Teori Peluang dan Statistika Multivariat

Indira Puteri Kinasih(20110006) Tugas II - TEORI PELUANG DAN STATISTIKA (AK5103) Sumber : Introduction to Mathematical Statistics 6th Edition

Dosen Pengampu : Prof. DR. Sutawanir Darwis 1. Misalkan telah dipilih secara acak suatu titik dari interval

 

0,1 , dan misalkan suatu variabel acak X₁ sama dengan bilangan yang berkorespondensi terhadap titik tersebut. Kemudian, dipilih suatu titik secara acak dari interval



0,x₁



, dengan x₁ merupakan nilai eksperimen dari X₁, dan dimisalkan suatu variabel acak X₂ sama dengan bilangan yang berkorespondensi terhadap titik tersebut. a. Buatlah asumsi mengenai fungsi kepadatan peluang marginal f₁

 

x₁ , dan

fungsi kepadatan peluang bersyarat f₂₁



x₂ x₁



b. Hitunglah peluang P



X₁ X₂ 1



c. Dapatkan ekspektasi (mean) bersyarat E



X₁ x₂



Jawab :

a. Melalui soal, telah diketahui bersama bahwa 0x₁ 1 dan 0x₂  x₁, sehingga dapat juga dituliskan bahwa 0 x2  x1 1. Selanjutnya, sesuai dengan interval tersebut, dapat diasumsikan suatu fungsi kepadatan peluang bersama f



x1,x2



, sebagai berikut :





  

 _{  }



lainnya x

x

x x x

x x f

2 1

1 2 1

2 1

, ; 0

1 0

; 1

,

Dengan demikian, dapat diperoleh formula untuk fungsi kepadatan marginal f1

 

x1 adalah :

 





1

0 . 1 1

1 1

,

1 1 1

0 2 1 0

2 1 0

2 2 1 1

1

1 1 1



 

  





x x x

x x

dx x

dx x x f x

f

x x x







 



1 1 1

2 1 1

2 1 2

1 ,

x x f

x x f x x f

 

b. Selanjutnya akan didapatkan nilai peluang P



X₁ X₂ 1



, dengan perhitungan batas-batas integral sebagai berikut :

1 2

2 1

1 1

x x

x x

 

 

dan sesuai dengan ketentuan di awal bahwa 0 x₂ x₁ 1, sehingga dapat dituliskan :

1 1 1

1 2

2 1 1

x x x

x x

  



Maka nilai diperoleh nilai P



X₁ X₂ 1



, sebagai berikut :









 





1

2 1 1 1

1

2 1

1 1 1

2 1

1 1 1 1

2 1

1 1

1 1

2 1

1 1 2 1 1

2 1 1

1 2 1 1

2 1 1

1 2 2 1 2

1

ln 2

1 2

1 2

1 1 1

1 , 1

1 1 1

1 1

1

x x

dx x

dx x x

dx x

x dx x

x

dx dx x

dx dx x x f X

X P

x x x

x x

x

 

   

 

 

   



 



   

  _  

    









 

 

 

 

 

2 ln 1 2 1 ln 1 ln 1 2 1 ln 1 1 ln 2                           

c. Berikutnya, akan dicari nilai E



X₁ x₂



, yang didapat dari formula













 

 _{1 12 1 2 1} 2

1 x x f x x dx

X

E . Sedangkan, fungsi kepadatan peluang

bersyarat f12

 

x1 x2 , didapatkan dari









 

2 2 2 1 2 1 2 1 , x f x x f x x

f  . Sehingga,

terlebih dulu, akan dicari bentuk dari fungsi kepadatan peluang marginal

 

2

2 x

f , yaitu, sebagai berikut :

 





 

 

 

 

2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 ln ln 1 ln ln 1 , 2 2 2 x x x dx x dx x x f x f x x x       





sehingga,







 



 

 

2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 ln 1 ln 1 , x x x x x f x x f x x

f 

   selanjutnya,





 

 

 

 

 

 

1



ln

1

ln ln

1

2 2

2 2 2

 

 



x x