Kestabilan Sistem Produksi Sel Dengan Umpan Balik

(1)

GI

M9.r

aoc

KESTABILAN SISTEM PRODUKSI SEL

b&?

DENGAN UMPAN BALIK

AIH SALIMAH

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

RINGKASAN

AIH SALIMAH. Keslabilaii Sisle~n Produksi Sel dengan Unlpan Balik (Tlie Stnbili(v ofcells Prod~rction Svste~lrs ivilli Feedback). Dibinibing oleh ALI KUSNANTO dan TONI BAKHTIAR.

Sisteni sel dalain tubu11 makhluk hidup bersel banyak senantiasa berproduksi secara konlinu untuk lllelllpertahankan popula~inya, terntanla pada saal terjadi gangguan yang dapat bempa seralyon sualu penyakit atau mengalami kecelakaan. Pada saat itu sistem sel akan lnelakukan upaya penyembuhan secara alami atau dengan diberi pengamh (umpan balik) dari luar.

Sisleli~ prodilksi sel dirnodelkan sebagai berikut: N = a(t)N[l-d(t)/

R = -pR +n(t)d(riN.

Model lersebut menpatakan laju pernballan banyaknya sel asal

(M

dan laju pembahan banyaknya sel lilatang (R) dalan~ sistem. dengall a(1) adalal~ tingkat keluaran sel asal, d(t) adalal~ peluang sel asal mengalami proses peinatangan. dan

P

adalah tingkat keluaran sel matang.

Dalani tulisan ini diballas tiga variasi model sistenl produksi sel di atas yalig nienggan~barka~~ keterlibalan unlpan balik yang berbeda di dalan~nya. Dengan melakukan analisis kenabilan pada niodel yang terbenluk, dapat dilillat tingkah laku sistem sel ketika terjadi gangyan dengan atau tanpa melibackan umpan balik lertentu.

(3)

KESTABILAN SISTEM PRODUKSI SEL

DENGAN UMPAN BALIK

AIH SALIMAH

Skripsi

sebagai salall satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Program Studi Maten~atika

JURUSAN MATEMATIKA

BOGOR

(4)

Judul

:

Kestabilan Sistem Produksi Sel dengan Umpan

Bdik

Nama

:

Aih Salimah

N R P

:

GO5496015

Me~lyelujui,

Pe~uibi~~ibing I Pembimbing I1

(5)

Penulis dilahirkan di Cianjur pada tanggal 7 Febmari 1978 sebagai anak keelnpat dari enam

bersaudara, ayah bernama Adin Adnludin dan ibu bernama Hoiriyah.

Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar pada tahun 1990 di SD Negeri Bojongsari. sekolah

lanjutan tingkat pertanla tallun 1993 di SMF' Negeri Sukaresmi, dan sekolah lanjutan tingkat atas taliu~l

1996 di SMA Negeri Cipanas.

Tahun 1996 pennlis lulus seleksi ~uasuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) di

(6)

PRAKATA

Puji d a ~ i syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT alas segala karunia-Nya sehingga karya ilniial~

ini dapal diselesaikan. Karya itmiall ini ~nerupakan l~asil studi pustaka dengall judul Kestabilan Sisle~n

Produksi Sel dengao Un~pan Balik.

Terima kasili penulis sa~npaikan kepada berbagai pillak yang telah ~nelnbanlu penyelesaian k a n a

ilmiah ini, alilara lain Bapak Drs. Ali Kusnanlo M.Si. dan Bapak Ir. Toni Bakl~liar M.Sc. selaku

pelnbimbing I dan pe~nbiinbing I1 yang dengan sabar llle~nbi~libing penulis liingga karya il~iiial~ ini selesai.

Di sali~pil~g ilu lerinla kasilljnga disalnpaikan kepada ibu, kakak dan seluruh keluarga alas segala doa d;ln

kasih saylngnya. serla kepada rekan-rekan ~liaten~atika 33, leman-teman di BZ. dan senula pil~ak gang

telah i ~ l e ~ i b a ~ i t u d e l a ~ i ~ penyelesaian karya iliniah ini.

Senloga karya ilniiah ini dapat bennanfaat.

Bogor. April LOO1

(7)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 . Struktur model sistem produksi sel 4

2 . Bentuk kestabilan titik tetap pada model I

...

7

3 . Bentuk kestabilan titik tetap pada model 2

...

8

4

.

Bentuk kestabilan titik tetap pada model 3 untuk kasus $ ( N o )<ZPR

...

9

(8)

DAPTAR IS1

PENDAHULUAN

Latar Belakang ... 1 Tujuan Peuulisan ... 1

TINJAUAN PUSTAKA

Sisle~n Persa~naan Diferensial Mandi '

Definisi Tilik Teta Bidang Fas

...

Pelinearan..

Analisis Kestabilan Titik Teta

MODEL SISTEM PRODUKSI SEL

Asun~si dan Notasi.. ... .4 Pcnp~sunan Modcl ... ..4

PEMBAHASAN

Model 1. ... .6

...

Model 2.. 7

Model

...

(9)

PENDAHULUAN

Di dalaln tubul~ mahluk hidup bersel banyak terdapat bejuta-juta set yang mempunyai pennan tertentu. Scl-sel tersebut senantiasa n~elakukan peinban~an populasinya secara kontinu. Untuk selanjutnya kita nlenyebut proses ini sebagai sistem produksi sel.

Dalam kehidupan sel, ada subpopulasi sel tcrbanyak yang mcrupakan sel primitif dan disebut sel asal (stel?! cell). Sel ini selalu memnbelah untuk mcnghasilkan sel asal bam clan sel prekursor @recl~rsor ceN). Setelah mencapai tingkat kede~vasaan tertentu, sel prekursor akan menjadi sel matang (nmfzire cell) yang tidak mempunyai kemanipuan untuk membelah lagi (Kiinme1,1986). Sel matang akan metaksanakan peranannya dalam kehidupan organisme sampai sel tersebut inati dan kcluar dari tubuh organisme.

Pada setiap keadaan sistem sel selalu meinpertahaukan jumlall sel matangnya, termasuk saat terjadi gangguan. Gangguan di sini dapat berupa serangan suatu penyakit atau kecelakaan yaiig akan nleiuaksa sistem sel untuk melakukaii

upaya-upaya denii menjaga kelangsungan

hidupnya. Mempelajari upaya tersebut berarti kita i~~cmpelajari urnpan balik (feedback) pada sistein sel, karena urnpan balik adalah suatu pengamli yang diberikan pada s i s t e i ~ ~ sel agar tejadi proses produksi atau penye~llbulian yang dil~arapkan untuk mcujaga kelestariannya. Proses pengobatan atau penibcrian e n z i i ~ ~ terlentu rnempakan contoll uinpan balik yang diberikan dari luar. Dalam

peilibei~lukan model, didefinisikan bahwa

gnugguan pada sistem sel dianggap sebagai

berkurangnya jumlah sel matang pada sistein tersebut. Dalam tulisan ini akan dipelajari dua macam umpan balik, yaitu:

1. Umpan balik jangka panjang, yakni sistem sel bempaya menyelidiki gangyan pada sel matang serla menycsuaikan tingkat produksi sel asal dan sel prekursor. Dengan kata lain, sistein sel mengatur keberadaan ketiga subpopulasinya.

2. Umpan balik jangka pendek, yakni siste~li sel akan menghentikan atau il~enun~nkan produksi sel prekursor bila banyaknya sel asal menurun. Dala~n ha1 ini siste~li sel hanya mengatur banyaknya sel asal dan sel prekursor taupa memperllatikan keberadaan sel matang. Dengan memnperl~atikan kedua umpan balik di atas, dapat dibentuk model matemalika dari sistem produksi sel, di niana setiap variasi model inenggambarkan unipan balik apa yang dilibalkan dalam sistem. Dengan model tersebut dapat dilakukan analisis untuk melil~at tingkal~ laku sistem saat terjadi gangguan dan melil~at pengamh ulllpan balik terl~adap perilaku sistem, yaitu dapat lnelil~at kestabilan yang terjadi ketika sistem ~uelibalkan umpan balikjangka pendek atau ulnpan balik jangka panjang.

Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan karya ilinial~ iui adalah: 1. Mempelajari model sistem produksi sel. 2. Menentukan kestabilan sistem.

3. Mempelajari pengamll umpan balik terhadap kestabilan sistem.

TINJAUAN PUSTAKA

Sistem Persamaan Diferensiat Mandiri (aufo17omous) kareua tidak memuat t secara

eksplisil di dalam~iya.

Pandang sistern persamaan diferensial (SPD) [~~erl~mlst, 19901

berikut:

f =

f

(s, y ) (2.1.1) 2.1 Dcfinisi Titik Tetap

f adalab fungsi konlinu bernilai real dari x dail y,

dan mempunyai turuilan parsial kontinu. SPD Diberikall SPD lak lillier

(2.1.1) discbut persaillaan diferensial i i ~ a ~ ~ d i r i x=flx):

R+rC

(2.2.1)

(10)

Suatu titik x yang ~ne~nenulli Xx)=O disebut titik kritis atau titik tetap. Sedangkan senlua titik lain yang bukan n~erupakan titik tetap disebut titik biasa.

[Verllulst, 19901

Bidang Fase

Diberikan SPD berikut:

Solusi SPD (2.4.1) ~nen~bentuk suatu kuwa berdilnensi tiga ( t , x, y )

.

Akan tetapi karena secara eksplisit t tidak ada dala~n sistem tersebut, maka setiap solusi sistenl (2.4.1) untuk to < t < t ,

membentuk suatu kuwa di bidang (x,y). Jelasnya, jika I bergerak dari to ke tl, gugus titik-titik

( x ( l ) , y ( t ) ) membentuk suatu kurva di bidang

(x,y), kunla ini disebut orbit (trajectory) dan bidang ( x a ) disebut bidang fase dari solusi tersebut.

[Hasibuan, 19861

Pelinearan

Anggap SPD berikut tak linear :

Fungsi

f

dan g ~nelnpunyai turunan parsial kontinu di 521.

Berikut ini akan dilakukan pelinearan terhadap SPD (2.5.1). Perhatikan unian Taylor di sekitar titik tetap ( ? , j ) berikut:

+-

T(?,3) (y-,$)

+

T,, ( x , y ) ,

ay

Dengan lim rli ( x . Y )

=o

(..v)->(.C..C) ( ( x

-

?) + (,J -

untuk i= 1,2.

Karena

f

(?,,$) dan g(?, ,$) mnerupakan tilik tetap SPD (2.5.1), ~uaka berlaku:

Scllingga SPD (2.5.1) dapat ditulis dalan~ bentuk:

t

Atau dapat dituliskan sebagai:

x - x

D e w .

z

.[

:I

Y - Y

Karena suku g ( 2 ) pada sisteln (2.5.2) sangat kecil dibandingkan suku linear J Z di sekitar titik tetap, nlaka sislen~ (2.5.2) dapat dianggap sebagai llan~piran yang ruemenuhi siste~n tak linear (2.5.1).

[Rindengan, 19991 Malriks J untuk sistenl ( 2 . 5 . 2 ) ~nerupakan matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik ( 2 , F )

dan didelinisikan sebagai: J =

~f

(?) =

~f

(x)

,;

I,

Bentuk

2

= J Z disebut pelinearan dari persamaan (2.5.1). Unluk SPD tak linear dua dimensi, J adalah ~nalriks berordo 2 s 2 . Nilai eigen dari J diperoleh dengan lnenyelesaikan persalnaan karakteristik

c(1) = d e l ( ~ -

hl)

= 0 . (2.5.3)

Misalkan J adalah lmlatriks segi berordo 2x2

dengan elemen-elcmennya sbb:

-

J lne~nenulli persamaan:

(11)

Aualisis Kestabilan Titik Tetal: _Kasus~ _3.~

2

_-46~.

<

₀.

Nilai eigen yang diperoleh adalah idlai eigen Nilai eigen pang diperolel~ dari persalnaan _{komplek;. Misalkan nilai eigen tersebut adalah} (2.5.4) lergantung dari nilai T~ 4 6 . _h₌_{a+ib, dengan}_a_{dan b adalab bilangan real}

Kasus 1. z2 -46 >O dan b>O. Sehingga sisteninya dapat diuliskan _sehapni._----

o--.

Nilai eigeli yang diperoleh adalah real dan berbeda

XI

# 12, sehingga solusi umumX(t) me~~ienul~i

x(!)=

c I ~ ~ , e h " + ~ ~ 1 ~ ~ e ~ l ~ (2.6.1)

[;I

= b:[

:I[;]

x=ax+by dengan CI dan cz serta vl dan v2 adalah konstanta atan .

y=-bx+ay. (2.6.3)

serta veklor eigen gang bersesuaian de~igan

masing-masing nilai eigennya. Kestabilan titik Ddaln kwrdinat Polar, x dan Y dapat din~atakan letap rncmpu~~yai tiga sifat. yaitu:

1. Nilai eigen negaliC (hl<O dan h2<O). Dengan lnengynakan persa~~~aan (2.6.1) diperoleh lim X(r) =

0.

sel~ingga titik tetap bersifat t+m

stabil.

2. Nilai eigen positif (h+O dan h2>0). Dengan ~nenggunakan persalllaan (2.6.1) diperoleh lim X(t) = w , sel~ingga ritik tetap bcrsifat I-*m

lidak st;~bil.

3. Nilai eigen berbeda tanda (hl<O dan hp-0). Dari persaliiaan (2.6.1) dapat dilil~at bal~wa

lim X(I) = 0 karcna h,

<

0 , dan

!-,a

lim X(t) = w karena h z > 0 . Dengan kata

1+m

lain, x(t) akan nienuju no1 sepanjang vektor v,

dan lnenuju tak l~ingga sepanjang vcktor vz. Titik tetap ini adalah titik sadel yang bersifat lidak stabil.

Kasus 2. z2 -46 = 0

Nilai eigen yang diperoleh adalah real ganda

Z

h, = h 2 = h =

-

sehingga solnsi uInunlnya 2 '

mnemenuhi

x,

(I) = danX, (I) = c2 (11~~ +i12)ehi

X(1) =x(l)+,Y2(l) . (2.6.2)

Kestabilan titik tetap mempunyai dua sifat, yaitu: 1. Nilai eigen negatif (hl<O dan h2<0). Dengan

mengguliakan persamaan (2.6.2) diperoleh lim X(I) = 0 , sehingga titik tetap bersifat I - 4 m

slabil.

2. Nilai eigen positif (hl>O dan h2>O). Dengall mengynakan persamaan (2.6.2) diperolel~

l i m X ( t ) = m , seldngga titik tetap bcrsifat , 4 m

. .

tidak stabil

Y sebagai x = rcos 0 , y = r s i n Q , dan tan8 =

-

sel~ingga diperoleh r2 =r2

+

y2 . (2.6.4)

Tumnan persamaan (2.6.4) terl~adap

r

dapat dituliskan sebagai

2ri. = 2x.t

+

2yL

= r i . + y ~ (2.6.5)

Dengan ~nensubstitusikan persaniaan (2.6.3) ke dalamnya, diperolel~

2 2

ri.=a(x + y ) = o r 2 + = o r

sebingga r(1) = r(0)en' (2.6.6)

Tumnan

O

terhadap t adalah:

x2 sec2(Q)i=xj-y;- (2.6.7)

Dengan mensubstitnsikan persalnaan (2.6.3) dan r 2 = x 2 sec2(Q) ke dalaln persaniaan (2.6.7) diperolel~

2 '

r 8 =-b(x2 + y 2 ) = -br2

Q=-b

sel~ingga Q(t) = -bt +Q(0) (2.6.8)

Dari persamaan (2.6.6) dau persalnaan (2.6.8) terdapat tiga kasns yang mnngkin terjadi pada titik tetap, tergantnng pada nilai a dan b. Kasus yang lnungkin itu ialah:

1. a<O. Pada kasus ini, r pada persaniaan (2.6.6) ~nemennl~i lim r(t) = 0, dan Q(1) pada per-

I+*

salnaan (2.6.8) akan berkurang jika b>O dsn bertanbah jika b<O. Hal ini menu~~jukan bal~wa titik tetap nlempakan titik spiral slabil dengan aral~ gerak searah jamln jam bila b>O dan berlawanan arah janiln jam bila b<O. 2. a>O. Pada kasns ini, r pada persa~~iaan (2.6.6)

(12)

persalnaan (2.6.8) akan berkurang jika b>O _{berkurang jika}_b>O_{atau berla~nbal~}_jika_b.;O.

dan bertanibah jika b<O. Berarti bentuk orbit _{Gerak orbit ~nembentuk}_{suatu lingkaran. Titik} titik tetap lllempakan titik spiral tak stabil _{telap tersebut bersifat stabil netral dengan} dengan arah gerak searall jarum jam bila b>O gerak searall jaw11 jam bila b>O dan dan berlawanan arali j a m jam bila b<O. _{berlawanan arah jam111 jam bila}_b<O.

3. a=O. Pada kasus ini, r tidakbembah sepanjang [Tu, 19941

waktu dan Q(t) pada persamaan (2.6.8) akan

MODEL SISTEM PRODUKSI SEL

Asumsi &an Notasi Penyusunan Model

Model umum sistem produksi sel dibentuk berdasarkan asumsi-asu~nsi berikut ini:

I. Dina~nika perke~nbangbiakan sel asal

digambarkan sebagai suatu siklus yang terdiri dari dua iase. yaitu iase aktif dan Case pasif. Pada iase aktif siste~n sel nlel'akukan siutesis protein. persiapan dan mitosis. Sedangkau pada Case pasif sisleni sel berada pada keadaan istiral~at dan pertu~l~buhan awal. Lanlanya sel berada pada iase aktif sangat singkat, sel~ingga dianggap nol.

2. Variasi n~odel umum dibuat dengan ~nengubal~ fungsi

(4

yaitu peluang pembahan sel asal dan (a) yaitu tingkat keluaran sel asal dari iase pasii.

3. Seliap sel asal, dalau sekali perubalian ~nengllasilkan sebanyak 1 sel matang dala~n waklu yang sangat singkat (dianggap nol). 4. Tingkal keluaran sel Iliatang dari sistem sel

adalalr

p.

Misalkau N(t) ~nerupakan banyaknya sel asal pada fasc pasif. R(t) adalali banyaknya sel matang. P(r) adalal~ banyaknya sel asal pada Case aktif, dan

C(1) bauyaknya sel prekursor dalaln sislem sel. Kehidupan sel di~uulai dari keadaan enibrio, yaitu scl asal pada iase pasif. Dala~n fase pasii sel ~nelakukan istirailat dan ~nengalami pertu~i~buhan awal uutuk ~lle~llpersiapkan Case berikutnya. Setelall itu sel enibrio tadi dapat bembah nlenjadi sel muda (sel prekursor) dengan peluaug perubahannya d(t) atau menuju Case aktif untuk melakukan ~uitosis dengan peluang (1-d(t)), di mana setiap satu sel akan men~belah ~nenjadi dua sel e~nbrio bam yang nantinya akan masuk kenlbali ke lase aktif. Senlentara itu sel prekursor akan menjadi sel nlatang yang siap ~nelaksanakan peranannya dalani tubul~ makbluk liidup sampai sel lcrscbul mati.

Berdasarkan asumsi-asumsi di atas. maka sluklur n~odel sisle~n produksi sel dapat diga~nbarkan sebagai berikul:

L;t,ju Perubal~an Banyalinya Sel Asal Terhatlap Walitu. Pewballan banyaknya sel asal dala~n sistem sel secara matem:i~!s dapat dinpatakan sebagai:

J'?

= - a ( t ) ~ ( l ) +2[1-d(l)]a(l)~'(l). (3.2.1) [Kimmel, 19861 Model tersebut menpatakan laju pembahall banyaknya sel asal terl~adap waktu.

a

(r) dan d(t) adalah faktor pengatur bagi model, masing-masing mel~yatakan tingkal keluaran sel asal dari fase pasii dan peluang diferensiasi scl asal menjadi sel prekursor. sehingga (1-d(t)) adalah peluang sel asel tidak tcrdiferensiasi.

(13)

bai~yaknya sel asal sejak sebelum fase aktif. Output sel asal dari fase pasif merupakan perkalian N(t)

dengan a ( I ) .

Laju Perubahan Banyaknya Sel Matang Terl~adap Waktu. Perubahan banyaknya sel matang dipengaruhi oleh tingkat keluaran sel iliatang

p

dan faktor pengatur d(1). Model mateinatis bagi banyaknya sel matang sama seperti l~alnya pada iuodel banyaknya set asal, model ini pun inerupakan selisih dari input dan output sel matang. Input sel matang merupakan perkalian dari a ( I ) , d ( f ) , dan N(1) yang sekaliys 111empakan input bagi sel prekursor. Sedangkan output sel matang adalal~ perkalian lingkat keluaran sel matang dengan banyaknya sel matang itu sendiri. Sehingga i~todel bagi banyaknya sel matang dapat dinyatakan dalam bentuk:

R = -pR(l) +Aa(t)d(I)N(l) (3.2.2)

Dengan menggabungkan persamaan (3.2.1)

dan (3.2.2), maka diperolel~ inodel siste~n produksi sel sebagai berikut:

N = - a ( t ) ~ ( t ) + 2 [ 1 - d ( t ) b ( t ) ~ ( t )

(3.2.3)

R = -pR(I)

+

Aa(t)d(t)N(t)

Dengan O<a(t)<l, O<p <l, dan O<d(l)<l. Per- samaan (3.2.3) ~nerupakan PDB tak linear.

Selanjutnya akan dipelajari tiga versi model yang dibuat berdasarkan pengaturan umpan balik jangka panjang dan jangka pendek. Umpan balik tersebut dapat ditentukan dengan menybah-ubah iungsi d(t) dan a ( t ) .

Model 1 (Melibatkan Urnpan Balik Jangka Pendel<). Model 1 dibuat berdasarkan asumsi berikut ini:

d ( t ) = g ( N )

a ( f ) = It(R).

Fuugsi g dan h adalal~ fungsi-fungsi bernilai real positif yang kontinu dan terturunkan serta memenul~i:

h(0) = h'>0 ,h(m)=O, h'(R)<O, R >O. ~ ( 0 ) = 0 , g(m)=l, g' (N)>O, N>O.

Dari asuinsi tersebnt dapat dipahami bal~wa banyaknya scl matang akan rnempengaruhi tingkat keluaran sel asal pada fase pasif. Pada akhimya akan meinpengaruld tingkat diferensiasi sel asal menjadi sel prekursor. Artinya ketika banyaknya scl matang menurun, siste111 akan menaikkan tiugkat keluaran sel asal, yang berarti sisteil~ juga

menurunkan banyaknya sel asal. Dengan

penurunan tersebnt maka tingkat diferensiasinya juga akan menurun. Hal ini sesuai dengan definisi umpan balik jangka pendek. Jelas bal~wa pada inodel 1 sistem melibatkan nmpan balik jangka pendek. Tingkat diferensiasi yang menurun akan menyebabkan sel asal pada fase aktif meningkat, yang berarti juga meningkatkan banyaknya sel asal pada rase pasif. Kemudian tejadi proses sebaliknya, begitu seterusnya.

Salah satu contoh untuk model 1 adalah siste~n sel darah merah sbb:

~ ( 1 ) = -cru(l) + c - " ( ' - ~ ) .

[Kii~ullel, 19861

dengan u(t) menyatakan banyaknya sel darah merah matang pada sistem.

Model 2 (Tanpa Keterlibatan Urnpan Balilc). Model 2 disusun berdasarkan asumsi berikut ini:

d ( f ) = s ( R )

a(1) = h(R).

Fungsi-fungsi

f

dan g adalah fungsi bernilai real positif yang kontinu dan terturunkan serta memenuld:

h ( ~ ) = h . > ~ , h(m)=O, h' (R)<O, R>O. g(O)=l, g(m)=O, g' (N)<O, Nzo.

Pada ~ l ~ o d e l ini, sisteiu akan berusal~a menaikkan tingkat keluaran sel asal clan tingkat diferensiasi sel ketika banyaknya sel matang menurun. Dengan kenaikan tersebut temyata &an menyebabkan banyaknya sel asat pada fase pasif menurun. Dalam sistem tidak ada upaya untuk inenyesuaikan tingkat keluaran sel dan tingkat diferensiasinya. Sehingga dapat dikatakan tidak ada peran ulnpan balik. Sepintas model ini tampak b a y s , karena sangat respon terhadap penurunan

banyaknya sel matang dengan berupaya

meningkatkan banyaknya sel matang melalui tingkat diferensiasi dan tingkat keluaran sel asal dari fase pasif. Nainun pada kenyataannya sisteill akan mengeksploitasi sel asal di fase pasif yang dapat berakibat fatal pada dirinya sendiri.

Model 3 (Melibatltan Urnpan Balik Janglca

Panjangf. Asulusi yang digunakan untuk

meiubentuk model 3 adalah:

d ( t ) = g ( R )

a(1) = h ( N )

Di111ana fungsi g dan h adalah fungsi bernilai real positif yang kontinu dan terturunkan serta memenuhi kriteria berikut:

(14)

g(O)=l, g(m)=O, g' (N)<O, 0 0 . jangka panjang di dalamnya. Banyaknya sel matang yang n m w u n ~nenyebabkan tingkat Selain itu, diperkenatkan pula fungsi +(A4 dengall _{diferensiasinya meningkat, hal ini}

jugs akan

@(N)=Nh(W yang mempakan fungsi tidak _{~nengakibatkan banyaknya sel asal pada fase pasif}

monoton, memiliki nilai ~ n a k s i ~ n u n ~ di No dan penumnan lnenyebabkan

~nemenul~i syarat berikut: _{kenaikan tingkat keluaran sel yang pada akhirnya}

4 ' ( ~ ) > 0 u n t u k N < N o meningkatkan j u n ~ l a l ~ sel tnatang. Selanjutnya berlaku proses kebalikannya. Di dalaru model 3, + ' ( ~ ) < ~ u n l u k ~ > No _siste~n_~nelibatkan_{umpan balik jangka panjang.} 4(m)=0.

Secara umum, n~odel 3 nlempakan kebalikan dari model 1, yakni ada keterlibatan urnpan balik

PEMBAHASAN

Berdasarkan asnmsi-asumsi yang digunakan dalaln bab sebelunmnya, rnodel yang diperolch berbentuk persalnaan diferensial biasa tak linear (PDBTL). Model umum dapat dituliskan ke~nbali ruenjadi:

N = cr([)N[l-2d(i)]

R = -pR +a(t)d(r)N (4.1.1)

Salali satu contoll untuk 111ode1 di atas adalal~ perubahan bentuk @rolijerosi) sel anak. Menurut Macdonald (1971). rata-rata banyaknya sel anak yang telah melewati proses mitosis sela~na selang waktu t

+

dt adalal~:

kNe1-'d[ .

A-1 Dengan

0< k d F 1 , k€

R.

A: banyaknya sel anak hasil n~itosis yang dihasilkan dari satu sel anak sebeluln proses mitosis (A =2).

N: banyaknya sel anak yang mengalami proses i~~ilosis.

Contoh prolijerosi sel di atas dapat

dianalogikan dengan pertamballan banyaknya sel asal pada fase pasif

N = [l-2g(N)]Nh(R)

(4.1.2) R = -PR

+

Ng(N)h(R)

Titik tetap rnodel 1 diperoleh dengan menolkan persaluaan (4.1.2), sbb:

1) Untuk N = 0 ,

~naka 11- 2g(N)]Nh(R) = 0 Nh(R) = 0 atau (1-2g(N)) = 0. mengakibatkan

Nl = 0 atau ~ ~ = g - ~ ( l / 2 ) . 2) Dan untuk R = 0 ,

dengan mensubstitusikan N = 0, diperole11R = 0. Dan dengan mensubstitusikan NZ = g-'(112) diperoleh:

-p~~+g-~(l/2).112.h(~2) = 0 bR2= g'1(1/2)h(~2)/2 scl~ingga

Rz= N2lr(Rz)/2P.

Diperoleh dua titik tetap yaitu: TI = (0,O) dan Tz =(N2,R2).

Untuk melihat kestabilan titik tetap yang diperoleh, diynakan rnatriks J yang niempakan matriks turunan pertama dari model 1 lnelalui pelinearan persarnaan (4.1.2). Pelinearannya sbb:

Model 1 (1 -z~(N))~I(R)- ~S'(N)N;I(R) (1 - 2 g ( ~ ) ) ~ l ; ( ~ )

~(N)~J(R)+N&?."(R) -P+Ak(N)ir'(R) (,v,n)

Dengan memperliatikan asumsi yang

I

digunakan pada lnodel s e ~ r t i tercantum pada _{per~arlla-tal~a,}_{&an dilillat kestabilan di titik TI,}

bab sebelumnya, maka 111ode1 umum persamaan Sellingga di atas untuk

(15)

Titilc Tetap T,

Matriks J untuk titik TI = (0,o) adalah:

I

(1- 2g(0))h(0)-2gt(0)Oh(0) R

s(o)~~(o)+o~'(o)~(o)

-P

+OS(O)~'(O) i

Nilai eigen lnatriks J diperolelt dengan rnenggunakan persamaan (2.5.4):

diperoleh z =

-

p

+

h'

dan S =

-

17.p.

(0.0) N

Sel~ingga h,,? =1/2[(-p+/?')

+

(

P+

h . )]

XI = 11' dan h2= -p. . .

-

Karena 11 > 0 dan h2< 0, tnaka titik TI tidak stabil. Gmsbar 2. Bentuk kcstabilan tilik ! t a p pad.? model I (Canbur

dibunt dengnn rnutlg.gunakan Locbrj: Dimiwlkan filngsi

Titik Tetap T, d(l)=l+.Ndun ~ l ) = e . ~ , scrta pammeler P= 0,5).

Matriks J untnk titik tersebut adalah:

=[(l

Z.ll2)htRz)

-

2 i ( N 2 ) N 2 h ( R 2 ) ( I - 2 l l Z ) N h(R1)

I

Model 2

I / ~ . ~ ( R ~ ) + N ~ ~ ' ( N ~ ) ~ ( R ~ )

-

P + I / ~ N ~ ~ ' ( R ~ )

Dalam ~ncnga~~alisis model 2, perlu

0

I

diperhatikan asumsi-asulusi nod el 2 yang telal~

=

[

- 2 i f N d N 2 J l f ~ d _{dituliskan pada bab}_3._Sel~ingga_{model ulnuln pada}

1/2./)(R l + ~ 2 i ( ~ z ) h ( ~ d

- P

+ 1 / 2 . ~ 2 / ; ( ~ 2 ) _persa~naan_(4.1.1)_menjadi:

Dengan ~ite~nperl~atikan asulnsi asu~nsi pada model 1, dapat disilnpulkan baltwa :

- 2 i ( N 2 ) ~ 2 / 1 ( ~ 2 ) C 0

1/2/?(R~)

+

Nge(N2)h(R2) > 0

dan -p+1/2Ar2h'(R2) c 0 .

Sellingga dapat dituliskan bal~wa tanda dari elemen ~t~atriks J adalah:

J = [ -

+

-

O]

mengakibalkan :

z CO dan 6 >0.

Dengan t~iengynakan persalnaan (2.5.41, akau dihasilkan XICO dan h2<0.

Sehingga dapat disitnpulkan balnva titik tetap sang dintaksud adalal~ stabil. Dengan kata lain, keterlibalan urnpan balik jangka pendek pada siste~n akan dapat melnbantu lnempertal~ankan sistcln pada keadaan (N2,R2) ketika terjadi gangyan, atau dapat memulilkan sistem sel ke keadaan sebelu~li tcrjadi gangguan.

Dengan lnenga~nbil fungsi-fungsi yang

mcmenuhi asun~si nod el 1, Inaka kestabilan sisteln sel yang ntelibalkan utnpan balik jangka pendek &pal digatnbarkan sebagai berikut:

N = N I ~ ( R ) ( I

-

2 g ( R ) )

R

= -pR

+

l?(R)g(R)N (4.2.1)

Titik tetap inode1 2 diperoleh dengan cara lnenolkan persalnaan (4.2.1). yaitu:

1) ~ n t u k N = 0

NI?(R)(I - 2 g ( ~ ) ) = 0 Nl7(R)=O atau (1-2g(R))=O.

NI

= 0 atau ~ ~ = g " ( l l 2 ) . 2 ) Dan u n t u k ~ = 0

-pH

+

h ( R ) g ( R ) N = 0

dengan mensubstitusikan N = 0 diperoleh R = 0.

Sedangkan untuk R2 = g"(112) diperoleli

h ( R ) N R=-

28

mengakibalkan N2 = 2f31i2/17(R2).

Titik tetap yang diperoleh dari perhilungan di atas ada dua, yaitu TI = (0.0) dan T2 = (N2R2).

(16)

Titik Tetal) T,

Matriks J pada titik (0,O) adalah:

Nilai eigen untuk ~uatriks J di atas ditentukan dengan ruiiius pada persacnaau (2.5.4). Diperolel~

r

= -(11'+P) dan

S

=h'p. Sehingga nilai eigennya adalah ~ ~

hl=-p dan hz=-l1'. I

__-__A

Kedua nilai eigen yang diperoleh adalal~ negatif, Gntaihr 3. BEnluk keslabilan titik telap padn model 2. (gnmbnr d i b u d dcngan menggttnakan Locbi/: Dimiwkan fungsi

nlaka semua ini akan inengakibatkan titik TI

e.adan a(,)=c. R,.':scfin P=0.4), stabil.

Titili Tetap

T2

Matriks J pada titik tcrsebut adalah: Model 3

[

Dalam n~enganalisis niodel 3. perlu

,

= li(RzI(1- 2slR1) - ZNZYRIIS'IR~)+ NII;(RZJ(~ - diperhatikan keinbali asulusi

-

asunlsi yang J ~ l R ~ l s l R 2 ) - P + Y R Z I ~ ( R I J N Z + _{nle~nbangunnya seperti tercantu~u pada bab 3.}

Sel~ingga model uiuuln pada persaniaan (4.1.1)

-

~ N z ~ ( R I ) ~ ' ( R I )

I.

beruball menjadi:

.=[

O

~ ( R ~ J I Z

-

P + ~ ( R Z ) ~ ' ( R ~ I N , + ~'(R,).I/zN,

fi

= O N ) -2s(R)+(N)

Dengan mnemnperhatikan asumsi-asumsi pada R = -PR ++(N)g(R) (4.3.1)

inodel2, maka dapat dituliskan bal~uza: _{Titik tetap diperoleh dengan cara ~nenolkan}

-2Nzh(Rz)g'(Rz)

>

0 _{persalnaan (4.3. I), sbb:}

-P+I~(Rz)gs(R,)Nz < 0

dan 1) Untuk N = 0

/1(R2)/2 > 0. 4 ( ~ ) ( 1 - 2 g ( ~ ) ) = 0

Sellingga tanda dari elemen inatriks Jadalah: N, =0 atau RI =g1(1/2).

2) Dan untuk R = 0

Dengan n~ensubstitusikan N =O,diperoleh R=O,

L ' J

mengakibatkan r < 0 dan 8 < 0. Dengan mensubstitusikan pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas pada persamaan (2.5.4), menghasilkan hl>O dan h2<0. Dapat disin~pulkan bah~va titik (N2.R2) tidak stabil.

Berbeda dengan model 1 yang melibalkan unipan balik jangka pendek, niodel 2 yang tidak melibatkan uinpan balik justru stabil di titik tetap trivial dan tidak stabil di titik tetap nontrivialnya. Dengan kata lain, sisten~ akan menuju ke no1 atau tak l~ingga ketika terjadi gangyan. Artinya tanpa keterlibatan mupan balik di dalamnya, sistem tak mampu mcmpertahankan kelangsungan hidupnya, yang ditandai dellgall punal~nya subpopi~lasi sel asal dan sel matang. Kestabilan nod el 2 dapat diganibarkan sebagai berikut:

~ e r t i dengan n~ensubstitusikan R]-= g1(1/2) diperoleb

+(N) = 2pR.

Seliingga N2=2PR2/I~(Nz).

Seperti telal~ dinyatakan pada asu~nsi 111odel 3_ NO lnerupakan inaksi~nuin fungsi 4(.\). Pada kenyataannya terdapat beberapa kenlungkinan, yaitu:

1. Jika +(No)<2j3R, dapat dikatakan ball\\za tidak ada titik tetap nontrivial.

2 .Jika 4(No)=2PR, terdapat satu titik temp nontrivial yaitu (N,,Z). Kasus tersebut tidak diballas dalarn tulisan ini.

(17)

tersebut adalal~ N2, dan Nz2, dengan N2 1<No<Nz2.

Selanjutnya adalal~ ~uelakukan analisis untuk kasus 1 dan 3. Pelinearan terl~adap persalnaan (4.3.1) n~enghasilkan matriks J sbb:

~(NXI

- 2g(R))+

NII'(NXI

- ?g(R))

-2fiUW)

I

,

=[

I@)s(R)+ N ~ ' ( N ) ~ ( R ) - P + NI(N)S'(R) (N,n, Titili Tetap TI= (0,O)

J dievaluasi pada titik tetap (0.0):

~(011-

2 ~ ( o ) ) + 0.1, (0x1 -zs(o)) -zpl(o)o.i,(o)

,

I

li(0) 1 + 0 - p + o.li(o)g (0)

Gntrtbnr 4. Bcntok kostabilnn titik tetap pada niodel 3 ttntok

kvsus HNo)c2PR. (pambar dibuat denpal mcnggunakan

Locbi/: Dimisalkan f u n ~ s i d(f)=l"dan a(f)=c". sedu

P

=

0.5).

Sehingga z =-(h(O)+p dan 6 =h(O)p. Nilai 2. Titik Tzt=(N22rR~) eigen matriks J diperoleh dengan n~enggunakan

persalnaan (2.5.3) nleng~lasilkan dan h2=- Dengan n~ennperl~atikan pertaksa~uaan (4.3.2.1) K~~~~~ kedua nilai eigen yang diperolell dapat dituliskan bal~wa tanda dari elelnen tnatriks J

adalah negatif, ~naka dapat disitnpulkan ballwa titik 0

+

tetap TI stabil. adalal~: J =

[-

-1

Titili Tetap T2= (N2,R2) diperolel~ z < 0 dan 6

>

0, nlaka nilai eigennya

unt&

nlelillat kestabilannya, ,,,aka lnatriks adald~ Xt<O dan X2<0. Mengakibatkan titik T ~ I

dievaluasi pada titik tersebut: adalal~ stabil.

Galnbaran ulnuln secara biologi dari model 3

~ ( N ~ I - z . I z ) + N ~ ( N ~ I - I ) -2g'(R2)N21(N2)

]

R ( N ~ ) I I Z + N ~ I ; ( N ~ P / Z adalal~ dengan kontrol umpan balik jangka panjang

-PtN21r(N2)glfR2) terhadap diferensiasi sel sekaligus siste~n juga ~nenurunkan tingkat keluaran sel asal, siste~n akan

o

-

~ ~ ~ R z ) N z ~ ~ N z )

]

ke~nbali normal pada keadaan (N22,R2) kelika ada

h ( ~ ~ ) / 2 + N ~ ~ ' ( N ~ ) / Z - P + N ~ ~ ( N ~ ) ~ ( R ~ ) ' gangyan. Tetapi kalau gangguan tersebut

D~~~~~ mclllper~lat~~an asulllsi model 3, 1"enu"k" babaaknya sel lnalang sarnpai tingkat dapat dituliskan pertidaksaniaan (4.3.2.1): tertentu , ~naka siste~n tidak mampu untuk tnenjga

-2g'(Rz)N2h(N2) > 0 kelangsungan hidupnya.

-P

+ ~%.h(N2)g'(R?)

<

0

Nilai (h(N2)

+

N2/7(N2))/2 siillla dcngan q(N2)12 yang berdasarkan asutusi pada model 3 adalah negalif untuk N2>No, dan positif unluk N2<No. Selanjutnya akan dianalisis untuk kedua titik telap nontrivial.

1. Titili Tz1= (Nzl,Rz)

Dengan memperhatikan pertaksamaan-

pertaksamaan (4.3.2.1) dapal dituliskan ballwa tanda dari elenlen niatriks J adalah:

+

-

.

-R

(0,O)

--

dcngan

r

<

0 dan 6 < 0, maka nilai eigell X I < ~ d m ~ ~ , , , b ~ ~ 5. ~ ~ , , t , , k kedabilall titik tztap pada "~odd 3 itnlok

h2>0. Hal tersebut lnengisyaratkan ball~i,a titik T ~ I kasus +(No)>2pR. (Gunbar dibual denpan menggunakan

adalah tilik sadel (tidak stabil). hcbif, dengall fingsi d(t)=dR dan a(t)=c". seita paranictcr

(18)

(19)

GI

M9.r

aoc

KESTABILAN SISTEM PRODUKSI SEL

b&?

DENGAN UMPAN BALIK

AIH SALIMAH

JURUSAN MATEMATIKA

(20)

(21)

PENDAHULUAN

Tujuan Penulisan

TINJAUAN PUSTAKA

berikut:

f =

f

R+rC

(2.2.1)

(22)

PENDAHULUAN

Tujuan Penulisan

TINJAUAN PUSTAKA

berikut:

f =

f

R+rC

(2.2.1)

(23)

Suatu titik x yang ~ne~nenulli Xx)=O disebut titik kritis atau titik tetap. Sedangkan senlua titik lain yang bukan n~erupakan titik tetap disebut titik biasa.

[Verllulst, 19901

Bidang Fase

Diberikan SPD berikut:

Solusi SPD (2.4.1) ~nen~bentuk suatu kuwa berdilnensi tiga ( t , x, y )

.

Akan tetapi karena secara eksplisit t tidak ada dala~n sistem tersebut, maka setiap solusi sistenl (2.4.1) untuk to < t < t ,

membentuk suatu kuwa di bidang (x,y). Jelasnya, jika I bergerak dari to ke tl, gugus titik-titik

( x ( l ) , y ( t ) ) membentuk suatu kurva di bidang

(x,y), kunla ini disebut orbit (trajectory) dan bidang ( x a ) disebut bidang fase dari solusi tersebut.

[Hasibuan, 19861

Pelinearan

Anggap SPD berikut tak linear :

Fungsi

f

dan g ~nelnpunyai turunan parsial kontinu di 521.

Berikut ini akan dilakukan pelinearan terhadap SPD (2.5.1). Perhatikan unian Taylor di sekitar titik tetap ( ? , j ) berikut:

+-

T(?,3) (y-,$)

+

T,, ( x , y ) ,

ay

Dengan lim rli ( x . Y )

=o

(..v)->(.C..C) ( ( x

-

?) + (,J -

untuk i= 1,2.

Karena

f

(?,,$) dan g(?, ,$) mnerupakan tilik tetap SPD (2.5.1), ~uaka berlaku:

Scllingga SPD (2.5.1) dapat ditulis dalan~ bentuk:

t

Atau dapat dituliskan sebagai:

x - x

D e w .

z

.[

:I

Y - Y

Karena suku g ( 2 ) pada sisteln (2.5.2) sangat kecil dibandingkan suku linear J Z di sekitar titik tetap, nlaka sislen~ (2.5.2) dapat dianggap sebagai llan~piran yang ruemenuhi siste~n tak linear (2.5.1).

[Rindengan, 19991 Malriks J untuk sistenl ( 2 . 5 . 2 ) ~nerupakan matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik ( 2 , F )

dan didelinisikan sebagai: J =

~f

(?) =

~f

(x)

,;

I,

Bentuk

2

= J Z disebut pelinearan dari persamaan (2.5.1). Unluk SPD tak linear dua dimensi, J adalah ~nalriks berordo 2 s 2 . Nilai eigen dari J diperoleh dengan lnenyelesaikan persalnaan karakteristik

c(1) = d e l ( ~ -

hl)

= 0 . (2.5.3)

Misalkan J adalah lmlatriks segi berordo 2x2

dengan elemen-elcmennya sbb:

-

J lne~nenulli persamaan:

(24)

Aualisis Kestabilan Titik Tetal: _Kasus~ _3.~

2

_-46~.

<

₀.

Nilai eigen yang diperoleh adalah idlai eigen Nilai eigen pang diperolel~ dari persalnaan _{komplek;. Misalkan nilai eigen tersebut adalah} (2.5.4) lergantung dari nilai T~ 4 6 . _h₌_{a+ib, dengan}_a_{dan b adalab bilangan real}

Kasus 1. z2 -46 >O dan b>O. Sehingga sisteninya dapat diuliskan _sehapni._----

o--.

Nilai eigeli yang diperoleh adalah real dan berbeda

XI

# 12, sehingga solusi umumX(t) me~~ienul~i

x(!)=

c I ~ ~ , e h " + ~ ~ 1 ~ ~ e ~ l ~ (2.6.1)

[;I

= b:[

:I[;]

x=ax+by dengan CI dan cz serta vl dan v2 adalah konstanta atan .

y=-bx+ay. (2.6.3)

serta veklor eigen gang bersesuaian de~igan

masing-masing nilai eigennya. Kestabilan titik Ddaln kwrdinat Polar, x dan Y dapat din~atakan letap rncmpu~~yai tiga sifat. yaitu:

1. Nilai eigen negaliC (hl<O dan h2<O). Dengan lnengynakan persa~~~aan (2.6.1) diperoleh lim X(r) =

0.

sel~ingga titik tetap bersifat t+m

stabil.

2. Nilai eigen positif (h+O dan h2>0). Dengan ~nenggunakan persalllaan (2.6.1) diperoleh lim X(t) = w , sel~ingga ritik tetap bcrsifat I-*m

lidak st;~bil.

3. Nilai eigen berbeda tanda (hl<O dan hp-0). Dari persaliiaan (2.6.1) dapat dilil~at bal~wa

lim X(I) = 0 karcna h,

<

0 , dan

!-,a

lim X(t) = w karena h z > 0 . Dengan kata

1+m

lain, x(t) akan nienuju no1 sepanjang vektor v,

dan lnenuju tak l~ingga sepanjang vcktor vz. Titik tetap ini adalah titik sadel yang bersifat lidak stabil.

Kasus 2. z2 -46 = 0

Nilai eigen yang diperoleh adalah real ganda

Z

h, = h 2 = h =

-

sehingga solnsi uInunlnya 2 '

mnemenuhi

x,

(I) = danX, (I) = c2 (11~~ +i12)ehi

X(1) =x(l)+,Y2(l) . (2.6.2)

Kestabilan titik tetap mempunyai dua sifat, yaitu: 1. Nilai eigen negatif (hl<O dan h2<0). Dengan

mengguliakan persamaan (2.6.2) diperoleh lim X(I) = 0 , sehingga titik tetap bersifat I - 4 m

slabil.

2. Nilai eigen positif (hl>O dan h2>O). Dengall mengynakan persamaan (2.6.2) diperolel~

l i m X ( t ) = m , seldngga titik tetap bcrsifat , 4 m

. .

tidak stabil

Y sebagai x = rcos 0 , y = r s i n Q , dan tan8 =

-

sel~ingga diperoleh r2 =r2

+

y2 . (2.6.4)

Tumnan persamaan (2.6.4) terl~adap

r

dapat dituliskan sebagai

2ri. = 2x.t

+

2yL

= r i . + y ~ (2.6.5)

Dengan ~nensubstitusikan persaniaan (2.6.3) ke dalamnya, diperolel~

2 2

ri.=a(x + y ) = o r 2 + = o r

sebingga r(1) = r(0)en' (2.6.6)

Tumnan

O

terhadap t adalah:

x2 sec2(Q)i=xj-y;- (2.6.7)

Dengan mensubstitnsikan persalnaan (2.6.3) dan r 2 = x 2 sec2(Q) ke dalaln persaniaan (2.6.7) diperolel~

2 '

r 8 =-b(x2 + y 2 ) = -br2

Q=-b

sel~ingga Q(t) = -bt +Q(0) (2.6.8)

Dari persamaan (2.6.6) dau persalnaan (2.6.8) terdapat tiga kasns yang mnngkin terjadi pada titik tetap, tergantnng pada nilai a dan b. Kasus yang lnungkin itu ialah:

1. a<O. Pada kasus ini, r pada persaniaan (2.6.6) ~nemennl~i lim r(t) = 0, dan Q(1) pada per-

I+*

salnaan (2.6.8) akan berkurang jika b>O dsn bertanbah jika b<O. Hal ini menu~~jukan bal~wa titik tetap nlempakan titik spiral slabil dengan aral~ gerak searah jamln jam bila b>O dan berlawanan arah janiln jam bila b<O. 2. a>O. Pada kasns ini, r pada persa~~iaan (2.6.6)

(25)

MODEL SISTEM PRODUKSI SEL

(4

adalalr

p.

J'?

a

(26)

MODEL SISTEM PRODUKSI SEL

(4

adalalr

p.

J'?

a

(27)

bai~yaknya sel asal sejak sebelum fase aktif. Output sel asal dari fase pasif merupakan perkalian N(t)

dengan a ( I ) .

Laju Perubahan Banyaknya Sel Matang Terl~adap Waktu. Perubahan banyaknya sel matang dipengaruhi oleh tingkat keluaran sel iliatang

p

dan faktor pengatur d(1). Model mateinatis bagi banyaknya sel matang sama seperti l~alnya pada iuodel banyaknya set asal, model ini pun inerupakan selisih dari input dan output sel matang. Input sel matang merupakan perkalian dari a ( I ) , d ( f ) , dan N(1) yang sekaliys 111empakan input bagi sel prekursor. Sedangkan output sel matang adalal~ perkalian lingkat keluaran sel matang dengan banyaknya sel matang itu sendiri. Sehingga i~todel bagi banyaknya sel matang dapat dinyatakan dalam bentuk:

R = -pR(l) +Aa(t)d(I)N(l) (3.2.2)

Dengan menggabungkan persamaan (3.2.1)

dan (3.2.2), maka diperolel~ inodel siste~n produksi sel sebagai berikut:

N = - a ( t ) ~ ( t ) + 2 [ 1 - d ( t ) b ( t ) ~ ( t )

(3.2.3)

R = -pR(I)

+

Aa(t)d(t)N(t)

Dengan O<a(t)<l, O<p <l, dan O<d(l)<l. Per- samaan (3.2.3) ~nerupakan PDB tak linear.

Selanjutnya akan dipelajari tiga versi model yang dibuat berdasarkan pengaturan umpan balik jangka panjang dan jangka pendek. Umpan balik tersebut dapat ditentukan dengan menybah-ubah iungsi d(t) dan a ( t ) .

Model 1 (Melibatkan Urnpan Balik Jangka Pendel<). Model 1 dibuat berdasarkan asumsi berikut ini:

d ( t ) = g ( N )

a ( f ) = It(R).

Fuugsi g dan h adalal~ fungsi-fungsi bernilai real positif yang kontinu dan terturunkan serta memenul~i:

h(0) = h'>0 ,h(m)=O, h'(R)<O, R >O. ~ ( 0 ) = 0 , g(m)=l, g' (N)>O, N>O.

Dari asuinsi tersebnt dapat dipahami bal~wa banyaknya scl matang akan rnempengaruhi tingkat keluaran sel asal pada fase pasif. Pada akhimya akan meinpengaruld tingkat diferensiasi sel asal menjadi sel prekursor. Artinya ketika banyaknya scl matang menurun, siste111 akan menaikkan tiugkat keluaran sel asal, yang berarti sisteil~ juga

menurunkan banyaknya sel asal. Dengan

penurunan tersebnt maka tingkat diferensiasinya juga akan menurun. Hal ini sesuai dengan definisi umpan balik jangka pendek. Jelas bal~wa pada inodel 1 sistem melibatkan nmpan balik jangka pendek. Tingkat diferensiasi yang menurun akan menyebabkan sel asal pada fase aktif meningkat, yang berarti juga meningkatkan banyaknya sel asal pada rase pasif. Kemudian tejadi proses sebaliknya, begitu seterusnya.

Salah satu contoh untuk model 1 adalah siste~n sel darah merah sbb:

~ ( 1 ) = -cru(l) + c - " ( ' - ~ ) .

[Kii~ullel, 19861

dengan u(t) menyatakan banyaknya sel darah merah matang pada sistem.

Model 2 (Tanpa Keterlibatan Urnpan Balilc). Model 2 disusun berdasarkan asumsi berikut ini:

d ( f ) = s ( R )

a(1) = h(R).

Fungsi-fungsi

f

dan g adalah fungsi bernilai real positif yang kontinu dan terturunkan serta memenuld:

h ( ~ ) = h . > ~ , h(m)=O, h' (R)<O, R>O. g(O)=l, g(m)=O, g' (N)<O, Nzo.

Pada ~ l ~ o d e l ini, sisteiu akan berusal~a menaikkan tingkat keluaran sel asal clan tingkat diferensiasi sel ketika banyaknya sel matang menurun. Dengan kenaikan tersebut temyata &an menyebabkan banyaknya sel asat pada fase pasif menurun. Dalam sistem tidak ada upaya untuk inenyesuaikan tingkat keluaran sel dan tingkat diferensiasinya. Sehingga dapat dikatakan tidak ada peran ulnpan balik. Sepintas model ini tampak b a y s , karena sangat respon terhadap penurunan

banyaknya sel matang dengan berupaya

meningkatkan banyaknya sel matang melalui tingkat diferensiasi dan tingkat keluaran sel asal dari fase pasif. Nainun pada kenyataannya sisteill akan mengeksploitasi sel asal di fase pasif yang dapat berakibat fatal pada dirinya sendiri.

Model 3 (Melibatltan Urnpan Balik Janglca

Panjangf. Asulusi yang digunakan untuk

meiubentuk model 3 adalah:

d ( t ) = g ( R )

a(1) = h ( N )

Di111ana fungsi g dan h adalah fungsi bernilai real positif yang kontinu dan terturunkan serta memenuhi kriteria berikut:

(28)

jugs akan

PEMBAHASAN

N = cr([)N[l-2d(i)]

R = -pR +a(t)d(r)N (4.1.1)

+

dt adalal~:

kNe1-'d[ .

A-1 Dengan

0< k d F 1 , k€

R.

N = [l-2g(N)]Nh(R)

(4.1.2) R = -PR

+

Ng(N)h(R)

1) Untuk N = 0 ,

Rz= N2lr(Rz)/2P.

~(N)~J(R)+N&?."(R) -P+Ak(N)ir'(R) (,v,n)

I

(29)

jugs akan

PEMBAHASAN

N = cr([)N[l-2d(i)]

R = -pR +a(t)d(r)N (4.1.1)

+

dt adalal~:

kNe1-'d[ .

A-1 Dengan

0< k d F 1 , k€

R.

N = [l-2g(N)]Nh(R)

(4.1.2) R = -PR

+

Ng(N)h(R)

1) Untuk N = 0 ,

Rz= N2lr(Rz)/2P.

~(N)~J(R)+N&?."(R) -P+Ak(N)ir'(R) (,v,n)

I

(30)

Titilc Tetap T,

Matriks J untuk titik TI = (0,o) adalah:

I

(1- 2g(0))h(0)-2gt(0)Oh(0) R

s(o)~~(o)+o~'(o)~(o)

-P

+OS(O)~'(O) i

Nilai eigen lnatriks J diperolelt dengan rnenggunakan persamaan (2.5.4):

diperoleh z =

-

p

+

h'

dan S =

-

17.p.

(0.0) N

Sel~ingga h,,? =1/2[(-p+/?')

+

(

P+

h . )]

XI = 11' dan h2= -p. . .

-

Karena 11 > 0 dan h2< 0, tnaka titik TI tidak stabil. Gmsbar 2. Bentuk kcstabilan tilik ! t a p pad.? model I (Canbur

dibunt dengnn rnutlg.gunakan Locbrj: Dimiwlkan filngsi

Titik Tetap T, d(l)=l+.Ndun ~ l ) = e . ~ , scrta pammeler P= 0,5).

Matriks J untnk titik tersebut adalah:

=[(l

Z.ll2)htRz)

-

2 i ( N 2 ) N 2 h ( R 2 ) ( I - 2 l l Z ) N h(R1)

I

Model 2

I / ~ . ~ ( R ~ ) + N ~ ~ ' ( N ~ ) ~ ( R ~ )

-

P + I / ~ N ~ ~ ' ( R ~ )

Dalam ~ncnga~~alisis model 2, perlu

0

I

diperhatikan asumsi-asulusi nod el 2 yang telal~

=

[

- 2 i f N d N 2 J l f ~ d _{dituliskan pada bab}_3._Sel~ingga_{model ulnuln pada}

1/2./)(R l + ~ 2 i ( ~ z ) h ( ~ d

- P

+ 1 / 2 . ~ 2 / ; ( ~ 2 ) _persa~naan_(4.1.1)_menjadi:

Dengan ~ite~nperl~atikan asulnsi asu~nsi pada model 1, dapat disilnpulkan baltwa :

- 2 i ( N 2 ) ~ 2 / 1 ( ~ 2 ) C 0

1/2/?(R~)

+

Nge(N2)h(R2) > 0

dan -p+1/2Ar2h'(R2) c 0 .

Sellingga dapat dituliskan bal~wa tanda dari elemen ~t~atriks J adalah:

J = [ -

+

-

O]

mengakibalkan :

z CO dan 6 >0.

Dengan t~iengynakan persalnaan (2.5.41, akau dihasilkan XICO dan h2<0.

Sehingga dapat disitnpulkan balnva titik tetap sang dintaksud adalal~ stabil. Dengan kata lain, keterlibalan urnpan balik jangka pendek pada siste~n akan dapat melnbantu lnempertal~ankan sistcln pada keadaan (N2,R2) ketika terjadi gangyan, atau dapat memulilkan sistem sel ke keadaan sebelu~li tcrjadi gangguan.

Dengan lnenga~nbil fungsi-fungsi yang

mcmenuhi asun~si nod el 1, Inaka kestabilan sisteln sel yang ntelibalkan utnpan balik jangka pendek &pal digatnbarkan sebagai berikut:

N = N I ~ ( R ) ( I

-

2 g ( R ) )

R

= -pR

+

l?(R)g(R)N (4.2.1)

Titik tetap inode1 2 diperoleh dengan cara lnenolkan persalnaan (4.2.1). yaitu:

1) ~ n t u k N = 0

NI?(R)(I - 2 g ( ~ ) ) = 0 Nl7(R)=O atau (1-2g(R))=O.

NI

= 0 atau ~ ~ = g " ( l l 2 ) . 2 ) Dan u n t u k ~ = 0

-pH

+

h ( R ) g ( R ) N = 0

dengan mensubstitusikan N = 0 diperoleh R = 0.

Sedangkan untuk R2 = g"(112) diperoleli

h ( R ) N R=-

28

mengakibalkan N2 = 2f31i2/17(R2).

Titik tetap yang diperoleh dari perhilungan di atas ada dua, yaitu TI = (0.0) dan T2 = (N2R2).

(31)

Titik Tetal) T,

Matriks J pada titik (0,O) adalah:

Nilai eigen untuk ~uatriks J di atas ditentukan dengan ruiiius pada persacnaau (2.5.4). Diperolel~

r

= -(11'+P) dan

S

=h'p. Sehingga nilai eigennya adalah ~ ~

hl=-p dan hz=-l1'. I

__-__A

Kedua nilai eigen yang diperoleh adalal~ negatif, Gntaihr 3. BEnluk keslabilan titik telap padn model 2. (gnmbnr d i b u d dcngan menggttnakan Locbi/: Dimiwkan fungsi

nlaka semua ini akan inengakibatkan titik TI

e.adan a(,)=c. R,.':scfin P=0.4), stabil.

Titili Tetap

T2

Matriks J pada titik tcrsebut adalah: Model