Persamaan Linear Simultan (ElGaussJordan)

(1)

Eliminasi_GaussJordan 1

Persamaan Linier Simultan

(2)

Persamaan Linier Simultan

Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas.

Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan

dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:

m n

mn m

m m

n n

b x

a x

a

b x

a x

a

b x

a x

a

b x

a x

a

= +

+ +

+

= +

+ +

+

= +

+ +

+

= +

+ +

+

...

... ...

... ... ...

3 3 2

2 1

1

3 3

3 33 2

32 1

31

2 2

3 23 2

22 1

21

1 1

3 13 2

12 1

11

dimana:

a_ij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan

x_i untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai x_i

(3)

Persamaan Linier Simultan

Persamaan linier simultan di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu :

dimana: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11

A x = B

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ m n mn m mi n n b b b danB x x x x a a a a a a a a a A ... ... , ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1 2 2 22 21 1 12 11

Matrik A=Matrik Koefisien atau Matrix Jacobian Vektor x =Vektor variabel

(4)

Augmented Matrix ( matrik perluasan ) dari persamaan linier simultan adalah matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan

menambahkan vektor B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan:

Augmented (A) = [A B]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

m mn

m m

m

n n

b

a

b

a

b

a

...

3 2

1

2 2

23 22

21

1 1

13 12

(5)

Teorema

Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

(1) Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas.

(2) Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada

satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada b_n ≠ 0.

(6)

Metode Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas.

Metode eliminasi gauss: metode dimana bentuk matrik augmented, pada bagian kiri diubah menjadi matrik segitiga atas

/segitiga bawah dg menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

(7)

Metode Eliminasi Gauss

Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan:

Operasi Baris Elementer (OBE) : operasi pengubahan nilai elemen matrik berdasarkan barisnya, tanpa mengubah matriknya.

OBE pada baris ke-i+k dengan dasar baris ke i dapat dituliskan dengan :

j i j

k i j

k

i a c a

a ₊ _, = ₊ _, − . _, _{dimana c : konstanta pengali}

dari perbandingan nilai dari elemen a_i,i dan a_i+k,i

(

)

(

)

(

_n _n

)

n n n

n n n n

n n

nn n n

x c x

c x

c d

c x

x c x

c x

c d

c x

d x

c c

x

c d x

1 13

2 12 1

11 1

2 4

24 3

23 2

22 2

1 ,

1 1

, 1 1

... 3 1

... 1

... ...

1

− − −

− =

− − −

− =

+ −

= =

− −

−

(

n n n n

)

n n

n d c x

c

x ₁ ₁_,

1 , 1 1

1

− −

(8)

Contoh Penyelesaian Pers.Lin.Simultan dg.

Metode Eliminasi Gauss

Selesaikan persamaan berikut :

10 2 2 2 2 6 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = + + = − + = + + x x x x x x x x x

Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut adalah:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 10 2 1 2 2 1 2 1 6 1 1 1

Lakukan operasi baris elementer sebagai berikut:

1 3 1 2 2B B B B − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − 2 0 1 0 4 2 1 0 6 1 1 1 2 3 B B + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 6 2 0 0 4 2 1 0 6 1 1 1

dengan demikian diperoleh penyelesaian:

( )

(9)

Algoritma Metode Eliminasi Gauss

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah sbb :

1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai a_i,i =0 : Bila ya :

pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k

≤

n, dimana a_i+k,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian.

Bila tidak : lanjutkan

4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n

Lakukan operasi baris elementer: Hitung

Untuk kolom k dimana k=1 s/d n+1 hitung

Hitung akar, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama) :

dimana nilai i+k

≤

n

i i

i j

a a c

, ,

=

k i k

j k

j

a

c

a

_,

=

_,

−

.

_,

(

i i i i i i i i n n

)

i i

i b a x a x a x a

x _, ₁ ₁ _, ₂ ₂ _,

,

...

1 ₋ ₋ ₋ ₋

(10)

Metode Eliminasi Gauss Jordan

Metode Eliminasi Gauss Jordan: metode pengembangan metode

eliminasi gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal sebagai berikut:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n nn n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a b a a a a ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 2 1 3 3 33 32 31 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n d d d d 1 ... 0 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 ... 1 0 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 0 1 3 2 1

Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3 ,…,dn dan atau:

n n

d

x

d

x

d

x

d

x

₁

=

₁

,

₂

=

₂

,

₃

=

₃

,....,

=

(11)

Contoh Penyelesaian Pers.Lin.Simultan dg.

Metode Eliminasi Gauss Jordan

Selesaikan persamaan berikut :

Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut adalah:

Lakukan operasi baris elementer sebagai berikut:

dengan demikian diperoleh penyelesaian: 8

4 2

3

2 1

= +

x x

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

8 4 2

3 1 1

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

1 1

0

2 0

1

1 1 0

3 1 1 2 / 2

2 2

0

3 1

1 2

2 1

1 2

B B

B

b B

(12)

Algoritma Metode Eliminasi Gauss Jordan

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah sbb :

1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n,

Perhatikan apakah nilai a_i,i =0 : Bila ya :

pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana a_i+k,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian.

Bila tidak : lanjutkan

Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung

4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n Lakukan operasi baris elementer:

Hitung Hitung

5. Penyelesaian, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai

baris pertama)

i i

k i k

i

a a a

, , , =

c = a_j,i

k i k

j k

j a c a

a _, = _, − . _,

+