• Tidak ada hasil yang ditemukan

The Dynamic of HIV Virus Infection as a Result of Protease Inhibitor Therapy.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "The Dynamic of HIV Virus Infection as a Result of Protease Inhibitor Therapy."

Copied!
86
0
0

Teks penuh

(1)
(2)

Therapy. Supervised by ALI KUSNANTO and TONI BAKHTIAR.

Acquired immunodeficiency syndrome (AIDS) is defined as symptoms of deterioration human immune system caused by human immunodeficiency virus (HIV). The virus damages the leucocytes; therefore, once a person infected by the HIV, his/her immune system will be paralyzed and eventually will not be able to survive from any disease. HIV is transmitted in many ways, such as having unsafe sex, using unsterilized syringe, blood transfusion, and many more. So far, there has not been discovered yet a way or a medicine that can totally cure this disease. However, reverse transcriptase inhibitor therapy, protease inhibitor, or combination of those two can decline the growth of virus inside the body of the infected person. Therefore, the immune system will be enhanced back to normal phase.

(3)

oleh ALI KUSNANTO dan TONI BAKHTIAR.

Acquired immunodeficiency syndrome (AIDS) merupakan sindrom (kumpulan gejala) menurunnya sistem kekebalan tubuh. Human immunodeficiency virus (HIV) adalah virus penyebab AIDS yang menyerang sel darah putih sehingga dapat melumpuhkan sistem kekebalan tubuh seeorang yang pada akhirnya tidak dapat bertahan dari gangguan penyakit. Penyebaran virus HIV dapat terjadi melalui berbagai cara, yaitu hubungan seksual yang tidak aman, penggunaan jarum suntik yang tidak steril, transfusi darah, dll. Sampai saat ini belum ditemukan obat penyembuh total bagi penderita AIDS, namun terapi Reverse Transcriptase Inhibitor, Protease Inhibitor atau kombinasi antara keduanya dapat menghambat pertumbuhan virus dalam tubuh penderita sehingga kekebalan tubuh akan kembali meningkat ketahap normal.

Pada tulisan ini, akan dianalisis pengaruh terapi Protease Inhibitor terhadap dinamika virus dalam darah dengan nilai keefektifan terapi yang berbeda. Terdapat dua buah model terapi Protease Inhibitor, yaitu terapi Protease Inhibitor dengan keefektifan sempurna dan tidak sempurna. Protease Inhibitor Sempurna dapat menghambat pertumbuhan virus dengan baik dan tidak menginfeksi sel darah putih sehat sedangkan terapi Protease Inhibitor tidak sempurna tidak dapat menghambat pertumbuhan virus secara total.

(4)

NUR DWI PRIVITA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPERTEMEN MATEMATIKA

(5)

karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak. Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Keluargaku tercinta: Bapak dan Ibu, yang telah memberikan kasih sayang, doa, didikan, serta dukungan baik secara moril dan materi, nasihat, dan motivasi yang sangat berharga bagi penulis. Semangat dan kesabaranmu adalah motivasi bagiku. Untuk kakakku, Mas Prio, terimakasih atas doa dan dukungannya;

2. Eyang tercinta, keluarga besar EDAYU, keluarga besar Mak Ani, terimakasih atas doa dan dukungannya;

3. Bapak Ali Kusnanto selaku dosen pembimbing I serta Bapak Toni Bakhtiar selaku pembimbing II. Terimakasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabarannyadalam membimbing penulis. Semua ilmu yang Pak Ali dan Pak Toni berikan sangat bermanfaat bagi penulis. TERIMA KASIH;

4. Ibu Endar Hasafah Nugrahani selaku dosen penguji. Terimakasih atas waktu dan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis;

5. Semua dosen Departemen Matematika, terimakasih atas ilmu yang sangat bermanfaat dan nasihatnya selama ini;

6. Ibu Susi, ibu Ade, bapak Yono, mas Bono, mas Heri, mas Deni dan seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terimakasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis di departemen Matematika;

7. Ayank Die2 dan senior Jane, terimakasih atas doa, dukungan semangat, dan bantuannya yang sangat berharga bagi penulis; bwat senior, terimakasih omelannya kepada penulis selama mengerjakan karya ilmiah ini. Kebersamaan kita akan selalu dikenang;

8. Teman-temanku di Puri Fikriyyah: Tasya, Ryu, Otonk, Hikme, Poye, Sars, Sadek, Vita43, dudunk dan lainnya yang tidak bisa ditulis satu per satu, terimakasih atas doa, bantuan, dan dukungan semangatnya;

9. Teman-teman satu bimbingan (hikmah club): Hikmah dan Jane, terima kasih atas doa, bantuan, dukungan semangat, dan nasehatnya. Banyak kisah yang kita lalui selama pengerjaan karya ilmiah kita yang tak terlupakan. Nola dan Mas Mukhtar, terimakasih atas doa dan dukungan semangatnya;

10. Otonk, Sister Ricken, dan Mba Agnes, terimakasih atas bantuannya telah menjadi tim sukses seminar tugas akhir penulis yaitu menjadi pembahas.

11. Teman-teman Math’42: Ayank Die2, Jane, Hikme, Ryu, Tasya, Otonk, Bu Gita, Hap2, Idha, Oby, Iputh, Yusep, Djawa, Acuy, Ily, Pachri, Mas Ayeep, Sapto, Vera, Rita, Pake-Y, Mba Vin, Agem, Sister Ricken, Agnes, Lisda, Ayu, Ocoy, Nyomie, Erlin, Eyyi, Achy, Niken, Bima, Hesti, Nola, Bude Titi, Mira, Rima, Sima, Tia, Lina, Zil, Dewi, Lela, Pipit, Nofita, Ety, Yuni, Danu, Dendy, Yudi, Mas Warno, Eko, Bima, Mocco, Qnun, Rendi, Ridwan, Awi, Herry, Boy, Wiwi, Mas Mukhtar, Septian, Bayu terimakasih atas doa, dukungan semangatnya, terimakasih atas kebersamaannya selama 3 tahun di Math’42;

12. Copy CS: Copy, Nia, Buncit, Cupid, Tami, Arum, terimakasih atas doa dan dukungan semangatnya;

13. Teman-teman e’gaLz: Annisa, Aini, Depild, Poye, Ana, Nenso, Angel, Anti, Erika, Eti, terimkasih atas doa, dukungan semangatnya, dan semoga persahabatan ini akan terus terjalin; 14. Semua civitas Matematika angkatan 40, 41, 43, dan 44, terimakasih untuk semuanya;

(6)

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Drs. Ali Kusnanto, M.Si Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc

NIP. 19650820 199003 1 001 NIP. 19720627 199702 1 002

Mengetahui,

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA

NIP. 19610328 198601 1 002

(7)

Yuli Nur’aini. Penulis merupakan anak kedua dari dua bersaudara.

Tahun 1999 penulis lulus dari SD Islam PB Sudirman I. Tahun 2002 penulis lulus dari SLTP Islam PB Sudirman. Tahun 2005 penulis lulus dari SMA N 39 Jakarta dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru). Penulis memilih Program Studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi tim pengajar Bimbingan Belajar Kalkulus I TPB pada tahun 2006 untuk Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika). Penulis juga pernah menjadi Staf Departemen Kewirausahaan Gumatika periode 2006-2007. Selain itu, penulis pernah terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Gumatika antara lain Danus Matematika Ria tahun 2007, LO Pesta Sains tahun 2007, Sie. Konsumsi Matematika Ria tahun 2008, dan Panitia Try Out SPMB.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Differensial Linear ... 2

2.2 Titik Tetap ... 2

2.3 Pelinearan ... 2

2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 2

2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap ... 2

2.6 Bilangan Reproduksi Dasar ... 3

III PEMODELAN 3.1 Protease Inhibitor Sempurna ... 5

3.2 Protease Inhibitor Tidak Sempurna ... 5

IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Penentuan Titik Tetap Model Protease Inhibitor Sempurna ... 6

4.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Protease Inhibitor Sempurna ... 6

4.3 Dinamika Populasi Virus ... 7

4.4 Penentuan Titik Tetap Model Protease Inhibitor Tidak Sempurna ... 8

4.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Protease Inhibitor Tidak Sempurna ... 8

4.6 Dinamika Populasi Virus saat Ro < 1 ... 10

4.7 Dinamika Populasi Virus saat Ro > 1 ... 12

V KESIMPULAN ... 14

DAFTAR PUSTAKA ... 15

(9)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Proses infeksi virus HIV terhadap sel darah putih sehat ... 3

2 Diagram alur infeksi virus HIV dalam darah ... 4

3 Peran terapi Protease Inhibitor pada virus HIV ... 5

4 Perkembangan sel darah putih sehat ... 7

5 Perkembangan sel darah putih terinfeksi ... 7

6 Perkembangan virus yang dapat menginfeksi ... 7

7 Perkembangan virus yang tidak dapat menginfeksi ... 7

8 Perbandingan dinamika populasi untuk Ro < 1 ... 11

9 Perbandingan dinamika populasi untuk Ro > 1 ... 13

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Pencarian titik tetap sistem persamaan (3.2) ... 17

2 Penentuan titik tetap sistem persamaan (3.2) dengan Mathematica 6.0 ... 18

3 Penentuan nilai eigen untuk titik tetap bebas penyakit ... 18

4 Penentuan nilai eigen titik tetap bebas penyakit dengan Mathematica 6.0 ... 19

5 Gambar dinamika populasi virus HIV dengan Mathematica 7.0 ... 20

6 Pencarian titik tetap sistem persamaan (3.1) ... 21

7 Penentuan titik tetap sistem persamaan (3.1) dengan Mathematica 6.0 ... 23

8 Penentuan nilai eigen titik tetap bebas penyakit dengan Mathematica 6.0 ... 24

9 Penentuan nilai eigen titik tetap endemik ... 24

10 Gambar dinamika populasi virus HIV saat Ro < 1 dengan Mathematica 7.0 ... 30

(10)

 

I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Acquired Immunodeficiency Syndrome (AIDS) adalah sindrom (kumpulan gejala) menurunnya sistem kekebalan tubuh. Keadaan ini bukan suatu penyakit melainkan kumpulan gejala-gejala penyakit yang disebabkan oleh infeksi berbagai macam mikroorganisme serta timbulnya keganasan dari penyakit yang menyerang tubuh akibat menurunnya kekebalan tubuh penderita. AIDS telah menyebar paling sedikit di 166 negara di dunia. Jumlah kasusnya meningkat lebih dari 100 kali lipat dibandingkan sejak saat ditemukan pada tahun 1982. Penderita AIDS pertama di Indonesia pertama kali ditemukan pada tahun 1987 pada seorang wisatawan Belanda yang berkunjung dan meninggal di Bali (Kurniati, 1995).

Human Immunodeficiency Virus (HIV) adalah virus penyebab AIDS yang menyerang sel darah putih sehingga dapat melumpuhkan sistem kekebalan tubuh seseorang yang pada akhirnya tidak dapat bertahan dari gangguan penyakit. Virus penyebab AIDS termasuk golongan virus genetik Ribonucleic Acid (RNA) yang mempunyai dua tipe, HIV-1 dan HIV-2. HIV-1 telah meluas ke seluruh dunia sedangkan HIV-2 dijumpai di Afrika Barat (www.wikipedia.com).

Virus HIV menyerang sel darah putih dan mengubahnya menjadi tempat berkembangbiak virus HIV baru dan kemudian merusaknya sehingga tidak dapat digunakan lagi. Penyebaran virus HIV AIDS dapat terjadi melalui berbagai cara, yaitu hubungan suksual yang tidak aman, seperti berganti-ganti pasangan, parenteral, yaitu melalui suntikan yang tidak steril dan, perinatal, yaitu darah ibu yang mengidap HIV kepada janin yang dikandungnya. Penularan cara perinatal ini terjadi pada akhir kehamilan atau saat persalinan. Di antara ketiga cara tersebut, hubungan seksual mempunyai peluang terbesar dibandingkan dengan yang lainnya. Selain itu, transfusi darah juga merupakan salah satu cara penyebaran virus HIV AIDS (Kurniati, 1995).

Sampai saat ini, belum ditemukan obat penyembuh secara total bagi penderita virus HIV, namun terapi Protease Inhibitor (PI), Reverse Transcriptase Inhibitor (RTI) atau kombinasi antara keduanya dapat mengurangi jumlah virus dalam tubuh penderita sehingga kekebalan tubuh akan kembali meningkat ke tahap normal. Dengan suatu diagram alur, infeksi virus HIV dalam darah ini dapat dijelaskan dalam suatu model secara matematis yang disusun oleh Nelson dan Perelson (1999). Model tersebut mendeskripsikan infeksi virus dalam darah ketika penderita sedang melakukan terapi pengobatan dengan Protease Inhibitor. Terdapat dua jenis terapi, yaitu terapi Protease Inhibitor sempurna dan Protease Inhibitor tak sempurna.

Dalam tulisan ini akan dibahas model infeksi virus ketika penderita melakukan terapi Protease Inhibitor yang sempurna dan tidak sempurna. Dalam pembahasan ini akan dianalisis kestabilan dan dinamika populasinya. Pertama, ditentukan titik tetap pada setiap model. Selanjutnya ditentukan matriks Jacobi dengan melakukan pelinearan setiap persamaan yang ada terhadap setiap variabel. Kemudian ditentukan nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan karakteristik, nilai eigen tersebut akan digunakan untuk menganalisis kestabilan titik tetapnya. Selanjutnya ditentukan laju reproduksi dasar virus ditentukan dan menggambarkan bidang solusi untuk menganalisa dinamika populasi dengan beberapa nilai laju produksi dasar virus yang berbeda. Terakhir adalah membandingkan pangaruh dari nilai keefektifan pada model Protease Inhibitor tidak sempurna terhadap dianamika populasi sel darah putih sehat, terinfeksi dan populasi virusnya.

1.2 Tujuan

(11)

II

LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)

Suatu persamaan diferensial linear orde-1 dinyatakan sebagai berikut:

( ) ( )

x a t x+ =g t (2.1) dengan a t( ) dan ( )g t adalah fungsi dari waktu t. Bila ( )a t adalah suatu matriks berukuran n×n dengan koefisien konstan dan

( )

g t dinyatakan sebagai vektor konstan b maka diperoleh bentuk SPDL sebagai berikut:

0

, (0) dx

Ax b x x

dt = + = . (2.2)

[Farlow, 1990]

2.2 Titik Tetap

Diberikan sistem persamaan differensial sebagai berikut

1 2

( , ,...)

x= f x x , ( ,1 2,...) n

x x ∈ ℜ . (2.3) Suatu titik x* yang memenuhi *

( ) 0 f x =

disebut titik kesetimbangan atau titik tetap dari sistem.

[Verhulst, 1990]

2.3 Pelinearan

Misalkan ( , ) ( , ) x f x y y g x y

= =

andaikan * *

(x y, ) adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka * *

( , ) 0 f x y = dan

* *

( , ) 0 g x y = .

Misalkan u= −x x* dan *

v= −y y maka didapatkan

* *

* * 2 2

2 2

* *

( , )

( , ) ( , , )

( , , )

( , )

u x

f x u y v

f f

f x y u v u v uv

x y

f f

u v u v uv

x y

v y

g x u y v

=

= + +

∂ ∂

= + + + Ο

∂ ∂

∂ ∂

= + + Ο

∂ ∂

=

= + +

Dalam bentuk matriks

2 2

( ).

f f

u x y u

u v uv

v g g v

x y

∂ ∂

⎛ ⎞

⎛ ⎞= ⎛ ⎞+ Ο + +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂

⎝ ⎠

Matriks

* *

(x y, )

f f

x y

A

g g

x y

∂ ∂

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=

∂ ∂

⎢ ⎥

⎣ ⎦

disebut matriks

Jacobi pada titik tetap * *

(x y, ). Karena

2 2

(u v uv) 0

Ο + + → maka dapat diabaikan, sehingga didapat persamaan linear

.

f f

u x y u

v g g v

x y

∂ ∂

⎛ ⎞

⎛ ⎞= ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂

⎝ ⎠

(2.4)

[Strogatz,1994]

2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalakan A adalah matriks n×n, maka suatu vektor taknol x di dalam Rn disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar λ berlaku

Axx (2.5) vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ.

Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n×n maka persamaan (2.5) dapat dituliskan kembali sebagai berikut

(A−λI x) =0 (2.6) dengan I matriks identitas. Persamaan (2.6) mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika

det(A−λI)= A−λI =0. (2.7)

Persamaan (2.7) disebut persamaan karakteristik dari matriks A.

[Anton, 1995]

2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap

(12)

Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut 1. Stabil, jika

a. Setiap nilai eigen real adalah negatif (λi <0untuk semua i)

b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol (R e(λ ≤i) 0  untuk semua i).

2. Takstabil, jika

a. Setiap nilai eigen real adalah negatif (λi >0untuk semua i).

b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol (Re(λi)>0 untuk semua i).

3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif (λ λi, j <0

untuk i dan j sembarang). Titik tetap sadel ini bersifat takstabil

[Tu, 1994]

2.6 Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan reproduksi dasar adalah rata-rata banyaknya individu yang rentan terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang telah terinfeksi bila individu yang telah terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Bilangan reproduksi dasar dilambangkan dengan Ro.

Beberapa kondisi yang akan timbul, yaitu 1. Jika Ro<1, maka penyakit akan

menghilang.

2. Jika Ro=1, maka penyakit akan menetap. 3. Jika Ro>1, maka penyakit akan meningkat

menjadi wabah.

[Giesecke, 1994]

III

PEMODELAN

Proses infeksi virus HIV yang diawali masuknya virus ke dalam sel darah putih sehat. Di dalam sel, enzim virus RT pada genom RNA (Ribonucleic Acid) virus membuat salinan DNA (Deoxyribonucleid Acid) lalu bergabung dengan DNA inang membentuk RNA virus dalam jumlah banyak,

lalu RNA virus akan membentuk protein virus. Dari protein virus dihasilkan protease virus kemudian virus akan matang sehingga akan menghasilakan virus baru yang siap menyerang sel darah putih sehat lainnya. Proses tersebut dapat diilustrasikan dalam Gambar 1.

         

1. Virus masuk ke dalam sel darah putih sehat

2. Enzim virus RT (Reverse Transcriptase) pada genom RNA virus membuat salinan DNA

3. DNA virus bergabung dengan DNA inang membentuk RNA virus dalam jumlah banyak

(13)

Gambar 2 Diagram alur infeksi virus HIV dalam darah

Model dasar infeksi virus HIV disusun oleh Nelson dan Perelson (1999). Diagram alur yang yang menggambarkan infeksi virus HIV dalam darah ditunjukkan dalam Gambar2. Berdasarkan diagram alur di atas, Nelson dan Perelson (1999) menyusun suatu model dasar sistem infeksi virus HIV sebagai berikut

max *

*

*

1 T

dT T

s pT d T kVT

dt T

dT

kVT T dt

dV

N T cV dt

δ

δ

= + − − −

= −

= −

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Pada model tersebut terdapat tiga variabel yaitu sel darah putih sehat ( )T , sel darah putih terinfeksi *

(T ), dan virus HIV ( )V . T adalah sel darah putih yang belum terinfeksi virus HIV. T* adalah sel darah putih yang sudah terinfeksi oleh virus HIV. Sedangkan V adalah virus yang menyerang sel darah putih sehingga dapat melumpuhkan sistem kekebalan p merupakan nilai maksimum proliferation, Tmaxadalah jumlah maksimum sel darah putih dalam darah. Kemudian dT

adalah laju kematian alami sel darah putih

putih sehat oleh virus HIV, yaitu kVT, dengan merupakan laju infeksi virus. Terinfeksinya sel T menyebabkan berkurangnya jumlah sel darah putih sehat dalam darah sehingga nilainya menjadi negatif, yaitu -kVT. Sedangkan pada sel darah putih terinfeksi menyebabkan makin bertambahnya jumlah populasi sel darah putih terinfeksi sehingga nilainya tetap, yaitukVT.

δ merupakan laju kematian alami sel darah

putih terinfeksi. Virus HIV dihasilkan secara produktif oleh *

T , dengan nilai rata-rata produksi virion, yaitu Nδ. Kemudian c  merupakan laju kematian alami virus.

Asumsi yang digunakan pada model tersebut, yaitu Tmax merupakan jumlah

maksimum sel darah putih sehat dalam darah. Jika sel darah putih sehat sudah mencapai nilai tersebut maka sel darah putih akan mati secara alami, sehingga nilai d TT max >s dan

semua parameter bernilai positif.

Dari model dasar tersebut maka dapat dianalisis inveksi virus HIV berdasarkan jenis terapi pengobatannya. Terdapat tiga jenis terapi pengobatan yaitu Protease Inhibitor (PI), Reverse Transcriptase Inhibitor (RTI) atau kombinasi antara keduanya.

(14)

Gambar 3 Peran terapi Protease Inhibitor pada virus HIV (www.cellsalive.com)

Dari Gambar 3 di atas, selama proses enzim virus RT membuat suatu salinan DNA dari genom RNA virus, jika RT Inhibitors ada maka genom RNA virus tidak akan dikopi ke dalam DNA dan virus baru tidak akan dihasilkan. Ketika virus mereplikat, DNA dibaca untuk menghasilkan protein-protein virus yang kemudian menghasilkan Protease virus. Protease virus diperlukan untuk menghasilkan virus terinfeksi.

Proses Protease Inhibitor terjadi ketika virus sudah terbentuk, maka populasi virus terbagi menjadi dua jenis, yaitu virus yang dapat menginfeksi (VI)dan virus yang tidak dapat menginfeksi (VNI). VI terbentuk

karena Protease Inhibitor tidak dapat menghambat protease virus sedangkan VNI

terbentuk karena Protease Inhibitor dapat menghambat protease virus. Perelson dan Nelson (1999) menyusun dua buah model, yaitu Protease Inhibitor sempuna dan Protease Inhibitor tidak sempurna.

3.1 Protease Inhibitor Tidak Sempurna

Terapi Protease Inhibitor tidak sempurna tidak dapat menghambat virus secara total, sehingga masih terdapat virus yang dapat menginfeksi sel darah putih sehat. Oleh Perelson dan Nelson (1999) fenomena tersebut dimodelkan sebagai berikut:

max *

*

*

*

1

(1 )

T I

I

I

PI I

NI

PI NI

dT T

s p T d T kV T

dt T

dT

kV T T dt

dV

N T cV

dt dV

N T cV

dt

δ

η δ

η δ

⎛ ⎞

= + ⎜ − ⎟− −

⎝ ⎠

= −

= − −

= −

(3.1)

Pada terapi tidak sempurna ini terdapat nilai keefektifan terapi (ηPI). Batasan nilainya adalah 0 ≤ η ≤PI 1.Jika nilai η =PI 0,maka

Protease Inhibitor tidak efektif. Jika ηPI

bernilai satu (100% efektif) maka terapi dinyatakan terapi yang sempurna.

3.2 Protease Inhibitor Sempurna

Terapi Protease Inhibitors sempurna dapat menghambat pertumbuhan virus dengan baik, sehingga tidak menginfeksi sel darah putih sehat, modelnya yaitu:

max *

*

*

1 T I

I

I I

NI

NI

dT T

s p T d T kV T

dt T

dT

kV T T dt

dV cV dt dV

N T cV

dt

δ

δ

⎛ ⎞

= + − −

⎝ ⎠

= −

= −

= −

(3.2)

Persamaan (3.2) di atas merupakan model Protease Inhibitor sempurna. Pada model tersebut tidak terdapat parameter keefektifan

η

     

1. Virus masuk ke dalam sel darah putih sehat

2. Reverse Transcriptase Inhibitors menghalangi enzim virus RT yang membuat salinan DNA

3. RNA virus tidak dihasilkan dalam jumlah banyak 4. RNA virus membentuk protein virus yang tidak sempurna

(15)

IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penentuan Titik Tetap Model Protease Inhibitors Sempurna

Titik tetap sistem persamaan (3.2) dapat diperoleh dengan menentukan, dT 0

dt = , * 0 dT dt

= , dVI 0

dt

= , dan dVNI 0

dt

= . Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

max

1 T T I 0

s pT d T kV T

T

+

− − =

(4.1)

*

0

I

kV T−δT = (4.2)

0

I cV

− = (4.3)

*

0.

NI

N Tδ −cV = (4.4)

Dari persamaan (4.3) di atas, maka akan diperoleh

0.

I

V = (4.5) Kemudian substitusi persamaan (4.5) ke dalam persamaan (4.2), maka akan menghasilkan

*

0.

T = (4.6)

Selanjutnya substitusi persamaan (4.6) ke dalam persamaan (4.4), maka akan menghasilkan

0.

NI

V = (4.7)

Dari VI =0,T*=0, danVNI =0maka didapat nilai T yaitu

2 max

max

4

( ) ( )

2 T T

T ps

T p d p d

p T

⎛ ⎞

= ⎜ − + − + ⎟

⎝ ⎠ (4.8)

Sehingga titik tetap G akan diperoleh dari persamaan (4.5), (4.6), (4.7) dan (4.8) dimana

* 2 max max ( , , , ) 4

( ) ( ) , 0, 0, 0

2

I NI

T T

G T T V V

T ps

p d p d

p T = ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ − + − + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠        (4.9)

Titik tetap di atas merupakan titik tetap bebas

(

)

(

)

(

)

(

)

* * * * * , , , . , , , , , , , , , , , , I NI I NI I I NI NI I NI dT

P T T V V dt

dT

Q T T V V dt

dV

R T T V V dt

dV

S T T V V dt

=

=

=

=

Dengan melakukan pelinearan pada sistem (3.2) maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: * * * * max 2 0 0 0

0 0 0

0 0

I NI

I NI

I NI

I NI

T T V V

T T V V

T T V V

T T V V

T I

I

P P P P

Q Q Q Q

A

R R R R

S S S S

pT

p d kV kT

T kV kT c N c δ δ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (4.10) Kestabilan sistem persamaan (3.2) diperoleh dengan menganalisis nilai eigen matriks Jacobi pada titik tetapnya.

4.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model

Protease Inhibitor Sempurna

Jika , , , disubstitusi pada (4.10) maka diperoleh matriks A=(aij)4 4×

sebagai berikut

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a a

A

a a a a

a a a a

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dengan 2 11 4 ( T)

ps

a p d

T

(16)

31 0, 32 0, 33 , 34 0

a = a = a = −c a =

41 0, 42 , 43 0, 44

a = a =Nδ a = a = −c

Nilai eigen dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik

det (A−λI)=0, sehingga akan diperoleh nilai eigen untuk matriks A, yaitu

2 1

max 2

3,4

4 ( T)

ps p d

T

c

λ

λ δ

λ

= − − +

= − = −

Dengan asumsi semua parameter bernilai positif, maka dapat disimpulkan bahwa model pada terapi Protease Inhibitors Sempurna ini akan selalu stabil pada titik tetapnya.

4.3 Dinamika Populasi Virus HIV

Untuk mengamati dinamika populasi sistem persamaan (3.2) diperlukan kurva yang menggambarkan dinamika setiap populasi dan hubungannya terhadap waktu. Pada proses penggambaran kurva untuk setiap dinamika populasi akan diperlukan nilai awal untuk setiap variabel dan parameter. Nilai awal yang digunakan, yaitu T(0)=500, T*(0)=300,

0) ( 300 I

V = , VNI(0)=150. Sedangkan nilai parameter yang digunakan, yaitu s=200,

400

p= , Tm=1000, d =3, δ =0.6, c=4, 3

k= , N=12. Semua nilai awal dan parameter diambil sembarang selama memenuhi asumsi.

Gambar 4 Perkembangan Sel Darah Putih Sehat (T)

Dalam Gambar 4 digambarkan dinamika populasi sel darah putih sehat terhadap waktu. Berdasarkan gambar di atas dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya waktu maka jumlah sel darah putih sehat akan mengalami penurunan dari nilai awalnya yaitu 500 hingga mencapai nilai minimum setelah itu jumlah semakin meningkat dan akan berada pada

Gambar 5 Perkembangan Jumlah Sel Darah Putih yang Terinfeksi

Dalam Gambar 5 digambarkan dinamika populasi sel darah putih terinfeksi terhadap waktu. Berdasarkan gambar di atas dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya waktu maka jumlah sel darah putih yang terinfeksi mengalami peningkatan yang sangat signifikan dalam waktu yang singkat hingga mencapai nilai maksimum setelah itu akan menurun dan mencapai nilai nol yang artinya jumlah sel darah putih terinfeksi akan habis.

Gambar 6 Perkembangan jumlah virus yang dapat menginfeksi

Dalam Gambar 6 digambarkan dinamika populasi virus yang dapat menginfeksi terhadap waktu. Berdasarkan gambar di atas dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya waktu maka jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi akan mengalami penurunan dari nilai awalnya dari nilai dan stabil pada nilai nol yang artinya jumlah sel darah putih terinfeksi akan habis.

0 2 4 6 8 1

0 5000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000

Waktu

Se

l

D

ar

ah

Pu

ti

h

T

er

in

fe

ks

i

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 50 100 150 200 250 300 350

Waktu

V

ir

us

yan

g

da

pat

m

en

gi

nf

ek

si

0 2 4 6 8 10

0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000

V

ir

us

ya

ng

tid

ak

da

pa

t

m

engi

nf

ek

(17)

Dalam Gambar 7 digambarkan dinamika populasi virus yang tidak dapat menginfeksi terhadap waktu. Berdasarkan Gambar 7 dapat dilihat bahwa dengan bertambahnya waktu maka jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi akan mengalami peningkatan dari nilai awalnya hingga mencapai nilai maksimum setelah itu akan menurun dan mencapai nilai nol yang artinya jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi akan habis.

4.4 Penentuan Titik Tetap Model Protease Inhibitor Tidak Sempurna

Titik tetap sistem persamaan (3.1) dapat diperoleh dengan menentukan,

*

0 , 0 ,

dT dT

dt = dt = 0 , 0

NI

I dV

dV

dt = dt = .

Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: max * * * 1 0 0

(1 ) 0

0. T I I PI I PI NI T

s pT d T kV T

T

kV T T

N T cV

N T cV

δ η δ η δ ⎛ ⎞ + − − = ⎝ ⎠ − = − − = − = (4.11)

Dari hasil analisis akan diperoleh dua titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik.

4.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model

Protease Inhibitor Sempurna

Misalkan sistem persamaan (4.11) dituliskan sebagai berikut:

* * * * * ( , , , ) , ( , , , ) , ( , , , ) , ( , , , ). I NI I NI I I NI NI I NI dT

P T T V V dt

dT

Q T T V V dt

dV

R T T V V dt

dV

S T T V V dt = = = =

Dengan melakukan pelinearan pada sistem (4.11) maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:

*

I NI

T T V V

P P P P

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ max 2 0 0 0

0 (1 ) 0

0 0 T I I PI PI pT

p d kV kT

T kV kT J N c N c δ η δ η δ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦

Titik tetap tanpa penyakit

Titik tetap pertama yang diperoleh dari persamaan (4.11) yaitu titik tetap tanpa penyakit di mana tidak ada sel darah putih yang terinfeksi dan virusnya. Diperoleh titik tetapnya yaitu * 1 2 max max ( , , , ) 4

( ) ( ) , 0, 0, 0

2

I NI

T T

H T T V V

T ps

p d p d

p T = ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ − + − + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Pelinearan pada titik tetap

(

*

)

1 , , I, NI

H T T V V maka akan menghasilkan matriks Jacobi J =(jij)4 4× sebagai berikut

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

j j j j

j j j j

J

j j j j

j j j j

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dengan 2 11 max 4 ( T)

ps

j p d

T

= − − +

12 0 , 14 0

j = j =

13

j = −k T

21 0 , 22 , 24 0

j = j = −δ j =

23

j =k T

31 33 34

32

0 , , 0

(1 PI)

j j c j

j η Nδ

= = − =

= −

41 43 44

42

0 , 0 ,

PI

j j j c

j η Nδ

= = = −

=

Nilai eigen dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik

(18)

[

]

[

]

1 2 max 2 3 2 4 ( ) ( ) 2

) 4 (1

( )

2 2

) 4 (1

( ) 2 2 PI PI d p c pT T

c c NkT

c

c c NkT

c λ λ δ δ η δ λ δ δ η δ λ − + − = − = + − − − − + = − + − − − − + = +

karena nilai eigen λ1danλ3 bernilai negatif

maka kestabilan di titik tetap ini bergantung pada nilai eigen λ2 danλ4. Jika λ2<0yang mana kondisi ini akan dipenuhi ketika

max 2 T pT p d T

− < maka titik tetap ini akan stabil.

Kondisi stabil yang dipenuhi ketika

max 2 T pT p d T

− < dapat ditulis dalam

max

( )

1 2

T

p d T

pT

<

. ( ) max

2

T

p d T

pT

merupakan bilangan reproduksi dasar virus dalam

populasi Ro. Sehingga ketika max

( )

1 2

T

p d T

pT

<

atau Ro<1 yang merupakan kondisi stabil maka virus tidak dapat bertahan di dalam populasi. Sebaliknya ketika ( ) max

1 2

T

p d T

pT

>

atau Ro>1 maka populasi tidak stabil karena virus akan bertahan dalam populasi. Dapat disimpulkan bahwa titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil jika Ro<1 dan tidak stabil jika Ro>1. Dan terdapat asumsi tambahan yaitu jika λ4<0 maka kondisi ini akan dipenuhi

ketika c>NkT.

Titik tetap endemik

Titik tetap kedua yang diperoleh dari persamaan (4.12) yaitu titik tetap endemik di mana terdapat sel darah putih terinfeksi dan virusnya. Diperoleh titik tetapnya yaitu

2 2

*

2 ( ,2 2 , I , NI )

H = T T V V , dengan

(

)

2 2 2 * 2

m a x

2 m a x

m a x

) ) ) ( ) ) ( ) (1 (1 (1 1

( 1 1

(

)

P I T P I T P I I P I

P I P I

N I T

P I P I

p d

k c

T

N k

s c c p

T p d

N k k N T

N s c p

V

c N k T

N s c p

V d p

c k k N T

η δ η δ η η η η η η − + = − = − − − − = − − = − − − − + − +

+

Pelinearan pada titik tetap

(

2 2

)

* 2 2, 2 , I , NI

H = T T V V dengan matriks Jacobi sebagai berikut

max 2 ) 2 0 0 0

0 (1 0

0 0 T I I PI PI pT

p d kV kT

T

J kV kT

N c N c δ η δ η δ − − − − = − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Untuk memperoleh nilai eigen digunakan persamaan karakteristik det

(

J2−λI

)

=0

max

)

2

0 0

0

0 (1 0

0 0 0 T I I PI PI pT

p d kV kT

(19)

sehingga diperoleh nilai eigen J2, yaitu:

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1 1

3

3

2 3

2 1 1

3 3

2 3

1 3

2 3

3 1 1

1 2 3 3 3

3

1 3

2 3

4 1 1 1

3 3

2 3

3

2 1

4 3 2

3 4

1 3 1

1 3 4

6 2

3 2 4

1 3 1

1 3 4

6 2

3 2 4

m m

m m

m m

c

v

u w w v

T

T w w v

i v

u i w w v

T

T w w v

i v

u i w w v

T

T w w v

λ

λ

λ

λ → −

⎡ ⎤

→ − − + + +

+ +

⎣ ⎦

+

⎡ ⎤

→ − + − − + +

+ +

⎣ ⎦

⎡ ⎤

→ − + − + + +

+ +

⎣ ⎦

dengan nilai u, v, dan w dalam lampiran.

Berikut adalah tabel kondisi kestabilan dari dua titik tetap yang diperoleh. Tabel 1 Tabel Kestabilan

Kondisi H1 H2

max

( )

1 2

T

p d T

pT

<

 atau R0<1

Simpul stabil Spiral takstabil

max

( )

1 2

T

p d T

pT

>

atau R0>1

Simpul takstabil Spiral stabil

Titik tetap endemik dapat dinyatakan dalam Ro yaitu sebagai berikut

(1 pi) c T

Nk

η =

(

)

2

* max 0

max

2

pT T R

s T

T

δ δ

= −

2

0

max

2 I

pTR s pT

V

kT kT

= +

(

)

(

2

)

max max 0

max

2

pi NI

N sT pT c T R

V

cT

η − −

=

4.6 Dinamika populasi virus saat Ro<1

Penggambaran kurva dinamika populasi ini, nilai parameter yang diambil berdasarkan asumsi dan syarat, yaitu c>NkT dan

max

( )

1 2

T

p d T

pT

< . Nilai awal untuk setiap parameter adalah sebagai berikut s=3, p=6

max 10

T = , dT =0.5, δ =0.6, N=12, 0.01

k= dan c=9.

(20)

  ηPI =0.25  ηPI =0.75                        Keterangan:

dinamika populasi T, *

T , VI dan VNIsaat T(0)=2, T*( 0 )=0 .5 , (0) 0.2

I

V = , VNI(0)=0.1

dinamika populasi T, *

T , VI dan VNIsaat T(0)=6, T*( 0 )=0 .8 , (0) 0.4

I

V = , VNI(0)=0.5

dinamika populasi T, *

T , VI dan VNIsaat T(0)=12, T*( 0 )=0 .2 , VI(0)=0.1, VNI(0)=0.3

Gambar 8 Perbandingan dinamika populasi untuk Ro<1 Sel

Darah Putih Sehat

(T)

 

Sel  Darah  Putih  Ter  infeksi  *

(T ) 

Virus  yang  Dapat  Meng  infeksi  

( )VI  

Virus  yang  Tidak  Dapat  Meng  infeksi 

(VNI) 

0 1 2 3 4 5 6

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu S el da rah pu ti h T eri nf ek si

0 1 2 3 4 5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu S el da ra h put ih te ri nf ek si

0 1 2 3 4 5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Waktu V ir us ya ng da pa t m engi nf eks i

0 1 2 3 4 5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Waktu V iru s yan g da pat m en gi nfe ks i

0 1 2 3 4 5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Waktu V ir us ya ng ti da k da pa t m en ginf ek si

0 1 2 3 4 5

(21)

Dalam Gambar 8 digambarkan dinamika populasi sel darah putih sehat, sel darah putih terinfeksi, virus yang dapat menginfeksi, dan virus yang tidak dapat menginfeksi saat Ro<1 dengan beberapa nilai awal dan dibandingkan dengan nilai keefektifan berbeda, yaitu

0.25 dan 0.75

pi pi

η = η = .

Berdasarkan Gambar di atas dapat dilihat bahwa penambahan nilai keefektifan tidak berpengaruh terhadap populasi sel darah putih sehat dan terinfeksi. Tetapi berpengaruh terhadap populasi virusnya. Semakin besar nilai keefektifan maka populasi virus yang dapat menginfeksi semakin cepat menuju nilai kestabilannya. Sedangkan untuk populasi virus yang tidak dapat menginfeksi, semakin besar nilai keefektifan maka populasinya akan semakin lama menuju nilai kestabilannya.

4.7 Dinamika populasi virus saat Ro>1

Penggambaran kurva dinamika populasi ini, nilai parameter yang diambil berdasarkan asumsi dan syarat, yaitu c>NkT dan

max

( )

1 2

T

p d T

pT

> . Nilai awal untuk setiap parameter adalah sebagai berikut s=3, p=6 , Tmax=10, dT=0.5, δ =0.6, N =15, k=1

dan c=6.

(22)

  ηPI =0.25  ηPI =0.75                  Keterangan :

dinamika populasi T, *

T , VI dan VNIsaat T(0)=3, T*( 0 )=1 , VI(0)=4, VNI(0)=5

dinamika populasi T, *

T , VI dan VNIsaat T(0)=4, T*( 0 )=4 , VI(0)=2, VNI(0)=10

dinamika populasi T, *

T , VI dan VNIsaat T(0)=2, T*( 0 )=1 0 , VI(0)=8, VNI(0)=25

Gambar 9 Perbandingan dinamika populasi untuk Ro>1 Sel

Darah Putih Sehat

(T)

 

Sel  Darah  Putih  Ter  infeksi  *

(T ) 

Virus  yang  Dapat  Meng  infeksi  

( )VI  

Virus  yang  Tidak  Dapat  Meng  infeksi 

(VNI) 

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0 1 2 3 4 5 Waktu S el da ra h puti h S eha t

0 1 2 3 4

0 2 4 6 8 Waktu S el dar ah pu ti h S eh at

0 1 2 3 4

0 2 4 6 8 10 12 14 Waktu S el da ra h puti h Te ri nf eksi

0 1 2 3 4 5

0 5 10 15 20 Waktu S el dar ah pu ti h T er in fek si

0 1 2 3 4

0 2 4 6 8 10 12 14 Waktu Vi ru s yan g da pat m en ginf ek si

0 1 2 3 4 5

0 2 4 6 8 10 Waktu Vi rus ya ng da pa t m engi nf ek si

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0 5 10 15 20 25 Waktu V ir us ya ng ti da k da pa t m engi nf eks i

0 1 2 3 4 5

(23)

Dalam Gambar 9 digambarkan dinamika populasi sel darah putih sehat, sel darah putih terinfeksi, virus yang dapat menginfeksi, dan virus yang tidak dapat menginfeksi saat Ro>1 dengan beberapa nilai awal dan dibandingkan dengan nilai keefektifan berbeda, yaitu

0.25 dan 0.75

PI PI

η = η = .

Berdasarkan gambar di atas dapat dilihat bahwa semakin besar nilai keefektifan maka populasi sel darah putih sehat, sel darah putih terinfeksi, dan virus yang tidak dapat menginfeksi, nilai kestabilannya semakin meningkat. Hal ini menunjukan bahwa ketiga

populasi tersebut semakin besar saat nilai keefektifan terapi semakin besar. Sedangkan untuk virus yang dapat menginfeksi, semakin besar nilai keefektifan, maka nilai kestabilannya semakin menurun.hal ini menunjukan bahwa populasi virus yang dapat menginfeksi semakin sedikit saat nilai keefektifan terapi semakin besar. Namun untuk keempat populasi, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai kestabilannya semakin lama saat nilai keefektifan terapi semakin besar.

V KESIMPULAN

Dalam karya tulis ini dianalisis pengaruh terapi pengobatan Protease Inhibitor terhadap dinamika virus HIV dalam darah. Analisis kestabilan pada model dinamika infeksi virus HIV dengan teapi Protease Inhibitor ini terbagi menjadi dua, yaitu Protease Inhibitor sempurna dan Protease Inhibitor tidak sempurna. Pada Terapi ini terdapat dua jenis virus, yaitu virus yang dapat dihambat dan virus yang tidak dapat dihambat perkembangannya.

Pada terapi Protease Inhibitor sempurna hanya terdapat satu titik tetap, yaitu titik tetap bebas penyakit. Titik tetap ini selalu stabil. Kurva yang dihasilkan pada kasus ini menghasilkan kesimpulan bahwa setelah menjalani terapi pengobatan Protease Inhibitor maka populasi sel darah putih sehat meningkat hingga mencapai nilai kestabilannya. Sedangkan populasi sel darah putih terinfeksi dan kedua jenis virus habis. Oleh karena itu, pasien dapat dikatakan sembuh dari penyakit AIDS.

Pada terapi Protease Inhibitor tidak sempurna terdapat dua titik tetap, yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik.

Pada Protease Inhibitor Sempurna, sistem selalu stabil. Populasi sel darah putih sehat akan meningkat hingga mencapai suatu nilai

kestabilannya. Sedangkan sel darah putih terinfeksi dan virusnya akan menuju nol atau akan habis. Sedangkan Protease Inhibitor

tidak sempurna terdapat dua kondisi, yaitu kondisi stabil (Ro<1), penambahan nilai

keefektifan hanya berpengaruh pada populasi virus saja. Semakin besar nilai keefektifan maka populasi virus yang dapat menginfeksi semakin cepat menuju nilai kestabilannya. Sedangkan virus yang tidak dapat menginfeksi semakin lama menuju kestabilannya. Untuk kondisi takstabil (Ro>1), semakin besar nilai

keefektifan maka populasi dan nilai kestabilan sel darah putih sehat, terinfeksi dan virus yang tidak dapat menginfeksi semakin meningkat. Sedangkan untuk virus yang dapat menginfeksi populasinya semakin sedikit. Namun untuk keempat populasi, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai kestabilannya semakin lama saat nilai keefektifan semakin besar.

(24)

DAFTAR PUSTAKA

Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer (Edisi ke-5). Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta. Farlow SJ. 1994. An Introduction to

Differential Equation and Their Application. Mc Graw-Hill, New York. Giesecke J. 1994. Modern Infectious Disease

Epidemiology. Oxford University Press, New York.

http://www.cellsalive.com/HIV diakses pada tanggal 4 Agustus 2009.

http://www.wikipedia.com/HIV diakses pada tanggal 4 Agustus 2009.

Kurniati, SC. 1995. Berbagai Aspek Klinis AIDS dan Penatalaksanaanya. Cermin Kedokteran No.98.

Nelson PW, Perelson AS, Mathematical Analysis of HIV-1 Dynamics in Vivo: AIDS, Mathematical Modeling, HIV, SIAM Review, 41 (1999), pp. 3-44.

Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusete.

Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Springer-Verlag. Heidelberg, Germany.

(25)
(26)

Lampiran 1 Pencarian titik tetap sistem persamaan (3.2)

Umtuk menentukan titik tetap dari persamaan (3.2) maka persamaan tersebut dibuat sama dengan nol, yaitu

max

*

*

1 0 (1)

0 (2)

0 (3)

0 (4)

T I

I

I

NI T

s pT d T kV T

T

kV T T

cV

N T cV

δ

δ

+ − − − =

− =

− =

− =

Dari persamaan (3) akan diperoleh nilai VI sebagai berikut 0

0 I

I cV

V

− =

⇔ =

Kemudian subtitusi nilai VI =0 tersebut ke persamaan (2) sehingga diperoleh nilai T* sebagai berikut

*

*

*

*

0

(0) 0

0 0 I

kV T T

k T T

T

T

δ δ δ

− =

⇔ − =

⇔ =

⇔ =

Kemudian subtitusi nilai T*=0 tersebut ke persamaan (4) sehingga diperoleh nilai VNI sebagai berikut

*

0

(0) 0

0 0 NI

NI

NI

NI N T cV

N cV

cV

V

δ δ

− =

⇔ − =

⇔ − =

⇔ =

Setelah diperoleh nilai *

0

T = , VI =0, dan VNI =0, kemudian subtitusi nilai-nilai tersebut ke persamaan (1) sehingga diperoleh nilai T sebagai berikut

max

max

max

1 0

1 (0) 0

1 0

T I

T

T T

s pT d T kV T

T

T

s pT d T k T

T

T

s pT d T

T

+ − − − =

⇔ + − − − =

⇔ + − − =

(27)

2

max

2

max 1,2

max

2 max

1,2

max

)

) ( )

) ( )

( 0

4 (

4 (

2

T

T T

T T

p

T p d T s

T

ps

p d p d

T T

p

T

T ps

T p d p d

p T

⇔ + − + =

− − ± − +

⇔ =

⇔ =

− ± − +

karena titik tetapnya harus bernilai positif, maka nilai T yang diambil adalah 2

max

max

( ) ( ) 4

2 T T

T ps

T p d p d

p T

+

=

− − +

Jadi diperoleh satu titik tetap bebas penyakit

(

*

)

max 2

max

) ( ) 4 , 0, 0, 0 (

2

,

,

I

,

NI T T

T ps

p d p d

p T

G T T V V

= ⎜

− ± − +

Lampiran 2 Penentuan titik tetap sistem persamaan (3.2) dengan Mathematica 6.0

Program Mathematica untuk menentukan titik tetap persamaan (3.1) adalah

{

}

max

1

Solve s pT1 1 T dT1 kViT1 0,kViT1 T2 0, cVi 0,N T2 cVni 0 , T T Vi Vni1, 2, , T

δ δ

+ − − − == − == − == − ==

diperoleh hasil sebagai berikut

(

)

2 2

max max 4 max max

1 , 2 0, 0, 0

2

d T pT psT d p T

T T Vi Vni

p

− + + + −

→ → → →

Lampiran 3 Penentuan nilai eigen untuk titik tetap bebas penyakit

Diketahui matriks Jaccobi sebagai berikut

*

* * * * 2

0 0

I NI

dT dT dT dT

dT dT dV dV

pT

dT dT dT dT p− −dkVkT

(28)

Pelinearan pada titik tetap bebas penyakit max 2

max

) ( ) 4 , 0, 0, 0 (

2 T T

T ps

p d p d

p T − ± − +

,

diperoleh matriks sebagai berikut

2 max 2

max max 2 max 0 max ( ) ) ( ) ) ( ) 4 4

0 ( 0

2

4

0 ( 0

2

0 0 0

0 0

T T T

T T

kT

ps ps

p d p d p d

T p T

kT ps

A p d p d

p T c N c δ δ − − − + − ± − + = ± + − −

Untuk memperoleh nilai eigen digunakan persamaan karakteristik det

(

A

λ

I

)

=0

2 max 2

max max 2 max max 2 max max 2 max 2 ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 4 4

0 ( 0

2

4

0 ( 0

2

0 0 0

0 0 4 ( 0 2 4 0 0 0

T T T

T T T T T T kT ps ps

p d p d p d

T p T

kT ps

p d p d

p T

c

N c

kT ps

p d p d

p T

ps

p d c

T N c p d λ δ λ λ δ λ δ λ λ λ δ λ − − − + − − ± − + − − − ± − + − − − − − − − ± − + ⇔ − − + − − − − − ⇔ − − +

(

)

max 2 max ( ) 4

( )( )( ) 0

4

0 atau ( ) 0 atau ( ) 0 T

ps

c c

T

ps

p d c

T λ δ λ λ λ λ δ λ λ − − − − − − − = ⇔ − − + − = − − = − − =

Jadi nilai eigennya adalah

2 1

max

2

3,4

(p dT) 4ps

T c λ λ δ λ = − − + = − = −

Lampiran 4 Penentuan nilai eigen titik tetap bebas penyakit dengan Mathematica 6.0

Nilai eigen dari titik tetap bebas penyakit dengan menggunakan Mathematica 6.0 :

(29)

max 2

{

} {

}

max 4

0, ,k T (p d) (p d) p s / 2p , 0 , 0,0, c,0 , 0,N ,0, c T

δ δ

− − + − + − −

⎪⎥

⎭⎦

Sehingga diperoleh nilai eigen yaitu

2

max

4

, , ( ) p s ,

c c p d

T

δ

− − − − + −

Lampiran 5 Gambar dinamika populasi virus HIV dengan menggunakan Mathematica 7

m m

m

s:=200 ; p:=400 ; T :=1000 ; d:=3 ;δ:=0.6 ; c:=4 ; k:=3 ; N1:=12; Solve[{s+p*T1*(1-T1/T ))-d*T1-k*V1*T1==0,

k*V1*T1-δ*T2==0, -c*V1==0, N1*δ*T2-c*Vni==0},{T1,T2, V1, Vni}] spd=NDSolve[{

T1'[t]==s+p*T1[t]*(1-T1[t]/T ))-d*T1[t]-k*V1[t]*T1[t], T2'[t]==k*V1[t]*T1[t]-δ*T2[t],

V1'[t]==-c*V1[t],

Vni'[t]==N1*δ*T2[t]-c*Vni[t],

T1[0]==500,T2[0]==300, V1[0]==300, Vni[0]==150}, {T1[t],T2[t], V1[t], Vni[t]},{t ,0,500}]

gbr1=Plot[{T1[t]/.spd[[1,1]]},{t ,0,500}, PlotRange {{0,3},{0,1200}},

PlotStyle {Dashed, Red,Thick}, FrameLabel {"Waktu","Sel Darah PutihSehat"}, Frame {{True, False},{True, False}}]

gbr2=Plot[{T2[t]/.spd[[1,2]]},{t ,0,500}, PlotRange {

→ →

→ {0,10},{0,35000}},

PlotStyle {Dashed, Blue,Thick}, FrameLabel {"Waktu","Sel Darah Putih Terinfeksi"}, Frame {{True, False},{True, False}}]

gbr3=Plot[{V1[t]/.spd[[1,3]]},{t ,0,500}, PlotRange {{0,1},{0,350}}, PlotS

→ →

tyle {Dashed, Magenta ,Thick}, FrameLabel {"Waktu","Virus yang dapat menginfeksi"}, Frame {{True, False},{True, False}}]

gbr4=Plot[{Vni[t]/.spd[[1,4]]},{t ,0,500}, PlotRange {{0,10},{0,60000}}, PlotStyle {Dashed,G

→ →

→ reen ,Thick}, FrameLabel {"Waktu","Virus yang tidak dapat menginfeksi"}, Frame {{True, False},{True, False}}]

→ →

(30)

Lampiran 6 Pencarian titik tetap sistem persamaan (3.1)

Untuk menentukan titik tetap system persamaan (3.1) maka persamaan tersebut dibuat sama dengan nol seperti dalam persamaan berikut

max

1 T T I 0 (5)

s pT d T kV T

T

+

− − =

*

0 ( 6 )

I

kV T −δT =

*

)

(1−ηP I N Tδ −cVI = 0 ( 7 )

*

0 (8 )

P IN T cVN I

η δ − =

dari persamaan (6) akan diperoleh nilai T* sebagai berikut *

*

0

I

I

kV T T

kV T T

δ

δ

− =

⇔ =

Kemudian subitusi nilai T* ke persamaan (7)

(

)

1

*

2

(1 ) 0

(1 ) 0

(1 ) 0

(1 ) 0

0 atau (1 ) 0

(1 )

pi I

I

pi I

pi I I

I pi

I pi

pi

N T cV kV T

N cV

NkV T cV

V NkT c

V NkT c

c T

Nk

η δ

η δ

δ η

η

η

η

− − =

⇔ − − =

⇔ − − =

⇔ − − =

⇔ = ⇔ − − =

⇔ =

Lalu subtitusi nilai T* ke persamaan (8)

* 0

0 0

PI NI

I

PI NI

PI I NI

PI I NI

N T cV

kV T

N cV

NkV T cV NkV T V

c

η δ

η δ

δ η

η

− =

⇔ − =

⇔ − =

⇔ =

Kemudian subtitusi nilai VI ke dalam nilai *

dan NI

T V maka akan menghasilkan 1

*

1 0 dan NI 0

T = V =

Dari persamaan (5) akan diperoleh

max

2

max

1 0

( ) 0

T

T

T

s pT d T

T p

T p d T s

T

⎛ ⎞

+ − =

⎝ ⎠

(31)

2 max 1,2 max 2 max 1,2 max ( ( ( ( 4 ) ) 4 ) ) 2 T T T T ps

p d p d

T T

p

T

T ps

T p d p d

p T − − ± − + ⇔ = − ⇔ =

− ± − +

karena titik tetapnya harus bernilai positif, maka nilai T yang diambil adalah 2 max max ( ( 1 4 ) )

2 T T

T ps

T p d p d

p T

+

=

− − +

Jadi diperoleh titik tetap pertama yaitu titik tetap bebas penyakit

(

1 1

)

* max 2

1 1 1

max

( ) ( ) 4 , 0, 0, 0

2

,

,

I

,

NI T p dT p dT ps

p T

H T T V V

= ⎜

− ± − +

Sedangkan saat nilai * 2

(1 pi) c T

Nk η

=

− disubtitusi ke persamaan (5) maka diperoleh nilai VI2

2 2 1 max max max 1 0 (1 ) 1 0

(1 ) (1 ) (1 )

1 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

T

pi

T I

pi pi pi

T

I

pi pi pi pi

T

s pT d T kV T

T

c Nk

c c c

s p d k V

Nk T Nk Nk

c d

c p c c

s V

Nk NkT Nk N

η η η η η η η η ⎛ ⎞ + − − = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔ + − − − = ⎜ ⎟ − − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇔ + ⎜ − ⎟− − = − − − 2 2 2 max 2 max 2 max (1 ) 1

(1 ) (1 ) (1 )

(1 )

(1 )

(1 ) ( )

(1 )

pi T

I

pi pi pi

pi T I pi pi T I pi N c d

c p c

V s

Nk NkT Nk c

Ns p c p d

V

c k Nk T k

Ns c p p d

V

c Nk T k

η η η η η η η η ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ − ⎜ ⎟ ⇔ = + ⎜ − ⎟ − ⎝ ⎠ − ⇔ = + − − − − − ⇔ = − + −

dan subtitusi nilai T2 dan 2

I

V ke persamaan NI pi I NkV T V

c

η

= maka akan diperoleh

2

(1 ) ( )

pi I NI

pi pi T

NkV T V

c

Nk Ns c p p d c

(32)

Kemudian subtitusi nilai T2 dan VI2 ke dalam nilai

* kV TI

T δ

= maka akan diperoleh * 2

T

* 2

*

2 2 2 2

max 2

*

2 2 2 2

max

* 2

max

(1 ) ( )

(1 ) (1 ) ( ) (1 ) (1 ) ( )

(1 ) (1 )

I pi T pi pi T pi pi T pi pi

k V T T

Ns p d

k c p c

T

c N k T k Nk

c p d

s c p

T

Nk N k T

s c c p

T p d

Nk NkT δ η δ η δ η δ η δ η δ δ η δ η = ⎛ − − ⎞ ⇔ = ⎜ − + ⎟⎟ − − ⎝ ⎠ − ⇔ = − + − − ⎛ ⎞ ⇔ = − ⎜ + − ⎟

Jadi diperoleh titik tetap kedua yaitu titik tetap endemik

(

)

2 2

* 2 2, 2 , I , N I

H = T T

Gambar

membentuk RNA virus dalam jumlah banyak, Gambar 1.
Gambar 2  Diagram alur infeksi virus HIV dalam darah
Gambar 3 Peran terapi Protease Inhibitor pada virus HIV (www.cellsalive.com)
Gambar 5  Perkembangan Jumlah Sel Darah Putih yang ����
+7

Referensi

Dokumen terkait

Tiga belas spesies burung yang ditemukan di Desa Pagatan Besar termasuk burung migran, 35 spesies termasuk burung yang selalu ditemukan (resident), dan 12 spesies

Pendekatan terhadap bentuk bangunan mengambil bentuk-bentuk dasar ruang, baik untuk ruang luarnya yang mencakup ruang latihan terbuka serta ruang dalamnya, mencakup

Tujuan dari penelitian ini untuk memperoleh penjelasan tentang keterlibatan dan peran Indonesia melalui G-33, sebagai aliansi negara berkembang dalam memperjuangkan

Normal Parameters a,b Mean

What is the correlation between high school students’ reading motivation dimensions (challenge in reading, curiosity in reading, reading enjoyment, social reasons for

Tahap perencanaan program PAUD di PAUD Nur Azkia PKBM Bina Sejahtera mencakup rangkaian kegiatan untuk menentukan tujuan umum (goals) dan tujuan khusus

[r]

Kajian yang digunakan dalam skripsi ini adalah kajian yang bersifat analisis, yaitu analisis terhadap prakiraan daya beban listrik yang tersambung pada Gardu