REFLEKSI FILOSOFIS DALAM MATEMATIKA KELA

REFLEKSI FILOSOFIS DALAM MATEMATIKA KELAS

KESEMPATAN DAN ALASAN

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Landasan Kependidikan

Rombel 02

Dosen Pengampu: Prof. Dr. Hardi Suyitno, M.Pd.

oleh

:

1. Khanafi (0401514039) 2. Aditya Nursasongko (0401514052)

PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

▸ Baca selengkapnya: contoh evaluasi dan refleksi pembelajaran

A. PENDAHULUAN

Artikel bejudul “Refleksi Filosofis Dalam Matematika Kelas Kesempatan dan Alasan” merupakan artikel yang dibuat oleh Susanne Prediger, Dortmund University, Jerman, yang dimuat dalam Philosophical Dimensions in Mathematics Education - Mathematics Education Library VOLUME 42. Makalah ini disusun sebagai ulasan dari artikel tersebut.

Matematika dalam pendidikan: Apakah ada ruang untuk filosofi matematika dalam praktik sekolah? Ya, benar adanya. Dalam artikel itu, Susanne Prediger lebih mengutamakan mengapa dan bagaimana refleksi filosofis harus dimasukkan dalam kelas matematika. Gagasan umum akan dijelaskan oleh tiga contoh dari ruang kelas.

Hampir tiga puluh tahun yang lalu beberapa peneliti Jerman yang terkenal dalam filsafat matematika dan matematika pendidikan mengajukan pertanyaan apakah filsafat harus diintegrasikan ke dalam kelas matematika (cf. Otte 1977). Para peneliti secara ekstensif membuat saran bagaimana memasukkan pertimbangan filosofis dalam pendidikan matematika. Akan tetapi, meskipun semua penulis menyepakati pentingnya pertimbangan filosofis di kelas matematika, mereka harus mengakui bahwa praktik kelas tidak mencerminkan kepentingan ini.

Alasan yang mungkin bahwa pertimbangan filosofis tidak bisa menemukan tempat yang memadai di kelas matematika adalah sebagai berikut. 1. Waktu dalam untuk jam matematika terlalu sedikit, yang disebabkan oleh

kelebihan beban silabus.

2. Perguruan tinggi masih mendidik terlalu banyak guru yang tidak mengenal dengan refleksi filosofis sendiri (yang merupakan kekurangan yang sangat besar setidaknya dalam pendidikan guru di Jerman).

3. Tidak ada banyak bahan ajar/pemodelan matematika yang meyakinkan untuk kelas yang merangsang refleksi filosofis.

4. Konsepsi guru dan keyakinan tentang matematika (Thompson 1984).

Hambatan lain refleksi filosofis tidak signifikan muncul dalam kelas karena tidak sesuai dengan keyakinan kebanyakan guru pada pembelajaran matematika sebab:

 refleksi filosofis sering dianggap terlalu sulit atau hanya mungkin jika belajar dari subjek murni selesai

 refleksi filosofis dianggap tambahan, bukan bagian yang diperlukan untuk melengkapi matematika

 refleksi filosofis bertentangan dengan konsepsi tradisional dimana pendidikan matematika harus dibatasi dalam konsep matematika , teorema dan prosedur pemecahan masalah.

B. ARTI DARI REFLEKSI FILOSOFIS?

"[...] Saya memahami filsafat sebagai disiplin mencerminkan (Reflexionswissenschaft) sehubungan dengan menjadi, merasa, dan bertindak yang tidak diatur sendiri batas-batas apapun" (Fischer 1982, 198).

Pemahaman filsafat menyiratkan bahwa filsafat termasuk di kelas matematika jelas bukan soal mengajar tentang filsuf klasik dan ada teori-teori filsafat. Sebaliknya, harus fokus pada berfilsafat dalam arti mencerminkan filosofis. Pergeseran ini untuk kegiatan itu sendiri dapat juga dinyatakan dengan menciptakan kata kerja berfilsafat.

Dalam artikelnya, Mencerminkan sebagai Didaktik Konstruksi, Neubrand (2000) tersusun bidang kompleks dan luas atas pendapat untuk area refleksi dengan menetapkan empat tingkatan yang berbeda dari merenungkan dan berbicara tentang matematika.

1. Tingkat seorang matematikawan:

"Berbicara tentang mata pelajaran matematika dan masalah sendiri, misalnya, tentang kebenaran bukti, tentang kecukupan perumusan definisi, tentang dependensi logis, dan sebagainya."

2. Tingkat seorang matematikawan yang sengaja bekerja:

"Berbicara tentang cara-cara khusus matematika bekerja, nilai dan maknanya, misalnya, tentang teknik heuristik dalam pemecahan masalah; tentang berbagai modus pembentukan konsep dalam matematika, tentang metode matematika tertentu seperti sistematisasi, klasifikasi, atau abstraksi; tentang skema dan teknik pembuktian; dan sebagainya [...]. "

3. Tingkat seorang filsuf matematika:

"Berbicara tentang matematika secara keseluruhan dengan jarak kritis, misalnya tentang peran aplikasi dan hubungannya dengan konsep matematika, tentang bukti-bukti sebagai isu karakteristik dalam matematika, dan sebagainya [...]."

4. Tingkat seorang epistemologist:

sifat dan asal pengetahuan matematika, dan sebagainya [...]. " (Neubrand 2000, 255f)

Tingkat paling ditekankan pada refleksi dalam kesusateraan pendidikan matematika yang lebih baru terletak pada tingkat matematikawan yang sengaja bekerja.

Terutama seluruh aspek kegiatan meta-pentingnya kemampuan tersebut. Banyak studi empiris telah menunjukkan bahwa kesadaran metakognitif pada tingkat matematikawan yang sengaja bekerja dapat meningkatkan proses belajar yang signifikan.

Sebaliknya, tingkat filsuf matematika dan tingkat epistemologist, menjadi lokasi alami refleksi filosofis, sering diremehkan dalam teori pendidikan matematika, serta dalam praktek. Mereka adalah persis tingkat yang menjadi fokus dari artikel ini. Apa persoalan refleksi filosofis saat ini? Steiner telah menyusun daftar berikut subjek dalam pemikiran filsafat.

1. "Pertanyaan-petanyaan atas pembenaran pengetahuan matematika (konteks pembenaran), terutama peran bukti dalam konteks ini

2. hubungan antara matematika murni dan terapan, metodologi matematisasi dan pemodelan

3. peran masalah dan pemecahan masalah dalam matematika 4. peran alat untuk representasi dan kognisi

5. dinamika asal usul dan pengembangan konsep-konsep matematika dan teori dan peran bukti dalam konteks ini

6. hubungan antara pembenaran, penerapan dan pengembangan. "(Steiner 1989) Gambar 1: Tingkat Refleksi.

Mencerminkan dalam tingkat seorang epistemologist

Mencerminkan dalam tingkat seorang filsuf matematika Mencerminkan dalam tingkat seorang matematikawan yang sengaja bekerja

Mengingat perkembangan dalam filsafat matematika dalam dua puluh tahun terakhir sejak artikel Steiner, daftar ini harus ditambahkan, setidaknya dengan aspek-aspek berikut:

1. Persoalan-persoalan praktek matematika (misalnya, bahasa teknis dan tujuannya, pertanyaan-pertanyaan yang dianggap penting, dll),

2. peran matematika dalam masyarakat, dan 3. hubungan antara matematika dan manusia.

C. STRATEGI UNTUK MEMULAI REFLEKSI FILOSOFIS

-TIGA CONTOH

Bagaimana mungkin untuk mengajar siswa untuk merefleksi? Neubrand telah menunjukkan bahwa merefleksi tidak dapat dengan mudah diajarkan. Namun demikian,

"Merefleksi selalu merupakan tugas yang sangat pribadi dari peserta didik sendiri; yaitu, hal tersebut adalah tanggung jawab sendiri. Tapi guru dapat memberikan kesempatan dan stimulasi untuk refleksi. "(Neubrand 2000, 252)

Penelitian pendidikan matematika telah melakukan berbagai upaya untuk mengembangkan bahan dan tugas refleksi berorientasi yang merangsang refleksi pada tingkat matematikawan dan kerja deliberatif matematikawan (misalnya, Sjuts 2002, Kaune 2006, Krainer 1993).

Berikut tiga contoh untuk memulai refleksi filosofis dalam ruang kelas:

Contoh 1: Pangeran Kecil dan Bilangan

Pangeran Kecil, Orang dewasa, dan Angka

Hanya dari angka-angka ini yang mereka pikir mereka telah belajar sesuatu tentang dia. Jika Anda berkata kepada orang-orang dewasa: “Aku melihat sebuah rumah yang indah terbuat dari batu bata merah, dengan geranium di jendela dan merpati di atap,” mereka tidak akan bisa mendapatkan gagasan tentang rumah itu sama sekali. Anda harus mengatakan kepada mereka: “Aku melihat sebuah rumah yang harganya $ 20.000.” Kemudian mereka akan berseru: “Oh, apa cukup rumah itu!”" (De Saint-Exupéry 1943).

Contoh lain, siswa diberikan pertanyaan sebagai berikut:

a. Cari contoh lain mengekspresikan hal dengan angka-angka.

b. Apakah kamu memiliki gagasan mengapa orang-orang dewasa begitu menyukai nomor? Apa manfaat yang kita peroleh dengan menggambarkan fenomena oleh angka?

c. Mengapa adalah Pangeran Kecil begitu mengkritisi kecintaan orang dewasa terhadap angka? Apakah kamu setuju dengan dia? Mengapa (tidak)? Dapatkah kamu menemukan contoh di mana deskripsi dengan angka-angka menjadi masalah?

Terjemahan dari jawaban salah satu siswa:

a. Misalnya di sebuah toko, kita bisa mengatakan toko bunga, tetapi orang dewasa sering mengatakan “bagian 7c”, atau sesuatu seperti itu.

b. Mungkin karena mereka percaya bahwa itu adalah lebih cepat dan lebih mudah, atau bahwa mereka menjelaskannya lebih tepat. Atau bahwa segala sesuatu lebih teratur dan kamu memiliki pemandangan yang lebih baik. Atau bahwa segala sesuatu hanya lebih terstruktur, atau kamu dapat mempelajarinya lebih baik dengan angka. Mungkin hanya karena mereka percaya bahwa mereka dapat mengingat lebih baik atau itu hanya lebih cepat untuk ditulis.

digunakan sangat sering dan tanpa nomor, itu lebih tepat. Tapi untuk menghitung dan belajar, jumlahnya sangat membantu, praktis dan cerdas. Saya berpikir bahwa bagi sebagian orang, angka tidak berarti apa-apa dan mereka tidak bisa membayangkan apa-apa-apa-apa dengan itu.

Meskipun contoh-contoh ini menunjukkan beberapa cara yang mungkin untuk memulai refleksi di tingkat yang lebih tinggi dengan pengaturan pembelajaran yang siap, kita harus berurusan dengan masalah yaitu banyak persoalan refleksi filosofis secara alami jauh dari minat dan pertanyaan siswa -setidaknya pada pandangan pertama. Itulah sebabnya tidak selalu mudah untuk mengikuti keharusan pedagogis penting untuk menghubungkan semua refleksi pengalaman sebelumnya siswa dan pertanyaan mereka sendiri.

Satu gagasan penting dalam mengatasi kesulitan ini bukan untuk memperkenalkan semua urutan refleksi filosofis dengan perencanaan terlebih dahulu. Pendekatan yang lebih efektif dan berorientasi pada siswa adalah untuk mengambil peluang situasional untuk refleksi yang muncul dalam interaksi normal dalam kelas. Biarkan saya memberi contoh prinsip refleksi situasional ini (lih Prediger 2004 untuk argumentasi rinci dan contoh lebih lanjut).

Contoh 2: Lisa, Matt, dan Ontologi dari Objects Matematika

Ini adalah pelajaran tentang solusi geometris ditafsirkan sistem persamaan linear di kelas saya Kelas 9 di ruang kelas (siswa berusia 15 tahun). Pertanyaan: Apa yang terjadi jika kita memiliki dua persamaan dari dua garis lurus sejajar?

Lisa : Garis paralel tidak pernah bertemu/berpotongan; maka tidak mungkin ada solusi.

Matt : Oh ya, mereka bertemu!

Lisa : Tidak, mereka tidak! Parallels tidak bisa. Punyamu mungkin tidak sejajar.

Lihat ini! [Menarik garis paralel di atas kertas]

Setelah mendengarkan perdebatan kecil ini, guru menengahi perdebatan dengan mengadopsi meta-sudut pandang dan meminta kedua siswa apa status ontologis mereka memberikan garis tersebut:

Guru : Saya memiliki kesan bahwa kalian tidak sedang membicarakan tentang objek yang sama, bukan? Apa sebenarnya garis-garis yang sedang kalian bicarakan? Di mana keberadaan mereka?

Melalui pertanyaan klarifikasi ini, kedua siswa menyadari bahwa untuk Lisa, garis lurus sejajar adalah konstruksi teoritis dengan atribut ideal (paralelisme), sedangkan Matt berfokus pada gambar di selembar kertas. Berbeda dengan konstruksi ideal, angka ditarik tidak memiliki eksistensi di dunia nyata, dan status ontologis ini, mereka memang hampir selalu berpotongan.

Oleh pertimbangan tersebut, siswa yang terlibat dalam diskusi tentang posisi ontologis kontroversial (perdebatan ontologis) yang keduanya terkenal dalam filsafat matematika. Banyak pertanyaan dapat muncul dalam diskusi seperti seperti

 Tentang benda seperti apa yang bisa kita nyatakan dalam matematika?

 Di mana satu kita tertarik?

 Ontologi apa sesuai untuk kepentingan yang asli dalam persamaan linear sistem?

Seperti dalam situasi ini, refleksi filosofis sering dapat membantu untuk memperjelas berbagai sudut pandang. Pendekatan lain yang penting untuk refleksi adalah melalui pertanyaan untuk rasa dan refleksi diri (lih Prediger 2005, di mana gagasan ini diuraikan secara luas). Sekali lagi, contoh akan menggambarkan gagasan.

Contoh 3: Anne dan Akses Pribadi yang Hilang ke Kalkulus Aljabar

pertama saya dengan contoh penerapan yang khusus (yang dapat menunjukkan penggunaan praktis dari persamaan pemecahan) tidak bisa meyakinkannya. Jadi, kami lanjutkan dengan membicarakan mengapa ia menganggap mengubah persamaan tidak berhubungan dengan orang itu sendiri. Dengan cara ini, kita bisa mendekati inti masalah: “Ketika saya memecahkan persamaan, aku merasa seperti mesin. Aku bahkan tidak harus mulai berpikir nyata.”

Setelah gagasan ini mesin, kami mencapai tempat yang menarik: Kami menyadari bahwa hal ini merupakan karakteristik penting dari transformasi aljabar yang bisa kita lakukan tanpa berpikir – seperti, tanpa interpretasi dari langkah-langkah sintaksis. Dalam cara tertentu, kalkulus mekanik ini tidak manusiawi dan karenanya hampir tidak ada akses pribadi yang mungkin. Tepatnya, karakteristik ini, bagaimanapun, menawarkan kesempatan yang sangat penting untuk pemberhentian pemikiran kita.

Anne bisa mengalami pemberhentian ini secara langsung ketika kita mempertimbangkan kembali pertanyaan geometri (tentang perubahan atas daerah) yang telah kita diselesaikan dengan persamaan aljabar. Kami mengalami bahwa secara teori memungkinkan untuk menafsirkan semua transformasi aljabar dalam konteks geometris, tetapi jauh lebih sulit untuk melakukannya. Sekarang, ia mulai menghargai kesempatan berhenti sebagai strategi untuk memperluas pemikiran sendiri. Pada saat yang sama, Anne mengambil kenyamanan besar dalam pengetahuan bahwa butuh waktu yang lama dalam sejarah aljabar untuk mengembangkan kalkulus yang tidak manusiawi ini (Pengalaman pribadi di kelas saya).

tentang hubungan antara manusia dan matematika dan bagaimana hal itu terancam oleh mekanisasi (lihat Prediger 2004 untuk pertanyaan filosofis ini).

Hal yang terpenting untuk menerapkan prinsip yang dijelaskan refleksi situasional adalah kesadaran guru atas potensi reflektif yang mendasari situasi. Jika kesadaran ini tidak berkembang dengan baik, guru akan kehilangan kesempatan untuk memanfaatkan situasi yang berpotensi untuk banyak refleksi sebagaimana dalam contoh singkat di atas. Itu sebabnya artikel ini tidak ingin berhenti dengan memberikan ide-ide atau gagasan tentang bagaimana untuk memulai refleksi filosofis di kelas. Hal ini bahkan lebih penting untuk membuat tegas kedudukan yang mendasari tentang tujuan pendidikan matematika dan pemahaman matematika.

D. KEDUDUKAN YANG MENDASARI MATEMATIKA

(PENDIDIKAN)

Refleksi filosofis bukan merupakan bagian tak tentu dari proses pembelajaran yang dapat ditukar dengan konten lain. Mereka termasuk inti dari Bildung

sebagaimana Hartmut von Hentig tekankan.

"Literasi [Bildung] adalah keadaan pikiran, hasil dari sebuah cara perenungan mendekati prinsip-prinsip dan fenomena budaya sendiri." (Von Hentig 1980, 6)

Pemahaman tentang keaksaraan sangat relevan juga untuk matematika. Kita bisa membaca ini dari konsepsi untuk keaksaraan matematika seperti yang didefinisikan oleh musyawarah internasional dalam kerangka normatif PISA (Program for International Student Assessment) yang dilaksanakan oleh OECD (Organization for Economic Co-operation and Development, OECD lihat 1999).

ini dan masa depan sebagai warga konstruktif, peduli, dan tercermin.” (OECD 1999)

Pembelajaran matematika di seluruh dunia akan diminta untuk memulai tidak hanya proses pemecahan masalah tingkat tinggi, tetapi juga refleksi tentang matematika itu sendiri dan perannya di dunia (lih Jablonka 2003 untuk pembahasan rinci tentang hal ini perspektif). Ini tidak hanya mencakup refleksi tentang kesempatan dan batasan untuk model matematika (seperti dalam contoh 1 pada tingkat yang sangat sederhana), tetapi juga mencakup pertimbangan tentang sifat ontologis dari objek matematika (seperti dalam Contoh 2) atau keuntungan dan kesulitan mekanisasi di matematika (seperti dalam Contoh 3) dan banyak aspek lain.

Tidak seperti menerapkan matematika dalam situasi non-matematis, yang saat ini secara luas dianggap sebagai bagian pelengkap dari matematika itu sendiri, banyak guru matematika dan peneliti dalam pendidikan matematika mempertimbangkan tuntutan atas “kapasitas untuk mengidentifikasi dan memahami peran yang dimainkan matematika dalam dunia” sebagai tugas

tambahan untuk pendidikan matematika - contoh, sebuah permintaan yang terletak di samping “pembelajaran murni” matematika itu sendiri. Sekali dua isu yang konseptual dipisahkan, dan memberi garis antara kedua didefinisikan, pertanyaan seperti berikut secara alami ditanyakan: “Apakah tidak perlu belajar matematika terlebih dahulu sebelum merenungkan perannya di dunia” atau “Bagaimana seharusnya kita mendedikasikan setiap waktu untuk persoalan filosofis selama siswa kami bahkan tidak mampu memecahkan persamaan?”

Inilah sebabnya mengapa Fischer menyimpulkan pada tahun 1982 bahwa tujuan utama untuk memasukkan pertimbangan filosofis dalam kelas matematika harus melebihi batas antara matematika dan masalah lain di sekitar matematika:

didikan berupa pemahaman matematika sebagai fenomena prosesual yang mencakup aplikasi serta sejarah, psikologis, sosiologis dan semua perspektif lain yang dapat dibayangkan.”

(Fischer 1982, 201)

Tuntutan ini untuk pemahaman yang lebih luas matematika adalah gagasan utama mengacu dari program filosofis yang telah ditempuh di Darmstadt selama dua puluh lima tahun dengan judul General Mathematics (Wille 2001), dan telah sangat mempengaruhi tulisan ini. Program Ilmu Umum dan terutama Matematika Umum dimulai dengan gagasan bahwa setiap disiplin ilmu harus dalam komunikasi penting dengan masyarakat umum oleh karena itu, Rudolf Wille telah menandai Matematika Umum sebagai berikut:

 “Sikap untuk membuka matematika untuk umum, dan untuk membuatnya pada dasarnya dapat dipelajari dan dapat dikritisi

 penyajian perkembangan matematika melekat dalam pemikiran, makna, dan kondisi

 pengajaran matematika dalam konteks sehari-hari melampaui perbatasan disiplin (lintas disiplin)

 penyampaian tentang tujuan, teknik, nilai-nilai, dan klaim validitas matematika”

(Wille 2001, 7).

Matematika Umum secara eksplisit tidak dianggap sebagai disiplin yang terpisah, tetapi merupakan bagian integral dari matematika. Awalnya dirumuskan sebagai program untuk disiplin ilmu, juga perspektif yang cocok dan bermanfaat untuk menggambarkan matematika untuk keaksaraan matematika:

secara khusus. Sebaliknya, itu akan meningkatkan keberhasilan bagi isi yang berkontribusi pada pengembangan kapasitas yang disebutkan.” (Wille 1995, 54)

E. PENUTUP

Berdasarkan bahasan di atas, dapat dijawab pertanyaan awal “Apakah ada ruang untuk filosofi matematika dalam praktek sekolah?” dengan “Ya, benar-benar ada.” Hal ini mengacu pada pemahaman yang luas terhadap Matematika Umum dan orientasi matematika dalam kerangka PISA. Refleksi filosofis tidak bisa dihilangkan dari pembelajaran matematika, dan pengalaman menunjukkan bahwa terdapat strategi dan titik awal untuk memasukkannya dalam pembelajaran.

Sebagai saran, bahwa dalam memunculkan refleksi filosofis dalam ruang kelas matematika guru harus

 bekerja pada keyakinan belajar dan harus menunjukkan dengan banyak contoh bahwa refleksi filosofis tidak selalu sulit dan dapat meningkatkan proses pembelajaran sebelum selesai

 bekerja pada keyakinan dalam matematika dan membantu mengembangkan luas pemahaman matematika yang mencakup maknanya, indra, dan tujuan

 bekerja pada keyakinan dalam tujuan pendidikan matematika dan membantu untuk biarkan definisi keaksaraan matematika PISA menjadi praktek.

REFERENSI

de Saint-Exupéry, Antoine (1943). The little prince, Egmont, London, 2002 (first published in 1943).

Fischer, Roland (1982). Einige Ansätze zur Philosophie im Mathematikunterricht [Some approaches to philosophy in mathematics classrooms], in: Hans-Georg Steiner (Ed.). Mathematik – Philosophie – Bildung, Aulis, Köln, 198-209.

Jablonka, Eva (2003). Mathematical Literacy, in: Bishop, Alan J.; Keitel, Christine; Kilpatrick, Jeremy; Leung, F.K.S. (Eds.) Second International Handbook of Mathematics Education, Kluwer, Dordrecht, 75-102. Philosophical Reflections in Mathematics Classrooms 57

Kaune, Christa (2006). Reflection and Metacognition in Mathematics Education -Tools for the Improvement of Teaching Quality. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, Heft 38 (4), 350-360.

Krainer, Konrad (1993). Powerful tasks: a contribution to a high level of acting and reflecting in mathematics instruction, Educational Studies in Mathematics, 24 (1), 65-93.

Kitcher, Philip (1984). The nature of mathematical knowledge, Oxford University Press, New York.

Neubrand, Michael (2000). Reflecting as a Didaktik Construction: Speaking About Mathematics in the Mathematics Classroom, in: Westbury, Ian; Hopmann, Stefan; Riquarts, Kurt (Eds.) Teaching as a reflective practice. The German Didaktik Tradition, Lawrence Erlbaum Publishers, London, 251-267.

OECD (1999). Measuring student knowledge and skills. A new framework for assessment, Organization for Economic Co-operation and Development, Paris.

Otte, Michael (1977) (Ed.). Philosophie im Mathematikunterricht [Philosophy in mathematics classrooms], Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, (9) 1 and 2.

Pólya, George (1945). How to solve it, Princeton University Press, Princeton. Prediger, Susanne (2004). Mathematiklernen in interkultureller Perspektive.

Mathematikphilosophische, deskriptive und präskriptive Betrachtungen, [Mathematics learning in an intercultural perspective. Philosophical, descriptive and prescriptive considerations], Klagenfurter Beiträge zur Didaktik der Mathematik, Bd. 6, Profil Verlag, München/Wien.

Schoenfeld, Alan H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics, in: Grouws, Douglas A. (Ed.). Handbook of research on mathematics teaching and learning, Erlbaum, Hillsdale, 287-304.

Sjuts, Johann (2002). Metacognition in mathematics lessons, in: Weigand, Hans-Georg et al. (Eds.) Developments in mathematics education in German-speaking countries. Selected 58 Susanne Prediger papers of the Annual Conference on Didactics of Mathematics 1999, Franzbecker, Hildesheim, 76-87.

Steiner, Hans Georg (1987). Philosophical and epistemological aspects of mathematics and their interaction with theory and practice in mathematics education, For the learning of mathematics, 7(1), 7-13.

Thompson, Alba G. (1984) The Relationship Between Teachers Conceptions of Mathematics and Mathematics Teaching to Instructional Practice, Educational Studies in Mathematics, 15, 105-127.

und eine Alternative [The crises of secondary schooling and an alternative], Klett, Stuttgart.

von Hentig, Hartmut (1980). Die Krise des Abiturs und eine Alternative [The crises of secondary schooling and an alternative], Klett, Stuttgart.

Wille, Rudolf (1995). Allgemeine Mathematik als Bildungskonzept für die Schule [General Mathematics as a guiding idea for mathematical literacy], in: Biehler, Rolf; Heymann, Hans Werner; Winkelmann, Bernard (Eds.) Mathematik allgemeinbildend unterrichten, Aulis, Köln, 41-55.