Aplikasi Program Integer pada Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah

(1)

APLIKASI PROGRAM INTEGER PADA PERUMAHAN BUMI SERGAI DI SEI RAMPAH

SKRIPSI

ERLINA

070803054

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

APLIKASI PROGRAM INTEGER PADA PERUMAHAN BUMI SERGAI DI SEI RAMPAH

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ERLINA 070803054

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul : APLIKASI PROGRAM INTEGER PADA

PERUMAHAN BUMI SERGAI DI SEI RAMPAH

Kategori : SKRIPSI

Nama : ERLINA

Nomor Induk Mahasiswa : 070803054

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juli 2013

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si Dra. Elly Rosmaini, M.Si

NIP. 19530303 198303 1 002 NIP 19600520 19803 2 002

Diketahui/ Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

(4)

PERNYATAAN

ANALISIS KOMPONEN UTAMA SEBAGAI METODE UNTUK MENGATASI MASALAH MULTIKOLINEARITAS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2012

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan

segala rahmat dan hidayah-Nya, dan yang telah memberi kekuatan akal dan fikiran

sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul Aplikasi Program

Integer pada Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada Dra.

Elly Rosmaini, M.Si. selaku pembimbing I dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si pembing

II yang telah menyediakan waktunya untuk membimbing dan memberikan pengarahan

kepada penulis sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan. Dr. Esther S. M.

Nababan, M.Sc dan Drs. Gim Tarigan, M.Si selaku dosen penguji penulis yang telah

banyak memberi masukan yang sangat berarti sehingga selesainya skripsi ini. Prof.

Drs. Tulus, Vordipl.Math., Ph.D M.Sc dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan

Sekretaris Departemen Matematika Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam beserta Civitas Akademi Universitas Sumatera Utara

Kedua orang tua saya Bapak H. Murti dan Ibu Hj. Saidah Siregar, kakak dan

abang penulis yang senantiasa memberikan dukungan doa dan materi kepada penulis.

Seluruh teman-teman kuliah dan junior matematika, khususnya kepada stambuk 2007

Aida, Pita, Minda, Erna, Nisa dan teman-teman yang tidak dapat penulis sebutkan satu

per satu yang telah memberikan dorongan semangat serta saran dalam pengerjaan

skripsi ini.

Dengan segala kerendahan hati Penulis menyadari banyak kekurangan dan

ketidaksempurnaan pada skripsi ini. Oleh karena itu, Penulis sangat mengharapkan

dan berterimakasih untuk semua bentuk saran dan kritikan yang membangun demi

menambah wawasan dan pengetahuan Penulis Akhir kata penulis mengucapkan

(6)

ABSTRAK

Rumah tipe 65(X1) dan tipe 45(X2) akan dimodelkan ke dalam model matematika

berupa integer peogramming yang merupakan bagian dari masalah pemrograman linier, dimana variabel keputusan harus berupa bilangan bulat. Masalah integer

programming akan diselesaikan menggunakan metode branch and bound yang

terlebih dahulu merubah masalah integer programming ke bentuk pemrograman linier, kemudian digunakan metode simpleks untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier tersebut. Fungsi tujuan memaksimalkan penjualan rumah Z = 180.000.000X1 +

140.000.000X2 dan fungsi kendala bahan-bahan bangunan. Jumlah rumah untuk tipe

65 adalah 36 unit dan tipe 45 sebanyak 62 unit.

(7)

APPLICATION OF INTEGER PROGRAMMING TO PERUMAHAN BUMI SERGAI IN SEI RAMPAH

ABSTRACT

A housing will be built in Sei Rampah the Earth Housing Sergai, with two types. Type 65 (X1) and type 45 (X2). This problem will be modeled in the form of mathematical

models peogramming integer that is part of a linear programming problem, where the decision variables must be integers. Integer programming problem will be solved using the branch and bound method to first change the integer programming problem into a linear programming form, then use the simplex method to solve the linear programming problem. With the objective function of the selling price of the house Z = 180.000.000X1 + 140.000.000X2 and constraint functions of building materials. The

number of homes for Type 65 are 36 units and type 45 as many as 62 units.

(8)

DAFTAR ISI

Daftar Gambar viii

Daftar Lampiran ix

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 4

1.3 Batasan Masalah 4

1.4 Tinjauan Pustaka 5

1.5 Tujuan Penelitian 7

1.6 Kontribusi Penelitian 7

1.7 Metode Penelitian 7

Bab 2 Landasan Teori

2.1 Linear Programming 8

2.1.1 Model Linier Programming 8

2.1.2 Asumsi-Asumsi Linear Programming 13

2.1.3 Terminologi Linier Programming 14

2.1.4 Unsur-unsur Linier Programming 15

2.2 Pemrograman Bilangan Bulat (Integer Programming) 19

2.3 Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound) 27

Bab 3 Pembahasan

3.1 Pengumpulan Data 36

3.2 Hasil Pengumpulan Data 36

3.3 Perumusan Data ke dalam Model Matematika 38

3.4 Pengolahan Data 40

Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 49

4.2 Saran 49

(9)

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

2.1 Tabel Linear Programming 12

3.1 Data Perumahan Bumi Sergai 40

3.2 Tabel Simpleks 42

3.3 Tabel Simpleks I 42

3.4 Tabel Simpleks II 43

3.5 Tabel Simpleks III 43

3.6 Tabel Alternatif Pembulatan Jumlah Tipe Setiap Rumah

(10)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

2.1 Flowchart Algoritma Branch and Bound untuk IP

Optimasi Maksimum 32

2.2 Flowchart Algoritma Branch and Bound untuk IP

Optimasi Minimum 33

2.3 Skema Pengolahan Data 35

3.1 Diagram Branch and Bound Perumahan Bumi Sergai

(Titik X1 yang dicabangkan) 46

3.2 Diagram Branch and Bound Perumahan Bumi Sergai

(11)

ix

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

Lamp

1 Tabel QM 1 52

2 Tabel QM 2 53

3 Data Perumahan Bumi Sergai 55

4 Surat keputusan pengambilan data 56

5 Surat keputusan telah melakukan riset

Di Perumahan Bumi Sergai 57

6 Brosur Perumahan Bumi Sergai 58

(12)

ABSTRAK

Rumah tipe 65(X1) dan tipe 45(X2) akan dimodelkan ke dalam model matematika

berupa integer peogramming yang merupakan bagian dari masalah pemrograman linier, dimana variabel keputusan harus berupa bilangan bulat. Masalah integer

programming akan diselesaikan menggunakan metode branch and bound yang

terlebih dahulu merubah masalah integer programming ke bentuk pemrograman linier, kemudian digunakan metode simpleks untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier tersebut. Fungsi tujuan memaksimalkan penjualan rumah Z = 180.000.000X1 +

140.000.000X2 dan fungsi kendala bahan-bahan bangunan. Jumlah rumah untuk tipe

65 adalah 36 unit dan tipe 45 sebanyak 62 unit.

(13)

APPLICATION OF INTEGER PROGRAMMING TO PERUMAHAN BUMI SERGAI IN SEI RAMPAH

ABSTRACT

A housing will be built in Sei Rampah the Earth Housing Sergai, with two types. Type 65 (X1) and type 45 (X2). This problem will be modeled in the form of mathematical

models peogramming integer that is part of a linear programming problem, where the decision variables must be integers. Integer programming problem will be solved using the branch and bound method to first change the integer programming problem into a linear programming form, then use the simplex method to solve the linear programming problem. With the objective function of the selling price of the house Z = 180.000.000X1 + 140.000.000X2 and constraint functions of building materials. The

number of homes for Type 65 are 36 units and type 45 as many as 62 units.

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Optimasi adalah suatu proses pencarian hasil terbaik. Proses ini dalam analisis sistem

diterapkan terhadap alternatif yang dipertimbangkan, kemudian dari hasil tersebut

dipilih alternatif yang menghasilkan keadaan terbaik, yaitu dengan mencari solusi

optimum (maksimum atau minimum) sesuai dengan fungsi tujuan dan kendala yang

ada. Karena optimasi mencakup usaha untuk menemukan cara terbaik dalam

melakukan sesuatu pekerjaan dan cara terbaik dalam memecahkan suatu persoalan,

maka aplikasinya meluas pada hal-hal praktis dalam dunia industri, produksi,

perdagangan dan sebagainya.

Pertumbuhan jumlah penduduk yang terus meningkat berakibat kepada

kebutuhan akan rumah juga meningkat. Melihat keadaan ini banyak pengembang yang

bermunculan untuk menyediakan rumah tempat tinggal. Rumah yang dikembangkan

mulai dari rumah tipe sangat sederhana sampai tipe rumah mewah. Pengembang

biasanya lebih tertarik mengembangkan tipe rumah mewah karena keuntungan

marginalnya lebih bagus dibandingkan jika mengembangkan tipe rumah sederhana.

Namun disisi lain masyarakat lebih banyak membutuhkan tipe rumah sederhana sesuai

kemampuan mereka.

Menurut Lewis (1984 dalam Suparlan) masyarakat berpenghasilan rendah

adalah kelompok masyarakat yang mengalami tekanan ekonomi, sosial, budaya dan

politik yang cukup lama dan dapat menimbulkan budaya miskin. Sedangkan menurut

Asian Development Bank (ADB) masyarakat berpenghasilan rendah adalah

masyarakat yang tidak memiliki akses dalam menentukan keputusan yang

(15)

masyarakat; rendahnya kualitas hidup; buruknya etos kerja dan pola pikir mereka serta

lemahnya akses mereka terhadap aset lingkungan seperti air bersih dan listrik.

Kebutuhan akan rumah merupakan salah satu kebutuhan dasar (home needs)

bagi manusia setelah pangan dan sandang. Setiap individu manusia akan

mengutamakan pemenuhan kebutuhan dasar daripada kebutuhan sekundernya. Begitu

pula dengan kebutuhan akan rumah, setiap orang akan berusaha memenuhi kebutuhan

akan rumah dalam setiap tingkat kehidupan masyarakat dengan memperhatikan selera

dan kemampuan yang ada. Namun, tidak semua masyarakat bisa dengan mudah

membangun rumah, diperlukan berbagai hal sehingga rumah itu bisa didirikan dan

ditempati. Misalnya, tanah, kepemilikan tanah, struktur bangunan, tes kelayakan dan

perizinan pendirian bangunan. Banyak masyarakat yang tidak ingin direpotkan dengan

hal seperti itu, karena itu masyarakat yang ingin membangun atau membeli rumah

menempuh cara yang lebih efektif dan tidak menyita banyak waktu, yaitu dengan cara

membeli rumah sebuah agen rumah atau perumahan yang biasa disebut dengan

developer dan pembayarannya pun bisa dilakukan dengan cara tunai ataupun kredit

melalui sebuah lembaga perbankan yang sudah ditunjuk.

Rumah adalah bangunan yang berfungsi sebagai tempat tinggal atau hunian

dan sarana binaan keluarga. (Turner, 1972) menyatakan bahwa rumah mengandung

arti sebagai komoditi dan sebagai proses. Sebagai komoditi, rumah merupakan produk

yang bersifat ekonomis dan dapat diperjualbelikan berdasarkan permintaan dan

penawaran. Sebagai proses, rumah menggambarkan aktivitas manusia yang menjadi

proses penghuni rumah tersebut, yang dapat meningkat sesuai dengan kondisi sumber

daya yang ada serta pandangan atas kebutuhan sesuai persepsinya. Dalam hal ini

rumah tidak dapat dipandang sebagai bangunan fisik saja, namun lebih merupakan

bagaimana rumah tersebut digunakan penghuninya untuk saling berinteraksi dalam

suatu proses yang panjang.

Rumah merupakan salah satu bagian terpenting dalam kehidupan masyarakat.

Oleh sebab itu pemerintah akan selalu mengusahakan dalam tingkat kehidupan setiap

orang dengan memperhatikan selera dan kemampuan yang ada (Tito Soetalaksana,

(16)

prasarana. Bila telah dapat menunjang kehidupan dan perikehidupan manusia maka

disebut sebagai permukiman.

Sebuah perumahan akan dibangun di daerah Sei Rampah, Perumahan itu diberi

nama Bumi Sergai. Rumah-rumah yang akan dibangun mempunyai beberapa tipe,

yaitu tipe 45 dan tipe 65. Masalah yang akan dibahas adalah pengoptimalan

pemakaian bahan-bahan bangunan yang akan digunakan untuk membangun

rumah-rumah tersebut. Bahan-bahan tersebut terdiri dari semen, batu bata, pasir, seng, kayu,

gypsum, besi, paku, keramik dan batu koral. Agar pembangunan perumahan untuk

setiap tipe mencapai optimal maka digunakan sebuah metode branch and bound

dengan formulasi program integer ( program linier integer).

Program integer adalah program linear (Linear Programming) di mana

variabel-variabelnya bertipe integer. Program integer digunakan untuk memodelkan

permasalahan yang variabel-variabelnya berupa bilangan yang tidak bulat (bilangan

real). Program integer juga biasanya lebih dipilih untuk memodelkan suatu

permasalahan dengan variabel berupa bilangan real yang mana dalam memodelkan

permasalahan menuntut solusi berupa bilangan integer, misalnyakeuntungan produksi

3 pesawat dibandingkan dengankeuntungan produksi 3,5 pesawat akan menghasilkan

selisih keuntungan yang signifikan.

Model Program integer biasanya dipilih untuk permasalahan yang

variabel-variabelnya tidak dimungkinkan bertipe bilangan tidak bulat, misalnya: variabel

jumlah orang. Program integer dapat diselesaikan dengan banyak cara, antara lain :

menggunakan grafik, metode eliminasi dan substitusi dan sebagainya. Salah satu cara

yang cukup efektif untuk menyelesaikan program integer adalah dengan

mengaplikasikan algoritma Branch and Bound (Shieny, 2007).

Algoritma Branch and Bound adalah metode algoritma umum untuk mencari

solusi optimal dari berbagai permasalahan optimasi, terutama untuk optimasi diskrit

dan kombinatorial. Sebagaimana pada algoritma runut-balik (Backtracking), algoritma

Branch and Bound juga merupakan metode pencarian di dalam ruang solusi secara

(17)

membedakan keduanya adalah bila pada algoritma runut-balik (Backtracking), ruang

solusi dibangun secara dinamis berdasarkan skema DFS (Depth First Search), maka

pada algoritma Branch and Bound ruang solusi dibangun dengan skema BFS (Breadth

First Search) (Shieny, 2007).

Algoritma Branch and Bound banyak digunakan untuk memecahkan berbagai

macam permasalahan antara lain : persoalan Knapsack 0/1, Travelling Salesman

Problem (TSP), The N-Queens Problem (Persoalan N-Ratu), Graph Colouring

(Pewarnaan Graf), Sirkuit Hamilton, Integer Programming, Nonlinear Programming,

Quadratic Assignment Problem (QAP), Maximum Satisfiability Problem

(MAX-SAT), dan lain sebagainya. Berdasarkan kondisi-kondisi di atas maka penulis

mengambil judul tugas akhir ini sebagai : “APLIKASI PROGRAM INTEGER PADA PERUMAHAN BUMI SERGAI DI SEI RAMPAH”.

1.2Perumusan Masalah

Permasalahan dalam tulisan ini menentukan jumlah tipe rumah yang akan dibangun

sehingga memenuhi aspek pasar dalam penyediaan rumah sederhana, terjangkau dan

sesuai dengan kemampuan pembeli.

1.3Batasan Masalah

Banyak metode yang ada untuk menentukan penyelesaian integer programming.

Namun agar penyelesaian permasalahan tidak menyimpang dari pembahasan, penulis

merasa perlu membuat pembatasan permasalahan yaitu:

1. Hanya membahas metode branch and bound sebagai penyelesaian integer

programming.

2. Memaksimalkan penjualan rumah dengan fungsi kendala bahan bangunan.

3. Solusi optimum variabel keputusan harus bernilai integer

4. Model matematika diperoleh dari data yang diambil dari Perumahan Bumi

Sergai di Sei Rampah.

5. Asumsikan bahan bangunan yang dijadikan fungsi kendala yang parameternya

(18)

dalam model matematika. Bahan bangunan tersebut yaitu semen, pasir dan

keramik.

1.4Tinjauan Pustaka

Istilah integer programming atau integer linear programming berhubungan dengan

masalah program linier (linear programming) yang domain dari semua atau sebagian

variabel-variabel masalah dibatasi integer (Paul R. Thie, 1979).

Integer programming merupakan sebuah formulasi dalam operasi riset, yang

mempunyai potensi untuk diaplikasikan. Model-model integer programming muncul

di setiap aplikasi-aplikasi pemrograman matematis (mathematical programming),

seperti penganggaran modal, penempatan gudang dan penjadwalan ( Charles S.

Beighler dkk, 1979).

Program linier merupakan suatu model program linier yang khusus digunakan

untuk menyelesaikan suatu problem program linier di mana nilai variabel keputusan

yang penyelesain optimalnya harus merupakan bilangan bulat. Persyaratan bahwa

nilai variabel keputusan harus bilangan bulat (integer) seperti rumah, pabrik, tugas,

dan lain-lain (Parlin Sitorus, 1997).

Program integer atau dikenal dalam bahasa inggris dengan integer

programming merupakan bentuk khusus atau variasi dari program linear atau program

non linear, di mana satu atau lebih dari peubah-peubahnya dalam vektor

penyelesainnya memiliki nilai-nilai bukan pecahan atau angka bulat yang disebut

integer (Nasendi, B. D. dan Affendi Anwar, 1984).

Pemrograman linier integer adalah salah satu teknik analisis dari kelompok

teknik riset operasi yang memakai model matematika. Tujuannya adalah untuk

mencari, memilih, dan menentukan alternatif yang terbaik dari antara sekian alternatif

layak yang tersedia. Dikatakan linier karena peubah-peubah yang membentuk model

pemrograman dianggap linier. Pemrograman linier pada hakekatnya merupakan suatu

(19)

alternatif pemecahan masalah, kemudian dipilih mana yang terbaik diantaranya dalam

menyusun strategi dan langkah-langkah kebijakan lebih lanjut tentang alokasi sumber

daya dan dana yang terbatas guna mencapai tujuan atau sasaran yang diinginkan

optimal.

Maksimumkan

Kendala

Metode yang sangat berguna dalam memecahkan masalah pemrograman

matematis adalah branch and bound. Algoritma branch and bound, digunakan untuk

memecahkan masalah pemrograman integer. Algoritma ini berasal dari karya Land

dan Doig, diterbitkan pada tahun 1960 (Paul R. Thie, 1979).

Branch and bound pada dasarnya adalah strategi "membagi dan

menaklukkan". Idenya adalah untuk mempartisi daerah layak dalam subdivisi dan

kemudian dikelola lagi, jika diperlukan, untuk partisi lebih lanjut(Bradley dkk, 1977).

Awalnya algoritma branch and bound dipahami sebagai pemrograman

mundur(backtracking), namun telah ditemukan cara yang lebih umum dalam

pengaplikasian solusi integer dan mixed integer programming. Perhatikan bahwa

diperlukan batas atas dan bawah pada semua variabel. Kemudian dapat diasumsikan

bahwa semua batas bawah adalah nol karena transformasi sederhana akan selalu

mengubah semua variabel kembali ke asal. Jika N adalah nol, maka itu adalah integer

linear programming; jika semua variabel dibatasi dengan nol-satu, maka itu disebut

program bilangan bulat biner. Semua himpunan masalah dapat diselesaikan dengan

menggunakan prosedur branch and bound. Konsep yang mendasari strategi branch

(20)

berikut

[ ]

x_j +1≥x_j ≥

[ ]

x_j . Dimana [xj] adalah bilangan bulat (integer) yang lebih

besar, kurang dari atau sama dengan nilai xj (Charles S. Beighler dkk, 1979).

1.5Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan ini adalah untuk memformulasikan jumlah berbagai tipe rumah yang

dibangun dalam pembangunan perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah sehingga

mencapai solusi optimum dengan kendala berupa bahan bangunan yang variabel

keputusannya harus berupa bilangan bulat.

1.6Kontribusi Penelitian

Tulisan ini dapat menambah referensi yang berhubungan dengan masalah integer

programming dengan pendekatan algoritma branch and bound, dan menjadi bahan

pertimbangan untuk membangun perumahan Bumi Sergai tersebut.

1.7Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam masalah ini adalah :

1. Melakukan studi yang berhubungan dengan Integer Programming

menggunakan algoritma Branch and Bound berupa jurnal, artikel dan buku.

2. Observasi ke tempat penelitian dan memahami informasi dari teori yang

berkaitan dengan topik penelitian. Data yang diambil:

a. Bahan-bahan yang digunakan yaitu: batu bata, semen, pasir, seng, besi,

batu koral, gybsum, paku, kayu dan keramik.

b. Harga jual rumah per unit

c. Luas bangunan

3. Mengolah data yang diperoleh dari Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah,

memformulasikannya ke model matematika.

4. Kesimpulan dari hasil pengolahan data secara optimal dengan menggunakan

(21)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Linear Programming

2.1.1 Model Linier Programming

Pemrograman linier adalah sebuah model matematik untuk menjelaskan suatu

persoalan optimasi. Istilah linier menunjukkan bahwa seluruh fungsi matematik di

dalam model harus berupa fungsi linier; sedang kata pemrograman dalam istilah ini

pada hakekatnya sinonim dengan perencanaan. Oleh karena itu, Pemrograman linier

mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil optimal, yaitu hasil

yang memberikan nilai tujuan terbaik ( Siswanto, 1990).

Pemrograman linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan

pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang

bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dapat dilakukan (Dimyati dan A.

Dimyati, 1987).

Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan program linier adalah

merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang

tersedia. Sesudah masalah dirumuskan dengan baik, maka langkah berikutnya adalah

menerjemahkan masalah ini ke dalam bentuk model matematika, yang terang

mempunyai cara pemecahan yang lebih mudah dan rapi guna menemukan jawaban

terhadap masalah yang dihadapi ( Siagian, 1987).

Sebagai contoh dari pemecahan masalah dengan menggunakan program linier

adalah keadaan bagian produksi suatu perusahaan yang dihadapkan pada masalah

penentuan tingkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan

(22)

untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal (Subagyo

et al., 1990).

Linier programming merupakan suatu model umum yang dapat digunakan

dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara

optimal. Linier programming memakai suatu model matematis yang menggambarkan

masalah yang dihadapi. Linier memiliki arti bahwa semua fungsi matematis dalam

model harus merupakan fungsi-fungsi linier, sedangkan programming/pemrograman

dapat diartikan sebagai perencanaan. Dengan demikian linier programming dapat

didefinisikan sebagai membuat rencana kegiatan-kegiatan dengan menggunakan suatu

model umum dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber daya-sumber daya

yang terbatas secara optimal.

Model pemrograman linier memiliki tiga unsur dasar, yaitu (1) variabel

keputusan merupakan variabel yang akan dicari dan memberi nilai yang paling baik

bagi tujuan yang hendak dicapai (2) fungsi tujuan menunjukkan fungsi matematik

yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan dan mencerminkan tujuan yang

hendak dicapai, dan (3) fungsi kendala menunjukkan fungsi matematik yang menjadi

kendala bagi usaha untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan dan

mewakili kendala-kendala yang harus dihadapi oleh organisasi (Siswanto, 1990).

Model dasar atau Persamaan linier dapat dirumuskan sebagai berikut :

Cari nilai-nilai yang dapat menghasilkan berbagai kombinasi

optimum (maksimum atau minimum) dari :

Dengan syarat bahwa fungsi tujuan tersebut memenuhi kendala sebagai

(23)

. . . .

. . . .

atau dalam bentuk umumnya :

optimumkan (maksimumkan atau minimumkan) :

dengan syarat ikatan :

Untuk:

= Parameter yang dijadikan kriteria optimasi, atau koefisien peubah

pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan.

= Peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari; yang tidak

diketahui).

= Koefisien peubah pengambilan keputusan dalam kendala ke-i.

= Sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau usaha yang

bersangkutan; disebut pula konstanta atau “nilai sebelah kanan” dari kendala

ke-i.

= Nilai skalar kriteria pengambilan keputusan; suatu fungsi tujuan.

(24)

Konsep linier programming ditemukan dan diperkenalkan pertama kali oleh

George Dantzig yang berupa metode mencari solusi masalah linier programming

dengan banyak variabel keputusan. Kemudian banyak ahli yang bergabung dengan

Dantzig dalam konsep pengembangan linier programming. Paper pertamanya adalah

metode solusi yang bernama metode simplex. Dalam pengembangan linier

programming, Dantzig bekerjasama dengan Marshal Wood dan Alex O, dan masih

banyak para ahli yang lainnya ikut. Kemudian, setelah berhasil diterapkan pada sektor

pemerintah dan swasta, akhirnya disadari bahwa linier programming merupakan

masalah yang sangat membantu dalam analisis bidang bisnis.

Model Linier Programming ini merupakan bentuk dan susunan dalam

menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik linier

programming. Dalam model linier programming dikenal 2 (dua) macam fungsi, yaitu :

1. Fungsi Tujuan (objective function) adalah fungsi yang menggambarkan

tujuan/sasaran di dalam permasalahan linier programming yang berkaitan dengan

pengaturan secara optimal, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya

minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z.

2. Fungsi Batasan (constraint function) adalah bentuk penyajian secara matematis

batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke

(25)

Tabel 2.1 Tabel Linier Programming

1 2 3 4 5

1

0 0 0 0 2

1 0 0

0 0 0

. . . 3

0 1 0

. . .

0 0 1

Kolom 1 : Faktor prioritas dan bobot untuk setiap variabel deviasi positif

(yakni variabel basis) dan memasukkan variabel deviasi artificial

seperti ditampilkan dalam kolom 2

Kolom 2 : Nilai total deviasi absolut, yang mewakili jumlah total deviasi dari

semua tujuan untuk tiap table sebagai iterasi proses pendapatan

Kolom 3 : Koefisien variabel keputusan

Kolom 4 : Matriks identitas menunjukkan pemasukan variabel deviasi negatif

Kolom 5 : Nilai sebelah kanan

Baris 1 : Variabel keputusan dan variabel deviasi

Baris 2 : Vektor baris dari penunjuk nol pada proses perhitungan

Baris 3 : Bobot untuk setiap variabel deviasi yang dimasukkan dalam

fungsi objektif

Bentuk standard dari pemrograman linier menurut Taha (1982) mempunyai

(26)

1. Seluruh fungsi pembatas nilai ruas kanannya tidak bernilai negatif

2. Seluruh variabel keputusan tidak bernilai negatif

3. Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasi

2.1.2 Asumsi-Asumsi Dasar Linier Programming

Dalam model linier programming terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi agar

permasalahan linier programming menjadi absah, adapun asumsi linier programming

adalah sebagai berikut :

1. Kesebandingan (Proportionality)

Asumsi ini menyatakan bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan

sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding

(propotional) dengan perubahan tingkat kegiatan.

Contoh :

a.

Setiap pertamabahan 1 unit akan menaikkan Z sebesar

b.

Setiap pertama bahan 1 unit akan menaikkan penggunaan sumber

sebesar

2. Penambahan (Additivity)

Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan setiap kegiatan bersifat

independent (bebas/tidak saling bergantung) dan dalam linier programming

dianggap bahwa kenaikan nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh suatu

kegiatan dapat langsung ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai

kegiatan lain.

misalnya :

(27)

dengan = 10 ; = 2

sehingga Z = 30 + 10 = 40

Andaikan bertambah 1 unit, maka sesuai dengan asumsi pertama,

nilai Z menjadi 40 + 3 = 43. Jadi nilai 3 karena kenaikan dapat langsung

ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang

diperoleh dari kegiatan 2 ( ). Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara

dan .

3. Pembagian (Divisibility)

Dalam linier programming diperbolehkan menggunakan angka

pecahan.

Misalnya :

Dari hasil perhitungan didapat nilai = 4,5 ; = 7,25 dan Z =

85.000,25.

Dalam hal tertentu nilai pecahan ini harus dibulatkan dengan

menggunakan integer, misalnya : jumlah mahasiswa diperguruan tinggi tidak

mungkin dalam bentuk pecahan.

4. Kepastian (Deteministic)

Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam

model linier programming yang berupa , dan dapat diketahui secara

pasti.

2.1.3 Terminologi Linier Programming

Agar memahami dengan baik bidang yang dipelajari , pembaca selalu harus mengerti

istilah-istilah dan lambang-lambang khusus yang digunakan orang dalam bidang studi

itu. Berikut ini adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan

(28)

1. Variabel Keputusan (decision variable)adalah seperangkat variabel yang tidak

diketahui (dilambangkan , dengan j = 1, 2, . . . , n) yang akan dicari nilainya

(varibel keputusan)

2. Nilai Sebelah Kanan (Right hand side value) adalah nilai-nilai yang biasanya

menunjukkan ketersediaan sumber daya (dilambangkan dangan ) yang akan

ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya ( nilai sisi kanan ).

3. Variabel Dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari

persamaan.

4. Kolom Kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel.

Pilih kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai

negatif dengan angka terbesar.

5. Baris Kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel

tersebut. Untuk itu terlebih dahulu carilah indeks tiap-tiap baris dengan cara

membagi nilai-nilai pada kolom RHS dengan nilai yang sebaris pada kolom

kunci.

6. Angka kunci (pivot) merupakan perpotongan antara kolom kunci dengan baris

kunci.

2.1.4 Unsur-Unsur Linier Programming

Setiap model Linier Programming paling sedikit terdiri dari dua komponen yaitu :

fungsi tujuan, dan kendala.

Fungsi Tujuan

Adapun tujuan dalam linier programming, yaitu:

Minimumkan/Maksimumkan

Dalam hal ini peubah deviasi positif dan deviasi negatif adalah peubah-peubah

slek dan surplus.

Model Linier Programming, nilai yang tidak diketahui, tetapi akan

diselesaikan secara tidak langsung melalui minimisasi/maksimasi deviasi negatif dan

positif dari nilai RHS kendala tujuan. Linier programming mencari nilai solusi

(29)

Kendala Tujuan

Ada empat jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu

ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan. Pada Tabel 2.1 disajikan keempat

jenis kendala itu. Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua

variabel deviasi yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya

kendala-kendala yang tidak memiliki variabel deviasi. Kendala-kendala-kendala ini sama seperti

kendala-kendala persamaan linier. Persamaan pertama pada Tabel 2.1 maknanya

serupa dengan kendala pertidaksamaan ≤ dalam masalah program linier maksimasi.

Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≥ pada masalah

program linier minimisasi. Persamaan ketiga memperbolehkan deviasi dua arah yaitu

≤ dan ≥, tetapi persamaan ini mencari penggunaan sumber daya yang diinginkan sama dengan . Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model linier

programming, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variabel

, seperti pada persamaan keempat.

Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan

pemrograman linier ini, yaitu cara grafis dan metode simpleks (Dimyati dan

A.Dimyati, 1992).

1. Metode Grafik

Metode grarik dapat digunakan pada pemrograman linier jika masalah yang

dihadapi mengandung tidak lebih dari dua variabel (Taha, 1982).

Menurut Dimyati dan A.Dimyati (1992), metode grafik telah

memberikan satu petunjuk penting bahwa untuk memecahkan

persoalan-persoalan pemrograman linier, hanya perlu memperhatikan titik ekstrem (titik

terjauh) pada ruang solusi atau daerah fisibel.

2. Metode Simpleks

Metode simpleks adalah prosedur pemecahan pemrograman linier yang lebih

efisien daripada metode grafik. Penerapan metode simpleks pada masalah

program linier dikembangkan untuk pertama kali oleh George Dantzig pada

(30)

Metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil

dikembangkan untuk memecahkan persoalan pemrograman linier yang

mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas yang besar (Dimyati dan

A. Dimyati, 1992).

Perhitungan metode simpleks merupakan proses iterasi. Hal ini berarti

bahwa untuk mencapai solusi yang optimal, perhitungan dilakukan

berulang-ulang mengikuti pola standard secara sistematik. Karakteristik lain pada

metode simpleks adalah pada nilai fungsi tujuannya akan sama atau lebih besar

pada solusi terbaru dibandingkan dengan solusi terdahulu (Levin et el, 1982).

Di dalam menyelesaikan persoalan pemrograman linier dengan

menggunakan metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah bentuk

standard (Dimyati dan A. Dimyati).

Menurut Gillet (1976), untuk mengubah suatu bentuk formulasi

pemrograman linier yang belum standard ke dalam bentuk standard dapat

dilakukan cara-cara sebagai berikut :

a. Peubah tambahan (slack variable)

Konversi fungsi ketidaksamaan lebih kecil sama dengan (≤) pada

fungsi pembatas memerlukan tambahan suatu peubah yang disebut

peubah tambahan, peubah ini menggambarkan tingkat

pengangguran dari sumber daya. Jika ada m fungsi ketidaksamaan

(≤) pada fungsi pembatas dan terdapat r peubah kebijaksanaan

dalam formulasi permasalahan maka dengan penambahan peubah

(31)

dimana adalah peubah tambahan (slack variable).

Penambahan peubah tambahan juga akan mengubah fungsi tujuan

menjadi :

maks / min

b. Peubah buatan

Apabila dalam fungsi pembatas terdapat ketidaksamaan lebih besar

sama dengan (≥) maka fungsi pembatas dapat diubah menjadi

bentuk persamaan dengan mengurangi pertidaksamaan oleh sebuah

peubah positif, sebagai berikut :

Peubah merupakan suatu peubah yang biasa disebut sebagai

peubah tambahan. Metode simpleks belum dapat diterapkan dengan

formulasi seperti di atas karena dalam metode simpleks dibutuhkan

kondisi-kondisi berikut:

1. Semua konstanta pada sisi kanan persamaan bernilai lebih besar

atau sama dengan nol.

2. Setiap persamaan harus mempunyai sebuah peubah

berkoefisien satu pada persamaan tersebut dan nol pada

persamaan yang lain.

Persamaan di atas, agar dapat diselesaikan dengan metode

simpleks, maka harus diubah menjadi :

Akibat penambahan peubah buatan maka perlu

penambahan suatu bilangan (-M) untuk masalah maksimasi pada

(32)

Pada fungsi pembatas yang berbentuk persamaan, peubah

buatan perlu ditambahkan untuk memenuhi kondisi (2) pada

metode simpleks. Perubahan fungsi pembatas yang berbentuk

persamaan dengan adanya penambahan peubah buatan adalah

sebagai berikut:

menjadi :

dan fungsi tujuannya menjadi :

2.2Pemrograman Integer (Integer Programming)

Persoalan Integer Programming (IP) adalah persoalan pemrograman

(programming) di mana pemecahan optimalnya harus menghasilkan bilangan

bulat (integer) jadi bukan pecahan. Dengan perkataan lain dari antara berbagai

bilangan bulat, harus dicari nilai-nilai variabel yang fisibel dan membuat fungsi

tujuan (Objective function) maksimum (Supranto, 1980).

Pemrograman integer (Integer Programming) adalah suatu model

pemrograman linier dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat. jika

semua variabel harus berupa bilangan bulat, maka masalah tersebut dinamakan

pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, maka

disebut mixed integer programming. Integer programming dengan semua

variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 integer programming (Garfinkel

(33)

Program bilangan bulat adalah suatu bentuk dari program linier yang asumsi

divisibilitasnya melemah. Bentuk ini muncul karena kenyataannya tidak semua

variabel keputusan merupakan suatu angka pecahan (Dimyati dan A. Dimyati

1987).

Menurut Taha (1975), optimasi bilangan bulat bukan merupakan sebuah

persoalan matematika baru, dan dalam penelitian operasional dikenal sejak tahun

1940. Optimasi bilangan bulat penting digunakan pada pemecahan masalah yang

disusun sebagai sebuah hasil perkembangan pada bidang penelitian operasional,

terutama sekali pada persoalan program linier. Hal itu diperlukan untuk

pemecahan model penyusunan pada beberapa atau semua variabel keputusan agar

integer (bilangan bulat).

Pemrograman bilangan bulat (Integer programming)

dibutuhkan ketika keputusan harus dilakukan dalam bentuk bilangan bulat

(bukan pecahan yang sering terjadi bila kita gunakan metode simpleks).

Model matematis dari pemrograman bulat sebenarnya sama dengan model

linear programming, dengan tambahan batasan bahwa variabel keputusannya

harus bilangan bulat. Integer programming adalah suatu program linier dengan

tambahan persyaratan bahwa semua atau beberapa variabel bernilai bulat non

negatif, tetapi tidak perlu bahwa parameter model juga bernilai bulat.

Secara umum menurut Dimyati dan A. Dimyati (1992), model persoalan

pemrograman bilangan bulat (Integer Programming) dapat diformulasikan sebagai

berikut:

Maks/Min :

(34)

bilangan bulat (integer) untuk

Algoritma yang dianggap cukup baik untuk memberikan solusi optimum

dalam pemrograman bilangan bulat (Integer Programming) adalah pencabangan dan

pembatasan (branch and bound) dan pemotongan bidang datar (cutting plane)

(Dimyati dan A. Dimyati, 1992).

Ada berbagai pendekatan untuk masalah IP. Pendekatan yang akan dibahas di

bawah ini termasuk Pembulatan (Rounding), Cabang dan Batas (Branch and Bound),

Pemotongan Bidang Datar (Cutting Plane), Relaksasi Lagrangian (Lagrangian

Relaxation) dan Benders Dekomposisi (Benders Decomposition) (Bruce A. McCarl

dan T.H.Spreen, 1997).

a. Pemotongan Bidang Datar (Cutting Plane)

Ada berbagai algoritma yang tersedia untuk penyelesaian masalah IP. Alasan

banyaknya inilah bahwa tidak ada algoritma telah terbukti secara komputasi

yang efisien untuk semua masalah, dan dengan demikian pencarian kontinu

untuk algoritma-algoritma yang lebih efektif. Berdasarkan masalah pure

integer programming, yaitu, masalah LP standar dengan pembatasan integer

pada semua variabel. Ide fundamental yang mendasari algoritma gomory’s

cutting plane adalah untuk menambahkan kendala untuk masalah satu per satu

sehingga akhirnya memiliki masalah LP dengan solusi optimal dengan

koordinat integer (Paul R. Thie, 1979).

Pendekatan yang dilakukan dalam teknik pemotongan bidang datar

(Cutting plane) adalah dengan membuat pembatas tambahan yang memotong

ruang layak dari LP relaksasi sehingga dapat mengeliminasi solusi yang

tidak integer . Proses pemotongan akan terus berlangsung sehingga diperoleh

jawab dengan seluruh variabel (yang dikehendaki) berharga bilangan bulat

(integer) (Dimyati dan A. Dimyati, 1992).

Menurut Dimyati dan A. Dimyati (1992), keberhasilan teknik ini

(35)

hanya persoalan tertentu yang dapat diselesaikan dengan teknik ini. Karena itu,

sekarang teknik ini hampir tidak pernah lagi digunakan.

Algoritma IP pertama kali diselesaikan dengan konsep cutting plane.

Cutting plane menghapus bagian dari daerah fisibel tanpa menghapus poin

solusi bilangan bulat. Ide dasar di balik sebuah cutting plane adalah bahwa

titik bulat yang optimal dekat dengan solusi LP optimal, tetapi tidak jatuh di

persimpangan kendala sehingga kendala tambahan perlu dipaksakan.

Akibatnya, kendala yang ditambahkan untuk memaksa solusi LP integer

menjadi tidak layak tanpa menghilangkan solusi bilangan bulat. Hal ini

dilakukan dengan menambahkan kendala memaksa variabel nonbasis lebih

besar dari nilai nol kecil (Bruce A. McCarl dan T.H.Spreen, 1997).

Beberapa poin yang perlu diperhatikan untuk membuat pendekatan

Cutting plane. Pertama banyak pemotongan yang mungkin perlu diperbaiki

untuk memperoleh sebuah solusi integer. Kedua solusi integer pertama yang

ditemukan adalah solusi optimal. Solusi ini ditemukan setelah pemotongan

hanya ditambahkan ke daerah hasil solusi optimal. Akibatnya jika algoritma

solusi ditemukan, keluar tanpa sebuah solusi yang dapat diterima (Bruce A.

McCarl dan T.H.Spreen, 1997).

Algoritma bekerja sebagai berikut, pertama-tama menyelesaikan

masalah LP asli dengan mengabaikan pembatasan yang integer. Kemudian,

jika solusi ini memiliki semua koordinat integer, maka itu merupakan solusi

optimal untuk masalah IP, masalah selesai. jika tidak, buat kendala baru yang

akan menambah masalah. Kendala ini akan memiliki dua sifat dasar: pertama,

solusi optimal noninteger untuk masalah LP asli tidak akan memenuhi kendala

ini, dan kedua, semua solusi layak integer masalah asli akan memenuhi

kendala asli baru. Sehingga kendala ini pada dasarnya memotong subset dari

himpunan solusi layak untuk masalah LP, tapi subset yang tidak berisi integer

(36)

Langkah-langkah dari algoritma gomory’s cutting plane untuk masalah

IP murni:

1. Memecahkan masalah LP yang sesuai hanya mengabaikan pembatasan

integer pada X. Jika solusi ini memiliki semua koordinat integer, maka itu

adalah solusi optimal untuk masalah asli.

2. Jika tidak kendala baru ditambahkan ke masalah.

a) Untuk membangun kendala ini, memilih baris dari solusi akhir tabel

optimal dari masalah LP dengan non terpisahkan konstan istilah bi.

(menggunakan baris yang mengandung istilah konstan dengan nilai

pecahan terbesar dapat mengurangi jumlah iterasi yang diperlukan

untuk konvergensi.)

b) Seandainya baris ke-i dipilih dan persamaan yang sesuai adalah

Maka bentuk kendala

Dimana

fij = aij – [ aij ] = bagian pecahan dari aij

fi = bi – [ bi ] = bagian pecahan dari bi

x = sebuah variabel slack baru, terbatas menjadi nonnegatif dan

integral

c) Tambahkan kendala ini ke masalah dan kembali ke langkah 1.

(Paul R. Thie, 1979).

Kelemahan dari algoritma cutting plane adalah kesalahan-kesalahan

pada pembulatan yang dilakukan dalam perhitungan dapat menghasilkan

jawaban bilangan bulat yang salah. Selain itu jawaban dari persoalan masih

belum fisibel berarti tidak ada jawaban bilangan bulat yang diperoleh sampai

jawaban bilangan bulat yang optimal dicapai tadi, dan ini berarti bahwa tidak

ada jawaban bilangan bulat yang baik jika perhitungan dihentikan lebih awal

sebelum mencapai hasil jawaban yang optimal (Aswan, 1979).

(37)

Pembulatan adalah pendekatan yang paling naif untuk solusi masalah IP.

Pendekatan pembulatan melibatkan pemecahan masalah sebagai masalah LP

diikuti dengan upaya untuk membulatkan solusi ke solusi yang integer dengan:

a) menghilangkan semua bagian pecahan, atau b) mencari tahu solusi yang

memenuhi dimana nilai-nilai variabel yang disesuaikan dengan dekatnya lebih

besar atau lebih kecil nilai integer. Pembulatan mungkin adalah pendekatan

yang paling umum untuk memecahkan masalah IP. Masalah LP Sebagian

besar melibatkan variabel dengan nilai pecahan solusi yang pada kenyataannya

adalah integer (yaitu, kursi diproduksi, ayam dipotong). Istilah pecahan dalam

solusi tidak masuk akal, tetapi kadang-kadang dapat diterima jika pembulatan

memperkenalkan perubahan yang sangat kecil dalam nilai variabel

(pembulatan yaitu 1003421,1-1.003.421 atau bahkan 1.003.420 mungkin dapat

diterima) (Bruce A. McCarl dan T.H.Spreen, 1997).

Secara umum, pembulatan sering praktis, tetapi harus digunakan

dengan hati-hati. Salah satu harus membandingkan solusi yang dibulatkan dan

tidak dibulatkan untuk melihat apakah setelah pembulatan: a) kendala

memenuhi secara memadai, dan b) apakah perbedaan antara LP optimal dan

pembulatan nilai fungsi objektif cukup kecil. Jika demikian IP biasanya tidak

efektif dan solusi yang bulat dapat digunakan. Di sisi lain, jika ditemukan

fungsi tujuan bulat diubah secara bermakna atau kendala melanggar dari sudut

pandang pragmatis, maka latihan IP formal perlu dilakukan (Bruce A. McCarl

dan T.H.Spreen, 1997).

c. Relaksasi Lagrangian (Lagrangian Relaxation)

Relaksasi Lagrangian (Geoffrion (1974), Fisher (1981, 1985)) merupakan

salah satu bidang pengembangan algoritmik IP. Relaksasi Lagrangian

mengacu pada prosedur dimana beberapa kendala yang direlaksasikan ke

dalam fungsi tujuan menggunakan sebuah pendekatan yang dibentuk oleh

pengganda Lagrangian. Bentuk dasar Relaksasi Lagrangian untuk program

bilangan bulat campuran:

Maksimum CX + FY

Kendala AX + GY ≤ b

(38)

X ≥ 0, Y ≥ 0 dan integer

melibatkan penemuan suatu himpunan Lagrange Multiplier untuk beberapa

kendala dan merelaksasi himpunan kendala ke dalam fungsi tujuan. Mengingat

bahwa yang dipilih untuk direlaksasi himpunan kedua kendala menggunakan

lagrange multiplier masalah menjadi:

Maksimum CX + FY – λ( DH + HY – e )

AX + GY ≤ b

X ≥ 0, Y ≥ 0 dan integer

Ide utama adalah untuk menghilangkan kendala yang sulit dari masalah

sehingga program integer jauh lebih mudah untuk dipecahkan. Masalah IP

dengan struktur seperti itu dari masalah transportasi dapat langsung

diselesaikan dengan LP. Caranya kemudian adalah memilih kendala yang tepat

untuk direlaksasi dan untuk mengembangkan nilai-nilai untuk pengali lagrange

mengarah ke solusi yang tepat.

Relaksasi Lagrangian telah digunakan dalam dua pengaturan: 1) untuk

meningkatkan kinerja batas pada solusi, dan 2) untuk mengembangkan solusi

yang dapat disesuaikan secara langsung atau melalui heuristik sehingga

mereka layak dalam keseluruhan masalah (Fisher (1981, 1985)) . Sebuah hasil

penting Relaksasi Lagrangian adalah merelaksasi masalah yang memberikan

batas atas solusi untuk masalah yang tidak direlaksasi pada setiap tahap.

Relaksasi Lagrangian telah banyak digunakan dalam algoritma cabang dan

terikat untuk menurunkan batas atas untuk masalah untuk melihat apakah

traversal bawah yang dicabangkan layak (Bruce A. McCarl dan T.H.Spreen,

1997).

d. Dekomposisi Bender (Benders Decomposition)

Algoritma lain untuk IP disebut Dekomposisi Bender. Algoritma ini

memecahkan program bilangan bulat campuran melalui eksploitasi struktural.

Benders mengembangkan prosedur, selanjutnya disebut Dekomposisi Bender,

yang menguraikan masalah mixed integer menjadi dua masalah yang

diselesaikan secara iteratif - masalah utama bilangan bulat dan subproblem

(39)

Keberhasilan prosedur melibatkan struktur subproblem dan pilihan

subproblem tersebut. Prosedur dapat bekerja sangat buruk untuk struktur

tertentu.

Masalah dekomposisi mixed IP adalah:

Maksimum FX + CZ

Kendala GX ≤ b1

HX + AZ ≤ b2

DZ ≤ b3

X integer, Z ≥ 0

Pengembangan dekomposisi masalah ini berlangsung dengan iteratif

mengembangkan titik layak X* dan memecahkan subproblem yang:

Maksimum CZ

Kendala AZ ≤ b2 – HX* (α)

DZ ≤ b3 (γ)

Z ≥ 0

Solusi untuk subproblem ini menghasilkan variabel dual dalam tanda kurung.

Q merupakan penafsiran dari CZ. Dalam mengubah "master" Masalah

dibentuk sebagai berikut:

Penggunaan dekomposisi Benders melibatkan penguraian masalah

yang tepat dan / atau struktur masalah yang akan menuju kesatu titik dengan

cepat. Pernyataan umum yang dapat dibuat adalah:

a) Metode dekomposisi tidak bekerja dengan baik ketika variabel X yang

dipilih oleh masalah master tidak menghasilkan subproblem layak. Dengan

demikian, semakin akurat kendala dalam masalah master menggambarkan

kondisi subproblem, semakin cepat akan konvergensi. (Lihat Geoffrion dan

Graves, Danok, McCarl dan White (1978), Polito, Magnanti dan Wong,

(40)

b) Daerah feasible dari masalah master baik lebih dibatasi. (Lihat Magnanti

dan Wong,. Dan Sherali)

c) Bila mungkin, kendala harus dimasukkan dalam masalah master

menghalangi solusi layak yang belum realistis (suboptimal) untuk

keseluruhan masalah. (Lihat kendala mesin minimum di Danok, McCarl

dan White, 1978.)

(Bruce A. McCarl dan T.H.Spreen, 1997).

2.3Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound)

Branch and bound bukan sebuah teknik solusi khusus terbatas untuk masalah integer

programming. Branch and bound adalah pendekatan solusi yang dapat diterapkan

pada beberapa jenis masalah. Pendekatan Branch and bound didasarkan pada prinsip

bahwa himpunan total solusi layak dapat dipartisi menjadi subset yang lebih kecil dari

solusi. Subset yang lebih kecil ini kemudian dapat dievaluasi secara sistematis sampai

solusi terbaik ditemukan. Ketika pendekatan Branch and bound diterapkan untuk

masalah integer programming, akan digunakan konjungsi dengan pendekatan solusi

noninteger yang normal (Paul R. Thie, 1979).

Menurut Taha (1975), untuk melaksanakan teknik pencabangan dan pembatasan

(branch and bound) ada dua operasi dasar, yaitu:

1. Pencabangan (Branching), merupakan pembagian persoalan jawab kontinu

menjadi subpersoalan di mana semuanya juga kontinu.

2. Pembatasan (Bounding), merupakan pembatasan setiap subpersoalan yang

dibuat dengan pencabangan. Batas ini penting untuk tingkatan jawab optimal

dari sub persoalan dan penemuan jawab optimal bilangan bulat.

Teknik pencabangan dan pembatasan (branch and bound) mencari solusi optimal

dari suatu persoalan pemrograman bilangan bulat (Integer Programming) dengan

mengenumerasi titik-titik dalam daerah fisibel dari suatu subpersoalan (Dimyati dan

(41)

Branch and Bound adalah algoritma umum untuk mencari solusi optimal dari

berbagai masalah optimasi. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh A.H. Land

dan A.G. Doig pada tahun 1960.

Gagasan penting dari cabang-dan-terikat adalah untuk membagi daerah layak dan

mengembangkan batas pada z*. Untuk masalah maksimisasi, batas bawah

adalah nilai tertinggi dari setiap titik bulat layak yang diperoleh. Batas atas diberikan

oleh nilai optimal dari program linier yang asli atau dengan nilai terbesar untuk fungsi

tujuan pada setiap kotak yang "menggantung". Langkah selanjutnya, harus

mencabangkan ke (pindah ke) subdivisi lain dan menganalisanya. Begitu selanjutnya,

jika solusi belum diperoleh

i) Program linier atas Lj tidak layak

ii) Solusi optimal program linier atas Lj adalah integer; atau

iii) Nilai dari solusi program linier zj atas Lj memenuhi zj≤ (jika maksimasi),

maka Lj tidak perlu dibagi. Dalam kasus ini, IP terminologi mengatakan bahwa Lj

telah terukur (fathomed). kasus (i) disebut fathoming oleh ketidaklayakan, (ii)

fathoming oleh kebulatan dan (iii) fathoming oleh batas (Bradley dkk, 1977).

Prinsip dasar metode ini adalah memecah daerah fisibel suatu masalah program

linier dengan membuat subproblem-subproblem. Ada dua konsep dasar dalam

algoritma branch and bound :

1. Branching adalah proses membagi-bagi permasalahan menjadi

subproblem-subproblem yang mungkin mengarah ke solusi.

2. Bounding adalah suatu proses untuk mencari/menghitung batas atas (dalam

masalah minimisasi) dan batas bawah (dalam masalah maksimisasi) untuk

solusi optimal pada subproblem yang mengarah ke solusi.

Metode branch and bound diawali dengan menyelesaikan program linier dari

suatu masalah program integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimal

sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimal program linier

integer. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada program

(42)

Winston (2004) menyebutkan bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk program

linier integer lebih kecil sama dengan nilai fungsi objektif optimal untuk program

linier (masalah maksimisasi), sehingga nilai fungsi objektif optimal program linier

merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimal untuk masalah program linier

integer.

Diungkapkan pula oleh Winston (2004) bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk

suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimal untuk

masalah program linier integer asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi

dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah program linier

integer, artinya semua variabelnya sudah bernilai integer.

Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi

dengan metode branch and bound :

1) Langkah 0

Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai fungsi objektif (solusi) program

linier integer yang optimal. Pada awalnya ditetapkan z = -∞ dan i = 0.

2) Langkah 1

Subproblem program linier (PL)(i) dipilih sebagai bagian masalah berikutnya

untuk dipecahkan. Subproblem PL(i) diselesaikan.

a) Jika PL(i) terukur dan solusi program linier yang ditemukan lebih baik

maka batas bawah z diperbarui. Jika tidak bagian masalah (subproblem)

baru i dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah

dipecahkan, maka proses dihentikan.

b) Jika PL(i) tidak terukur, proses dilanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan

pencabangan PL(i)

Suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) jika terdapat kondisi sebagai

berikut :

1. Subproblem tersebut tak fisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi

optimal untuk program linier integer.

2. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimal dengan semua

(43)

objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya,

maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimal dan nilai fungsi

objektifnya menjadi batas bawah nilai fungsi objektif optimal bagi masalah

program linier integer pada saat itu. Bias jadi subproblem ini menghasilkan

solusi optimal untuk masalah program linier integer.

3. Nilai fungsi objektif optimal untuk subproblem tersebut tidak melebihi

batas bawah saat itu, maka subproblem ini dapat dieliminasi.

3) Langkah 2

Dipilih salah satu variabel xj yang nilai optimalnya adalah yang tidak

memenuhi batasan integer dalam solusi PL(i). Bidang

disingkirkan dengan membuat dua subproblem program linier, yaitu

dan , sehingga diperoleh kendala subproblem baru sebagai

berikut :

a. Subproblem baru 1 : kendala subproblem lama + kendala

b. Subproblem baru 2 : kendala subproblem lama + kendala

dengan didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama

dengan . Selanjutnya kembali ke langkah 1 (Winston, 1975).

Ringkasan langkah-langkah metode branch and bound dalam menentukan solusi

integer optimal untuk model maksimisasi adalah sebagai berikut:

a) Dapatkan solusi simpleks optimal dari model program linear dengan batasan

integer yang dilepaskan

b) Tentukan solusi simpleks relaxed sebagai batas atas sedangkan solusi hasil

pembulatan ke bawah sebagai batas bawah pada node 1.

c) Pilih peubah dengan bagian pecahan yang terbesar untuk percabangan.

Ciptakan dua batasan baru untuk peubah ini yang mencerminkan pembagian

nilai integer. Hasilnya adalah sebuah batasan ≤ dan sebuah batasan ≥.

d) Ciptakan dengan node baru, satu dengan batasan ≤ dan satu dengan batasan ≥

e) Selesaikan model program linear relaxed dengan batasan baru yang

(44)

f) Solusi simpleks relaxed adalah merupakan batas atas pada tiap node, dan

solusi maksimum integer merupakan batas bawah dari node.

g) Jika proses ini menghasilkan solusi integer feasible dengan nilai batas atas

terbesar pada akhir node mana saja, maka solusi integer optimal tercapai. Jika

tidak muncul suatu solusi integer fisibel, lakukan percabangan dari node

dengan batas atas terbesar.

h) Ulangi langkah c.

(Winston, 2004)

Suatu bentuk khusus dari algoritma cabang dan terikat untuk nol-satu program

yang dikembangkan oleh Balas. Algoritma ini disebut enumerasi implisit. Metode ini

juga telah diperluas untuk kasus bilangan bulat campuran seperti yang diterapkan di

(45)

Inisialisasi pohon ruang

solusi Branch and bound

Mulai

(46)

Inisialisasi pohon ruang

solusi Branch and bound

Mulai

(47)

Keuntungan dari cara pencabangan dan pembatasan adalah cara yang efisien

untuk mendapatkan seluruh jawaban layak (fisibel), sedangkan kerugian cara ini

adalah ia akan rnencari seluruh jawaban program linier pada setiap titik. Pada

persoalan yang besar akan memerlukan waktu yang cukup lama, terutama bila yang

(48)

Mulai

Data harga perumahan dan

ketersediaan bahan baku

Formulasi permasalahan penentuan peubah keputusan

Sesuai dengan permasalahan

Formulasi fungsi tujuan

Maksimasi keuntungan

Pemrograman linier

Solusi optimal dan

non integer

Solusi integer

Ya

Pemograman Bilangan Bulat

(Integer Programming)

Metode Branch

and Bound

Tidak

Selesai

(49)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1Pengumpulan Data

Data yang ada adalah data yang diperoleh dari hasil pencatatan, dan wawancara

dengan pihak Perumahan Bumi Sergai tentang hal-hal yang berhubungan dengan

masalah data yang diperlukan dalam studi kasus skripsi ini.

Adapun data yang diperlukan sebagai berikut :

a. Tipe rumah yang dibangun

b. Harga penjualan untuk setiap tipe perumahan

c. Luas bangunan untuk setiap tipe rumah

d. Luas tanah bangunan untuk setiap tipe rumah

e. Bahan-bahan yang digunakan

f. Banyaknya bahan yang diperlukan untuk masing-masing tipe perumahan

g. Perkiraan banyaknya rumah yang akan dibangun

3.2 Hasil Pengumpulan Data

Data yang diperoleh dari hasil pencatatan, dan wawancara dengan pihak Perumahan

Bumi Sergai adalah sebagai berikut:

1. Tipe rumah yang dibangun di Perumahan Bumi Sergai ada dua yaitu tipe 65

dan tipe 45

2. Data harga penjualan dari masing-masing tipe rumah. Adapun rincian harga

dari kedua tipe rumah yang akan menjadi fungsi objektif penelitian adalah

sebagai berikut:

a. Tipe rumah 65 dengan harga penjualan Rp 180.000.000

(50)

3. Luas bangunan unuk kedua tipe rumah masing-masing yaitu tipe 65 dengan

luas 65 m2 dan tipe 45 dengan luas 45 m2

4. Luas tanah banguan untuk masing-masing tipe rumah yaitu 98 m2

5. Bahan-bahan yang digunakan batu bata, semen, pasir, besi, batu koral, seng,

gypsum, paku, kayu, dan keramik

6. Banyaknya bahan yang diperlukan berdasarkan luas bangunan masing-masing

tipe rumah, yaitu:

a. Tipe rumah 65/98, adalah:

Batu bata : 11.000 satuan per buah

Semen : 120 satuan per sak

Pasir : 19 satuan per m3

Besi : 75 satuan per batang

Batu koral : 6 satuan per m3

Seng : 45 satuan per lembar

Gypsum : 20 satuan per lembar

Paku : 20 satuan per kg

Kayu : 75 satuan per batang

Keramik : 65 satuan per kotak

b. Tipe rumah 45/98, adalah:

Batu bata : 9.000 satuan per buah

Semen : 100 satuan per sak

7. Banyaknya rumah yang diperkirakan akan dibangun adalah 100 rumah,

sehingga perkiraan banyaknya bahan yang tersedia, yaitu :

Batu bata : 1.002.000 satuan per buah

(51)

3.3Perumusan Data ke dalam Model Matematika

Data tentang harga penjualan rumah, luas bangunan, luas tanah bangunan, banyaknya

bahan yang diperlukan berdasarkan luas bangunan dan perkiraan banyaknya rumah

yang akan dibangun diformulasikan ke dalam model matematika, sehingga dapat

diketahui berapa banyak rumah yang dibangun untuk setiap tipe rumah. Salah satu

metode penyelesaian permasalahan integer programming adalah dengan

menggunakan metode branch and bound yang khusus dibahas dalam skripsi ini.

Penulis membentuk permasalahan tersebut ke dalam model matematika.

Tujuannya memaksimumkan banyaknya rumah yang harus dibangun untuk setiap tipe

rumah pada Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah.

Karena penulis mengasumsikan yang menjadi parameter untuk fungsi kendala

adalah tidak integer dan hanya sebagian dari bahan bangunan yang akan dijadikan

fungsi kendala. Maka penulis hanya menggunakan sebagian dari bahan tersebut, yaitu:

pasir, semen dan keramik. Dengan syarat hasil optimal yang diperoleh menggunakan

seluruh bahan menjadi kendala dengan metode simpleks sama dengan hanya

(52)

Tabel 3.1 Data Perumahan Bumi Sergai

Sumber: Brosur Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah (2011)

Untuk fungsi tujuan yang dimaksimalkan adalah harga penjualan rumah. Dengan

masing-masing harga jual rumah seperti tabel 4.1 . Formulasi fungsi tujuan (Z) dengan

memaksimalkan harga penjualan rumah adalah:

Maksimumkan : Z = 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Keterangan: X1 = Tipe rumah 65

X2 = Tipe rumah 45

180.000.000 = Harga jual tipe 65 per unit

140.000.000 = Harga jual tipe 45 per unit

Untuk fungsi kendala batasan yang digunakan adalah bahan bangunan. Bahan

bangunan yang digunakan adalah semen, pasir, batu bata, seng, keramik dan

sebagainya. Tapi penulis hanya mengambil semen, pasir dan keramik sebagai batasan,

karena penggunaan seluruh atau sebagian bahan sebagai batasan tidak mempengaruhi

nilai Z yang diperoleh setelah diselesaikan dengan QM. Berdasarkan luas lahan yang

tersedia untuk mendirikan bangunan, maka maksimal bahan yang tersedia untuk pasir

sebanyak 1680 m3. Sedangkan, menurut luas bangunan masing-masing tipe rumah,

pasir yang diperlukan sebanyak 19 m3 untuk tipe 65 dan 16 m3 untuk tipe 45.

Formulasi fungsi kendala dengan batasan bahan pasir adalah:

19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

dengan: 19 = jumlah pasir yang digunakan untuk tipe 65

16 = jumlah pasir yang digunakan untuk tipe 45

1680 = jumlah pasir yang tersedia untuk kedua tipe rumah

Untuk semen sebanyak 13000 sak, dengan 120 sak untuk tipe 65 dan 100

sak untuk tipe 45. Formulasi fungsi kendala dengan batasan bahan semen yaitu:

120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

(53)

100 = jumlah semen yang digunakan untuk tipe 45

13000 = jumlah semen yang tersedia untuk kedua tipe rumah

Untuk keramik sebanyak 5150 kotak, dengan 65 kotak untuk tipe 65 dan

45 kotak untuk tipe 45. Formulasi fungsi kendala dengan batasan bahan keramik

yaitu:

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

dengan: 65 = jumlah keramik yang digunakan untuk tipe 65

45 = jumlah keramik yang digunakan untuk tipe 45

5150 = jumlah keramik yang tersedia untuk kedua tipe rumah

Berdasarkan uraian data diatas, dapat di modelkan menjadi sebagai berikut:

Maksimumkan : Z = 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

3.4Pengolahan Data

Langkah awal: Merubah model matematika menjadi bentuk baku simpleks dengan cara menambahkan batasan dengan variabel slack pada peridaksamaan lebih kecil

sama dengan atau mengurangi dengan variabel surplus.

Pada pertidaksamaan lebih besar sama dengan :

(+) Variabel slack pada batasan ≤

(-) Variabel surplus pada batasan ≥

Bentuk baku simpleks :

(54)

Tabel 3.2 Tabel Simpleks

Variabel

Basis

X1 X2 X3 X4 X5 Nilai

kanan

X3 19 16 1 0 0 1680