Model Penentuan Harga Penggunaan Internet Studi Kasus Warung Internet di Sekitar Kampus IPB Darmaga

(1)

KAMPUS IPB DARMAGA

NURLAILI

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Model Penentuan Harga Penggunaan Internet Studi Kasus Warung Internet di Sekitar Kampus IPB Darmaga adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum disajikan dalam bentuk apapun ke perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Juli 2009

(3)

arround the Darmaga Campus of IPB. Supervised by TONI BAKHTIAR and RETNO BUDIARTI.

In this work, we study a model of a small internet café (warnet) charging policy which maximizes the revenue. The model is derived in terms of first-order differential equations system based on some stochastic processes. The solution of the model is expressed in terms of the arrival rate of the customers and their sojourn rate. In the simulation, we consider three types of the rate functions, namely constant, increasing, and decreasing rate functions. In this case study of internet café arround the Darmaga campus of IPB we found that the optimal revenue will be obtained at a tariff of Rp 3.000,00 – Rp 3.433,00 per hour. The optimal number for the computer is 8 – 9 units.

(4)

NURLAILI. Model Penentuan Harga Penggunaan Internet Studi Kasus Warung Internet di Sekitar Kampus IPB Darmaga. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan RETNO BUDIARTI

Kebutuhan masyarakat saat ini akan internet sangat tinggi, sehingga menjadikan warung internet (warnet) sebagai peluang usaha yang sangat menjanjikan. Warung internet adalah tempat di mana kita bisa menggunakan komputer dengan akses internet. Usaha warnet membutuhkan manajemen yang baik untuk mengaturnya. Terdapat banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan salah satu bentuk model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang dan mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan pada warnet. Harga penggunaan internet umumnya didasarkan pada lamanya pelanggan dalam mengakses internet, dengan asumsi bahwa pelanggan datang ke warnet mengikuti proses Poisson, sedangkan lamanya pelanggan menggunakan internet menyebar eksponensial.

Pada karya tulis ini, dikaji model penentuan harga penggunaan internet yang memaksimumkan pendapatan dengan memperhatikan beberapa asumsi yaitu: waktu antarkedatangan menyebar eksponensial, lamanya berada di komputer juga menyebar eksponensial, kedatangan pelanggan ke warnet dan lama penggunaan komputer adalah bebas (tidak terikat) pada dan banyaknya komputer yang digunakan, terdapat sejumlah N komputer dengan koneksi internet, serta jika seorang pelanggan tiba untuk mencari sebuah komputer dan komputer tersedia maka pelanggan menggunakannya dan jika seorang pelanggan datang dan semua komputer digunakan maka mereka tidak menunggu (antri) dan pergi ke tempat lain.

Terdapat tiga tahapan dalam model penentuan harga penggunaan internet ini, yaitu: (i) menentukan peluang bahwa tidak ada pelanggan pada saat t + h, (ii) menentukan peluang bahwa terdapat n pelanggan pada saat t + h, dan (iii) menentukan peluang bahwa semua komputer digunakan.

Bentuk model penentuan harga penggunaan internet adalah berupa sistem persaman differensial orde satu yang diperoleh dengan menggunakan konsep-konsep dasar peluang yaitu proses stokastik. Solusi model penentuan harga penggunaan internet berdasarkan laju kedatangan dan laju penggunaan yang bergantung pada harga yaitu !

! n n

N P

Sn

λ μ

⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ .

Dalam simulasi model pertama-tama yang dilakukan adalah menentukan fungsi laju kedatangan dan fungsi laju penggunaan komputer, yaitu dengan mengadakan pengambilan data ke beberapa warnet di sekitar kampus IPB Darmaga. Sampel yang diambil yaitu warnet yang mewakili warnet-warnet yang biasa digunakan pelanggan di sekitar kampus. Dari data diperoleh rata-rata jumlah komputer adalah 12 unit per warnet.

(5)

terus meningkat, akan tetapi terdapat pada titik tertentu pendapatan akan menjadi tetap atau konstan Jadi, untuk memperoleh pendapatan optimal maka sebaiknya komputer yang digunakan sebuah warnet cukup dengan 8 sampai 9 unit.

(6)

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2009

Hak Cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya

(7)

KAMPUS IPB DARMAGA

NURLAILI

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCA SARJANA

(8)

(9)

NRP : G551070601

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. Ir. Retno Budiarti, M.S. Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

(10)

memberikan segala rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul Model Penentuan Harga Penggunaan Internet Studi Kasus Warung Internet di Sekitar Kampus IPB Darmaga.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini masih banyak terdapat kekurangan, hal ini karena pengetahuan yang dimiliki oleh penulis sangat terbatas.

Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada yang terhormat:

1. Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc, dan Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S selaku pembimbing dan pengajar yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan, arahan, nasehat, serta motivasi kepada penulis.

2. Bapak Drs. Siswandi, M.Si selaku penguji yang telah memberikan saran. 3. Depag RI yang telah membiayai Sekolah Pascasarjana pada Institut Pertanian

Bogor periode 2007-2009.

4. Ketua Departemen, ketua Program Studi, dan seluruh staf pengajar serta staf administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang turut membantu proses penyelesaian tesis ini.

5. Kepala Sekolah dan seluruh pengajar serta staf tata usaha MTs Negeri Model Samarinda yang turut mendo’akan dam memotivasi penulis dalam menyelesaikan tesis ini.

6. Kedua orang tua serta seluruh keluarga yang senantiasa mendo’akan penulis di setiap waktu.

7. Suami dan anakku tercinta yang selalu memotivasi selama perkuliahan serta dalam menyelesaikan tesis ini.

8. Seluruh teman-teman yang turut membantu penyelesaian tesis ini.

Penulis do’akan semoga segala bantuan, bimbingan dan pengarahan yang diberikan mendapat ganjaran yang berlipat ganda dari Allah SWT, dan semoga tesis ini bermanfaat bagi kita semua. Amin.

(11)

KAMPUS IPB DARMAGA

NURLAILI

SEKOLAH PASCASARJANA

(12)

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Model Penentuan Harga Penggunaan Internet Studi Kasus Warung Internet di Sekitar Kampus IPB Darmaga adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum disajikan dalam bentuk apapun ke perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Juli 2009

(13)

arround the Darmaga Campus of IPB. Supervised by TONI BAKHTIAR and RETNO BUDIARTI.

In this work, we study a model of a small internet café (warnet) charging policy which maximizes the revenue. The model is derived in terms of first-order differential equations system based on some stochastic processes. The solution of the model is expressed in terms of the arrival rate of the customers and their sojourn rate. In the simulation, we consider three types of the rate functions, namely constant, increasing, and decreasing rate functions. In this case study of internet café arround the Darmaga campus of IPB we found that the optimal revenue will be obtained at a tariff of Rp 3.000,00 – Rp 3.433,00 per hour. The optimal number for the computer is 8 – 9 units.

(14)

NURLAILI. Model Penentuan Harga Penggunaan Internet Studi Kasus Warung Internet di Sekitar Kampus IPB Darmaga. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan RETNO BUDIARTI

Kebutuhan masyarakat saat ini akan internet sangat tinggi, sehingga menjadikan warung internet (warnet) sebagai peluang usaha yang sangat menjanjikan. Warung internet adalah tempat di mana kita bisa menggunakan komputer dengan akses internet. Usaha warnet membutuhkan manajemen yang baik untuk mengaturnya. Terdapat banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan salah satu bentuk model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang dan mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan pada warnet. Harga penggunaan internet umumnya didasarkan pada lamanya pelanggan dalam mengakses internet, dengan asumsi bahwa pelanggan datang ke warnet mengikuti proses Poisson, sedangkan lamanya pelanggan menggunakan internet menyebar eksponensial.

Pada karya tulis ini, dikaji model penentuan harga penggunaan internet yang memaksimumkan pendapatan dengan memperhatikan beberapa asumsi yaitu: waktu antarkedatangan menyebar eksponensial, lamanya berada di komputer juga menyebar eksponensial, kedatangan pelanggan ke warnet dan lama penggunaan komputer adalah bebas (tidak terikat) pada dan banyaknya komputer yang digunakan, terdapat sejumlah N komputer dengan koneksi internet, serta jika seorang pelanggan tiba untuk mencari sebuah komputer dan komputer tersedia maka pelanggan menggunakannya dan jika seorang pelanggan datang dan semua komputer digunakan maka mereka tidak menunggu (antri) dan pergi ke tempat lain.

Terdapat tiga tahapan dalam model penentuan harga penggunaan internet ini, yaitu: (i) menentukan peluang bahwa tidak ada pelanggan pada saat t + h, (ii) menentukan peluang bahwa terdapat n pelanggan pada saat t + h, dan (iii) menentukan peluang bahwa semua komputer digunakan.

Bentuk model penentuan harga penggunaan internet adalah berupa sistem persaman differensial orde satu yang diperoleh dengan menggunakan konsep-konsep dasar peluang yaitu proses stokastik. Solusi model penentuan harga penggunaan internet berdasarkan laju kedatangan dan laju penggunaan yang bergantung pada harga yaitu !

! n n

N P

Sn

λ μ

⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ .

Dalam simulasi model pertama-tama yang dilakukan adalah menentukan fungsi laju kedatangan dan fungsi laju penggunaan komputer, yaitu dengan mengadakan pengambilan data ke beberapa warnet di sekitar kampus IPB Darmaga. Sampel yang diambil yaitu warnet yang mewakili warnet-warnet yang biasa digunakan pelanggan di sekitar kampus. Dari data diperoleh rata-rata jumlah komputer adalah 12 unit per warnet.

(15)

terus meningkat, akan tetapi terdapat pada titik tertentu pendapatan akan menjadi tetap atau konstan Jadi, untuk memperoleh pendapatan optimal maka sebaiknya komputer yang digunakan sebuah warnet cukup dengan 8 sampai 9 unit.

(16)

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2009

Hak Cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya

(17)

KAMPUS IPB DARMAGA

NURLAILI

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCA SARJANA

(18)

(19)

NRP : G551070601

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. Ir. Retno Budiarti, M.S. Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

(20)

memberikan segala rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul Model Penentuan Harga Penggunaan Internet Studi Kasus Warung Internet di Sekitar Kampus IPB Darmaga.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini masih banyak terdapat kekurangan, hal ini karena pengetahuan yang dimiliki oleh penulis sangat terbatas.

Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada yang terhormat:

1. Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc, dan Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S selaku pembimbing dan pengajar yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan, arahan, nasehat, serta motivasi kepada penulis.

2. Bapak Drs. Siswandi, M.Si selaku penguji yang telah memberikan saran. 3. Depag RI yang telah membiayai Sekolah Pascasarjana pada Institut Pertanian

Bogor periode 2007-2009.

4. Ketua Departemen, ketua Program Studi, dan seluruh staf pengajar serta staf administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang turut membantu proses penyelesaian tesis ini.

5. Kepala Sekolah dan seluruh pengajar serta staf tata usaha MTs Negeri Model Samarinda yang turut mendo’akan dam memotivasi penulis dalam menyelesaikan tesis ini.

6. Kedua orang tua serta seluruh keluarga yang senantiasa mendo’akan penulis di setiap waktu.

7. Suami dan anakku tercinta yang selalu memotivasi selama perkuliahan serta dalam menyelesaikan tesis ini.

8. Seluruh teman-teman yang turut membantu penyelesaian tesis ini.

Penulis do’akan semoga segala bantuan, bimbingan dan pengarahan yang diberikan mendapat ganjaran yang berlipat ganda dari Allah SWT, dan semoga tesis ini bermanfaat bagi kita semua. Amin.

(21)

Abdul Gasim dan ibu Rusidah. Penulis merupakan anak kedua dari tujuh bersaudara.

Tahun 2000 penulis lulus dari SMU Negeri 2 Samarinda dan lulus seleksi masuk Universitas Mulawarman di Samarinda melalui jalur Pemilihan Bibit Unggul Daerah (PBUD) pada Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan dan selesai pada tahun 2004.

(22)

DAFTAR GAMBAR ... DAFTAR LAMPIRAN ... I PENDAHULUAN ...

x xi

1 1.1. Latar Belakang ... 1 1.2. Tujuan Penelitian ... 3 II TINJAUAN PUSTAKA ... 4 2.1. Proses Stokastik ... 4 2.2. Distribusi Eksponensial ... 2.3. Notasi Landau ...

6 7 III PEMODELAN HARGA PENGGUNAAN INTERNET ... 8 3.1. Asumsi dan Model ... 8 3.2. Kebijakan Harga yang Memaksimumkan Pendapatan... 13 IV SOLUSI MODEL ... 14 4.1. Solusi Steady State... 14 4.2. Solusi Model Berdasarkan Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan

yang Bergantung pada Harga... 4.3. Harga Penggunaan Internet yang Memaksimumkan

Pendapatan... 17 18 V SIMULASI MODEL... 19 5.1. Simulasi Fungsi Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang Linear 19 5.2. Simulasi Fungsi Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang

merupakan Fungsi Tak Linear (Fungsi Konveks)... 5.3. Simulasi Fungsi Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang

merupakan Fungsi Tak Linear (Fungsi Konkaf)... 5.4. Simulasi Fungsi Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang

merupakan Fungsi Linear dengan Banyak Komputer yang

Berbeda-beda... 5.5. Simulasi Fungsi Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang

merupakan Fungsi Konveks dengan Banyak Komputer yang Berbeda-beda... 5.6. Simulasi Fungsi Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang

merupakan Fungsi Konkaf dengan Banyak Komputer yang

Berbeda-beda... 5.7. Analisis Transien ...

21 24

28

29

30 32 VI KESIMPULAN DAN SARAN ... 6.1. Kesimpulan ... 6.2. Saran ...

(23)

1 Grafik Laju Kedatangan terhadap Harga per jam ... 2 Grafik Laju Penggunaan terhadap Harga per jam ... 3 Grafik Pendapatan Optimal terhadap Harga per jam ... 4 Grafik Laju Kedatangan terhadap Harga per jam ... 5 Grafik Laju Penggunaan terhadap Harga per jam ... 6 Grafik Pendapatan Optimal terhadap Harga per jam ... 7 Grafik Laju Kedatangan terhadap Harga per jam ... 8 Grafik Laju Penggunaan terhadap Harga per jam ... 9 Grafik Pendapatan Optimal terhadap Harga per jam ... 10 Grafik Laju Kedatangan terhadap Harga per jam ... 11 Grafik Laju Penggunaan terhadap Harga per jam ... 12 Grafik Pendapatan Optimal terhadap Harga per jam ... 13 Grafik Pendapatan Optimal Fungsi Linear ... 14 Grafik Pendapatan Optimal Fungsi Konveks ... 15 Grafik Pendapatan Optimal Fungsi Konkaf ... 16 Grafik Pendapatan Optimal terhadap Harga per jam ... 17 Grafik Peluang terhadap Waktu ...

(24)

1 Bukti Teorema 1 ... 2 Bukti Lema 1 ... 3 Rekonstruksi Model Penentuan Harga Penggunaan Internet ... 4 Penghitungan untuk fungsi Linear ………... 5 Penghitungan untuk fungsi Konveks ... 6 Penghitungan untuk fungsi Konkaf ... 7 Data Hasil Perhitungan pendapatan optimal dan harga optimal dengan banyak komputer berbeda-beda pada fungsi linear ... 8 Data Hasil Perhitungan pendapatan optimal dan harga optimal dengan banyak komputer berbeda-beda pada fungsi konveks ... 9 Data Hasil Perhitungan pendapatan optimal dan harga optimal dengan

banyak komputer berbeda-beda pada fungsi konkaf ... 37 38 39 48 51 56

60

61

(25)

I.

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kebutuhan masyarakat saat ini akan internet sangat tinggi, sehingga

menjadikan warung internet (warnet) sebagai peluang usaha yang sangat

menjanjikan. Hampir dapat kita temui di beberapa tempat bahwa persaingan usaha

ini sangat ketat sehingga memaksa para pengusaha warnet untuk berpikir

bagaimana memberikan pelayanan yang memuaskan dan menawarkan harga yang

bersaing agar tidak ditinggalkan oleh para pelanggannya. Bayangkan jika kita

adalah seorang pelanggan yang akan menggunakan akses internet di sebuah

warnet, tentu sangatlah tidak menyenangkan jika kita harus membayar harga yang

mahal untuk akses internet per jamnya.

Menurut Asosiasi Penyelenggara Jasa Internet Indonesia (APJII)

perkembangan jumlah pelanggan dan pemakai internet di Indonesia dari tahun ke

tahun meningkat sangat tajam. Pada Tabel 1 dapat dilihat data perkiraan resmi

APJII.

Tabel 1 Perkembangan jumlah pelanggan dan pemakai internet (kumulatif)

Tahun Pelanggan Pemakai

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007*

134.000 256.000 400.000 581.000 667.002 865.706 1.087.428 1.500.000 1.700.000 2.000.000

512.000 1.000.000 1.900.000 4.200.000 4.500.000 8.080.543 11.226.143 16.000.000 20.000.000 25.000.000

*perkiraan s.d. akhir 2007

(26)

Usaha warnet sebenarnya cukup mudah untuk didirikan dan dijalankan,

dengan membeli komputer, misalnya sepuluh buah, kemudian menginstalnya

dengan software, lalu membuat jaringan agar komputer satu dengan yang lainnya

terhubung, dan akhirnya mengalirkan koneksi internet ke jaringan tersebut, maka

jadilah usaha warnet. Sedangkan untuk mengelolanya juga tidak diperlukan

orang-orang yang mempunyai skill tinggi, cukup yang mengerti tentang

komputer.

Mungkin karena mudahnya, banyak orang yang berlomba-lomba

mendirikan usaha warnet ini. Jika kita melewati jalan-jalan besar dan di sekitar

jalan tersebut terdapat universitas, tempat-tempat kos mahasiswa, atau perumahan

padat, maka hampir dipastikan ada usaha warnet yang berdiri di situ. Jumlah dari

usaha warnet itu tidak hanya satu, bahkan bisa lebih dari tiga untuk lokasi yang

berdekatan. Dan walaupun sudah ada tiga usaha atau lebih, tetap saja ada warnet

baru yang bermunculan. Mereka bertarung untuk mendapatkan pelanggan yang

sama.

Selain dari pendiriannya mudah, tren teknologi sebenarnya juga

mempunyai andil besar dalam pembentukan pasar dari usaha warnet. Komunikasi

dan informasi tiada batas itulah yang ditawarkan internet. Dua hal yang

dibutuhkan suatu peradaban untuk maju, jika tidak mau tertinggal dari peradaban

lain. Dan masyarakat Indonesia semakin menyadarinya. Menyadari kebutuhannya

terhadap kedua hal tersebut komunikasi dan informasi. Inilah yang menyebabkan

semakin banyak masyarakat yang menjadi pengguna internet, artinya semakin

banyak pula yang membutuhkan warnet.

Harga penggunaan internet umumnya didasarkan pada lamanya pelanggan

dalam mengakses internet, dengan asumsi bahwa pelanggan datang ke warnet

mengikuti proses Poisson, sedangkan lamanya pelanggan menggunakan internet

menyebar eksponensial. Penelitian ini akan mengkaji dan menyelesaikan sebuah

(27)

1.2 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk:

1. Mengkaji model penentuan harga penggunaan internet.

2. Menentukan solusi model berdasarkan laju kedatangan dan laju

penggunaan yang bergantung pada harga.

3. Menentukan harga penggunaan internet yang memaksimumkan

pendapatan.

Dua tujuan terakhir dicapai dengan mengambil studi kasus warung internet di

(28)

II.

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Stokastik

Terdapat banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat

dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan salah satu

bentuk model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang dan mempunyai

peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk

memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat pelayanan.

Sifat khusus dari proses stokastik yaitu sifat Markov (Markovian property) atau rantai Markov.

Definisi 1. Rantai Markov dengan waktu diskret

Suatu proses stokastik {Xn, n = 0, 1, 2, ...}, dengan ruang state {0, 1, 2, ...},

disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap n = {0, 1, 2, ...} berlaku:

(

n 1 n , n 1 n 1,..., 1 1, 0 0

) (

n 1 n

)

P X ₊ = j X =i X ₋ =i₋ X =i X =i =P X ₊ = j X =i

untuk semua kemungkinan nilai dari i i₀, ,...,₁ i_n₋₁, ,i j∈

{

0,1, 2,... .

}

(Ross 1996)

Jadi, sifat Markov-nya yaitu sebaran bersyarat dari sembarang state yang akan

datang Xn+1, dengan syarat state yang lalu X0, X1, X2, ... , Xn−1 dan state sekarang Xn, adalah bebas terhadap semua state yang lalu dan hanya bergantung dari state

sekarang.

Definisi 2. Rantai Markov dengan waktu kontinu

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t > 0} dengan ruang state

diskret {0, 1, 2, …} disebut suatu rantai Markov dengan waktu kontinu jika untuk

setiap s, t > 0 dan i, j, x(u) ∈ {0, 1, 2, …}, 0 ≤u < s berlaku:

(

)

( )

(

, ;0

)

(

)

( )

)

.

P X t+s = j X s =i X u =x u ≤ <u s =P X t+s = j X s =i

(Ross 1996)

Jadi, sifat Markov-nya yaitu sebaran bersyarat dari sembarang state yang akan

(29)

0 ≤u < s, adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya tergantung dari

state sekarang.

Definisi 3. Inkremen bebas

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t∈ _T} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t₀< < < ⋅⋅⋅ <t₁ t₂ t_n, peubah acak

( )

1

( ) ( )

0 , 2

( )

1 , ,

( )

n

( )

n 1

X t −X t X t −X t ⋅⋅⋅ X t −X t₋ adalah bebas.

(Ross 1996)

Dengan kata lain, suatu proses stokastik X dengan waktu kontinu disebut

memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang

tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 4. Inkremen stasioner

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t∈ _T} disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t + s) − X(t)memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

(Ross 1996)

Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut

memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang

dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak

bergantung pada lokasi titik-titik tersebut.

Definisi 5. Proses pencacahan

Suatu proses stokastik {N(t), t ≥ 0} disebut proses pencacahan jika N(t)

menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses

pencacahan N(t)harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: (i) N(t)≥0 untuk semua t∈[0,∞).

(ii) Nilai N(t) adalah integer.

(iii) Jika s < t maka N(s ) ≤ N(t), dengan s, t ∈ [0,∞).

(iv) Untuk s < t maka N(t) − N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang

(30)

Definisi 6. Proses Poisson

Suatu proses pencacahan {N(t), t≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju λ, λ > 0,

jika dipenuhi tiga syarat berikut:

(i) N(0) = 0,

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas,

(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t,

memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai tengah (mean) λt. Jadi untuk semua s, t > 0

P (N(t + s) – N(s) = k) =

( )

, 0, 1, ... !

k t

e t

k k

λ _λ

−

= .

Dari syarat (iii) diketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner.

(Ross 1996)

2.2 Distribusi Eksponensial

Misalkan {N(t) : t ≥ 0} adalah suatu proses Poisson, dengan N(t) adalah

banyaknya kejadian pada waktu atau sebelum waktu t. Sedangkan barisan peubah

acak {X1, X2, X3, ...} adalah waktu antarkedatangan dari proses Poisson

{N(t) : t≥ 0}.

Misalkan pula λ = E[N(t)], maka

( )

( ( ) ) , 0,1,...

!

n t

e t

P N t n n

n

λ _λ

−

= = = .

Jadi untuk menghitung fungsi distribusi peluang dari peubah acak Xi, i ≥ 1.

Untuk t ≥ 0

P (Xi > t) = P (N(t) = 0) = e-λt,

sehingga,

P (Xi≤t) = 1 - P (Xi > t) = 1 - e-λt. Definisi 7. Distribusi Eksponensial

Suatu peubah acak kontinu X disebut menyebar eksponensial dengan parameter

λ > 0, jika fungsi kepekatan peluangnya adalah

0

( ) '( )

0 0

x _x

e f x F x

x λ

λ − _≥

⎧ = _{= ⎨}

<

⎩ .

(31)

Definisi 8. Peubah Acak tanpa Memori

Misalkan T adalah suatu peubah acak yang bernilai tak negatif. Peubah acak T

disebut tanpa memori (memoryless) jika untuk setiap s > 0, t > 0 berlaku bahwa

P (T > s + t⎟T > s) = P (T > t).

(Ross 1996)

Teorema 1. Peubah acak T adalah tanpa memori jika dan hanya jika T memiliki sebaran eksponensial.

(Ross 1996)

(Bukti: Teorema 1 lihat di Lampiran 1)

2.3 Notasi Landau

Simbol-simbol O(.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan

besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.

Definisi 9. Little-oh (o(.))

Notasi u x

( )

=o v x

(

( )

)

, x→L,

menyatakan bahwa

( )

→0, untuk →

u x

x L

v x .

(Serfling 1980)

Definisi 10. Big-oh (O(.))

Notasi u x

( )

=O v x

(

( )

)

, x→L,

menyatakan bahwa

( )

terbatas, untuk →

u x

x L

v x .

(32)

III.

PEMODELAN HARGA PENGGUNAAN INTERNET

3.1 Asumsi dan Model

Pada penelitian ini diperhatikan beberapa asumsi yaitu sebagai berikut:

1. Waktu antarkedatangan menyebar eksponensial dengan rataan λ-1 (laju

kedatangan adalah λ).

2. Lamanya berada di komputer mengikuti distribusi eksponensial dengan

rataan μ-1

.

3. Kedatangan dan lama penggunaan komputer adalah bebas (tidak terikat)

pada dan banyaknya komputer yang digunakan.

4. Terdapat sejumlah N komputer dengan koneksi internet. Jika seorang

pelanggan tiba untuk mencari sebuah komputer dan komputer tersedia

maka pelanggan menggunakannya.

5. Jika seorang pelanggan datang dan semua komputer digunakan maka

mereka tidak menunggu (antri) dan pergi ke tempat lain.

Lema 1

Misalkan X adalah peubah acak yang berdistribusi eksponensial dengan laju λ,

maka:

P(t < X < t + h) = λh + o(h2).

Dengan catatan bahwa peluang kejadian ditentukan dalam satu interval kecil yang

bebas (tidak bergantung) pada berapa lama proses berjalan (bebas terhadap t); ini disebut ’no memory property of the exponential distribution’.

(Bukti: Lema 1 lihat di Lampiran 2)

Dalam model penentuan harga penggunaan internet didefinisikan

peubah-peubah sebagai berikut:

Cx,t : kejadian bahwa ada x pelanggan pada saat t.

A(t,t+h) : kejadian bahwa ada satu kedatangan pada interval waktu (t,t+h). D(t,t+h) : kejadian bahwa ada satu pelanggan pergi dalam interval (t,t+h). Pj(t) : peluang ada j pelanggan dalam sistem pada saat t.

λ : laju kedatangan

(33)

Terdapat tiga tahapan dalam model penentuan harga penggunaan internet

ini, yaitu: (i) menentukan peluang bahwa tidak ada pelanggan pada saat t + h, (ii) menentukan peluang bahwa terdapat n pelanggan pada saat t + h, dan (iii) menentukan peluang bahwa semua komputer digunakan.

Jika tidak ada pelanggan yang menggunakan komputer pada saat t + h

maka diperoleh beberapa kemungkinan yaitu:

Kemungkinan yang pertama bahwa tidak ada seorang pun pelanggan yang datang

pada interval waktu(t, t + h) jika pada saat t tidak ada yang menggunakan internet dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Kemungkinan yang kedua bahwa ada satu orang yang pergi meninggalkan warnet

jika pada saat t ada satu orang yang menggunakan internet dapat diilustrasikan

sebagai berikut.

Dan beberapa kemungkinan yang lain yang sangat kecil diabaikan.

Notasi peluangnya yaitu sebagai berikut

(3.1)

Dengan menggunakan Asumsi 3 dan Lema 1, didapatkan peluang tidak ada

kedatangan pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t tidak ada yang

menggunakan internet yaitu sebagai berikut

(

)

(

)

( )

2

( , ) _0, ( , )

not _{t t h} not _{t t h} 1

t

P _⎣⎡ A ₊ C _⎦⎤ =P ⎡_⎣ A ₊ ⎤_⎦ = −λh+o h (3.2)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

2

0 not ( ,t t h) 0,t 0 ( ,t t h) 1,t 1 ( ).

P t+h =P _⎣⎡ A ₊ C ⎤_⎦ P t +P _⎣⎡D ₊ C ⎤_⎦ P t +o h

waktu: t t + h

user: 0 0

0

t + h

0 1

user: 1

(34)

dan peluang ada satu orang yang pergi pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat

t ada satu orang yang menggunakan internet yaitu sebagai berikut

(

)

(

)

( )

2

( ,t t h) 1,t ( ,t t h) .

P _⎣⎡D ₊ C _⎦⎤ =P ⎡_⎣D ₊ ⎤_⎦ =μh+o h (3.3)

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (3.2) dan (3.3) ke persamaan

(3.1), maka diperoleh laju perubahan peluang terhadap waktu bahwa tidak ada

pelanggan pada interval waktu (t, t + h) adalah sebagai berikut

( )

0

0 1 .

dP t

P t P t

dt = −λ +μ (3.4)

Jika terdapat n pelanggan yang menggunakan komputer pada saat t + h

maka diperoleh beberapa kemungkinan yaitu:

Kemungkinan yang pertama bahwa tidak ada pelanggan yang datang dan tidak

ada yang pergi pada interval waktu(t, t + h) jika pada saat t terdapat n pelanggan yang menggunakan internet dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Kemungkinan yang kedua bahwa ada satu kedatangan pada warnet jika pada saat t

ada (n− 1) orang yang menggunakan internet dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Kemungkinan yang ketiga bahwa ada satu orang yang pergi jika pada saat t ada (n + 1) orang yang menggunakan internet dapat diilustrasikan sebagai berikut.

t + h n

0 0 user: n

waktu: t

t + h

user: n− 1 n

1

waktu: t

t + h n

1 user: n + 1

(35)

dan beberapa kemungkinan yang lain yang sangat kecil diabaikan.

Notasi peluangnya yaitu sebagai berikut untuk 0 < n < N

(

)

(

₍ ₎ ₍ ₎

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

, , , 1, 1 , 2 1, 1 ,

not and not |

| .

|

n t t h t t h n t n

n t n t t h

P t h P A D C P t

P A C P t

P D C P t o h

+ + − − + + + + ⎡ ⎤ + = _⎣ _⎦ ⎡ ⎤ + _⎣ _⎦ ⎡ ⎤ + _⎣ _⎦ + (3.5)

Dengan menggunakan Asumsi 3 dan Lema 1, didapatkan peluang tidak ada yang

datang dan tidak ada yang pergi pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t

terdapat n pelanggan yang menggunakan internet yaitu sebagai berikut

( ) ( )

(

)

(

)

( )

2

,

, ,

not _{t t h} and not _{t t h} | _{n t} 1 .

P _⎣⎡ A ₊ D ₊ C ⎤ = − +_⎦ λ nμ h+o h (3.6) Peluang ada satu kedatangan pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t ada (n − 1) orang yang menggunakan yaitu sebagai berikut

( )

(

)

( )

2

1, , | n t t t h

P ⎡_⎣A ₊ C ₋ ⎤ =_⎦ λh+o h (3.7)

dan peluang terdapat satu orang yang pergi pada interval waktu t + h jika pada saat t ada (n + 1) orang yang menggunakan yaitu sebagai berikut

( )

(

)

(

)

( )

2

1,

, | n t 1 .

t t h

P _⎣⎡D ₊ C ₊ ⎤ =_⎦ μ n+ h+o h (3.8)

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (3.6), (3.7), dan (3.8) ke

persamaan (3.5), maka diperoleh laju perubahan peluang terhadap waktu bahwa

terdapat n pelanggan pada interval waktu (t, t + h) adalah sebagai berikut

( )

( ) (

) ( )

(

)

( )

1 1 1 .

n

n n n

dP t

P t n P t n P t

dt =λ − − λ+ μ +μ + + (3.9)

Pada state terakhir di mana semua komputer (N) digunakan, maka

diperoleh beberapa kemungkinan yaitu:

Kemungkinan yang pertama bahwa tidak ada yang pergi pada interval waktu

(t, t + h) jika pada saat t semua komputer (N) digunakan dapat diilustrasikan sebagai berikut.

t + h

komputer: N N

0

(36)

Kemungkinan yang kedua bahwa terdapat satu kedatangan pada interval waktu

(t, t + h) jika pada saat t terdapat satu komputer yang tidak digunakan (N – 1) dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Serta beberapa kemungkinan yang lain yang sangat kecil diabaikan.

Notasi peluangnya yaitu sebagai berikut

(

)

(

₍ ₎

)

( )

(

₍ ₎

)

( )

2

, 1, 1

, ,

not | | .

N t t h N t N t t h N t N

P t+h =P _⎣⎡ D ₊ C ⎤_⎦ P t +P _⎣⎡A ₊ C ₋ ⎤_⎦ P ₋ t +o h (3.10)

Dengan menggunakan Asumsi 3 dan Lema 1, didapatkan peluang tidak ada yang

pergi pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t semua komputer digunakan yaitu sebagai berikut

( )

(

)

( )

2

, ,

not _{t t h} | _{N t} 1 .

P ⎡_⎣ D ₊ C ⎤ = −_⎦ μNh+o h (3.11)

Peluang terdapat satu kedatangan pada interval waktu (t, t + h) jika pada saat t

terdapat satu komputer yang tidak digunakan yaitu sebagai berikut

( )

(

)

( )

2

1,

, | N t .

t t h

P ⎡_⎣A ₊ C ₋ ⎤ =_⎦ λh+o h (3.12)

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (3.11) dan (3.12) ke persamaan

(3.10), maka diperoleh laju perubahan peluang terhadap waktu bahwa semua

komputer digunakan pada interval waktu (t, t + h) adalah sebagai berikut

( )

1 .

N

N N

dP t

P t N P t

dt =λ − −μ (3.13)

Sebagai kesimpulan, untuk jumlah N komputer dengan tidak ada kapasitas

antrian, state yang mungkin dari sistem adalah 0,1, . . . , N (yang menunjukkan banyaknya komputer yang digunakan).

t + h N

1 komputer: N− 1

(37)

Dengan demikian model penentuan harga penggunaan internet dapat

dinyatakan sebagai berikut

(

)

(

)

(

)

0

0 1

1 1

1

1 0 .

n

n n n

N

N N

dP

P P

dt dP

P n P n P n N

dt dP

P NP

dt

λ μ

λ λ μ μ

λ μ

− +

−

= − +

= − + + + < <

= −

(3.14)

(rekonstruksi model secara lengkap lihat Lampiran 3)

3.2 Kebijakan Harga yang Memaksimumkan Pendapatan

Laju kedatangan dan laju penggunaan internet salah satunya dipengaruhi

oleh harga. Jika harga penggunaan internet mahal maka pelanggan yang datang

akan sedikit, sedangkan jika harga yang diberikan relatif lebih murah maka

pelanggan yang datang akan lebih banyak. Sehingga salah satu pendekatan untuk menentukan harga optimal adalah menyatakan λ dan µ sebagai fungsi dari harga.

Sebagai contoh fungsi laju kedatangan terhadap harga yang dikemukakan

oleh Lynch (2003). Berdasarkan pengalaman pemilik warnet bahwa meskipun

harga penggunaan internet digratiskan, maksimum pelanggan yang datang adalah

5 orang per jam. Sedangkan, jika harga ditetapkan £10 per jam maka tidak ada

seorang pelanggan pun yang datang. Dengan demikian hubungan antara harga dan

laju kedatangan dapat dinyatakan sebagai berikut:

( )

1

(

)

5 0 10

2

c c c

(38)

IV.

SOLUSI MODEL

Solusi pada sistem persamaan differensial (3.14) dibatasi oleh kondisi

sedemikian rupa sehingga penjumlahan dari peluang yang ada sama dengan 1,

yaitu:

( )

0 1, 0. N n n

P t t

=

= >

∑

(4.1)

Untuk memecahkan masalah ini, digunakan persamaan differensial yang

memerlukan sebuah syarat awal, yaitu P0(0) = 1 dan Pn(0) = 0 (n > 0).

4.1 Solusi Steady State

Untuk memperoleh solusi steady state maka dapat kita tentukan dengan

menyelesaikan dPi 0; _i 0,...,_N

dt = = pada model (3.14). Solusi steady state

model (3.14) diberikan pada lema berikut.

Lema 2

Sistem persamaan berikut

(

)

(

)

(

)

0 1

1 1

1

0

1 0 1 1

0

n n n

N N

P P

P n P n P n N

P NP λ μ λ λ μ μ λ μ − + − − + =

− + + + = < < −

− =

mempunyai solusi !

! n n N P Sn λ μ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ untuk 0≤ ≤n N dengan 0

1 N n n P = =

∑

dan 0 ! . ! n N n N S n λ μ = ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑

Bukti: Pembuktian akan dilakukan dengan menunjukkan bahwa S yang didefinisikan di atas memenuhi sistem persamaan.

Diketahui solusi untuk sistem persamaan adalah !

! n n N P Sn λ μ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ (4.2)

dan 0 ! ! n N n N S n λ μ = ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

(39)

Untuk membuktikannya maka akan kita substitusi solusi ke dalam sistem persamaan berikut

(

)

(

)

0 1 1 1 1

0 ... 1

1 0 ... 2

0 ... 3

n n n

N N

P P

P n P n P

P NP λ μ λ λ μ μ λ μ − + − − + = − + + + = − = .

Dengan !

! n n N P Sn λ μ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ diperoleh

( )

0

!

untuk 0

0 ! ! N n P S N S λ μ ⎛ ⎞ = → = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ =

( )

1 1 !

untuk 1

1 ! ! N n P S N S λ μ λ μ ⎛ ⎞ = → = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ =

Substitusi P0 dan P1 ke persamaan 1.

0 1 ! ! ! ! 0 N N P P S S N N S S λ λ μ λ μ μ λ λ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + = − _⎜ _⎟_{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − = + = terbukti

Dengan !

! n n N P Sn λ μ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ diperoleh

untuk n = n – 1

(

)

1 1 ! 1 ! n n N P S n λ μ − − ⎛ ⎞ → = _{⎜ ⎟} − _{⎝ ⎠}

untuk n = n !

! n n N P Sn λ μ ⎛ ⎞ → = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

untuk n = n + 1

(40)

Substitusi Pn-1, Pn, dan Pn+1 ke persamaan 2.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 2

1 0 (1 1)

1

! ! !

1

1 ! ! 1 !

1

1 !

1 ! 1

n n n

n

P n P n P n N

P n P n P

N N N

n n

S n Sn S n

n n

N

n S n n n

λ λ μ μ λ λ μ μ λ λ λ λ λ μ μ μ μ μ λ μ μ λ _λ λ λ μ μ μ − + − + − + −

− + + + = < < −

− + + + ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = _⎜ _{⎜ ⎟} _⎟− + _⎜ _{⎜ ⎟} _⎟+ + _⎜ _{⎜ ⎟} _⎟ − _{⎝ ⎠} _{⎝ ⎠} + _{⎝ ⎠} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ₊ ₊ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎢ − _{⎜ ⎟}+ _{⎜ ⎟} ⎥ − _{⎝ ⎠} _⎢_⎣ _{⎝ ⎠} + _{⎝ ⎠} _⎥_⎦

(

)

(

)

(

)

[ ]

1 ₂ ₂

2

1 ₂ ₂

1 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 0 1 ! 0 n n n N n

n S n n n

N

n S n n

N n S λ _λ λ λμ μ λ μ μ μ μ λ _λ λ _λ λ μ μ μ λ μ − − − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟ ⎢} − − + _⎥ − _{⎝ ⎠ ⎣} _⎦ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟ ⎢} − − + _⎥ − _{⎝ ⎠ ⎣} _⎦ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⋅ − _{⎝ ⎠} = terbukti

Dengan !

! n n N P Sn λ μ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ diperoleh

untuk n = N – 1

(

)

1 1 ! 1 ! N N N P S N λ μ − − ⎛ ⎞ → = _{⎜ ⎟} − _{⎝ ⎠}

untuk n = N !

! N N N P SN λ μ ⎛ ⎞ → = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

Substitusi PN −1 dan PN ke persamaan 3.

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

[ ]

1 1 1 1 1 ! !

1 ! !

1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 0 1 ! 0 N N N N N N N N N

P NP N

S N SN

N N

N S N

(41)

4.2 Solusi Model Berdasarkan Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang Bergantung pada Harga

Untuk menentukan solusi model berdasarkan laju kedatangan dan laju

penggunaan yang bergantung pada harga terlebih dahulu ditentukan rata-rata

jumlah pelanggan di sistem, U .

Misalkan ρ λμ= −1 maka rata-rata jumlah pelanggan adalah

( )

1 . N n n

U ρ nP

=

∑

(4.4)

Dengan mensubstitusikan Pn dan S yang terdapat pada Lema 2 ke dalam fungsi

( )

U ρ maka diperoleh sebagai berikut

( )

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 0 ! ! ! ! ! ! ! 1 1 ! ! 1 , ! n N N n n n N n n n N n N n n N n n N

U nP n

Sn N n Sn N n S n N S n N S n λ ρ μ ρ ρ ρ ρ _ρ ρ _ρ = = = − = − = − = ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎜ ⎟ = = _⎜ _{⎜ ⎟} _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⋅ ⎞ = ⋅ _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⋅ ⎜_⎜ ₋ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⋅ _⎜ _⎟ ⎝ ⎠

∑

di mana S telah didefinisikan pada Lema 2, yaitu

0 ! ! n N n N S n λ μ = ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑

, sehingga

( )

1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 ! !

! 1 !

. 1 1 ! ! ! N N n N n N n n n N N n n n n n n N N n U S n n n ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ − − = = = = = ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ₋ ⋅ _⎜ _⎟ _⎜ _⎜ _⎟ _⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ = ⋅ _⎜ _⎟= = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

Dengan demikian diperoleh

(42)

Jika nilai ρ besar maka U(ρ)→ N , ini dikarenakan N adalah jumlah komputer yang tersedia maksimum sehingga rata-rata jumlah pelanggan adalah kurang dari

atau sama dengan banyaknya komputer yang tersedia yaitu

( )

0 1 . 1 ! ! N N n n U N n ρ ρ ρ ρ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≤ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _⎝ _⎠⎟ ⎝

∑

⎠ (4.6) Karena 0 1 ! N n n n ρ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

adalah deret MacLaurin untuk eρ, maka dapat disederhanakan

persamaan (3.21) di atas menjadi sebagai berikut

( )

1 .

!

N U

N eρ

ρ

ρ ≤ρ⎛_⎜ − ⎞_⎟

⎝ ⎠ (4.7)

Laju kedatangan yang bergantung pada harga yaitu λ

( )

c dan laju

penggunaan yang bergantung pada harga yaitu μ

( )

c disubstitusi ke fungsi U

( )

ρ

seperti pada persamaan (3.19) sehingga diperoleh U c

( )

0 . N n n U nP =

=

∑

(4.8)

Pendapatan akan diperoleh dengan menghitung R(c) di mana c adalah

harga penggunaan internet per jam.

( )

R c = ×c U c (4.9)

4.3 Harga Penggunaan Internet yang Memaksimumkan Pendapatan

Dalam menentukan harga penggunaan internet yang mengoptimalkan

pendapatan, dapat kita peroleh dengan dua syarat yaitu:

Syarat I (syarat perlu): Turunan pertama dari fungsi pendapatan terhadap harga

sama dengan nol yaitu dR 0

dc = (4.10)

Syarat II (syarat cukup): Turunan kedua dari fungsi pendapatan terhadap harga

lebih kecil dari nol yaitu

2

2 0

d R

(43)

V. SIMULASI MODEL

Pada bagian ini, disimulasikan model penentuan harga penggunaan

internet.

Dalam simulasi model pertama-tama yang dilakukan adalah menentukan fungsi

( )

c

λ dan μ

( )

c , yaitu dengan mengadakan pengambilan data ke beberapa warnet di sekitar kampus IPB Darmaga. Sampel yang diambil yaitu warnet yang

mewakili warnet-warnet yang biasa digunakan pelanggan di sekitar kampus.

5.1 Simulasi Fungsi Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang Linear

Dari data diperoleh rata-rata jumlah komputer adalah 12 unit per warnet.

Di bagian pertama, diasumsikan bahwa laju kedatangan pelanggan adalah linear,

yaitu berbentuk

( )

8

(

)

12 0 4,5

3

c c c

λ = − ≤ ≤ ,

dengan c adalah harga per jam dalam ribu rupiah.

Fungsi laju kedatangan di atas menjelaskan bahwa:

1. Jika harga gratis (c = Rp 0,00) maka rata-rata pelanggan yang datang adalah

12 orang, dan

2. Jika harga mahal (c = Rp 4.500,00) maka tidak ada pelanggan yang datang.

λ(c)

[image:43.612.164.475.482.678.2]

c

(44)

[image:44.612.147.485.297.531.2]

Grafik laju kedatangan terhadap harga per jam di atas menjelaskan bahwa setiap

harga dinaikkan satu satuan maka pelanggan yang datang akan turun sebesar 8 3

satuan dan turunnya adalah konstan tidak bergantung pada harga.

Dan pada fungsi laju penggunaan internet yaitu sebagai berikut

( )

c 5 c

(

0 c 4,5

)

μ = − ≤ ≤ .

Fungsi laju penggunaan di atas menjelaskan bahwa:

1. Jika harga gratis (c = Rp 0,00) maka lama penggunaan rata-rata adalah 5 jam,

dan

2. Jika harga mahal (c = Rp 4.500,00) maka lama penggunaan rata-rata adalah

0,5 jam.

Grafik laju penggunaan terhadap harga per jam di atas menjelaskan bahwa setiap

harga dinaikkan satu satuan maka lama pelanggan menggunakan internet akan

turun sebesar 1 satuan dan turunnya adalah konstan tidak bergantung pada harga.

Dengan jumlah komputer (N) adalah 12 unit,

( )

12 8

3

c c

λ = − , dan

( )

c 5 c

μ = − maka diperoleh pendapatan optimal (R*) seperti pada grafik yang

terlihat pada Gambar 3 berikut. μ(c)

c

(45)

Pada Gambar 3 diperoleh pendapatan optimal atau maksimum dari sebuah warnet

yaitu Rp 6.234,00 dengan harga penggunaan internet yaitu Rp 3.419,00 per jam.

5.2 Simulasi Fungsi Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang merupakan Fungsi Tak Linear (Fungsi Konveks)

Simulasi pada bagian kedua, diasumsikan bahwa laju kedatangan

pelanggan adalah tak linear (fungsi konveks), yaitu berbentuk

( )

16 2 16 ₁₂

(

₀ _4,5

)

27 3

c c c c

λ = − + ≤ ≤ ,

R(c)

c

Gambar 3 Grafik Pendapatan Optimal terhadap Harga per jam

λ(c)

c

(46)

12 orang, dan

2. Jika harga mahal (c = Rp 4.500,00) maka tidak ada pelanggan yang datang ke

warnet.

Grafik laju kedatangan terhadap harga per jam pada Gambar 4 di atas

menjelaskan bahwa setiap harga penggunaan internet dinaikkan maka pelanggan

yang datang akan mengalami penurunan, yang mana penurunan pelanggan

bergantung pada besarnya harga. Penurunan jumlah pelanggan yang datang dapat

terjadi dengan cepat pada kisaran harga Rp 0,00 sampai dengan Rp 1.500,00 dan

akan mengalami penurunan yang lambat pada kisaran harga Rp 2.500,00 sampai

dengan Rp 4.500,00.

( )

1 2

(

)

2 5 0 4,5

5

c c c c

μ = − + ≤ ≤ .

dan

0,5 jam.

μ(c)

[image:46.612.151.490.475.696.2]

c

(47)

Grafik laju penggunaan terhadap harga per jam di atas menjelaskan bahwa

setiap harga penggunaan internet dinaikkan maka lama pelanggan dalam

menggunakan internet akan mengalami penurunan, yang mana penurunan lama

penggunaan bergantung pada besarnya harga. Jika harga pada kisaran Rp 0,00

sampai dengan Rp 1.500,00 maka lama pelanggan dalam menggunakan internet

akan turun dengan cepat, sedangkan pada kisaran harga Rp 2.500,00 sampai

dengan Rp 4.500,00 akan turun dengan lambat.

( )

16 2 16 12

27 3

c c c

λ = − + , dan

( )

1 2 ₂ ₅

5

c c c

μ = − + maka diperoleh pendapatan optimal (R*) seperti pada grafik

yang terlihat pada Gambar 6 berikut.

R(c)

[image:47.612.178.494.348.570.2]

c

(48)

5.3 Simulasi Fungsi Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang merupakan Fungsi Tak Linear (Fungsi Konkaf)

Simulasi pada bagian ketiga, diasumsikan bahwa laju kedatangan

pelanggan adalah tak linear (fungsi konkaf), yaitu berbentuk

( )

16 2

(

)

12 0 4,5

27

c c c

λ = − ≤ ≤ ,

12 orang, dan

2. Jika harga mahal (c = Rp 4.500,00) maka tidak ada pelanggan yang datang.

Grafik laju kedatangan terhadap harga per jam di atas menjelaskan bahwa

setiap harga penggunaan internet dinaikkan maka pelanggan yang datang akan

mengalami penurunan, yang mana penurunan pelanggan bergantung pada

besarnya harga. Penurunan jumlah pelanggan yang datang dapat terjadi dengan

lambat pada kisaran harga Rp 0,00 sampai dengan Rp 1.500,00 dan akan

mengalami penurunan yang cepat pada kisaran harga Rp 2.500,00 sampai dengan

Rp 4.500,00. λ(c)

[image:48.612.136.492.251.532.2]

c

(49)

( )

₅ 1 2

(

₀ _{4, 5}

)

5

c c c

μ = − ≤ ≤ .

dan

0,5 jam.

Grafik laju penggunaan terhadap harga per jam di atas menjelaskan bahwa

setiap harga penggunaan internet dinaikkan maka lama pelanggan dalam

menggunakan internet akan mengalami penurunan, yang mana penurunan lama

penggunaan bergantung pada besarnya harga. Jika harga pada kisaran Rp 0,00

sampai dengan Rp 1.500,00 maka lama pelanggan dalam menggunakan internet

akan turun dengan lambat, sedangkan pada kisaran harga Rp 2.500,00 sampai

dengan Rp 4.500,00 akan turun dengan cepat.

( )

₁₂ 16 2

27

c c

λ = − , dan

( )

1 2

5 5

c c

μ = − maka diperoleh pendapatan optimal (R*) seperti pada grafik yang

terlihat pada Gambar 9 berikut: μ(c)

[image:49.612.136.489.164.447.2]

c

(50)

Ketiga fungsi di atas menjelaskan perbedaan prilaku kedatangan

pelanggan dan lama penggunaan internet. Grafik dari ketiga fungsi laju

kedatangan tersebut dapat dilihat pada Gambar 10 berikut.

R(c)

[image:50.612.179.494.81.302.2]

c

Gambar 9 Grafik Pendapatan Optimal terhadap Harga per jam

λ(c)

c

[image:50.612.192.508.451.648.2]

(51)

Dan grafik dari ketiga fungsi laju penggunaan dapat dilihat pada Gambar 11

berikut.

Pendapatan optimal dari sebuah warnet dengan mengasumsikan 3 buah

fungsi laju kedatangan dan laju penggunaan seperti terlihat pada gambar 12

diperoleh pada kisaran harga Rp 3.000,00 sampai Rp 3.433,00 dengan pendapatan

optimal yang diperoleh antara Rp 5.000,00 dan Rp 6.516,00 per jam. μ(c)

[image:51.612.183.499.131.325.2]

c

Gambar 11 Grafik Laju Penggunaaan terhadap Harga per jam

R(c)

c

(52)

5.4 Simulasi Fungsi Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang merupakan Fungsi Linear dengan Banyak Komputer yang Berbeda-beda

Dengan laju kedatangan pelanggan ke warnet yaitu

( )

12 8

3

c c

λ = − , dan

laju penggunaan internet μ

( )

c = −5 c seperti dalam simulasi sebelumnya. Selanjutnya disimulasikan fungsi linear tersebut dengan banyak komputer yang

berbeda-beda, dalam hal ini disimulasikan banyak komputer dari N = 1 sampai

dengan N = 20 sehingga diperoleh data hasil penghitungan pendapatan optimal

dan harga optimal seperti pada Lampiran 7.

Selanjutnya diperoleh grafik dari data hasil penghitungan pendapatan

optimal dan harga optimal dengan banyak komputer yang berbeda-beda pada

[image:52.612.136.517.350.521.2]

fungsi linear seperti yang ditunjukkan pada Gambar 13 di bawah ini.

GRAFIK PENDAPATAN OPTIMAL

0 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Banyak Komputer (N)

Penda

pata

n

O

p

timal (R*

)

Grafik pada Gambar 13 dapat terlihat dengan jelas bahwa jika banyak

komputer kita tambahkan dari komputer yang berjumlah 1 unit sampai dengan 7

unit pendapatan terus mengalami peningkatan, namun pada titik tertentu dalam hal

ini pada saat komputer berjumlah 8 sampai dengan seterusnya pendapatan tidak

lagi meningkat melainkan konstan atau tetap. Ini berarti bahwa jika banyak

komputer kita tambahkan terus menerus belum tentu pendapatan akan terus

(53)

5.5 Simulasi Fungsi Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang merupakan Fungsi Konveks dengan Banyak Komputer yang Berbeda-beda

( )

16 2 16 ₁₂

27 3

c c c

λ = − + , dan laju penggunaan internet

( )

1 2 ₂ ₅

5

c c c

μ = − +

seperti dalam simulasi sebelumnya. Selanjutnya disimulasikan fungsi konveks

tersebut dengan banyak komputer yang berbeda-beda, dalam hal ini disimulasikan

banyak komputer dari N = 1 sampai dengan N = 20 sehingga diperoleh data hasil

penghitungan pendapatan optimal dan harga optimal seperti pada Lampiran 8.

fungsi konveks seperti yang ditunjukkan pada Gambar 14 di bawah ini.

GRAFI K PEN DAPAT AN OPT I M AL (R* )

0 1 2 3 4 5 6

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Banyak Komputer (N)

P

e

nda

patan O

p

ti

ma

l

(R

*)

Grafik pada Gambar 14 dapat terlihat dengan jelas bahwa hampir tidak ada

perbedaan dengan fungsi linear jika banyak komputer kita tambahkan dari

komputer yang berjumlah 1 unit sampai dengan 7 unit pendapatan terus

mengalami peningkatan, namun pada titik tertentu dalam hal ini pada saat

komputer berjumlah 8 unit sampai dengan seterusnya pendapatan tidak lagi

[image:53.612.144.529.373.535.2]

(54)

kita tambahkan terus menerus belum tentu pendapatan akan terus meningkat,

tetapi terdapat pada titik tertentu pendapatan akan konstan.

5.6 Simulasi Fungsi Laju Kedatangan dan Laju Penggunaan yang merupakan Fungsi Konkaf dengan Banyak Komputer yang Berbeda-beda

( )

₁₂ 16 2

27

c c

λ = − , dan

laju penggunaan internet

( )

5 1 2

5

c c

μ = − seperti dalam simulasi sebelumnya.

Selanjutnya disimulasikan fungsi konkaf tersebut dengan banyak komputer yang

berbeda-beda, dalam hal ini disimulasikan banyak komputer dari N = 1 sampai

dengan N = 20 sehingga diperoleh data hasil penghitungan pendapatan optimal

dan harga optimal seperti pada Lampiran 9.

fungsi konkaf seperti yang ditunjukkan pada Gambar 15 di bawah ini.

disimulasikan banyak komputer dari N = 1 sampai dengan N = 20 sehingga

diperoleh data hasil penghitungan pendapatan optimal dan harga optimal seperti

pada Lampiran 9.

fungsi konkaf seperti yang ditunjukkan pada Gambar 15 di bawah ini.

GRAFI K PEN DAPAT AN OPT I M AL (R* )

0 2 4 6 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Banyak Komputer (N)

Pe

nda

pa

ta

n

Optim

a

l (R

*)

[image:54.612.134.518.523.677.2]

(55)

Grafik pada Gambar 15 dapat terlihat dengan jelas bahwa hampir tidak ada

perbedaan dengan fungsi linear dan fungsi konveks jika banyak komputer kita

tambahkan dari komputer yang berjumlah 1 unit sampai dengan 7 unit pendapatan

terus mengalami peningkatan, namun pada titik tertentu dalam hal ini pada saat

komputer berjumlah 8 unit sampai dengan seterusnya pendapatan tidak lagi

meningkat melainkan konstan atau tetap. Ini berarti bahwa jika banyak komputer

kita tambahkan terus menerus belum tentu pendapatan akan terus meningkat,

tetapi terdapat pada titik tertentu pendapatan akan konstan.

Dari hasil simulasi ketiga fungsi laju kedatangan dan laju penggunaan

yaitu fungsi linear, fungsi konveks dan fungsi konkaf dengan banyak komputer

yang berbeda-beda maka diperoleh 8 unit komputer yang memberikan pendapatan

yang maksimum. Sehingga dengan menggunakan 8 unit komputer diperoleh

pendapatan optimal dari sebuah warnet dengan mengasumsikan 3 buah fungsi laju

kedatangan dan laju penggunaan tersebut pada kisaran harga Rp 3.000,00 sampai

Rp 3.433,00 dengan pendapatan optimal yaitu antara Rp 5.000,00 sampai

[image:55.612.134.438.411.603.2]

Rp 6.516,00 per jam. (Perhatikan Gambar 16)

(56)

5.7 Analisis Transien

Solusi model yang bergantung terhadap waktu dapat diperoleh dengan

analisis transien. Berdasarkan hasil simulasi model penentuan harga penggunaan

internet di atas, diperoleh jumlah komputer yang paling optimal yaitu 8 unit per

warnet.

Sistem persamaan differensial untuk fungsi laju kedatangan

( )

8

12