M ATERI M ATEM ATIKA SM A IPA
1. Logika Matematika
Modus Ponen Modus Tollens Modus Silogisme
q
2. Pangkat, Akar dan Logaritma
8. log =
9. log =
Pertidaksamaan eksponen dan logaritma:
Untuk 0 < a < 1 (tandanya dibalik)
( ) ≥ ( ) ⟹ ( ) ≤ ( )
( ) ≤ ( ) ⟹ ( ) ≥ ( )
log ( ) ≥ log ( ) ⟹ ( ) ≤ ( ) log ( ) ≤ log ( ) ⟹ ( ) ≥ ( )
3. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat: + + = , ≠ 0
Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar:
1. + = − , . =
2. − = √
3. + = ( + ) −2
4. − = ( + ) ( + )
5. + = ( + ) −3 ( + )
Bentuk umum fungsi kuadrat: ( ) = + +
1. D > 0 memotong di dua titik berbeda
2. D = 0 menyinggung di satu titik
3. D < 0 tidak memotong/tidak menyinggung
4. Sistem Persamaan Linear
Menggunakan metode subtitusi atau eliminasi.
5. Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
Persamaan lingkaran:
Pusat (0,0) dan jari-jari r + =
Pusat (a,b) dan jari-jari r ( − ) + ( − ) =
Pusat (a,b) dan menyinggung sumbu x( − ) + ( − ) =
Pusat (a,b) dan menyinggung sumbu y( − ) + ( − ) =
Pusat (a,b) dan menyinggung garis px + qy + c = 0 = ( ) ( )
Persamaan umum lingkaran: + + A + B + = 0
Pusat − A,− B Jari-jari = − A + − A −
Untuk a > 1 (tandanya tetap)
( ) ≥ ( ) ⟹ ( ) ≥ ( )
( ) ≤ ( ) ⟹ ( ) ≤ ( )
log ( ) ≥ log ( ) ⟹ ( ) ≥ ( ) log ( ) ≤ log ( ) ⟹ ( ) ≤ ( )
Diskriminan: = −4
1. D ≥ 0 akar-akar real
2. D > 0 akar-akar real berbeda
3. D = 0 akar-akar real kembar
Persamaan garis singgung lingkaran:
Jika diketahui titik singgungnya ( , ):
1. PGS pada lingkaran + = + =
2. PGS pada lingkaran ( − ) + ( − ) = .
( − ) ( − ) + ( − ) ( − ) =
3. PGS pada lingkaran + + A + B + = 0.
+ + ( + ) + ( + ) + = 0
Jika diketahui gradien m:
1. PGS dengan gradient m dan pusat (0,0) jari-jari r = ± √1 +
2. PGS dengan gradient m dan pusat (a,b) jari-jari r − = ( − ) ± √1 +
6. Suku Banyak (Teorema Sisa dan Teorema Faktor)
Bentuk umum: ( ) = + + + ⋯+ +
Mencari nilai f(x) dengan metode subtitusi/ horner.
Pembagian suku banyak: ( ) = ( ) .ℎ( ) + ( )
f(x) yang dibagi, p(x) pembagi, h(x) hasil bagi, s(x) sisa.
Teorema sisa:
f(x) dibagi (x – a) sisanya f(a)
f(x) dibagi (x + a) sisanya f(-a)
f(x) dibagi (ax – b) sisanya
Teorema faktor:
(x – a) adalah faktor dari suku banyak f(x) f(a) = 0. Jika f(a) = 0 maka f(x) habis dibagi (x – a).
Jika (x – a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x).
7. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Fungsi komposisi: ( ∘ ) ( ) = ( )
( ∘ ) ( ) = ( )
Sifat-sifat:
1. ∘ ≠ ∘ (komutatif)
2. ∘( ∘ ℎ) = ( ∘ )∘ ℎ (asosiatif)
3. ∘ = ∘ (identitas)
8. Program Linear
Langkah-langkah:
1. buat model matematika;
2. lukis grafik;
3. tentukan daerah penyelesaian;
4. tentukan titik pojok;
5. subtitusi ke fungsi objektif;
Invers f(x) f-1(x)
Jika f(x) = y maka f-1(y) = x
Sifat-sifat:
1. ∘ = ∘ = (identitas)
2. ( ∘ ) = ∘ (invers komposisi)
3. ∘ = ℎ = ℎ ∘
6. pilih nilai optimum/minimum.
2. elemen yang bersesuaian sama
Transpos matriks: (baris menjadi kolom)
= = =
Vektor pada dua titik:
= ( , , ) dan = ( , , )
Vektor satuan: (vektor yang panjangnya satu)
vektor satuan dari vector ⃗= ( , , ): = ⃗
| |
Pembagian ruas garis:
1. Pembagian di dalam
⃗: ⃗= : ⃗= ⃗ ⃗
2. Pembagian di luar
⃗: ⃗= :− ⃗= ⃗ ⃗
Besar sudut antara dua vektor: cos = ⃗ .⃗
|⃗| ⃗
Proyeksi skalar (panjang proyeksi vektor):
proyeksi skalar ⃗ pada ⃗ = ⃗ . ⃗⃗
proyeksi skalar ⃗ pada ⃗ = ⃗ . ⃗
|⃗|
11. Transformasi
Translasi:
P (x,y) ditranslasikan oleh matriks T = P ( + , + ) atau = +
Refleksi:
Refleksi terhadap …. Pemetaan Persamaan matriks transformasi
sumbu x (y = 0) P (x, y) P (x, -y) = 1 0
0 −1
sumbu y (x = 0) P (x, y) P (-x, y) = −1 0
0 1
garis y = k P (x, y) P (x, 2k – y) = 1 0
0 −1
garis x = h P (x, y) P (2h – x, y) = −1 0
0 1
garis x = h lalu x = k P (x, y) P (2(k – h)+ x, y)
garis y = h lalu y = k P (x, y) P (x, 2(k – h)+ y)
garis x = h lalu y = k P (x, y) P (2h – x, 2k – y)
sumbu y = x P (x, y) P (y, x) = 0 1
1 0
sumbu y = -x P (x, y) P (-y, -x) = 0 −1
−1 0
titik asal O (0, 0) P (x, y) P (-x, -y) = −1 0
0 −1 titik R (a, b) P (x, y) P (2a – x, 2b – y) = −1 0
0 −1
garis y = mx (m = tan ) = cos 2 sin 2
sin 2 −cos 2
garis y = mx + c = cos 2 sin 2
sin 2 −cos 2
garis y = x + k = 0 1
1 0 +
garis y = -x + k = 0 −1
−1 0 +
Rotasi:
Rotasi …. (berlawanan jarum jam) Persamaan matriks transformasi
Proyeksi vektor:
proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ = ⃗ . ⃗
⃗ .⃗
proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ = ⃗ . ⃗
Rotasi pusat O (0,0) sebesar o = cos sin
sin −cos
Rotasi pusat (a, b) sebesar o = cos sin
sin −cos
Dilatasi:
Dilatasi …. Pemetaan Persamaan matriks transformasi
pusat (0,0), faktor skala k
Dilatasi [O, k] P (x, y) P (kx, ky) =
0
0
pusat (a, b), faktor skala k
Dilatasi [P (a, b), k] =
0
0
Komposisi transformasi:
Jika transformasi T1 (bersesuaian dengan matriks M1) dan transformasi T2 (matriks M2).
Maka transformasi T1 lalu transformasi T2 ditulis: T2 T1 = M2 . M1
12. Deret Aritmatika
Barisan aritmatika: U1, U2, U3, …, Un
Rumus suku ke-n : Un = a + (n – 1) b
Suku tengah: =
Sisipan: =
= + ( −1)
k = banyaknya bilangan yang disisipkan
13. Deret Geometri
Barisan geometri: U1, U2, U3, …, Un
Rumus suku ke-n : =
Suku tengah: = ×
Sisipan: ( ) =
k = banyaknya suku yang disisipkan
14. Dimensi Tiga
15. Trigonometri
sin = , cos = , tan =
Deret aritmatika: U1 + U2 + U3 + … + Un
= ( + )
= ( 2 + ( −1) )
Sisipan: =
Hubungan Un dan Sn = −
Deret geometri: U1 + U2 + U3 + … + Un
= ( ), | | > 1
= ( ), | | < 1
~ =
Hubungan Un dan Sn = −
de m i
sa
Tabel nilai trigonometri:
Aturan sinus untuk segitiga sembarang:
= =
Aturan cosines untuk segitiga sembarang:
= + −2 .
Rumus jumlah dan selisih sudut:
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Rumus jumlah dan selisih fungsi:
sin A + sin B = 2 sin ( A + B) cos ( A−B)
sin A−sin B = 2 cos ( A + B) sin ( A−B)
cos A + cos B = 2 cos ( A + B) cos ( A−B)
Rumus perkalian fungsi:
1. Bentuk linear/kuadrat dengan penyebut 1 (subtitusi)
Contoh: lim → ( + 4) = ( 1) + 4 = 5
2. Bentuk (aturan L’Hospital turunan)
Contoh: lim → = lim → ( )
( ) = lim→ + 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
3. Memuat akar (kalikan dengan sekawannya)
Contoh: lim
1. lim
Fungsi naik dan fungsi turun:
misal: u (dengan pangkat tertinggi)
tentukan du dx
subtitusi ke soal
19. Permutasi, Kombinasi, dan Peluang
Notasi faktorial:
n! = n × ( n−1) × 3 × 3 × 1
Contoh: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Permutasi: cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (AB BA)
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur: nPr =
! ( ) !
Permutasi n unsur dengan terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang
sama adalah: P = !
! ! !
Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsure yang berbeda: P = (n – 1)!
Permutasi dari n unsur berbeda, disusun k unsur, tiap unsur boleh berulang: P = nk
Kombinasi: cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya (AB = BA).
Kombinasi k unsur dari n unsur: nCk =
! !( ) !
Peluang: P(A) = ( )
( ) (peluang kejadian A)
Frekuensi harapan suatu kejadian: Fh(A) = n P(A) …. n = banyaknya percobaan
Peluang komplemen suatu kejadian: P(Ac) = 1 – P(A)
Peluang kejadian majemuk:
1. Gabungan dua kejadian: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
2. Kejadian saling lepas/asing, jika A dan B tidak mempunyai irisan: P(A B) = P(A) + P(B)
3. Kejadian saling bebas, jika A dan B tidak saling mempengaruhi: P(A B) = P(A) . P(B)
Creat ed by:
Nur malia Beladina
beladina2 7.blogspot .com
beladina2 7@gmail.com
Dilarang mengedit dan merubah isi dokumen ini.
Hargailah karya anak bangsa!
Sem oga berm anfaat .
Berdoa. Belajar. Berusaha.
