MEMBEDAKAN ANTARA DISTRIBUSI WEIBULL DAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL UMUM DENGAN MENGGUNAKAN UJI RASIO KEMUNGKINAN MAKSIMUM

MEMBEDAKAN ANTARA DISTRIBUSI WEIBULL DAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL UMUM DENGAN MENGGUNAKAN UJI RASIO

KEMUNGKINAN MAKSIMUM

Oleh

MIA AMELIA MUDIROH

Memilih suatu model peluang yang baik untuk data kelangsungan hidup (survival) bukanlah suatu hal yang mudah dilakukan. Pada distribusi keluarga eksponensial terdapat keluarga distribusi yang saling tumpang tindih yaitu antara distribusi Weibull dan distribusi eksponensial umum, hal ini memungkinkan terjadinya kesalahan dalam memilih model peluang yang akan digunakan. Oleh karena itu dengan menggunakan pendekatan uji rasio kemungkinan maksimum (rasio maximum likelihood) dalam penelitian ini akan diteliti antara keluarga distribusi yang saling tumpang tindih tersebut untuk menentukan model peluang mana yang lebih cocok digunakan.

Untuk mendapatkan model peluang yang lebih cocok digunakan antara distribusi Weibull dan distribusi eksponensial umum, Gupta dan Kundu mengembangkan suatu statistik T dengan kriteria apabila T positif ( > 0) maka distribusi yang akan dipilih sebagai model adalah distribusi eksponensial umum, namun apabila T negatif( < 0) maka distribusi yang akan dipilih sebagai model adalah distribusi Weibull. Dimana T adalah logaritma natural dari rasio kemungkinan maksimumnya.

Uji statistik T dilakukan dengan menggunakan simulasi data antara dua plats dan simulasi Monte Carlo dimana data yang dibangkitkan adalah data berdistribusi eksponensial dengan jumlah data yang dibangkitkan = 10, = 20, dan = 50 dengan ukuran skala 0.0001, 0.002, 0.004, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 dan 1.0 serta dilakukan pengulangan sebanyak 50 dan 100 kali.

( > 0)atau dapat dikatakan bahwa data mengikuti distribusi eksponensial umum, sebaliknya semakin sedikit data dan semakin kecil ukuran skala yang digunakan maka nilai statistik T akan cenderung negatif( < 0)atau dapat dikatakan bahwa data mengikuti distribusi Weibull.

1.1 Latar Belakang Penelitian

Data durasi seperti data interval kelahiran dan data interval terjadinya kematian biasanya berkaitan dengan kelangsungan hidup (survival) suatu objek yang sedang diamati. Data kelangsungan hidup (survival) dapat digunakan dalam dua prosedur statistik, yaitu : prosedur non parametrik dan prosedur parametrik.

Prosedur non-parametrik biasanya hanya membahas tentang individu dalam kelompok dan waktu survivalnya saja, tapi tidak membahas variabel-variabel yang mempengaruhinya. Karena prosedur non parametrik hanya membahas

tentang individu dalam kelompok dan waktu survivalnya saja, maka diperlukan suatu pendekatan berdasarkan model statistik yang mampu menjelaskan

variabel-variabel yang berhubungan atau yang mempengaruhi individu dalam waktu survival. Biasanya, model yang digunakan adalah model proportional hazard. Sering kali data survival tidak sesuai dengan prosedur statistik standar yang digunakan dalam analisis data, karena data survival secara umum tidak berdistribusi secara simetris, sehingga sebagai konsekuensinya tidak beralasan

2

datanya adalah valid, kesimpulan berdasarkan asumsi akan lebih tepat. Prosedur yang sebaiknya digunakan adalah parametrik, biasanya model eksponensial dan model Weibull.

Memilih suatu model peluang yang baik untuk data kelangsungan hidup (survival) bukanlah suatu hal yang mudah dilakukan. Pada distribusi keluarga eksponensial terdapat keluarga distribusi yang saling tumpang tindih, hal ini memungkinkan

terjadinya kesalahan dalam memilih model peluang yang akan digunakan. Oleh karena itu dengan menggunakan pendekatan uji rasio kemungkinan maksimum (rasio maximum likelihood) dalam penelitian ini akan diteliti antara keluarga distribusi yang saling tumpang tindih tersebut untuk menentukan model peluang

yang lebih cocok digunakan.

Distribusi yang sering digunakan dalam survival data adalah distribusi Weibull dan distribusi eksponensial umum, dalam memilih distribusi yang tepat diantara

kedua distribusi tersebut Gupta dan Kundu mengembangkan suatu statistik T dengan kriteria apabila > 0 _{maka distribusi yang akan dipilih sebagai model}

adalah distribusi yang menjadi pembilang dalam uji rasio kemungkinan

maksimum, begitu pula sebaliknya apabila < 0 _{distribusi yang akan dipilih}

sebagai model adalah distribusi yang menjadi penyebut dalam uji rasio kemungkinan maksimum. Dimana T adalah logaritma natural dari rasio

1.2 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini penulis hanya membatasi masalah pada rasio kemungkinan maksimum (rasio maximum likelihood) antara distribusi Weibull dan distribusi eksponensial umum. Yang mana akan dipilih distribusi eksponensial umum

sebagai model yang lebih baik apabila > 0_{, sebaliknya akan dipilih distribusi}

Weibull sebagai model yang lebih baik apabila < 0_{, Dimana distribusi} eksponensial umum sebagai pembilang dan distribusi Weibull sebagai penyebut

dalam uji rasio kemungkinan maksimumnya.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah:

Mendapatkan model peluang yang paling cocok digunakan antara distribusi Weibull dan distribusi eksponensial umum dengan melihat statistik T dari kedua

distribusi tersebut.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

Memberikan panduan kepada peneliti lain bagaimana cara membedakan antara

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Distribusi Weibull

Distribusi Weibull adalah distribusi yang paling banyak digunakan untuk waktu

hidup dalam tekhnik ketahanan. Distribusi ini adalah distribusi serbaguna yang dapat mengambil karakteristik dari jenis distribusi lain, berdasarkan pada nilai

dari bentuk parameter, (fepslutc, 2011).

2.1.1 Fungsi kepekatan peluang (fkp) distribusi Weibull dua parameter

Misal x adalah peubah acak, maka fkp dari peubah acak Weibull dengan parameter bentuk β dan parameter skalaθ_{akan dinotasikan oleh}

( ; , ) = ( ) ; β,θ 0

(Gupta dan Kundu, 2001).

2.2 Distribusi Eksponensial Umum

Distribusi eksponensial umum (Generalized Exponential Distrubution) pertama

19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan

laju pertumbuhan penduduk, (Gupta dan Kundu, 1999).

2.2.1 Fungsi Kepekatan Peluang (fkp) Distribusi Eksponensial Umum

Misal x adalah peubah acak, maka fkp dari peubah acak distribusi eksponensial umum dengan parameter bentuk α dan parameter skalaλ_{akan dinotasikan oleh}

x x

GE x e e

f ( ;α,λ)αλ(1 λ )α1 λ ; α,λ0

(Gupta dan Kundu, 1999)

2.3 Metode Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimators)

Metode penduga kemungkinan maksimum diperkenalkan oleh Fisher pada tahun 1922. Metode ini dilakukan untuk mencari dugaan dari parameter-parameter

6

Dimana X digunakan untuk mengindikasi data sampel. Pendugaan parameter dengan metode ini diawali dengan membangun fungsi kemungkinan untuk memperoleh nilai dugaan parameter. Biasanya jika mengalami kesulitan dalam

penyelesaian penduga parameter dengan metode ini, maka dalam pengerjaannya dapat diatasi dengan menggunakan logaritma atau fungsi ln dari fungsi

kemungkinan, yaitu:



  n

i

i x f X

L

1

) ; ( ln )

(

ln θ θ

Nilai parameter yang maksimum dimaksimumkam dengan fungsi pendugaan

kemungkinan maksimum ini, umumnya disimbolkan dengan θˆ. Karena logaritma merupakan fungsi monotonik, maka nilai maksimum L bisa disamakan dengan maksimum ln L. Fungsi kemungkinan dan fungsi logaritma itu dinilai sebagai θ_, yang biasanya disimbolkan dengan L atau ln L.

Sehingga kondisi memaksimumkan ln L adalah dengan menurunkannya terhadap

parameternya, dimana hasil turunannya sama dengan nol:

0 ) ( ln

  

θ θ

L

2.4 Metode Newton-Raphson

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul di dalam beberapa disiplin ilmu pengetahuan, seperti bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada

persoalan rekayasa (engineering). Sering sekali persoalan itu muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau rumit. Persoalan yang rumit ini adakalanya tidak bisa diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan

solusi sejatinya (exact solution) sehingga dapat diselesaikan dengan metode numerik.

Komputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode numerik karena selain mempercepat perhitungan numerik, juga dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter. Solusi

yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameternya. Mencari akar-akar (penyelesaian) suatu persamaan yang

dinyatakan dalam bentuk ( ) = adalah suatu hal-hal yang banyak dijumpai

dalam matematika dan sains. Diantara semua metode pencari akar, metode Newton-Raphsonlah yang paling terkenal dan banyak dipakai dalam terapan sains

dan rekayasa. Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya.

Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu:

1. Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri. Misal ( ) = adalah

suatu persamaan yang mempunyai akar x dan f dapat didiferensialkan,

sehingga = ( ) memiliki garis singgung di setiap titik pada kurva

8

Misal radien garis singgung di adalah

= ( ) = = ( ) 0

Atau

( ) = ( )

Sehingga prosedur iterasi metode Newton Raphson adalah

= (₍ )₎ , ( ) 0

2. Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Taylor

Uraikan ( )disekitar kedalam deret Taylor:

( ) ( ) + ( ) ( ) +( ) ( ), < <

jika dipotong sampai suku orde ke-2 menjadi

( ) ( ) + ( ) ( )

Dan karena persoalan mencari akar, maka ( ) = 0, sehingga

( ) = ( ) + ( ) ( ) = 0

= (₍ )₎ , ( ) 0

Kondisi iterasi metode Newton-Raphson berhenti apabila

| | <

Atau bila menggunakan galat relatif hampiran

<

Dengan dan adalah toleransi galat yang diinginkan.

Langkah-langkah metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut:

1. Masukkan nilai awal sembarang

2. Tentukan persamaan fungsi ( )dan turunan pertamanya

3. Masukkan persamaan fungsi ( ) dan turunan pertamanya ke dalam rumus Newton-Raphson sampai dengan eror< , sehigga diperoleh nilai

akar fungsi, (Bambang Triatmojo, 2002).

2.5 Keluarga Eksponensial

Anggap suatu keluarga



f(x;θ):θ



dari fungsi kepekatan peluang, dimanaΩ

adalah himpunaninterval 



θ:γ θ δ



, dengan γ dan δ konstan, maka



( ) ( ) ( ) ( )



, exp

) ;

(xθ pθ K x S x q θ

f    axb

0

10

Suatu distribusi dikatakan sebagai anggota dari distribusi eksponensial apabila:

1. adanbtidak bergantung padaθ_, γ θ δ_,

2. p(θ) adalah fungsi kontinu nontrivial bagi θ_, γ θ δ

3. Masing-masing dari K'(x)0 dan S(x) adalah fungsi kontinu bagi x, a<x<b.

Dimana ketiganya merupakan syarat suatu regular case dari keluarga eksponensial. Jika ketiganya tidak terpenuhi, maka dikatakan irregular casedari keluarga eksponensial, (Hogg dan Craig, 1978).

2.6 Informasi Fisher

Misalkan X merupakan peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang (fkp) 

 θ θ), ; (x

f dimana ruang parameternya Ω interval_{. Dianggap kasus khusus,}

yang kadang disebut dengan regular case, dari fkp yang didiferensialkan dengan tanda integral. Pada bagian ini menjelaskan bahwa parameterθ_{tidak tampak pada} bagian akhir interval f(x;θ)0. Dengan asumsi ini, dapat dijelaskan bahwa





 

1 ) ; (x dx

f θ

Jika diturunkan terhadapθ_{maka akan menjadi}





 

0 ) ; (x dx

f θ

0

Kemudian jika diturunkan kembali akan menghasilkan

0

Sehingga diambil bagian yang kedua yang merupakan bagian dari persamaan di

atas dan dapat ditulis dengan

dx

Atau dapat ditulis dengan

dx

12

2.7 Matriks Informasi Fisher

Misal sampel acak X1, X2, ..., Xn dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan

peluang f(x;θ₁,θ₂),(θ₁,θ₂) di mana kondisi keteraturan ada. Tanpa menggambarkan kondisi ini secara rinci, misalkan dikatakan bahwa ruang di X

dimana f(x;θ1,θ2)0 _{tidak mengandung} θ1 _dan θ2_{, dan dapat menurunkan} bawah tanda integral.

Sehingga matriks informasi fishernya adalah



(Hogg dan Craig, 1978).

2.8 Teorema Nilai Tengah

Untuk membuktikan sifat asimtotik normalitas suatu distribusi, maka dibutuhkan

Teorema 2.1

Jika f kontinu pada selang tertutup [ , ]dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari( , ), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam( , )dimana

( ) ( ( )

=

( )

Atau, setara juga dengan

( ) ( ( ) = ( )( )

(Purcell dan Varberg, 2000)

2.9 Teorema Limit Pusat

Untuk membuktikan sifat asimtotik suatu distribusi, juga dibutuhkan teori yang

mendukung tentang limit pusat. Berikut ini dijelaskan mengenai teorema limit pusat.

Teorema 2.2

Misalkan , , , menyimbolkan observasi sebuah peubah acak dari sebuah

distribusi dengan nilai tengah adalah dan ragam positif . Sehingga peubah

acak = = ( ) memiliki pendekatan distribusi normal dengan nilai

14

2.10 Sifat Asimtotik Normalitas Penduga Kemungkinan Maksimum

Penduga kemungkinan maksimum (maximum likekihood estimators) merupakan penduga yang lebih atraktif karena jumlah sampelnya yang besar atau sifat

asimtotiknya. Salah satu sifat asimtotik dari penduga kemungkinan maksimum adalah asimtotik normalitas.

Penduga kemungkinan maksimum dikatakan asimtotik normalitas apabila

 

 



1



, ~

ˆ _{θ θ} 

θ N I

a

ML

Dimana

 

_

  

 

   

 1 2 ( _') θ θ

θ

θ E L

n I

l

Dengan kata lain, penduga kemungkinan maksimum disebut dengan asimtotik normalitas apabila







1



) ( , 0 )

ˆ

(θ θ N I θ  n

d

(Greene, 2000).

2.11 Uji Rasio Kemungkinan(Likelihood Ratio Test)

Misalkan X1, X2, ..., Xnmelambangkan n peubah acak independen yang memiliki

masing-masing fungsi kepekatan peluang f_i(x_i;θ₁,θ₂,...,θm), i=1, 2,..., n.

Himpunan yang terdiri dari semua titik parameter (θ₁,θ₂,...,θm) dinotasikan oleh , yang disebut ruang parameter. Misalkan ω menjadi sebuah subset dari ruang

Misalkan hipotesis H0: (θ1,θ2,...,θm)ωmerupakan semua hipotesis alternatif. Definisi fungsi kemungkinan:



kemungkinan. Rasio dari _L(ωˆ) _{ke L(}ˆ_{) disebut rasio kemungkinan (likelihood} ratio)dan dinotasikan oleh

)

III. METODELOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan waktu penelitian dilaksanakan pada tahun akademik 2011/2012.

3.2 Metode Penelitian

Dalam penelitian ini, langkah-langkah yang akan dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Menduga parameter distribusi weibull dan distribusi eksponensial umum dengan menggunakan metode penduga kemungkinan maksimum dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Membentuk fungsi kemungkinan yang berasal dari fungsi kepekatan peluang distribusi Weibull dan distribusi eksponensial umum.

b. Memaksimumkan fungsi yang diperoleh untuk mendapatkan dugaan

c. Dugaan parameter yang diperoleh dari metode penduga kemungkinan

maksimum diperoleh dengan mencari turunan pertama dari logaritma fungsi kepekatan peluang terhadap parameter-parameter yang hendak

diduga dan menyamakannya dengan nol.

d. Menunjukkan bahwa penduga yang diperoleh maksimum, dengan mencari turunan kedua dari logaritma fungsi kepekatan peluang

dimana hasilnya harus kurang dari nol.

e. Dugaan parameter yang tidak dapat diperoleh secara analitis, maka

akan dicari dengan menggunaka metode iterasi Newton-Raphson.

2. Mengkaji sifat asimtotik normalitas dari metode kemungkinan maksimum

(Maximum Likelihood Method) terhadap parameter-parameter distribusi Weibull dan distribusi eksponensial umum, dengan langkah-langkah yang akan dilakukan adalah:

a. Menunjukkan bahwa distribusi Weibull dan distribusi eksponensial umum merupakan keluarga eksponensial.

b. Menentukan matriks informasi fisher penduga kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimation) dari distribusi Weibull dan distribusi eksponensial umum, yaitu dengan menentukan informasi

fisher untuk setiap elemen matriks.

c. Mencari invers dari matriks informasi fisher untuk menunjukkan

bahwa kedua distribusi memiliki sifat asimtotik normalitas.

18

eksponensial umum terpenuhi dengan menggunakan teorema nilai

tengah dan teorema limit pusat.

3. Mengembangkan statistik T antara distribusi weibull dan distribusi eksponensial umum. Untuk mengembangkan statistik T, langkah-langkah yang akan dilakukan adalah:

a. Mencari rasio kemungkinan maksimum (ratio maximum likelihood) dari distribusi weibull dan distribusi eksponensial umum.

b. Membentuk statistik T, yaitu dengan melogaritma naturalkan rasio kemungkinan maksimum antara distribusi Weibull dan distribusi eksponensial umum.

4. Melakukan simulasi Monte Carlo untuk mengetahui apakah statistik

positif ( > 0)ataukah negatif ( < 0), dengan skenario simulasi:

a. Membangkitkan data berdistribusi eksponensial menggunakan

software R dengan ukuran sampel: = 10, = 20, = 50, dengan masing-masing diulang sebanyak 50 dan 100 kali.

b. Menguji statistik T dengan SAS 9.0 dan software R, dengan menggunakan data kesenjangan antara dua plats dan data yang telah dibangkitkan sebelumnya.

Berdasarkan hasil dan pembahasan penelitian, maka dapat diambil kesimpulan

sebagai berikut:

1. Distribusi Weibull dan distibusi eksponensial umum merupakan keluarga eksponensial.

2. MLEsdistribusi Weibull dan distribusi eksponensial umum memenuhi sifat asimtotik normalitas.

3. Statistik T akan bernilai positif( >✁)atau data mengikuti model peluang

distribusi eksponensial umum pada ukuran skala persekitatan = 0.63362.

4. Statistik T akan bernilai negatif( < 0)atau data mengikuti model peluang distribusi Weibull pada ukuran skala yang jauh lebih kecil dari ukuran skala

persekitaran = 0.63362.

5. Semakin besar ukuran skala dan semakin banyak data yang digunakan maka

nilai statistik T akan cenderung positif( > 0)atau model peluang yang

lebih cocok digunakan adalah model peluang distribusi eksponensial umum, sebaliknya semakin sedikit data dan semakin kecil ukuran skala yang

digunakan maka nilai statistik T akan cenderung negatif( < 0)atau model

MEMBEDAKAN ANTARA DISTRIBUSI WEIBULL DAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL UMUM DENGAN MENGGUNAKAN UJI RASIO

KEMUNGKINAN MAKSIMUM (SKRIPSI)

Oleh

MIA AMELIA MUDIROH 0717031048

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG