Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear

(1)

PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA

PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK

DENGAN TREN LINEAR

BONNO ANDRI WIBOWO

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Februari 2014

Bonno Andri Wibowo

(3)

BONNO ANDRI WIBOWO. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWADI.

Karya ilmiah ini membahas penyusunan penduga konsisten bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Komponen periodik fungsi intensitas tersebut tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik tertentu, namun periodenya diasumsikan diketahui. Sedangkan Slope dari tren linear diasumsikan memiliki nilai positif, namun nilainya tidak diketahui. Masalah utama karya ilmiah ini adalah menyusun penduga fungsi nilai harapan, membuktikan kekonsistenan penduga, dan membuktikan bias, ragam, dan Mean Square Error (MSE) penduga konvergen menuju nol untuk panjang interval pengamatan proses menuju takhingga.

Kata kunci: Fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, kekonsistenan penduga, proses Poisson periodik majemuk, tren linear.

ABSTRACT

BONNO ANDRI WIBOWO. Estimating the Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWADI.

This manuscript is concerned with consistent estimation of the mean function of a compound cyclic Poisson process with linear trend. The cyclic component of intensity function of this process is not assumed to have any parametric form, but it period is assumed to be known. The slope of linear trend is assumed to be positif, but it value is unknown. The main problem of this manuscript are constructing an estimator of this mean function, proving consistency of this estimator, and proving that the bias, variance, and mean-squared error of this estimator converge to zero as the length of the observation time interval indefinitely expands.

(4)

PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA

PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK

DENGAN TREN LINEAR

BONNO ANDRI WIBOWO

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul Skripsi : Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear

Nama Mahasiswa : Bonno Andri Wibowo

NIM : G54100033

Disetujui oleh

Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing I

Prof Dr Ir Siswadi, MSc Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

(6)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear ini berhasil diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayang Mangku, MSc selaku pembimbing I dan Bapak Prof Dr Ir Siswadi, MSc selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Ruhiyat, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ibu, lukman, adi, widi atas segala dukungan, semangat, dan doa serta kasih sayangnya. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman–teman math 47, adik–adik math 48–49, DPM FMIPA IPB, Gumatika, Matematika Terapan angkatan 8 dan IKAHIMATIKA INDONESIA Wilayah III, serta tentor–tentor katalis IPB atas segala dukungan dan doa yang diberikan.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor, Februari 2014

(7)

DAFTAR ISI

DAFTAR LAMPIRAN VI

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Rumusan Masalah 2

Tujuan Penelitian 2

LANDASAN TEORI 2

Nilai Harapan, dan Ragam 2

Kekonvergenan 3

Penduga dan Sifat – sifatnya 4

Proses Stokastik dan Proses Poisson 5

Beberapa Lema Teknis 6

KARYA TERKAIT PADA PENDUGAAN PARAMETER PADA PROSES POISSON TAK-HOMOGEN

7

Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk 7 Pendugaan Parameter pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear 9

PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA 11

Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan 11

Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya 12

Beberapa Lema Teknis dan Buktinya 13

BUKTI KEKONSISTENAN PENDUGA DAN LAJU KEKONVERGENANNYA

18

Bukti Kekonsistenan Penduga 18

Bukti Laju Kekonvergenan Penduga 18

SIMPULAN 26

DAFTAR PUSTAKA 27

LAMPIRAN 29

(8)

(9)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini berguna untuk memodelkan fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan harga saham, proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer service), dan banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh sebab itu, untuk memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang akan datang diperlukan suatu peramalan atau pendugaan. Peramalan tersebut berguna untuk memperoleh informasi mengenai perubahan di masa yang akan datang.

Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu, yaitu proses Poisson majemuk.

Proses Poisson majemuk dapat digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat, sehingga perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi ( dan 2008) dan biologi (Puig dan Barquinero 2011).

Selama ini, kajian terhadap proses Poisson majemuk dilakukan dengan menggunakan proses Poisson homogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu). Apabila suatu kejadian memiliki peluang lebih besar untuk terjadi pada interval waktu tertentu dibandingkan pada interval waktu yang lain, maka asumsi ini tidak sesuai. Oleh karena itu, untuk memperluas cakupan permasalahan yang dapat dimodelkan, asumsi tersebut harus diubah. Waktu dapat dianggap berpengaruh dan digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen.

Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian ditingkatkan menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear ini cocok dalam menggambarkan fenomena yang terjadi secara periodik namun meningkat mengikuti tren linear, seperti proses kedatangan wisatawan ke suatu pusat rekreasi dengan periode satu tahun.

(10)

Rumusan Masalah

Pada karya ilmiah ini fungsi intensitas dari proses Poisson periodik dengan tren linear diasumsikan tidak diketahui karena apabila fungsi intensitas tersebut diketahui, fungsi nilai harapan dapat dengan mudah diketahui. Dengan asumsi ini, diperlukan pendugaan terhadap fungsi nilai harapan. Pendugaan diawali dengan mengkaji perumusan penduga bagi fungsi nilai harapan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Selanjutnya kita menganalisis kekonsistenan penduga yang diperoleh. Kekonsistenan yang dianalisis adalah kekonsistenan lemah ketika interval waktu pengamatan memanjang. Selain itu, kita melakukan analisis terhadap bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga untuk melihat perbedaan antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya.

Tujuan Penelitian

1. Merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear,

2. Menganalisis kekonsistenan penduga, dan

3. Menganalisis laju kekonvergenan ke nol dari bias, ragam, dan mean squared error (MSE) penduga.

LANDASAN TEORI

Nilai Harapan, dan Ragam

Definisi 1 (Nilai harapan)

1. Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari didefinisikan sebagai

∑

jika jumlah di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).

2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang , maka nilai harapan dari didefinisikan sebagai

∫

jika integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).

Definisi 2 (Ragam)

Jika adalah peubah acak, maka ragam dari didefinisikan sebagai

var

(11)

Definisi 3 (Koragam)

Bukti dapat dilihat di Ghahramani (2003).

2. Misalkan dan adalah peubah acak saling bebas dan misalkan pula c dan d

adalah dua buah konstanta sembarang, maka

Bukti dapat dilihat di Ghahramani (2003).

3. Misalkan adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk sembarang konstanta c dan d, berlaku

Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2003).

Kekonvergenan

Definisi 4 (Konvergen dalam peluang)

Misalkan adalah peubah acak pada suatu ruang peluang

Definisi 5 (Konvergen hampir pasti)

Misalkan adalah peubah acak pada suatu ruang peluang

Lema 2 (Sifat kekonvergenan dalam peluang)

(12)

Penduga dan Sifat–sifatnya digunakan untuk menduga suatu parameter, katakanlah , disebut sebagai penduga (estimator) bagi (Hogg et al. 2005).

Definisi 8 (Penduga tak-bias)

1. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yang diduga, yaitu E , disebut penduga takbias bagi parameter tersebut. Jika tidak, penduga tersebut disebut berbias.

2. Jika _→ maka disebut sebagai penduga takbias asimtotik bagi (Hogg et al. 2005).

Definisi 9 (Penduga konsisten lemah)

Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter yaitu

→

untuk → , disebut penduga konsisten lemah bagi (Hogg et al. 2005).

Definsi 10 (Penduga konsisten kuat)

(13)

Proses Stokastik dan Proses Poisson

Definisi 12 (Proses stokastik)

Proses stokastik = adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state (state space) S (Ross 2007).

Definisi 13 (Proses stokastik dengan waktu kontinu)

Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika adalah suatu interval (Ross 2007).

Definisi 14 (Inkremen bebas) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu (Ross 2007).

Definisi 17 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju ,

, jika memenuhi tiga syarat berikut

1. (0) = 0.

2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t

memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan . Jadi, untuk semua t,s ,

(Ross 2007).

Definisi 18 (Proses Poisson homogen)

Suatu proses Poisson disebut proses Poisson homogen jika laju merupakan konstanta untuk semua t (Ross 2007).

Definisi 19 (Proses Poisson takhomogen)

(14)

Lema 3 (Sebaran jumlah peubah acak Poisson)

Misalkan dan adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut u dan v. Maka + memiliki sebaran Poisson dengan parameter u+v.

Definisi 20 (Terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas , memenuhi persamaan berikut

∫

(Dudley 1989).

Definisi 21 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak-homogen dengan fungsi intensitas pada titik s adalah , yaitu fungsi di s (Cressie 1993).

Definisi 22 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi disebut periodik jika

untuk setiap s dan k serta merupakan periode dari fungsi tersebut (Browder 1996).

Definisi 23 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah proses Poisson takhomogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik (Mangku 2001).

Beberapa Lema Teknis

Lema 4 (Ketaksamaan Markov)

Jika adalah peubah acak taknegatif, maka untuk setiap t > 0 berlaku

Lema 5 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam terbatas , maka untuk setiap berlaku

| |

(15)

Lema 6 (Ketaksamaan segitiga)

Jika dan adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka

| | | | | |

Bukti dapat dilihat pada Helms (1996).

Lema 7 (Hukum lemah bilangan besar)

Misalkan adalah peubah acak i.i.d dengan nilai harapan dan ragam

, maka

∑ →

untuk → . Bukti dapat dilihat pada Capiński dan Kopp (2007).

Lema 8

Misalkan k, adalah konstanta maka berlaku

1. _∑

KARYA TERKAIT PADA PENDUGAAN PARAMETER PADA

PROSES POISSON TAKHOMOGEN

Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk

Misalkan adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas

(s) diasumsikan berupa fungsi periodik, yakni memenuhi

untuk setiap 0 dan , dengan menyatakan himpunan bilangan asli. Nilai harapan dari proses adalah

∫

(16)

⌊_⌋

di mana untuk setiap bilangan real , menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan ,

Secara matematis, fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik majemuk dapat dituliskan sebagai berikut:

Pendugaan fungsi nilai harapan dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan fungsi intensitas global , pendugaan yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu dan pendugaan . Pendugaan bagi fungsi intensitas global dirumuskan sebagai berikut:

̂

Penduga ini merupakan rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada interval

Penduga bagi telah dikaji pada Ruhiyat (2013) dan dirumuskan

sebagai berikut:

̂ _∑

(17)

kejadian yang diduga, kecuali mungkin untuk satu interval. Hal ini merupakan peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan

.

Dengan menggunakan ketiga rumusan tersebut, penduga bagi fungsi nilai harapan dirumuskan sebagai berikut:

̂ ̂ ̂ ̂

dengan ̂ saat . Penduga nilai harapan tersebut telah dibuktikan kekonsistenannya baik kekonsistenan lemah maupun kekonsistenan kuat pada Ruhiyat et al. (2013). Laju kekonvergenan bias, ragam, dan MSE

Pendugaan Parameter pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear

Pengantar proses Poisson periodik dengan tren linear

Misalkan adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas (s) diasumsikan berupa fungsi periodik dengan tren linear, yakni memenuhi

(4)

konstanta merupakan kemiringan dari tren dengan

> 0. (5)

Kondisi fungsi intensitas ini juga digunakan pada Mangku (2005).

Pendugaan komponen-komponen parameter pada proses Poisson periodik dengan tren linear

Penduga bagi slope dari tren linear, yaitu dirumuskan sebagai berikut:

̂

(18)

Pendugaan ini juga dilakukan pada Helmers dan Mangku (2009) untuk tujuan yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global telah dikaji pada Mangku (2005) dan dirumuskan sebagai berikut:

̂ _{⁄ ∑} ̂ (_{⁄ )}

(7)

Penduga bagi fungsi intensitas sebagian telah dikaji pada Mangku (2010) dan dirumuskan sebagai berikut:

̂ _{⁄ ∑} ̂ _⁄

(8)

Beberapa lema dalam pendugaan parameter pada proses Poisson periodik dengan tren linear

Lema 9: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan

lokal, maka

̂ ₍ )

(9)

untuk → . Dengan kata lain ̂ merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi . Buktidapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).

(19)

Lema 13: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan asimtotik bagi . Bukti dapat dilihat pada Adawiyah (2011).

Lema 16: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan

terintegralkan lokal, maka

̂ →

untuk → . Buktidapat dilihat pada Mangku (2010).

PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA

Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan

Misalkan adalah suatu proses Poisson periodik majemuk periodik majemuk dengan tren linear. Nilai harapan dari , dinotasikan dengan

ialah

(15)

(20)

∫ (16) Bukti persamaan (17) dapat dilihat pada Lampiran 1. Diasumsikan

(18)

Akhirnya, berdasarkan persamaan (15) dan (17), fungsi nilai harapan dari dapat dituliskan menjadi

(19)

Pendugaan fungsi nilai harapan pada persamaan (19) dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan yang merupakan

slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global , dan pendugaan yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan

. Dengan menggunakan penduga pada persamaan (6)-(8) dan (20) , penduga bagi fungsi nilai harapan dirumuskan sebagai berikut:

̂ ̂ ̂ ̂ _̂ (21)

dengan ̂ saat .

Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya

Teorema 1 (Kekonsistenan lemah)

Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (14), maka

̂ → (22)

(21)

Teorema 2 (Laju kekonvergenan bias)

[ ̂ ] [ ̂ ] (_{⁄ )}

untuk → . Artinya, Bias ̂ konvergen ke nol dengan laju

⁄ jika

→ .

Teorema 3 (Laju kekonvergenan ragam)

[ ̂ ] (_{⁄ )}

untuk → . Artinya, ragam ̂ konvergen ke nol dengan laju

⁄ jika

→ .

Akibat 4 (Laju kekonvergenan MSE)

[ ̂ ] (_{⁄ )}

untuk → . Artinya, [ ̂ ] konvergen ke nol dengan laju

⁄ jika

→ .

Beberapa Lema Teknis dan Buktinya

Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga bagi fungsi nilai harapan.

Berdasarkan Lema 9 dan 10, diperoleh akibat berikut.

Akibat 1: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan

̂ ₍₎

(23)

untuk → .

Bukti: Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan seperti berikut:

̂ ̂ ̂

( )

(22)

untuk → . Bukti Lengkap.

( ̂ ) (_{⁄ )} ₍₂₄₎

untuk → .

Bukti: Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan seperti berikut:

( ̂ ) ( ̂ ) [ ( ̂ )]

Bukti: Nilai ragam dari penduga adalah

[ ̂ ] _⁄ ∑ ̂ _⁄ .

Misalkan

⁄ ∑

dan ̂ _⁄ .

Sehingga dengan menerapkan Lema 1 diperoleh

[ ̂ ] (26)

karena N peubah acak Poisson, maka Var(N)= E(N)

=

(23)

=

⁄ ∑ ∫

.

Misalkan y= s-k maka persamaan di atas menjadi

=

Substitusi (1) pada bagian pertama persamaan (27) menjadi

=

Substitusi persamaan (10) maka persamaan di atas menjadi

(24)

∑ ̂ _⁄

Substitusi persamaan (2) pada bagian pertama persamaan (32)

untuk → . Substitusi persamaan (3) pada bagian kedua persamaan (32)

(25)

=

terintegralkan lokal. Jika kondisi (5) dan (18) dipenuhi, maka dengan peluang 1,

(26)

BUKTI KEKONSISTENAN PENDUGA DAN LAJU

KEKONVERGENANNYA

Bukti Kekonsistenan Penduga

Bukti Teorema 1:

Perhatikan kembali persamaan (21). Dengan menerapkan Lema 2, untuk membuktikan Teorema 1, cukup diperiksa bahwa

̂ → bilangan besar) diperoleh (40). Bukti Lengkap.

Bukti Laju Kekovergenan Penduga

Dari Lema 10, Lema 12 diperoleh

(27)

(28)

=

⁄

untuk → . Sehingga

[ ̂ ] _⁄ (41)

untuk → . Jadi,

[ ̂ ] [ ̂ ]

=

⁄

=

⁄

untuk → .

Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat diperoleh dari rumusan berikut:

[ ̂ ] [ ̂ ] ( [ ̂ ]) (42)

Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (42) telah diperoleh pada persamaan (41), sehingga tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut:

[ ̂ ] [ ̂ | ]

= ∑ [ ̂ | ]

= [ ̂ | ]

∑ [ ̂ | ] .

Untuk maka ̂ . Sedangkan untuk

̂ ̂ ̂ ∑ .

Sehingga untuk m

( ) |

= ( ̂ ̂ ∑ )

(29)

= [ ̂ ̂ ] [ ∑ ]

Dari Lema 10, Lema 12, Akibat 2, dan Akibat 3 diperoleh

(30)

= ( ) ( )

=

Jadi, diperoleh untuk m

[ ̂ | ]

= (( ) ( ) )

⁄

untuk → . Oleh karena itu,

[ ̂ ]

∑ (( ) ( ) )

∑

_⁄

= ∑ ∑

∑

( ) ( ) _⁄ ∑

+ ( ) ( ) _⁄ ∑

untuk → . Pada bukti Teorema 2 telah diperoleh

∑

(43)

dan

∑

(44)

(31)

∑

( ) (45)

Terakhir,

∑

( )

(46)

untuk → . Bukti persamaan (46) dapat dilihat pada Lampiran 1. Dengan (43)-(46), diperoleh

[ ̂ ]

= ( )

( )

( ) ( ) _⁄ ( )

( ) ( ) _⁄

= [ ]

( )

( ) ( ) _⁄ ( )

( ) ( ) _⁄

= ̂

̂ ̂

( )

(32)

( ) ( ) _⁄

Dari Lema 9 dan Akibat 1 diperoleh

̂ ̂ ̂

untuk → . Sehingga, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan adalah

(33)

= ( )

⁄ ⁄

= ( )

⁄ ( ) ⁄

=

⁄

untuk → . Bukti lengkap.

Bukti Akibat 4:

Berdasarkan Teorema 2 dan 3,

[ ̂ ] [ ̂ ] ( [ ̂ ])

=

⁄ ⁄

=

⁄ ⁄

=

⁄

(34)

SIMPULAN

Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear ialah

̂ ̂ ̂ ̂ _̂

dengan

̂

̂ _{⁄ ∑} ̂ (_{⁄ )}

̂ _{⁄ ∑} ̂ _⁄

dan

̂ ∑

dengan ̂ saat .

Penduga bagi fungsi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga yang konsisten lemah. Bias, ragam dan MSE dari penduga bagi fungsi nilai

harapan konvergen ke nol dengan laju

(35)

DAFTAR PUSTAKA

Adawiyah TRA. 2011. Kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear [Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. New York (US): Springer

Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in statistical physics. Physica 41:575-587.

Capiński M Kopp E. 7. Measure, Integral and Probability. Ed. New York (US): Springer.

Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised edition. New York (US): John Wiley & Sons.

Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California (US): Wadsworth & Brooks.

Helms LL. 1996. Introduction to Probability Theory: With Contemporary Application. New York (US): W. H. Freeman & Company

Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.

_Ed_{. New Jersey (US): Prentice Hall.}

Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations

4:1-9.

Mangku IW. 2001. Estimating the intensity a cyclic Poisson process [disertasi]. Amsterdam (NL): University of Amsterdam.

Mangku IW. 2005. A note on estimation of the global intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its Application. 4(2):1-12

Mangku IW. 2010. Consistent estimation of the distribution function and the density of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend. Far East Journal of Theoretical Statistics. 33(1): 81-91

Özel G İnal C. 8. The probabilit function of the compound oisson process

and an application to aftershock sequence in Turkey. Environtmetrics 19:79-85.

Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci.

467(2127):897-910.

Ross SM. 2007. Stochastic Process. Ed. New York (US): John Wiley & Sons. Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik

(36)

Ruhiyat, Mangku IW, Purnaba IGP. 2013. Consistent estimation of the mean function of a compound cyclic Poisson process. Far East Journal of Mathematical Sciences 77(2):183-194.

Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York (US): John Wiley & Sons

(37)

Lampiran 1: Bukti beberapa persamaan

Dengan menggunakan kembali asumsi kebebasan antara barisan peubah acak

dengan proses .

(38)

Dari pembuktian Lema 18, diketahui bahwa

→

untuk → . Dari Lema 1, dapat diperoleh

untuk → . Oleh karena itu, untuk mendapatkan persamaan (45) seperti berikut

(39)

(40)

∑ ( ) ∑

_{( )}

∑

_{( )}

Misalkan k= m+2, maka

∑ ( ) ∑ ( )

∑ ( )

( ( ) ( ) ( ) )

( ( ) ₎

untuk → . Jadi,

∑ ( ) ( ₎

=

(41)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 18 Maret 1992 dari pasangan bapak (alm) Kasiman Prapto Hartono dan ibu I Gusti Ayu Akrini. Penulis merupakan putra pertama dari tiga bersaudara.

Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 18 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Akhir Agustus 2013 penulis diterima program fast track S-2 Matematika IPB.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II (S-1) pada semester genap tahun akademik 2011-2012 dan semester ganjil 2012-2013, asisten mata kuliah Pengantar Teori Peluang (S-1) pada semester genap tahun akademik 2012-2013 serta asisten mata kuliah Pengantar Riset Operasi (S-1) pada semester ganjil 2013-2014. Pada tahun 2012 penulis meraih mendali emas SPIRIT cabang catur, tahun 2013 penulis mewakili IPB pada kegiatan Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA PT) bidang Matematika yang diselenggarakan oleh DIKTI, penulis mendapatkan beasiswa PPA dari IPB pada semester ganjil tahun akademik 2013-2014.

Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang amanah sebagai Ketua RT Lorong 8 C3 Asrama Putra TPB IPB 47, Bendahara 2 kelas B 10 TPB IPB 47, Ketua Ikatan Mahasiswa Jakarta Utara tahun 2010-2011, staf Komisi 1 Dewan Perwakilan Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (DPM FMIPA) Kabinet Zwitterium 2011-2012, staf Departemen Public Relation Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) Kabinet Semesta 2012-2013, staf Departemen Ekonomi Ikatan Himpunan Mahasiswa Matematika (IKAHIMATIKA) Indonesia Wilayah III tahun 2011-2012, staf Departemen Kaderisasi Ikatan Himpunan Mahasiswa Matematika (IKAHIMATIKA) Indonesia Wilayah III tahun 2012-2013.