PERSAMAAN TUNGGAL SEBAGAI REPRESENTASI KURVA
KOMPOSIT
ARINA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ABSTRACT
ARINA. Single Equation Representation of a Composite Curve. Under supervision of NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA and FARIDA HANUM.
A mathematical method is introduced to represent a composite curve based on an extension of analytic geometry. The representation is given either with a single equation or with two equations, in the case of parametric representation. This method permits the representation of composite curves in similar manner to the conventional representation of non-composite curves. Some mathematical tools, including Heavisideunit step function and periodizerfunction, are used in the establishment of a single equation. In this paper, regular equations of regular and irregular polygon, as well as composite curves of two dimensions, are implemented using a computer algebraic system, Mathematica.
ABSTRAK
ARINA. Persamaan Tunggal sebagai Representasi Kurva Komposit. Dibimbing oleh NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA dan FARIDA HANUM.
Sebuah metode diperkenalkan berdasarkan pada pengembangan analisis geometri untuk merepresentasikan kurva komposit dengan menggunakan persamaan tunggal atau dua persamaan dalam kasus representasi parametrik. Skema ini memungkinkan representasi kurva komposit dalam cara yang mirip dengan cara konvensional yang digunakan untuk representasi non-komposit kurva. Beberapa perangkat matematika, yaitu fungsi tangga satuan Heavisidedan fungsi periodizer
digunakan dalam pembentukan persamaan tunggal. Pada karya ilmiah ini, persamaan poligon teratur, poligon tak teratur, dan kurva komposit dua dimensi yang ditetapkan.
PERSAMAAN TUNGGAL SEBAGAI REPRESENTASI KURVA
KOMPOSIT
ARINA
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi
: Persamaan Tunggal sebagai Representasi Kurva Komposit
Nama
: Arina
NIM
: G54070076
Menyetujui
Pembimbing I
Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc.
NIP. 19640823 198903 1 001
Pembimbing II
Dra. Farida Hanum, M.Si.
NIP. 19651019 199103 2 002
Tanggal Lulus : ...
Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari dukungan doa, moril dan materiil dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih kepada :
1 Keluarga penulis, Ayah, Ibu dan adik-adik (Sandy Permana, Oktavia Lestari, dan Ilham Tridarma Muhammad) beserta keluarga besar Tanu Wijaya (Alm) dan Baenari (Alm) atas doa dan dukungan tiada henti yang diberikan sejak penulis menimba ilmu di IPB,
2 Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. dan Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing atas waktu dan bimbingannya selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini,
3 Ir. Retno Budiarti, MS. selaku moderator seminar dan penguji sidang tugas akhir,
4 Dr. Enrique Chicurel Uziel selaku penulis pustaka utama karya ilmiah ini yang telah membantu penulis memperkaya materi karya ilmiah,
5 seluruh dosen TPB dan Departemen Matematika FMIPA IPB atas ilmu dan pengalaman berharga yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di IPB,
6 seluruh staf/pegawai Departemen Matematika IPB yang telah membantu memperlancar kelengkapan administrasi dan membantu kelengkapan bahan karya ilmiah ini,
7 pengurus BEM KM Kabinet IPB Bersahabat, BEM FMIPA Kabinet Totalitas Kebangkitan dan BEM FMIPA Kabinet Ksatria Pembaharu atas doa dan motivasinya,
8 mahasiswa Departemen Matematika Angkatan 44 atas dukungan semangat dan pengalamannya,
9 para penghuni kos Bunda atas semangat dan keramaiannya,
10 petugas perpustakaan FMIPA dan IPB yang telah membantu penulis mencari referensi karya ilmiah ini,
11 seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari karya ilmiah ini belum sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun dibutuhkan dari para pembaca. Akhir kata, semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan dapat menginspirasi kita semua khususnya untuk kemajuan ilmu Matematika.
Bogor, Juni 2012
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di kota Bogor pada tanggal 7 April 1989 sebagai anak pertama dari empat bersaudara, dari pasangan Ujang Somantri dan Tina Susanti. Pada tahun 2001, penulis lulus dari SD Mardi Yuana II Kota Bogor. Pada tahun 2004, penulis lulus dari SMP Mardi Waluya Kota Bogor. Pada tahun 2007, penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kota Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada beberapa lembaga kemahasiswaan IPB dan kepanitiaan, di antaranya:
pengurus dewan asrama putri Rusunawa IPB sebagai ketua lorong 5B periode 2007/2008,
anggota Badan Pengawas Gumatika periode 2008/2009 dan 2009/2010,
staf Departemen Sains dan Teknologi BEM FMIPA IPB periode 2009,
ketua Departemen Sains dan Teknologi BEM FMIPA IPB periode 2010,
sekretaris kabinet BEM Keluarga Mahasiswa IPB periode 2011,
tim pembina pada Pesta Petani Muda (Pestani) 2011 tingkat Jawa Barat dan Banten,
tim kesekretariatan Masa Pengenalan Kampus dan Mahasiswa Baru 2008 angkatan 45,
tim acara Masa Perkenalan Fakultas MIPA 2009 angkatan 45,
tim acara Pesta Sains Nasional 2009,
tim pelaksana Pendidikan dan Pelatihan (Diklat) Ketua Lembaga Kemahasiswaan IPB periode 2011/2012.
vii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR TABEL ... viii
DAFTAR LAMPIRAN... ix
1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang... 1
1.2 Tujuan ... 1
2 LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Sesepenggal (Piecewise Function) ... 1
2.2 Fungsi Tangga Satuan Heaviside(H) ... 1
2.3 Bangun Segi Banyak (Poligon) ... 2
2.4 Persamaan Parametrik Poligon Tak Teratur... 2
2.5 Sistem Koordinat Cartesius ... 2
2.6 Sistem Koordinat Kutub... 3
2.7 Fungsi Periodizer ... 3
2.7.1 Deret Fourierpada Gelombang Sawtooth ... 3
2.7.2 Fungsi Periodizer Kutub ... 4
3 HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Fungsi Tangga Satuan Heaviside ... 5
3.2 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada Selang Tertentu ... 6
3.2.1 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [a1,an) ... 6
3.2.2 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada (a1,an] ... 7
3.2.3 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [a1,an] ... 7
3.2.4 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada (a1,an) ... 7
3.3 Persamaan Tunggal Kurva Komposit ... 8
3.4 Kurva Poligon Tak Teratur ... 10
3.5 Kurva Poligon Teratur ... 12
4 KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan ... 15
4.2 Saran ... 15
DAFTAR PUSTAKA ... 15
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Fungsi tangga satuan Heaviside �( ) ... 1
2 Fungsi tangga satuan Heaviside �( , ) ... 2
3 Poligon teratur dengan : (a) n = 3 (trigon), b) n = 5 (Pentagon), c) n = 8 (Oktagon) ... 2
4 Sistem koordinat Cartesius ... 3
5 Sistem koordinat polar (kutub) ... 3
6 Fungsi periodizer Cartesius � dengan periode T ... 3
7 Kurva fungsi = ... 4
8 Kurva fungsi periodizer f dengan periode (T) (a) T = 1, (b) T = 2, (c) T = 3 ... 4
9 Kurva fungsi periodizer kutub � �, 5,0 , 0 � 2�... 5
10 Kurva � =�, 0 � � 2 ... 5
11 Kurva fungsi periodizer kutub f dengan: (a) N = 4 dan �0= 0 rad, (b) N = 5 dan �0=� 4 rad ... 5
12 Fungsi tangga satuan Heaviside �1 dan �2 dalam koordinat Cartesius ... 6
13 Fungsi tangga satuan Heaviside �1 dan �2 dalam koordinat kutub ... 6
14 Kurva fungsi sesepenggal ... 9
15 Kurva fungsi sesepenggal ... 10
16 Kurva pentagon tak teratur ... 12
17 Kurva poligon teratur ... 12
18 Sisi poligon pada kuadran I ... 12
19 Poligon teratur (Contoh 4) dengan banyaknya sisi (N): (a). N = 4 (tetragon), (b). N = 5 (pentagon), (c). N = 9 (nonagon/enneagon) ... 13
20 Heksagon (Contoh 5) dengan pusat: (a). (1,2), (b). (−2,2), (c). (0,7) ... 14
21 Pentagon (Contoh 6) dengan sudut putaran: (a). 0, (b). /4, (c) /2 ... 14
DAFTAR TABEL
1 Tabel pengali fungsi f pada selang tertentu ... 82 Tabel pengali fungsi pada (25) ... 9
ix
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Pembentukan Fungsi Periodizer ... 17
2 Program Mathematica ... 19
3 Perhitungan Solusi Contoh 3 ... 26
I PENDAHULUAN
1.1 Latar BelakangDalam beberapa dekade terakhir suatu disiplin ilmu baru yang dikenal sebagai Geometri Komputasi telah muncul, yang antara lain berhubungan dengan titik temu antar fungsi, garis, dan poligon. Geometri komputasi telah diterapkan terutama pada komputer grafik, robotika, dan geometri jalan. Geometri komputasi memiliki potensi besar untuk dikembangkan, namun penggunaannya membutuhkan pengetahuan dasar dari disiplin ilmu komputasi, khususnya algoritme dan pemrograman.
Pada tahun 2004, Chicurel-Uziel memublikasikan tulisan yang berjudul “Single Equation without Inequalities to Represent a Composite Curve”. Pada tulisan tersebut,
Chicurel-Uziel memperkenalkan fungsi tangga satuan Heaviside dan fungsi periodizer
untuk membentuk sebuah persamaan tunggal dari fungsi sesepenggal dan mengaplikasikannya dalam persamaan sproket (sebuah objek yang terdiri dari bagian rol, kontur gigi, dan hub). Karya ilmiah ini menyajikan kembali tulisan Chicurel-Uziel
tersebut dengan fokus utama pada perangkat fungsi tangga satuan Heaviside dan fungsi
periodizer dan pengaplikasiannya pada kurva komposit umum dan poligon.
Prosedur penyajian karya ilmiah ini mengacu pada penggambaran ruas garis terbatas, poligon, dan gabungan kurva, dengan melibatkan titik temu antarfungsi dalam kurva, tetapi dengan cara yang berbeda, yaitu pengembangan analisis geometri yang memanfaatkan fungsi aljabar dan transenden, sehingga penerapannya memerlukan sedikit pengetahuan atau bahkan tidak memerlukan algoritme dan pemrograman.
1.2 Tujuan
Tujuan karya ilmiah ini ialah:
1 membentuk persamaan tunggal untuk merepresentasikan kurva komposit, 2 mengaplikasikan persamaan tunggal dalam
kurva poligon tak teratur dan kurva komposit sederhana,
3 membentuk persamaan tunggal kurva poligon teratur.
II LANDASAN TEORI
2.1
Fungsi Sesepenggal (PiecewiseFunction)
Grafik fungsi umumnya digambarkan dengan fungsi tunggal pada daerah asal fungsi. Namun, terdapat beberapa fungsi yang terdiri dari definisi fungsi yang berbeda pada daerah asal yang berbeda pula. Perhatikan fungsi berikut:
= =
− , jika < 0
2, jika 0 1
1, jika > 1
(1)
Fungsi di atas adalah suatu fungsi sesepenggal dalam variabel x, dengan daerah asal −∞< <∞, dan terdiri dari tiga definisi fungsi:
1 =− , untuk < 0;
2 = 2, untuk 0 1;
3 = 1, untuk > 1;
(Thomas & Finney 1990)
2.2 Fungsi Tangga Satuan Heaviside(H)
Fungsi tangga satuan Heaviside adalah fungsi sesepenggal yang bernilai nol untuk argumen negatif dan satu untuk argumen positif.
� = 0, < 0
1, > 0 (2)
Gambar 1 Fungsi tangga satuan Heaviside �( ).
(Abramowitz & Stegun 1972)
Secara umum, fungsi tangga satuan Heaviside dalam variabel x dengan konstanta
a dapat dituliskan:
x
0
H(x)
� , = 0, <
1, > ℝ (3)
Fungsi tangga satuan Heaviside (3) dapat diinterpretasikan sebagai kondisi menekan tombol switch on dari suatu alat elektronik pada waktu x = a. Saat x < a fungsi tersebut bernilai nol yang merepresentasikan kondisi alat belum dinyalakan, dan saat x > a fungsi bernilai satu yang merepresentasikan kondisi alat sudah menyala.
(Chicurel-Uziel 2004)
Gambar 2 Fungsi tangga satuan Heaviside
� , .
2.3 Bangun Segi Banyak (Poligon)
Poligon didefinisikan sebagai objek geometri yang terdiri atas sejumlah titik (disebut verteks) dan ruas garis (disebut sisi) dalam jumlah yang sama, dengan rangkaian melingkar tanpa tiga titik yang kolinear (segaris) berturut-turut, dan ruas garis menghubungkan pasangan titik-titik tersebut berurutan. Dengan kata lain, poligon adalah kurva tertutup pada bidang datar yang terdiri dari rangkaian garis terputus-putus.
(Coxeter & Greitzer 1967)
Poligon dengan n verteks (dan n sisi) dikenal sebagai n-gon. Sebuah poligon dengan panjang sisi dan besar sudut yang sama disebut poligon teratur (regular polygon). Sebaliknya, poligon dengan panjang sisi atau besar sudut berbeda disebut poligon tak teratur (irregular polygon).
(a) (b) (c) Gambar 3 Poligon teratur dengan:
a) n = 3 (trigon), b) n = 5 (pentagon), c) n = 8 (oktagon).
2.4 Persamaan Parametrik Poligon Tak Teratur
Sebuah poligon terdiri dari verteks 0 0, 0 , 1 1, 1 , 2 2, 2 ,… , � �, � . Karena poligon adalah kurva tertutup maka � = 0, 0= �, dan 0= �. Diketahui pula si adalah kumulatif panjang sisi poligon diukur dari titik P0sampai Pi melalui verteks
P0 ,P1 ,P2, ... ,Pi-1. Persamaan si dapat dituliskan sebagai berikut:
= − −1 2+ − −1 2
=1
= 1,2,… ,� (4)
dengan 0= 0 dan �= keliling sisi poligon.
Simbol subskrip ganda , +1 dan , +1 berikut merupakan variabel tak bebas yang menyatakan persamaan parametrik segmen garis +1 dengan variabel bebas s:
, +1
( ) =
+1−+1−
+
+1− +1+1− (5)
, +1
( ) =
+1−+1−
+
+1− +1
+1− (6)
= 0,1,2,… ,� −1
dengan :
xi = koordinat x pada verteks ke-i,
yi = koordinat y pada verteks ke-i,
s = variabel bebas yang menyatakan jarak,
si = persamaan panjang sisi poligon dari verteks awal (P0) ke verteks ke-i (Pi).
Persamaan parametrik (5) dan (6) merepresentasikan persamaan parametrik sebuah lintasan melingkar tertutup yang terdiri dari rangkaian garis linear terputus-putus melewati titik-titik 0 0, 0 , 1 1, 1 ,
2 2, 2 ,… , � �, � .
(Chicurel-Uziel 2004)
2.5 Sistem Koordinat Cartesius
Setiap titik pada bidang dapat ditentukan lokasinya oleh pasangan terurut bilangan sebagai berikut. Tarik garis melalui P tegak lurus terhadap sumbu-x dan sumbu-y. Garis-garis ini memotong sumbu di titik dengan koordinat a dan b sebagaimana diperlihatkan dalam Gambar 4. Bilangan pertama a disebut
x
0 1
a
koordinat-x (atau absis) dan bilangan kedua b
disebut koordinat-y (atau ordinat) dari P.
Gambar 4 Sistem koordinat Cartesius.
Sistem koordinat ini disebut sistem koordinat persegi panjang atau sistem koordinat Cartesius untuk mengenang matematikawan Perancis Rene Descartes (1596-1650).
(Stewart 1999)
2.6 Sistem Koordinat Kutub
Koordinat kutub:
Gambar 5 Sistem koordinat polar (kutub).
Seperti dalam trigonometri, sudut � bernilai positif jika diukur berlawanan arah jarum jam dan bernilai negatif jika diukur searah jarum jam. Besar sudut � dipengaruhi oleh nilai r
yang diberikan.
Relasi antara koordinat Cartesius ( , ) dan kutub ,� adalah:
= cos�, = sin�,
atau (7)
2+ 2= 2, = tan�.
(Thomas & Finney 1990)
2.7 Fungsi Periodizer
Fungsi periodizer yang dikemukakan pada karya ilmiah ini adalah sebuah fungsi sesepenggal-linear yang diperoleh dari fungsi gelombang sawtooth dengan mendefinisikan T
sebagai periode fungsi.
Fungsi periodizer Cartesius:
� =�
2−
�
�arctan cot
� �
Jika dalam definisi fungsi dalam variabel t,
t diganti dengan fungsi periodizer (pc), maka akan dihasilkan fungsi berulang tak terbatas pada interval awal 0 t T dan seterusnya.
(Chicurel-Uziel 2000)
Gambar 6 Fungsi periodizer Cartesius � dengan periode T.
Dengan penurunan aljabar, fungsi periodizer
Cartesius dapat dituliskan pula sebagai berikut: � =� 2− � � 1 �sin 2�� � ∞ �=1 . (8)
Persamaan (8) dibentuk dari deret Fourier pada fungsi gelombang sawtooth. Prosedur pembentukannyadapat dilihat di Lampiran 1.
2.7.1 Deret Fourier pada Gelombang
Sawtooth
Fungsi periodik gelombang sawtooth
merupakan pengembangan dari deret Fourier.
Deret Fourier merupakan sebuah deret yang mengubah fungsi periodik atau sinyal periodik ke dalam sejumlah fungsi osilasi sederhana.
Dalam sebuah proses yang dikenal dengan analisis harmonik, beberapa fungsi periodik dengan periode P dapat direpresentasikan sebagai deret Fourier (pertama kali diperkenalkan oleh Jean Baptiste Joseph Fourier seorang Matematikawan Perancis). Deret Fourier � dapat dinyatakan sebagai berikut:
x y
b
a P(a,b)
1 1
2 3 2 4 O −1 −2 P ( ,�)
Jarak dari O ke P Sudut dari sinar awal
ke
� = 0
2 + cos
2 �
∞
=1
+ sin 2�
(9)
dengan dan adalah koefisien yang dihitung dengan formulasi sebagai berikut:
0= 2
� 0
,
=2 � cos 2 � ,
0
= 0,1,2,…
=2 � sin 2� ,
0
= 1,2,3,…
(10)
P = periode fungsi,
� ( ) = fungsi bilangan real dengan
variabel bebas t (menyatakan waktu).
(Spanier & Oldham 1987)
Akan diberikan ilustrasi dan contoh fungsi
periodizer Cartesius.
Grafik fungsi = pada [0,10], ditampilkan sebagai berikut:
Gambar 7 Kurva = .
Fungsi periodizer untuk f dituliskan sebagai berikut: (� ) =� 2− � � 1
sin 2 �
�
∞
=1
,
= 1,2,…
diperoleh dengan menyubstitusi variabel bebas x pada = dengan fungsi
periodizer� .
Kurva fungsi periodizer dengan beberapa nilai T ditampilkan sebagai berikut:
(a)
(b)
(c)
Gambar 8 Kurva fungsi periodizerf dengan periode (T):
(a) T = 1, (b) T = 2, (c) T = 3.
2.7.2 Fungsi Periodizer Kutub
Fungsi periodizer kutub diperoleh dari fungsi periodizer Cartesius, yaitu dengan mengubah variabel bebas x menjadi (-0)
dan periode T menjadi 2/N.
� �, ,�0 =
�
−2arctan cot (� − �0) 2
Fungsi periodizer kutub dari sebuah fungsi
f dalam variabel diperoleh dengan mengubah variabel bebas menjadi fungsi
periodizer �. Fungsi dengan variabel tak bebas p terdiri dari segmen awal () pada [0,T] berulang N kali pada [0,2]. Fungsi
(� �, ,�0 ) identik dengan (� �, , 0 ), kecuali sudut awal (�0) fungsi (� �, ,�0 ) diputar rad berlawanan arah dengan jarum jam.
(Chicurel-Uziel 2004)
2 4 6 8 10 x
2 4 6 8 10 y
2 4 6 8 10
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2 4 6 8 10
0.5 1.0 1.5 2.0
2 4 6 8 10
Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai:
� �, ,�0 =�−
2 1
�sin �� − �0
∞
�=1
.
(11)
Gambar 9 Kurva fungsi periodizer kutub � �, 5, 0 , 0 � 2�.
Ilustrasi dengan contoh:
Grafik fungsi � =�, 0 /2, ditampilkan sebagai berikut:
Gambar 10 Kurva � =�, 0 /2.
Fungsi periodizer untuk dituliskan sebagai berikut:
� �, ,�0 =�−
2 1
sin � − �0
∞
=1
,
diperoleh dengan menyubstitusi variabel � pada � =� dengan fungsi periodizer
kutub p.
Kurva fungsi periodizer kutub dengan beberapa nilai N dan 0 ditampilkan sebagai berikut:
(a)
(b)
Gambar 11 Kurva fungsi periodizer kutub dengan:
(a) N = 4 dan �0= 0 rad, (b) N = 5 dan �0=�
4 rad.
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Karya ilmiah ini menyajikan persamaantunggal untuk menampilkan kurva komposit (dapat terbuka atau tertutup) dan persamaan tunggal untuk kurva periodik. Perangkat matematika yang digunakan adalah fungsi tangga satuan Heaviside (untuk kurva komposit umum) dan fungsi periodizer
(untuk kurva periodik).
Persamaan tunggal yang dibentuk selanjutnya diterapkan pada kurva komposit sederhana dan bangun geometri poligon.
3.1 Fungsi Tangga Satuan Heaviside
Penggunaan fungsi tangga satuan Heaviside dalam mendefinisikan fungsi bilangan real pada selang tertentu dapat diilustrasikan sebagai berikut. Misalkan 1.0 0.5 0.5 1.0
1.0 0.5 0.5 1.0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.5
1.0 1.5
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5
1.5
1.0
0.5 0.5 1.0 1.5
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5 0.5 1.0
sebuah fungsi bilangan real , dalam variabel
x, kontinu di seluruh bilangan real. Jika , adalah bilangan real, maka ruas kurva terbatas dari = ke = (dengan a < b), dapat dituliskan:
= � , − � , (12)
dengan �( , ) & �( , ) adalah fungsi tangga satuan Heavisideyang berbentuk:
� , = 0, <
1, >
� , = 0, <
1, >
Persamaan (3) pada Bab II mendefinisikan suatu fungsi tangga satuan Heaviside yang berbentuk � , , bernilai 0 ketika < dan bernilai 1 ketika > . Persamaan (3) ini tidak mendefinisikan nilai fungsi � ketika = . Jika dikaitkan dengan ilustrasi fungsi tangga satuan Heaviside sebagai tombol “switch on” pada suatu alat
elektronik, maka kondisi ketika tombol “switch on” ditekan dapat diinterpretasikan
bahwa alat sudah menyala (bernilai 1) atau alat masih belum menyala (bernilai 0). Maka dari itu, fungsi tangga satuan Heaviside pada pembentukan fungsi tunggal didefinisikan menjadi dua bentuk, yaitu:
�1 , = 0,
1, > (13)
�2 , = 0, <
1, (14)
Gambar 12 Fungsi tangga satuan Heaviside �1 dan �2 dalam koordinat Cartesius.
Fungsi tangga satuan Heaviside(13) dan (14) dapat pula dituliskan dalam koordinat kutub, yaitu:
�1 �, = 1, �>
0, � (15)
�2 �, = 1, �
0, � < (16)
Gambar 13 Fungsi tangga satuan Heaviside �1 dan �2 dalam koordinat kutub.
Perbedaan pada pendefinisian fungsi tangga satuan Heaviside ini akan berpengaruh pada pendefinisian fungsi bernilai real dengan pertaksamaan daerah asal yang beragam.
3.2 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada Suatu Selang Fungsi
3.2.1 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [� ,��)
Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal [ 1, �) dapat disajikan sebagai berikut:
= �2 , 1 − �2 , � ,
1 < � (17)
Persamaan (17) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu = 1 dan = �, (mengacu pada persamaan (14)):
a
1
H
1(
x,a
)
x
H
2(
x,a
)
1
a
�2 , 1 = 1, 1 0, < 1
�2 , � = 1, �
0, < �
kemudian ditentukan nilai dari:
�2 , 1 − �2 , �
=
0−0, < 1
1−0, 1 dan < �
1−1, �
= 0, < 1 atau �
1, 1 < �
= �2 , 1 − �2 , �
= 0, < 1 atau �
, 1 < �
Fungsi mendefinisikan bahwa = ketika 1 < �, dan fungsi bernilai nol pada < 1 atau �.
3.2.2 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada (� ,��]
Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal ( 1, �] dapat disajikan sebagai berikut:
= �1 , 1 − �1 , � ,
1< �. (18)
Persamaan (18) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu = 1 dan = �, (mengacu pada persamaan (13)):
�1 , 1 = 1, > 1
0, 1
�1 , � = 1, > �
0, �
kemudian ditentukan nilai dari:
�1 , 1 − �1 , �
=
0−0, 1
1−0, > 1 dan �
1−1, > �
= 0, 1 atau > �
1, 1< �
= �1 , 1 − �1 , �
= 0, 1 atau > �
, 1< �
Fungsi mendefinisikan bahwa = ketika 1< �, dan fungsi bernilai nol pada 1 atau > �.
3.2.3 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [� ,��]
Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal [ 1, �] dapat disajikan sebagai berikut:
= �2 , 1 − �1 , � ,
1 �. (19)
Persamaan (19) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu = 1 dan = �, (mengacu pada persamaan (13) dan (14)):
�2 , 1 = 1, 1
0, < 1
�1 , � = 1, > �
0, �
kemudian ditentukan nilai dari:
�2 , 1 − �1 , �
=
0−0, < 1
1−0, 1 dan �
1−1, > �
= 0, < 1 atau > �
1, 1 �
= �2 , 1 − �1 , �
= 0, < 1 atau > �
, 1 �
Fungsi mendefinisikan bahwa = ketika 1 �, dan fungsi bernilai nol pada < 1 atau > �.
3.2.4 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada � ,��
= �1 , 1 − �2 , � , 1< < �.
(20) Persamaan (20) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu = 1 dan = �, (mengacu pada persamaan (13) dan (14)):
�1 , 1 = 1, > 1
0, 1
�2 , � = 1, �
0, < �
kemudian ditentukan nilai dari:
�1 , 1 − �2 , �
=
0−0, 1
1−0, > 1 dan < �
1−1, �
= 0, 1 atau �
1, 1< < �
= �1 , 1 − �2 , �
= 0, 1 atau �
, 1< < �
Fungsi mendefinisikan bahwa = ketika 1< < �, dan fungsi bernilai nol pada 1 atau �.
Secara umum, pola persamaan (17) sampai (20) dapat dituliskan seperti pada Tabel 1.
Tabel 1 Tabel pengalifungsi f pada selang tertentu
Tipe Domain f Pengali (Heaviside) 1 [a,b) �2( )− �2( ) 2 (a,b] �1( )− �1( ) 3 [a,b] �2( )− �1( ) 4 (a,b) �1( )− �2( )
< ; , konstanta ℝ
dengan nilai �( ) sama dengan � , dalam persamaan Cartesius dan � �, dalam persamaan kutub; j = 1, 2.
3.3 Persamaan Tunggal Kurva Komposit
Kurva komposit merupakan gabungan dari beberapa kurva, dapat berupa gabungan dari
garis lurus, parabola, hiperbola dan kurva lainnya dalam sistem koordinat Cartesius atau gabungan dari fungsi trigonometri, lingkaran dan kurva lainnya dalam sistem koordinat kutub.
Kurva komposit lazimnya disajikan dalam bentuk fungsi sesepenggal. Pada karya ilmiah ini diperkenalkan metode lain untuk menyajikan kurva komposit dengan menggunakan fungsi tangga satuan Heaviside. Misalkan f adalah fungsi sesepenggal bernilai real dengan variabel bebas x yang didefinisikan sebagai berikut:
=
1 , 1 < 2 2 , 2 3
�−1 , �−1 < �
1, 2,…, � ℝ atau
= 1 , 1 < 2;
= 2 , 2 3; (21)
= �−1 , �−1 < �.
Persamaan (21) dapat didefinisikan pula sebagai berikut (mengacu pada Tabel 1):
= 1 �2 , 1 − �2 , 2 , = 2 �2 , 2 − �1 , 3 ,
= �−1 �2 , �−1 − �2 , � . (22)
Selanjutnya, rangkaian persamaan (22) digabungkan dengan operasi penjumlahan sehingga diperoleh sebuah persamaan tunggal sebagai berikut:
= 1 �2 , 1 − �2 , 2 +2 �2 , 2 − �1 , 3 + + �−1 �2 , �−1 − �2 , �
atau dapat diekspresikan:
= � , − � , +1
�−1
=1
,
(23)
∀ = 1, 2 ; = 1, 2;
= 1 jika = � ,
= 2 jika = � ,
= 2 jika = +1 � , = 1, 2,…,� −1;
Persamaan (23) dapat disajikan pula dalam persamaan koordinat kutub, yaitu dengan mengubah variabel bebas x dengan variabel .
� = � � �, − � �, +1
�−1
=1
,
(24) ∀ = 1, 2 ; = 1, 2;
= 1 jika �= � ,
= 2 jika �= � ,
= 1 jika �= +1 � ,
= 2 jika �= +1 � ,
= 1, 2,…,� −1;
Langkah Penyelesaian Kasus
Persamaan (23) dan (24) berlaku untuk mengubah fungsi sesepenggal menjadi fungsi tunggal yang dapat menampilkan kurva komposit.
Langkah penyelesaian kasus representasi fungsi tunggal untuk kurva komposit adalah:
1. didefinisikan fungsi sesepenggal dan pertaksamaan daerah asalnya (nilai x untuk koordinat Cartesius dan untuk koordinat kutub),
2. ditentukan nilai n yaitu banyaknya batas fungsi ( = , = 1,2,…,�),
3. didefinisikan pengali fungsi tangga satuan Heaviside untuk setiap fungsi,
4. ditentukan persamaan tunggal kurva komposit dengan menyubstitusikan hasil poin (1) dan (3) pada persamaan (23) untuk persamaan Cartesius dan persamaan (24) untuk persamaan kutub.
Contoh 1
Kurva Komposit dalam Sistem Koordinat Cartesius
1. Sebuah fungsi sesepenggal didefinisikan sebagai berikut:
=
1 , −4 −2; 2 , −2 < < 0;
3 , 0 < 2;
4 , 2 < 4;
= −5
2 −5, −4 −2; 3
2 + 3, −2 < < 0; −3
2 + 3, 0 < 2;
5
2 −5, 2 < 4;
(25)
2. �= 5, 1=−4, 2=−2, 3= 0,
4= 2, 5= 4;
3. Fungsi 1, 2, 3, dan 4 memiliki daerah asal yang berbeda-beda, maka pengali fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan juga berbeda (mengacu pada Tabel 1).
Tabel 2 Tabel pengali fungsi pada (25) Fungsi Domain Pengali
(�) [−4,−2] �2 ,−4 − �1( ,−2)
(�) (−2,0) �1 ,−2 − �2( , 0)
(�) [0,2) �2 , 0 − �2 , 2
(�) [2,4) �2 , 2 − �2 , 4
4. Persamaan tunggal kurva komposit ( ):
= � , − � , +1
4
=1
= 1 �2 ,−4 − �1 ,−2 + 2 �1 ,−2 − �2 , 0 + 3 �2 , 0 − �2 , 2 + 4( ) �2 , 2 − �2 , 4
(26)
5. Kurva pada (26) dibangkitkan dengan perintah Plot
pada
software
Mathematica 8.0 (algoritme program dapat dilihat di Lampiran 2).Gambar 14 Kurva fungsi sesepenggal .
4 2 2 4 x
Contoh 2
Kurva Komposit dalam Sistem Koordinat Kutub
1. Sebuah fungsi sesepenggal didefinisikan sebagai berikut:
=
1 � , 0 �<� 2; 2 � ; �
2 � �; 3 � ; �<�<3�
2 ; 4 � ; 3�
2 �< 2�;
(27)
1 � = 4 cos � cos � ;
2 � =−4 −cos � cos � ;
3 �
=2 cos(�) + 2 cos(�)
2+ 4 sin(�)2
sin(�)2 ;
4 �
=−2 cos(�) + 2 cos(�)
2+ 4 sin(�)2
sin(�)2 ;
2. �= 5, 1= 0, 2=�2, 3=�,
4= 3�
2 , 5= 2�;
3. Fungsi 1, 2, 3, dan 4 memiliki daerah asal yang berbeda-beda, maka pengali fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan juga berbeda (mengacu pada Tabel 1),
Tabel 3 Tabel pengali fungsi pada (27) Fungsi Domain Pengali
� [0,�
2) �2 �, 0 − �2 �, � 2
� �
2,� �2 �,
�
2 − �1 �,�
� �,3�
2 �1 �,� − �2 �,
3� 2
� [3�
2 , 2�) �2 �, 3�
2 − �2 �, 2�
4. Persamaan tunggal kurva komposit:
� = � � �, − � �, +1
4
=1
= 1 � �2 �, 0 − �2 �,� 2
+ 2 � �2 �,�
2 − �1 �,�
+ 3 � �1 �,� − �2 �,3�
2
+ 4 � �2 �,3�
2 − �2 �, 2� (28)
5. Kurva pada (28) dibangkitkan dengan perintah PolarPlot
pada
software
Mathematica 8.0 (algoritme program dapat dilihat di Lampiran 2)
.
Gambar 15 Kurva fungsi sesepenggal .
3.4 Kurva Poligon Tak Teratur
Persamaan parametrik poligon tak teratur diperoleh dengan menyubstitusi fungsi pada persamaan tunggal untuk kurva komposit (23) dengan persamaan parametrik poligon, , +1 dan , +1 (persamaan (5) dan (6)), sehingga diperoleh persamaan parametrik baru untuk poligon tak teratur, dan dengan variabel bebas s, sebagai berikut:
= , +1 � , − � , +1 �−1
=0
= , +1 � , − � , +1 �−1
=0
i = 0, 1,2, ... ,� −1. (29)
dengan:
x(s) = persamaan parametrik untuk sumbu x
dengan parameter s,
y(s) = persamaan parametrik untuk sumbu y
dengan parameter s,
s = variabel bebas menyatakan jarak,
si = fungsi panjang sisi poligon dari verteks awal (P0) ke verteks ke-i (Pi),
n = jumlah verteks poligon,
4 2 2 4
� , dan � , +1 ialah fungsi tangga satuan Heaviside.
Langkah Penyelesaian Kasus
Persamaan (29) berlaku untuk menyelesaikan kasus fungsi poligon teratur. Kasus yang dimaksud adalah pembangkitan sebuah lintasan/kurva garis linear melingkar yang melewati verteks-verteks poligon yang diketahui.
Langkah penyelesaian kasus:
1. n pasangan verteks-verteks (x, y) koordinat Cartesius yang akan diplotkan menjadi verteks poligon (n >2) dituliskan dan diberi label , = 0,1,2,…,� berurutan berlawanan arah jarum jam dimulai dari . Verteks P0= Pn karena poligon adalah kurva tertutup.
2. nilai-nilai poin (1) disubstitusi pada persamaan (4) untuk mendapatkan nilai panjang sisi poligon,
3. nilai pada poin (1) dan (2) disubstitusi pada persamaan (5) dan (6) untuk mendapatkan persamaan parametrik sesepenggal segmen garis +1, = 0,1,2,…,� −1;
4. didefinisikan pengali fungsi tangga satuan Heaviside,
5. hasil poin (3) dan (4) disubstitusi pada persamaan (29) untuk mendapatkan persamaan parametrik tunggal poligon tak teratur.
Contoh 3
Akan ditentukan persamaan parametrik tunggal untuk merepresentasikan sebuah pentagon (poligon dengan lima sisi) tak teratur dengan koordinat verteks-verteks poligon ialah (4,3), (8,2), (9,7), (7,9), dan (3,6).
1. Verteks-verteks pentagon dilabeli: P0 (4,3), P1 (8,2), P2 (9,7), P3(7,9), P4 (3,6),
P5(4,3)
2. Panjang sisi poligon yang terukur dari verteks P0 ialah:
s0= 0,
s1 = 4.1231,
s2= 9.2221,
s3= 12.0506, (30)
s4= 17.0506,
s5= 20.2128
(rincian perhitungan dapat dilihat di Lampiran 3).
3. Persamaan parametrik sesepenggal dari setiap segmen garis pentagon +1, = 0,1,2,…,� −1; dengan variabel bebas u:
01 = 0.970 + 4, 12 = 0.196 + 7.191, 23 =−0.707 + 15.521, 34 =−0.8 + 16.640, 45 = 0.316 −2.392,
01 =−0.243 + 3, 12 = 0.981 −2.043, 23 = 0.707 + 0.479, 34 =−0.6 + 16.230, 45 =−0.949 + 22.176.
=
01 , 0 < 4.1231 12 , 4.1231 < 9.2221 23 , 9.2221 < 12.0506 34 , 12.0506 < 17.0506 45 , 17.0506 < 20.2128
=
01 , 0 < 4.1231 12 , 4.1231 < 9.2221 23 , 9.2221 < 12.0506 34 , 12.0506 < 17.0506 45 , 17.0506 < 20.2128
(31)
(rincian perhitungan dapat dilihat di Lampiran 3).
4. Fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan adalah �1, dengan:
�1 , = 0,
1, > (32) = 0,1,2,3,4
u = variabel bebas menyatakan jarak yang terdefinisi pada 0, 5 ;
5. Persamaan parametrik poligon tak teratur:
= , +1 �1 , − �1 , +1 4
= , +1 �1 , − �1 , +1 4
=0
(33)
6. Kurva poligon tak teratur (33) dibangkitkan dengan perintah
ParametricPlot
pada
software
Mathematica 8.0 sehingga diperoleh Gambar 16 berikut.
Gambar 16 Kurva pentagon tak teratur.
3.5 Kurva Poligon Teratur
Prosedur Pembentukan Persamaan Tunggal
Gambar 17 Kurva poligon teratur.
Misalkan diberikan sebuah poligon teratur dengan N sisi berpusat di titik pusat koordinat dan salah satu verteks berada di sumbu-x. Misalkan pula, segitiga sama kaki dengan sisi-sisi sumbu-x, salah satu sisi poligon dan jari-jari poligon yang diambil dengan menarik garis dari pusat poligon ke salah satu verteks (ilustrasi pada Gambar 17). Pada segitiga tersebut berlaku:
=2� (34)
=�−
2 =�
−2
2 (35)
Persamaan linear sisi pertama poligon atau sisi pertama yang berbatasan dengan sumbu-x
pada kuadran I (ilustrasi Gambar 18) ialah:
= ��− tan (36)
dengan:
Rp = jari-jari poligon,
(x,y) = koordinat verteks pertama.
Gambar 18 Sisi poligon pada kuadran I.
Persamaan (36) dapat disajikan pula dalam persamaan koordinat kutub sebagai berikut:
(
�
) =
��tansin�+tan cos� (37)
Selanjutnya, variabel bebas pada (37) diganti dengan fungsi periodizer kutub
p (persamaan (11))sehingga diperoleh:
� �
, ,
�
0=
�
�tan
sin
� �, ,�0+ tan
cos
� �, ,�0 (38)Persamaan (38) disebut sebagai persamaan poligon teratur (N-gon) dalam koordinat kutub dengan jari–jari lintasan Rp yang berpusat di titik asal dan berotasi 0 rad.
Setelah diperoleh persamaan (38), persamaan parametrik poligon teratur dapat dituliskan sebagai:
�,��, ,�0 = 0+ �, ,�0 cos� = 0+
��tan cos�
sin� �, ,�0 + tan cos� �, ,�0
(39)
�,��, ,�0 = 0+ �,��, ,�0 sin�
= 0+ ��tan sin�
sin� �, ,�0 + tan cos� �, ,�0
(40) dengan :
N = banyaknya sisi poligon,
Rp = jari-jari poligon,
�0 = sudut rotasi verteks 0 (berlawanan arah jarum jam),
0, 0 = titik pusat kurva poligon,
� = fungsi periodizer dalam koordinat kutub,
= −2 2 � rad.
Persamaan (39) dan (40) dapat merepresentasikan persamaan lintasan gerak melingkar beraturan yang berawal di koordinat ��,�0 , jika dibiarkan menjalani akan dibuat suatu lintasan rotasi tertutup dengan pusat 0, 0 dalam ruang x-y berupa kurva garis linear (3) yang berulang terputus-putus sebanyak N kali.
Contoh 4, 5, dan 6 berikut ini memberikan ilustrasi persamaan parametrik kurva poligon teratur setelah nilai-nilai parameternya diketahui. Ilustrasi gambar kurva poligon teratur disajikan pula, sebagai contoh dari aplikasi persamaan parametrik. Lampiran 4 menyajikan persamaan parametrik dari setiap gambar kurva secara lebih rinci. Algoritme program dapat dilihat di Lampiran 2.
Contoh 4
Poligon teratur dengan N sisi, pusat (0,0), jari-jari (��) 1 satuan, dan sudut putaran (�0) 0 rad dapat dituliskan dalam persamaan parametrik sebagai berikut:
� = tan cos�
sin� �, , 0 + tan cos� �, , 0
� = tan sin�
sin� �, , 0 + tan cos� �, , 0
dengan:
= −2
2 � ,
� �, , 0 =�−2 1
�sin � �
∞
�=1
.
(a)
(b)
(c)
Gambar 19 Poligon teratur (Contoh 4) dengan banyaknya sisi (N):
(a) N = 4 (tetragon), (b) N = 5 (pentagon),
(c) N = 9 (nonagon/enneagon).
Contoh 5
Poligon teratur enam sisi atau heksagon (N = 6) dengan pusat poligon 0, 0 , jari-jari (��) 2 satuan, sudut putaran (�0) 0 rad, dan verteks awal P0, dapat dituliskan dalam persamaan parametrik sebagai berikut:
� = 0+
2 tan cos�
sin��, 6, 0 + tan cos��, 6,0
� = 0+ 2tan sin�
sin� �, 6,0 + tan cos��, 6,0
dengan:
= −2
2 � =
1 3�,
� �, 6,0 =�
6−
2 6
1
�sin 6� �
∞
�=1
.
(a) 1.0 0.5 0.5 1.0
1.0 0.5 0.5 1.0
0.5 0.5 1.0
0.5 0.5
0.5 0.5 1.0
1.0
(b)
(c)
Gambar 20 Heksagon pada Contoh 5 dengan pusat: a) (1,2), b) (−2,2), c) (0,7).
Contoh 6
Poligon teratur lima sisi atau pentagon (N = 5) dengan sudut putaran �0, pusat (6,5), jari-jari (��) 4 satuan, dan verteks awal P0, dapat dituliskan dalam persamaan parametrik sebagai berikut:
�
= 6 + 4 tan cos�
sin� �, 4,�0 + tan cos� �, 4,�0
�
=5 + 4 tan sin�
sin� �, 4,�0 + tan cos� �, 4,�0
dengan:
= −2
2 � = 3 10�,
� �, 5,�0 =
�
5−
2 5
1
�sin 5� � − �0
∞
�=1
.
(a)
(b)
(c)
IV KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 KesimpulanSebuah metodologi yang mengacu pada pengembangan analisis gometri telah disajikan berupa representasi kurva komposit dan ruas garis terbatas oleh persamaan tunggal. Kurva yang dibentuk dapat tertutup atau terbuka, dan periodik atau non-periodik. Persamaan tunggal untuk kurva non-periodik ditetapkan pada poligon tak teratur dan kurva komposit umum. Persamaan tunggal untuk
kurva periodik ditetapkan pada poligon teratur.
4.2 Saran
Karya ilmiah ini selanjutnya dapat dikembangkan dalam:
1. penerapan pada fungsi komposit yang lebih kompleks,
2. pengembangan dalam bidang tiga dimensi.
DAFTAR PUSTAKA
Abramowitz M, Stegun IA. 1972. Handbookof Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Ed ke-9. New York: Dover.
Chicurel-Uziel E. 2000. Closed-form solution for response of linear systems subjected to periodic non-harmonic excitation. J. Multy-Body Dynamics Proc Instn. Mech Engrs 214 (K3):189-193.
Chicurel-Uziel E. 2004. Single equation without inequalities to represent a composite curve. Computer Aided Geometric Design 21:23-42.
Coxeter HSM, Greitzer SL. 1967. Geometry Revisited. Washington, DC: Math Assoc. Amer.
Spanier J, Oldham KB. 1987. An Atlas of Function. Washington, DC: Hemisphere.
Stewart J. 1999. Calculus. Ed ke-4. USA:Brooks/Cole Publishing Comp.
LAMPIRAN 1
PEMBENTUKAN FUNGSI PERIODIZER
Fungsi � = , merupakan fungsi garis lurus simetris dengan variabel bebas x, menjadi fungsi dasar pembentukan gelombang sawtooth. Fungsi � ini yang akan disubstitusi pada deret Fourier, untuk mendapatkan kurva periodik tak terbatas. Gambar berikut adalah kurva gelombang
sawtooth yang diperoleh dari perintah SawtoothWave pada software Mathematica.
Fungsi periodik dari � yang bergantung pada x, berperiode T, yang dituliskan � +�� = � dengan n adalah bilangan bulat positif, menginterpretasikan bahwa kurva garis lurus � akan berulang tak terhingga dengan selang awal fungsi periodik [0, T].
Koefisien Fourier untuk fungsi periodik gelombang sawtooth � :
0 =2
� � � 0 =2 � � 0 =2 � 1 2
2 �
0 =
1
� �2−0 =
1
� �2 =�;
=2
� � cos
2� � � 0 =2 � cos 2 � � � 0 =2
� �2�sin
2 �
� 0
�
− �
2 �sin
2� � � 0 =2 � �2
2�sin 2 � −0−
�
2 � sin
2 � � � 0 =2 � �2
2 �sin 2 � + �2� 2
cos 2 �
� 0
�
=2
� �2
2 �sin 2 � +
�2
4 2�2 cos 2� −cos 0
=2
� 0 +
�2
4 2�2 1−1 = 2
� 0 + 0 = 0
diketahui j = 0, 1, 2, 3, ... , maka:
cos 2 �= cos 0 = cos 2�= 1,
sin 2 �= sin 0 = sin 2�= 0.
2 1 1 2
=2
� � sin
2 �
�
�
0
=2
� sin
2 �
�
�
0
=2
� − �2 �cos
2 �
� 0
�
+ �
2 �cos
2 �
�
�
0
=2
� − �2
2 �cos 2 � + 0 +
�
2 � cos
2 �
�
�
0
=2
� −
�2
2 �cos 2 � + �2 � 2
sin 2�
� 0
�
=2
� −
�2
2 �cos 2� +
�2
4 2�2 sin 2� −sin 0
=2
� −
�2
2 �+
�2
4 2�2(0−0) = 2
� −
�2
2 �+ 0
=− �
�
Selanjutnya, deret Fourier untuk fungsi periodik gelombang sawtooth � didefinisikan sebagai berikut:
� = 0
2 + cos
2 �
� + sin
2 �
�
∞
=1
=�
2+ 0 + −
� �sin
2 �
�
∞
=1
=�
2−
� �
1
sin 2 �
�
∞
=1
, = 1,2,…
Lampiran 2
Program
Mathematica
8.0
Aplikasi pada Kurva Komposit
Contoh 1
Aplikasi2:=Module[{H1,H2,f,f1,f2,f3,f4},
"Kurva Komposit";
f1[x_]:=-5x/2-5;
f2[x_]:=3x/2+3;
f3[x_]:=-3x/2+3;
f4[x_]:=5x/2-5;
"Fungsi Tangga Satuan Heaviside";
H1[i_]:=If[x
i,0,1];
H2[i_]:=If[x<i,0,1];
"Persamaan Tunggal Kurva Komposit";
f[x_]:=f1[x](H2[-4]-H1[-2])+f2[x](H1[-2]-H2[0])+f3[x](H2[0]-H2[2])+f4[x](H2[2]-H2[4]);
Plot[f[x],{x,-4,4},PlotStyle
Directive[Black,Thick],AxesLabel
{x,y}]
]
Aplikasi2
Contoh 2
Aplikasi3:=Module[{H1,H2,g,g1,g2,g3,g4},
"Kurva Komposit";
g1[
_]:=4Sqrt[Cos[
]]Cos[
];
g2[
_]:=-4Sqrt[-Cos[
]]Cos[
];
g3[
_]:=(2 Cos[
]+2
)/Sin[
]
2;
g4[
_]:=(-2 Cos[
]+2
)/Sin[
]
2;
"Fungsi Tangga Satuan Heaviside";
H1[i_]:=If[
i,0,1];
4 2 2 4 x
1 2 3 4 5 y
Cos24 Sin2
H2[i_]:=If[
<i,0,1];
"Persamaan Tunggal Kurva Komposit";
g[
_]:=g1[
](H2[0]-H2[
/2])+g2[
](H2[
/2]-H1[
])+g3[
](H1[
]-H2[3
/2])+g4[
](H2[3
/2]-H2[2
]);
PolarPlot[g[
],{
,0,2
},PlotStyle
Directive[Black,Thick]]
]
Aplikasi3
Aplikasi pada Kurva Poligon Tak Teratur
Persamaan Umum
IRegPol[x_,y_]:=
Module[{s,xIP,yIP,xIPol,yIPol,H,n,u},
"Persamaan Panjang Sisi Poligon";
s[i_]:=
;
s[1]=0;
"Persamaan Parametrik Setiap Segmen Garis";
xIP[i_]:=(x[[i+1]]-x[[i]])/(s[i+1]-s[i]) u+(x[[i]]s[i+1]-x[[i+1]]s[i])/(s[i+1]-s[i]);
yIP[i_]:=(y[[i+1]]-y[[i]])/(s[i+1]-s[i]) u+(y[[i]]s[i+1]-y[[i+1]]s[i])/(s[i+1]-s[i]);
"Fungsi Tangga Satuan Heaviside";
H[i_]:=If[u
s[i],0,1];
"Persamaan Parametrik Poligon";
xIPol[i_]:=xIP[1]+
+H[i](-xIP[i-1]);
yIPol[i_]:=yIP[1]+
+H[i](-yIP[i-1]);
n=Length[x];
ParametricPlot[{xIPol[n],yIPol[n]},{u,s[1],s[n]},PlotStyle
Directive[Black,Thick]]
]
4 2 2 4
4 3 2 1 1
j2
i
Sqrtxjxj12yjyj12
k2
i1
Hk xIPkxIPk1
k2
i1
Contoh 3
IRegPol[{4,8,9,7,3,4},{3,2,7,9,6,3}]
Kurva Poligon Teratur
Persamaan Umum
RegPol[R_,n_,
0_,x0_,y0_]:=
Module[{xRP,yRP,x=x0,y=y0,
,Per},
"Fungsi
Periodizer
kutub";
Per[
_,N_,
o_]:=
/N-2/N
;
"Persamaan Parametrik Poligon";
xRP[r_,m_,
0_,x_]:=x+(r Tan[
/2-
/m])/(Sin[Per[
,n,
0]]+Tan[
/2-
/m]
Cos[Per[
,n,
0]]) Cos[
];
yRP[r_,m_,
0_,y_]:=y+(r Tan[
/2-
/m])/(Sin[Per[
,n,
0]]+Tan[
/2-
/m]
Cos[Per[
,n,
0]]) Sin[
];
ParametricPlot[{xRP[R,n,
0,x0],yRP[R,n,
0,y0]},{
,0,2
},PlotStyle
Directive[Black,
Thick]]
]
Contoh 4
RegPol[1,4,0,0,0]
RegPol[1,5,0,0,0]
RegPol[1,9,0,0,0]
4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8 9
i1
1
i SinN i o
1.0 0.5 0.5 1.0
Contoh 5
RegPol[2,6,0,1,2]
RegPol[2,6,0,-2,2]
RegPol[2,6,0,0,7]
0.5 0.5 1.0
0.5 0.5
0.5 0.5 1.0
1.0 0.5 0.5 1.0
1 1 2 3
Contoh 6
RegPol[4,5,0,6,5]
RegPol[4,5,
/4,6,5]
RegPol[4,5,
/2,6,5]
4 3 2 1
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
2 1 1 2
6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5
4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 8 9 2
4 6 8
4 5 6 7 8 9
LAMPIRAN 3
PERHITUNGAN SOLUSI CONTOH 3
Langkah penyelesaian kasus:
1. Verteks pentagon dapat dituliskan sebagai berikut:
Verteks ke- Koordinat x Koordinat y
0 4 3
1 8 2
2 9 7
3 7 9
4 3 6
5 4 3
2. persamaan untuk mencari kumulatif panjang sisi poligon adalah:
= − −1 2+ − −1 2
=1
0= 0, ketika di verteks 1 panjang sisi poligon masih nol,
karena koordinat verteks-verteks pentagon telah diketahui, panjang sisi pentagon dapat ditentukan sebagai berikut:
1= − −1
2
+ − −1 2
1
=1
= 1− 0 2+ 1− 0 2
= 8−4 2+ 2−3 2= 17 = 4.1231
2= − −1
2
+ − −1 2
2
=1
= 1− 0 2+ 1− 0 2+ 2− 1 2+ 2− 1 2
= 17 + 9−8 2+ 7−2 2= 17 + 26 = 9.2221
3= − −1
2
+ − −1 2
3
=2
=
= 1− 0 2+ 1− 0 2+ 2− 1 2+ 2− 1 2
+ 3− 2 2+
3− 2 2= 17 + 26 + 7−9 2+ 9−7 2
= 17 + 26 + 8 = 12.0506
4= − −1
2
+ − −1 2
4
=2
=
= 1− 0 2+ 1− 0 2+ 2− 1 2+ 2− 1 2
+ 3− 2 2+
3− 2 2+ 4− 3 2+ 4− 3 2
= 17 + 26 + 8 + 3−7 2+ 6−9 2= 17 + 26 + 8 + 25
5= − −1
2
+ − −1 2
5
=2
=
= 1− 0 2+
1− 0 2+ 2− 1 2+ 2− 1 2
+ 3− 2 2+ 3− 2 2+ 4− 3 2+ 4− 3 2
+ 5− 4 2+ 5− 4 2
= 17 + 26 + 8 + 25 + 4−3 2+ 3−6 2
= 17 + 26 + 8 + 25 + 10 = 20.2128
3. Persamaan parametrik untuk setiap segmen garis +1, = 0,1…,4; pada pentagon dapat dituliskan sebagai berikut:
, +1( ) = +1−
+1−
+ +1− +1
+1−
dan , +1( ) = +1−
+1−
+ +1− +1
+1−
karena koordinat verteks-verteks dan panjang sisi pentagon telah diketahui, persamaan parametrik setiap segmen garis dapat dituliskan sebagai berikut:
01 = 1− 0 1− 0
+ 0 1− 1 0
1− 0
= 8−4
4.1231−0 +
4 4.1231 −8 0
4.1231−0 = 0.970 + 4
12 = 2− 1 2− 1
+ 1 2− 2 1
2− 1
= 9−8
9.2221−4.1231 +
8 9.2221 −9(4.1231)
9.2221−4.1231
= 0.196 + 7.191
23 = 3− 2 3− 2
+ 2 3− 3 2
3− 2
= 7−9
12.0506−9.2221 +
9 12.0506 −7(9.2221)
12.0506−9.2221
=−0.707 + 15.521
4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9
s
0s
1s
2s
3s
4s
5P
0P
1P
2P
334 = 4− 3 4− 3
+ 3 4− 4 3
4− 3
= 3−7
17.0506−12.0506 +
7 17.0506 −3(12.0506)
17.0506−12.0506
=−0.8 + 16.640
45 = 5− 4 5− 4
+ 4 5− 5 4
5− 4
= 4−3
20.2128−17.0506 +
3 20.2128 −4(17.0506)
20.2128−17.0506
= 0.316 −2.392
01 = 1− 0 1− 0
+ 0 1− 1 0
1− 0
= 2−3
4.1231−0 +
3 4.1231 −2 0
4.1231−0 =−0.243 + 3
12 = 2− 1 2− 1
+ 1 2− 2 1
2− 1
= 7−2
9.2221−4.1231 +
2 9.2221 −7(4.1231)
9.2221−4.1231
= 0.981 −2.043
23 = 3− 2 3− 2
+ 2 3− 3 2
3− 2
= 9−7
12.0506−9.2221 +
7 12.0506 −9(9.2221)
12.0506−9.2221
= 0.707 + 0.479
34 = 4− 3 4− 3
+ 3 4− 4 3
4− 3
= 6−9
17.0506−12.0506 +
9 17.0506 −6(12.0506)
17.0506−12.0506
=−0.6 + 16.230
45 = 5− 4 5− 4
+ 4 5− 5 4
5− 4
= 3−6
20.2128−17.0506 +
6 20.2128 −3(17.0506)
20.2128−17.0506
=−0.949 + 22.176
atau dapat dituliskan dalam fungsi sesepenggal sebagai berikut:
=
0.970 + 4, 0 < 4.1231
0.196 + 7.191, 4.1231 < 9.2221
−0.707 + 15.521, 9.2221 < 12.0506
−0.8 + 16.640, 12.0506 < 17.0506
0.316 −2.392, 17.0506 < 20.2128
=
−0.243 + 3, 0 < 4.1231
0.981 −2.043, 4.1231 < 9.2221
0.707 + 0.479, 9.2221 < 12.0506
−0.6 + 16.230, 12.0506 < 17.0506
−0.949 + 22.176. 17.0506 < 20.2128
4. Fungsi tangga satuan Heavisideyang digunakan adalah �1, dengan:
�1 , = 0
1 >
i = 0, 1, 2, 3, 4;
u = variabel bebas yang terdefinisi pada [s0,s5];
5. Setelah diketahui fungsi sesepenggal yang mendefinisikan persamaan parametrik untuk segmen garis pentagon, persamaan parametrik tunggal pentagon tak teratur dibentuk dengan menggunakan fungsi tangga satuan Heaviside.
= , +1 �1 , − �1 , +1 4
=0
= 01 �1 , 0 − �1 , 4.1231 + 12 �1 , 4.1231 − �1 , 9.2221
+ 23 �1 , 9.2221 − �1 , 12.0506
+ 34 �1 , 12.0506 − �1 , 17.0506
+ 45 �1 , 17.0506 − �1 , 20.2128
= , +1 �1 , − �1 , +1 4
=0
= 01 �1 , 0 − �1 , 4.1231 + 12 �1 , 4.1231 − �1 , 9.2221 + 23 �1 , 9.2221 − �1 , 12.0506
+ 34 �1 , 12.0506 − �1 , 17.0506
LAMPIRAN 4
KURVA POLIGON TERATUR
Persamaan parametrik poligon tak teratur untuk:
Gambar 19 (a)
�, 1, 4, 0 = 0 +
tan �4 cos�
sin �
4−
2 4
1
�sin 4��
∞
�=1 + tan �4 cos �4−
2 4
1
�sin 4��
∞ �=1
�, 1, 4, 0 = 0 +
tan �
4 sin�
sin �4−24 ∞�=11�sin 4�� + tan �4 cos �4− 2 4
1
�sin 4��
∞ �=1
Gambar 19 (b)
�, 1, 5, 0 = 0 +
tan 310� cos�
sin �
5−
2 5
1
�sin 5��
∞
�=1 + tan
3�
10 cos �5− 2 5
1
�sin 5��
∞ �=1
�, 1, 5, 0 = 0 +
tan 310� sin�
sin �
5−
2 5
1
�sin 5��
∞
�=1 + tan
3�
10 cos �5− 2 5
1
�sin 5��
∞ �=1
Gambar 19 (c)
�, 1, 9, 0 = 0 +
tan 7�
18 cos�
sin �9−29 ∞�=11�sin 9�� + tan 7�
18 cos �9− 2 9
1
�sin 9��
∞ �=1
�, 1, 9, 0 = 0 +
tan 7�
18 sin�
sin �9−29 ∞�=11�sin 9�� + tan 187� cos �9−29 ∞�=1�1sin 9��
Gambar 20 (a)
�, 2, 6, 0 = 1 +
2 tan 1
3� cos�
sin �6−26 ∞�=11�sin 6� � + tan 1
3� cos �6− 2 6
1
�sin 6� �
∞ �=1
�, 2, 6, 0 =2 +
2 tan 1
3� sin�
sin �6−26 ∞�=1�1sin 6� � + tan 1
3� cos �6− 2 6
1
�sin 6� �
∞ �=1
Gambar 20 (b)
�, 2, 6, 0 =−2 +
2 tan 13� cos�
sin �
6−
2 6
1
�sin 6� �
∞
�=1 + tan
1
3� cos �6− 2 6
1
�sin 6� �
∞ �=1
�, 2, 6, 0 =2 +
2 tan 1
3� sin�
Gambar 20 (c)
�, 2, 6, 0 = 0 +
2 tan 1
3� cos�
sin �6−26 ∞�=11�sin 6� � + tan 31� cos �6−26 ∞�=11�sin 6� �
�, 2, 6, 0 =7 +
2 tan 1
3� sin�
sin �6−26 ∞�=1�1sin 6� � + tan 31� cos �6−26 ∞�=11�sin 6� �
Gambar 21 (a)
�, 4, 5, 0 = 6 +
4 tan 3
10� cos�
sin �5−25 ∞�=11�sin 5�� + tan 3
10� cos �5− 2 5
1
�sin 5��
∞ �=1
�, 4, 5, 0 =5 +
4 tan 3
10� sin�
sin �5−25 ∞�=1�1sin 5�� + tan 3
10� cos �5− 2 5
1
�sin 5��
∞ �=1
Gambar 21 (b)
�, 4, 5,� 4 = 6 +
4 tan 103 � cos�
sin �5−25 ∞�=1�1sin 5� � − �4 + tan 3
10� cos �5− 2 5
1
�sin 5� � − �4 ∞
�=1
�, 4, 5,�
4 =5 +
4 tan 103 � sin�
sin �
5−
2 5
1
�sin 5� � − �4 ∞
�=1 + tan
3
10� cos �5− 2 5
1
�sin 5� � − �4 ∞
�=1
Gambar 21 (c)
�, 4, 5,� 2 = 6 +
4 tan 3
10� cos�
sin �5−25 ∞�=1�1sin 5� � − �2 + tan 103 � cos �5−25 ∞�=1�1sin 5� � − �2
�, 4, 5,�
2 =5 +
4 tan 103 � sin�
sin �5−25 ∞�=11�sin 5� � − �2 + tan 3
10� cos �5− 2 5
1
�sin 5� � − �2 ∞
ABSTRACT
ARINA. Single Equation Representation of a Composite Curve. Under supervision of NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA and FARIDA HANUM.
A mathematical method is introduced to represent a composite curve based on an extension of analytic geometry. The representation is given either with a single equation or with two equations, in the case of parametric representation. This method permits the representation of composite curves in similar manner to the conventional representation of non-composite curves. Some mathematical tools, including Heavisideunit step function and periodizerfunction, are used in the establishment of a single equation. In this paper, regular equations of regular and irregular polygon, as well as composite curves of two dimensions, are implemented using a computer algebraic system, Mathematica.
ABSTRAK
ARINA. Persamaan Tunggal sebagai Representasi Kurva Komposit. Dibimbing oleh NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA dan FARIDA HANUM.
Sebuah metode diperkenalkan berdasarkan pada pengembangan analisis geometri untuk merepresentasikan kurva komposit dengan menggunakan persamaan tunggal atau dua persamaan dalam kasus representasi parametrik. Skema ini memungkinkan representasi kurva komposit dalam cara yang mirip dengan cara konvensional yang digunakan untuk representasi non-komposit kurva. Beberapa perangkat matematika, yaitu fungsi tangga satuan Heavisidedan fungsi periodizer
digunakan dalam pembentukan persamaan tunggal. Pada karya ilmiah ini, persamaan poligon teratur, poligon tak teratur, dan kurva komposit dua dimensi yang ditetapkan.
I PENDAHULUAN
1.1 Latar BelakangDalam beberapa dekade terakhir suatu disiplin ilmu baru yang dikenal sebagai Geometri Komputasi telah muncul, yang antara lain berhubungan dengan titik temu antar fungsi, garis, dan poligon. Geometri komputasi telah diterapkan terutama pada komputer grafik, robotika, dan geometri jalan. Geometri komputasi memiliki potensi besar untuk dikembangkan, namun penggunaannya membutuhkan pengetahuan dasar dari disiplin ilmu komputasi, khususnya algoritme dan pemrograman.
Pada tahun 2004, Chicurel-Uziel memublikasikan tulisan yang berjudul “Single Equation without Inequalities to Represent a Composite Curve”. Pada tulisan tersebut,
Chicurel-Uziel memperkenalkan fungsi tangga satuan Heaviside dan fungsi periodizer
untuk membentuk sebuah persamaan tunggal dari fungsi sesepenggal dan mengaplikasikannya dalam persamaan sproket (sebuah objek yang terdiri dari bagian rol, kontur gigi, dan hub). Karya ilmiah ini menyajikan kembali tulisan Chicurel-Uziel
tersebut dengan fokus utama pada perangkat fungsi tangga satuan Heaviside dan fungsi
periodizer dan pengaplikasiannya pada kurva komposit umum dan poligon.
Prosedur penyajian karya ilmiah ini mengacu pada penggambaran ruas garis terbatas, poligon, dan gabungan kurva, dengan melibatkan titik temu antarfungsi dalam kurva, tetapi dengan cara yang berbeda, yaitu pengembangan analisis geometri yang memanfaatkan fungsi aljabar dan transenden, sehingga penerapannya memerlukan sedikit pengetahuan atau bahkan tidak memerlukan algoritme dan pemrograman.
1.2 Tujuan
Tujuan karya ilmiah ini ialah:
1 membentuk persamaan tunggal untuk merepresentasikan kurva komposit, 2 mengaplikasikan persamaan tunggal dalam
kurva poligon tak teratur da
