Efek Damping pada Soliton DNA Kuintik Berdasarkan Prinsip Variasi

EFEK

DAMPING

PADA SOLITON DNA KUINTIK

BERDASARKAN PRINSIP VARIASI

NURUL HUDA N.A

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul “Efek Damping pada Soliton DNA Kuintik Berdasarkan Prinsip Variasi” adalah benar karya saya

dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, April 2013

ABSTRAK

NURUL HUDA N.A. Efek Damping pada Soliton DNA Kuintik Berdasarkan Prinsip Variasi. Dibimbing oleh Dr. HUSIN ALATAS.

DNA merupakan salah satu makromolekul yang mempunyai peranan sangat penting dalam sistem biologis makhluk hidup. Aktifitas pergerakan DNA diantaranya adalah transkripsi dan replikasi. Transkripsi DNA berkaitan dengan gelembung

denaturasi DNA yang dipengaruhi oleh kekentalan cairan disekitarnya. Pergerakan

DNA dapat diatur oleh persamaan QNLS dengan set parameter terbatas. Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji dinamika variasi parameter persamaan QNLS

dengan suku damping yang menggambarkan fenomena soliton DNA akibat pengaruh

cairan disekitar DNA. Variasi parameter persamaan QNLS tersebut diperoleh dengan menggunakan prinsip variasi dimana suku damping dianggap sebagai perturbasi.

Faktor damping menyebabkan penurunan yang signifikan pada amplitudo dan

penyempitan gelombang soliton DNA yang menyatakan adanya perubahan jumlah nukleotida yang terlibat dalam proses denaturasi DNA.

Kata kunci: Damping, Denaturasi, DNA, QNLS, Soliton.

ABSTRACT

NURUL HUDA N.A. The Effect of Damping at Quintic Soliton DNA Based on Variational Principle. Supervised by Dr. HUSIN ALATAS.

DNA is one of the macromolecules that has very important roles in biological system of organism. Some of the Activities of breather DNA are transcription and replication. DNA transcription that related to DNA denaturation bubble, is influenced by viscosity of medium. DNA breathing can be set by the QNLS equation with a finite set of parameters. The purpose of this research is to study the dynamics of parameters variation of damped QNLS equation that describes the influence of surrounding medium to DNA soliton. Variation parameters of the QNLS equation were obtained using the variational method, where damping is considered as a perturbation. Damping factor causes a significant reduction in amplitude and widening of DNA soliton’s wave. Damping factor has also shown the existence of the change in the number of nucleotides that are involved in the process of DNA denaturation.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Fisika

EFEK

DAMPING

PADA SOLITON DNA KUINTIK

BERDASARKAN PRINSIP VARIASI

NURUL HUDA N.A

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul Skripsi : Efek Damping pada Soliton DNA Kuintik Berdasarkan Prinsip Variasi

Nama : Nurul Huda N.A NIM : G74090046

Disetujui oleh

Dr. Husin Alatas Pembimbing

Diketahui oleh

Dr. Akhiruddin Maddu,M.Si Ketua Departemen Fisika IPB

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan pada allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan karya ilmiah dengan judul “Efek Damping pada Soliton DNA Kuintik Berdasarkan Prinsip Variasi” sebagai salah satu syarat kelulusan program sarjana di Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor.

Dalam penulisan karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak, oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Dr. Husin Alatas selaku dosen pembimbing skripsi

2. Ayah, alm. ibu, ibu, Mia, Fakhri dan semua keluarga besar yang selalu memberikan doa, nasehat, semangat, motivasi dan kasih sayang kepada penulis 3. Bapak Drs. Sidikrubadi Pramudito,M.Si dan Bapak Ardian Arief,M.Si sebagai

dosen penguji, Bapak Dr. Tony Ibnu Sumaryada selaku editor, beserta semua dosen dan staff Departemen Fisika IPB

4. Rekan seperjuangan Cassandra dan rekan prasidang Zashli, Robi, Agie, Irma, Vino, Made, Rady beserta teman-teman fisika 45, 46, 47 yang membantu dan memberi semangat dan motivasi kepada penulis

5. Indah, kak hanik, lia, mba ayun, kak lekta, kak didi, tia, ami dan semua teman-teman kosan P100 dan kosan Pondok Rahmah yang memberi semangat dan motivasi kepada penulis.

Selanjutnya, penulis menyadari bahwa usulan penelitian ini masih jauh dari sempurna, sehingga kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan demi kemajuan penelitian ini

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR ii

DAFTAR LAMPIRAN ii

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Perumusan Masalah 2

Tujuan Penelitian 2

Manfaat Penelitian 2

Ruang Lingkup Penelitian 2

TINJAUAN PUSTAKA 2

Struktur DNA 2

Transkripsi dan Replikasi DNA 3

Denaturasi DNA 3

Model PBD dan Persamaan QNLS 4

Persamaan QNLS dengan Suku Perturbasi 8

METODE 8

Waktu dan Tempat 8

Alat 8

Prosedur Penelitian 8

HASIL DAN PEMBAHASAN 9

Variasi Parameter Persamaan QNLS Homogen 9

Variasi Parameter Persamaan QNLS dengan Suku Damping 11 Simulasi Variasi Parameter Persamaan QNLS dengan Suku Damping 16

SIMPULAN DAN SARAN 20

Simpulan 20

Saran 20

DAFTAR PUSTAKA 21

LAMPIRAN 22

DAFTAR GAMBAR

1 Struktur DNA 3

2 (a) Proses transkripsi(b) Proses replikasi 3

3 (a) Representasi skematis pembentukan gelembung yang menyebar sepanjang DNA (b) gelembung denaturasi ketika proses transkripsi 4 4 Diagram fasa untuk (a) γ positif (b) γ negatif 15 5 Profil soliton DNA (a) Dalam tiga dimensi (b) Tampak atas 16 6 Profil soliton DNA (a) dengan variasi P (b) dengan variasi R 17 7 Profil soliton ideal dan damping (a) saat t = 1ps (b) saat t = 50ps (c) saat

t = 500ps (d) saat t = 1000ps 17

8 Profil soliton DNA (a) dalam tiga dimensi (b) tampak dari atas 18 9 Profil soliton DNA (a) dengan variasi P (b) dengan variasi R 18 10 Profil soliton ideal dan damping (a) saat t = 0ps (b) saat t = 50ps (c) saat

t = 500ps (d) saat t = 1000ps 19

DAFTAR LAMPIRAN

1. Prinsip variasi 22

2. Persamaan QNLS Homogen Menggunakan Prinsip variasi 1 23 3. Penurunan Persamaan QNLS dengan Suku Damping Menggunakan Prinsip

variasi 1 29

4a. Penurunan Persamaan QNLS dengan Suku Damping Menggunakan Prinsip

variasi 2 35

4b. Dinamika Sistem Variasi Parameter Persamaan QNLS dengan Suku Damping

Menggunakan Prinsip variasi 2 untuk ansatz 2 39

5a. Program Simulasi Hasil Perhitungan Menggunakan MATLAB R2008b untuk

Ansatz 1 Menggunakan Prinsip variasi 1 43

5b. Program Simulasi Hasil Perhitungan Menggunakan MATLAB R2008b untuk

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Fenomena di alam sebagian besar bersifat nonlinier, yang sangat beragam serta menarik untuk diamati dan dipahami. Contoh fenomena nonlinier adalah pola cuaca, gerak turbulen fluida, dan soliton. Fenomena soliton dalam sains muncul dalam banyak bidang mulai dari fisika pertikel, nuklir, zat padat, plasma, fluida, neurosains, kosmologi, akustik, kontrol hingga teknologi informasi dan biofisika. Salah satu contoh fenomena soliton dalam sains pada bidang biofisika adalah Deoxyribo Nucleid Acid (DNA).

DNA adalah polimer asam nukleat yang tersusun secara sistematis dan merupakan salah satu makromolekul yang mempunyai peranan sangat penting pada jasad hidup karena menyimpan serta memindahkan informasi genetik. DNA pada dasarnya memiliki struktur kompleks yang terdiri dari dua untai nukleotida berstruktur heliks yang dihubungkan oleh ikatan hidrogen di mana masing-masing untai terdiri dari gula, basa purin (adenin (A) dan guanin (G)) dan pirimidin (Timin (T) dan sitosin (C)), serta fosfat.1

Dinamika pembukaan pasangan basa atau proses denaturasi karena adanya penyebaran energi dalam DNA telah menarik banyak perhatian. Peyrard dan Bishop2 telah mengembangkan sebuah model sederhana yang tertuju pada perambatan dari pembukaan lokal pasangan basa yang dikenal sebagai gelembung denaturasi, yang terjadi karena gerak transversal (peregangan) setiap untai ke arah ikatan hidrogen. Kemudian, Dauxois3 memasukkan kopling helicoidal antara masing-masing untai ke model, sehingga model ini disebut dengan model Peyrard-Bishop-Dauxois (PBD). Model PBD ini menggambarkan kemungkinan gangguan lokal pada peregangan ikatan hidrogen yang merambat dalam bentuk eksitasi breather DNA, yang terkait dengan punuk tunggal selubung soliton. Hal ini menunjukkan bahwa perambatan dari pergerakan DNA dapat diatur oleh persamaan Quintic Nonlinear Schroedinger (QNLS)1.

Soliton adalah gelombang soliter (sebuah paket gelombang atau pulsa) yang dapat mempertahankan bentuknya saat menjalar pada kecepatan konstan. Soliton dipengaruhi oleh efek nonlinieritas dan efek dispersi dalam medium. Secara matematis soliton merupakan solusi persamaan diferensial nonlinier. Sifat-sifat yang dimiliki soliton diantaranya: energi total berhingga, terlokalisasi dalam ruang, bersifat stabil, dan tak menyebar. Profil sebaran rapat energi soliton menyerupai gundukan yang terpusat dalam rentang ruang berhingga.4

Perumusan Masalah

Perumusan masalah yang diambil pada penelitian ini meliputi penurunan persamaan QNLS dengan suku damping dan menentukan dinamika variasi parameter menggunakan prinsip variasi, untuk mengkaji secara aproksimatif fenomena dinamika soliton DNA akibat pengaruh cairan disekitarnya.

Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji dinamika variasi parameter pada persamaan QNLS dengan suku damping, sehingga memungkinkan mempelajari mekanisme denaturasi soliton DNA akibat dinamika molekul cairan sekitarnya.

Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah pemodelan variasi mekanisme denaturasi soliton DNA yang dipengaruhi oleh dinamika molekul cairan disekitarnya. Penelitian ini dapat menambah perbendaharaan pengetahuan tentang dinamika denaturasi soliton terkait.

Ruang Lingkup Penelitian

Penelitian ini melingkupi perhitungan matematis menggunakan prinsip variasi untuk memperoleh dinamika variasi perameter dari persamaan QNLS yang telah dipengaruhi oleh suku damping dan analisis hasil perhitungan analitik tersebut dengan prinsip dinamika sistem, serta simulasi dengan menggunakan

MATLAB R2008b guna melihat dinamika dari soliton DNA terkait.

TINJAUAN PUSTAKA

Struktur DNA

Gugus gula deoxyribo dan gugus fosfat yang menyusun DNA terletak dibagian luar untai DNA karena kedua gugus ini memiliki sifat hidrofilik, sedangkan pasangan basa purin dan pirimidin yang bersifat hidrofobik terletak disebelah dalam untai. Pada molekul DNA, ikatan hidrogen yang menghubungkan gugus basa pada untai berbeda sangat berperanan didalam membentuk struktur heliks ganda antara untaian.6

[image:13.595.94.508.59.809.2]

Gambar 1 Struktur DNA7,8

Transkripsi dan Replikasi DNA

Proses transkripsi adalah proses ketika DNA disalin ke dalam mRNA yang akan memberitahu sel bagaimana cara membuat protein. Proses replikasi adalah proses ketika DNA induk terurai menjadi dua untai DNA baru yang terjadi sebelum satu sel membelah menjadi dua sel7. Proses transkripsi dibantu oleh enzim polymerase, sedangkan pembukaan ikatan untai DNA induk yang akan direplikasi dilakukan oleh enzim helikase. Kedua untai DNA induk digunakan sebagai cetakan untuk menyintesis DNA baru. Metode replikasi seperti ini disebut dengan replikasi DNA secara semikonservatif.6

(a) (b)

Gambar 2 (a) Proses transkripsi9 (b) Proses replikasi10

Denaturasi DNA

[image:13.595.115.502.100.284.2]

Rotasi basa dalam, disebabkan oleh molekul protein dalam bentuk soliton yang menyebarkan sepanjang dua untai DNA yang secara kolektif membentuk gelembung berjalan yang diciptakan oleh delokalisasi energi karena efek nonlinier. Dengan demikian, solusi soliton menggambarkan konfigurasi keadaan terbuka dalam bentuk terpisah dari heliks untai ganda DNA yang secara kolektif merupakan gelembung. Gelembung yang terbentuk merupakan wilayah interaksi molekul protein dengan DNA. Dengan demikian, molekul protein bertindak sebagai zip-runner dalam membuka pasangan basa di rantai DNA selama proses transkripsi. 9

(a)

(b)

Gambar 3 (a) Representasi skematis pembentukan gelembung yang menyebar sepanjang DNA11 (b) gelembung denaturasi ketika proses transkripsi12

Model PBD dan Persamaan QNLS

Hamiltonian merupakan jumlah dari energi potensial dan energi kinetik. Model PBD dimulai dengan Hamiltonian yang mengambil bentuk sebagai berikut:









 









 







 





_

 

 _{          }

  

 

 

N

v u a h

n n h n n n

n n n n

n

n n

e D v

u v u K v

v u u k v u m

H 2 2 ₁ 2 ₁ 2 2 2 12

2 2

2   (1)

[image:14.595.89.475.115.681.2]

kedalaman dari potensial Morse dari ikatan hidrogen terkait dan jarak antar masing-masing nukleotida. Untuk menyederhanakan kasus ini maka diambil bentuk koordinat pusat massa (xn) dan posisi relative (yn) sebagai berikut :

2 n n n

v u

x   (2)

2

n n n

v u

y   (3)

koordinat ini terkait dengan persamaan gerak yang dipisahkan antara gerakan linier dan nonlinier yang masing-masing diberikan sebagai berikut:



n n n





n h n n h



n k x x x K x x x

x

m  _12  _1  _ 2  _ (4)











a yn



a yn

h n n h n n

n n

n k y y y K y y y aD e e

y

m  _12  _1  _ 2  _ 2 2  2 1  2 (5)

n

x

m menggambarkan gerak linier dan myn menggambarkan gerak nonlinier.

Selanjutnya pembahasan ini hanya fokus pada gerakan nonliniernya, dimana yn adalah gerakan peregangan pasangan basa. Untuk menyelesaikan persamaan (5), maka yn dibentuk menjadi:

n n

y 12 (6)

faktor skala ε << 1, sehingga memungkinkan untuk memperluas potensial Morse dari Hamiltonian (suku terakhir persamaan (1)) sampai orde kelima ekspansi Taylor, yang mengarah ke persamaan gerak berikut untuk Φn:

    2



12 2 3 32 4



1

1 2 n n n h 2 n n h g n n n n

n n

m K m

k _{                }



         (7)

dengan:

2 2

5 ;

3 7 ;

2 3 ;

4 2 2 3

2 a a a

m D a

g

  

 

   

 (8)

Pendekatan solusi semi-diskrit Φn diambil bentuk sebagai berikut:



 



 





 





 







 



O c c e t nl F t nl F c

c e t nl

F i n i n

n      

 ₁ , . 12 ₀ , ₂ , 2 . (9)

dimana 1/2 pada persamaan (9) berbeda dengan yang ada pada persamaan sebelumnya, sehingga untuk persamaan ini diubah menjadi 1, dan θn diambil

bentuk n nqlt, dengan parameter l,

 

2



q dan ω, masing-masing

menunjukkan jarak antara dua nukleotida yang berdekatan pada untai yang sama, bilangan gelombang dan frekuensi getaran, dimana � adalah panjang gelombang yang terkait. Variasi fungsi Fi (i=0,1,2) dalam persamaan (9) sehubungan dengan ruang variabel dipertahankan pada orde �1_{. Untuk pendekatan semi-diskrit}

diasumsikan nl → z, sehingga secara umum fungsi Fi dapat dituliskan sebagai:













, 0,1,2

2 1 ,

, ₂

2 2 2

2 

  

   

 i

Z F l h Z

F hl T

Z F t l h n

F i i

i

i     (10)

Dengan mensubstitusikan persamaan (9) ke persamaan (7) dan mengumpulkan suku exp (iθn), diperoleh hubungan:

2 1

0 F

F  (11)

dengan: 2 4 1 2 g m K       (12)

dan dari suku exp (2iθn) diperoleh hubungan: 2

1

2 F

F  (13)

dimana:

 



















2 2



2 4 1 2 cos 1 2 cos 2 _g g m qlh K ql k m            (14)

Berdasarkan hubungan persamaan (8) dan (10), dapat dibentuk konsistensi kondisi yang berasal dari exp (iθn) orde 3/2 sebagai berikut:



222



6







6 0

 (15)

Dengan memfokuskan pada exp (iθn) dan mengabaikan efek dari suku lainnya, diperoleh persamaan berikut:

 





 

 

 





 

 





















_                                                             1 4 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 4 3 4 2 2 3 3 2 cos sin 2 1 cos 2 cos sin 2 1 cos 2 2 F F F F F qlh Z F h l qlh Z F h l i qlh F m K ql Z F l ql Z F l i ql F m k F T F i T F g                      (16)

dari persamaan (16) diperoleh hubungan dispersi sebagai berikut:

 







 







2

2 cos 1 cos 1 2 g qlh K ql k m 

      (17)

Selanjutnya didefinisikan transformasi koordinat: S ZVgT dan  T, sehingga persamaan (16) untuk orde dapat ditransformasi menjadi:

 

 













1

2 1 2 1 3 2 2 sin

sin i F F

S F qlh Kh ql k m l

V_g g    

dan untuk orde 2 ditransformasikan menjadi:

 

 









1

4 1 2 2

2 1

2 1 2 2

2 2

4 3 4

2 2 3

2 cos

cos 2

1

F F F

i S

F qlh

Kh ql k m l

V_g g _

  

 

 

  

          

  

   



 



  

  

   

 (19)

Dari hubungan dispersi pada persamaan (17), dapat dirumuskan kecepatan grup melalui hubungan

dq d Vg



 , sehingga diperoleh:

 



k ql



Kh

 

qlh m

l

V_g  sin  sin

 (20)

Dengan mensubstitusi persamaan (20) ke persamaan (18), diperoleh konsistensi kondisi yang kedua sebagai berikut:





3 0

2     (21)

Pemecahan bersamaan kedua konsistensi kondisi tersebut untuk µ dan adalah:



 

 

2 8

10 2 

 

 (22)



 

 

2

8 10

2 2



  (23)

Dengan menyamakan Persamaan (12) dengan (22) dan Persamaan (14) dengan (23), serta mempertimbangkan hubungan dispersi (17), konstanta pegas k dan K dapat dibatasi untuk parameter ql,a,D,h dan m melalui hubungan:

   

 

 



 

 1 2

4

1 2

g

m

K (24)

 



 







 





2

2 2

1 cos 4

1 cos

2 cos

4 3



 

        

ql

qlh qlh

K m

k

g 

 

(25) Persamaan (25) menunjukkan k menuju tak berhingga untuk ql → 0 ; 2π. Konstanta pegas k dan K adalah sifat internal struktur DNA terkait, sementara bilangan gelombang q menentukan karakteristik osilasi yang sesuai dengan peregangan.

Persamaan (19) dapat disederhanakan menjadi: 0

1 4 1 2

1 2

1  

    

F F R S

F P F i

 (26)

Persamaan QNLS dengan Suku Perturbasi

Efek dari medium disekitar DNA merupakan salah satu faktor yang penting untuk diamati dalam dinamika DNA. Interaksi DNA dengan media disekitarnya menyebabkan media tereduksi menjadi kental, media yang kental menyebabkan osilasi nukleotida mengalami redaman. Pengaruh gaya viskos yang diberikan pada rantai DNA dapat diperhitungkan dengan menambahkan suku damping (γ) pada persamaan QLNS. Efek dari interaksi DNA dengan medium disekitarnya tersebut adalah amplitudo soliton DNA akan menurun seiring berjalannya waktu7. Sehingga QNLS pada persamaan (26) dapat dituliskan menjadi:

 

  

 

 

    

 F

F F R S

F P F

i ₂ 4

2

(27) dimana merupakan faktor koreksi dari persamaan tersebut. Dan Fungsi F menggambarkan perubahan bukaan untai DNA ketika terjadi denaturasi.

METODE

Waktu dan Tempat

Penelitian ini dilaksanakan dari Juni 2012 sampai dengan April 2013. Penelitian ini dilaksanakan di Laboratorium Fisika Teori, Departemen Fisika, Institut Pertanian Bogor.

Alat

Alat yang digunakan pada penelitian ini adalah kertas, pensil, penghapus, pulpen, dan laptop yang telah dilengkapi dengan software Maple 13 untuk membantu penurunan analitik dan softwareMATLAB R2008b untuk simulasi hasil penurunan analitik.

Prosedur Penelitian

Studi Pustaka

Studi pustaka dilakukan untuk memahami metode yang akan digunakan dalam penurunan analitik yaitu metode prinsip variasi. Disamping itu studi pustaka ini juga bertujuan untuk mempermudah menentukan persamaan gerak QNLS yang tepat dengan masalah fisis yang akan diselesaikan.

Variasi Parameter Menggunakan Prinsip Variasi

Ansatz 1: F

 

S, A₁ sech



A₂

 





Sv

 







exp



i





 

 Sw

 







(28) Ansatz 2: F

 

S, A₁ sech



A₁

 





Sv

 







exp



i





 

 Sw

 







(29) Variasi parameter dari kedua ansatz tersebut akan diturunkan dengan menggunakan prinsip variasi. Prinsip variasi yang digunakan pada penelitian ini terdiri dari dua prinsip variasi, yaitu prinsip variasi 1 dan prinsip variasi 2. Kedua prinsip variasi ini memiliki sebagian besar tahapan yang sama, yaitu:

1. Menentukan persamaan kerapatan Lagrange (Lg) 2. Menentukan persamaan Lagrange (L)

3. Melakukan variasi parameter dari persamaan Lagrange menggunakan persamaan Euler-Lagrange

Perbedaan yang mendasar antara kedua prinsip variasi ini terletak pada pengintegralan persamaan kerapatan Lagrange untuk mendapatkan persamaan Lagrange dan pada proses variasi persamaan Lagrange terhapad semua parameter terkait. Penurunan lengkap mengenai kedua prinsip variasi ini dapat dilihat pada lampiran 1.

Simulasi Hasil Perhitungan Matematis Menggunakan MATLAB R2008b

Variasi parameter yang diperoleh menggunakan prinsip variasi diterapkan kembali ke ansatz untuk kemudian dilakukan simulasi dengan MATLAB R2008b guna memperlihatkan dinamika soliton DNA terkait. Pada simulasi ini juga dikaji efek dari masing-masing parameter pada profil soliton DNA.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Variasi Parameter Persamaan QNLS Homogen

Prinsip variasi dimulai dengan menentukan ansatz yang sesuai untuk persamaan gerak. Pada penelitian ini digunakan dua ansatz, yaitu persamaan (28) dan persamaan (29). Namun, sebelum melakukan variasi parameter untuk persamaan gerak QNLS dengan suku damping, perlu ditinjau dulu variasi parameter untuk kedua ansatz tersebut pada persamaan gerak QNLS homogen (persamaan (26)). Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, prinsip variasi pada penelitian ini terdiri dari dua prinsip variasi, untuk variasi parameter persamaan gerak QNLS homogen diperoleh dengan menggunakan prinsip variasi 1. Persamaan kerapatan Lagrange untuk persamaan gerak ini adalah:





2 6

3

2 F

R F P F F F F i

L_g  _  _  _S  (30)

Terlebih dahulu dibahas ansatz 1 (persamaan (28)). Ansatz disubstitusi ke persamaan kerapatan Lagrange yang telah memenuhi. Persamaan kerapatan Lagrange tersebut diintegralkan terhadap posisi guna diperoleh persamaan Lagrange (pengintegralan persamaan kerapatan Lagrange ini dapat dilihat pada lampiran 2 persamaan (24) hingga (45)). Persamaan Lagrange hasil integral tersebut adalah:





_



 _{   }

 4

1 2

2 2 2

2 1

6 8

8 A

R A

P w v A A

L    (31)

Persamaan Lagrange ini mengandung parameter A1, A2, , v, w. Persamaan Lagrange yang diperoleh dievaluasi pada setiap parameter tersebut menggunakan persamaan Euler-Lagrange (penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran 2 persamaan (46) hingga (75)). Hasil dari evaluasi ini adalah diperoleh variasi untuk setiap parameter sebagai berikut:

 

14

2 2 1

4 3

   

 

 A

R P

A  (32)

 

2

2 A

A   (33)

 

 P

v 2 (34)

 

 

  (35)

 

   2

2 2

4 A

P P

w   (36)

Terlihat bahwa A1, A2 dan merupakan suatu konstanta yang tidak bergantung waktu. Variasi parameter ini kemudian disubstitusikan kembali ke ansatz, dimana A1, A2, , v dan w masing-masing menyatakan amplitudo, lebar, bilangan gelombang, kecepatan dan fase gelombang. Ansatz yang telah dilengkapi dengan variasi parameter disubstitusikan kembali ke persamaan gerak terkait guna menguji kebenaran dari ansatz tersebut. Pengujian ini dilakukan dengan bantuan

software Maple 13 dan diperoleh bahwa ansatz yang digunakan merupakan solusi,

karena ansatz tersebut memenuhi persamaan gerak terkait.

Untuk ansatz 2, persamaan kerapatan Lagrange yang digunakan sama dengan persamaan kerapatan Lagrange untuk ansatz 1 (persamaan (30)). Sebagaimana ansatz 1, pada ansatz 2 juga dilakukan tahapan yang sama, sehingga diperoleh persamaan Lagrange:





_



 _{   }

 4

1 2

2 1 1

6 8

8 A

R A

P w v A

L    (37)

0 1 

A (38)

 P

v2 (39)

0



 (40)

4 1 2

1 2

6 5 8

3

A R A

P P

w     (41)

Terlihat bahwa parameter A1 dan merupakan suatu konstanta dan parameter v dan w merupakan suatu variabel yang bergantung pada waktu. Dari perhitungan eksak diperoleh bahwa A1 memenuhi persamaan:

4 1 1

4 3

      

R P

A (42)

A1, , v dan w masing-masing menyatakan amplitudo, bilangan gelombang, kecepatan dan fase gelombang.

Variasi Parameter Persamaan QNLS dengan Suku Damping

Menggunakan Prinsip variasi 1 Untuk Ansatz 1

Ansatz - ansatz yang digunakan pada persamaan gerak QNLS homogen

diterapkan juga pada persamaan QNLS dengan suku damping (persamaan (27)). Variasi parameter pada persamaan QNLS ini dilakukan dengan menggunakan kedua prinsip variasi, namun untuk ansatz 1 hanya prinsip variasi 1 saja yang dapat berlaku karena ketika menggunakan prinsip variasi 2 terdapat constraints hasil dari variasi terhadap w.

Terlebih dahulu dibahas variasi parameter persamaan (27) menggunakan prinsip variasi 1 untuk ansatz 1. Persamaan kerapatan Lagrange untuk kasus ini adalah:



FF FF



PF R F

 



FF FF



i

Lg      S      

6 2

3

2 (43)

Persamaan kerapatan Lagrange ini kemudian diuji menggunakan persamaan Euler-Lagrange untuk mendapatkan kembali persamaan (27) (pengujian ini dapat dilihat pada lampiran 3 persamaan (102) hingga (107)). Substitusi ansatz 1 ke persamaan kerapatan Lagrange dan kemudian diintegralkan terhadap posisi (dapat dilihat pada lampiran 3 persamaan (111) hingga (114)) sehingga menghasilkan persamaan Lagrange sebagai berikut:





 

_

  

 

 

 

 

1 1 4

1 2

2 2 2

2

1 ₂

6 8

8 A

A A

R A

P w v A A L

 

   

 (44)

 

 

14 2

2 1

3 4

3

   



 _

  

 

R A R P

A (45)

 

 

 

_

  

 







 

 

 A d

A

  

2 exp

0

2

2 (46)

 

 P

v 2 (47)

 

 

  (48)

 

 



   





 

 

_

  

 

   

  

 

  

 

  

 

         

 P d P A d d

w

o

2 2

2 2

2 exp 4

2 2

1

   

 

(49) γ ( ) merupakan suatu fungsi dari waktu. Pada penelitian ini diambil fungsi γ ( ), yaitu:

 



 



 cos k (50)

dengan mensubstitusi persamaan (50) ke persamaan (45) hingga (49) diperoleh variasi parameter:

 

 

 

14

2 2 2

1 sin

3 sin

4 3

   



 _

   

 k k

R k A

R P A

o (51)

 

 A

 

k

A sin

0

2

2  (52)

 

 P

v 2 (53)

 

 

  (54)

 

   

 

 



 



 



 





A

 

k k

P k k

k k

P w

o cos

4 cos

cot csc

log 2 1 cos

2

1 2

2

2     

 (55)

Menggunakan Prinsip variasi 1 Untuk Ansatz 2

Selanjutnya, dibahas variasi parameter persamaan (27) menggunakan prinsip variasi 1 untuk ansatz 2. Persamaan kerapatan Lagrange untuk kasus ini sama dengan persamaan kerapatan Lagrange pada kasus yang sama untuk ansatz 1 (persamaan (43)). Persamaan Lagrange yang diperoleh untuk kasus ini adalah:





 

_

  

 

 

 

 

1 1 4

1 2

2 1 1

6 8

8 A

A A

R A

P w v A

L       (56)

Persamaan (56) disubstitusi ke persamaan Euler-Lagrange (dapat dilihat pada lampiran 3 persamaan (153) hingga (167)) sehingga diperoleh variasi parameter sebagai berikut:

0 1

A (57)

 P

0



 (59)

 

  

 

    4

1 2

1 2

6 5 8

3

A R A

P P

w (60)

Variabel A1 pada kasus ini mengambil bentuk sama dengan kasus QNLS homogen (persamaa (42)). Bentuk � � untuk kasus ini juga diambil sama dengan bentuk

� � pada kasus QNLS dengan suku damping untuk ansatz 1.

Menggunakan Prinsip variasi 2 Untuk Ansatz 2

Variasi parameter persamaan (27) untuk ansatz 2 juga dapat diperoleh dengan menggunakan prinsip variasi 2. Prinsip variasi 2 dimulai dengan menggunakan persamaan Euler-Lagrange:

dS x F G x F G x

L x

L d

d

i i

i

i



   

 

       

       

 



 (61)

dimada G merupakan suku perturbasi. Pada penelitian ini yang dimaksud dengan suku perturbasi adalah suku damping. Variabel L pada persamaan (61) merupakan persamaan Lagrange dari QNLS homogen untuk ansatz terkait (persamaan (37)) dan xi merupakan parameter-parameter yang terkandung pada persamaan Lagrange. Persamaan (61) dievaluasi pada setiap parameter (dapat dilihat pada lampiran 4a. persamaan (168) hingga (189)), sehingga menghasilkan variasi parameter sebagai berikut:



GF GF



dS i

A







 





1

 ₍₆₂₎



GF GF



SdS A

i v A A P

v







 

  

1 1

1

2



 

 (63)



GF GF





A



Sv





dS









 tanh 1

2 1



 (64)







S v





A

 

S v



dS A

F G F G π A R P

A P v

w _

  

 

 

 

 

 









 1

1 4

1 2

2

1 tanh

2 1 1 1

6 5 8

3 _



 (65)

Dari persamaan (27) diperoleh

 

  

 

 F

G , substitusi G ke persamaan (62) hingga (65), sehingga diperoleh variasi parameter-parameter terkait sebagai berikut(penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran 4a. persamaan (190) hingga (218)):

 

 



 



 _{ }



 5

1 3

1 1

2 2

2 1

3 5 4

3 2

1 A

R A P A P

A 

  

  

 ₍₆₆₎

 P

v2 (67)

 

 

 

 2

1

2 1

PA 

 

 



 



 _{ }

 

 4

1 2

2 1 2

2 2

1

6 5 8

3 1

1 2

1

A R P

A P v

PA

w 

   

  

 (69)

Terlihat bahwa A₁ dan  merupakan dua persamaan diferensial biasa yang saling tergandeng. Kedua persamaan diferensial ini diselesaikan menggunakan dinamika sistem. Namun, dinamika sistem hanya berlaku pada persamaan diferensial biasa yang bersifat autonomous, yaitu didalam persamaan diferensial tersebut tidak terdapat kebergantungan terhadap variabel secara eksplisit13. Karena A₁ dan  merupakan turunan terhadap , maka variabel yang maksud adalah . Agar dinamika sistem dapat dilakukan pada kedua persamaan diferensial diatas, maka γ( ) diubah menjadi γ yang merupakan suatu kontanta yang tidak bergantung pada

. Sehingga persamaan (66) dan (68) dapat dituliskan kembali dalam bentuk: 

  



 _{ }



 5

1 3

1 1

2 2

2 1

3 5 4

3 2

1 A

R A P A P

A 

 

 

 ₍₇₀₎

  

 2

1

2 1

PA 

 (71)

Dinamika sistem ini dimulai dengan menentukan titik kritis, linierisasi persamaan diferensial terkait menggunakan deret Taylor yang diekspansikan pada titik kritis, menentukan jenis titik kritis dengan cara menentukan harga eigen matriks pada persamaan linier yang terkait dan bifurkasi, yaitu perubahan jumlah serta jenis titik kritis akibat parameter yang terkandung didalam suatu persamaan13. Dinamika sistem pada penelitian ini dibatasi hingga diperoleh jenis titik kritis dari persamaan (70) dan (71).

Titik kritis dari persamaan (70) dan (71) (penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran 4b. persamaan (219) hingga (222)) adalah

 ,c dan R P R

P

0 0 , 20

9 , 0 , 20

9

   

      



 _{. Linierisasi dilakukan pada masing-masing titik}

kritis, linierisasi pada titik kritis 1 dan 2 menghasilkan matriks persamaan linier yang sama (penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran 4b. persamaan (223) hingga (242)), yaitu:





     

   

 

   

 

        

  





1 2 2

2 1

40 9 0

0 1

40 27

A

R P R

P A

 

(72)

Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik: 0



I

A (73)

diperoleh harga eigen untuk titik kritis 1 dan 2 (penurunannya dapat dilihat pada lampiran 4b. persamaan (243) hingga (252)) sebagai berikut:



2



2 1

1 40

27

  

  

R P

R P 40 9 2 2



  (75)

dari persamaan (74) dan (75) terlihat bahwa jenis titik kritis 1 dan 2 adalah saddle. Untuk titik kritis 2 diperoleh hasil linierisasi:

       

 

 

 

       

 

 

1 2

2 1

0 0

0 1

2Pc _A

A  

(76)

Substitusi matriks (76) ke persamaan (73), diperoleh harga eigen sebagai berikut: 0

1

 (77)

2 2 2

1 2

  



 Pc (78)

[image:25.595.109.507.325.525.2]

Kedua harga eigen ini menunjukkan arah dari garis kritis (0,c), dimana garis yang dimaksud merupakan kumpulan titik di sepanjang sumbu pada diagram fasa.

Gambar 4 Diagram fasa untuk (a) γ positif (b) γ negatif

Harga eigen yang telah diperoleh sangat bergantung pada nilai γ, sehingga untuk menggambarkan diagram fasa-nya dibedakan untuk γ yang bernilai positif dan γ yang bernilai negatif. Dari gambar diatas terlihat bahwa faktor damping yang diwakili oleh variabel γ mempengaruhi amplitudo dan bilangan gelombang terkait, dengan tergannggunya bilangan gelombang maka kecepatan gelombang inipun akan berubah sesuai dengan persamaan (67). Namun, saat gelombang berada pada titik kritis terlihat bahwa damping tidak dapat mempengaruhi gelombang tersebut.

Simulasi Variasi Parameter Persamaan QNLS dengan Suku Damping

Menggunakan Prinsip variasi 1 Untuk Ansatz 1

Variasi parameter yang telah diperoleh dari penurunan analitik disimulasikan menggunakan software MATLAB R2008b guna melihat karakteristik dari fungsi soliton DNA tersebut. Setiap profil soliton pada kasus ini dipengaruhi oleh amplitudo, lebar gelombang, kecepatan, bilangan gelombang dan fasa gelombang. Amplitudo dan fasa gelombang pada kasus ini dipengaruhi oleh faktor damping dan dengan menambahkan nilai koefisien dispersi dan nonlinieritas serta bilangan gelombang yang disesuaikan, diperoleh profil soliton sebagai berikut:

(a)

[image:26.595.90.481.115.727.2]

(b)

[image:27.595.116.502.86.258.2] [image:27.595.106.508.175.779.2]

Gambar 6 Profil soliton DNA (a) dengan variasi P (b) dengan variasi R Efek damping pada kasus ini dapat terlihat ketika profil soliton dengan suku damping dibandingkan dengan bentuk ideal seperti terlihat pada gambar (8). Pengaruh damping menyebabkan menyempitan pada gelombang soliton terkait, tetapi tidak menyebabkan terjadinya decay pada amplitudonya, sehingga kasus ini tidak dapat menunjukkan efek damping yang sebenarnya.

Menggunakan Prinsip variasi 1 Untuk Ansatz 2

Profil soliton untuk ansatz yang kedua ini dipengaruhi oleh amplitudo, kecepatan, bilangan gelombang dan fasa gelombang. Pada kasus ini hanya fasa gelombang yang dipengaruhi oleh faktor damping. Dengan memakai nilai koefisien dispersi dan nonlinieritas serta bilangan gelombang yang sama dengan kasus sebelumnya, diperoleh profil soliton sebagai berikut:

(a)

[image:28.595.89.478.161.721.2]

(b)

Gambar 8 Profil soliton DNA (a) dalam tiga dimensi (b) tampak dari atas Koefisien dispersi dan nonlinieritas sangat berpengaruhi pada kasus ini, seperti terlihat pada gambar (10).

Dari gambar (10(a)) terlihat bahwa koefisien dispersi mempengaruhi amplitudo dan fasa gelombang. Kenaikan nilai koefisien dispersi manyebabkan amplitudo profil soliton menjadi lebih besar dan fasa gelombang bergerak ke arah kanan. Sedangkan pada gambar (10(b)) terlihat bahwa koefisien nonlinieritas hanya mempengaruhi amplitudo dari profil soliton. Kenaikan nilai koefisien nonlinieritas menyebabkan amplitudo profil soliton terkait menjadi lebih kecil.

[image:29.595.107.500.238.802.2]

Pada kasus ini juga terlihat pengaruh damping pada soliton ideal DNA, terlihat pada gambar (11). Faktor damping menyebabkan terjadi split pada gelombang soliton terkait, sehingga seolah-olah gelombang soliton tersebut berbagi menjadi dua yang berubah seiiring dengan bertambahnya waktu. Hal ini terjadi karena adanya perbedaan kecepatan antara bagian depan dan belakang soliton. Secara fisis, kasus ini menunjukkan terjadinya modulasi denaturasi pada soliton DNA.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Pada penelitian ini telah ditunjukkan bahwa damping dapat mempengaruhi profil soliton DNA ideal. Pada keadaan ideal (diasumsikan tanpa gangguan) terlihat profil soliton DNA stabil, namun ketika gangguan disekitar DNA diperhitungkan maka terlihat profil DNA tersebut mengalami perubahan yang signifikan. Profil DNA terkait akan mengalami penurunan amplitude dan penyempitan panjang gelombang yang menggambarkan bahwa adanya perubahan jumlah nukleotida yang dapat terlibat pada proses denaturasi DNA, karena kekentalan cairan disekitar DNA menyebabkan ikatan hidrogen antara untai DNA menjadi sulit untuk terbuka.

Karakteristik damping tidak dapat terlihat pada variasi parameter yang diperoleh dengan menggunakan prinsip variasi 1. Secara teori akan terjadi decay pada amplitudo gelombang yang mengalami damping, namun dari perhitungan menggunakan prinsip variasi 1 diperoleh amplitudonya konstan. Diduga variasi parameter yang diperoleh menggunakan prinsip variasi 1 menggambarkan gelombang pada titik kritisnya sehigga faktor damping tidak dapat mempengaruhi gelombang tersebut. Disamping itu, prinsip variasi 1 ini dapat dikatakan kurang realistik karena semua suku pada persamaan kerapatan Lagrange dari persamaan QNLS dengan suku damping diintegalkan secara bersamaan tanpa memisahkan suku perturbasinya sehingga dapat menyebabkan perhitungan tersebut memiliki ketepatan yang rendah. Dapat dikatakan bahwa prinsip variasi 1 tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus perturbatif.

Ansatz yang sesuai untuk kasus damping ini adalah ansatz 2. Dengan menggunakan prinsip variasi 2 untuk ansatz 2, Variasi parameter yang diperoleh pada kasus ini lebih umum sehingga dapat dianalisa dinamika sistemnya. Karakteristik damping dapat terlihat jelas pada diagram fasa hasil dari analisa dinamika sistem tersebut untuk γ yang bernilai positif, dimana amplitudonya mengalami decay dan bilangan gelombang pembawanya ( ) semakin membesar karena adanya variabel γ. Sehingga dapat disimpulkan bahwa variabel γ yang dapat menyebabkan terjadinya damping pada soliton DNA adalah variabel γ yang bernilai positif, sedangkan variabel γ yang bernilai negative akan menyebabkan terjadinya gain pada soliton DNA terkait.

Saran

DAFTAR PUSTAKA

1. Alatas H, Hermanudin D. Semi-discreate DNA breather in Peyrard-Bishop-Dauxois model with fifth-orde-approximation Morse potential. J. Chaos. 45:1231-1238.doi:10.1016. 2012.

2. Peyrard M, Bishop AR. Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation‟, Phys. Rev. Lett. 62, 2755-2758.1989.

3. Dauxois T. Dynamics of breathers modes in a nonlinear “helocoidal” model of DNA, Phys. Lett. A-159, 390-395.1991.

4. Hermanudin D. Efek Osilasi Anharmonik pada Soliton Deoxyribo Nucleic Acid

Peyrard-Bishop-Dauxois [Skripsi].Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. 2011.

5. Sulaiman A, Zen FP, Alatas H, Handoko LT. Dynamics of DNA breathing in the Peyrard-Bishop model with damping and external force. J. PhysD. 241:1640-1647.doi:10.1016. 2012.

6. Yuwono T. Biologi Molekular. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. 2005.

7. Calladine CR, Drew HR, Luisi BF, Travers AA. Understanding DNA. The Molecule & How It Works. 3rd ed. London (GB): Elsevier Academic Pr. 2004.

8. http://biologismaim.blogspot.com/2011/10/struktur-dna.html [diunduh 2013 Maret 21]

9. http://biologytb.net23.net/text/chapter11/concept11.5.html [diunduh 2013 April 21]

10. http://theadiokecenter.wordpress.com/2012/11/09/replikasi-dna/ [diunduh 2013 April 21]

11. Vasumathi V, Daniel M. Base pair opening and bubble transport in a DNA double heliks induced by a protein molecule in a viscous medium. India (IN): Centre for Nonlinier Dynamics, School of Physics, Bharathidasan University, Tiruchirappalli. 2008.

12. http://www.csus.edu/indiv/l/loom/lect8.htm [diunduh 2013 April 27]

LAMPIRAN

Lampiran 1. Prinsip variasi

Prinsip variasi 1:

Persamaan Gerak :

G F F R S

F P F

i  

   

 4

2 2

 (1)

G F F R S

F P F

i  

    

 4

2 2

 (2)



 L dSd

S g (3)

Persamaan kerapatan Lagrange:



FF FF



PF R F



GF GF



i

L_g    _S 2 6 

3

2   (4)

dengan asumsi G << 1 dan G << 1 Persamaan Lagrange:

 





i 

g dS L x

L

L



 (5)

  

 

 x d

x L d

L

i

i i



 



  

 

 (6)

Sedemikian sehingga diperoleh persamaan Euler-Lagrange sebagai berikut: 0

 

        



i

i x

L x

L d

d 

 (7)

Prinsip variasi II:

0 4

2 2 4

2 2

    

 

 

          

 

 

    

F G F F R S

F P F i F G F F R S

F P F

i 

 

 (8)















 





 

 _



d dS F G F G

d dS F F F R F P F i F F F R PF

iF _{SS SS}







 

   

 4 4

(9)



 







 L_g dSd



G F G F dSd



  (10)





i

i

x x F F

d dS F G F G d

L







         _

 



                                   _{   }

 x dS x d

F G x F G d x x L d d x L i i i i

i i i

(12)



                       dS x F G x F G x L d d x L i i i

i  

(13)



                        dS x F G x F G x L x L d d i i i i   (14)

Lampiran 2. Persamaan QNLS homogen Menggunakan Prinsip variasi 1

Persamaan Gerak: 0 4 2 2        F F R S F P F i 

Persamaan kerapatan Lagrange:





2 6

3 2 F R F P F F F F i

L_g  _  _  _S  (15)

Pembuktian persamaan gerak dengan cara mensubstitusikan persamaan kerapatan Lagrange ke persamaan Euler-Lagrange :

a. Terhadap Konjugat

0                      F L F L dS d F L d d g S g g   (16)





0

2 2 4       _{ }         F F R F i PF dS d F i d d S 

 (17)

0 4 2 2        F F R S F P F i

  persamaan gerak terbukti (18)

b. Terhadap non-konjugat

0                      F L F L dS d F L d d g S g g 

 (19)

 

0

2 2 4       _{ }         F F R F i F P dS d F i d d S 

 (20)

0 4 2 2       

 RF F

S F P F i

  persamaan gerak terbukti (21)

ansatz 1

 

S A



A

 





S v

 









i





 

 S w

 







Persamaan Lagrange:





2 6

3

2 F

R F P F F F F i

L_g  _  _  _S  (23)

Misal: B sech



A₂

 





Sv

 







 



 



 S w

C 

 

iC B

A

F ₁ exp (24)

 

iC B

A

F  ₁ exp  (25)

 

iC A B

 

iC iA BC

 

iC B

A

F_  _1 exp  _{1 }exp  _{1 }exp (26)

 

iC A B

 

iC iA BC

 

iC

B A

F  1 exp   1  exp   1 exp  (27)

 

iC iA BC

 

iC B

A

F_S  _{1 S}exp  _{1 S}exp (28)

 

iC iA BC

 

iC

B A

FS  1 Sexp   1 Sexp  (29)





























 A S v A S v A S v A v

B 2 2 2 2

2 1

tanh sech

2

1 _{   }



 (30)







2





2







 

2

2 1

tanh sech

2 1

A v S A v

S A

B_S    (31)

    S w

C   (32)





S

C (33)

 



 A A B A BB iA B C

F

F 2 2

1 2

1 2 1

1  

 (34)

 



 AA B A BB iA B C

F

F  _{1 1} 2 ₁2  ₁2 2 (35)

 

 FF iA B C

F

F 2 2

1 2

 

 (36)

2 2 2 1 2 2

1 S S

S

SF A B A B C

F   (37)

6 6 1 3 3

B A F

F  (38)



 



6 6

1 2

2 2 1 2 2 1 2

2 1

3 2

2 A B

R C

B A B A P C B iA i

L_g   _  _S  _S  (39)





6 6

1 2

2 2 1 2 2 1 2

2 1

3 A B

R C B A B A P C B A

L_g  _  _S  _S  (40)





   



 _{  }

 4 6

1 2

2 2 2

2 1

3 A B

R C B B P C B A

Misal: S~Sv

 

  SS~v

 



   





   

 

 

                        

 RA A S

S A S A S A A P w v S S A A

L_g sech ~

3 ~ sech ~ tanh ~ sech 4 ~ ~

sech ₁4 3 ₂

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 

  (42)





 

 L dS

L _g (43)





                 2 4 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2

4 A A

R A A A P A w v A

L        (44)





_   _{   }  4 1 2 2 2 2 2 1 6 8 8 A R A P w v A A

L    (45)

Parameter dari Lagrange tersebut diatas adalah: A1, A2, , v, w Evaluasi tiap parameter:

1) Terhadap A1

0 1 1             A L A L d d   (46)

 





0

2 8

8

0 14

2 2

2 

  



 _{   }

 v w P A R A

d

d _{ }

   (47)

0 2 8 4 1 2 2

2   



w PA P R A

v 

  (48)

2) Terhadap A2

0 2 2             A L A L d d   (49)

 

0

6 8

0 14

2 2

2 

  



 _{   }

 v w P A P R A

d

d _{ }

   (50)

0 6 8 4 1 2 2

2   



w P A P R A

v 

  (51)

3) Terhadap 0                L L d d  (52) 0 2 2 2 1 2 2 1               

 A P

0 2

2

2 2 1 2

2 1 2

2 2 2 1 2

1

1    _P 

A A v A A v A

A A v A

A A

 



(54)

0 2

2

2 2 1 2

2 1 2

1

1    

P A A v A A v A

A A

 

(55) 4) Terhadap v

0

         

 

v L v

L d

d



 (56)

 

0 0

2 2

1 

   

 

 

 A 

A d

d

(57) 0



 (58)

5) Terhadap w

0

           

w L w

L d

d



 (59)

0 0

2 2

1      

  

A A d

d

 (60)

0 2

2 2

2 2 1 2

1

1  



A A A A

A

A  

(61)

2 2 1 1

2

A A A A _ 

(62) Agar persamaan (62) dapat terpenuhi maka harus diambil bentuk:

0

0 ₂

1 dan A 

A  (63)

Substitusi persamaan (58) dan (63) ke persamaan (55), sehingga di peroleh:



P A A v A A

2 2 1 2

2 1

2



 (64)

 P

v2 (65)

 

 P

v 2 (66)

Dari persamaan (48):

4 1 2

2 2

2

8 A

R A P P

w

v    

  (67)

Dari persamaan (51):

4 1 2

2 2

6

8 A

R A P P

w

v    

Persamaan (67) = (68):

4 1 2

2 4

1 2

2

6 8

2

8 A

R A P A R A P

 



 (69)

2 2 4

1

4

3 A

P A R

 (70)

4 1 2 2 1

4 3

   

 

 A

R P

A (71)

Substitusi persamaan (58) dan (71) ke persamaan (68): 

  

   



 2

2 2

2 2

4 3 6

8 R A

P R P

A P

w  (72)

2 2 2

2 2

8

8 A

P P

A P