PENDEKATAN ANALISA LINIER METALLIC DAMPER
TESIS
Oleh
MAHADIANTO ONG
057016010/TS
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PENDEKATAN ANALISA LINIER METALLIC DAMPER
TESIS
Oleh
MAHADIANTO ONG
057016010/TS
Untuk Memperoleh Gelar Magister Teknik dalam Program Studi Teknik Sipil pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : PENDEKATAN ANALISA LINIER METALLIC
(Prof. Dr. Ir.T Chairun Nisa B., MSc) Ketua Program Studi,
( Dr. Ir . Roesyanto ., MSCE)
Telah diuji pada Tanggal 31 Mei 2008
_________________________________________
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : DR. Ing. Hotma Panggabean Anggota : Prof. Dr. Ir. Bachrian lubis., Msc Prof. Dr. Ing . Johannes Tarigan Ir. Sanci Barus ., MT
ABSTRAK
Seismic devices bekerja dengan merubah kekakuan , damping dan menambah massa ke struktur . Metallic damper disebut juga hysterestic-yield damper bekerja dengan mendissipasi energi melalui pembentukan sendi plastis atau pelelehan bahan damper , metallic damper yang dibahas dalam tesis ini adalah damper pelat dengan kekakuan bi-linier , yaitu jenis damper dengan dissipasi energi melalui pelelehan lenturan pelat. Bila gaya yang bekerja pada damper adalah gaya siklik atau gempa , hubungan gaya dan simpangan akan berbentuk loop jajaran genjang yang disebut juga dengan hysteristic loop. Luas hysteristic loop merupakan energi yang didissipasi oleh damper .
Struktur yang memakai metallic damper akan merubah persamaan dinamis menjadi persamaan non-linier, Untuk menghindari kesulitan perencanaan dengan metode riwayat waktu gempa yang lebih kompleks dan memerlukan waktu yang lebih lama , dipakai model pendekatan linier viscous damping untuk menggantikan model non-linier . Model pengganti non-linier equivalent tersebut memakai konsep equivalent viscous damping dengan menyamakan luas loop bilinier dengan luas loop bentuk ellips dari linier viscous damping . Dari hasil analisa, response simpangan Model pengganti equivalent tidak selalu memberikan hasil yang sama dengan model dinamis non-linier , untuk itu dipakai faktor koreksi untuk menyamakan atau mendekati kedua hasil perhitungan dalam batas toleransi tertentu .
ABSTRACT
Seismic devices operate by modifying the stiffness, damping or adding mass to a structure. Metallic damper , also known as hysteretic-yield damper, dissipating energy by forming plastic hinges, or by yielding damper material. Metallic damper that mentioned in this thesis is a plate damper with bi-linier stiffness behaviors, it dissipates energy through flexural-yielding of plate. If harmonic or earthquake excitation applied to damper, force - displacement relationship will form parallelogram loop which is called hysteretic loop. The area of hysteretic loop is the energy dissipated by damper.
The structure that equip metallic damper will change the dynamic equation to non-linier equation. In order to avoid a time consuming and complex time-historical analysis, the practice of approximate linier equivalent model is necessary. This linier equivalent alternative model utilizes the viscous equivalent damping concept, by equating bilinear loop area with elliptical loop area of viscous linier damping. From the result of the displacement responses analysis, the alternative linier equivalent model does not always provide the same result as the non-linier dynamical model. For that purpose we use correction factor to equate or approximate both analysis result within certain tolerated perimeter.
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur bagi Tuhan yang telah memberikan kemampuan, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis yang berjudul PENDEKATAN ANALISA LINIER METALLIC DAMPER yang merupakan persyaratan untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Teknik Sipil Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara, Medan.
Dalam proses penulisan tesis ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih yang setulus-tulusnya kepada :
1. Bapak DR. Ing. Hotma Panggabean sebagai Ketua Komisi Pembimbing dan Bapak Ir. Daniel Rumbi Teruna .,MT sebagai anggota pembimbing yang telah memberikan perhatian penuh sejak awal hingga selesainya penulisan tesis ini;
2. Bapak Prof. DR. Ing Johannes Tarigan , Bapak Prof. Dr. Ir. Bachrian Lubis., M.Sc ,Bapak Ir. Sanci Barus, MT dan Bapak Ir. Daniel Rumbi Teruna., MT atas masukan – masukan yang sangat berarti.
3. Bapak DR. Ir. Roesyanto.,MSCE sebagai Ketua Program Studi Magister Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.
4. Bapak Ir. Rudi Iskandar.,MT sebagai Sekretaris Program Studi Magister Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara;
5. Seluruh staf pengajar Program Studi Magister Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara;
7. Bapak Prof. Chairuddin P. Lubis DTM & H, Sp, AK selaku Rektor Universitas Sumatera Utara;
8. Seluruh rekan – rekan mahasiswa Program Studi Magister Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara .
Seperti pada ungkapan lama, bahwa tak ada gading yang tak retak namun, dengan satu harapan, semoga tesis ini bermanfaat bagi kita semua.
Medan, 10 April 2008 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
DATA PRIBADI
Nama : Mahadianto Ong
Tempat dan tanggal lahir : Medan, 23 Nopember 1961
Alamat : Jl. Mojopahit No. 20 Medan (20112)
PENGALAMAN KERJA
1981 – 1982 : Supervisor Olympia Oplaza Building, Medan 1982 – 1983 : Supervisor Istana Plaza Building, Medan
1983 – 1985 : Sebagai estimator, site manager Pembangunan Gedung Perisai Plaza, Medan
1985 – 1986 : Kontraktor / perencana / pelaksana pembangunan Pardede Hall dan Gedung Institut Sains dan Teknologi T.D Pardede, Jl. T.D Pardede Medan
1986 – 1987 : Project Manager, PT. Genta Bangun Sejahtera, Pusat Pasar Mercubuana Development
1998 – 2003 : Konsultant & Supervisor PT. Waruna Nusa Sentana Kapal / Dok development at Belawan
1986 – now : Planner and Supervisor development of Swalayan & Dept. Store Suzuya Building
2003 – now : Planner & Supervisor PT. Graha Niaga Sumatera, Development of Graha Niaga Office at Jl. Putri Hijau, Medan
2004 – 2006 : Quantity Surveyor of PT. Orange Indonesia Mandiri, Pembangunan Merdeka Walk, Mdn
DAFTAR ISI
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA ...………...………….. 15
2.1. Peran Damper …..………..…………... 15
2.2. Vicous Damping ………... 18
2.4. Hysteristic Loop ……… 33
2.5. Equivalent Vicous Damping ………... 35
2.6. Metode Dissipasi Energi Damper ………...… 37
2.7. Pengaruh Damping Terhadap Response Spectrum Gempa ………..44
BAB III. DAMPER PELAT LENTUR ………... 50
3.1. Konsep Structural Fuse ……….... 50
3.2. Kekakuan dan Daktilitas Pelat Damper ………51
3.2.1. Daktilitas Bahan ……….... 53
3.2.2. Pengaruh Bentuk Damper ……….. 55
3.3. Model Analisa ………...84
3.4 Analisa Model Pengganti ……….… 92
3.5 Response Spektrum Gempa ……….. 94
3.6. Faktor Koreksi Response ………. 97
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
2.1 Faktor damping FEMA 2000 ………... 48 2.2 Faktor damping Ramirez et.al ………... 48 3.1 Perbandingan kekakuan dan daktilitas pelat damper …... 83 3.2 Nilai faktor koreksi simpangan ( Model response spektrum
EL-CENTRO) ……… 101 3.3 Nilai faktor koreksi simpangan ( Model response spektrum
DAFTAR GAMBAR
1.7 Pemasangan damper di struktur ……… 8
1.8 Kinematic hardening bahan ………... 12
1.9 Metodologi perhitungan faktor koreksi ………. 14
2.1 Getaran bebas dan getaran dengan damping ………. 16
2.2 Magnification factor getaran ……… 17
2.3 Getaran under-damped , critically-damped dan over-damped 24 2.4 Gataran SDOF dengan beban siklik ……….. 27
2.5 Dissipasi energi sistim linier viscous damper ………... 32
2.6 Hysteristic loop Bi-linier ……… 35
2.7 Hysteristic loop linier viscous damper ……….. 39
2.8 Hysteristic loop friction damper ……… 41
2.10 Hysteristic loop viscous-elastis damper ……… 44
2.11 2.12 Idealisasi Response Spektrum Gempa EL-CENTRO dengan Model Response Spektrum Peraturan Perencanaan Tahan Gempa Indonesia Faktor ……… Response Spektrum Gempa EL-CENTRO dengan damping 5% , 20% dan 30% ………... 3.2 Hubungan tegangan-regangan baja ………... 54
3.3 Deformasi pelat damper segi-4 ………. 56
3.4 Tegangan dan regangan penampang pelat damper ………... 58
3.5 Deformasi pelat damper segi-3 ………. 70
3.6 Deformasi pelat damper X ………... 78
3.7 Hubungan gaya dan deformasi pelat damper ……… 83
3.8 Pembagian gaya struktur dan damper ………... 85
3.9 Gabungan kekakuan struktur dan damper ………. 87
3.10 Pendekatan SDOF non-linier menjadi SDOF linier equivalent ………... 89
3.11 Response Spektrum EL-CENTRO dan SNI ……….. 95
3.12 Idealisasi response spektrum EL-CENTRO 0.35 g dengan model response spektrum SNI ………... 96
3.13 Faktor koreksi response spektrum ( Model response spektrum gempa EL-CENTRO ) ……… 103
3.15 Response spektrum SNI zone-3 tanah sedang ………... 106
3.16 Response spektrum simpangan dengan EL-CENTRO 0.3 g dan Zone-3 (sedang) SNI ………... 108
3.17 Simpangan struktur dengan dan tanpa damper ………. 121
3.18 Denah dan potongan bangunan ………..…………... 123
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul Halaman
1 Perhitungan faktor koreksi ……….. 132 2 Perbandingan faktor koreksi dengan Spektrum EL-Centro dengan
DAFTAR NOTASI
kekakuan awal ( jumlah kekakuan struktur dan kekakuan damper)
kekakuan pelat keadaan elastic kekakuan pelat keadaan plastis kekakuan struktur
tebal pelat damper
Simpangan
amplitudo getaran deformasi pelat
deformasi pelat keadaan permulaan leleh simpangan maksimum keadaan leleh
modulus elastika bahan pelat
dissipasi energi getaran akibat damping dissipasi energi dari pelelehan bahan struktur energi kinetic getaran
energi gempa yang masuk ke struktur energi regangan pegas
gaya damping gaya pegas H tinggi bangunan
momen inertia pelat
momen pelat diujung atau ditumpuan
momen pelat saat serat paling ujung mulai meleleh momen plastis pelat
SDOF single degree of freedom
magnification factor ( faktor dinamis) percepatan spectral response gempa
percepatan spectral response gempa zone 3 SNI percepatan spectral response gempa EL-CENTRO simpangan spectral response gempa
simpangan spectral response spektrum gempa zone 3 SNI
simpangan spectral response gempa EL-CENTRO kecepatan spectral response gempa
T waktu getar
waktu getar awal ( struktur dengan damping ) waktu getar model pengganti equivalent
perbandingan kekakuan damper dengan kekakuan struktur
faktor damping daktilitas bahan pelat
perbandingan simpangan SDOF linier ( elastic) dengan simpangan permulaan leleh
e persen equivalent viscous damping
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 .UMUM
Gempa merupakan fenomena alam yang telah banyak menimbulkan korban jiwa, kerusakan sarana dan prasarana kehidupan. Kerusakan-kerusakan yang disebabkan gempa pada umumnya berupa kerusakan struktur bangunan, baik bangunan gedung maupun bangunan sipil, tanah longsor .
Gempa menyebabkan permukaaan tanah bergetar secara horizontal dan vertikal, sesuai dengan Hukum Newton bahwa bila suatu massa diberi percepatan akan timbul gaya inertia sebesar massa dikalikan dengan percepatan. Hal yang sama terjadi pada struktur bangunan, getaran tanah menyebabkan bangunan bergetar, percepatan getaran dan massa bangunan menyebabkan timbulnya gaya inertia tambahan yang membebani struktur bangunan secara lateral dan vertikal, gaya inertia lateral yang paling banyak menyebabkan kerusakan dan keruntuhan bangunan, karena pada umumnya struktur sistim pemikul gaya lateral lebih lemah, dibandingkan dengan sistim pemikul gaya vertical.
bangunan. Karena gempa besar yang diperhitungkan berupa gempa dengan periode kejadian yang cukup lama bila dibandingkan dengan umur bangunan, misalnya dalam peraturan perencanaan Indonesia mengharuskan bangunan direncanakan dengan beban gempa besar periode 200 tahun.
Filosopi perencanaan bangunan tahan gempa koventional yang diadopsi oleh hampir semua peraturan perencanaan gempa, yang mengutamakan segi keselamatan jiwa dan segi ekonomis yang dikenal dengan perencanaan kapasitas, menggunakan konsepsi dasar sebagai berikut :
1. Struktur akan berperilaku elastis bila terjadi gempa kecil.
2. Bangunan akan mengalami kerusakan bila terjadi gempa sedang, tapi terbatas hanya pada kerusakan yang dapat diperbaiki.
3. Bangunan tidak runtuh bila terjadi gempa besar.
metode, biaya perbaikan maupun kelangsungan pemakaian bangunan setelah perbaikan.
Indonesia merupakan daerah dengan kegiatan kegempaan yang tinggi, hal ini disebabkan oleh letak geografisnya dipertemuan beberapa lempengan kerak bumi yang aktif bergerak. Konsekwensi letak geografis ini mengharuskan bangunan-bangunan di Indonesia direncanakan tahan gempa. Perencanaan tahan gempa Indonesia juga mengadopsi filosopi perencanaan tahan gempa koventional yang sama. Sehingga kerusakan – kerusakan struktur bangunan di Indonesia tidak dapat dihindari bila terjadi gempa yang cukup besar.
Seismic devices pada umumnya dapat dibagi menjadi 2 jenis, yaitu :
1. Actived seismic device 2. Passived seismic device
Actived seismic device bekerja dengan menerima masukan data getaran dari sensor yang dipasang disekeliling struktur, melalui computer data tersebut digunakan untuk mengatur gerakan actuator sesuai dengan input gempa ke bangunan .
Passived seismic devices bekerja atau bereaksi setelah energi gempa masuk ke struktur, pada umumnya reaksi seismic device semakin besar bila response struktur atau energi yang masuk semakin besar.
Passived seismic devices sesuai fungsinya, secara garis besar dapat dibagi menjadi 2 jenis, yaitu yang bersifat isolasi dan yang bersifat dissipasi energy. jenis yang pertama disebut seismic Isolator dan yang kedua disebut Damper.
oleh perusahaan Dis Seismic Isolator, rubber bearing memiliki kekakuan dan sifat damping yang rendah, untuk memperbesar damping dipasang batangan timah dibagian tengah.
Gambar 1.1. Friction Pendulum
Damper merupakan alat dissipasi energi yang berfungsi memperkecil response simpangan struktur dan menghentikan getaran. alat ini memperkecil simpangan antar
tingkat sehingga gaya lateral kolom yang kecil. Alat-alat ini terdiri dari beberapa jenis dengan metode dissipasi energi yang berbeda. jenis viscous damper mendissipasi energi berdasarkan perbedaan kecepatan deformasi dalam damper, lihat Gambar 1.6., friction damper berdasarkan gesekan yang terjadi dalam damper, lihat Gambar 1.5., Hysterestic-yield damper mendissipasi energi dengan berdeformasi melewati batas elastis atau pelelehan bahan dengan pembentukan sendi plastis, Gambar 1.3., Pelelehan bahan yield damper dapat berupa pelelehan oleh momen lentur, pelelehan oleh momen puntir, ataupun berupa tekuk dari batangan baja.
Gambar 1.4. Damper batang tekuk
Gambar 1.5. Friction damper
Gambar 1.7. Pemasangan damper di struktur
Pemasangan damper di struktur bangunan berbeda dengan pemasangan isolator gempa, Isolator gempa dipasang pada bidang yang memisahkan bagian bangunan yang akan dilindungi. sedangkan damper dipasang pada posisi yang akan dikurangi simpangannya. Damper biasanya dipasang diantara lantai tingkat untuk mengurangi perbedaaan pergeseran lantai ( storey drift ), umumnya dipasang bergabung dengan bracing seperti gambar 1.7.
tegangan dan response simpangan sekitar 50% sampai 75% dibandingkan dengan response struktur dengan damping 5%, bila damper digabungkan dengan alat isolator, dapat mereduksi response dapat sampai 95%.
Penambahan seismic devices ke struktur menyebabkan metode perencanaan menjadi berbeda dengan metode perencanaan tahan gempa yang konventional, seismic devices merubah analisa dinamis struktur menjadi analisa non-linier yang pada umumnya dianalisa dengan metode riwayat waktu gempa, sedangkan perencanaan koventional menggunakan analisa linier dengan metode response spektrum yang jauh lebih sederhana dibandingkan dengan metode riwayat waktu gempa.
1.2 . LATAR BELAKANG
Telah disinggung sebelumnya bahwa perencanaan bangunan tahan gempa umumnya dilakukan dengan 2(dua) metode pendekatan, yaitu ;
1. Merencanakan bangunan dengan metode konventional, yaitu dengan memakai sistim struktur yang sedemikian rupa sehingga dapat mengakomodasi besarnya energi gempa yang masuk ke struktur bangunan.
Mengenai hal yang pertama, struktur dapat direncanakan sesuai dengan sistim stuktur yang tercantum didalam peraturan perencanaan tahan gempa, seperti sistim portal pemikul momen beban lateral, dinding geser, rangka batang pemikul beban lateral atau gabungan dari beberapa sistim-sistim tadi. perencanaan ini mengutamakan kekuatan dan kekakuan sistim strukturnya untuk memikul gaya gempa dan mengurangi simpangan struktur.
Pemakaian seismic devices pada struktur akan memungkinkan struktur direncanakan secara elastis untuk beban gempa besar dengan biaya struktur yang cukup ekonomis, karena penambahan seismic devices ke sistim struktur akan mengurangi beban gempa struktur yang cukup besar. Dari segi perencanaan, persamaan getaran struktur yang memakai seismic devices akan berubah menjadi persamaan getaran non-linier, karena kekakuan dan damping gabungan menjadi tidak konstan lagi .
SEAOC dan FEMA untuk struktur dengan batasan tertentu, tapi hasilnya tidak begitu akurat bila dibandingkan dengan analisa dinamis riwayat waktu gempa .
Metode analisa dinamis riwayat waktu gempa merupakan metode perencanaan yang selalu dihindari oleh perencana karena tidak praktis dan memerlukan waktu yang lama, tidak seperti perencanaan metode response spectrum yang dapat dilakukan dengan praktis secara manual.
1.3. TUJUAN
Adapun tujuan yang hendak dicapai adalah: Penyederhanaan Analisa persamaan non-linier getaran dengan pendekatan Analisa linier, dalam hal ini dipakai metode analisa response spektrum gempa dengan memodelkan sistim non-linier menjadi suatu sistim linier yang equivalent
.
1.4. PEMBATASAN MASALAH
Dalam pembahasan masalah ini, akan dibatasi lingkup pembahasan sebagai berikut :
1. Damper yang akan dibahas adalah damper pelat lentur.
2. Sistim struktur akan dibatasi hanya pada massa tunggal, single degree of freedom ( SDOF ).
4. Response yang dijadikan acuan adalah response simpangan maximum.
5. Bahan pelat bersifat elasto-plastis.
6. Bahan pelat damper bersifat kinematic hardening. 7. Pengaruh gaya geser pelat damper diabaikan.
8. Input gempa untuk analisa riwayat waktu gempa adalah gempa El-centro dengan percepatan 0.35 g.
9. Response spectrum yang dipakai adalah response spektrum dari gempa El-Centro dan response spectrum dari peratutran perencanaan tahan gempa SNI.
Yang dimaksud kinematic hardening adalah tegangan batas elastic tarik dan tekan bahan tidak berubah walaupun terjadi deformasi plastis. Hal ini ditunjukan gambar (I.8) dengan panjang |A A’| dan |BB’| sama panjang dan sejajar.
1.5. METODOLOGI
Metodologi yang digunakan dalam penulisan tesis adalah studi litratur, Model SDOF non-linier dari persamaan getaran akan digantikan dengan Model getaran SDOF linier equivalent, Analisa dilakukan dengan membandingkan hasil analisa riwayat waktu gempa dari model SDOF non-linier dengan hasil analisa response spektrum gempa dari model SDOF linier equivalent. Response hasil analisa yang dijadikan acuan adalah simpangan maksimum. Bila perbandingan kedua response simpangan menyimpang dari batas toleransi, maka akan ditentukan suatu faktor koreksi untuk menyesuaikan response maksimum dari kedua metode dengan mempertimbangkan pola perbedaannya.
Untuk tujuan tersebut akan digunakan input gempa El-CENTRO .
Analisa dinamis riwayat waktu gempa dan kurva response spectrum EL-CENTRO dihitung dengan bantuan program “NONLIN” dari FEMA ( Federal Emergency Management Agency ) Amerika Serikat.
METODOLOGI
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 . PERAN DAMPING PADA GETARAN
Damper mempunyai sifat dan cara kerja yang berbeda dengan base isolator, damper mendissipasi energi yang masuk ke struktur dengan merubah energi tersebut menjadi panas, sehingga response simpangan struktur menjadi kecil.
Peran damping dalam struktur antara lain :
1. Menyebabkan getaran dapat berhenti
2. Memperkecil response simpangan ( displacement ) 3. Mengurangi simpangan saat resonansi
Damping dalam struktur yang disebut juga inherent damping, yaitu damping yang berasal dari gesekan antara struktur dengan bagian non struktur, gesekan udara dan tutup bukanya penampang beton yang retak, dan plastisitas bahan setelah struktur mengalami deformasi inelastic. Besarnya damping tersebut sekitar 1% sampai 5%, bergantung pada jenis dan kekakuan struktur.
Bila terjadi resonansi pada getaran suatu sistim SDOF, simpangan getaran akan menjadi membesar sesuai dengan amplikasi yang terjadi, besarnya amplikasi ditentukan dengan faktor dinamis (magnification factor) yang berbanding terbalik dengan besarnya factor damping , yaitu
2.2. VISCOUS DAMPING
Konsep viscous damping pada awalnya digunakan sebagai suatu besaran dissipasi energi oleh struktur pada keadaana elastis. Bila ditinjau dari konsep getaran yang paling dasar, yaitu getaran bebas tanpa damping dari sistim SDOF, Persaman getaran dapat ditulis dalam bentuk :
(2.1)
Solusi persamaan ini adalah :
dimana
didefinisikan sebagai natural frequency getaran. Penyelesaian response simpangan persamaan 2.2 adalah dengan kondisi simpangan awal dan kecepatan awal , amplitudo getaran adalah constant terhadap waktu dan sistim akan bergetar tanpa henti, seperti yang ditunjukan oleh kurva dengan damping 0% di gambar 2.1.
energi dari getaran, faktor yang menyebakan dissipasi energi dinamakan damping
atau redaman dari sistim getaran.
Dissipasi energi dapat disebabkan oleh retak pada penampang, ketidak-linier kekakuan dalam keadaan elastis, gesekan atau iteraksi antara struktur dengan non-struktur dan non-non-struktur dengan non non-struktur, iteraksi antara non-struktur dengan tanah, dan lain-lainnya. Besarnya masing-masing bagian disisipasi energi ini sulit diperhitungkan, sehingga dipakai konsep Viscous Damping sebagai pengganti dari semua bagian dissipasi energi tadi.
Viscous Damping tidak ada hubungan langsung dengan damping pada keadaan sebenarnya di struktur, tapi pemakaian konsep Vicous Damping dapat mengfasilitasi semua bagian dissipasi energi dan membentuk persamaan getaran sederhana yang mudah diselesaikan.
Dalam hal ini besarnya gaya viscous damping diasumsikan sama gaya tahanan piston dari sistim dashpot yang berisi cairan yang mengalir melalui lubang kecil, besarnya gaya damping diasumsi berbanding lurus dengan kecepatan, bila factor tersebut ditambahkan ke persamaan getaran, persamaan menjadi :
(2.4)
(2.5)
Subsitusikan ke persamaan getaran 2.3., diperoleh:
Supaya mempunyai solusi, dan tidak boleh bernilai nol, shingga persamaan diatas berubah menjadi,
Persamaan terakhir disebut persamaan karateristik dari persamaan differensial 2.4. kedua nilai s dapat dihitung dengan rumus
Atau
Penyelesaian persamaan (2.5 ) menjadi :
Kombinasi nilai dan akan menentukan nilai , nilai
yang berada dibawah tanda akar disebut diskriminan, nilai dapat berbentuk bilangan riel atau bilangan kompleks bergantung pada nilai diskriminan lebih besar, sama atau lebih kecil dari nol. Besarnya nilai diskriminan akan menentukan jenis getaran yang berbeda.
Berdasarkan nilai diskriminan dari sistim getaran, getaran dapat dibagi menjadi 3 jenis :
1. Critically damped vibration, bila nilai diskriminan sama dengan nol
2. Overdamped Vibration, bila nilai diskriminan lebih besar dari nol
3. Underdamped Vibration, bila nilai diskriminan lebih kecil dari nol
2.2.1 Critically damped Vibration
Untuk sistim getaran critically damped, nilai diskriminan sama dengan nol,
Atau
disebut Critical Damping, nilai tersebut dapat ditulis dalam bentuk
natural frekwensi,
Nilai menjadi
Persamaan getaran (II.5)
2.2.2 Overdamped Vibration
Getaran overdamped terjadi bila kedua nilai adalah bilangan riel yaitu lebih
besar dari nol, sehingga penyelesaian persamaan getaran tetap dalam bentuk seperti
persamaan 2.5.
2.2.3 Under- Damped Vibration
Bila nilai diskriminan lebih kecil dari nol, nilai akan berbentuk bilangan kompleks,
Dengan menggunakan persamaan Euler
Penyelesaian persamaan getaran (II.3) menjadi
Dimana dan adalah faktor integrasi dari syarat keadaan awal sistim . adalah damped frekwensi dari sistim getaran, yang diperoleh dari
Atau
adalah natural frequency dari sistim tanpa damping.
didefinisikan sebagai damping ratio dari sistim yang ditentukan sebagai
Dengan memasukan syarat-syarat awal, seperti pergeseran awal dan
kecepatan awal , penyelesaian persamaan getaran 2.4. menjadi
2.3. DISSIPASI ENERGI GETARAN
Tinjau suatu sitim SDOF yang dibebani oleh suatu beban cyclic yang berbentuk sinusoidal, persamaan getaran adalah :
(2.18)
Penyelesaian persamaan tersebut terdiri dari 2 bagian, yaitu penyelesaian Umum dan penyelesaian khusus, penyelesaian umum adalah penyelesaian dari persamaan homogennya persamaan (2.18) dengan sama dengan nol, penyelesaian khusus adalah penyelesaian nilai dengan yang memenuhi
.
Secara umum dapat ditulis
(2.19)
Dimana adalah penyelesaian umum yang memenuhi persamaan homogen, yaitu persamaan 2.18 dengan ruas kiri sama dengan nol. adalah penyelesaian khusus yang memenuhi persamaan non-homogen 2.18.
Penyelesaian umum sama dengan penyelesaian untuk sistim getaran bebas, yaitu
Penyelesaian khusus dapat diperoleh dengan mensubsitusikan ke persamaan 2.18., dalam hal ini dapat diambil bentuk :
(2.21)
Dengan subsitusikan persamaan tersebut ke persamaan 2.18, diperoleh
Penyelesaian persamaan getaran 2.18 menjadi
(2.25)
secara ekponential, sedangkan steady-state akan bergetar terus dengan frekwensi yang sama dengan frekwensi gaya luar sesuai dengan gaya luar yang bekerja. Lamanya getaran bergantung pada lamanya beban luar dan besar damping.
Untuk menghitung dissipasi energi, hanya dipakai bagian getaran steady-state saja, yaitu:
(2.26)
Persamaan 2.26 dapat ditulis dalam bentuk fase getaran
(2.27)
Dimana adalah amplitude getaran, dalam bentuk lain
Dimana ,
Dan
Subsitusikan nilai dan , diperoleh
Dimana
, adalah defleksi atau simpangan struktur dalam keadaan statis.
disebut magnification factor atau faktor dinamis getaran, factor tersebut menggambarkan keadaan simpangan maksimum getaran dengan keadaan simpangan statis. Grafik dari persamaan 2.29. dapat dilihat digambar 2.2. untuk berbagai nilai dan .
Bila gaya luar , dan persamaan getaran
Energi gaya luar yang bekerja adalah
(2.31)
Jumlah energy yang didissipasi dalam satu siklus getaran oleh redaman adalah:
Dari persamaan terakhir, energi yang didissipasi besarnya berbanding kwadrat
dengan amplitude getaran.
Bila diperhatikan input Energi persamaan 2.33. dan Persamaan dissipasi
energy 2.32. kedua persamaan sama besar
Hal ini menunjukan bahwa besarnya energi yang didissipasi dalam satu siklus
getaran sebesar input energi beban luar, dengan amplitude sebesar
Energi kinetik dan energy regangan pegas tidak mendissipasi energi, jumlah energi kinetik dan energi regangan adalah nol untuk satu siklus getaran, hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut.
Energi regangan :
(2.35)
Energy kinetic
Besarnya amplitude getaran dapat dihitung dengan menyamakan persamaan 2.31. dengan persamaan 2.32. diperoleh
Dari persamaan dissipasi energi, gaya damping
Atau dapat ditulis dalam bentuk
Bentuk persamaan terakhir 2.38. adalah fungsi kurva ellips dari fungsi .
Persamaan ellips 2.38. membentuk suatu loop yang tertutup, lihat gambar 2.5.2. loop yang digambarkan dari hubungan gaya dengan displacement ini disebut hysteristic loop .
(2.39)
bila dibandingkan dengan persamaan 2.32. diperoleh sama besar dengan energi yang didissipasi dalam satu siklus getaran.
Penggambaran hysteristic loop juga dapat digambarkan dari fungsi gaya total ( gaya damping dan gaya elastis pegas) atau ( dalam hal ini,
(2.40)
Gambar dari persamaan terakhir juga berbentuk loop, gambar 2.5.3. dengan rotasi sudut , besarnya energi yang didissipasi adalah tetap sebesar
, karena dissipasi gaya pegas .
(b) HYSTERISTIC LOOP LINIER VICOUS DAMPING (Fd
- Um) (c) HYSTERISTIC LOOP ( Fs+Fd) - Um
2.4. HYSTERESTIC LOOP
Hyterestic loop merupakan kurva hubungan gaya dengan simpangan pada sistim SDOF yang dibebani dengan beban siklik. dan luas dari loop merupakan besarnya energi yang dissipasi.
Hysteristic loop akan berbentuk ellips, kalau kekakuan konstan dengan linier-viscous damping. Bila kekakuan tidak konstan dan damping bukan linier vicous damping, loop tidak berbentuk ellips lagi.
Besar gaya dalam sistim adalah gaya dari kekakuan struktur ditambah gaya damping, yaitu,
= total gaya dalam struktur.
= gaya dari kekakuan pegas = .
= gaya dari damping =
Dari persamaaan undamped forced vibration, , bila kekakuan tidak konstant, tetapi sebagai fungsi dari simpangan , .
Maka gaya dalam struktur adalah :
Persamaan getaran menjadi :
Bila kita gambarkan hubungan gaya dengan displacement akan terbentuk loop, seperti pada getaran linier-vicous damping, tapi dengan bentuk yang berbeda, lihat gambar 2.6.1. Tapi energi yang didissipasi tetap sama yaitu sebesar luas dari loop.
Getaran dengan gaya gesekan yang konstan, seperti getaran dengan coulomb friction , gaya gesekan
(2.41)
imana : Ff = Gaya gesekan
N = Gaya normal
fr = Koefisien gesekan
Dengan persamaan getaran menjadi
Hysteristic loop getaran akan berbentuk segi -4, lihat gambar 3.6.2. Energi yang didissipasi dalam 1 siklus pembebanan sama dengan luas segi 4,
Bentuk hysteristic loop segi-4 ini, dinamai hyteristic loop bi-linier.
F Fy
uy u0 u0
N.fr
(a) HYSTERISTIC LOOP - KEKAKUAN BI-LINIER K(u) 2. Hysterestic loop – coulomb (a) HYSTERISTIC LOOP - COULOUMB FRICTION
friction
1. Hysterestic loop bi-linier
k(u)
Gambar 2.6. Hysterestic – Loop kekakuan Bi-linier dan Gesekan
2.5. EQUIVALENT VISCOUS DAMPING
Menurut Bertero and Wang, Energi gempa yang masuk dan yang diterima struktur yang memakai hysterestic–yield damper dapat ditulis dengan :
(2.44) Dimana:
= Energi gempa yang masuk ke struktur.
= Energi kinetic dalam struktur. = Energi regangan dalam struktur.
= Energi yang didissipasi oleh hysterestic loop dari sifat inelastis bahan damper.
Ruas kiri merupakan energi yang diperlukan ( demand Energi ) sedangkan bagian kanan adalah jumlah energi yang harus disediakan oleh struktur.
dan merupakan energy yang bersifat tetap (konservatif), yang besarnya adalah konstan, Dissipasi energy hanya dilakukan oleh viscous damping dan hysteristic loop dari sifat inelastis bahan .
Energi yang didissipasi oleh hysteristic loop dari sifat inelastic bahan sulit diperhitungkan, untuk itu diupayakan penyederhanaan menghitung besarnya dissipasi energy hysteristis loop dengan pendekatan model yang bersifat linier.
Pemodelan sifat inelastis menjadi model viscous damping dilakukan oleh Jacobean (1930,1960), kemudian dikembangkan oleh Housner (1956) dan jenning ( 1964), konsep equivalent viscous damping digunakan untuk menggantikan dissipasi energy berbagai bentuk hysteristic loop menjadi dissipasi energi linier viscous damping.
Dari persamaan 2.34.
Dimana ,
Besar seluruh damping dapat dihitung memakai pendekatan dengan menjumlahkan damping dari struktur dan damper, yaitu :
(2.46)
= Jumlah damping ratio
= Equivalent Damping Ratio dari dissipasi energy dari hyterestic loop.
= inherent damping atau viscous damping dari struktur.
2.6. METODE DISSIPASI ENERGI DAMPER
1. Viscous Damper 2. Friction Damper
3. Hysterestic-yield Damper 4. Visco-elstic Damper
2.6.1 Viscous damper
Viscous damper mendissipasi energi berdasarkan kecepatan gerak dari bagian damper, bentuk yang paling dasar adalah redaman cairan dalam dashpot yang digunakan pada peralatan mesin. Liquid Viscous Damper mendissipasi energi berdasarkan kecepatan gerak piston dan kekentalan cairan yang mengalir melalui lobang di piston, ada yang memakai silicon sebagai pengganti cairan.
Dalam pemodelannya untuk analisa, bentuk umum dari gaya redaman atau damping dapat ditulis
(2.47)
Dimana :
= gaya damping.
= kontanta damping dari damper = kecepatan
Bila suatu sistim SDOF dipasang damper jenis ini, persamaan getarannya untuk adalah :
(2.48)
dimana :
= massa bangunan
= konstanta damping struktur = konstanta damping dari damper = kekakuan
= simpangan massa
= percepatan gerakan tanah dasar.
Damping alat ini bekerja untuk semua simpangan baik sewaktu simpangan getaran kecil maupun besar, gaya damping paling besar terjadi pada saat simpangan sama dengan nol. hysteristic loop untuk linier vicous damping yang dibawah beban harmonis ( =1) akan berbentuk ellips seperti yang ditunjukan gambar 2.5.
2.6.2 . Friction damper
Untuk friction damper, besarnya energi yang didissipasi bergantung pada deformasi dan gaya gesekan yang terjadi. besarnya gesekan antar pelat bergantung pada gaya tekan antar pelat, tidak bergantung pada simpangan, kecepatan maupun percepatan. jadi dalam pemodelannya berupa suatu gaya yang konstan bila gaya tekan antar pelat tetap.
(2.48)
Dimana :
Gaya damping dari damper = gaya tekan antar pelat
= koefisien friksi antar pelat
Pemodelan Friction damper dalam bangunan derajat kebebasan 1 ( SDOF ) dengan input percepatan gempa , persamaan getarannya dapat ditulis :
(2.49)
Dimana :
= massa bangunan
= kekakuan struktur
= gaya gesekan damper ( gaya tersebut mempunyai nilai absolute karena tetap berlawanan arah dengan arah getaran) = Percepatan massa
= kecepatan massa
= percepatan gerakan tanah dasar.
Karena gaya gesekan selama getaran tidak bergantung pada simpangan, maka bentuk hysterestic loop akan berbentuk rigid bilinier (empat persegi panjang) , lihat Gambar 2.8.
Fd
um
Gambar 2.8. Hysterestic loop friction damper
2.6.3 Hysterestic-yield damper
plastis ( yielding ). Pelelehan damper ada yang berupa pelelehan lentur , geser atau secara axial ( tekuk ). Bahan yang sering digunakan adalah baja lunak dan timah .
Persamaan getaran untuk bangunan SDOF yang dipasang damper jenis ini adalah :
(2.50)
Dimana :
= massa bangunan
= konstanta damping struktur
= kekakuan sebagai fungsi dari displacement
= percepatan gerakan tanah dasar.
Bentuk hysterestic loop dari metallic yield damper dapat dilihat di gambar 2.9.
Fm Fy
uy um
Visco-elastic damper memilki sifat damping yang bergantung pada kecepatan gerakan dan juga memiliki sifat kekakuan. bentuk yang paling banyak dijumpai adalah dua lapisan polymer yang dilekatkan pada tiga lapisan pelat baja, ada juga yang menggunakan bahan bitumen dan karet. lihat gambar 2.10.
Gaya damper dapat ditulis dengan persamaan :
Persamaan getaran untuk bangunan SDOF yang dipasang damper jenis ini adalah :
(2.50)
Dimana :
k = Kekakuan struktur
= Kekakuan damper
= Simpangan / pergeseran damper
= persen damping damper
c = Persen damping struktur
= Kecepatan
Fm
K
um
Gambar 2.10. Viscous-elastic damper damper dan Hyteristic loop
a. PENGARUH DAMPING TERHADAP RESPONSE SPEKTRUM GEMPA
Metode Analisa dinamis dengan metode Response Spektrum Gempa merupakan metode yang paling sederhana dalam menentukan response suatu sistim struktur, response yang diperoleh dengan metode tersebut adalah response maximum, seperti simpangan maksimum, kecepatan maksimum atau percepatan maksimum. Untuk menentukan response maksimum tersebut hanya diperlukan variable waktu getar (T ).
Untuk tujuan perencanaan biasanya dipakai kurva yang telah dihaluskan atau diidealisasikan, lihat gambar 2.11.
Persamaan getaran SDOF yang dipakai adalah :
Dimana :
Nilai persentase damping yang dipakai dalam penentuan kurva response spektrum biasanya sebesar 5%, response spektrum yang diperoleh dari persamaan diatas adalah response spektrum simpangan Sd. Untuk response spektrum lainnya
seperti response percepatan Sa dan kecepatan Sv diturunkan dari response spektrum
simpangan.
.
(2.51)
Dan response spektrum percepatan dihitung dengan persamaan :
(2.52)
Nilai dan bukanlah harga maksimum dari response kecepatan dan percepatan yang sebenarnya, tapi hanya suatu nilai yang mendekati, sehingga disebut psudo- velocity dan disebut psudo-acceleration.
besar. Untuk menentukan pengurangan response akibat besar damping yang berbeda dipakai suatu faktor pengali yang disebut dengan faktor damping, faktor tersebut merupakan faktor pengali atau koreksi terhadap response spektrum getaran dengan damping 5%.
2.53
Besarnya factor damping telah diberikan oleh beberapa peneliti antara lain :
1. Kawashima-Aizawa
Kawashima – Aizawa memberikan persamaan faktor damping terhadap response spektral kecepatan , dengan persamaan
Dan response spectral kecepatan yang terkoreksi :
2. Bommer et al
Bommer et al mengajukan. Persamaan faktor damping :
3. FEMA 2000 NEHRP
Fema melalui peraturan atau standard NEHRP 2000 memberikan nilai faktor damping seperti yang ditunjukanTabel 2.1.
Tabel 2.1. Faktor damping FEMA 2000 NEHRP
Damping ≤0.0
Mengenai Ts dapat dilihat pada gambar (II ) 4. Ramirez et. al (2000)
Ramirez et.al memberikan factor damping yang hampir sama dengan yang diajukan FEMA 2000, lihat tabel 2.2.
Tabel 2.2. Faktor damping dari Ramirez et.al(2000)
Damping 0.02 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1.25 1 0.83 0.67 0.59 0.53 0.45 0.39 0.34 0.30 0.27 0.25
1.25 1 0.83 0.67 0.59 0.53 0.45 0.38 0.43 0.42 0.41 0.40
Untuk 0.2 Ts < T < Ts , nilai di interpolasi linier antara
Untuk T< 0.2 Ts , nilai di interpolasi linier antara nilai 1 ( untuk T=0) dan ( untuk T =0.2 Ts )
Perbedaaan faktor damping untuk keempat peneliti diatas dapat dilihat di gambar 2.13. kurva untuk dari Bommer et al, Ramirez et al dan FEMA 2000 agak bersesuaian, sedangkan dari Kawashima-Aizawa agak menyimpang jauh dari factor koreksi yang diajukan oleh ketiga peneliti lainnya.
BAB III
DAMPER PELAT LENTUR
3.1 . KONSEP STRUCTURAL FUSE
Konsep perencanaan struktur tahan gempa konventional memakai filosopi bahwa :
1. Bila terjadi gempa kecil struktur masih elastis
2. Bila terjadi gempa sedang, struktur masih elastic, tapi terjadi kerusakan non-struktural.
3. Bila terjadi gempa besar, akan deformasi plastis struktur tapi tidak terjadi keruntuhan.
Dengan memilih pembentukan sendi plastis pada bagian struktur yang mudah diganti atau memakai struktur tambahan yang direncanakan untuk terjadi kerusakan bila terjadi gempa besar, maka pada struktur utama tidak akan terjadi kerusakan. Konsep perencanaan yang demikian disebut dengan konsep structural fuse.
Untuk struktur yang dipasang metallic damper, damper direncanakan sebagi fuse dari struktur, bila terjadi gempa besar damper akan rusak dengan deformasi plastis yang besar, struktur utama tetap elastis untuk, walaupun keadaan struktur pasca gempa besar akan terjadi off-center atau sideway yang tetap karena deformasi plastis di damper, dengan melepaskan damper yang rusak sewaktu penggantian damper baru, bangunan akan centering kembali kekeadaan awal.
3.2 KEKAKUAN DAN DAKTILITAS PELAT DAMPER
Tujuan utama pemakaian damper adalah untuk menjamin struktur utama tetap dibebani dalam batas elastis baik terjadi gempa kecil maupun gempa besar. Beban gempa yang lebih besar dari beban yang dapat dipikul secara elastis oleh struktur akan dipikul oleh damper, untuk itu damper harus memiliki kekakuan dan daktilitas yang cukup besar.
Damper direncanakan dalam keadaan elastic untuk gempa kecil atau sedang, dan berperilaku inelastic dengan membentuk hysteristic loop untuk gempa besar.
mekanisma ( plastis) dibawah pembebanan gaya lateral, dengan deformasi simpangan sebesar u, putaran sudut penampang kolom adalah : , damper mengalami
simpangan yang sama dengan struktur dengan putaran sudut penampang sebesar : .Bila tinggi struktur dan tinggi damper h= 40 cm, maka putaran
sudut damper kali putaran sudut dari penampang kolom .
Keperluan daktilitas penampang untuk mendapatkan putaran sudut damper dengan pembentukan sendi plastis dititik ujung pelat damper saja tidak mencukupi, pada pelat damper harus direncanakan tambahan titik sendi plastis. Tambahan pembentukan sendi plastis ini bergantung pada bidang momen dan bentuk penampang sepanjang tinggi pelat damper. Hal-hal yang mempengaruhi kekakuan dan daktilitas damper, antara lain :
1. Daktilitas bahan pelat .
U
h Damper
H Bracing
U
Gambar 3.1. Deformasi plastis struktur SDOF
3.2.1 Daktilitas bahan pelat
Daktilitas adalah sifat dari kemampuan bahan mengalami deformasi yang besar tanpa mengalami kerusakan. Daktilitas bahan biasanya ditentukan dari deformasi aksial tarik.
Gambar 3.2.3. merupakan idealisasi kurva tegangan-regangan sampai titik B, atau titik permulaan strain hardening. Bentuk idealisasi hubungan tegangan-regangan ini yang digunakan untuk perencanaan plastis, dan titik B merupakan regangan batas perencanaan. Bagian kurva setelah titik B yaitu bagian strength hardening, umumnya diabaikan dalam perencanaan plastis dan dapat dianggap sebagai tambahan keamanan struktur. Panjang regangan plastis dari titik A sampai titik B sekitar 15 kali panjang regangan elastis sampai titik A untuk baja lunak ( mild-steel ), perbandingan panjang tersebut yang didefinisikan sebagai daktilitas tarik atau daktilitas regangan dari bahan .
3.2.2. Pengaruh bentuk pelat terhadap daktilitas dan kekakuan
Bentuk-bentuk pelat damper yang akan ditinjau adalah :
1. Bentuk segi-4 2. Bentuk segi-3 3. Bentuk X
Dalam pembahasan hanya ditinjau 1 buah pelat damper.
3.2.2.1 Pelat damper bentuk segi-4
a. Daktilitas lentur Pelat damper bentuk segi-4
Deformasi keadaan elastic :
Fp Mdp MPu
RMASI PELAT ( BIDANG MOMEN
p
Gambar 3.3. Pelat Damper Bentuk Segi- 4
dilihat pada gambar 3.3. deformasi lateral pelat dalam batas elastic dapat dihitung dengan persamaan :
Dimana :
= Defomasi pelat damper dalam keadaan elastis.
= Gaya lateral pada pelat damper
= Momen inertia
= Lebar pelat
= tebar pelat
Mengingat , dimana adalah Momen diujung damper, simpangan damper menjadi
Dengan memasukan besaran Momen Inertia dan momen diperoleh
Bila bertambah besar, suatu saat tegangan akan mencapai tegangan leleh , deformasi saat ini adalah
adalah simpangan pelat saat permulaan meleleh, dan kapasitas momen
penampang saat mulai meleleh adalah , dengan distribusi tegangan
masih bersifat linier, lihat gambar 3.3.3.
Deformasi keadaan plastis :
Bila beban terus bertambah, maka penampang akan memasuki tahap plastisitas , dengan distribusi tegangan yang ditunjukan oleh gambar 3.4.3. Momen plastis dapat dihitung dari
)
) (3.3)
t S KEADAAN ELASTIS KEADAAN PLASTIS KEADAAN PLASTIS
y
Gambar 3.4. Tegangan dan regangan pelat damper
Bila didefinisikan daktilitas regangan penampang pelat:
Dari gambar 3.3. daktilitas regangan
Untuk nilai daktilitas regangan yang besar, misalnya untuk ,
diperoleh
Deformasi lateral batas pelat damper dapat dihitung dari gambar 3.3.3.
tinjau distribusi momen pelat sepanjang keadaan pelat dapat dibagi menjadi 2
bagian, dari keadaan pelat masih elastis dan bagian pelat dalam keadaan plastis.
Panjang bagian elastis dapat dihitung dari bidang momen gambar 2.3.2. dan gambar 3.3.3.
Atau dengan subsitusikan persamaan 3.7. diperoleh
Deformasi ujung dapat dihitung dengan persamaan garis lentur
adalah radius lengkungan,
dengan mengabaikan
Persamaan garis lentur menjadi
Untuk bagian elastic 0≤x≤a :
Tinjau regangan diserat sejauh y dari garis netral di penampang
Tegangan diserat tersebut
Subsitusikan persamaan 3.12. ke persamaan 3.13. diperoleh
Subsitusikan persamaan 3.14. ke persamaan garis lentur 3.11. Persamaan garis
lentur menjadi
Dari bidang momen gambar 3.3.2 :
Subsitusikan ke persamaan garis lentur 3.15.
Diintegralkan :
Dengan kondisi batas : , subsitusikan ke persamaan
Deformasi di , adalah
Putaran sudut persamaan 3.16. menjadi,
Simpangan atau lendutan persamaan 3.17. menjadi,
Untuk bagian Plastis a≤ x ≤ h/2 :
Letak garis tegangan nol dalam penampang dari garis netral pada potongan tampang sejauh x dapat dihitung dari persamaan 3.3.
atau
Dari gambar bidang momen gamabar 3.3.4. momen pada penampang X adalah :
Subsitusikan ,Diperoleh
Persamaan garis lentur 3.11. keadaan plastis adalah :
Subsitusikan persamaan 3.20. ke persamaan garis lentur 3.21.
Diintergralkan,
Untuk : putaran sudut , dari persamaan 3.22.
diperoleh,
Untuk
Dari persamaan 3.9. , persamaan garis lentur menjadi,
Dititik temu kedua garis lentur , putaran sudut dan defleki dari kedua garis lentur adalah sama, putaran sudut yang sama dilakukan dengan menyamakan persaman 3.18. dengan persamaan 3.24.
Diperoleh ,
Dengan menyamakan persamaan 3.19. dan persamaan 3.25. untuk defleksi yang sama dititik temu x =a
Diperoleh
Subsitusikan nilai , dan diperoleh deformasi maksimum setengah
panjang pelat sebesar atau setengah dari deformasi total,
untuk seluruh panjang pelat, deformasi menjadi dua kali yaitu,
Daktilitas pelat dapat dihitung dengan membandingkan deformasi maksimum
keadaan plastis dengan deformasi saat penampang mulai meleleh. Dari persamaan 3.26. untuk deformasi maksimum dan persamaan 3.2 untuk keadaan mulai meleleh, diperoleh
b. Kekakuan pelat damper bentuk segi-4
Untuk pelat dalam keadaan elastis, hubungan tegangan regangan sama dengan
persamaan 3.1.
Sehingga kekakuan keadaan elastis,
Untuk keadaan plastis, diasumsikan kekakuan bersifat constant dari keadaan
mulai meleleh sampai mencapai keadaan batas kekakuan, persamaan kekakuan adalah
Dimana ,
(3.31)
dan
(3.32)
Dan ,
Diperoleh
Beda gaya damper keadaan batas dengan keadaan leleh,
(3.33)
Deformasi keadaan batas dari persamaan 3.27.
Deformasi keadaan mulai leleh,
Beda deformasi keadaan batas dengan keadaan mulai meleleh
Kekakuan damper keadaan plastis, menjadi
a. Daktilitas lentur pelat damper bentuk
segi-AT DAMPER (b) DEFORMASI PELAT ( C ) BIDANG MOMEN
bx
Mx
Up
3. Bentuk pelat
damper
Gambar 3.5. Pelat damper bentuk segi-3
2. Bidang
momen
1. Deformasi pelat
Deformasi pelat pada keadaan elastis :
Tumpuan damper pelat bentuk segi-3 berbeda dengan tumpuan dengan pelat segi-4 dan bentuk X, pelat damper bertumpu pada sudut ujung dan sisi hadapannya, tumpuan ujung sudut segi-3 adalah tumpuan sendi sedangkan tumpuan sisi segi-3 adalah tumpuan jepit. Lihat gambar 3.5.1.
Bila gaya yang bekerja bertambah besar, dan momen pada sisi terjauh dari damper mencapai momen leleh , Momen pada potongan adalah,
Dengan Lebar pelat pada potongan
Dan momen Inertia
Tegangan yang terjadi di penampang
penampang menjadi,
. jadi seluruh penampang sepanjang pelat meleleh pada saat yang bersamaan, Tegangan leleh diserat paling luar dengan adalah,
Deformasi keadaan elastis dapat dihitung dari,
Dengan
dan
Persamaan deformasi menjadi :
Integrasikan :
dengan kondisi batas : Untuk ; Diperoleh
Untuk
; Diperoleh
Deformasi maximum keadaan elastic :
Deformasi keadaan plastis :
Persamaan garis lentur menjadi :
Subsitusikan dan ke persamaan garis lentur,
mema :
Dengan sukan kondisi batas
Untuk ditumpuan ujung , diperoleh
disisi ujung lainnya , diperoleh dan
Daktilitas damper :
Subsitusikan persamaan 3.38. dan persamaan 3.39. diperoleh
(3.40)
Dari persamaan terakhir persamaan 3.40. daktilitas damper sama dengan daktilitas bahan
b.Kekakuan Pelat Damper Bentuk Segi-3
Hubungan kekakuan damper sampai keadaan mulai meleleh, dapat dihitung
dari persamaan 3.38.
mengingat
Dari bidang momen gambar 3.5.3.
Kekakuan keadaan elastis
Untuk keadaan plastis, juga diasumsi seperti pelat segi-4 kekakuan bersifat
constant sampai mencapai keadaan batas kekakuan dihitung dengan.
Dimana
dari persamaan 3.40.
dan persamaan 3.41.
Dari persamaan 3.7. dan bidang momen gambar 3.5.4. bidang momen tersebut bersifat linier berlaku untuk keadaan elastic dan keadaan beban batas, sehingga berlaku dan , perbedaan gaya
menjadi,
Kekakuan pelat damper menjadi
Perbandingan kekakuan sesudah dan sebelum mencapai keadaan batas,
lunak, diperoleh , nilai kekakuan tersebut hampir mendekati
garis mendatar, dengan demikian kurva hubungan gaya dengan deformasi dapat dianggap berbentuk Elasto-Plastis, lihat gambar 3.7.
2.2.2.3 Pelat bentuk X
a. Daktilitas lentur pelat damper bentuk X
f
p MdpGambar 3.6. Deformasi dan Bidang Momen pelat bentuk X
Damper dengan pelat bentuk X di gambar 3.6. merupakan gabungan 2 buah damper segi- 3 disudut segi-3. Untuk damper bentuk ini, perhitungan deformasi dapat dibagi menjadi 2 bagian segi-3.
Deformasi elastic untuk setengah bagian damper, dari persamaan 3.38. dengan mengganti tinggi pelat menjadi dan dikalikan 2 untuk 2 damper bentuk segi-3 dengan tinggi h/2 ,
Deformasi keadaan plastis :
Demikian juga untuk defleksi pelat keadaan batas, gantikan tinggi pelat h menjadi h/2 pada persamaan 3.39. dan hasilnya digandakan :
b. Kekakuan Pelat Damper Bentuk X
Kekakuan pelat damper dari keadaan elastic sampai saat mulai leleh dapat dihitung dari,
Dengan menggantikan
, diperoleh
Dari bidang momen gambar 3.6.3.
Untuk keadaan plastis, juga diasumsi seperti pelat segi-4 kekakuan bersifat
constant sampai mencapai keadaan batas kekakuan dihitung dengan.
Dimana
Dari persamaan 3.44. dan persamaan 3.45.
beban batas, sehingga berlaku dan perbedaan gaya menjadi ,
Kekakuan Pelat Damper kekaan plastis
Perbandingan kekakuan sesudah dan sebelum mencapai keadaan batas, , untuk nilai yang cukup besar, misalnya 15, diperoleh
, nilai kekakuan tersebut hampir mendekati garis mendatar,
dengan demikian kurva hubungan gaya dengan deformasi dapat dianggap berbentuk Elasto-Plastis, lihat gambar 3.7.
3.2.2.4 Perbandingan daktilitas dan kekakuan bentuk-bentuk pelat damper
Tabel 3.1. Perbandingan daktilitas dan kekakuan damper
dalam damper dipasang sejajar sehingga Jumlah pelat dalam damper tidak mempengaruhi besarnya daktilitas, tapi akan memperbesar kekakuan damper, kekakuan damper bertambah sebanding dengan jumlah pelat di damper. Hubungan gaya dan defleksi pelat damper dari tabel 3.1. dapat dilihat pada gambar 3.7
3.3. MODEL ANALISA
Tinjau suatu damper yang tersusun dari beberapa pelat pada gambar 1.3. deformasi semua pelat dalam satu damper adalah sama, daktilitas damper sama dengan daktilitas pelat dalam damper, dengan demikian daktilitas damper hanya bergantung pada ukuran pelat penyusunnya dan tidak bergantung pada jumlah pelat yang ada.
Jumlah pelat damper hanya menambah kekakuan damper, pelat dalam dapat dimodelkan sebagai pegas-pegas yang disusun secara seri. Sehingga besarnya kekakuan damper adalah jumlah dari kekakuan masing-masing pelat,
(3.48)
Dimana :
= kekakuan damper
= kekakuan 1 pelat damper
Dengan gaya leleh pada damper sebesar gaya , simpangan permulaaan leleh dari damper adalah
Dari uraian sebelumnya untuk pelat damper bentuk segi-3 dan bentuk X ,
hubungan gaya dengan simpangan dapat diidealisasikan menjadi kurva elasto-plastis, dengan kekakuan elastis dan nol setelah simpangan melewati batas leleh .
1. Deformasi damper 2. Free-body gaya (b) Free-body gaya damper
damper
(c) Idealisasi SDOF dari Struktur-Damper
3. Idealisasi SDOF
struktur -
Gambar 3.8. Pembagian Gaya Damper Dan Struktur
bracing dan damper dapat digabungkan dan digantikan dengan suatu damper pengganti.
Dari gambar 3.8. bila pada damper bekerja gaya sebesar , maka pada bracing juga bekerja gaya
Simpangan seluruhnya
Kekakuan damper pengganti
Kekakuan gabungan dari model analisa dapat dihitung dengan meninjau deformasi dari sistim SDOF, bila terjadi simpangan struktur u, pada damper juga terjadi simpangan yang sama, kekakuan effektif dapat dihitung sebagai berikut :
Gaya luar P dipikul bersama oleh struktur dan damper, bila gaya dalam struktur dan gaya yang bekerja di damper , dari syarat keseimbangan :
Bila deformasi adalah u dan kekakuan gabungan maka , maka, Sedangkan gaya dalam struktur dan gaya dalam damper
Subsitusikan ke persamaan keseimbangan diperoleh :
(3.51)
(b) KEKAKUAN LINIER STRUKTUR (b) KEKAKUAN DAMPER 1. Model kekakuan bi-(C) KEKAKUAN MODEL KEKAKUAN BI-LINIER ( K(U) )
linier ( struktur +
2. Kekakuan
damper
3. Kekakuan linier
struktur
Kekakuan Gabungan setelah melewati batas elastic , sehingga Untuk membedakan dalam keadaan elastic dan plastis, dipakai sebagai untuk damper keadaan elastic dan untuk damper keadaan plastis. Kurva hubungan gaya dengan simpangan berbentuk bilinier dengan gaya leleh sebesar,
(3.52)
Bila gaya P yang bekerja adalah beban siklus dengan simpangan maximum persamaan getaran SDOF menjadi persamaan non-linier karena kekakuan gabungan berbentuk binon-linier atau sebagai fungsi dari simpangan,
(3.53)
Dalam hal ini K(u) adalah kekakuan bilinier yang ditunjukan gambar 3.10.2. dengan mengabaikan damping dari struktur sendiri , persamaan getaran menjadi,
(3.54)
m Fm
( C ) HYSTERISTIC LOOP MODEL BI-LINIER
Fm m
(d) HYSTERISTIC LOOP MODEL KEKAKUAN LINIER ( K )
(b) KEKAKUAN MODEL KEKAKUAN BI-LINIER ( K(U) )
1. Nonlinier 2. Kekakuan model bi-linier
k(u)
Kedua sistim getaran lihat gambar 3.10.5. yaitu SDOF non-linier dan SDOF yang linier, mempunyai kesamaan dissipasi energi dengan membentuk loop yang berbeda, dengan penyederhanaan beberapa parameter, Model SDOF non-linier disederhanakan menjadi model pendekatan SDOF linier yang equivalent dengan Model SDOF dengan linier viscous damping.
Gambar 3.10.6 adalah model pengganti equivalent dari model SDOF dengan damper, parameter yang disesuaikan untuk model pengganti equivalent adalah :
1. Mengganti kekakuan menjadi kekakuan pengganti
2. Mengganti damping dengan konsep equivalent linier vicous damping .
Dengan memperhatikan gambar 3.10.6 Kekakuan pengganti
Dengan menggunakan konsep equivalent linier vicous damping, besarnya
Dalam bentuk damping ratio ,
Seluruh damping dari sistim atau damping total yang ada dalam sisitim dapat
disederhanakan dengan menjumlahkan kedua damping, yaitu damping equivalent dan damping alami dari struktur,
Atau dalam bentuk damping ratio
(3.59)
Dimana adalah damping alami dari struktur
Dengan demikian persamaan SDOF dengan damper :
Dapat diganti menjadi model equivalent dengan persamaan :
(3.60)
III.4. ANALISA MODEL PENGGANTI
Dengan memperhatikan persamaan Model Pengganti dari Sistim SDOF dengan damper di gambar 3.62. nilai simpangan maximum dapat dihitung dengan mudah menggunakan metode Response Spektrum.
Untuk mendapatkan nilai dari kurva response spectrum gempa, diperlukan nilai untuk menghitung , sedangkan nilai ditentukan dari nilai
. Nilai bersifat variable sesuai dengan perubahan .
Dari persamaan sebelumnya :
Simpangan adalah hasil dari perhitungan dan tidak diketahui pada awal perhitungan, Untuk menghadapi kendala tersebut, perhitungan dapat dilakukan dengan metode iterasi.
Perhitungan dapat dilakukan sebagai berikut:
2. Hitung periode model pengganti :
3. Dengan nilai periode tentukan dari kurva Response Spektrum Gempa.
4. Hitung damping pengganti dan damping total dari persamaan :
5. Tentukan factor koreksi damping sesuai dengan persen damping total
6. Hitung response maximum
7. Periksa kesesuaian dengan , bila tidak dalam batas toleransi ulangi langkah awal (1) dengan memakai yang baru yaitu :
III.4 RESPONSE SPEKTRUM GEMPA
Gempa yang digunakan dalam analisa riwayat waktu gempa adalah Gempa El-Centro dengan percepatan tanah 0.35 g. Analisa linier dengan metode response spectrum menggunakan 2 bentuk response spectrum :
1. Response spectrum dari gempa El-Centro
2. Response Spektrum yang ditentukan dalam Peraturan Perencanaan Tahan Gempa SNI 03 – 1726 -2002
Gambar 3.11.1 adalah response spektrum simpangan El-Centro dengan percepatan tanah 0.35g yang dihitung dengan program Non-Lin. Response Spektrum dalam peraturan gempa SNI 03-1726-2002 adalah response spectrum percepatan , pada umumnya response spektrum percepatan diturunkan dari response spektum simpangan dengan hubungan . Bentuk response spectrum percepatan dari peraturan gempa SNI 03-1726-2002 ditunjukkan gambar 3.11.2. sedangkan response spektrum simpangan ditunjukkan gambar 3.11.3. yang dihitung kembali dari response spektrum percepatan dengan persamaan :
Nilai Response spektrum percepatan EL-Centro yang disesuaikan untuk percepatan 0.35g adalah :
Gambar 3.11. Response Spektrum Gempa EL-CENTRO dan SNI
Untuk waktu getar :
Response Spektrum pergeseran dari peraturan yang disesuaikan dan Response spectrum pergesaran EL-centro dengan percepatan 0.35g akan digunakan dalam analisa.
3.5. FAKTOR KOREKSI RESPONSE
Dimana :
= Pergeseran maksimum Analisa Non-linier riwayat waktu gempa
= Pergeseran maksimum Analisa Linier dari Model Equivalent
Analisa riwayat waktu gempa yang menggunakan riwayat waktu gempa El-Centro dengan percepatan 0.35g, dan analisa response Spektrum dari model Equivalent menggunakan dua kurva response, yaitu response spectrum simpangan El-Centro dan Model kurva Response spectrum simpangan dari peraturan SNI yang disesuaikan dengan percepatan dasar 0.35g dari gambar 3.12.
Bentuk hysteristic loop dari damper berbentuk empat persegi, luas hysteristik loop ditentukan oleh factor , dan . Untuk penyederhaan dalam menentukan factor koreksi dipakai besaran non-dimensional :
dan
menggunakan model response spektrum gempa dari peraturan gempa yang disesuaikan terhadap gempa El-Centro 0.35g.
Perhitungan dalam bentuk tabel di lampiran 1.1. dibagi menjadi 4 kolom utama, kolom pertama merupakan input data perhitugan yang terdiri dari waktu getar T1, factor k dan faktor e. kolom kedua merupakan output dari program NONLIN
berupa Ue dan Umr . kolom ketiga perhitungan model equivalent dengan simpangan
maksimum Um. dan kolom keempat adalah factor koreksi yang merupakan
perbandingan CF = Umr/Um
Waktu getar T1 adalah waktu getar keadaan damper terpasang dengan
kekakuan K1 = Kd + Ks , waktu getar T1 dihitung dari :
Nilai Ue adalah simpangan maksimum dari response spectrum Sd dengan
asumsi sistim bergetar dengan periode T1 dalam keadaan linier ( elastis). Uy adalah
batas leleh pertama dari sistim getaran.
