≤

k

Fungsi

ρ

(.) dan

Ψ

(.) dari penduga

Gambar 1 Fungsi

ρ

(.) dan

Ψ

(.) dari

penduga Huber M.

Iterative Reweighted Least Squares

(IRLS)

B

0 dari

β

.

2. Hitung sisaan

r

j

=

Y

−

XB

B

BAHAN DAN METODE

36.

x

_ij sebanyak 576,

dengan

X

v

_isebanyak 36.

e

_ijsebanyak 576.

5. Menghitung nilai

Y

_ij dengan cara.

ij

Y

=

x

_ijβ +

v

_i+

e

_ij

β ditetapkan sebesar 2,5. 6. Menduga Yi.

7. Memberikan proporsi pencilan pada Yi , yaitu tanpa pencilan, pencilan 2,5%, pencilan 5%, pencilan 10%, pencilan 20%. Simulasi tersebut dilanjutkan dengan kajian analisis sebagai berikut :

1. Meregresikan antara Yi dengan

populasi

X dengan metode kuadrat terkecil. 2. Meregresikan antara Yi dengan

populasi

X dengan metode penduga Huber M.

[image:32.612.106.313.47.756.2]

(33)

ρ

(.) dan

Ψ

2/2

x , |x|

≤

k

=

) (x

ρ

| | 2/2 k x

k − , |x| > k ...(10) atau

-k, x<-k

)

(

x

k

Ψ

= x,

−

k

≤

x

≤

k

Fungsi

ρ

(.) dan

Ψ

(.) dari penduga

Gambar 1 Fungsi

ρ

(.) dan

Ψ

(.) dari

penduga Huber M.

Iterative Reweighted Least Squares

(IRLS)

B

0 dari

β

.

2. Hitung sisaan

r

j

=

Y

−

XB

B

BAHAN DAN METODE

36.

x

_ij sebanyak 576,

dengan

X

v

_isebanyak 36.

e

_ijseba