PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TERHUBUNG BERLABEL TANPA LOOP

(1)

PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TERHUBUNG BERLABEL TANPA LOOP

(Skripsi)

Oleh

ARISTA CHRISTIANTI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(2)

ABSTRAK

PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TERHUBUNG BERLABEL TANPA LOOP

Oleh

Arista Christianti

Suatu graf G (V, E) dikatakan graf terhubung jika untuk setiap dua titik di G terdapat path yang menghubungkan dua titik tersebut. Garis paralel adalah dua garis atau lebih yang memiliki dua titik ujung yang sama. Dalam penelitian ini akan dibahas tentang cara menentukan banyaknya graf terhubung berlabel tanpa

loop jika diberikan n= 5 dan 4 m 10. Banyaknya graf yang terbentuk untuk

m= 4 adalah 125, m= 5 adalah 632, m= 6 adalah 1985, m= 7 adalah 5050, m= 8 adalah 10930, m= 9 adalah 24130, dan m= 10 adalah 48553.

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Metro, kota Metro pada tanggal 26 Januari 1992, anak kedua

dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Paryanto dan Ibu Suyatun.

Tahun 2004 menyelesaikan Pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 1

Dayamurni, tahun 2007 menyelesaikan Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri

1 Tumijajar, dan pada tahun 2010 menyelesaikan Sekolah Menengah Atas (SMA)

Fransiskus Bandar Lampung.

Tahun 2011 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, FMIPA UNILA melalui jalur UM Unila. Selama menjadi

mahasiswa, penulis pernah bergabung di Himpunan Mahasiswa Matematika

(HIMATIKA) yang diamanahkan menjadi anggota bidang kaderisasi periode

2012-2013 serta menjadi anggota bidang eksternal periode 2013-2014.

Sebagai bentuk pengabdian mahasiswa kepada masyarakat penulis telah

mengikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) yang merupakan mata kuliah wajib untuk

strata satu di Nabang Baru Kecamatan Marga Tiga Kabupaten Lampung Timur,

yang dilaksanakan pada tanggal 23 Januari 2014 sampai 3 Maret 2014. Selain itu,

pada pertengahan tahun 2014 penulis juga melaksanakan Kerja Praktik (KP) di

(8)

MOTO

“ Kesabaran itu tidak terbatas, karena ia adalah Tuhan. Yang

terbatas adalah kesabaranmu. Dan kesabaranmu habis, saat engkau

berhenti bersabar.”

(Mario Teguh)

“ Is this what you call love? With it, it’s a burden, but without it,

you’re lonely ”.

(9)

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang

Maha Esa

Kupersembahkan karya kecilku ini untuk:

Papa, Mama, Kakak dan adikku tercinta yang menjadi sosok

motivasiku setiap saat, memberikan dukungan, semangat

tanpa henti, serta cinta kasih mereka selama ini. I love you

so much my family

Keluarga besarku tercinta yang selalu memberikan

semangat dan dukungan

Dosen Pembimbing dan Penguji yang berjasa,

Seluruh sahabat – sahabatku dan Almamaterku Universitas

(10)

SANWACANA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat

dan karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan

Skripsi dengan judul “ Penentuan Banyaknya Graf Terhubung Berlabel Tanpa

Loop “ disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

(S.Si.) di Universitas Lampung.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya

kepada :

1. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku dosen Pembimbing I, yang telah

bersedia memberi saran, waktu, kesabaran, bimbingan dan arahan dalam

menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. selaku Pembimbing II, yang telah

memberikan pengarahan dan saran selama penyusunan skripsi.

3. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si. selaku Dosen Penguji, atas kesediannya

untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang membangun dalam

proses penyelesaian skripsi.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc. Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika

(11)

5. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si., selaku pembimbing akademik yang

telah memberikan bimbingan selama perkuliahan.

6. Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Matematika.

7. Papa, Mama , Mbak Ika dan Teddy yang selalu memberikan dukungan

baik moril maupun materi dalam menyelesaikan skripsi ini.

8. Sahabat-sahabatku Sabrina, Yeni, Wesly, Nafisah, Winda, Anis dan

Yunita yang selalu memberikan motivasi dan dukungan dalam

menyelesaikan skripsi.

9. Sahabat-sahabatku 2011 yang tidak bisa disebutkan satu persatu terima

kasih banyak atas semangatnya.

10. Semua pihak yang telah membantu selama ini yang tidak dapat penulis

sebutkan satu persatu.

11.Almamaterku Universitas Lampung.

Penulis menyadari banyak kekurangan dalam skripsi ini, sehingga kritik dan saran

yang membangun sangat penulis harapkan. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat

memberikan manfaat bagi pembaca umumnya dan penulis khususnya.

Bandar Lampung, Februari 2015

Penulis

(12)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ... xii

DAFTAR TABEL ... xiv

DAFTAR GAMBAR ...xv

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Batasan Masalah ... 3

1.3 Tujuan Penelitian ... 3

1.4 Manfaat Penelitian ... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Teori Graf ... 5

2.1.1 Graf ... 5

2.1.2 Loop, Garis Paralel, Graf Sederhana... 6

2.1.3 Walk dan Lintasan (Path) ... 6

2.1.4 Graf Terhubung ... 7

2.2 Konsep Dasar Teknik Pencacahan ...7

2.2.1 Permutasi dan Kombinasi ... 7

2.2.2 Koefisien Binomial ... 8

(13)

xiii BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Teorema Penghitungan Graf ... 10

3.2Waktu dan Tempat Penelitian ... 10

3.3 Metode Penelitian... 11

3.4 Notasi Graf ... 11

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Observasi ... 13

4.1.1 Observasi untuk n= 5 dan m= 4 ... 13

4.1.5 Observasi untuk n= 5 dan m=8 ... 27

BAB V SIMPULAN 5.1 Simpulan ... 45

5.2 Saran ... 47

(14)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1. Jumlah graf terhubung berlabel tanpa loop

(15)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1. (a) Jembatan Konigsberg dan (b) graf yang mempresentasikan

jembatan Konigsberg ...2

Gambar 2. Contoh salah satu graf dengan 3 titik dan 5 garis ...5

Gambar 3. Contoh graf dengan loop dan garis paralel ...6

Gambar 4. Contoh graf sederhana ...6

Gambar 5. Contoh walk dari graf G adalah (v0e1 v1e5 v2e4v0e3 v3e8 v4) sedangkan contoh path dari graf G adalah (v0e1 v1e5v2e6v3e8v4) ...7

Gambar 6. Contoh Graf Terhubung ...7

Gambar 7. Pola 1 graf terhubung tanpa loop dengan m= 4 ...13

Gambar 8. Contoh pola 1 untuk n= 5,m= 4 yang isomorfis ...14

Gambar 17. Contoh Pola 3 dengan n= 5,m= 5 yang isomorfis ...18

Gambar 19. Contoh Pola 4 dengan n= 5, m=5 yang isomorfis ...18

Gambar 21. Contoh Pola 5 dengan n= 5, m= 5 yang isomorfis ...19

Gambar 22. Pola graf dengan m= 4 dengan satu garis paralel ...20

(16)

xvi

Gambar 29. Pola-pola graf dengan m= 4 dan m= 5 dan terdapat satu sisi yang

memuat garis paralel...23

Gambar 30. Pola graf dengan m= 4 dengan dua sisi yang memuat garis paralel ...24

Gambar 32. Pola-pola graf dengan m= 4, m= 5, dan m= 6 dan ada satu sisi yang memuat garis paralel ...25

Gambar 33. Pola-pola graf dengan m= 4 dan m= 5 dan ada dua sisi yang memuat garis paralel ...26

Gambar 34. Pola graf dengan m= 4 dan ada tiga sisi yang memuat garis paralel ...27

Gambar 36. Contoh Pola 1 dengan n=5, m= 8 yang isomorfis ...28

Gambar 39. Pola-pola graf dengan m= 4, m= 5, m= 6, dan m= 7 dan terdapat satu sisi yang memuat garis paralel ...29

Gambar 40. Pola-pola graf dengan m= 4, m= 5, dan m= 6 dan terdapat dua sisi yang memuat garis paralel ...30

Gambar 41. Pola-pola graf dengan m= 4, dan m= 5 dan terdapat tiga sisi yang memuat garis paralel ...31

Gambar 42. Pola graf dengan m= 4 dan terdapat empat sisi yang memuat garis paralel ...31

Gambar 45. Pola-pola graf dengan m= 4, m= 5, m= 6, m= 7, dan m= 8 dan terdapat satu sisi yang memuat garis paralel ...34

Gambar 46. Pola-pola graf dengan m= 4, m= 5, m= 6, dan m= 7 dan terdapat dua sisi yang memuat garis paralel ...35

Gambar 47. Pola-pola graf dengan m= 4, m= 5, dan m= 6 dan terdapat tiga sisi yang memuat garis paralel ...36

Gambar 48. Pola-pola graf dengan m= 4 dan m= 5 dan terdapat empat sisi yang memuat garis paralel ...36

Gambar 50. Pola-pola graf dengan m= 4, m= 5, m= 6, m= 7, m= 8, dan m= 9 dan terdapat satu sisi yang memuat garis paralel ...38

Gambar 51. Pola-pola graf dengan m= 4, m= 5, m=6, m = 7 dan m= 8 dan terdapat dua sisi yang memuat garis paralel ...39

Gambar 52. Pola-pola graf dengan m= 4, m= 5, m= 6, dan m= 7 dan terdapat tiga sisi yang memuat garis paralel ...41

Gambar 53. Pola-pola graf dengan m= 4, m= 5, dan m= 6 dan terdapat empat sisi yang memuat garis paralel ...42

(17)

1

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Teori graf merupakan cabang dari matematika yang mempelajari tentang

objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek-objek-objek tersebut. Representasi dari graf

adalah dengan menyatakan objek sebagai titik atau vertex dan hubungan antara

objek dinyatakan dengan garis atau edge.

Sejarah teori graf berawal pada abad ke-18 dari masalah jembatan Konigsberg

yang melalui sungai Pregel di Kaliningrat, Rusia dan diselesaikan oleh Leonhard

Euler. Terdapat tujuh jembatan yang menghubungkan empat daratan yang di

belah oleh sungai Pregel. Permasalahannya adalah menentukan apakah mungkin

melakukan perjalanan yang dimulai dari satu daratan dan melalui setiap jembatan

tersebut hanya satu kali serta kembali ketempat semula. Pada tahun 1736

Leonhard Euler membuktikan masalah jembatan Konigsberg dengan memodelkan

masalah tersebut kedalam bentuk graf dan ia berhasil memecahkan masalah

tersebut bahwa tidak mungkin dapat melewati jembatan tersebut tepat satu kali

jika derajat tiap titik jumlahnya tidak genap, sehingga model graf tersebut saat ini

(18)

2

Gambar 1. (a) Jembatan Konigsberg dan (b) graf yang mempresentasikan

jembatan Konigsberg

Daya tarik teori graf adalah penerapannya yang sangat luas, mulai dari ilmu

komputer, kimia, fisika, biologi, sosiologi, teknik kelistrikan, ekonomi,

manajemen, pemasaran, hingga pemecahan teka-teki dan permainan asah otak.

Suatu graf G (V, E) dikatakan terhubung jika terdapat satu path antara sebarang

dua titik di G. Graf terhubung dapat memuat loop dan dapat pula tidak memuat

loop. Loop adalah suatu garis dalam suatu graf yang mempunyai titik awal dan

titik akhir yang sama.

Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa

graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan

bilangan asli yang disebut label. Graf berlabel adalah graf yang titik atau garisnya

memiliki label. Jika pelabelannya adalah titik, maka pelabelan disebut dengan

pelabelan titik, jika pelabelannya adalah garis maka pelabelannya disebut

pelabelan garis. Jika pelabelannya adalah titik dan garis maka pelabelannya

disebut dengan pelabelan titik dan garis atau pelabelan total (Valdya dan Kanani,

2010).

A

C

B

D

(19)

3

Selanjutnya dari penelitian Handayani (2014) diperoleh rumus untuk menentukan

banyaknya graf terhubung berlabel tanpa loop. Jika diberi n titik, m garis dan x

adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik (sisi rangkap dihitung satu), y

adalah banyaknya partisi dari E selain partisi dengan kardinalitas terkecil, z adalah

banyaknya jumlah graf tidak terhubung berlabel serta k adalah banyaknya partisi

dari E selain partisi dengan kardinalitas terkecil yang sama. Untuk n = 3 atau 4

dan banyaknya garis 2 m 10 banyaknya graf terhubung tanpa loop adalah

{ } dan banyaknya graf terhubung tanpa loop untuk graf dengan

kardinalitas yang sama

(m) – z) = { }.

Pada penelitian ini, penulis tertarik untuk meneliti banyaknya graf terhubung

berlabel tanpa loop jika n = 5.

1.2Batasan Masalah

Dalam penelitian ini pembahasan dibatasi hanya untuk graf terhubung dengan

titiknya berlabel dengan n=5 serta 4 m 10.

1.3Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menentukan banyaknya graf terhubung

berlabel tanpa loop jika diberikan n titik dan m garis, yaitu:

1. Mengetahui pola dalam menghitung graf jika diberikan n titik dan m garis.

2. Dapat diketahui banyaknya graf yang terbentuk jika diberikan n titik dan

(20)

4

1.4Manfaat Penelitian

Adapun manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah:

1. Memperluas pengetahuan pengembangan keilmuan khususnya dalam

bidang ilmu matematika mengenai perkembangan dari teori graf, yaitu

tentang graf terhubung.

2. Sebagai rujukan atau sumber referensi bagi pembaca untuk penelitian

selanjutnya dan dapat memberikan motivasi dalam mempelajari dan

(21)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, istilah-istilah yang berhubungan

dengan materi yang akan dihasilkan pada penelitian ini.

2.1 Konsep Dasar Teori Graf

2.1.1 Graf

Graf G merupakan struktur (V, E) dengan V (G) himpunan tak kosong dengan

elemen – elemennya disebut titik sedangkan E (G) (mungkin kosong) adalah

himpunan pasangan tak terurut dari elemen – elemen di V (G) yang anggotanya

disebut garis (Deo, 1989).

Gambar 2.Contoh salah satu graf dengan 3 titik dan 5 garis

Suatu garis dikatakan incident (menempel) dengan titik u jika titik u merupakan

(22)

6

satu sama lain jika kedua titik tersebut dihubungkan oleh garis yang sama dan

dinotasikan dengan (u, v) (Deo, 1989).

2.1.2 Loop, Garis Paralel, Graf Sederhana

Loop adalah garis yang titik awal dan ujungnya sama. Garis paralel adalah garis

yang titik-titik ujungnya sama, dan graf sederhana adalah suatu graf tanpa loop

atau garis paralel (Deo, 1989).

Gambar 3. Contoh graf dengan loop dan garis paralel

Gambar 4. Contoh graf sederhana

2.1.3 Walk dan Lintasan (Path)

Walk adalah barisan berhingga dari titik (vertex) dan garis (edge), dimulai dan

diakhiri dengan vertex, sedemikian sehingga setiap edge menempel dengan vertex

sebelum dan sesudahnya. Tidak ada edge yang muncul lebih dari sekali dalam

satu walk. Sedangkan lintasan (path) merupakan walk yang semua vertexnya

(23)

7

tidak maka G tidak terhubung (Munir, 2010).

Gambar 6. Contoh Graf Terhubung

2.2 Konsep Dasar Teknik Pencacahan 2.2.1 Permutasi dan Kombinasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang

dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan objek yang diambil dari sekelompok

objek yang tersedia. Dalam permutasi, perulangan tidak diperbolehkan, artinya

objek yang sudah dipilih tidak bisa dipilih kembali. Permutasi r objek dan n objek

dapat dihitung dengan cara:

(24)

8

P (n, r) =

(Siang, 2006).

Tidak hanya permutasi, kombinasi juga merupakan teknik pencacahan yang sering

digunakan.

Kombinasi r elemen dari n elemen adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r

elemen yang diambil dari n elemen n r (Munir, 2005).

Misalkan himpunan S memiliki | | = n elemen. Banyaknya himpunan bagian S

yang terdiri dari r (r n) disebut kombinasi n objek yang diambil sebanyak r

objek sekaligus. Simbolnya adalah atau C (n, r) atau nCr. Rumus kombinasi

adalah sebagai berikut:

=

(Siang, 2006).

2.2.2 Koefisien Binomial

Simbol atau (dibaca “n kombinasi r”), dengan r dan n adalah bilangan

bulat positif dengan r n, didefinisikan sebagai berikut:

=

(25)

9

2.2.3 Teorema Binomial

Misalkan x dan y adalah bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak negatif,

maka:

(x + y )n= ∑ xn – k yk

= xn + xn – 1y+ xn – 2y2+ ... + xyn – 1 + yn

(26)

BAB III

METODE PENELITIAN

Pada bab ini akan diberikan teorema yang berhubungan dengan penelitian, tempat

dan waktu penelitian serta metode penelitian yang digunakan.

3.1 Teorema Perhitungan Graf

Diberikan m, n dengan , m,n N

1. Graf gn merupakan graf sederhana dengan n titik. Banyaknya graf gn adalah:

gn =

2. Graf gn(m) merupakan graf sederhana dengan n titik dan m garis.

Banyaknya graf gn(m) adalah:

gn(m) =

(Agreusson dan Raymon, 2007)

3.2 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini telah dilakukan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas

(27)

11

3.3 Metode Penelitian

Langkah - langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Mengumpulkan bahan literatur serta studi kepustakaan yang berhubungan

dengan graf.

2. Menentukan banyaknya titik dan garis yang akan dicari banyaknya graf

yang terbentuk dari titik dan garis tersebut.

3. Menggambar graf terhubung tanpa loop untuk n= 5 dengan 4

dengan n adalah titik dan m adalah garis .

4. Mengkelompokkan graf terhubung untuk n titik dan m garis yang sama.

5. Menghitung jumlah graf terhubung untuk setiap n titik dan m garis.

6. Melihat pola banyaknya graf yang terbentuk.

7. Menarik kesimpulan.

3.4 Notasi Graf

Untuk graf dalam penelitian ini, diberikan graf dengan n= 5 dan 4 .

Notasikan | | , | | dan partisi E menjadi, , , ,...,

sehingga ... = E, dengan| | , | | ,

(28)

12

Notasikan:

Gn; m sebagai graf dengan n titik, m garis.

Gn ; m1, m2, ... , mj sebagai banyaknya graf dengan n titik dan m garis dengan m1

+ m2 + m3 + ... + mj = m. 1 menyatakan adanya garis paralel dengan i= 1, 2,

3,..., j.

Sebagai contoh:

a) G5; 1, 1, 1, 1, 1. m1= m2= m3= m4= m5= 1. Berarti G5; 1, 1, 1, 1, 1 adalah graf

terhubung berlabel dengan 5 titik dan 5 garis dan tidak memuat garis

paralel.

b) G5; 2, 1, 1, 1 . m1=2, m2= m3= m4= 1. Berarti G5; 2, 1, 1, 1 adalah graf terhubung

berlabel dengan 5 titik dan 5 garis serta ada satu garis paralel.

c) G5; 3,1,1,1. m1=3, m2= m3= m4= 1. Berarti G5; 3,1,1,1 adalah graf terhubung

berlabel dengan 5 titik dan 6 garis dan ada tiga garis paralel yang

menempel pada dua titik yang sama.

d) G5;2,2,1,1 . m1= m2= 2, m3= m4= 1. Berarti G5;2,2,1,1 adalah graf dengan 5 titik

dan 6 garis dan ada dua sisi yang berbeda yang mempunyai garis paralel

sebanyak satu.

Catatan:

(29)

BAB V SIMPULAN

5.1 Simpulan

Berdasarkan observsi dan konstruksi graf terhubung berlabel tanpa loop, maka

dapat diambil kesimpulan seperti tertera pada Tabel 1.

(30)

(31)

47

Berdasarkan pada penelitian yang diangkat oleh penulis mengenai penentuan

banyaknya graf terhubung berlabel tanpa loop dengan n= 5 dan 4 ,

(32)

48

menentukan banyaknya graf terhubung berlabel tanpa loop untuk m= 6 dan

(33)

DAFTAR PUSTAKA

Agreusson, G and Raymon, D. G. 2007. Graph Theory Modeling, Applications,

and Algorithms. Pearson/ Prentice Education Inc. New Jersey.

Deo, N. 1989. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer

Science. Prentice Hall Inc, New York.

Handayani, T. 2014. Penentuan Banyaknya Graf Terhubung Tanpa Loop. Skripsi.

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung, Bandar Lampung.

Siang,J.J. 2006. Matematika Diskrit Pada Ilmu Komputer edisi ketiga.

ANDI,Yogyakarta.

Munir, R. 2010. Matematika Diskrit Revisi Keempat. Informatika Bandung,

Bandung.

Valdya, S. K. dan Kanani K. Some New Results on Cordial Labeling in the

Contest of Arditrary Supersubdivision of Graph, Applied Matematical