NAMA : RIDHO ICHWAN NIM : 09121001027 KELAS : SK3A
1. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Secara geometris vector digambarkan sebagai segmen garis terarah atau panah-panah di ruang-3. Arah panah menyatakan arah vector dan panjang panah menyatakan panjangnya. Ekor panah dinamakan titik awal(initial point) dan ujung panah menyatakan titik akhir(terminal point).
Contoh :
Titik awal vector u adalah A dan titik akhirnya adalah B, maka vector u dapat ditulis: AB
Dua vektor u dan v disebut sama jika hanya jika kedua vector tersebut mempunyai panjang dan arah yang sama. Vektor yang tidak mempunyai panjang disebut vector nol (zero vector) ditulis: 0
Sifat: 0 + u = u + 0
Jika u adalah sembarang vector tak nol, maka –u adalah negative u
didefinisikan sebagai vector yang mempunyai panjang sama dengan u tetapi arahnya berlawanan.
Sifat: u+ (-u) = 0
Jika u dan v adalah sembarang dua vector, maka jumlah u + v adalah vector yang ditentukan sebagai berikut. Tempatkan v sehingga titik awalnya berimpit dengan titik akhir u. vector u + v dinyatakan oleh panah dari titik awal uterhadap titik akhir v. Pengurangan v dari u didefinisikan oleh: u–v = u + (-v). Jika u adalah sembarang vector dan k adalah bilangan riil yang tak nol, maka hasil kali ku didefinisikan sebagai vector yang panjangnya ǀkǀ kali panjang u dan arahnya sama dengan ujika k > 0 dan berlawanan dengan ujika k < 0.
pada titik awal koordinat siku-siku, maka koordinat titik akhir vector v disebut komponen-komponen v dan ditulis sebagai v= (v1,v2,v3)
Misal u= (u1,u2,u3) dan v= (v1,v2,v3) adalah vector di ruang 3, maka: 1. u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2dan u3 = v3
2. u + v= (u1,u2,u3) + (v1,v2,v3) = (u1+v1, u2+v2, u3+v3) 3. ku = (ku1,ku2,ku3)
4. u – v= (u1-v1, u2-v2, u3–v3)
Contoh: u= (1,-3,2), v= (4,2,1), maka:
u + v = (1,-3,2) + (4,2,1) = (1+4,-3+2,2+1) = (5,-1,3)
Jika suatu vector titik awalnya tidak dititik asal koordinat, misal vector AB dengan titik awal A (x1,y1) dan titik akhir B (x2,y2) , maka:
AB = OB - OA = (x2,y2) – (x1,y1) = (x2-x1, y2- y1)
Dengan cara yang sama, untuk vector di ruang 3, jika A(x1,y1,z1) dan B(x2,y2,z2), maka:
AB = OB - OA = (x2,y2,z2) – (x1,y1,z1) = (x2- x1,y2- y1,z2– z1) Contoh:
Vector AB adalah vector dengan titik awal A = (2,-1,4) dan titik akhir B = (7,5,-8), maka:
Perhatikan OL dan OP =
OL² = a² + b² OP² = OL² + c² OP² = [a² + b²] + c²
Maka : OP = √a² + b² + c²
Contoh :
r = 5i + 8j +1k
Maka |r| = √a² + b² + c² = √5² + 8² + 10²
= √25 + 64 + 100 = √189 atau = 13,74
2. Operasi-opersi dalam vector a) Penjumlahan vector
Misalkan u dan v adalah vektor – vektor yang berada di ruang yang sama ,maka vektor ( u + v ) didefinisikan sebagai vektor yang titik awalnya = titik awal u dan titik akhirnya = titik akhir v .
memiliki titik awal = A dan titik akhir = C, jadi w merupakan segmen garis berarah AC.
b) Perkalian vektor dengan scalar
Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang = 0. Misalkan u
vektor tak nol dan k adalah skalar , k ∈ R . Perkalian vektor u dengan scalar k , k u didefinisikan sebagai vektor yang
panjangnya u kali panjang u dengan arah :
Jika k > 0 searah dengan u
Jika k < 0 berlawanan arah dengan u Contoh 4.2.2
Y
2u u
-2u X
c) Perhitungan vector
Diketahui a dan b vektor–vektor di ruang yang komponen – komponennya
adalah a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 ) Maka
Jika c = AB kemudian titik koordinat A = ( a1,a2,a3 ) dan B = ( b1,b2,b3 )
maka
c = (b1 a1 , b2 a2, b3 a3 )
3. Hasil kali titik , panjang vektor dan jarak antara dua vector Hasil kali titik dua vektor jika diketahui komponennya
Diketahui a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 ) , Hasil kali titik antara vektor
a dan b didefinisikan sebagai : a . b =(a1.b1)+ (a2.b2) +(a3.b3)
Hasil kali titik dua vektor jika diketahui panjang vektor dan sudut antara
dua vector
Diketahui a dan b dua buah vektor yang memiliki panjang berturut – turut ||a||
dan ||b|| sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah
θ , sudut θ ini
terbentuk dengan cara menggambarkan kedua vektor pada titik awal yang sama.
Hasil kali titik antara vektor a dan b didefinisikan sebagai : a . b = ||a|| ||b|| cos θ , θ ∈ [ 0, π ]
Jadi hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar.
Tentukan nilai k agar a dan b saling tegak lurus ! Jawab
Agar a dan b saling tegak lurus, maka haruslah a . b = 0 a . b = 3k +3 = 0 =,k = 1
Panjang ( norm ) vektor dan jarak antara dua vector Panjang vector
Dengan menggunakan operasi hasil kali titik jika diketahui komponen a = ( a1,a2,a3 ) didapatkan bahwa
a . a = a12,a22,a32 ……(1)
a . a = ||a|| ||a|| cos 0 ….(2) , dalam hal ini sudut antara a dan a pastilah
bernilai 0 karena keduanya saling berhimpit.
Dari persamaan 1 dan 2 , didapatkan persamaan berikut : ||a||2 = a . a = ||a|| = ( a . a )1/2 =
