Penggunaan Metode Homotopi Untuk Menyelesaikan Model Aliran Polutan Di Tiga Danau Yang Saling Terhubung

...

PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK

MENYELESAIKAN MODEL ALIRAN POLUTAN

DI TIGA DANAU YANG SALING TERHUBUNG

A. T. WIBOW01, JAHARUDDIN2, DAN A. KUSNANT02

Abstrak

Pencemaran danau merupakan masalah serius bagi lingkungan hidup. Salah satu cara pemantauan polusi pada danau dilakukan dengan membangun suatu model matematika. Dalam artikel ini ditinjau model penyebaran polutan pada tiga danau yang sating terhubung dan diselesaikan dengan menggunakan metode analisis homotopi. Dalam metode analisis homotopi, didefinisikan suatu operator yang didasarkan pada bentuk persamaan diferensial dalam model matematika. Hasil metode ini sesuai dengan metode perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009). Graflk fungsi penyebaran polutan pada tiga danau yang saling terhubung diberikan berdasarkan bentuk-bentuk sumber polutan yang masuk pada danau pertama. Kata kuoci: model penyebaran polutan, metode analisis homotopi, masalah taklinear.

PENDAHULUAN

Polusi atau pencemaran lingkungan hidup adalah masuknya atau dimasukkannya makhluk hidup, zat, energi, atau komponen lain ke dalam lingkungan hidup oleh kegiatan manusia sehingga kualitasnya turun sampai ke tingkat tertentu yang menyebabkan lingkungan hidup tidak dapat berfungsi sesuai dengan peruntukkannya. Pemantauan polusi adalah langkah awal menuju pcrencaoaan untuk menyelamatkan lingkungan hidup. Pemantauan polusi pada danaujiapat dilakukan dengan pendekatan sistem dalam membangun model suatu pcnyebaran jumlah polusi pada danau. Model ini dapat digunakan sebagai bahan pertimbangan atau acuan untuk memformulasi kebijakan dalam pengendalian pencemaran yang terjadi.

Penggunaan persamaan diferensial dari pemantauan polusi sering muncul pada model matematika. Dalam artikel ini, akan ditinjau masalah laju alir jumlah polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling terhubung. Masalah ini pemah dimodelkan oleh Biazar et al. (2006). Model matematika tersebut dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial. Bebcrapa penelitian difokuskan pada penemuan metode pendekatan analitik untuk memeroleh penyelesaian dari masalah yang dimodelkan dalam suatu persamaan diferensial. Beberapa metode yang telah digunakan untuk menyelesaikan model laju alir

1

Mahasiswa Program Sarjana, Departcmcn Matematika. Fakultas llmu Pcngetahuan Alam. Jalan Mcranti Kampus IPB Dramaga Bogor, 16680.

80 A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO

polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling terhubung adalah metode aproksimasi Pade' (Merdan 2008), metode perturbasi (Merdan 2009), metode modifikasi transformasi diferensial (Merdan 20 I 0), dan metode iterasi variasi (Biazar et al. 20 l 0).

Dalam artikel ini akan digunakan metode analisis homotopi (Liao 2004) untuk menyelesaikan model laju alir jumlah polutan pada tiga danau yang saling terhubung. Hasil-hasil yang diperoleh dengan metode analisis homotopi akan dibandingkan dengan hasil-hasil yang telah diperoleh dengan metode perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009).

FORMULAS! MATEMATIKA

Berikut ini akan dibahas masalah laju alir jumlah polutan tiga danau sating terhubung yang diperlihatkan oleh Gambar 1.

sumber polutan

Gambar 1 Laju alir jumlah polutan pada tiga danau

Model permasalahan laju alir jumlah polutan tiga danau yang saling terhubung didasarkan pada tiga danau besar yang berada di perbatasan antara Amerika Serikat dan Kanada, yaitu danau Superior, danau Huron, dan danau Michigan. Ketiga danau tersebut memiliki saluran berupa pipa yang diperlihatkan olch anak panah pada Gambar 1. Polutan dikenakan ke dalam danau pertama dari sumber polutan. Di dalam danau pertarna polutan dapat mengalir ke danau kedua dan ketiga. Pada danau kedua polutan hanya bisa mengalir ke danau ketiga, scdangkan di danau ketiga, polutan hanya bisa kembali mengalir ke dalam danau pcrtama. Aliran ini dapat disederhanakan ke dalam bagan alir yang diperlihatkan pada Gambar 2.

[image:2.624.44.458.91.555.2]

..

'

'i

...

'

I

'

I

JMA, VOL. 12, NO.l, JULI 2013, 79-92 81

F31

p(t) F21 FJ2

,,

Sumber _{_I Danau l I I}

Danau 2 I : Danau 3

I

Polutan I I I I

Ｇ ｾ＠

[image:3.630.68.467.105.236.2]

F1 3

Gambar 2 Bagan aliran jumlah pol utan pada tiga danau

Pada Gambar 2, laju jumlah polutan yang masuk ke danau per unit waktu dilambangkan dengan p{t), dan konstanta

Fj;

dinyatakan sebagai laju aliran volume polutan dari danau i ke danauj. Misalkan x;(l) merupakan jumlah polutan dalam danau i pada t 2: 0, dengan i = l, 2, 3. Diasumsikan polutan di masing-masing danau tersebar secara merata di sepanjang danau oleh proses pencampuran, dan volume air V; di danau i tetap untuk setiap danau. Diasumsikan pula polusi bersifat homogen dan tidak menyusut ke bentuk lain yang lebih sederhana, sehingga konsentrasi polutan di danau i pada waktu t diberikan oleh

X;(l)

C;(t)

=

v·

I

Diasumsikan tiap danau pada awalnya bebas dari pencemaran, sehingga x;(O)

=

0 untuk setiap i

=

1, 2, 3. Arus alir polutan dari danau i ke danauj pada setiap waktu

t, ' j;(t) didefinisikan sebagai berikut:

Fj,

r ··(t) _JI

=

F ·C.(t) _{JI I}

=

- x·(t)

v

_{I •}

I

Besaran rp(t) digunakan untuk mengukur laju perubahan jumlah polutan di danau

i yang mcngalir ke danau j pada waktu t. Berdasarkan proses pencampuran, total laju perubahan polutan sama dengan selisih laju perubahan polutan yang masuk dan keluar. Menerapkan prinsip ini untuk setiap danau menghasilkan sistcm persamaan diferensial orde pertama berikut:

cfx1(1) F13 x1(t)

--=p(t)+-x3(t)-(F21 + F 3 1 ) - .

ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠

dx2(t) Fi1 F31

- - =

- x1 (t)-- x2(t),

dt V1 Vi

(1)

dr₃(t) F₃₁ F₃₂ F₁₃ - - =-,-x₁ (r)+-x₂(t)--x₃(t).

dt ｾｉ＠ V2 V3

dengan

82 A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO

Fj;

konstanta dari laju alir volume polutan dari danau i ke danau j,

p(t) fungsi laju jumlah polutan saat masuk ke danau per unit waktu sebagai sumber polutan,

V; vo lume air di danau i, dimana i = l, 2, 3.

Selanjutnya, asumsikan pula bahwa volume ketiga danau tersebut tidak berubah selama proses pencampuran polutan. Jadi laju alir volume polutan ke dalam danau sama dengan laju alir volume polutan yang keluar dari danau, sehingga diperoleh persarnaan berikut:

F13

=

F21 + FJ1,

=F32, (2)

FJ1+ F31 = F13.

Dalarn artikel ini akan diselesaikan masalah ( l) dengan kendala (2) dan x,{O)

=

0, i

=

I, 2, 3 dengan menggunakan metode analisis homotopi dan membandingkan hasilnya dengan metode perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009).

ANALISIS METODE

Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopi bcrdasarkan pada (Liao, 2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut:

A[y(t)]

=

0. (3)

Dengan A suatu operator turunan dan y fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada t. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear L yang memenuhi

L[f] = 0, bila/

=

0. (4)

Didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:

J((u(t,q),q)

= (

1 -q) L[u(t,q) -y

0 (t)] + qA [u(t,q)] , (5)

denganu fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada I dan parameter q.

FungSi y

0(t) merupakan pendekatan awal dari penyelesaian. Pada saat q

=

0,

persamaan (5) menjadi

Jf(u(t,0),0)

=

L[u(t,0) -y

0(t)] ,

dan pada saat q = I menjadi

Jf(u(t,1), 1) =A[u(t,q)].

Berdasarka n persamaan (3) dan (4), maka penyc lesaian persamaan Jf(u(t,0),0)

=

0 dan Jf(u(t, I), l) = 0 masing-masing adalah u(t,O) = y

0(t) , dan u(t, I) = y(t). Deret

Taylor untuk fungsi 11(t,q) terhadap q di sekitar q

=

0 adalah

00

I

1 amu(t, q)

u(t,q)

=

u(t,O )

+

-1 iJ m qm.

m. q

JMA.

VOL. 12, NO.I, JULI 2013, 79-92 83

Misalkan dinotasikan

(t) =-l if'u(t,q)

Ym m! oqm

'I = 0

Karena u(t,O)

=

y

0(t), maka CX)

u(t, q)

=

Yo(t)

+

L

Ym (t)qm. (6)

m =1

Karena u(t, l)

=

y(t), maka pada saat q

=

l diperoleh

CX)

y(t)

=

Yo(t)

+

L

Ym (t). (7)

m = 1

Pada metode homotopi, fungsi u(t,q) adalah penyelesaian dari persamaan

Jf(u(t,q),q) = O atau (l -q) L[u(t,q) -y/t)] = - qA[u(t,q)]. Selanjutnya persamaan tersebut diturunkan terhadap q hingga m kali dan dievaluasi pada q

=

0, maka diperoleh persamaan sebagai berikut:

L[y m (1) - XmY m. ₁ (t)]

= -

Rm(Ym -1), (8) dengan

(9)

Hasil y (t) pada metode homotopi dengan menyelesaikan persamaan (8)

m

digunakan untuk memeroleh penyelesaian persamaan (3) yaitu pada persamaan

(7).

Berdasarkan persamaan ( l ), didefinisikan operator linear sebagai berikut:

L;[1t;(t,q)] = ou,(t,q) ot 'dengan, .

=

1,2,3,

ou1 (t,q) F13 F13

A i[u, (t,q),u2(t,q),u3(t,q)]

=

ct

-

p(t)- V3 U3(t,q) +

Yi"'

(t,q), ou_2(t,q) F₂₁ F₃₂

A2[u1 (1,q),112(t,q),u3(t,q)]

=

ot -

Y;""'

(t.q) + Vi t12(t,q),

( l 0)

0113(1,q) F₃₁ F₃₂ F₁₃

A3[u 1(t,q),u2(t,q),u3(t,q)]

=

₀₁ - -y;-ui(t,q)- Vi 112(t,q) + VJ U3(t,q) .

dengan u1 (t,q), u2(1,q), dan u3(t,q) fungsi yang bergantung pada t dan q.

84 A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO

Jf1 (x(t,q),q)=[x1 (t,q)-x1,0(t)] +q [x 1.0(1)-p(t)-

ｾＺ＠

x3(t,q )+

ｾ

Ｑ

Ｓ＠ x1 (t,q)],

1f2(x(t,q),q)=[x2(t,q)-x1.0(r)]+q

[.x

2•0(1)-

ｾ

Ｑ

Ｑ＠ x 1 (r,q)+

ｾ

Ｒ

Ｒ＠ x2(t,q)].

[. . ] [· F31 F32 F13 ]

Jf3(x(t,q).q)= X3(t,q)-x3,o(t) +q X3 ,o (t)-Vix1 (t,q)- V2 X2(t,q)+ V3 X3(t,q) .

Berdasarkan persamaan (8) dan fungsi homotopi tersebut di atas, maka diperoleh persamaan berikut:

£1 [x1,m(l)-XmX1,m-I (1)] =-R1.m(X1.m-l1Xl,m-l

•XJ.m-d,

£2 [x2.m(t)-Xn,X2.m-I (t)] =-R2.m(X1.m-t•X2.m-l ,XJ.m-1 ), ( 11) £3 [x3.m(1)-"X.mXJ.m-I (t)] =-R3.m(X1.m-t •X2.m-t •XJ.m-1 ),

dengan

R (... ... ... )-OX1.m-1(/) F [XJ.nr-1(/) Xi.nr-1(/)] l.m X1.m-l•x2.m-l•x3.m-1 -

ot

-

13 V3 - Vi

I

0'1-

1p(t)

(m-1)! 0 m-1 ,

q q=O

(... ... ... )-OX2,m-1(l) [Xz.m-1(1) X1.m-1(t)] (12)

Ri,m X1.m-t 1X2,m-l•XJ.m-1 - iJt -F21 Vi -

v

1

'

R (... .... ... ) - OXJ.111-1{!) F X1,m-1(t) F X2.m-1(t)

3.m Xi.m-l •X2.m-l •x3.m-1 - dt 13

v

1 32

v

2

X3 m-1(1)

+Fu . V3 .

Misalkan penyelesaian pendekatan awal x1,₀(t)=r_{1 ,} x_2•0(t)=r_{2 ,} dan x3.0(t)=r3 •

Penyelesaian masalah nilai awal persamaan ( l) dengan metode analisis homotopi hingga orde keenam dinyatakan dalam persamaan berikut:

x₁ (t)=x_1.0(1)+x1,1 (r) + x1,2(I) + x1,3(t) + x_1.4(t) + x1.5(t) + x_1,6(t),

X2(t)=x2.o(t)+x2 .1 (t) + X2,2 (I) + X2,3(l) + X2,4(l) + X2.s(t) + X2.6(1), X3(t)=x3.o(t)+x3,1 (1) + x3.2(t) + X3,3(t) + X3.4(t) + X3,5(1) + X3 ,6(1).

APLIKASI METODE

Pada bagian ini metode analisis homotopi akan diaplikasikan dengan masukan data-data sebagai berikut:

• jumlah polutan yang masuk ke danau i pada saat t

=

0 adalah ,.i = 0, i = 1,2,3,

• volume konstan dari setiap danau adalah V1

=

2900 mi 3

, V₂

=

850 mi3 ,

V₃

=

1180 mi3,

l ｾ＠

"

JMA, VOL. 12, NO.I, JULI 2013, 79-92 85

• laju aliran volume polutan ke dalam suatu danau dari danau lainnya tiap tahunnya adalah F₂₁

=

18 mi3 /tahun, F32

=

18 mi

3

/tahun, F31

=

20 mi3 /tahun

dan F₁₃

=

38 mi3 /tahun. Besaran-besaran ini harus memenuhi kendala-kendala yang diperoleh pada persarnaan (2).

Dalam artikel ini, ditinjau dua kasus laju alir jumlah polutan yang masuk ke danau pertarna dari sumber polutan yaitu:

1. Laju alir jumlah polutan berupa fungsi konstan. Pada kasus ini, jumlah polutan yang masuk ke dalam danau pertama bertambah terns menerus secara linear bingga waktu tertentu.

11. Laju alir jumlah polutan berupa fungsi sinusoidal. Pada kasus ini, jumJah

polutan yang masuk ke dalam danau pertama berubah-ubah secara periodik terhadap waktu.

Sumber Polutao Berupa Fungsi Konstan

Misalkan sumber polutan, yaitu p(t) diberikan sebagai berikut:

p(t) =

{Ctn ;

t $ to

0; t

>

t_{0 ,}

Dengan C1,, adalah rata-rata laju alir jumlah polutan selama proses pencampuran

terjadi hingga waktu to dan nilai p(t)

=

0 setelah waktu to Asumsikan C;,,

=

l 00 polutan per satuan waktu. t₀

=

I 0 yang menyatakan bahwa la ju alir jumlah polutan

yang masuk ke danau pertama sebagai sumber polutan sebesar 100 polutan per tahun untuk selama 10 tahun. Berdasarkan nilai parameter-parameter yang telah diberikan dengan p(t)

=

100, diperoleh penyelesaian eksak pada selang r ::; 10 sebagai berikut :

x1 (t)

=

4,37 x 10·10 exp(-0,0331) (l ,34 x I 011 exp(0,0331)1 + 2,81 x 1012exp(0,033t)

+7,874x I010sin(7,37x l0"3t)-2,81 x l01:?cos(7,37x l0-3t)),

Xz (t) = 7 ,69x I 0·3 exp(-0,033!) {2,242 x I 010 exp(0,0331)1 -5,895 x 1011 exp(0,033t)

- 3,83 x 1011 si11(7,37 x 10"3t) + 5,895 x 1011cos(7,37x 10·3t)) ,

x3(t) = 7,117x I0-10exp(-0,033t) {3,36 xl0 10

exp(0,033t)t - 1,092 xl012

exp(0,033t)

+ 4,38 x 1011 sin(? ,37 x I0"3t) + 1,092 x 1012 cos(7,37 x 10"3t )) _

86 A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO

TABEL I

Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus pertama

0 0 0 0

0. 1 3.32653x ＱＰ ｾ＠ 5.16117x 10·10 3.09877x 10-3 0.2 2.65734 x 10·5 _{8.24475 x 10-9 l.23764 x 10·}2

0.3 8.95546 x 10-5 4. 16727 x 10-8 2.7805 x 10-2 0.4 2.11968 x 104 1.31497 x 10·1 _{4.93567 x 10·}2

o.s

4.13398 x 104 3.20528 x 10·1 _{7. 7004 x 10·}2

0.6 7.13314 x 104 6.63593 x 10·7 0.1107 19 0.7 1.13107 x 10·3 1.22744 x ＱＰ ｾ＠ 0.150475 0.8 1.68591 x 10·3 2.09063 x 10.() 0. 196245 0.9 2.39696 x 10-3 3.34348 x ＱＰ ｾ＠ 0.248001 J.0 3.28324 x 10-3 5.08792 x I 0-6 0.305716

TABEL 2

Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus penama

0 0 0 0

0.1 1.86517 x 10-13 _{5.69328 x 10·}14 _{1.78191 x 10·}14

0.2 2.62901 x 10·13 1.28664 x 10·14 9.88046 x 10-14 0.3 1.42109 x 10·14 2.2999 x 10·14 2. 78458 x 10·14 0.4 I. 77636 x I0"13 8.40994 X I0"15 1.31867 x 10"13

o.s

2.20268 x 10·13 7.43572 x 10·14 1.08483 x 10·13 0.6 2.55795 x 10·13 1.27842 x io·13 _{2.03 171 x 10·}14

0.7 2.13163 x 10·13 2.83829 x 10·13 2.2 1656 x 10·13 0.8 1.42109 x 10·14 6.96609 x 10·13 5.46979 x 10·13 0.9 4.68958 x I 0-13 1.5 3211 x 10·12 1.0 l 069 x I 0-12 1.0 1.1 3687 x 10·12 3.35787 x 10·12 2.3 1043 x 10·12

Gambar 3 berikut ini merupakan penyelesaian eksak persamaan (I) untuk

kasus pertama. Gambar 3 masing-masing menunjukkan grafik penyelesaian untuk

[image:8.616.31.431.93.523.2]

'

'

1

•

JMA, VOL. 12, NO.l, JULI 2013, 79-92

Xt (t) eoo

"-600

400

200

IH

,

..

Ut

...

..

..

..

0 _{ＭＭＭＭＭｾＭＭＭＭｴ＠} ＫＭｾｾｾｾｾｾｾｾＭ _{JO aoo UO 100 1'0 JOO 3'0} ｴ＠ 100 200 300

X3(t)

lOO

IJO

100

so

[image:9.626.68.476.97.351.2]

St 100 1.SO 2t0 l$t 101 HO

Gambar 3 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (I) pada kasus pertama

87

Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa semakin besar nilai t untuk selang waktu selama 10 tahun, semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada selang waktu di atas 10 tahun, jumlah polutan menjadi stabil, tetapi setiap danau mengalami perubahan penambahan jumlah polutan. Pada danau pertama, jumlah polutan menurun hingga konvergen ke 588,234. sedangkan pada danau kedua dan danau ketiga, jumlah polutan mengalami kenaikan hingga masing-masing konvergen ke 172,415 dan 239,352. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya polutan yang masuk ke danau pertama pada selang waktu di atas l 0 tahun (p(t)

=

0, t > I 0) dan terjadi proses pencampuran dari ketiga danau. Jika perubahan jumlah polutan dari ketiga danau pada bulan ketiga dalam selang I tahun diamati, maka danau pertama, kedua dan ketiga masing-masing menghasilkan laju perubahan jumlah polutan sebesar 99,67; 0, 15; 0,33. Jumlah dari ketiga hasil tersebut sama dengan laju perubahan jumlah polutan yang berada di ketiga danau yaitu 100 polutan/tahun. Total laju perubahan dari jumlah polutan ketiga danau meningkat sccara linear berganlung pada fungsi konstan p(t) yang diberikan yaitu bernilai I 00. Dengan demikian polutan yang diberikan dari sumber polutan akan menyebar ke setiap danau.

Sumber Polutan Berupa Fungsi Sinusoidal

Misalkan sumber polutan, yaitu p(t) diberikan sebagai berikut: 2rrt

p(t) = Ci(l

+

a sin(T)),

dengan

a simpangan normal yang memcngaruhi nilai maksimum dan minimum fungsi

J

'

·.·

'

88 A. T. WlBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO

T periode yang dibutuhkan dalam perubahan jumlah polutan selama proses pencampuran,

C, rata-rata laju alir jumlah polutan selama proses pencampuran.

Agar laju alir jumJah polutan tersebut selalu bemilai positif dan berubah-ubah secara periodik dari 0 sampai dengan 200, maka diasumsikan C;

=

l 00, a

=

l, dan T = 2x.

Berdasarkan nilai parameter-parameter yang telah diberikan dengan fungsi

p(I)

=

100( I +sin t), diperoleh penyelesaian eksak sebagai berikut:

x₁ (t)

=

-l, l 90x 10·3 exp(-0,0331) cos(7,37x10-3,) + 39,68exp(-0,033t)sin(7,37 xl0·3

t)

+ 1,31 sin(t)-99,96 cos(1) + 58,82t + 1.290,48,

x₂ (t)

=

-287,32exp(-0,033t)sin(7,37x10·3

1)

+ 436,95elp(-0,033t) cos(7,37x10·3

1)

-0,62sin(t)-0,02 cos(t)

+

I 7,24t - 435,93,

x₃(1) = 2.476.40exp(-0,033t)sin(7,37 x10'3

t)

+ 753,56exp(-0,033t)cos(7,37 xl0'3

t)

- 0,689 fin(t) -0,018 cos(t) + 23,931 -753,55.

I I

Berikut inrdiberikan Tabel 3 yaitu selisih antara penyelesaian metode analisis homotopi dengan penyelesaian eksaknya. Tabet 4 yaitu selisih antara penyelesaian metode perturbasi homotopi yang diperoleh dari (Merdan 2009) dengan penyelesaian eksaknya.

I , TABEL 3

Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus kedua

0 2.268491x 10·14 3.692 16 x 10·14 4.98677 x 10-14 0.1 3.40969 x 10-6 3.56857 x 10"" 3.5589 x 10·3 0.2 2.79011 X 10·S 1.4755 X 10.J l.4676 X 10·2

0.J 9.62569 X JO·S 3.42761 X I0.3 3.40037 X 10-2

0.4 2.33077x I0-1 6.28377x 10-3 6.21788x 10-2 0.5 4.64719 x 10-4 1.01128 x 10-2 9.98152 x 10-2

0.6 8.19217 x 10-4 1.4981 x 10-2 0.147498

0. 7 1.32619 x I 0-J 2.09517 x I 0·2 0.205777 0.8 2.01673 x 10·3 _{2.80844 x 10·}2 _0.275162

0.9 2.92326 x 10·3 3.64345 x io·2 0.356116 1.0 4.0794 x 10·3 4.60525 x io·2 _0.44905

•

•

[image:11.614.57.500.96.712.2]

·-JMA, VOL. 12, NO. l, JULI 2013, 79-92 89

TABEL4

Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus kedua

I lx11ipm (t)·Xttks(t)

I

lx21ip111 (t)-X2eks(t)

I

lx31ipm(t)-x3tks(t)

I

0 2.26849 x 10·ll 3.69216 x 10·14 4.98677 x 10·14 0.1 4.61853 x 10·14 3.56857 x 104 3.56857 x 104

0.2 2.77112 x 10·13 1.47551 x 10·3 l.47551 x 10·3

0.3 0 3.42765 x 10·3 3.42765 x 10·3

0.4 l.20792 x 10·•3 6.28391 x 10·3 6.28391 x 10·3

o.s

3.55271x10·14 1.01131 x 10-2 1.01131 x 10·2 0.6 l.563J9x10·13 1.49817 x 10·2 1.49817 x 10·2 0. 7 1.42109x 10·14 2.09531 x 10·2 2.09531 x 10·2 0.8 4.26326x I 0·14 2.80868 x 10·2 2.80868 x 10·2 0.9 5.l 1591x10·13 3.64384 x 10·2 _{3.64384 x 10·}2

1.0 l.05 I 6x I 0-12 4.60586 x 10·2 4.60586 x 10·2

Dari Tabel 3 dan Tabel 4, metode homotopi memiliki penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasil.kan oleh metode ini pada beberapa selang t sangat kecil. Hal ini berarti metode homotopi dapat

digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau yang saling terhubung pada kasus p(t) berupa fungsi sinusoidal.

Gambar 4 merupakan penyelesaian eksak persamaan ( l) untuk kasus kedua. Gambar 4 masing-masing menunjukkan grafik penyelesaian untuk x1(t), x2(t), dan X3(t).

x1(t)

s 10 15

X3(t)

120 100

80

60

40

20

.5 10 1.5 20

[image:11.614.60.480.96.312.2]

90 A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO

Berdasarkan Gambar 4 diperoleh bahwa semakin besar nilai t, semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada danau pertama, perubahan jumlah polutan bergantung pada suatu selang waktu. Untuk selang waktu antara 0 sampai 2 tahun, jumlah polutan meningkat secara signifikan. Namun pada selang waktu antara 2 sampai 4 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan melalui titik belok di t sama dengan 3

21f. Hal itu terjadi terus menerus untuk selang waktu berikutnya. Pada

danau kedua dan ketiga, perubahan jumlah polutan berubah-ubah sesuai selang waktu tcrtentu. Pada selang waktu antara 0 sampai 7 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan. Setelah itu, jumlah polutan meningkat secara signifikan untuk selang waktu yang besar. Hal ini disebabkan oleh sumber polutan berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik. Jika perubahan jumlah polutan dari ketiga danau pada bulan ketiga dalam selang 1 tahun diamati, maka danau pertama, kedua dan ketiga masing-masing menghasilkan laju perubahan jumlah polutan sebesar 124,37; 0, 17; 0,37.

SIMPULAN

Model permasalahan laju alir polutan pada tiga danau yang saling terhubung didasarkan pada tiga danau besar yang berada di perbatasan antara Amerika Serikat dan Kanada. Polutan dikenakan ke dalam danau pertama sebagai sumber polutan yang berupa fi.mgsi konstan, dan fungsi sinusoidal. Hal ini akan memengaruhi perubahan jumlah polutan pada setiap danau. Dari kedua fungsi masukan sebagai sumber polutan tersebut , metode analisis homotopi memiliki penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasilkan oleh metode ini pada beberapa selang waktu sangat kecil. Hal ini berarti metode analisis homotopi dapat digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau yang saling terhubung.

Pada fungsi masukan (sumber polutan) bcrupa fungsi konstan, semakin besar nilai t untuk selang waktu selama I 0 tahun, semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada selang waktu di atas 10 tahun, jumlah polutan menjadi stabil. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya polutan yang masuk ke danau pcrtama pada selang waktu di atas 10 tahun. Perubahan total dari jumlah polutan ketiga danau meningkat secara linear bergantung pada nilai konstan pada fungsi masukan yang diberikan, yaitu bemilai I 00 polutan/tahun. Dengan demikian polutan yang diberikan dari sumber polutan menyebar ke setiap danau.

Pada fungsi masukan berupa fungsi sinusoidal, semakin besar nilai t,

semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada danau pertama, perubahan jumlah polutan bcrgantung pada se lang waktu tertentu. Untuk selang waktuantara 0 sampai 2 tahun, jumlah polutan meningkat secara signifikan. Namun pada selang waktu antara 2 sampai 4 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan melalui titik belok di t sama dengan 311• Hal itu terjadi terus menerus untuk selang

2

it

•

•

I

JMA, VOL. 12, NO. l , JULI 2013, 79-92 91

waktu berikutnya.Pada danau 2 dan 3, perubahan jumlah polutan pun berubah-_{...._} ubah sesuai dengan selang waktu tertentu. Pada selang waktuantara 0 sampai 7 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan. Setelah itu, jumlah polutan meningkat secara signifikan untuk selang waktu yang besar. Hal ini disebabkan oleh sumber polutan berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik.

DAFTAR PUSTAKA

[I] Biazar J, Farrokhi L, Islam MR. 2006. Modelling the pollution of a system of lakes. Applied Mathematics and Computation.178:423-430.

[2] Biazar J, Shahbala M, Ebrahimi H. 20 I 0. VIM for solving the pollution problem of a system of lakes. Journal of Control Science and Engineering. 20 I 0:0-6. I O.doi: I 0.1155/20 I 0/829152. [3] Liao. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method. Boca

Raton, New York.

[4] Merdan M. 2008. He's variational iteration method applied to the solution of modelling the pollution of a system of lakes. DPU Fen Bilimleri Dergisi.2008( 18) 1302-3055.

[5] Merdan M. 2009. Homotopy perturbation method for solving modelling the pollution of a system of lakes. SDU Journal of Science (E-Jouma/). 4( I ):99-111.

92 A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO

'

•

..

ｊｾ＠ Vol 12 No.1 Juli 2013 ISSN: 1412-677X

TATA CARA PENULISAN MAKALAH

ＱＮｦｦｬｾ＠ menerima makalah dalam bahasa Indonesia atau bahasa lnggris. Makalah dapat dikirim melalui pos (berupa 2 hard copy beserta soft copy) atau lewat email ke alamat berikut:

Redaksi

JJUI

Departemen Matematika FMIP A - lnstitut Pertanian Bogor Jin. Meranti, Kampus IPB Dramaga

Bog or

Phone/Fax: (0251) 8625276

Email: math@ipb.ac.id, jma.mathipb@gmail.com

Makalah orisinil berupa hasil penelitian matematika mumi atau terapan mendapat prioritas utama untuk diterima. Tulisan yang bersifat review juga bisa diterima. Makalah akan diseleksi oleh redaksi dan hasil seleksi akan diinformasikan.

Makalah ditulis dengan LATEX!fEX/MS-WORD dengan kualitas baik, format A4, bolak batik, spasi satu, font 12, margin kiri 4 cm, margin kanan 3 cm. Margin atas dan bawah 4 cm. Maksimum jumlah halaman 20, termasuk tabel. illustrasi, dan gambar.

Judul makalah dibuat singkat, jelas, dan merepresentasikan isi makalah. Nama penulis diletakkan pada catatan kaki, diikuti nama instansi (bila ada), dan alamat (termasuk einai l jika ada).

Abstrak diletakkan di bawah nama dan alamat penulis, ditulis tidak melebihi 250 kata, meringkas hasil yang diperoleh dan metode yang digunakan . Di bawah abstrak boleh dilctakkan kata kunci . Kata kunci terdiri atas satu kata atau lebih yang merupakan istilah yang paling dominan digunakan dan merupakan istilah yang paling mencntukan isi tulisan.

Ack11owledgme111/U11gkapan Terima Kasih ditulis pada akhir tulisan sebelum referensi.

Refererrsi!Dapar Pustaka diletakkan pada akhir tulisan setelah Ungkapan Terima Kasih, penulisan mengikuti pola pada contoh berikut ini dengan pengurutan naik didasarkan abjad huruf pertama pada nama belakang penulis pertama.

[I] S. Guritman, F. Hooweg. and J. Simonis, ''The Degree of Functions and Weights in Linear Codes, "Discrete Applied Mathematics, vol. I I I, no. I, pp. 87-102, 2001 (2) J.H. van Lint, /11troductio11 to Coding TheOl)', 2nd ed. Berlin, Germany,

Springer-Verlag, 1992.

Journal of Mathematics and Its Applications

•

Jurnal Matematika

dan

Aplikasinya

Vol 12 No.I, Juli 2013

SlnUasl _ｾ＠ Sedethana ｾ＠ Metode Galetfdn

( _{Dalam Matlab}

H. A1atas. A D. Gama<f, S. NUfffatl, T. Pf.lanelata, dan L Yulfawatl ₁

PengalUIJ Sanple Slze (N) dan Test Lef¥llh (n) Tethadap tem Parameter

E.stJmce dan &amlnee Patamefer Estim8ta, 5ua(u Sttd Slrrulasl

R. Bucllattl ₂₅

Arttmedc

RiW

Pollnomlal unf1M KonstMsl FutWSi Hash Betbasls Latls

ldesl

s.

Gurltman, N. Alatlnlngt¥as, T. ｾｾ＠ dan M. llyas 37

Pendugaan KOIJl)OOeO Perlodfk FtJfll#1/ ｾｬｴ･ｬ｡ｳｬｴ｡ｳ＠ Betbertulc FungsJ Perlodfk Kai Tten Unear 5uatu Proses Poisson Non-Homogen

W. lsma)'ufa, I W. Marfl<u, dan Slswanc:I 49

8'8fll8n ｾ＠ DasarModel West Nie Wus ｾｮ｡ｫ｡ｮ＠ M8trf<s

Next Generaflon

L D. ｾａ＠ Kusnanto, clan Jaharudcfn 63

Penggtnaan Metode Homotopl umJc ｾｬ･｡ｮ＠ Model Alran

...

r

Polur.an <I T"9 Danau yang SaltW Tethcblng