BAB II METODE DISTRIBUSI MOMEN 2.1 Pendahuluan

II-1

2.1

Pendahuluan

Metode distribusi momen diperkenalkan pertama kali oleh Prof. Hardy Cross pada yahun 1930-an yang mana merupakan sumbangan penting yang pernah diberikan dalam analisis struktur balok menerus (continuous beam) dan portal (rigid frame). Dalam analisis permulaan (preliminary analyzes) dan perancangan suatu struktur sederhana atau bagian dari suatu struktur yang besar, metode ini merupakan metode yang sangat memuaskan untuk memudahkan dalam memberikan gambaran tentang repons struktur berupa gaya dan perubahan bentuk (deformation).

2.2

Konsep Dasar

Jika suatu struktur balok menerus menerima beban kerja atau penurunan pada tumpuan, rotasi pada sumbu batang yang tidak diketahui (unknown member-axis rotation) tidak terjadi dalam respon perubahan bentuknya. Akan tetapi, titi buhul portal dapat atau mungkin tidak mempunyai kebebasan dari jumlah translasi yang tidak diketahui. Meskipun metode distribusi momen dapat digunakan untuk untuk menganalisis portal dengan translasi yang tidak diketahui, namun diperlukan proses bertahap untuk menyelesaikannya. Oleh karena itu, berikut ini diberikan konsep dasar tentang dasar pemikiran bahwa suatu struktur tidak mempunyai rotasi sumbu batang yang tidak ketahui.

Respon perubahan bentuk dari suatu balok menerus atau portal tanpa translasi titik buhul yang tidak diketahui dinyatakan dengan rotasi titik buhul yang belum diketahui yaitu θB, θC, dan θD seperti ditunjukkan pada

dan D untuk membuat kemiringannya relatif datar seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1(b) dan (d). Pada kenyataannya, besar dan arah dari momen pengunci ini diketahui dari beban yang bekerja atau penurunan tumpuan. Jika momen pengunci pada salah satu titik buhul dilepas, maka titik buhul akan berotasi. Rotasi ini menyebabkan perubahan tidak hanya pada momen diujung batang dekat titik buhul yang dilepasm tetapi juga pada momen pengunci pada titik buhul bersebelahan dikedua ujung titik buhul yang dilepas tersebut. Jika masing-masing titik buhul dilepas secara berurutan dan dikunci kembali dan kemudian proses ini diulangi, suatu saat akan dicapai dimana setiap titik buhul mencapai suatu respon perubahan bentuk akhir yang tetap. Momen pengunci ini selanjutnya akan didistribusikan ke seluruh struktur pada masing-masing jumlah rotasi titik buhulnya, sehingga metode ini dinamakan sebagai distribusi momen.

(a)

(b)

(c)

(d)

Gambar 2.1 Kondisi jepit dalam metode distribusi momen

θB θC θD

A

B C D

E

A

B C D

E

A

B

C D

E B’

A

B

C D

E

θB

θC θD

2.3

Angka Kekakuan dan Induksi (Stiffness and Carry-Over

Factors)

Untuk mengembangkan detail tentang prosedur metode distribusi momen, perlu diketahui beberapa hal yang akan dikemukakan berikut ini.

Jika momen MA dikerjakan pada ujung sendi dari suatu balok yang

memiliki momen inersia seragam, dimana menumpu pada sendi pada salah jungnya dan jepit di ujung lainnya seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2(a), maka pada ujung sendi akan terjadi rotasi sebesar θA dan momen MB pada

ujung jepitnya.

(a)

(b)

(c)

Gambar 2. 2 Penentuan angka kekakuan dan angka induksi ujung jepit

Diagram momen lentur balok tersebut dapat diuraikan menjadi seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2(b) dan (c). Berdasarkan teorema balok konjugasi, besarnya θB1 dan θB2 dapat ditentukan dan θB sama dengan nol.

θB = θB1 – θB2 =

EI 3

L M EI 6

L

M_{A B}

− = 0

diperoleh :

A MA

MB

θA

B L

EI = konstan

MA

θA1 θB1

EI 3

L M_A

EI 6

L MA

MB

θA2 θB2

EI 3

L M_B

EI 6

MB = M_A

2 1

(2.1)

Selanjutnya dengan teorema balok konjugasi pula : θA = − θA1 + θA2 =

EI 6

L M EI 3

L

M_{A B}

+

− = 0

Substitusi persamaan 2.1 ke dalam persamaan di atas akan diperoleh :

MA = A

L EI

4 _θ

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

(2.2)

Jika selanjutnya ujung jauh jepit pada balok Gambar 2.2(a) diganti dengan ujunng sendi seperti pada hambar 2.3, dimana MB = 0 maka :

MA = A

L EI

3 _θ

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

(2.3)

Gambar 2. 3 Angka kekakuan ujung sendi

Selanjutnya, nilai dalam kurung dalam persamaan 2.2 dan 2.3 adalah angka kekakuan (stiffness factor) masing-masing untuk ujung jepit dan ujung sendi. Angka kekakuan ini didefinisikan sebagai momen di dekat ujung jauh (far-end moment) untuk menyebabkan satu unit rotasi di dekat

ujung jauh. Kemudian nilai

2 1

+ dalam persaman 2.1 adalah angka induksi

(carry-over factor) yang mana didefinisikan sebagai perbandingan momen pada ujung jauh jepit terhadap momen pada ujunng dekat yang mengalami rotasi.

A

MA θ_A

B L

EI = konstan

2.4

Angka Distribusi (Distribution Factors)

Angka distribusi dapat didefinsikan sebagai hasil bagi dari kekakuan suatu batang terhadap jumlah kekakuan batang-batang lainnya pada titik buhul yang bersangkutan.

Jika terdapat beberapa batang suatu struktur pada titik buhul tertentu (gambar 2.4), akibat adanya rotaasi ujung-ujung batangnya akibat beban yang bekerja, momen pengunci (Mo) yang bekerja harus didistribusikan secara proporsional ke masing-masing batang sesuai dengan angka kekakuannya.

Gambar 2. 4 Angka distribusi pada suatu struktur

Persyaratan keseimbangan pada titik buhul A adalah :

MAB + MAC + MAD – Mo = 0

Dimana momen-momen di titik A adalah :

MAB =

( )

A AB

AB

L EI 4

θ

MAC =

( )

A AC

AC

L EI

4 _θ

Mo

θA

Α

B

C D

θA

MAD =

( )

A AD

AD

L EI 4

θ

Jika bahan struktur tersebut adalah sama, maka momen pengunci, Mo, dapat ditulis :

Mo = 4EθA ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ +

AD AD AC AC AB AB

L I L I

L I

Jika diambil bahwa

L I

= K, maka persamaan di atas dapat ditulis :

Mo = 4EθA

Σ

K

Atau :

∑

K M_o

= 4EθA

Sehingga momen ujung masing-masing batang yang melalui titik buhul A adalah :

MAB = AB Mo

K K

∑

= (DF)AB Mo

MAC = o ABC

M K K

∑

= (DF)AC Mo (2.4)

MAD = o AD _M

K K

∑

= (DF)AD Mo

Nilai

∑

∑

∑

K

K , K K , K

KAB AC AD

selanjutnya disebut dengan angka distribusi

(distribution factor/DF) masing-masing untuk batang AB, AC dan AD. Untuk memenuhi persyaratan keseimbangan pada titik buhul, jumlah angka distribusi pada suatu titik buhul adalah harus sama dengan satu.

(DF)AB + (DF)AC + (DF)AD = 1

2.5

Momen Ujung Jepit (Fixed – End Moment)

dinamakan dengan balok ujung jepit (fixed-end beam). Momen yang bekerja akibat beban luar ini disebut dengan momen ujung jepit (fixed-end moment). Beberapa nilai momen ujung jepit untuk balok prismatis diberikan pada Tabel 2.1.

Tabel 2. 1 Beberapa momen ujungjepit (FEM)

FEMAB Pembebanan FEMBA

2 2 L Pab -2 2 L b Pa 12 wL2 -12 wL2 30 wL2 -30 wL2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − 2 2 2 L a 3 L a 8 6 12 wL - ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − L a 3 4 12 wL2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − L a 3 5 L 60 wa3 - _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

− ₂2

2 L a 3 L a 10 16 60 wa 96 wL 5 2 -96 wL 5 2

-

(

)

₂

L M b a 2

b − -

(

)

₂

L M a b 2 a −

(

L a

)

L Pa

− -

(

L a

)

L Pa − P L a b A B w L A B w L

A B

w

(L – a)

A _a B

w

(L – a)

A B

a

w

(L/2)

A B

(L/2)

M a

A b B

L

P L – 2a

a a

A B

Tabel 2. 1 Beberapa momen ujungjepit (FEM) (Lanjutan)

FEMAB Pembebanan FEMBA

(

)

2 2 2

L 2

b L Pb −

8 wL2

128 wL 9 2

128 wL 7 2

2.6

Aplikasi Analisis Struktur Statis Tak Tentu Dengan Metode

Distribusi Momen

2.6.1 Struktur balok menerus

Contoh 1. Tentukan diagram momen lentur dan gaya lintang dari struktur balok menerus seperti pada Gambar 2.5.

Gambar 2.5 Contoh aplikasi metode distribusi momen untuk struktur balok menerus

Prosedur analisis struktur balok dengan metode distribusi momen meliputi menentukan momen ujung jepit (FEM), angka kekakuan dan angka distribusi.

Momen Ujung Jepit

B P

L

a b

A B

w L A

w L/2 A

L/2

w L/2

A

L/2

24 t 3 t/m

20 m 10 m 10 m

C B

A

FEMAB = +

(

3 202

)

12

1 _×

= 100 t.m (berlawanan arah jarum jam)

FEMBA = -

(

3 202

)

12

1 _×

= 100 t.m (searah jarum jam)

FEMBC = +

(

₂

)

(

202 102

)

20 2

10 24

− ×

×

= 90 t.m (berlawanan arah jarum jam)

FEMCB = 0(sendi)

Angka Kekakuan

Untuk memudahkan dalam penghitungan angka kekakuan dapat dilakukan dengan cara membandingkan relative antara angka kekakuan satu batang dengan batang-batang lainnya, sehingga disebut juga angka kekakuan relative. Dalam hal ini cukup hanya menghitung angka kekakuan dari batang-batang yang bertemu pada satu titik buhul.

SFBA : = SFBC =

( )

20 EI 3 4

:

(

)

20 EI 2 3

=

( )

20 EI 12

:

( )

20 EI 6

= 2 : 1

Angka Distribusi

DFBA =

(

)

1 2

2

+ = 0.67

DFBC =

(

)

1 2

1

+ = 0.33

Selanjutnya momen-momen pada tiap-tiap batang dihitung seperti disajikan dalam Tabel 2.2.

Tabel 2.2 Proses penghitungan metode distribusi momen

Titik Buhul A B C

Batang AB BA BC CB

Angka Distribusi (DF) - 0.67 0.33 - Tahapan 1 FEM +100 -100 +90 0

+6.6 +3.4

Induksi +3.3

Tahapan 2 - - - -

Total Akhir +103.3 -93.4 +93.4 0

Hasil penghitungan momen-momen ujung batang dan reaksi gaya akibat beban luar dapat digambarkan dalam diagram benda bebas (free body diagram) seperti ditunjukkan pada Gambar 2.6.

(a)

(b)

Gambar 2. 6 Diagram benda bebas struktur balok menerus (a) akibat beban luar (b) akibat momen ujung

Reaksi gaya pada tumpuan dan momen lentur dihitung dengan cara superposisi dari Gambar 2.6(a) dan (b).

RA,V = 30 + 0.495 = 30.495 t.m

RB,V = 30 – 0.495 +12 + 4.67 = 46.175 t.m

RC,V = 12 – 4.67 = 7.33 t.m

Kontrol resultante keseimbangan gaya arah vertikal : 30.495 + 46.175 + 7.33 – (30 x 20) – 24 = 0 Æ OK!

(a)

(b)

Gambar 2. 7 (a) Diagram gaya lintang (b) Diagram momen lentur

Momen lentur positif pada bentang AB ditentukan pada jarak x dari tumpuan A dimana gaya lintangnya adalag nol, sebagai berikut :

103.3

B

A B C

24 t 3 t/m

B

A B C

93.4 93.4

12 12

30 30

0.495 0.495 4.67 4.67

30.495

29.505 16.67

7.33 (-)

(-)

(+) (+)

A B

C D

E

103.3 93.4

x

(+) (+)

(-) (-)

SFx = RA,V – q.x = 0 Æ x =

3 495 . 30 q

R_A,V

= = 10.165 m (dari tumpuan A)

Maka :

Mx = RA,V.x –

2 x . q 2

+ MAB

= (30.495 _x 10.165) -

(

)

2

165 . 10

3× 2

- 103.3 = +51.691 T.m

Sedangkan momen lentur positif pada bentang BC (titik E : ditengah bentang) ditentukan sebagai berikut :

ME = RB,V(kanan).

2 L

+ MAB = (16.67 x 10) – 93.4 = +73.3 T.m

2.6.2 Struktur balok menerus pada perletakan elastis

Bila suatu struktur balok dengan konstruksi seperti pada Gambar 2.8 dimana pada perletakan diujung C dapat dianalogikan bahwa balok tersebut didukung oleh perletakan elastik seperti pada Gambar 2.9.

(a)

(b)

Gambar 2. 8 Struktur balok menerus di atas perletakan elastik

Dalam hal ini letak ujung C akan dipengaruhi oleh defleksi batang DE. Bila ujung C terletak di tengah batang DE, maka angka pegas (spring

B A

C

LAB LBC

P1 P2

B A

D, E D E

C

LAB

LBC L_DE

constant) ddiberikan dalam persamaan 2.5a. namun, ujung C dapat pula didukung oleh suatu batang dari atas (tie-rod), maka keadaan demikian ini mempunyai angka pegas seperti disajikan dalam persamaan 2.5b.

t =

( )

3

L EI 48

(2.5a)

t =

( )

L AE

(2.5b)

(a)

(b)

(c)

Gambar 2. 9 Analogi balok di atas perletakan elastik

Bila defleksi ujung C belum diketahui, maka analisis balok pada Gambar 2.9(a) merupakan superposisi dari dua tahap seperti pada Gambar 2.9(b) dan (c) dan diberikan dalam persamaan 2.6. Pada tahap pertama reaksi pada perletakan di C ditentukan terhadap beban luar (Gambar 2.9(b)), selanjutnya beban luar ini tidak diperhitungkan dalam tahap kedua dimana reaksi pada tumpuan C ditentukan berdasarkan hanya akibat defleksi.

RC =t.∆C

∆C = n1∆’C

RC =ROC + n1R’C (2.6)

A

B

C

P1 P2

t ∆C

RC

A

B

C

P1 P2

ROC

A

B C ∆'C

Dan nilai n1 yang belum diketahui dapat dihitung sebagai berikut :

t ∆C= ROC + n1R’C

t n1∆’C= ROC + n1R’C (2.6a)

n1(R’C- t.∆’C )+ ROC = 0

n1 =

C C

o C

' R ' . t

R

−

∆ (2.6b)

Maka momen akhir total adalah :

M = Mo + n1 M’ (2.7)

Contoh 2. Tentukan momen dan reaksi pada tumpuan dari struktur balok menerus seperti pada Gambar 2.10.

E = 20 _x 106 kN/m2; I = 2 _x 10-3 m4

Tahap I: diasumsikan bahwa tidak terjadi defleksi pada ujung C dan dalam penghitungan momen ujung jepit hanya akibat beban luar.

FEMBA =

(

10 62

)

8 1

×

− = -45 kN.m

FEMBC =

(

30 6

)

8 1

×

+ + _⎢⎣⎡

(

30×6

)

_⎥⎦⎤ 8

1 2 1

= +33.75 kN.m

Angka kekakuan :

SFBA : SFBC =

( )

6 EI 3

:

( )

6 EI 3

= 1 : 1

Angka distribusi :

DFBA =

1 1

1

+ = 0.5

DFBC =

1 1

1

+ = 0.5

A

B

C

10 kN/m 30 kN

t = 5 x103 kN/m

6 m 3 m 3 m

Tabel 2.3 Proses penghitungan metode distribusi momen Tahp I

Titik Buhul A B C

Batang AB BA BC CB

Angka Distribusi (DF) - 0.5 0.5 - Tahapan 1 FEM 0 -45 +33.75 0

+5.625 +5.625

- - - -

Jumlah Mo 0 -39.375 +39.375 0

Gambar 2. 10 Diagram benda bebas Tahap-I

RoC =

6 375 . 39 2 30

− = +8.4375 kN

Tahap II: diasumsikan bahwa defleksi pada ujung C, ∆’C = 1 cm (= 0.01

m) dan dalam penghitungan momen ujung jepit beban luar tidak dihitung lagi.

FEMBC =

( )

(

)(

₂

)

(

)

3 6

2 C

6

01 . 0 10 2 10 20 3

L ' EI

3 × × −

+ =

+ ∆ = +33.33 kN.m

Tabel 2.4 Proses penghitungan metode distribusi momen Tahap II

Titik Buhul A B C

Batang AB BA BC CB

Angka Distribusi (DF) - 0.5 0.5 - Tahapan 1 FEM 0 +33.333 0

-16.667 -16.667

- - - -

Jumlah M’ 0 -16.667 +16.667 0

Gambar 2. 11 Diagram benda bebas Tahap II

R’C =

6 667 . 16

− = -2.778 kN

A C B B

10 kN/m

30 kN 39.375 _39.375

36.5625 21.5625

23.4375

RoC = 8.4375

A C B B

16.667 _16.667

2.778 2.778

2.778

Menggunakan persamaan 2.6(a) diperoleh :

n1 =

(

) (

)

778 . 2 01 . 0 5000

4375 . 8

− − ×

+

= 0.16

Momen akhir total dihitung menggunakan persamaan 2.7 :

MBA = MoBA + n1 M’BA = -39.375 + (0.16)(-16.667) = -42.0395 kN

MBC = MoBC + n1 M’BC = +39.375 + (0.16)(16.667) = +42.0395 kN

Gambar 2. 12 Diagram benda bebas Contoh-2 2.6.3 Struktur dengan penurunan pada perletakan

Metode distribusi momen dapat juga digunakan untuk menganalisis struktur balok atau portal yang mengalami penurunan pada perletakannya (support settlemennt). Akibat dari penurunan atau perpindahan posisi pada perletakan ditunjukkan pada Gambar 2.13.

Gambar 2. 13 Kontruksi portal akibat penurunan pada perletakan

A C B B

10 kN/m

30 kN 42.04 _42.04

37.007 22.007

22.993 7.993

A B C

D

E B’

E’

∆v

∆v

∆h

P1 Pn

(EI) (EI)

(EI)

(EI)

hAD hBE

Akibat perpindahan posisi perletakan E, baik vertikal dan horisontal, terjadi momen ujung yang dapat digambarkan seperti pada Gambar 2.14. Ujung B mengalami penurunan sebesar D, untuk kedua ujung adalah terkekang (jepit) momen ujung yang ditentukan seperti pada persamaan 2.8a, dimana momen ujung B (MB) adalah sama besar dan arahnya dengan

MA. Sementara bila salah satu ujungnya adalah sendi (Gambar 2.14b),

momen ujung diberikan pada persamaan 2.8b.

(a)

(b)

Gambar 2. 14 Konsep balok akibat penurunan pada perletakan

MA = MB =

( )

₂

L EI

6 ∆

+ (2.8a)

MB =

( )

₂

L EI

3 ∆

− (2.8b)

Contoh 3. Gambarkan diagram gaya lintang, momen lentur dan gaya normal dari konstruksi portal seperti pada Gambar 2.15. Perletakan E mengalami perpindahan posisi vertikal (∆v)10 cm dan perletakan D

bergeser (∆h) 2.5 cm ke kiri. Nilai modulus elastisitas (E) bahan 2 x 108

kN/m2, dan momen inersia penampang (I) 6 _x 10-5 m4.

Angka kekakuan :

SFAD =

(

)

6 EI 8 6

EI 2 4

=

A B

∆

(EI) L V

V MA(+)

MB(+)

B C

∆

(EI)

Gambar 2. 15 Kontruksi portal akibat penurunan pada perletakan untuk Contoh 3

SFAB = SFBA =

(

)

6 EI 4 12 EI 2 4 =

SFBC =

(

)

6 EI 12 EI 2 3 =

SFBE =

( )

6 EI 6 EI 4 =

SFAD : SFAB : SFBA : SFBC : SFBE = 8 : 4 : 4 : 1 : 4

Angka distribusi :

DFAD =

4 8

8

+ = 0.7; DFAB =

4 8

4

+ = 0.3

DFBA =

4 1 4

4

+

+ = 0.44; DFBC =

4 1 4

1

+

+ = 0.12

DFBE =

4 1 4

4

+

+ = 0.44

Momen ujung jepit :

FEMDA = FEMAD = +

(

)

(

)

2 5 8 2 h 6 025 . 0 10 6 10 2 2 6 h EI 2

6 × × × × −

=

∆

A

B

C

D _E

B’ E’ ∆v ∆v ∆h (2EI) (2EI) (EI) (2EI) 6 m

12 m 12 m

q = 10 kN/m

= + 100 kN.m

FEMAB = +

12 qL2

+

(

₂

)

v L EI 2 6 ∆ =

(

) (

)

2 5 8 2 12 10 . 0 10 6 10 2 2 6 12 12

100 × × × × −

+ × +

= + 220 kN.m

FEMBA =

12 qL2 − +

(

)

2 v L EI 2 6 ∆ =

(

) (

)

2 5 8 2 12 10 . 0 10 6 10 2 2 6 12 12

100 × × × × −

+ × −

= -20 kN.m

FEMBC =

8 qL2 +

(

)

2 v L EI 2 3 ∆ − =

(

) (

)

2 5 8 2 12 10 . 0 10 6 10 2 2 3 8 12

100× ₋ × × × × −

+

= +130 kN.m

Tabel 2.5 Distribusi momen Contoh 3 Titik

Buhul D A B E C

Batang DA AD AB BA BC BE EB CB

DF 0.7 0.3 0.44 0.12 0.44 - -

FEM +100 +100 +220 -20 +130 0 0 0

-112 -224 -96 -48

-13.7 -27.3 -7.4 -27.3 -13.7

+4.8 +9.6 +4.1 +2.05

-0.45 -0.9 -0.25 -0.9 -0.45

+0.16 +0.31 +0.14 +0.07

-0.03 -0.01 -0.03 -0.015

Jumlah -7.04 -114.1 +114.1 -94.1 +122.3 -28.2 -14.2 0

(a)

(b)

(c)

20.2 20.2

7.04

114.1 114.1

20.2 20.2

14.2

28.2

7.1 7.1

7.1 7.1

94.1 _122.3

61.7

61.7 61.7

58.3 128.5 70.2 49.8

128.5

E

x1 = 6.17 m

A B C

D

(-) (-)

(-) (-)

(+) (+)

20.2 7.1

70.2 61.7

49.8 58.3

x2 = 4.98 m

A

B

C

D E

(-) (-)

(-) (-)

(+) (+)

7.04 114.1

114.1

122.3 94.1

14.2

28.2 76.24

124..1

(d)

Gambar 2. 16 (a) Diagram benda bebas (b) Diagram gaya lintang (c) Diagram momen lentur (d) Diagram gaya normal Contoh 3

2.6.4 Struktur Dengan Beban Simetris

Suatu struktur yang mempunyai geometri dan beban simetris seperti ditunjukkan pada Gambar 2.17, dalam analisis strukturnya dapat ditentukan hanya dengan meninjau setengah bentangnya. Sehingga dimungkinkan terdapat modifikasi nilai angka kekakuannya.

(a)

(b)

Gambar 2.17 Contoh aplikasi metode distribusi momen untuk struktur balok menerus

Pada Gambar 2.17(a) dan (b), struktur dapat ditinjau setengah bentang. Sehingga nilai angka kekakuan batang BC pada Gambar 2.17(a) adalah

E

A B C

D

(-) (-)

(-)

61.7 128.5

7.1 20.2

(-)

P1

q

L1

C B

A (EI) (EI)

P1 q

L2 L1

(EI) D

P1

q

L1

C B

A _{(EI) (EI)}

P1 q

L2 L1

(EI) D

L2

( )

2

BC

L EI 2

. Sedangkan untuk Gambar 2.18(b), titik C dapat dimisalkan

sebgai jepit dengan angka kekakuan normal (

( )

2 BC

L EI 4

).

Contoh 4. Distribusikan momen-momen ujung dari konstruksi portal seperti pada Gambar 2.19.

Gambar 2.18 Contoh 4

Analisis struktur di atas dapat hanya meninjau setengah bentang saja.

Angka kekakuan :

SFBA =

( )

8 EI 9 8

EI 3 3

=

SFBC =

(

)

8 EI 4 8

EI 2 2

= (setengah bentang BC)

SFBA : SFBC =

8 EI 4 : 8 EI 9

= 9 : 4

Angka distribusi:

DFBA =

4 9

9

+ = 0.69; DFBC =

4 9

4

+ = 0.31

Momen ujung jepit :

FEMBA = -

( )( )

8 8 24 2

= - 192 kN.m

FEMBC = +

( )( )( )

₂ 2

8 4 4 40

=+40 kN.m

Pelu diperhatikan bahwa, dalam penghitungan momen ujung, bentang yang diperhitungkan adalah tetap bentang penuh (bukan setengah bentang BC).

24 kN/m

8 m

C B

A (3EI) (2EI)

40 kN

4 m 8 m

(3EI) D 24 kN/m

Tabel 2.6 Distribusi momen Contoh 4 Titik Buhul A B

Batang AB BA BC DF 0.69 0.31

FEM 0 -192 +40 +104.9 +47.1

Jumlah 0 -87.1 +87.1

2.6.5 Struktur Portal Tanpa Translasi Titik Buhul

Aplikasi metode momen distribusi untuk analisis struktur portal tanpa mengalami translasi titik buhul (tidak dapat bergoyang), pada dasarnya adalah sama dengan seperti yang diuraikan pada struktur balok menerus. Namun, pada struktur portal jumlah batang yang bertemu pada satu buhul sering lebih dari dua batang. Pada beberapa kasus, terdapat ketidakseimbangan momen pada titik buhul akibat momen-momen ujung batang yang melalui titik buhul tersebut. Resultante momen yang tidak seimbang ini kemudian didistribusikan ke beberapa ujung batang sesuai dengan angka distribusinya masing-masing.

(a)

(b)

Gambar 2. 19 Kontruksi portal yang tidak menyebabkan goyangan (tanpa translasi titik buhul)

A

B

C

D E

(EI)

(2EI)

(EI)

(2EI) q

A _B

D E

(EI) (2EI)

(EI)

Konstruksi portal yang tidak dapat bergoyang ini dapat dikarenakan bila portal adalah simetris secara geometris dan beban yang bekerja juga simetris, atau portal terhubungkan dengan konstruksi lainnya yang tidak dapat menyebabkan bergoyang seperti ditunjukkan pada Gambar 2.19.

Contoh 5. Distribusikan momen-momen ujung dari konstruksi portal seperti pada Gambar 2.20, dan gambarkan diagram gaya lintang dan momen lenturnya.

Gambar 2. 20 Contoh 5

Angka kekakuan :

SFBC =

(

)

5 EI 8 5

EI 2 4

=

SFBD =

( )

5 EI 4 5 EI 4

=

SFBC : SFBD =

5 EI 4 : 5 EI 8

= 8 : 4

Angka distribusi:

DFBA =

4 8

8

+ = 0.67; DFBC =

4 8

4

+ = 0.33

Momen ujung jepit :

FEMBA = -

(

36×1.5

)

= -54 kN.m (overhang)

A _B

D

C (2EI)

(EI)

1.5 m

36 kN 64.8 kN/m

5 m

FEMBC =- FEMCB =

(

)( )

12 5 8 .

64 2

=+135 kN.m

Tabel 2.7 Distribusi momen Contoh 5

Titik Buhul B C D

Batang BA BC BD CB DB DF - 0.67 0.33 - -

FEM -54 +135 0 -135 0

-54 -27

Induksi -27 -13.5

Jumlah -54 +81 -27 -162 -13.5

(a)

(b) (c)

x = 8 . 64

8 . 145

= 2.25 m

A B

D

C

36 kN _{64.8 kN/m}

B B

54 81 162

27

13.5 36

8.1

8.1

8.1 8.1

145.8 178.2

181.8 181.8

A B

D

C 145.8

178.2 36

8.1 (+) (-)

(-) (-)

A

B

D

C 2.25 m

81 162

83.025

13.5 27

54

(+) (-)

(-) (-)

Momen lentur pada jarak x:

Mx = -81 + 145.8 (2.25)

-

(

64.8

)(

2.25

)

2

2 1

= 83.025 kN.m

(d)

Gambar 2. 21 (a) Diagram benda bebas (b) Diagram gaya lintang dan (c) Diagram momen lentur (d) Diagram gaya normal Contoh 5

Contoh 6. Distribusikan momen-momen ujung dari konstruksi portal seperti pada Gambar 2.22, dan gambarkan diagram gaya lintang dan momen lenturnya.

(a)

(b)

Gambar 2. 22 Contoh 6

Konstruksi adalah simetris secara geoemtris dan pembebanan, sehingga dapat dianalisis hanya dengan meninjau setengah bentang seperti ditunjukkan pada Gambar 2.22(b). Dalam hal ini pada titik buhul B harus

A B

D

C 8.1

181.8 (-)

(-)

A

D (EI)

(4EI) q = 45 kN/m

B A

B

C

D E

(EI)

(4EI)

(EI)

(4EI) q = 45 kN/m

F (EI)

8 m 8 m

dalam keseimbangan, dimana tidak terjadi lentur pada batang BE. Dalam analisisnya, keseimbangan momen pada titik buhul A dan C adalah sama tetapi berbeda arah momen yang bekerja.

Angka kekakuan :

SFAD =

( )

3 EI 2 6

EI 4

=

SFAB =

(

)

8 EI 16 8

EI 4 4

= = 2EI

SFAD : SFAB = :2EI

3 EI 2

= 2 : 6

Angka distribusi:

DFAD =

6 2

2

+ = 0.25; DFAB =

8 2

6

+ = 0.75

Momen ujung jepit :

FEMAB = - FEMBA =+

( )( )

45 8 2

12 1

= +256 kN.m

Tabel 2.8 Distribusi momen Contoh 6 Titik Buhul D A B

Batang DA AD AB BA DF - 0.25 0.75 -

FEM 0 0 +256 -256

-64 -192

Induksi -32 -96

Jumlah -32 -64 +64 -352 Batang FC CF CB BC

(a)

A

D

q = 45 kN/m B A

B

E

q = 45 kN/m

C B

C

F

32 ₃₂

64

64 64

64 352

352

16 16

16

16 16

156 228 228 156

156 156

156 156 16 16 45616

(b)

(c)

(d)

Gambar 2. 23 (a) Diagram benda bebas (b) Diagram gaya lintang dan (c) Diagram momen lentur (d) Diagram gaya normal Contoh 6

Momen lentur pada jarak x:

Mx = -64 + 156 (3.25) -

( )(

)

2

25 . 3 45 2 1

= +189.5 kN.m

2.6.6 Struktur Portal Dengan Translasi Titik Buhul

Aplikasi dari metode distribusi momen untuk analisis portal statis tak tentu dimana terdapat titik buhul yang mengalami translasi yang belum

A

B

C

D 16 E 16 F

228 228 156

156 x

3.25 m

3.25 m

(-) (-)

(-) (-)

(+) (+)

A B C

D 32 E 32 F

228 352

64 64

189.5 189.5

64 64 (-)

(-) (-) (-) (-)

(-)

(+) (+)

(+) (+)

A B C

D E F

156 156

16

(-) (-)

(-) (-)

16

diketahui (unknown translation), atau goyangan belum diketahui (unknown sideways) akan diuraikan pertama dengan cara yang sederhana dimana derajat kebebasan (degree of freedom) goyangan tersebut adalah sama dengan 1. Terdapat tiga langkah utama dalam analisis portal seperti ditunjukkan pada Gambar 2.24. Ketiga langkah tersebut adalah sebagai berikut :

(a)

(b) (c)

Gambar 2. 24 Portal dengan goyangan satu derajat kebebasan

1. Goyangan ke samping dari batang BC dicegah dengan memberikan tumpuan “buatan” (artificial support) pada C seperti ditunjukkan pada Gambar 2.24(b). Pada tahap ini momen-momen pada ujung batang (Mo) dihitung akibat beban luar yang bekerja pada portal tersebut, sehingga reaksi pada tumpuan C yaitu Ro dapat diketahui besar dan arahnya.

A

B C

D W2

W1

HA

HD

M

A

B C

D W2

W1

HA1

HD1

A

B C

D HA2

HD2

∆'

∆'

Ro R’

Mo _M’

2. Titik buhul B dan C dikunci untuk melawan rotasi, tetapi tumpuan C diperbolehkan mengalami perpindahan posisi sebesar ∆’, sehingga menyebabkan terjadinya momen ujung pada kolom AB dan CB seperti ditunjukkan pada Gambar 2.24(c). Selanjutnya momen-momen pada ujung batang (M’) dapat ditentukan dengan metode distribusi momen, sehingga besar dan arah dari reaksi pada tumpuan C (R’) dapat ditentukan pula. Perlu diingat bahwa pada tahap kedua ini, beban luar tidak diperhitungkan lagi dalam penghitungan momen ujung (M’). Karena besarnya ∆’ belum diketahui, maka ∆’ dapat diasumsikan sebarang nilai sehingga besarnya momen ujung (FEM) serasi dengan nilai-nilai momen sebelumnya.

3. Momen-momen ujung tiap batang yang sesungguhnya (M) pada Gambar 2.24(a) merupakan resulatante dari momen akibat beban diluar dan n kali momen akibat perpindahan posisi seperti diberikan pada persamaan 2.9.

M = Mo + n M’ (2.9)

Dimana n ditentukan dari :

Ro = n R’

n = ' R Ro

(2.9a)

Pada permasalah sederhana seperti Gambar 2.24 di atas, arah goyangan dapat diketahui atau diperkirakan degan tepat. Namun demikian, arah goyangan dapat pula diperkirakan (assumed) terlebih dahulu dan selanjutnya hasil penghitungan akan menunjukkan apakah arah goyangan yang diperkirakan adalah tepat atau tidak.

Jika derajat kebebasan pada goyangan adalah lebih dari satu, maka distribusi momen dilakukan untuk masing-masing goyangan ∆’1, ∆’2, ∆’3,

dan seterusnya. Momen akhir yang sesungguhnya selanjutnya dapat ditentukan dengan cara menentukan nilai n1, n2, n3, dan seterusnya dengan

Dengan langkah-langkah yang serupa seperti diuraikan di atas, dapat diuraikan kembali langkah-langkah untuk analisis portal pada Gambar 2.25 adalah sebagai berikut :

(a) (b)

[image:30.595.95.474.191.575.2]

(c) (d)

Gambar 2. 25 Portal dengan goyangan dua derajat kebebasan

1. Agar titik buhul B dan D tidak dapat mengalami perpindahan posisi, maka pada B dan D diberi tumpuan “buatan” seperti ditunjukkan pada Gambar 2.25(b). Selanjutnya momen-momen pada ujung batang (Mo) dihitung akibat beban luar yang bekerja pada portal tersebut, sehingga reaksi pada tumpuan B dan D yaitu R1o dan R2o dapat

diketahui besar dan arahnya.

A B

C D

E F

P1

P2

A B

C D

E F

P1

P2

R1o

R2o

A B

C

D

E F

A B

C

D

E F

R1’’

R2’’

∆1’ ∆1’

R1’

R2’

2. Titik buhul A, C dan D dikunci untuk melawan rotasi, tetapi tumpuan B diperkirakan mengalami perpindahan posisi sebesar ∆1’, sehingga menyebabkan terjadinya momen ujung pada kolom AC dan BD seperti ditunjukkan pada Gambar 2.24(c) yang besarnya cukup diberi nilai banding yang serasi dengan momen ujung sebelumnya. Selanjutnya momen-momen pada ujung batang (M’) dapat ditentukan dengan metode distribusi momen, sehingga besar dan arah dari reaksi pada tumpuan B dan D yaitu R1’ dan R2’ dapat ditentukan pula.

3. Seperti pada langkah 2 di atas, tetapi tumpuan B dikunci dan C diperkirakan mengalami perpindahan posisi sebesar ∆2’, sehingga

menyebabkan terjadinya momen ujung pada kolom AC dan BD seperti ditunjukkan pada Gambar 2.24(d) yang besarnya cukup diberi nilai banding yang serasi dengan momen ujung sebelumnya. Selanjutnya momen-momen pada ujung batang (M’’) dapat ditentukan dengan metode distribusi momen, sehingga besar dan arah dari reaksi pada tumpuan B dan D yaitu R1’’ dan R2’’ dapat ditentukan pula.

4. Dari langkah 1, 2 dan 3 di atas didapat persamaan simultan (persamaan 2.10a dan b) untuk menentukan nilai n1 dan n2 yang selanjutnya

digunakan untuk menentukkan momen akhir sesungguhnya (persamaan 2.10c).

R1o + n1R1’ + n2R1” = 0 (2.10a)

R2o + n1R2’ + n2R2” = 0 (2.10b)

M = Mo + n1M’ + n2M” = 0 (2.10c)

Contoh 7. Distribusikan momen-momen ujung dari konstruksi portal seperti pada Gambar 2.26, dan gambarkan diagram gaya lintang, gaya normal dan momen lenturnya.

[image:32.595.81.514.120.618.2]

(a) (b)

Gambar 2. 26 Contoh 7 Angka kekakuan :

SFBA =

( )

4 EI 4

= EI

SFBC = SFCB =

( )

2 EI 3 8 EI 12 8 EI 3

4 _{= =}

SFCD =

( )

2 EI 3 8 EI 12 8 EI 3 4 = =

SFBA : SFBC : SFCB : SFCD = EI :

2 EI 3 : 2 EI 3 : 2 EI 3

= 2 : 3 :3 : 3

Angka distribusi:

DFBA =

3 2

2

+ = 0.40; DFBC =

3 2

3

+ = 0.60

DFCB =

3 3

3

+ = 0.50; DFCD =

3 3

3

+ = 0.50

Tahap I : Menentukan Mo_{akibat beban luar yang bekerja}

Momen ujung jepit :

FEMBC = - FEMCB =+

( )( )

2 8 30 12

1

= +160 kN.m

[image:33.595.129.495.127.569.2]

Tabel 2.9 Distribusi momen akibat beban luar yang bekerja Contoh 7 Titik Buhul A B C D

Batang AB BA BC CB CD DC DF - 0.50 0.60 0.50 0.50 -

FEM 0 0 +160 -160 0 0

+40 +80 +80 +40

-40 -80 -120 -60

+15 +30 +30 +15

-3.0 -6.0 -9.0 -4.5

+1.125 +2.25 +2.25 +1.1 -.0.2 -0.45 -0.675 -0.34

+0.084 +0.17 +0.17 0.084 -0.017 -0.034 -0.050

Jumlah Mo -43.22 -86.48 +86.48 -112.42 +112.42 +56.18

Gambar 2. 27 Diagram benda bebas akibat beban yang bekerja untuk menentukan Ro

Reaksi pada tumpuan “buatan” C (Ro) ditentukan dari :

ΣFH = 0 Æ Ro = (60 + 32.43) – (21.08 ) = 71.36 kN (ke kiri)

Tahap II : Menentukan M’ _{akibat mengalami perpindahan} ∆_’

Momen ujung jepit :

FEMAB = FEMBA =+

( )

8 ' EI 3 4

' EI 6

2

∆ = ∆

A

B _C

30 kN/m 60 kN

B C

D 112.42

43.22

86.48 86.48

112.42

56.18 32.43

32.43

32.43

21.08

21.08 21.08 Ro = 71.36

116.76 123.24

123.24

123.24 116.76

FEMDC = FEMCD =+

( )

32 ' EI 9 8

' EI 3 6

2

∆ = ∆

Momen yang serasi diambil berdasarkan perbandingan :

FEMAB : FEMDC =

8 ' EI 3 ∆

: 32

' EI 9 ∆

=12 : 9

Dan ∆’ diasumsikan sebesar 1 satuan, maka momen-momen serasinya adalah :

FEMAB = FEMBA = +12 kN.m

[image:34.595.109.464.311.728.2]

FEMDC = FEMCD = +9 kN.m

Tabel 2.10 Distribusi momen akibat beban luar yang bekerja Contoh 7 Titik Buhul A B C D

Batang AB BA BC CB CD DC DF - 0.50 0.60 0.50 0.50 -

FEM +12 +12 0 0 +9 +9

-2.25 -4.5 -4.5 -2.25 -1.95 -3.9 -5.85 -2.93

+0.73 +1.46 +1.46 +0.73 -0.15 -0.29 -0.44 -0.22

+0.055 +0.11 +0.11 +0.055 -0.011 -0.022 -0.033

Jumlah M’ +9.89 +7.79 -7.79 -6.08 +6.08 +7.54

Gambar 2. 28 Diagram benda bebas akibat beban yang bekerja untuk menentukan R’ A

B _C

B C

D 6.08

9.89 7.79

7.79

6.08

7.54 4.42

4.42

1.70 R’ = 6.12 1.73

1.73

1.73 1.73

1.73

1.70 1.70 4.42

(a)

(b) (c)

[image:35.595.104.525.112.714.2]

(d)

Gambar 2. 29 (a) Diagram benda bebas (b) Diagram gaya lintang (c) Diagram momen lentur dan (d) Diagram gaya normal Contoh 7

A

B _C

30 kN/m 60 kN

B C

D 183.3

72.1 4.4

4.4

183.3

144. 19.1

19.1

40.9

40.9 40.9

96.5 143.5

143.5

143.5 96.5

96.5

19.1

A

B C

D (+)

(+)

(+) (-)

3.22 m x 96.5

143.5

40.9

40.9 19.1

19.1

A

B C

D (-)

(+)

(+) _(-)

183.3

143.5

144.1 72.1

4.4 4.4

183.3 (-)

A

B C

D (-)

(-) (-)

143.5

40.9

96.5 40.9

Reaksi pada tumpuan “buatan” C (R’) ditentukan dari : ΣFH = 0 Æ R’ = (4.42) + (1.70) = 6.12 kN (ke kanan)

Selanjutnya : -Ro + n R’ = 0

n = 12 . 6 36 . 71 ' R Ro

= = 11.66

[image:36.595.128.408.491.746.2]

Selanjutnya momen akhir sesungguhnya : M = Mo + n M’ Tabel 2.11 Momen akhir sesungguhnya Contoh 7

Titik Buhul A B C D

Batang AB BA BC CB CD DC Mo -43.2 -86.5 +86.5 -112.45 +112.45 +56.2 M’ +9.9 +7.8 -7.8 -6.1 +6.1 +7.5 n M’ +115.3 +90.8 -90.8 -70. 9 +70. 9 +87.9

M +71.1 +4.4 -4.4 -183.3 +183.3 +144.1

Contoh 8. Distribusikan momen-momen ujung dari konstruksi portal seperti pada Gambar 2.30, dan gambarkan diagram gaya lintang, gaya normal dan momen lenturnya.

Akibat beban yang tidak simetris portal mengalami goyangan kekiri, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.30(c) dan (d).

Angka kekakuan :

SFAC : SFAB =

( ) (

)

8 EI 2 4 : 4 EI 4

= 1 : 1

SFBA : SFBD =

( ) (

)

8 EI 2 4 : 4 EI 4

= 1 : 1

SFCE : SFCA : SFCD =

( ) ( ) ( )

8 EI 3 4 : 4 EI 4 : 4 EI 3

= 3 : 4 : 6

SFDF : SFDB : SFDC =

( ) ( ) ( )

8 EI 3 4 : 4 EI 4 : 4 EI 3

= 3 : 4 : 6

Angka distribusi:

DFAC =

1 1

1

+ = 0.50; DFAB =

1 1

1

+ = 0.50

DFBA =

1 1

1

+ = 0.50; DFBD =

1 1

1

(a) (b)

[image:37.595.114.517.129.670.2]

(c) (d)

Gambar 2. 30 Contoh 8

DFCE =

6 4 3

3

+

+ = 0.23; DFCA =

6 4 3

4

+

+ = 0.31

DFCD =

6 4 3

6

+

+ = 0.46; DFDDF

6 4 3

3

+

+ = 0.23

DFDB =

6 4 3

4

+

+ = 0.31; DFDC =

6 4 3

6

+

+ = 0.46

Tahap I : Menentukan Mo_{akibat beban luar yang bekerja}

Momen ujung jepit :

A B

C D

E F 90 kN

120 kN

A B

C D

E F

RBo

RDo

A B

C

D

E F

A B

C

D

E F

RB’’

RD’’

∆1’ ∆1’

RB’

RB’

∆2’ ∆2’

90 kN

120 kN

6 m 2 m

4 m 4 m

(2EI)

(3EI)

(EI) (EI)

FEMAB = +

(

₂

)( )

8 6 6 2 90× ×

= + 101.25 kN.m

FEMBA =-

(

₂

)( )

8 2 6 2 90× ×

= -33.75 kN.m

FEMCD = +

(

₂

)( )

8 6 6 2 120× ×

= + 135 kN.m

FEMDC =-

(

₂

)( )

8 2 6 2 120× ×

= -45 kN.m

[image:38.595.139.356.111.259.2]

Selanjutnya distribusi momen akibat beban yang bekerja pada portal diberikan pada Table 2.12.

Tabel 2.12 Distribusi momen akibat beban luar yang bekerja Contoh 8

Joint C A B D Batang CE CD CA AC AB BA BD DB DC DF DF 0.23 0.46 0.31 0.50 0.50 0.50 0.50 0.31 0.46 0.23

FEM 0 135.00 0 0 101.25 -33.75 0 0 -45.00 0

-31.15 -62.31 -41.54 -20.77 -31.15

-20.12 -40.24 -40.24 -20.12

13.47 26.94 26.94 13.47

14.47 9.64 19.29 28.93 14.47

1.30 2.61 1.74 0.87 1.30

-3.58 -7.17 -7.17 -3.58

-1.51 -3.03 -3.03 -1.51

0.05 0.03 0.06 0.10 0.05

0.82 1.63 1.09 0.54 0.82

0.24 0.49 0.49 0.24

-0.07 -0.14 -0.14 -0.07

-0.17 -0.11 -0.23 -0.34 -0.17

-0.016 -0.032 -0.022 -0.01 -0.016

0.04 0.04 0.02

0.05 0.05 0.024

0.002 0.003 0.002 Mo -29.05 91.24 -62.19 -66.25 66.25 -33.38 33.38 31.03 -45.37 14.34

Diagram benda bebas dari distribusi momen akibat beban yang bekerja diberikan pada Gambar 2.31. Besar dan arah reaksi pada tumpuan buatan di B dan D dapat diketahui sebagai berikut :

RBo = (32.11) – (16.10 ) = 16.01 kN (ke kiri)

RDo = (32.11 + 3.60) – (16.10 + 7.26 ) = 12.34 kN (ke kanan)

Tahap II : Menentukan M’ akibat terjadinya goyangan ke kiri pada

[image:39.595.155.478.115.365.2] [image:39.595.107.549.443.700.2]

Gambar 2. 31 Penentuan besar dan arah reaksi horizontal pada tumpuan buatan B dan D akibat beban yang bekerja

Tabel 2.13 Distribusi momen akibat goyangan pada titik buhul B

Joint C A B D

Batang CE CD CA AC AB BA BD DB DC DF

DF 0.23 0.46 0.31 0.50 0.50 0.50 0.50 0.31 0.46 0.23

FEM 0 0 -60 -60 0 0 -60 -60 0 0

13,85 27,69 18,46 9,23 13,85 12,69 25,38 25,38 12,69 11,83 23,65 23,65 11,83 7,92 5,28 10,56 15,84 7,92 -4,76 -9,51 -6,34 -3,17 -4,76

-2,16 -4,33 -4,33 -2,16 -0,78 -1,56 -1,56 -0,78 1,28 0,85 1,70 2,56 1,278

0,20 0,41 0,27 0,14 0,20

0,16 0,32 0,32 0,16 -0,25 -0,51 -0,51 -0,25 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01 -0,040 -0,079 -0,053 -0,03 -0,040

0,07 0,14 0,14 0,07 -0,02 -0,039 -0,039 -0,019 0,01 0,01 0,018 0,027 0,014 M’ 9,23 27,69 -36,92 -32,31 32,31 32,31 -32,31 -36,92 27,69 9,23

Akibat goyangan ke kiri seperti ditunjukkan oleh Gambar 2.30(c), momen yang serasi diambil berdasarkan perbandingan :

120 kN 90 kN

E F

C D C

C D

D A

A

B B

7.26

29.05 14.39

7.26 3.60

3.60 32.11

32.11

62.19 32.11

7.26

31.03

3.60 33.38 33.38

66.25 66.25 32.11

16.10

16.10 RBo = 16.01 kN

16.10

16.10

RDo = 12.31 kN

FEMAC = FEMCA = - 2

4 ' EI 6 ∆

FEMBD = FEMDB = - ₂

4 ' EI 6 ∆

Dan momen-momen serasinya adalah :

FEMAB = FEMBA = -60 kN.m

FEMDC = FEMCD = -60 kN.m

[image:40.595.126.449.316.560.2]

Selanjutnya distribusi momen akibat beban yang bekerja pada portal diberikan pada Table 2.13 di atas.

Gambar 2. 32 Penentuan besar dan arah reaksi horizontal pada tumpuan buatan B dan D akibat goyangan ke kiri pada titik buhul B

Besar dan arah reaksi pada tumpuan buatan di B dan D dapat diketahui sebagai berikut :

RB’ = (17.31 + 17.31) = 34.62 kN (ke kiri)

RD’ = (17.31 + 17.31) + (2.31 + 2.31) = 39.23 kN (ke kanan)

E F

C D C

C D

D A

A

B B

2.31

9.23 _9.23

17.31 17.31

36.92 17.31

36.92

32.31 32.31

32.31 32.31 17.31

17.31

17.31 RB’= 34.6233

17.31 17.31

RD’= 39.23 kN

27.69 _27.69

2.31 2.31

2.31

Tahap III : Menentukan M” akibat terjadinya goyangan ke kiri pada

titik buhul B.

Akibat goyangan ke kiri seperti ditunjukkan oleh Gambar 2.30(d), momen yang serasi diambil berdasarkan perbandingan :

FEMAC = FEMCA = + ₂

4 ' EI 6 ∆

FEMBD = FEMDB = + ₂

4 ' EI 6 ∆

FEMCE = FEMDF = - ₂

4 ' EI 3 ∆

Dan momen-momen serasinya adalah :

FEMAB = FEMBA = +60 kN.m

FEMDC = FEMCD = +60 kN.m

FEMCE = FEMDF = -30 kN.m

[image:41.595.113.564.454.712.2]

Selanjutnya distribusi momen akibat beban yang bekerja pada portal diberikan pada Table 2.14.

Tabel 2.14 Distribusi momen akibat goyangan pada titik buhul D

Joint C A B D

Batang CE CD CA AC AB BA BD DB DC DF

DF 0.23 0.46 0.31 0.50 0.50 0.50 0.50 0.31 0.46 0.23

FEM -30 0 60 60 0 0 60 60 0 -30

-6.92 -13.85 -9.23 -4.62 -6.92

-13.85 -27.69 -27.69 -13.85

-11.54 -23.08 -23.08 -11.54

-2.66 -1.78 -3.55 -5.33 -2.66

3.81 7.62 5.08 2.54 3.81

2.25 4.50 4.50 2.25

-0.12 -0.24 -0.24 -0.12

-0.85 -0.57 -1.14 -1.70 -0.85

-0.32 -0.65 -0.43 -0.22 -0.32

0.08 0.17 0.17 0.08

0.12 0.24 0.24 0.12

0.046 0.03 0.06 0.09 0.05

-0.030 -0.060 -0.040 -0.02 -0.030

-0.05 -0.05 -0.025

-0.003 -0.003 -0.001

[image:42.595.124.449.113.364.2]

Gambar 2. 33 Penentuan besar dan arah reaksi horizontal pada tumpuan buatan B dan D akibat goyangan ke kiri pada titik buhul D

Besar dan arah reaksi pada tumpuan buatan di B dan D dapat diketahui sebagai berikut :

RB’’ = (19.62 + 19.62) = 39.24 kN (ke kanan)

RD’’ = (19.62 + 19.62) + (8.36 + 8.36) = 22.52 kN (ke kiri)

Dari hasil distribusi momen pada masing-masing tahapan diperoleh : RBo = 16.01 kN (ke kiri) RDo = 12.31 kN (ke kanan)

RB‘= 34.61 kN (ke kiri) RD‘= 39.23 kN (ke kanan)

RB‘’= 39.23 kN (ke kanan) RD‘’= 55.96 kN (ke kiri)

Persamaan simultan untuk factor n1 dan n2 :

RBo + n1RB’ + n2RB” = 0 Æ -16.01 –34.61 n1 + 39.23n2 = 0 (a)

RDo + n1RD’ + n2RD” = 0 Æ +12.31 + 39.23n1 – 55.96n2= 0 (b)

Dari persamaan (a) dan (b) diperoleh :

n1 = -1.038 dan n2 = -0.507

E F

C D C

C D

D A

A

B B

8.36

33.46 33.46

19.61 _43.86 19.62

19.61

19.61 34.61

16.61 34.61 19.61

34.61

19.61 RB’’= 39.23 kN

43.86 19.62

RD’’= 55.96 kN

10.38 _10.38

8.36 8.26

8.36

8.26 8.36

Momen akhir sesungguhnya adalah diberikan oleh persamaan (c) dan ditabelkan dalam Tabel 2.15.

[image:43.595.134.448.218.650.2]

M = Mo + n1M’ + n2M” = 0 (c)

Tabel 2. 15 Hasil penghitungan momen akhir total Contoh 8

Joint C A B D

Batang CE CD CA AC AB BA BD DB DC DF Mo -29.05 91.24 -62.19 -66.25 66.25 -33.38 33.38 31.03 -45.37 14.34 M’ 9,23 27,69 -36,92 -32,31 32,31 32,31 -32,31 -36,92 27,69 9,23 M” -33.46 -10.40 43.86 34.61 -34.61 -34.61 34.61 43.86 -10.40 -33.46 M -21.7 67.8 -46.1 -50.3 50.3 -49.3 49.3 47.1 -68.8 21.7

Gambar 2. 34 Diagram benda bebas hasil akhir distribusi momen Contoh 8 120 kN

90 kN

E F

C D C

C D

D A

A

B B

5.42

21.7 21.7

5.42 5.42

5.42 24.10

24.11

46.1

24.10 5.42

47.1

5.42 49.3 49.3

50.3 50.3 24.10

24.10 24.10

24.10

24.10 67.8 68.8

67.625 22.375

67.625 _22.375

67.625 22.375

89.875 30.125 89.875

89.875 30.125

(a)

(b)

A B

C D

E F

67.625

22.375

30.125 89.875

24.1 24.1

5.42 5.42 24.1 (+)

(-) (-)

(+)

(-)

(-)

(+)

(-)

A B

C D

E F

50.3

111.95 46.1

21.7 _21.7

49.3 (+)

(-) (-)

(-)

(+) (-) 49.3

84.95

(+)

(-) (-)

68.8

47.1

(-) (-)

[image:45.595.204.425.140.391.2]

(c)

Gambar 2. 35 (a) Diagram gaya lintang (b) Diagram momen lentur dan (c) Diagram gaya normal Contoh 8

Contoh 8. Distribusikan momen-momen ujung dari konstruksi portal seperti pada Gambar 2.36, dan gambarkan diagram gaya lintang, gaya normal dan momen lenturnya. Semua elemen batang mempunyai nilai EI yang sama.

Struktur portal adalah anti-simetris yang dapat ditinjau separuh bentang.

Angka kekakuan :

SFAE : SFAB =

( ) ( )

5 EI 4 : 5 EI 6

= 6 : 4

SFBA : SFBF : SFBC =

( ) ( ) ( )

5 EI 4 : 5 EI 6 : 5 EI 4

= 4 : 6 : 4

SFCB : SFCG : SFCD =

( ) ( ) ( )

5 EI 4 : 5 EI 6 : 5 EI 4

= 4 : 6 : 4

A B

C D

E _F

67.625 22.375

30.125 89.875

(-)

(-)

(-)

(+)

(-) (-) 24.1