Tugas Analisis Komplek Kelompok 6 – niaaulina

(1)

SISTEM OPERASI BILANGAN KOMPLEKS, NILAI MUTLAK, BIDANG KOMPLEKS DAN BILANGAN KONJUGAT

Makalah Ini Disampaikan Pada Mata Kuliah Analisis Kompleks

Disusun Oleh :

Nama anggota :

1. Nia Aulina ( 2014121093 ) 2. Okky Ramadita ( 2014121097 ) 3. Dedesari ( 2014121100 ) 4. Novia Ningsih ( 2014121103 ) 5. Tina Apriani ( 2014121106 ) 6. Noviva Annisa ( 2014121115 )

Semester /kelas : 4/c

Dosen pengasu : Eka Fitri Puspa Sari, M.Pd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

(2)

PEMBAHASAN

A. Pengertian Dan Operasi Dasar Bilangan Kompleks 1. Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah suatu bilangan berbentuk a + bi, di mana a dan b bilangan real, sedangkan i adalah satuan khayal (imajiner). a disebut bagian real dan b disebut bagian khayal dari bilangan kompleks tersebut. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan real; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan real yang hanya memiliki sebagian.

Bilangan kompleks z :

 merupakan pasangan berurut

(

x , y

)

dengan

x , y

∈ℜ

.

Ditulis :

z

=(

x, y

)

.

 merupakan bilangan yang berbentuk

x

+

iy

dengan

x , y∈ℜ

dan

i

=

(

0,1

)

=

√

−

1

_. Ditulis :

z

=

x

+

iy

.

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu : 1. C = himpunan bilangan kompleks

=

{

z

|

z

=

x

+

iy , x , y

∈ℜ ∧

i

2

=−

1

}

.

2. Jika

Re

(

z

)=

0

dan

Im

(

z

)≠

0

maka z dinamakan bilangan imajiner murni.

3. Jika

Re

(

z

)≠

0

dan

Im

(

z

)

=

0

maka z merupakan bilangan riil. 4. Kesamaan bilangan kompleks.

Misalkan

z

1

=

x

1

+

iy

1 dan

z

2

=

x

2

+

iy

2 .

(3)

2. Operasi Dasar Bilangan Kompleks dan Sifat – sifatnya a. Operasi Dasar Bilangan Kompleks

Misalkan diketahui 2 buah bilangan kompleks : z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2.

Dari rumus (1 – 2) : i = √−1 , maka i2_{= -}_1.

Operasi penjumlahan z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)

= (x1+x2)+(iy1+iy2)

= (x1+x2)+i(y1+y2)

Operasi pengurangan

z1−z2=(x1+iy1)−(x2+iy2)

= (x1−x2)+(iy¿¿1−iy2)¿

¿(x1−x2)+i(y1−y2)

Operasi perkalian

z1. z2=(x1+iy1).(x2+iy2)

= [x¿¿1. x2+x1(iy2)]+[x¿¿2(iy1)+i 2

(y1y2)]¿ ¿

= x1. x2+i(x¿¿1y2+x2y1)+(−1)y1y2¿

= x1. x2+i(x¿¿1y2+x2y1)−y1y2¿

= (x1. x2−y1y2)+i(x¿¿1y2+x2y1)¿

Operasi pembagian

z1 z2=

x1+iy1 x2+iy2

=

x1+iy1 x2+iy2x

x1−iy1 x2−iy2

=

x1x2−x1y2(i)+x2y1(i)−(i2)y1y2 x2x2−x2y2(i)+x2y2(i)−(i

2 )y2y2

=

x1x2−i(x1y2−x2y1)−(−1)y1y2 x2x2–(−1)y2y2

=

x1x2−i(x1_xy2−x2y1)+y1y2

22+y22

=

x1x2+y1y_x2+i(x1y2−x2y1)

2 2

(4)

b. Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks

Misalkan z1, z2dan z3 adalah bilangan kompleks, maka berlaku:

1. Hukum komutatif

z1+z2=z2+z1

2. Hukum asosiatif

z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 z1(z2. z3)=(z1. z2)z3

3. Hukum distributif (penyebaran)

z1(z2+z3)=z1. z2+z1. z3

4. Hukum kesekawanan

z₁+z₂₌z1+z2 z1−z2=z1−z2 z1. z2=z1. z2

z1 z2 =

z1 z2

5. ´z = ´z

6. z´z = [ ℜ(z)]2+[ ℑ(z)]2

Contoh:

Diberikan : z1=2−3i dan z2=−5+i

Maka hitunglah : a . z1+z2

b . z1−z2

Penyelesaian :

a . z1+z2=(2−3i)+(−5+i)

¿−3−2i b . z1−z2=(2−3i)−(−5+i)

(5)

B. Nilai Mutlak

a. Pengertian Nilai Mutlak

Definisi :

Jika z=a+bibilangan kompleks, maka modulus dari z ditulis |z| didefinisi sebagai berikut:

|z|=|a+bi|=

√

a2+b2

|z| ≡ bilangan riil positif atau nol →|z| ≥ 0

Secara geometris :

|z| menyatakan panjang vector (x, y) yaitu jarak titik (0, 0) dengan titik z = ( x, y)

Akibat dari definisi tersebut , jika z1 = (X1,Y1)dan z2=(X2,Y2)maka jarak antara z1dan z2

adalah :

|z1−z2|=

√

(x1−x2)2+(y1−y2)2

Contoh: 1. |7| = 7 2. |0| = 0

3. |-5| = - (-5) = 5

b. Sifat-sifat Nilai Mutlak

Adapun sifat-sifat nilai mutlak yaitu sebagai berikut.

0

Z = X + Vi

(6)

1. |z1| + |z2| = |z1 + z2|

2. |z1| . |z2| = |z1 . z2|

3. z_z1

2 = z1 z2

4. |z1| - |z2| = |z1 - z2|

5. ¿z∨¿2=¿z∨¿2=z´z , jadi jika z ≠0,1₂=´z/¿z¿´z¿ ¿

6. |z+w|≤|z|+¿w∨¿ 7. ¿

8. |z|− |w| ≤∨z+w∨¿ ||z1 - z2| = √¿ ¿

Syarat fungsi identitas: z + 0 = 0 + z = z

Perhatikan pembuktian identitas berikut

a.

|

_wz

|

=¿z∨ ¿

¿w∨¿ ¿¿, w ≠0 pembuktian

|

(z+0)

(w+0)

|

=¿z∨

¿ ¿w∨¿ ¿¿

|

(z+0) (w+0).

(w+0)

(w−0)

|

=¿z∨

¿ ¿w∨¿ ¿¿

|

(z . w)+(z .0)+(0. w)+(0.0) (w . w)+(w(−0))+(0. w)+(0.0)

|

=

¿z∨ ¿

¿w∨¿ ¿¿

|

(zw+0)+(0+0)

(w2−0)+(0+0)

|

=

¿z∨

¿ ¿w∨¿ ¿¿

|

(zw+0)

(w2+0)

|

=

¿z∨

¿ ¿w∨¿ ¿¿

|

(zw)

(w2)

|

=

¿z∨

¿ ¿w∨¿ ¿¿

|

z(w)

w(w)

|

=

¿z∨

¿ ¿w∨¿ ¿¿

(7)

pembuktian

|(z + 0) – (w + 0)| = |w – z| |(z – w) + (0 + 0)| = |w – z| |(z – w) + 0| = |w – z| | -(- z + w)| = |w – z| | -(w – z)| = |w – z|

|w – z| = |w – z| c. |z . w| = |z| |w|

Pembuktian

|(z + 0) (w + 0)| = |z| . |w|

|(z . w) + (z . 0) + (0 . w) + (0 . 0)| = |z| . |w| |(zw) + (0) + (0) + (0)| = |z| . |w|

|(zw) + 0| = |z| . |w| |(z . w)| = |z| . |w| |z (w)| = |z| . |w| |z . w| = |z| |w| d. |z| - |w| ≤ |z + w|

pembuktian

|z| - |w| ≤ |(z + 0) + (w + 0)| |z| - |w| ≤ |(z + 0) - (w - 0)|

|z| - |w| ≤ |((z + 0)(1))| - |((0 – w) . (1))| |z| - |w| ≤ |(z + 0)| - |(0 – w)|

|z| - |w| ≤ |(z + 0)| - |- (0 – w)| |z| - |w| ≤ |(z + 0)| - |(- 0 – w)| |z| - |w| ≤ |z| - |w|

C. Bidang Kompleks

Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut

(

x , y

)

, sehingga secara

(8)

z

=

x

+

iy

=(

x , y

)

_{juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan}

titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik

(

x , y

)

.

y (sumbu imajiner)

P

z

=(

x , y

)=

x

+

iy

x (sumbu riil)

Gambar 1.1 Bidang kompleks

Pada gambar 1 terlihat suatu titik P yang merupakan representasi suatu bilangan komplek z = (x, y) = x + iy dengan koordinat x, y. Bidang yang merupakan representasi bilangan kompleks tersebut sebagai bidang kompleks.

Operasi penjumlahan dan operasi pengurangan dapat diperlihatkan dengan menggunakan bidang kompleks, seperti terlihat pada gambar 1.2 dan gambar 1.3.

y (sumbu imajiner)

_{P z1 + z2}

z2

z1 x (sumbu riil)

Gambar 1.2 penjumlahan dari dua buah bidang kompleks

y (sumbu imajiner)

(9)

z1

-Z2 Z1-Z2

Gambar 1.3 Pengurangan dari dua buah bilangan kompleks

Contoh :

Selesaikan operasi berikut dengan menggunakan bidang kartesius!

z1=4+5i z2=3+2i

Penyelesaian :

z1+z2 z1

z2

D. Bilangan Konjugat (sekawan) Kompleks

a. Definisi Modulus dan Bilangan Sekawan Kompleks

Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.

Modulus (nilai mutlak)

z

=

x

+

iy

didefinisikan sebagai bilangan riil non negatif

√

x

2

+

y

2 _{dan ditulis sebagai. Modulus}_z₌

|

z

|

₌

√

x

2

+

y

2 _.

Bilangan kompleks sekawan dari

z

=

x

+

iy

didefinisikan sebagai bilangan

kompleks

¯

z

=

x

−

iy

.

Secara geometri,

|

z

|

menyatakan jarak antara titik

(

x , y

)

dan titik asal.

(10)

|

z

1

−

z

2

|=

√

(

x

1

−

x

2

)

2

+

(

y

1

−

y

2

)

2 _.

Selanjutnya, persamaan

|

z

−

z

0

|=

R

_{menyatakan bilangan kompleks}_z_yang

bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat

z

0 dan jari-jari R. Contoh:

a.

|

3

−

4

i

|=

√

3

2

+(−

4

)

2

=

5

.

b.

|

z

+

3

−

3

i

|=

2

menyatakan lingkaran dengan pusat

z

0

=

(

3,

−

3

)

dan jari-jari

R

=

2

_.

c. Jika

z=

3

−

4

i

maka

¯

z=

3

+

4

i

.

b. Sifat-sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

Sifat-sifat modulus dan bilangan kompleks sekawan yaitu sebagai berikut.

a. |z1z2| = |z1| |z2| b. Re |z| ≤ |Re (z)| ≤ |z| c. Im |z| ≤ |Im (z)| ≤ |z|

d.

|

z_z1

2

|

=

¿z₁∨ ¿

¿z2∨¿ ¿

¿

e. ´z=z

f. |´z∨¿∨z∨¿ g. z1+´z2= ´z1+ ´z2

h. z₁−´ z2= ´z1− ´z2

i. z₁´. z₂= ´z1.z´2

j.

(

z´1 z2

)

=

´ z1

´ z2

k. ℜ(z)=z+ ´₂z,ℑ(z)=z−´₂z

l. z´z = |z|2

m. pertidaksamaan segitiga : | z1 + z2 |≤ |z1| + |z2| n. | z1 + z2 |≥¿

(11)

p. | z1 + z2 +…+ zn| ≤|z1| + |z2| + …+ |zn|

Contoh :

Jika

z

1

=

3

−

5

i, z

2

=

5

−

2

i

_{, dan}z3=−2, maka :

a. 2z1−z2=(6−10i)−(5−2i)—6=7−8i

b. 2z1(−z2−3z3)=(6−10i) (1+2i)=26+2i

DAFTAR PUSTAKA

Edy, Ibnu. 2010. Bilangan Kompleks (online). Tersedia pada

http://ibnuedy.weebly.com/uploads/5/9/7/0/5970194/bilangan_kompleks.pdf. Di akses pada tanggal 27 Februari 2016.

Muchsin, Ismail. 2011. Bilangan Kompleks (online). Tersedia pada

http://ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43889/ Bilangan+Kompleks.pdf. Diakses tanggal 29 Februari 2016.

Prijono, Agus & Hasugian, Jimmy M. 2006. Menguasai Analisis Kompleks Dalam Matematika Teknik. Bandung : Rekayasa Sains Bandung