EKONOMETRIKA
PERSAMAAN SIMULTAN
OLEH
KELOMPOK 5
DEKI D. TAPATAB
JUMASNI K. TANEO
MERSY C. PELT
DELFIANA N. ERO
GERARDUS V. META
ARMY A. MBATU
SILVESTER LANGKAMANG
FAKULTAS PERTANIAN
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
KUPANG
2015
MODEL PERSAMAAN SIMULTAN
1. Pengertian Persamaan Simultan
Suatu himpunan persamaan dimana variabel dependen dalam satu atau
lebih persamaan juga merupakan variabel independen dalam beberapa persamaan yang lain.
Suatu model yang mempunyai hubungan sebab akibat antara variabel
dependen dan variabel independennya, sehingga suatu variabel dapat dinyatakan sebagai variabel dependen maupun independen dalam persamaan yang lain.
2. Sifat dasar Model Persamaan Simultan
Ada hubungan dua arah atau simultan antara X dan (beberapa dari) X, yang membuat perbedaan antara variabel tak bebas dan variabel yang menjelaskan menjadi meragukan. Adalah lebih baik untuk mengumpulkan bersama sama sejumlah variabel yang dapat ditentukan secara simultan oleh kumpulan variabel sisanya. Inilah yang dilakukan dalam persamaan simultan.
Dalam model seperti itu ada lebih dari satu persamaan , satu untuk variabel
tidak bebas atau bersifat endogen atau gabungan atau bersama. Dan tidak seperti
persamaan model tunggal, dalam model persamaan simultan orang mungkin tidak menaksir parameter dari satu persamaan tunggal tanpa memperhitungkan informasi yang diberikan oleh persamaan lain dalam sistem.
Apa yang terjadi jika parameter dari tiap persamaan ditaksir dengan menerapkan , misalnya metode OLS, tanpa memperhatikan persamaan lain dalam sistem? Ingat bahwa satu asumsi penting dari metode OLS adalah bahwa variabel X yang menjelaskan baik bersifat nonstokastik atau jika stokastik (random) didistribusikan secara bebas (independen) dari unsur gangguan stokastik. Jika tak satupun dari kondisi ini dipenuhi, maka, penaksir kuadarat terkecil tidak hanya bias tapi juga tak konsisten, yaitu dengan
meningkatnya sampel secara tak terbatas, penaksir tidak mengarah ke nilai (populasi) sebenarnya. Jadi, dalam sistem persamaan hipotesis berikut ini.
Yy1i = β10 +β12Y 2i +γ11X1i + µ1i ...(1.1)
Yy2i = β20 +β21Y 1i +γ21X1i + µ2i ...(1.2)
Dimana Y1 dan Y2 merupakan variabel yang saling bergantung, atau bersifat endogen, dan X1 merupakan variabel yang bersifat eksogen dan dimana µ1 dan µ2 unsur gangguan stokastik, variabel Y1 dan Y2 kedua duanya stokastik.Oleh karena itu kecuali dapat ditunjukkan bahwa variabel yang menjelaskan Y2 yang bersifat stokastik dalam (1.1) didistribusikan secara bebas dan µ1 dan variabel yang menjelaskan Y1 yang bersifat stikastik dalam (1.2) didistribusikan secara bebas dari µ2, penerapan OLS klasik untuk persamaan persamaan ini secara individual akan membawa ke taksiran yang tidak konsisten.
Contoh Model Persamaan Simultan
Contoh 1.1 Model Permintaan Dan Penawaran.
Seperti dikenal dengan baik , harga P dari komoditas dan kuantitas Q yang terjual ditentukan oleh perpotongan kurva pendapatan dan penawaran untuk komoditi itu. Jadi dengan mengasumsikan untuk penyederhanaan bahwa kurva penawaran dan kurva permintaan adalah linear dan dengan menambahkan unsur gangguan stokastik µ1dan µ2, fungsi empiris permintaan dan penawaran bisa ditulis sebagai berikut :
fungsi permintaan Qt = α0 + α1Pt + µ1t α< 0 (1.3)
fungsi penawaran Qt = α0 + β1Pt + µ2t β> 0 (.1.4)
kondisi keseimbangan Qt = Qt
dimana Qd = kuantitas yang diminta
Qs = kuantitas yang ditawarkan
t = waktu
α dan β adalah parameter. Secara apriori α diharapkan untuk negatif (kurva permintaan yang miring ke bawah) dan β1 diharapkan positif (kurva penawaran yang mengarah ke atas).
Sekarang tidak terlalu sulit untuk melihat bahwa P dan Q adalah variabel tak bebas bergabung. Jika misalnya µi dalam (1.3) berubah karena perubahan
dalam variabel lain yang mempengaruhi Qdt (seperti pendapatan, kekayaan dan
selera),kurva kurva permintaan akan bergeser ke atas. Gambar 1.1
Pergeseran kurva permintaan dan penawaran
Seperti ditunjukan dalam gambar diatas, suatu pergeseran dalam kurva permintaan merubah baik P dan Q. Serupa dengan itu suatu perubahan dalam µ2t (karena pemogokan, cuaca, pembatasan import atau ekspor dsb). Akan menggeser kurva penawaran. mempengaruhi P dan Q, karena ketergantungan simultan antara Q dan P, µ1t Pt dalam (2.3) dan µ2t dan Pt (dalam 2.4) tidak mungkin bebas. Oleh karena itu regresi Q atas P (2.3) akan melanggar asumsi penting dari model regresi linear klasik, yaitu asumsi tidak adanya korelasi antara variabel yang menjelaskan dan unsur gangguan.
3. Variabel Dalam Persamaan Simultan
1 Variabel endogen/ endogenous variable : variabel dependen (tidak bebas) pada persamaan simultan (jumlahnya sama dengan jumlah persamaan dalam model simultan) atau dengan kata lain merupakan variabel tak bebas bersama atau variabel variabel yang ditetapkan dalam model. Variabel endogen bersifat stokastik
2 Variabel yang sudah diketahui nilainya/ predetermined variable : variabel ini diperlakukan sebagai variabel yang non stokastik yang nilai-nilainya sudah tertentu atau sudah ditentukan.
Predetermined variable dibedakan menjadi dua, yaitu:
- Variabel eksogen : - Variabel eksogen sekarang : Xt , Pt - Variabel eksogen waktu lampau : Xt-1, Pt-1
- Variabel endogen wakt u lampau (lagged endogenous variabel) : Yt-1, Qt-1 Dapatkah OLS digunakan untuk menaksir koefisien dalam persamaan simultan?
Tidak dapat, jika OLS tersebut digunakan untuk meregres masing-masing persamaan secara sendiri-sendiri. Karena asumsi dari OLS adalah nir-stokastik atau jika stokastik, dianggap tidak tergantung pada variabel residual yang stokastik. Jika hanya dilakukan regresi pada salah satu model regresi, maka persamaan tunggal tersebut tidak dapat diperlakukan sebagai sebuah model yang lengkap.
Dapat diterapkan, jika model persamaan tersebut sudah diubah dalam bentuk reduce
form, yaitu dengan memasukkan salah satu persamaan pada persamaan yang lain.
4. Persamaan Bentuk Turunan (reduce form).
Suatu bentuk persamaan yang direduksi (reduce form) adalah satu persamaan yang menyatakan suatu variabel endogen semata mata dalam variabel yang ditetapkan lebih dahulu dan gangguan stokastik.
Dua persamaan struktural harus dapat diselesaikan untuk menjelaskan variabel endogen sebagai fungsi dari variabel eksogen. Reformulasi dari model tersebut disebut dengan bentuk turunan (reduce form) dari sistem persamaan struktural. Untuk menemukan persamaan turunan atau reduce form maka kedua persamaan harus diselesaikan secara simultan untuk menemukan nilai (Y dan C). Sebagai aturan main untuk menemukan persamaan bentuk turunan jumlah persamaan struktural harus sebanyak variabel endogen.
5. Masalah Identifikasi (Problems Identification)
Jika dalam suatu sistem , dari persamaan simultan yang berisi dua atau lebih persamaan tidaklah mungkin untuk mendapatkan nilai angka dari tiap parameter dalam tiap persamaan karena persamaan persamaan tadi tidak bisa dibedakan
secara observasi, atau nampaknya sangat serupa satu dengan yang lain, kita
mempunyai masalah identifikasi (problem identification). Jadi dalam regresi kuantitatif Q atas harga P yang dihasilkan merupakan fungsi permintaan ataukah fungsi penawaran? Karena Q dan P masuk ke dalam dua fungsi. Oleh karena itu jika kita mempunyai data mengenai Q dan P saja dan tidak ada informasi lain, akan sulit jika bukannya tak mungkin untuk mengidentifikasi regresi tadi sebagai fungsi permintaan atau penawaran. Adalah penting untuk memecahkan masalah identifkasi sebelum beralih ke langkah penaksiran karena jika kita tidak tahu apa yang kita taksir, penaksiran semata mata tidak berarti.
Masalah identifikasi timbul karena kumpulan koefisien struktural yang berbeda mungkin cocok dengan sekumpulan data yang sama. Masalah identifikasi sering dijumpai pada model ekonometrik yang lebih dari satu persamaan. Untuk memecahkan masalah ini harus dilakukan pengujian atau persyaratan agar diketahui koefisien persamaan mana yang ditaksir. Persyaratan ini disebut Kondisi
5.1.
Identifikasi ( condition of identification )
Ada dua macam dalil pengujian identifikasi, yaitu Order condition dan Rank
condition. Notasi yang dipergunakan adalah:
M = jumlah variabel endogen dalam model m = jumlah variabel endogen dalam persamaan K = Jumlah variabel predetermined dalam model
1. Order Conditions
Syarat identifikasi suatu persamaan struktural:
Pada persamaan simultan sejumlah M persamaan (yang tidak
M - 1 ≥ 1
Jika M-1 = 1, maka persamaan tersebut identified. Jika M-1 > 1, maka persamaan tersebut overidentified. Jika M-1 < 1, maka persamaan tersebut unidentified.
Contoh: Fungsi Demand Qt = 0 + 1Pt + u1t ...(1.5) Fungsi Supply Qt = 0 + 1Pt + u2t ...(1.6)
Pada model ini Pt dan Qt merupakan variable endogen tanpa predetermined
variable, agar identified maka M-1 = 1, jika tidak maka tidak identified.
Pada kasus ini (M = 2) dan 2 – 1 = 1 identified
Pada persamaan yang memiliki predetermined variable berlaku aturan:
K – k ≥ m –1
Jika K – k = m –1, maka persamaan tersebut identified . Jika K – k > m –1, maka persamaan tersebut overidentified . Jika K – k < m –1, maka persamaan tersebut unidentified
Contoh: Fungsi Demand Qt = 0 + 1Pt + 2 It + u1t…………(1.7) Fungsi Supply Qt = 0 + 1Pt + u2t……….. (1.8)
Pada model ini Pt dan Qt merupakan variable endogen dan It adalah
predetermined variable.
Persamaan (4.1) : K – k < m – 1 atau 1 – 1 < 2 – 1 Unidentified Persamaan (4.2) : M – 1 = 1 atau 2 – 1 = 1 Indentified
Catatan:
Persamaan yang dapat diselesaikan dengan sistem persamaan simultan adalah persamaan yang identified dan over identified.
5.2. Rank Conditions.
Identifikasi melalui order condition hanya merupakan prasyarat dasar tetapi belum merupakan prasyarat cukup (sufficient condition). Melalui metode rank condition bisa memenuhi kedua prasyarat identifikasi persamaan simultan. Istilah rank berasal dari terminology di dalam matrik. Rank dari matrik merujuk kepada square submatrix order paling besar yang mempunyai determinan tidak sama dengan nol. Square matrix adalah matrik yang mempunyai jumlah kolom dan baris yang sama.
Sebagai ilustrasi identifikasi melalui rank condition, misalnya ada persamaan simultan sebagai berikut :
Yt1t = 10 + 12Y2t + 13Y3t + β11X1t + e1t (.1.9)
Yt2 = 20 + 23Y3t + β21X1t + β22X2t +e2t (1.10) Yt3t = 30 + 31Y1t + β31X1t + β21X2t +e3t (1.11) Yt3t = 40+41Y1t +42Y2t + β43X2t + e4te1t (1.12)
Dimana Y adalah variabel eksogen dan X adalah variabel endogen.
Jika persamaan (1.9) – (1.12) dimanupulasi dengan cara memindahkan semua variabel di sisi kanan persamaan kecuali variabelgangguan e ke sebelah kiri maka akan menghasilkan sebuah sistem yang terlihat pada tabel dibawah ini. Inilah kemudian biasa menentukan apakah sebuah persamaan teridentifkasi atau tidak melalui rank condition.
Tabel 1:sistem persamaan simultan
persamaan koefisien 1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 1.9 - 10 1 -12 -13 0 -β11 0 0 1.10 -20 0 1 -23 0 -β21 β22 0 1.11 -30 -31 0 1 0 -β31 Β32 0 1.12 -40 -41 -42 0 1 0 0 -Β43
Dari tabel diatas bisa didentifikasi melalui rank condition untuk setiap persamaan. Misalnya untuk persamaan 1.9. Persamaan 1.9 tidak memasukan variabel Y4,X2 dan X3 yang ditunjukan dengan angka 0 didalam baris pertama persamaan 1.untuk mengetahu i apakah persamaan persamaan tersebut teridentifikasi atau tidak maka harus mencari matrks order 3x3
dari koefisien yang tidak ada dalam persamaan 1 tetapi ada di persamaan yang lain dan kemudian dicari determinannya.matriks tersebut adalah sebagai berikut:
0 -β21 0
0 -β31 0
1 0 -β43
Determinan matriks A ini mempunyai determinan 0, yang artinya tidak memenuhi rank condition sehingga persamaan ini tidak teridentifikasi
Suatu persamaan yang mempunyai M persamaan dikatakan identified, sekurang-kurangnya mempunyai satu determinan berdimensi (M-1) yang tidak sama dengan nol.
6. Estimasi persamaan Simultan
1 Indirect Least Squares (ILS)
Metode ILS dilakukan dengan cara menerapkan metode OLS pada persamaan reduced
form.
Asumsi yang harus dipenuhi dalam penggunaan prosedur ILS: 1 Persamaan strukturalnya harus exactly identified.
2 Variabel residual dari persamaan reduced form-nya harus memenuhi semua asumsi stokastik dari teknik OLS. Jika asumsi ini tidak terpenuhi, maka akan menyebabkan bias pada penaksiran koefisiennya.
Contoh:
Diketahui suatu model persamaan simultan adalah sebagai berikut :
Qd= 0 + 1 P+ 2 X + v ...(1.13) Qs= 0 + 1 P + 2 Pl + u ...(1.14)
Dimana:
Qd = Jumlah barang yang diminta Qs = Jumlah barang yang ditawarkan P = harga barang
X = Income Pl = harga Input
Persamaan reduce form-nya adalah sebagai berikut :
P= 0 + 1 X + 2 Pl +Ω1 ...(1.15) Q= 3 + 4 X + 5 Pl +2 ...(1.16) Persamaan Reduce Form dapat dicari dengan langkah sebagai berikut:
Selesaikan persamaan Qd = Qs ………..….(1.17) 0 + 1 P+ 2 X + v = 0 + 1 P + 2 Pl + u ...(1.17.1) 1 P - 1 P = 0 - 0 - 2 X + 2 Pl + u – v ...(1.17.2) P = 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 0 u v Pl X P = 0 1 X 3 Pl ...(1.17.3)
Kemudian substitusikan persamaan P diatas dengan salah satu persamaan Q, misalnya dengan Qd Qd = 0 + 1 P+ 2 X + v ……….. (1.17.5) Qd = 0 + 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 0 u v Pl X + 2 X + v Qd = 0 + 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 1 X Pl u v + 2 X + v Qd = 0 + 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 1 u v Pl X + 2 X + v
Lalu samakan semua penyebutnya dengan 1 1 ………..(1.17.6)
Qd = 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 1 u v Pl X +
1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 v v X Qd = 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 1 u v Pl X Qd = 3 4 X 5 Pl ...(1.17.7)
Dari persamaan reduce form-nya diperoleh 6 koefisien reduksi yaitu: 0 1 2 3 4 dan 5 yang akan digunakan untuk menaksir 6 koefisien structural yaitu0, 1, 2, 0, 1 dan 2
6.2. Two Stage Least Squares (TSLS)
Metode TSLS sering digunakan dengan alasan:
1 Untuk persamaan yang overidentified, penerapan TSLS menghasilkan taksiran tunggal (sedangkan ILS menghasilkan taksiran ganda).
2 Metode ini dapat diterapkan pada kasus exactly identified. Pada kasus ini taksiran TSLS = ILS.
3 Dengan TSLS tidak ada kesulitan untuk menaksir standar error, karena koefisien struktural ditaksir secara langsung dari regresi OLS pada langkah kedua (sedangkan pada ILS mengalami kesulitan dalam menaksir standar error).
