• Tidak ada hasil yang ditemukan

REPRESENTASI DAN PENENTUAN BANYAKNYA GRAF BERLABEL TANPA SISI PARALEL BERORDE MAKSIMAL EMPAT

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "REPRESENTASI DAN PENENTUAN BANYAKNYA GRAF BERLABEL TANPA SISI PARALEL BERORDE MAKSIMAL EMPAT"

Copied!
40
0
0

Teks penuh

(1)

ABSTRAK

REPRESENTASI DAN PENENTUAN BANYAKNYA GRAF BERLABEL TANPA SISI PARALEL

BERORDE MAKSIMAL EMPAT

Suatu graf G (V,E) adalah suatu struktur yang terdiri dari himpunan titik V; V dan himpunan sisi E dan graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap dua titik di G, terdapat path yang menghubungkan kedua titik tersebut. Jika tidak ada path yang menghubungkan maka G dikatakan tidak terhubung. Jika suatu graf hanya titik-titiknya diberi label maka pelabelan disebut pelabelan titik. Sisi paralel adalah dua sisi atau lebih yang memiliki dua titik yang sama. Jika diberikan n titik dan m sisi, terdapat banyak graf yang dapat dibentuk, baik terhubung atau tidak terhubung. Penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk menentukan banyak graf berlabel tanpa sisi paralel dan membangun sistem untuk perhitungannya jika diberikan 1 n 4 dan m 1 , dengan bentuk atau rumus umum untuk graf yang

(2)

ABSTRACT

REPRESENTATION AND COUNTING THE NUMBER OF LABELLED GRAPHS WITH MAXIMUM ORDER IS FOUR

WITHOUT PARALLEL EDGES

A graph G (V, E) is a structure that consists of the set of vertices V; V  and the set of edges E and a graph G is said to be connected if for every pair of vertices in G, there is a path connecting them. If only every vertex is labeled then the graph is called as graph with vertex labelling, if only every edge is labeled then graph is called as edge labelling; and if both vertices and edges are labeled then the graph is called graph with total labelling. Parallel edges are two edges or more that have the same end points. The aim of this research is to determine the number of labeled graphs without parallel edges and establish a system for

(3)

REPRESENTASI DAN PENENTUAN BANYAKNYA

GRAF BERLABEL TANPA SISI PARALEL

BERORDE MAKSIMAL EMPAT

Oleh

Permata

Tesis

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar

Magister Sains

Pada

Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika

Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(4)
(5)
(6)
(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Lampung tepatnya di Kota Bumi pada 29 Maret 1982, dan berasal dari keluarga sederhana yang merupakan anak pertama dari dua bersaudara pasangan bapak Husin Thalib dan ibu Nurmaya. Pendidikan formal yang pernah ditempuh :

1. Sekolah Dasar Negeri 3 Labuhan Ratu pada tahun 1989-1994

2. Sekolah Menengah Pertama Negeri 20 Bandar Lampung pada tahun 1994-1997 3. Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Bandar Lampung pada tahun 1997-2000 4. S1 Matematika di FMIPA Universitas Lampung pada tahun 2000-2005

(8)

PERSEMBAHAN

(9)

MOTTO

“Sesungguhnya orang-orang yang beriman dan mengerjakan kebajikan, niscaya diberi petunjuk oleh Allah karena keimanannya. Mereka di dalam surga yang

penuh kenikmatan, mengalir di bawahnya sungai-sungai”

(10)
(11)

SANWACANA

Alhamdulillah segala puji hanya bagi Allah SWT, dan sholawat serta salam senantiasa tercurah kepada nabi Muhammad SAW sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan S2 dengan gelar Magister Sains di Universitas Lampung.

Penulis menyadari bahwa penulisan tesis ini tidak terlepas dari bantuan dan doa dari semua pihak. Terimakasih penulis ucapkan kepada :

1. Ibu Dra. Wamiliana, M.A, Ph.D selaku pembimbing pertama yang begitu sabar dalam membimbing dan memberikan semangat dalam menyelesaikan tesis ini.

2. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si selaku pembimbing kedua yang memberikan semangat dan juga masukan dalam penulisan tesis ini.

3. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si selaku pembahas dan Pembimbing Akademik yang telah memberikan bimbingan dan motivasi.

4. Bapak Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D, selaku Ketua Program Studi yang telah memberikan motivasi.

5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc, Ph.D selaku Ketua Jurusan Matematika yang baik hati.

(12)

7. Teman-teman Perguruan Tinggi Teknokrat atas dukungan dan bantuannya selama menyelesaikan studi ini.

8. Sahabat-sahabat terbaikku dan seperjuangan Zaenal dan Maskadi yang telah banyak membantu sejak awal melanjutkan studi S2 ini.

9. Teman-teman seperjuangan The First Generation Pak Anton, Pak Edy, Ibu Ike, Ibu Ayu, Mba Dwi, Mba Ade, Mba Herly, Mas Kris, Mas War, Mas Malik, Mas Rahman, Mba Ana, Agus, Cut, Fita, Nurman, Suly, Ayu, Viviana, Rini yang selalu menjalin kerjasama dan kebersamaan dalam sedih maupun senang, pengalaman yang takterlupakan.

Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari kesempurnaan sehingga saran maupun kritik yang membangun sangat diharapkan. Semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat dan semoga Allah SWT memberikan balasan yang lebih baik dan keberkahan kepada semua pihak yang telah membantu selesainya studi ini. Aamiin Yaa Robbal ‘Alamin.

Bandar Lampung, 25 Januari 2016

Penulis

(13)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR

DAFTAR TABEL

DAFTAR LAMPIRAN

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Batasan Masalah ... 3

1.3 Tujuan Penelitian ... 3

1.4 Manfaat Penelitian ... 4

II. LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graf ... 5

2.2. Konsep Dasar Barisan ... 10

2.2. Konsep Dasar Pencacahan ... 11

III. METODE PENELITIAN 3.1. Waktu dan Tempat Penelitian ... 15

3.2. Penelitian yang telah dilakukan ... 15

(14)

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Konstruksi Graf Berlabel Tanpa Sisi Paralel ... 19 4.2. Bentuk Umum Graf Berlabel Tanpa Sisi Paralel ... 28 4.3. Representasi Graf Berlabel Tanpa Sisi Paralel ... 57

V. PENUTUP

5.1. Kesimpulan ... 62 5.2. Saran ... 64

DAFTAR PUSTAKA

(15)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1. Contoh graf dengan 4 titik dan 6 sisi ... 5

Gambar 2. Contoh graf dengan 1 titik pendant dan 1 titik terasing ... 6

Gambar 3. Contoh subgraf H dari graf G ... 6

Gambar 4. Contoh spanning subgraf H dari graf G ... 7

Gambar 5. Contoh isomorfis graf G1 dan G2 ... 7

Gambar 6. Contoh graf dengan salah satu walk ... 8

Gambar 7. Contoh graf dengan salah satu path ... 8

Gambar 8. Contoh graf dengan salah satu loop dan sisi paralel ... 8

Gambar 9. Contoh graf sederhana dan terhubung ... 9

Gambar 10. Contoh digraf dengan 4 titik ... 9

Gambar 11. Contoh tree dan spanning tree ... 9

Gambar 12. Flowchart Program ... 58

Gambar 13. Flowchart Fungsi Kombinasi ... 59

Gambar 14. Tampilan Perhitungan Graf Berlabel Tanpa Sisi Paralel ... 60

(16)
(17)

DAFTAR TABEL

Halaman

(18)

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Tabel Konstruksi Graf Berlabel Tanpa Sisi Paralel

(19)

I. PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Perkembangan ilmu pengetahuan pada saat ini sangat pesat dalam bidang sains dan teknologi. Teori graf yang merupakan bidang ilmu matematika yang banyak digunakan dalam merepresentasikan permasalahan atau kondisi di kehidupan sehari-hari, khususnya dalam permasalahan desain jaringan dan terapan komputasi, misalnya : desain jaringan komputer, desain jaringan telekomunikasi, desain jaringan transportasi, desain jejaring sosial, dan lain-lain.

Secara sederhana, graf merupakan suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-objek agar lebih mudah dimengerti. Teori graf dikemukan oleh seorang matematikawan Swiss, Leonhard Euler pada tahun 1736 sewaktu menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg (Konigsberg Problem) yaitu bagaimana melewati tujuh jembatan yang menghubungkan daratan dan dibelah oleh sungai Pregel di Polandia masing-masing tepat satu kali dan kembali ketempat semula. Daratan yang dihubungkan oleh jembatan dinyatakan sebagai titikdan jembatan dinyatakan sebagai sisi.

(20)

2

jembatan yang menghubungkan daratan berjumlah ganjil, tetapi sebaliknya hal ini dapat terjadi jika banyaknya jembatan yang menghubungkan masing-masing daratan adalah berjumlah genap.

Suatu graf G(V,E) dengan V adalah suatu himpunan titik yang tidak boleh kosong dan E adalah himpunan sisi yang boleh kosong. Graf dikatakan terhubung jika terdapat path (lintasan) antara sebarang dua titik di graf G. Sisi paralel adalah dua atau lebih sisi yang menghubungkan dua titik yang sama dalam suatu graf dan loop adalah suatu sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama.

Graf berlabel adalah suatu graf yang tiap titiknya dan atau sisinya memiliki label berupa bilangan asli. Jika suatu graf hanya titiknya diberi label maka pelabelan disebut pelabelan titik. Jika suatu graf hanya sisinya diberi label maka pelabelan disebut pelabelan sisi. Jika suatu graf titiknya dan sisinya diberi label maka pelabelan disebut pelabelan total.

Jika diberikan n titik dan m sisi; dengan n 1 dan m 1 , maka banyak graf yang dapat terbentuk, diantaranya adalah graf tak terhubung dan graf terhubung, dengan graf yang terbentuk memiliki loop dan atau sisi paralel didalamnya.

Adapun penelitian-penelitian yang telah dilakukan sebelumnya mengenai penentuan banyaknya suatu graf baik berupa graf tak terhubung berlabel dan graf terhubung berlabel, antara lain:

(21)

3

2. Arifah (2015), meneliti tentang penentuan banyaknya graf terhubung berlabel jika diberikan n titik, m sisi tanpa sisi paralel. Untuk n3 dan

Penelitian ini dimaksudkan untuk menentukan banyaknya graf berlabel (graf tidak terhubung dan graf terhubung) tanpa sisi paralel untuk n 1 dan m 1 serta membangun sistem untuk menghitung banyaknya graf tersebut.

1.2 Batasan Masalah

Pada penelitian ini akan dibatasi pada graf berlabel, khususnya pelabelan titik tanpa sisi paralel untuk 1 n 4dan m 1 .

1.3Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah:

(22)

4

2. Menentukan bentuk umum graf berlabel tanpa sisi paralel yang telah terbentuk.

1.4Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Menambah pemahaman konsep teori graf dan aplikasinya khususnya tentang penentuan graf berlabel yang terbentuk.

(23)

Gambar 1. Contoh graf dengan 4 titikdan 6sisi e1

e5

e3 e

2

e4

v3 v2

v1

v4

e6

II. LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang mendukung dalam penelitian ini.

2.1 Konsep Dasar Teori Graf

Berikut ini akan diberikan konsep dasar teori graf yang bersumber dari Gross dkk (2014):

Suatu graf G = (V,E), beranggotakan dua himpunan V dan E, dengan anggota dari V disebut titik dari G dan anggota E disebut sisi dari G. Himpunan V adalah himpunan tak kosong yang berhingga dan himpunan E adalah himpunan dari satu atau dua titik dari V.

(24)

6

tersebut terhubung oleh sisi yang sama. Banyaknya n titik atau V n pada graf G disebut urutan atau orde dan banyak m sisi atau E m pada graf G disebut ukuran atau size. Untuk contoh dari Gambar 1 terlihat bahwa sisi e5, e6 menempel

pada titik v4 serta untuk titik v1 bertetangga dengan v2 dan v3.

Derajat (degree) dari suatu titik v pada graf G dinotasikan sebagai deg(v), adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik v dengan loop terhitung dua. Untuk contoh dapat terlihat pada Gambar 1 bahwa deg(v1)= 2, deg(v2)= 4, deg(v3)= 4

dan deg(v4)= 2.

Titik terasing merupakan titik yang memiliki derajat nol, sedangkan titik pendant atau titik ujung adalah titik yang memiliki derajat satu. Untuk contoh pada Gambar 2 terlihat titik v4 merupakan titik pendant dan titik v5 merupakan titik

terasing.

Suatu subgraf dari graf G adalah graf H dengan V(H) V(G) dan E(H) E(G) maka H disebut sebagai subgraf dari G atau graf G adalah supergraf dari H.

(25)

7

Gambar 4. Contoh spanning subgraf H dari graf G v3 berkorespondensi satu-satu antara titik-titik di G1 dengan titi-titk di G2 serta antara sisi-sisi di G1 dengan sisi-sisi di G2.

Suatu walk pada graf G adalah barisan berhingga dari titik dan sisi,

(26)

8

Gambar 6. Contoh graf dengan salah satu walk

e3

Gambar 7.Contoh graf dengan salah satu path

e3 digunakan lebih dari satu kali atau berulang.

Salah satu path terlihat pada Gambar 7 yaitu v1 e1 v2 e2 v3 e4 v4.

Suatu loop dari suatu graf adalah sisi yang menempel pada titik yang sama atau titik awal dan titik akhirnya sama, sedangkan sisi paralel adalah dua atau lebih sisi yang berada pada pasangan titik yang sama.

Salah satu loop terlihat pada Gambar 8 yaitu sisi e6 dan sisi paralelnya adalah

himpunan { e1, e2}.

Gambar 8. Contoh graf dengan salah satu loop dan sisi paralel

(27)

9

Gambar 9. Contoh graf sederhana dan terhubung

e1 sedangkan suatu graf G dikatakan terhubung jika diantara setiap pasang dari titik di G terdapat path yang menghubungkannya.

Suatu graf berarah (digraf) adalah suatu graf dengan setiap sisinya memiliki arah dengan sisi berarah memiliki satu titik ujung yang disebut ekor (tail) dan satu titik ujungnya disebut kepala (head) dengan arahnya dari ekor menuju kepal.

Suatu graf T disebut tree jika graf T merupakan graf terhubung yang tidak memiliki cycle atau sirkuit. Suatu graf T disebut spanning tree dari suatu graf G jika graf T adalah tree dan memuat semua titik dari graf G atau dengan kata lain graf T adalah spanning subgraf dari graf G yang tidak memuat cycle atau sirkuit dan kumpulan dari tree disebut dengan forest.

Gambar 10. Contoh digraf dengan 4 titik

e1

Gambar 11. Contoh tree dan spanning tree

(28)

10

2.2 Konsep Dasar Barisan

Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya merupakan semua bilangan bulat dan dinotasikan dengan an (Rosen, 2012).

Secara umum barisan direpresentasikan dalam baris sebagai berikut:

1 2

, , ,...,

m m m n

a a a a

Contoh : Barisan bilangan 2, 4, 6, 8, 10, ...

Suatu barisan geometri adalah barisan yang memiliki bentuk a ar ar, , 2,...,arn,... dengan a dan r adalah bilangan riil serta r merupakan rasio (Rosen, 2012). Contoh: Barisan bilangan 1, 2, 4, 8, 16, ..., dengan a = 1 dan r = 2.

Suatu barisan geometri adalah barisan yang memiliki bentuk

, , 2 ,..., ,...

a a d a  d a nd dengan a dan d adalah bilangan riil serta d adalah

merupakan beda (Rosen, 2012).

Contoh: Barisan bilangan 1, 4, 7, 10, 13, ..., dengan a = 1 dan d = 3. Diberikan barisan bilangan

 

an sebagai berikut:

0, ,1 2,..., n

a a a a ... (1)

Beda pertama dari barisan (1) adalah:

1 1 1 1

0, 1, 2,..., n

D D D D , dengan D1nan1an

Secara rekurensi di definisikan beda orde ke k dari barisan (1) dengan orde k-1 sebagai beda sebelumnya adalah :

0, 1, 2,...,

k k k k

n

(29)

11

Proposisi 1: Diberikan barisan a a a0, ,1 2,...,an. Jika terdapat polinomial p(x) berderajat k dengan koefisien c sehingga anp n( ) untuk n = ,1,2,3,.…, maka barisan a a a0, ,1 2,...,an adalah barisan aritmatika orde k dengan beda adalah

k! c (Alonso,2000). Bukti :

Misalkan p x( )a x1 ka x2 k1a x3 k2... maka ana n1 ka n2 k1a n3 k2... sehingga anan1ana n1[( 1)kmk]a2[(n1)k1nk1] ...

cknk1 ▭

Oleh karena itu, untuk beda pertama dapat dibentuk p x( )kcxk1... yang berderajat k −1 dengan koefisien pertama kc sehingga D1np n1( )

Dengan melakukan perulangan proses yang sama sebanyak k kali dapat disimpulkan bahwa : Dnkp nk( ) untuk suatu polinomial p nk( ) berderajat nol dengan koefisien pertama k!c sehingga Dnkk c! , untuk n = 0, 1, 2, 3, …

Berdasarkan Proposisi 1 dari barisan (1) terdapat polinomial p(x) dengan derajat k, ( ) 1 2 1 3 2 ...

k k k

p xa xa x  a x   , dengan anp n( ) untuk n = 0,1,2,3,.. maka barisan (1) yaituana n1 ka n2 k1a n3 k2... adalah barisan aritmatika orde k

dengan beda pada orde k adalah sama. ▭

2.3 Konsep Dasar Pencacahan

(30)

12

terjadi dan percobaan 2 mempunyai m2 hasil percobaan yang mungkin maka jika

hanya salah satu dari dua percobaan itu saja yang dilakukan, maka terdapat m1 +

m2hasil jawaban (Rosen, 2012). pembatasan mengenai berapa kali dibolehkan ujian dalam setiap harinya, maka kemungkinan jadwal dapat dibuat sebanyak 5 x 5 = 25 pilihan.

Diberikan n. Nilai n! (dibaca “ n faktorial”) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat positif antara 1 sampai n:

! ( 1)( 2)( 3)....3.2.1

nn nnn

Dengan nol faktorial, didefinisikan 0!=1 (Rosen, 2012).

(31)

13

Contoh :

Berapa banyak cara untuk memilih 3 mahasiswa dari 5 mahasiwa yang akan menduduki posisi ketua, wakil dan sekretaris?

Penyelesaian:

Kombinasi r objek dari n objek dinotasikan dengan persamaan : !

Berapa banyak cara untuk memilih 5 pemain tenis dari 10 pemain tenis yang ada untuk mengikuti kejuaraan?

Misalkan permutasi yang berbeda dari n objek, dengan n1 banyaknya objek yang tidak dapat dibedakan untuk jenis 1, n2 banyaknya objek yang tidak dapat dibedakan untuk jenis 2, ..., dan nk banyaknya objek yang tidak dapat

dibedakan untuk jenis k maka

1 2

! ! !... !k

n

(32)

14

Contoh:

Berapa banyak cara untuk membagikan masing-masing 5 kartu kepada 4 pemain dari setumpuk kartu bridge?

Penyelesaian: 52! 5!5!5!5!32!

(33)

III. METODE PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Program Studi Magister Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Waktu penelitian dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2015 - 2016.

3.2 Penelitian yang telah dilakukan

Adapun penelitian-penelitian yang telah dilakukan sebelumnya, antara lain:

1. Agreusson dan Raymon (2007)

(34)

16

Metode yang dilakukan pada penelitian ini adalah studi pustaka. Adapun tahap-tahap yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Menginventaris literatur baik berupa buku serta jurnal yang berkaitan dengan penelitian.

(35)

17

3. Melakukan observasi dan investigasi dengan cara menggambarkan graf berlabel baik berupa graf tak terhubung dan graf terhubung tanpa sisi paralel dengan 1 n 4 dan m 1 .

4. Mengelompokkan graf berlabel baik berupa graf tak terhubung berlabel dan graf terhubung berlabel untuk n titik dan m sisi yang sama.

5. Menghitung jumlah graf total berlabel baik berupa graf tak terhubung berlabel dan graf terhubung berlabel untuk n titik dan m sisi yang sama. 6. Menginvestigasi pola atau bentuk barisan yang terbentuk dari banyaknya graf

yang terbentuk dari n titik dan m sisi.

7. Menentukan bentuk umum untuk menentukan jumlah graf total berlabel tanpa sisi paralel dengan n titik dan m sisi.

(36)

18

Mulai

Tentukan banyaknya n titik dan m sisi dari graf yang akan diteliti

Observasi graf tak terhubung berlabel dan graf terhubung berlabel tanpa sisi paralel dengan 1 n 4 dan 1 m 10 

Kelompokkan graf berdasarkan n titik dan m sisi yang sama dan menghitung jumlah graf yang terbentuk sehingga dapat terlihat pola yang terbentuk.

Gunakan rumus suku ke-m dengan menggunakan barisan aritmatika orde tinggi pada barisan bilangan yang diperoleh dari banyaknya graf tak terhubung berlabel, graf terhubung berlabel dan graf total berlabel tanpa sisi paralel dengan 1 n 4 dan 1 m 10 

Membangun sistem perhitungan graf yang terbentuk dari bentuk umum ke dalam program

Tentukan bentuk umum atau rumus umum dari suku ke-m dalam bentuk kombinasi

(37)

V. PENUTUP

5.1.Kesimpulan

Berdasarkan hasil konstruksi dan observasi serta implementasi dari graf berlabel tanpa sisi paralel maka disimpulkan banyaknya graf berlabel tanpa sisi paralel adalah:

1. Untuk n 1 dan m 1 diperoleh bentuk atau rumus umum, yaitu:

- Banyaknya graf tak terhubung berlabel adalah G ' lt

 

1,m 0.

- Banyaknya graf terhubung berlabel adalah G lt

 

1,m 1.

- Banyaknya graf berlabel adalah

 

1,m G l 1.

2. Untuk n2 dan m 1 diperoleh bentuk atau rumus umum, yaitu:

- Banyaknya graf tak terhubung berlabel adalah t

 

2,m

m 1

(38)

63

- Banyaknya graf terhubung berlabel adalah t

 

3,m

2m 1

- Banyaknya graf tak terhubung berlabel adalah

 

- Banyaknya graf terhubung berlabel adalah

 

- Banyaknya graf berlabel adalah

 

4,m 4m 4 m 1 5m 2 m 2 7m 1

(39)

64

5. Sistem yang telah dibangun dapat membantu dalam perhitungan banyaknya graf yang terbentuk secara cepat dan baik serta dapat memberikan output berupa gambar.

5.2 Saran

Berdasarkan kesimpulan dari hasil penelitian yang telah diuraikan, maka saran yang dapat diberikan untuk pengembangan lebih lanjut adalah :

1. Penelitian ini dapat dilanjutkan dalam penentuan bentuk umum untuk graf berlabel G l

 

n,m.

2. Implementasi dalam bentuk komputasi atau program dapat lebih dinamis dalam menghasilkan output baik berupa hasil perhitungan maupun bentuk graf.

(40)

DAFTAR PUSTAKA

Agreusson,G and Raymon, D. G. 2007. Graph Theory Modeling, Apliccation, and Algorithms. Personal / Prentice Education Inc. New Jersey.

Alonso, J. 2000. Arithmetic Sequence Of Higher Order. Online. http://www.fq.math.ca/Scanned/14-2/alonso.pdf, diakses tanggal 2 September 2015.

Arifah, Umi, Nur. 2015.Penentuan Banyaknya Graf Terhubung Berlabel Tanpa Garis Paralel Dengan Banyaknya Titik Tiga atau Empat. Skripsi. Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung, Bandar Lampung

Gross, L. Jonathan, Yellen, J., and Zhang, Ping. 2014. Handbook of Graph Theory. Taylor & Francis Group.New York.USA.

Rosen, H., Kenneth. 2012. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill. New York. USA.

Gambar

Gambar 1. Contoh graf dengan 4 titik dan 6 sisi
Gambar 2. Contoh graf dengan 1 titik pendant dan 1 titik terasing
Gambar 4. Contoh spanning subgraf H dari graf G
Gambar 6. Contoh graf dengan salah satu walk
+2

Referensi

Dokumen terkait

Berdasarkan analisis regresi linier berganda yang telah dilakukan dalam penelititan ini, Luas Lahan memiliki pengaruh yang positif terhadap tingkat Praktik Alih Fungsi Lahan di

dilakukan menunjukkan bahwa dari 12 aspek minat karir yang diungkap tes RMIB, hanya ada 3 aspek minat karir yang menunjukkan adanya perbedaan yang signifikan

Ada tiga aspek yang terdapat dalam Nilai-Nilai Dasar Perjuangan HMI untuk mewujudkan kerukunan hidup umat beragama di Indonesia,pertama, aspek ketauhidan (Ketuhanan Yang

Semakin lama proses evaporasi berlangsung maka kadar radionuklida yang terkandung juga semakin banyak, oleh karena itu dibutuhkan pemantauan untuk analisa kadar radionuklida dan

Adataink ezt az érvelést nem támasztják alá, hiszen mind a férfiak, mind pedig a nők esetében azok körében volt a legmagasabb a korai nyugdíjazást preferálók aránya, akik

Tujuan penelitian ini untuk mengetahui hubungan pengetahuan pasien dan dukungan keluarga dengan motivasi pelaksanaan diet rendah garam pada pasien hipertensi di

Proses belajar mengajar di SMA N 2 Surakarta menetapkan Kriteria Ketuntasan Kimia (KKM) untuk mata pelajaran kimia yakni 76. Siswa dengan nilai di atas 76

Betonarme karkas yapı tasarımı için Türkiyede en çok kullanılan üç yazılım ( İdestatik Probina ve Sta4cad ) ile tasarlanan 6 farklı çok basit yapının sonuçları