BAB 1 BAB 1
SISTEM BILANGAN REAL
JENIS-JENIS BILANGAN: BIL. ASLI : 1, 2, 3, 4, 5, … BIL. CACAH : 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
BIL. BULAT : …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … BIL. PECAHAN : ½, ¾, -5/6, 8/7, …
BIL. RASIONAL : Bilangan yg dapat dinyatakan dlm bentuk m/n , dimana m, n merupakan bilangan-bilangan bulat dan n
0.( Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang)
BIL.IRASIONAL : Bilangan yg tidak dapat dinyatakan dlm bentuk m/n , dimana m, n merupakan bilangan-bilangan bulat.
( Bilangan yg tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang) CONTOH : 2, 3, 7,...
BILANGAN REAL : BIL. RASIONAL DIGABUNG DGN BIL. IRASIONAL.
SIFAT-SIFAT URUTAN BILANGAN REAL:
1. HUKUM KOMUTATIF: X + Y = Y + X dan XY = YX
2. HUKUM ASOSIATIF : X + ( Y + Z ) = (X + Y) + Z dan X(YZ) = (XY)Z 3. HUKUM DISTRIBUTIF : X(Y+Z) = XY + XZ
4. KETRANSITIFAN : X < Y dan Y < Z maka X < Z 5. PENAMBAHAN : Jika X < Y maka X + Z < Y + Z 6. PERKALIAN : Bila Z positif , X < Y
XZ < YZBila Z Negatif , X < Y
XZ > YZ 7. X bilangan positif
X > 0 , X Bil. Negatif
X < 0X Bil. Tidak negatif
X
0 , X Bil. Tidak positif
X
0 8. Jika X > 0 , Y > 0 maka XY > 0 , Jika X < 0 , Y < 0 maka XY > 0Jika X > 0, Y < 0 maka XY < 0 9. Jika X < Y maka Y – X > 0 ( positif)
PERTAKSAMAAN Bentuk umum :
( ),tan tan , ,
)
(x Q x da dapatdigantidengan da
P
Contoh:
x x
x c
x x b
x x a
1 ) 2 (
) 1 ( .
15 2 .
0 2 .
2 2
Solusi pertaksamaan adalah semua nilai-nilai x yang memenuhi pertaksamaannya. Solusi pertaksamaan, dapat dinyatakan dalam cara:
R x
b x R x b
x R x
a x R x a
x R x
b x a R x b
x a R x
b x a R x b
x a R x
Himpunan Cara
. 9
. 8 .
7
. 6 .
5
. 4 .
3
. 2 .
1
Cara Selang:
) , .( 9 ] , .[ 8 ) , .( 7 ) , .( 6 , . 5 , . 4 , . 3 , . 2 , . 1 b b a a b a b a b a b aNILAI MUTLAK Definisi:
Nilai mutlak dari bilangan real x ditulis x dan didefinisikan sebagai:
0 , 0 , x jika x x jika x x a x jika a x a x jika a x a x ), ( ), (
Secara geometris nilai mutlak bilangan real x adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan. -2 0 2
Contoh : 2 = 2 dan 2 = 2
Sifat-sifat nilai mutlak:
1. Untuk setiap x bilanga real berlaku:
a. x 0
b. x = x
c. 2
x = x2
= x2
2. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku
y x y x x y y x y y x y x y x y x y x y x y x 0 , . 2 2
3. Jika a0, maka:
a. x a axa x2a2
b. x a x aataux a x2 a2
4. 2 2 2 2 0 ( )( ) 0
y x y x y x y x y
x
Pertaksamaan Dengan Nilai Mutlak
Himpunan jawab pertaksamaan dengan nilai mutlak: Langkah-langkah:
1. Ubah bentuk pertaksamaan yang diketahui ke dalam bentuk pertaksamaan tanpa nilai mutlak dengan menggunakan sifat-sifat nilai mutlak yang ada.
2. Tentukan himpunan jawab pertaksamaan tanpa nilai mutlak yang diperoleh dengan cara biasa.
SOAL
5 1 2 2 .
2 1 2
.
1 2 1
.
3 3
2 .
2 .
1 1 .
2 2
x x
f
x x e
x x x
x d
x x
c
x x b
x x a
SISTEM KOORDINAT DAN GRAFIK PERSAMAAN
Persamaan garis yg melalui satu titik (x1,y1 ) dgn gradien m adalah : y – y1 = m (x – x1)
y
y B (x2 , y2)
y1 A (x1 , y1)
0 x1 x2 x
Persamaan garis yg melalui dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) adalah
1 2
1 2
1 1
x
x
y
y
x
x
y
y
Jarak titik A(x1, y1) dan titik B(x2, y2) adalah
2 1 2 2 1
2 ) ( )
( ) ;
(A B x x y y
d
Jarak titik A(x1, y1) ke garis g : ax + by + c = 0, adalah
2 2
1 1 ) ; (
b a
c by ax g
A d
Titik tengah garis AB, dimanatitik A(x1, y1) dan titik B(x2, y2) :
2
,
2
2 1 2
1
x
y
y
x
D
Titik
Hubungan antara dua garis :
Misalkan Garis g1 : y1 = m1x + b1, dengan m1 = grdien g1 Garis g2 : y2 = m2x + b2, dengan m2 = grdien g2 Maka:
1. g1 sejajar dgn g2 jika m1 = m2,
2. g1 berimpit dgn g2 jika m1 = m2 dan b1 = b2 3. g1 berpotongan dgn g2 jika m1
m2 4. g1 tegak lurus dgn g2 jika m1 . m2 = -1Jika g1 dan g2 berpotongan maka titik potongnya, yaitu (x,y) yang tercapai pada saat : y1 = y2
Soal:
1. Diketahui titik A(-2, 3), B(3,-4) dan C(2,5) Tentukanlah:
a. Persamaan garis g yang melalui titik A dan titik B
b. Persamaan garis h yang melalui titik C dan sejajar garis g
e. Jarak titik A ke titik B f. Jarak titik C ke garis AB g. Luas segitiga ABC tersebut
2. Gambarkanlah grafik fungsi-fungsi berikut:
a. 2x + 3y = 6 c. 2y – 5x – 10 = 0
b. y = 4 – 8x b. 4x = 3y - 1
Fungsi kuadrat: f(x) = ax2 + bx + c, a
0Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola.
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi parabola yg berbentuk:
y = f(x) = ax2 + bx + c , a
0 Titik potong sumbu y berarti x = 0 maka y = c ,titiknya (0,c)
Titik potong sumbu x berarti y = 0 maka
ana D b ac
a D b
x , dim 4
2
2 2
,
1
Ada tiga kemungkinan:
Jika D > 0 maka nilai x1
x2, jadi ada dua titik potong terhadap sumbu x, yaitu (x1,0) dan (x2,0) Jika D = 0 maka nilai x1 = x2, jadi ada satu titik potong thp sumbu x, yaitu (x,0) Jika D < 0 maka tidak ada titik potong terhadap sumbu x
Titik puncak )
4 , 2 (
a D a
b
P
Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas
Jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi parabola yg berbentuk:
x = f(y) = ay2 + by + c , a
0 Titik potong sumbu x berarti y = 0 maka x = c ,
titiknya (c,0)
Titik potong sumbu y berarti x = 0 maka
ana D b ac
a D b
y , dim 4
2
2 2
,
1
Ada tiga kemungkinan:
Jika D > 0 maka nilai y1
y2, jadi ada dua titik (0,y1) dan (0,y2) Jika D = 0 maka nilai y1 = y2, jadi ada satu titik (0,y) Jika D < 0 maka tidak ada titik potong thp sb y
Titik puncak )
2 , 4 (
a b a D
Jika a > 0 maka parabola terbuka ke kanan
Jika a < 0 maka parabola terbuka ke kiri
Soal:
Untuk fungsi-fungsi kuadrat berikut
a. y = f(x) = x2 – x – 6 b. y = f(x) = -x2 + 4x – 4
c. y = f(x) = x2 + 5 d. x = f(y) = y2 – y – 6
