Simulasi Antrian Jackson Enam Workstation dengan Menggunakan Matriks Peluang Transisi yang Berbeda

(1)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₇₅ SIM ULASI ANTRIAN JACKSON ENAM W ORKSTATION DENGAN M ENGGUNAKAN M ATRIKS

PELUANG TRANSISI YANG BERBEDA.

( SIM ULATION OF JACKSON NETWORK WITH SIX WORKSTATIONS BY DIFFERENT TRANSITION

PROBABILITY )

Gum gum Darm aw an

St af Pengajar Jurusan St at ist ika FM IPA UNPAD

Jln Raya Bandung Sum edang-Jat inangor KM .21 Gedung St at ist ika D14 Jaw a Barat

gum st at @unpad.ac.id

Abstrak. Pada m akalah ini akan ditent ukan pengat uran kedat angan optim al pada Ant rian Jaringan Jackson. Pengat uran terbaik dit ent ukan berdasarkan banyaknya, rat a-rat a dan deviasi st andar dari fasilit as yang t erpakai pada sist em ant rian. Workst ation pada ant rian Jaringan Jackson t erdiri at as banyak fasilit as dengan m odel antrian (M / M / s):(FCFS/ ~/ ~).Analisis pengat uran kedat angan ekst ernal optimal dilakukan dengan menggunakan Soft w are R versi 3.03 dan kasus ant rian jaringan pada tem pat w isat a yang mem punyai enam fasilit as pelayanan. Berdasarkan hasil perhit ungan diperoleh optimalisasi sarana w orkst asion terjadi jika set engah dari w orkst at ion yang ada pada sist em ant rian dibuka dan yang lainnya dit ut up. Sedangkan jika=(0,0,1,1,0,1), art inya pint u ket iga , keem pat dan keenam dibuka sedangkan pintu pert am a, kedua dan kelim a dit ut up. Berdasarkan lam a menunggu pelayanan diperoleh unt uk nilai  =

(1,1,1,1,1,1) dengan w akt u m enunggu 0,001 jam. Kata Kunci : Jackson Net work;M ult i Server M odel; OSS R

1. PENDAHULUAN

Ant rian jaringan m erupakan sekelom pok w orkst asion dim ana pelanggan/ pendat ang dapat berpindah dari sat u w orkst asion ke w orkst asion lebih dari sat u kali. W orkst asion m erupakan sarana pelayanan yang berada pada sist em ant rian jaringan dim ana pada sist em ant rian jaringan t erdapat lebih dari sat u w orkst asion.

(2)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₇₆ keseim bangan pada suat u ant rian jaringan, Perros [10] yang m engkaji blocking syst em pada sist em ant rian jaringan.

Salah sat u jenis ant rian jaringan yang menarik dikaji adalah Ant rian Jaringan Jackson dim ana set iap w orkst asion mem punyai pelayanan t unggal dengan konsum en dapat berpindah dari w orkst asion sat u ke w orkst asion lainnya dapat lebih dari sat u kali. Ant rian Jaringan Jackson berdasarkan sum ber kedat angan konsum en t erbagi m enjadi dua yait u Ant rian Jaringan Jackson t erbuka (Open Jackson Net w orks) dan Ant rian Jaringan Jackson t ert ut up (Closed Jackson Net w orks). Ant rian Jaringan Jackson t erbuka (Open Jackson Net w orks) pendat ang/ konsumen berdat angan dari luar dan dalam sist em it u sendiri, sedangkan Ant rian Jaringan Jackson t ert ut up (Closed Jackson Net w orks), konsum en/ pendat ang berpindah dari w orkst asion ke w orkst asion lainya hanya didalam sist em it u sendiri.

Ant rian Jaringan Jackson t erbuka (OpenJackson Net w orks) t elah banyak dikaji sepert i Burke [2], m engkaji t iga w orkst asion dengan w orkst asion pert am a dan ket iga m em punyai pelayanan t unggal dan pelayanan kedua m em punyai pelayanan m ultipel, Sim on dan Foley [11], yang m engkaji t iga w orkst asion dengan pelayanan t unggal. Ant rian Jaringan Jackson t ert ut up (Closed Jackson Net w orks) t elah dikaji oleh Buzen [3] dan Bruell dan Balbo [1] yang mem buat algorit m a kom put asi dari Ant rian Jaringan Jackson t ert ut up (Closed Jackson Net w orks) dan Derry [4], m engaplikasikan Jaringan Jackson delapan w orksat ion unt uk dat a riil di Dufan.

Pada Kulkarni [7] dan Gum gum [5] ket ert arikan pengunjung di asum sikan sam a, padahal pada kenyat aannya M enurut Survaey yang dilakukan Derry [4],ket ert arikan pengunjung t erhadap w ahana berbeda unt uk it u Pada penelit ian ini akan dikaji Ant rian Jaringan Jackson t erbuka (Open Jackson Net w orks) dengan m ult i server yang m engacu pada Kulkarni [7] dan Gum gum [5] dengan peluang t ransisi yang berbeda. Sist em t erdiri at as enam (6) buah w orkst asion dengan pelayanan lebih dari sat u.

2. ANTRIAN JARINGAN JACKSON

Ant rian Jaringan adalah sebuah ant rian dim ana konsum en dapat pindah dari sat u w orkst asion ke w orkst asion lain beberapa kali sebelum m eninggalkan sist em. Pada ant rian ini t erdapat lebih dari sat u w orkst asion.

Asum si pada Ant rian Jaringan Jackson



Jaringan mem punyai N pelayanan t unggal



St asion ke-i m em punyai pelayan sebanyaks_i.

(3)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₇₇



Pelanggan dat ang pada st asion ke-i dari luar sist em dengan t ingkat kedat angan

 

i

P  dengan sem ua kedat angan bersifat independent .



Wakt u pelayanan pada st asion ke-i berdist ribusi iid Exp

 

_i .



Konsum en keluar dari w orkst asion ke-i dan sam pai ke w orkst asion ke-j dengan peluang p_{i j}_, yang bersifat bebas unt uk set iap w orkst asion.

Langkah-langkah penent uan Perform ansi Ant rian Jaringan Jackson 2.1 M enent ukan Tingkat kedat angan

, 1

i i i

a   b  i N (1)

1 N

i tot i i

i    





(2)

Nilai-nilai paramet er pada sist em m eliput i,

ai = t ingkat kedat angan t ot al pada w orkst asion ke-i, si = Banyaknya fasilit as pelayanan w orkst asion ke-i,

λ

i = Tingkat kedat angan ekst ernal pada w orkst asion ke-i,

bi = Tingkat kedat angan int ernal pada w orst asion ke-i,

γ

i = Arrangement Code ( 1 jika t erbuka, 0 jika t ert ut up),

N = Banyaknya w orkst asion,

λ

t ot = Tingkat kedat angan ekst ernal t ot al pada sist em .





, 1 , 1 1 2 1 2 1 , 1 , 1 , ,.., , ,.., , ( ) N j i i j

i N

j j i i j

i

N N

b a p j N

a a p j N

dengan a a a a

Sehingga

a aP

a I P

a I P

                   _ _  _ _      



2.2 M enent ukan M at riks Transisi Jackson

(4)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₇₈ 1,1 1,2 1,3 1,

2.1 2,2 2,3 2,

3,1 3,2 3,3 3,

, 1

,1 ,2 ,3 ,

. . . . . .

, 1, 1 .

. . . . . . . . . . N N N N i j j

N N N N N

p p p p

P p i N

p p p p

                       



2.3 M enent ukan St abilit as Sist em

Ant rian Jaringan Jackson dikat akan st abil jika, m at riks I-P invert ibel dengan P adalah m at riks t ransisi Jackson net w ork dan a_i s_i_i unt uk sem uai = 1,2,..,N dengan

1, 2,.., N

a _a a a _. Dengan kat a lain Jackson Net w ork disebut st abil jika i _i i

a s

  , unt uk i = 1,2,….N.

2.4 M enent ukan Ukuran Perform ansi Sist em ant rian.

Ukuran perform ansi ant rian m erupakan ukuran yang m enunjukan efekt ifit as dan efisiensi dari ant rian. Ukuran perform ansi ant rian unt uk m odel (M / M / s):(FCFS/ ~/ ~) adalah,

 

0 1 0 1 0

, 0,1, 2,...

0 , 1 / ! ! 1 / 1

! ! ₁

n

s

n n s

s

n n s

s n

a a n

n n s

s n s

Jika a s maka hasil steady state nya adalah P

a

a a

n s s

(5)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₇₉

 

0 0 0 ! ! n n n n s a

P jika n s

n P

a

P jika n s

s s               _  (3)

 





₂ 0

, 1 , , ! 1 1 s q

q q q

q q a Dengan maka s a L

L P W W W

a s

L a W

a L  _                _  _     (4) Dengan

P0 = Peluang t idak t erdapat konsum en/ pendat ang pada sist em ant rian, Pn = Peluang t erdapat ada n konsum en pada sist em ant rian,

Lq = Rat a-rat a banyaknya konsum en yang m engant ri pada sist em ant rian, Ls = Rat a-rat a banyaknya konsum en yang m engant ri dit am bah dengan

konsum en yang sedang dilayani pada sist em ant rian, Wq = Rat a-rat a lam anya konsum en m enunggu sam pai dilayani, W = Rat a-rat a lam anya konsum en m enunggu dan dilayani,

ρ = Utilitas Sistem (tingkat kesibukan pelayanan).

2.5 M enent ukan Pelayanan yang m enganggur

Unt uk m enent ukan banyaknya pelayanan yang m enganggur dapat digunakan persam aan sebagai berikut ;

 





, 1

i i s q

Idle  s L i L i dengan  i N. (5)

(6)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₈₀ 3. APLIKASI

Aplikasi pada m akalah ini m engam bil kasus pada Kulkarni [7], dim ana t erdapat enam buah w orkst at ion. Workst asion m erupakan fasilit as pelayanan pada suat u t em pat Rekreasi. M asing-m asing Roller Coast er (A), Wat er Tube (B), Fant asy (C), M erry go-Around (D), Journey t o t he M oon (E) dan Ghost M ont ain (F). Skem a sist em Ant rian Jaringan Jackson dapat dilihat pada gam bar 1. Soft w are yang digunakan unt uk m enyelesaikan perm asalahan ini digunakan soft w are R versi 3.03. Dim ana m akro yang di buat m engacu pada persam aan m at em at is (1) sam pai (5).

Gam bar 1. Skem a Ant rian Jaringan Jackson dengan Enam Workst at ion

Berdasarkan pada Kulkarni [7], dapat dit ent ukan param et er-param et er sebagai berikut ; N

= 6 Wokstation, s = (24, 35, 20, 60, 16,20), µ = (30, 20,

40,12,40,36) jika t ingkat kedat angan pada sist em (t ot al) adalah 500 orang/ jam . Jika ket ert arikan pengunjung t erhadap m asing m asing w ahana berbeda dengan peluang sebagai berikut Roller Coast er (A) = 2/ 6, Wat er Tube (B)=2/ 6, Fant asy (C)=1/ 12, M erry go-Around (D)=1/ 12, Journey t o t he M oon (E)=1/ 12 dan Ghost M ont ain (F)=1/ 12 M at riks Transisi Jackson dari gam bar 1 dapat dit ent uka sebagai berikut ;

B D

C E

[image:6.612.216.480.285.431.2]

(7)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₈₁













0

12

/

1

12

/

1

12

/

1

6

/

2

6

/

2

12

/

1

0

12

/

1

12

/

1

6

/

2

6

/

2

12

/

1

12

/

1

0

12

/

1

6

/

2

6

/

2

12

/

1

12

/

1

12

/

1

0

6

/

2

6

/

2

12

/

1

12

/

1

12

/

1

12

/

1

0

6

/

2

12

/

1

12

/

1

12

/

1

12

/

1

6

/

2

0

.

M at riks P diat as digunakan unt uk m enent ukan nilai a dengan m enggunakan persam aan a



IP



1. Nilai

γ diinput untuk menentukan performansi antrian terbaik.

Berdasarkan t abel 1, Nilai idle t erkecil yait u sebesar 74.31diperoleh dengan nilai [image:7.612.113.528.453.702.2]



=(0,0,1,1,0,1), ar t inya pint u ket iga , keem pat dan keenam dibuka sedangkan pint u pert am a, kedua dan kelim a dit ut up. Berdasarkan lam a menunggu pelayanan diperoleh unt uk nilai



= (1,1,1,1,1,1) dengan w akt u m enunggu 0,001 jam . Nilai-

Nilai γ yang tidak

dit ulis pada t abel 1 sepert i  



1,1, 0,1,1, 0



, m enunjukan syst em t idak st abil.

Tabel 1. Ukuran Perform ansi Dari Ant rian Jaringan Jackson

γ

(N=6) Idle Rata-rata Deviasi

Standar Lq Ls W q

(1,1,1,1,1,1) 82.63 13.77 13.22 1.01 16.40 0.001

(1,1,1,0,0,0) 90.96 15.16 16.30 2.05 16.05 0.003 (0,1,1,1,0,0) 77.32 12.887 11.05 8.15 24.43 0.011 (1,1,0,1,0,0) 81.98 13.66 11.54 2.050 17.55 0.003 (1,1,0,0,0,1) 90.53 15.08 16.34 2.05 36,29 0.003 (1,0,1,1,0,0) 79.40 13.23 10.74 2.77 18.70 0.004 (0,1,1,0,0,1) 85.87 14.31 15.94 8.15 23.01 0.011

(0,0,1,1,0,1) 74.31 12.38 10.064 0.533 17.31 0.001

(8)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₈₂ (1,1,1,1,0,1) 82.42 13.737 12.78 1.155 16.58 0.001 (1,1,1,0,1,1) 87.80 14.63 15.88 1.155 15.68 0.002 (1,1,0,1,1,1) 87.80 14.63 15.88 1.155 15.68 0.002 (1,0,1,1,1,1) 80.87 13.48 12.45 1.026 16.71 0.001 (1,0,1,1,1,1) 80.87 13.47 12.45 1.026 16.71 0.001 (1,1,1,1,0,0) 80.87 13.48 12.45 1.026 16.71 0.001 (0,1,1,1,0,1) 78.60 13.10 11.93 2.35 18.41 0.003 (1,0,1,1,0,1) 80.16 13.36 11.72 1.39 17.19 0.002 (1,1,0,1,0,1) 82.09 13.68 12.32 1.42 16.90 0.002

4. KESIM PULAN

Berdasarkan t abel 1 hasil perhit ungan dengan m enggunakan Soft w are R versi 3.03, dapat di buat dua kesim pulan. Jika ant rian dit it ik berat kan pada pengurangan fasilit as yang m enganggur m aka lebih baik m elakukan pengat uran dengan

γ = (

0,0,1,1,0,1). Jika ant rian dit it ik berat kan pada cepat nya

menunggu untuk mengantri maka lebih baik melakukan pengaturan dengan γ =

(1,1,1,1,1,1), art inya sem ua pint u dibuka.

5. UCAPAN TERIM A KASIH

(9)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₈₃

DAFTAR PUSTAKA

[1]Bruell SC& Balbo G. 1980.Comput at ional Algorithm for Closed Queueing Net w orks. Operat ing and Programming Syst em Series. P.J.Denning (Ed.).New York.Oxford:Nort h Holland.

[2]Burke PJ. 1969. The Dependence of Service in Tandem M / M / s Queues. Operat ional Research.17:754-755.

[3]Buzen JP. 1973. Com put at ional Algorit hm s for Closed Queueing Net w orks wit h Exponent ial Servers.Communicat ion. ACM 16 : 527-531.

[4] Derry Sanddriya. 2014. Pengat uran Kedat angan ekst ernal Opt im al Pada Ant rian jaringan Jackson Delapan Workst at ion Dengan Peluang Transisi Berbeda. Skripsi Depart em en St at ist ika FM IPA UNPAD.

[5] Gum gum Darm aw an. 2009.Pengat uran Kedat angan Ekst ernal Opt im al Pada M odel Ant rian Jaringan Jackson Net w ork. Sem inar Nasional M at em at ika FM IPA UNEJ.

[6]Jackson JR. 1957. Net w orks of Wait ing Lines.Operat ionalResearch.5 : 518-521.

[7]Kulkarni VG. 1999. M odeling, Analysis, Design, and Cont rol of St ochast ic Syst em. Springer-VerlagNew YorkUSA.

[8]Kelly FP. 1975. Net w orks of Queues wit h Cust om ers of Different Types.Journal of Applied Probabilit y.12 : 542-554.

[9]Lem oine AJ.1977. Net w orks of Queues-A Survey of Equilibrium Analysis.M anagement Science.24 : 464-481.

[10]Perros H. 1994. Queueing Net w orks w it h Blocking.New York:OxfordUniversit y Press. [11]Sim on B & Foley RD. 1979. Som e Result s on Sojourn Tim es in Cyclic Jackson Net w orks.

(10)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₈₄ Lam piran. M akro Soft w are R Unt uk M enent ukan Perform asi Ant rian Jaringan Jackson N<-6

l<-500

s=c(24,35,20,60,16,20); m u=c(30,20,40,12,40,36); gam m a=c(0,1,1,1,0,0); sm p=sum (gam m a) lam da=c();

for (i in 1:N) {

lam da[i]<-((l* gam m a[i])/ sm p) }

lam da

########################## #M <-m at rix((1/ N),N,N)

A<-c(2/ 6,2/ 6,2/ 6,2/ 6,2/ 6,2/ 6) B<-c(2/ 6,2/ 6,2/ 6,2/ 6,2/ 6,2/ 6) C<-c(1/ 12,1/ 12,1/ 12,1/ 12,1/ 12,1/ 12) D<-c(1/ 12,1/ 12,1/ 12,1/ 12,1/ 12,1/ 12) E<-c(1/ 12,1/ 12,1/ 12,1/ 12,1/ 12,1/ 12) F<-c(1/ 12,1/ 12,1/ 12,1/ 12,1/ 12,1/ 12) M <-cbind(A,B,C,D,E,F)

(11)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₈₅ P<-solve(I-M )

a<-lam da%* %P

st b<-s* m u #st abil jika sem ua st b>a ###########

########### c=c();

d =c(); e=c() f=c(); g=c(); h=c(); a1=c(); rho=c(); rho1=c(); b=c(); for (i in 1:N) {

a1[i]<-s[i]* m u[i] rho[i]<-a[i]/ (a1[i]) rho1[i]<-a[i]/ (m u[i])

b[i]<-((rho1[i]^ s[i]))/ (fact orial(s[i])* (1-rho[i])) }

########

(12)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₈₆ c[t ]<-(rho1[1])^ t / (fact orial(t ))

}

sum 1<-1 + sum (c) p01<-1/ (sum 1 + b[1])

lq<-((rho[1]* p01* (rho1[1])^ s[1]))/ ((fact orial(s[1]))* (1-rho[1])^ 2)

##

for ( t in 1:(s[2]-1)) {

d[t ]<-(rho1[2])^ t / (fact orial(t )) }

sum 2<-1 + sum (d) p02<-1/ (sum 2 + b[2])

lq1<-((rho[2]* p02* (rho1[2])^ s[2]))/ ((fact orial(s[2]))* (1-rho[2])^ 2)

##

for ( t in 1:(s[3]-1)) {

e[t ]<-(rho1[3])^ t / (fact orial(t )) }

sum 3<-1 + sum (e) p03<-1/ (sum 3 + b[3])

(13)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₈₇ ##

for ( t in 1:(s[4]-1)) {

f[t ]<-(rho1[4])^ t / (fact orial(t )) }

sum <-1 + sum (f) p04<-1/ (sum + b[4])

##

for ( t in 1:(s[5]-1)) {

g[t ]<-(rho1[5])^ t / (fact orial(t )) }

sum <-1 + sum (g) p05<-1/ (sum + b[5])

##

(14)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₈₈ h[t ]<-(rho1[6])^ t / (fact orial(t ))

}

sum <-1 + sum (h) p06<-1/ (sum + b[6])

q5<-((rho[6]* p06* (rho1[6])^ s[6]))/ ((fact orial(s[6]))* (1-rho[6])^ 2)

result =c(); result 1=c();

result <-c(lq,lq1,lq2,lq3,lq4,lq5)

result 1<-c(lq+rho1[1],lq1+rho1[2],lq2+rho1[3],lq3+rho1[4],lq4+rho1[5] ,lq5+rho1[6]) result # Lq

result 1 # Ls

idle=c(); w q=c(); for (j in 1:N) {

idle[j]<-s[j]-(result 1[j]-result [j]) w q[j]<-result [j]/ a[j]

}

(15)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 ₉₈₉ m ean(idle)

sd(idle) w q