Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP 5
1. Kegiatan Belajar 1
a. Tujuan Belajar
1. Mahasiswa dapat memahami tentang fungsi variabel banyak.
2. Mahasiswa dapat memahami tentang turunan parsial dan dapat menyelesaikan permasalahan turunan dari fungsi variabel banyak. b. Uraian Materi
Fungsi Dua Variabel atau Lebih
Definisi 1.1
Sebuah fungsi dari dua variabel adalah aturan yang
menghubungkan setiap pasangan bilangan riil yang berurutan ( , )
dalam suatu himpunan � dengan sebuah bilangan riil unik yang
dilambangkan oleh ( , ). Himpunan � adalah daerah asal dari
dan daerah hasil adalah himpunan nilai yang digunakan .
Berdasarkan definisi fungsi dua variabel dapat diperumum menjadi
sebagai berikut.
Definisi 1.2
Fungsi � variabel adalah aturan yang menghubungkan suatu angka
= 1, 2,⋯, � pada susunan � bilangan riil 1, 2,⋯, �
(disebut �-tuple).
Fungsi dua variabel atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit.
- Jika fungsi dua variabel dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk
z = , .
- Jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk
, , = 0.
Contoh 1.1
1. = 2 + (fungsi eksplisit) 2. = ln 2−2 4 (fungsi eksplisit)
3. = 1−2 1
2 sin −sin (fungsi eksplisit)
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP 6
6. ln 2 − 2 −arctan = 0 (fungsi implisit) 7. arctan −2 = 0 (fungsi implisit)
Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.
Jika suatu fungsi dinyatakan oleh sebuah rumus dan tidak ada daerah asaln yang ditentukan, maka daerah asal dari dianggap sebagai himpunan dari semua pasangan ( , ) dengan persamaan yang diberikan adalah sebuah bilangan riil yang terdefinisi dengan baik.
Contoh 1.2
Cari daerah asal dari fungsi-fungsi berikut, lalu hitung (3,2).
a. , = + +1−
1
b. , = ln 2−
Penyelesaian.
a. Pernyataan untuk masuk akal jika penyebutnya bukan 0 dan besaran dalam akar pangkatnya bukan negatif. Jadi, daerah asal dari adalah
� = , + + 1≥ 0, ≠1 dan
3,2 = 3 + 2 + 1 3−1 =
6 2
b. Karena ln 2− terdefinisi hanya ketika 2− > 0, daerah asal dari adalah � = , < 2 dan
3,2 = 3 ln 22−3 = 3 ln 1 = 0.
Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Variabel
Misal = , adalah fungsi dengan variabel bebas dan . Karena dan variabel bebas, maka terdapat beberapa kemungkinan, yaitu :
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP 7
Definisi 1.2
Misal = ( , ) adalah fungsi dua variabel yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama terhadap dan ,
dinotasikan �� dan �� , didefinisikan oleh
�
� = lim∆ →0
+∆ , − ( , )
∆
dan
�
� = lim∆ →0
, +∆ − ( , )
∆ ,
asalkan limitnya ada.
Contoh 1.3
Tentukan turunan parsial pertama dari
= 2+ 2
Penyelesaian.
Pertama, turunan parsial terhadap variabel , yaitu :
�
� = lim∆ →0
+∆ , − ( , )
∆
= lim
∆ →0
+∆ 2+ 2− 2+ 2 ∆
= lim
∆ →0
+∆ 2+ 2− 2+ 2
∆ ∙
+∆ 2+ 2+ 2 + 2 +∆ 2+ 2+ 2 + 2
= lim
∆ →0
+∆ 2+ 2− 2+ 2
∆ +∆ 2+ 2+ 2+ 2
= lim
∆ →0
2 ∆ +∆ 2
∆ +∆ 2+ 2+ 2+ 2
= lim
∆ →0
2 +∆
+∆ 2+ 2+ 2+ 2
= 2
2 2 + 2
Jadi,
�
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP 8
Kedua, turunan parsial terhadap variabel yaitu :
�
� = lim∆ →0
, +∆ − ( , )
∆
= lim
∆ →0
2+ +∆ 2− 2+ 2
∆
= lim
∆ →0
2+ +∆ 2− 2+ 2
∆ ∙
2+ +∆ 2+ 2+ 2
2+ +∆ 2+ 2+ 2
= lim
∆ →0
2+ +∆ 2− 2+ 2
∆ 2+ +∆ 2+ 2+ 2
= lim
∆ →0
2 ∆ +∆ 2
∆ 2+ +∆ 2+ 2+ 2
= lim
∆ →0
2 +∆
2+ +∆ 2+ 2+ 2
= 2
2 2 + 2 = 2 + 2
Contoh 1.4
Tentukan turunan parsial pertama dari
= sin +
Penyelesaian.
�
� = lim∆ →0
+∆ , − ,
∆
= lim
∆ →0
sin +∆ + −sin +
∆
= lim
∆ →0
2 cos12 +∆ + + + sin12 +∆ + − −
∆
= 2 lim
∆ →0
cos + +∆2 sin∆2
∆
= 2 lim
∆ →0cos + +
∆
2 ∆ →lim0
sin∆2
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP 9
= 2 lim
∆ →0cos + +
∆
2 ∆ →lim0
sin∆2
∆
2
∙1
2
= 2 cos + 1 1 2
= cos +
�
� = lim∆ →0
, +∆ − ,
∆
= lim
∆ →0
sin + +∆ −sin +
∆
= lim
∆ →0
2 cos12 + +∆ + + sin12 + +∆ − −
∆
= 2 lim
∆ →0
cos + +∆2 sin∆2
∆
= 2 lim
∆ →0cos + +
∆
2 ∆ →0lim
sin∆2
∆
= 2 lim
∆ →0cos + +
∆
2 ∆ →lim0
sin∆2
∆
2
∙1
2
= 2 cos + 1 1 2
= cos +
Berikut aturan untuk memudahkan dalam menentukan turunan parsial dari = ( , ).
1. Untuk menentukan �� , anggaplah sebagai konstanta dan turunkan ( , ) terhadap .
2. Untuk menentukan �� , anggaplah sebagai konstanta dan turunkan ( , ) terhadap y.
Contoh 1.5
Tentukan turunan parsial dari = , = 3+ 2 3−2 2.
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP 10
�
� = 3 2+ 2 3 �
� = 3 2 2−4
Contoh 1.6
Tentukan turunan dari = 2sin 2 .
Penyelesaian.
�
� = sin 2 �
� 2+ 2 �
� sin 2
= 2 sin 2 + 2∙ 2∙cos 2
�
� = 2
�
� sin 2 = 2cos 2 �
� 2 = 2 3 cos 2
Dengan cara yang sama, andaikan = , , adalah fungsi tiga variabel yang terdefinisi dalam selang tertentu. Turunan parsial
pertama dinyatakan dengan �
� , �
� , dan �
� yang secara berurut
didefinisikan oleh
�
� = lim∆ →0
+∆ , , − , ,
∆ �
� = lim∆ →0
, +∆ , − , ,
∆ �
� = lim∆ →0
, , +∆ − , ,
∆
Asalkan limitnya ada.
Contoh 1.7
Tentukan turunan parsial pertama dari
, , = + 2 + 3 .
Penyelesaian.
�
� = + 3 , �
� = + 2 , �
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP 11
c. Soal
1. Cari daerah asal dan daerah hasil dari
, = 9− 2− 2
2. Cari daerah asal dari
, , = ln − + sin
3. Tentukan semua turunan parsial pertama dari fungsi berikut. a. , = 2 − 4
b. , = 36− 2− 2 c. , = 2−2 2+ 3 3
d. , , = − +
e. , , = 2+ 2
