PENERAPAN PERSAMAAN KLEIN GORDON UNTUK
MENENTUKAN TINGKAT ENERGI DARI ATOM PION
SKRIPSI
ROLAS D NAINGGOLAN
080801037
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PENERAPAN PERSAMAAN KLEIN GORDON UNTUK
MENENTUKAN TINGKAT ENERGI DARI ATOM PION
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
ROLAS D NAINGGOLAN
080801037
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : PENERAPAN PERSAMAAN KLEIN – GORDON (KG) UNTUK MENENTUKAN TINGKAT
ENERGI DARI ATOM PION
Kategori : SKRIPSI
Nama : ROLAS D NAINGGOLAN
Nomor Induk Mahasiswa : 080801037
Program Studi : SARJANA (S1) FISIKA
Departemen : FISIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, 17 Juli 2012
Komisi Pembimbing :
Pembimbing II Pembimbing I
TUA RAJA SIMBOLON, S.Si, M.Si Drs. TENANG GINTING, M.Si NIP. 197211152000121001 NIP. 1948061101976031003
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Fisika FMIPA USU Ketua,
PERNYATAAN
PENERAPAN PERSAMAAN KLEIN GORDON (KG) UNTUK MENENTUKAN TINGKAT ENERGI DARI ATOM PION
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 17 Juli 2012
ROLAS D NAINGGOLAN
PENGHARGAAN
Terpuji dan termulialah Yesus Kristus yang sampai saat ini, Dia masih tetap memberikan yang terbaik dalam kehidupan saya, terutama dalam penulisan skripsi ini. Saya sangat menyadari dan percaya tanpa campur tanganNya perjalanan perkuliahan saya dan penulisan skripsi ini tidak akan pernah dapat selesai.
Saya menyadari bahwa tidak akan pernah ada keberhasilan tanpa adanya dukungan, oleh karena itu dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada mereka yang telah mendukung saya bahkan sampai pada penyelesaian skripsi ini. 1. Kepada Bapak Drs. Tenang ginting, M.S dan bapak Tua raja Simbolon, S.Si,
M.Si selaku pembimbing saya pada penyelesaian skripsi ini yang selalu terbuka dalam memberikan bimbingan maupun motivasi dalam penulisan skripsi ini. Saya juga dalam kesempatan ini sangat berharap kepada Mereka supaya hal ini terus ditingkatkan untuk adek – adek yang akan dibimbing kemudian,
2. Kepada Bapak ibu Dosen Departemen Fisika yang telah mengajari saya kurang lebih 4 tahun, terimakasih untuk setiap ilmu yang telah diberikan dan yang telah saya dapat,
3. Kepada admininistratif departemen Fisika USU, mulai dari Bapak Dr. Marhaposan Situmorang sebagai Ketua Departemen Fisika USU beserta staff pegawai di Kantor departemen Fisika USU yang senantiasa membantu Penulis didalam melengkapi administrasi.
4. Kepada orang tua saya, ayah M. Nainggo lan dan Ibu St. M Sibagariang yang selalu memberikan kasih sayang yang tak ternilai dan juga nasehat – nasehat yang telah membagun kepribadian saya sampai saat ini. Thanks Dad and Mom…
5. Kepada abang Sardinius Nainggolan, Tator Nainggolan, kakak Romasi Nainggolan, Romian Nainggolan dan Rosda Nainggolan serta adek saya Gomgom P Nainggolan, terimakasih untuk setiap dukungan dan doanya,
6. Kepada sahabat – sahabat saya FISKOLA yang saya sayangi mulai dari appara Mengara, Perdana, Indra, Asman, Bheg an, Roni, Hiras, Albert, Triandes, Martin, Metar, Eben, Donal, Zulkar, Ervina, Borasida, Elizabeth, Nya Daniaty, Putri, Yosephin, Teresia, Nytha, Melly, Ardo, terimakasih untuk setiap kebersamaan yang kita lalui bersama dan untuk setiap dukungan dan doanya. Kepada kawan – kawan di Fisika FMIPA USU ada Sabam dan kawan – kawan (09), Faisal dan kawan – kawan (10) dan Togar dan kawan (11) terimakasih untuk doanya.
7. Kepada kelompok kecil saya di KMKS Glory In Exelcess(GIE) ada K’Sondang, Hana, B’Eko dan Ervina, terimaksih untuk setiap kebersamaan dan bimbingan Rohani yang telah saya dapat.
Penulis menyadari dalam penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat diharapkan untuk penyempurnaan karya – karya penulis selanjutnya.
Akhir kata semoga skripsi ini dapat bermanfaat terutama bagi penulis dan pembaca, terutama juga kepada mereka yang ingin melanjutkan penelitian ini. Terimakasih. Syalom……..
Medan, September 2011
ABSTRAK
APPLYING KLEIN – GORDON (KG) EQUATION TO OBTAIN ENERGY LEVEL OF PIONIC ATOM
ABSTRACT
DAFTAR ISI
2.2.1 Persamaan Schrodinger Bergantung waktu 7 2.2.2 Persamaan Schrodinger Tak Bergantung waktu 8 2.2.3 Energi Sistem Mantap Terkuantisasi 9 2.2.4 Harga – Energi dan Fungsi – Eigen 9
2.3 Transformasi Lorentz 10
2.3.1 Transformasi Galilie 10
2.3.2 Transformasi Kecepatan Galilei 11 2.3.3 Kegagalan Transformasi Galilie 11
BAB III Metodologi Penelitian
3.1 Rancangan Penelitian 20
3.2 Diagram Alir Penelitian 21
BAB IV Hasil Dan Pembahasan
4.1 Penentuan persamaan KG dengan Pengaruh Medan
Elekromagnetik Luar 22
4.2 Solusi Persamaan KG 22
4.2.1 Solusi Keadaan State Persamaan KG 23
4.2.2 Pemisahan Variabel 24
4.2.3 Solusi Persamaan untuk Arah Radial (R) 27 4.3 Aplikasi dari Persamaan KG 29
4.3.1 Untuk Atom Pion 29
4.3.2 Untuk Photon 29
BAB V Kesimpulan Dan Saran
5.1 Kesimpulan 30
5.2 Saran 31
DAFTAR SIMBOL – SIMBOL
= sudut zenit yang dibentuk oleh sumbu ZY pada koordinat bola
DAFTAR KONSTANTA
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
ABSTRAK
APPLYING KLEIN – GORDON (KG) EQUATION TO OBTAIN ENERGY LEVEL OF PIONIC ATOM
ABSTRACT
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persamaan Schrödinger yang dikemukakan oleh fisikawan Erwin Schrödinger (1925),
telah terbukti dapat digunakan untuk mencari energi yang ditimbulkan dari suatu
sistem fisika yang ditinjau. Seperti misalnya untuk menyelesaikan kasus – kasus
dalam fisika seperti partikel bebas dalam kotak, osilator harmonik, atom hidrogen dan
lain – lain. Tapi perlu diperhatikan disini bahwa perumusan untuk mencari energi dari
kasus – kasus seperti diatas pada umumnya masih dalam ruang lingkup non –
relativistik.
Ketika efek relativitas diperhitungkan maka persamaan Schrodinger tersebut
akan berubah menjadi persamaan Klein – Gordon, yang dikemukakan oleh fisikawan
Oskar Klein dan Walter Gordon pada tahun 1927. Persamaan ini sangat cocok
diterapkan untuk partikel – partikel elementer karena partikel elementer dapat
bergerak dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya (v~c). Dalam tugas akhir ini
penerapan persamaan KG akan diterapkan pada atom pion. Atom pion adalah
penyusun atom yang hampir sama dengan muon dimana menurut Hideki Yukawa
(1935) partikel inilah yang bertanggung jawab terhadap adanya gaya nuklir. Partikel
ini dapat bermuatan positif, negatif dan normal.
Dengan menerapkan persamaan KG pada atom pion maka akan ditemukan
persamaan energi untuk partikel tersebut. Dalam penerapannya untuk atom pion,
prinsipnya akan sama dengan penerapan persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen,
dimana potensial yang bekerja untuk atom ini sama juga untuk potensial pada atom
hidrogen yaitu potensial yang disebabkan oleh adanya medan listrik yang disebabkan
KG ini adalah akan ditemukanya interpretasi energi yang bernilai positif dan negatif.
Energi negatif dimunculkan ketika persamaan tersebut diberlakukan untuk partikel
tunggal. Partikel tunggal maksudnya disini adalah partikel yang memiliki interaksi
dengan partikel lain, sehingga untuk partikel tunggal terdapat beda potensial yang
konstan yang diakibatkan oleh interaksi tadi. Sedangkan energi positif akan
dimunculkan untuk partikel bebas, yaitu partikel yang berdiri sendiri (tidak ada
interaksi dengan partikel lain).
Atom pion sebagaimana yang telah diketahui hanya ber – spin nol (0) akan
sangat cocok diaplikasikan untuk persamaan KG. Karena sesuai dengan syarat dalam
penerapan persamaan KG bahwa pertikel yang terlibat harus memiliki spin nol (0).
Hal inilah yang menyebabkan penerapan persamaan KG pada atom hidrogen tidak
serta merta bisa diterapkan. Dengan bantuan persamaan KG maka akan diharapkan
penyelesaian pada atom pion akan menghasilkan persamaan energi yang bernilai
negatif sebagaimana yang dijelaskan sebelumnya bahwa interpretasi energi negatif
menggambarkan partikel yang ditinjau adalah partikel tunggal.
1.2Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang diajukan dalam penulisan skripsi ini adalah
bagaimana bentuk persamaan energi relativistik dari atom pion dengan
mennggunakan persamaan KG.
1.3Batasan Penelitian
Adapun batasan masalah dalam penulisan skripsi ini adalah:
1. Permasalahan yang disajikan adalah kajian terhadap atom pion yang berspin
nol
2. Potensial yang dialami oleh atom pion adalah konstan
1.4Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dalam tugas akhir ini adalah:
1. Mengetahui konstruksi persamaan KG untuk atom pion
1.5Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian dari tugas akhir ini adalah:
1. Sebagai sumber pustaka mengenai persamaan KG
2. Sebagai penambah wawasan bagi penulis maupun pembaca mengenai
penerapan persamaan KG untuk atom pion
1.6Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan masing-masing bab adalah sebagai berikut:
BAB I Pendahuluan
Bab ini mencakup latar belakang penelitian, rumusan
masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan
sistematika penulisan tugas akhir ini.
BAB II Tinjauan pustaka
Bab ini berisi teori yang mendasari penelitian.
BAB III Metodologi Penelitian
Bab ini membahas tentang metode yang digunakan dan
diagram alir penelitian.
BAB IV Hasil dan pembahasan
Bab ini membahas tentang hasil penelitian dan
menganalisis data yang diperoleh dari penelitian.
BAB V Kesimpulan dan Saran
Menyimpulkan hasil-hasil yang didapat dari penelitian
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Atom Pion
Atom pion sama seperti atom hidrogen hanya elektron – nya diganti menjadi sebuah
pion negatif. Partikel ini telah diteliti sekitar empat puluh tahun yang lalu, tetapi
penyelidikanya dengan serius dilakukan baru – baru ini. Seorang fisikawan Jepang
Hideki Yukawa (1935) menyatakan bahwa terdapat partikel dengan besar massa
antara elektron dan nukleon yang bertanggung jawab atas adanya gaya nuklir. Dan
Dia menamakan partikel tersebut sebagai pion. Pion dapat bermuatan positif ( ),
negative ( ) dan netral ( ), dan merupakan anggota kelas partikel elementer yang
secaca kolektif disebut meson (kata pion merupakan singkatan dari meson).
Menurut Yukawa, setiap nukleon terus menerus memancarkan dan menyerap pion.
Jika terdapat nukleon lain didekatnya, pion yang dipancarkan dapat menyeberang alih
– alih kembali kenukleon induknya; transfer momentum yang menyertainya setara
dengan aksi gaya. Atom pion hanya memiliki spin nol (0).
Gaya nuklir saling tolak – menolak pada jangkauan sangat pendek dan saling
tarik - menarik pada jarak nukleon – nukleon yang agak jauh, karena jika tidak
demikian nukleon dalam inti akan menyatu, dan salah satu kekuatan teori meson
untuk gaya seperti itu ialah kedua aspek itu tercakup. Tidak terdapat cara sederhana
untuk menunjukkan yang pertama secara formal, tetapi analogi yang kasar dapat
mengurangi misteri konsep tersebut. Marilah kita bayangkan dua orang anak saling
tukar bola basket. Jika mereka saling menukar bola basket tersebut, anak itu bergerak
mundur, dan ketika mereka menangkap bola yang dilemparkan kepadanya,
momentum mundurnya bertambah. Jadi metode pertukaran bola basket ini
menghasilkan efek yang sama sebagai gaya tolak antara anak – anak itu. Jika anak –
tarik timbul diantara mereka. Suatu persoalan pokok timbul disini. Jika nukleon
berkesinambungan memancarkan dan menyerap pion, mengapa proton dan neutron
tidak pernah didapatkan mempunyai massa yang lain dari massa biasanya? Jawabanya
terletak pada prinsip ketidakpastian, hukum fisika hanya mengacu pada kuantitas
terukur, dan prinsip ketidakpastian membatasi ketetapan suatu kombinasi pengukuran
yang dapat dilakukan. Pemancaran pion oleh sebuah nukleon yang tidak berubah
massanya merupakan pelanggaran terhadap hukum kekekalan energi dapat terjadi asal
saja nukleon itu menyerap kembali pion lain yang dipancarkan oleh nukleon tetangga,
sehingga secara prinsip tidak dapat ditentukan apakah sebenarnya terjadi perubahan
massa.
2.1.1 Massa Atom Pion
Dari prinsip ketidakpastian dalam bentuk
(2.1)
Suatu kejadian dimana sejumlah energi tak kekal tidak dilarang, asal saja selang
waktu kejadian itu tidak melebihi . Persyaratan ini dapat dipakai untuk
memperkirakan massa pion. Jika dianggap sebuah pion bergerak diantara nukleon –
nukleon dengan kelajuan v~c; ini berarti pemancaran pion bermassa menyatakan
penyimpangan energi sementara sebesar ~ (energi kinetik pion diabaikan dan
bahwa ). Gaya nuklir memiliki jangkauan maksimum r sekitar 1,5 fm, dan
waktu yang diperlukan jarak sejauh itu adalah:
(2.2)
sehingga diperoleh
(2.3)
dan menghasilkan
(2.4)
Besaran itu kira – kira 230 kali massa diam elektron . Beberapa tahun setelah
usulan Yukawa, partikel yang sifatnya telah diramalkan betul – betul ditemukan.
Massa pion bermuatan adalah 273 dan pion netral adalah 264 tidak jauh dari
perkiraan diatas.
2.1.2 Keterlambatan Ditemukanya Atom Pion
Terdapat dua faktor yang menyebabkan ditemukannya pion bebas agak terlambat.
Pertama, harus terdapat energi yang cukup untuk diberikan pada nukleon sehingga
pemancaran sebuah pion memenuhi kekekalan energi. Jadi sekurang – kurang energi
sebesar atau sekitar 140 MeV diperlukan. Untuk menyediakan energi sebesar
itu untuk nukleon dalam suatu tumbukan, partikel yang datang harus berenergi lebih
besar dari supaya momentum dan energinya kekal. Partikel dengan energi
kinetik beberapa ratus MeV diperlukan untuk menghasilkan pion bebas dan partikel
seperti itu terdapat dalam alam hanya dalam arus difusi radiasi kosmik yang datang
kebumi. Jadi penemuan pion harus menunggu perkembangan metode yang cukup
peka dan tepat dalam penelitian interaksi sinar kosmik. Baru – baru ini pemercepat
(akselerator) mulai bekerja; alat ini dapat menghasilkan energi partikel yang
diperlukan, dan pion yang terjadi dapat dipelajari langsung. Penyebab kedua
tertundanya penemuan eksperimental dari pion adalah ketakmantapan; umur rata –
rata pion bermuatan adalah 2,6 x 10-8 s dan pion netral adalah 8,4 x 10-17 s. Umur
demikian pendeknya sehingga keberadaanya baru didapatkan secara menyakinkan
2.2 Persamaan Schrodinger
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang bersesuaian dengan variabel
gelombang y dalam persamaan gerak gelombang umumnya. Namun, tidak seperti y
bukanlah suatu kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas
kompleks. Karena itulah kita akan menganggap dalam arah x dinyatakan oleh
(2.5)
dengan adalah bilangan imajiner (khayal) yang nilainya
Jika pada persamaan diatas diganti dengan ( adalah frekuensi) dan dengan
, maka diperoleh
(2.6)
yang bentuknya menguntungkan, karena telah diketahui hubungan antara dan
dinyatakan dalam energi total E dan momentum p dari partikel yang diberikan oleh
. Karena
dan (2.7)
diperoleh
(partikel bebas) (2.8)
Persamaan (2.8) diatas merupakan pemerian matematis gelombang ekivalen dari
partikel bebas yang berenergi total E dan momentum p yang bergerak dalam arah +x,
yang juga merupakan pemerian dari pergeseran harmonik gelombang yang bergerak
bebas sepanjang tali terpentang.
Salah satu cara untuk memperoleh persamaan Schrodinger bergantung waktu adalah
dengan mendiferensialkan persamaan (2.8) dua kali terhadap x, menghasilkan
sehingga (2.9)
dan sekali terhadap t, menghasilkan
sehingga (2.10)
Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah
jumlah dari energi kinetik dan energi potensial V, dengan V pada umunya
merupakan fungsi kedudukan x dan waktu t, dan dengan langsung menjadikan kedua
ruasnya dengan fungsi gelombang menghasilkan
(2.11)
Dengan mensubstitusi persamaan (2.9) dan (2.10) kedalam persamaan (2.11) dipeoleh
(2.12)
Persamaan diatas merupakan persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu
dimensi.
2.2.2 Persamaan Schrodinger Tak Bergantung waktu
Untuk memperoleh persamaan Schrodinger yang tidak bergantung terhadap waktu
dapat dilakukan dengan kembali menuliskan persamaan (2.8) dalam bentuk
Hal ini berarti bahwa merupakan hasil kali antara fungsi yang bergantung waktu
dengan fungsi yang bergantung kedudukan. Kenyataanya, perubahan terhadap waktu
dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya tunak mempunyai bentuk
yang sama seperti pada partikel bebas. Dengan mensubstitusikan dari persamaan
(2.13) ke persamaan schrodinger yang bergantung terhadap waktu, didapat
(2.14)
Persamaan diatas merupakan persamaan Schrodinger tak bergantung waktu (keadaan
tunak). (Scherrer, 2005)
2.2.3 Energi Sistem Mantap Terkuantisasi
Pada umumnya, persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan hanya untuk
harga Ε tertentu saja. Memecahkan persamaan Schrodinger untuk suatu sistem berarti
memperoleh suatu fungsi gelombang yang tidak saja memenuhi persamaan dan
syarat batas yang ada, tetapi juga harus memenuhi syarat bisa diterimanya fungsi
gelombang yaitu turunanya harus kontinu, berhingga dan berharga tunggal. Jadi
kuantisasi energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari teori
tadi, dan kuantisasi energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai gejala universal yang
merupakan ciri dari semua sistem yang mantap.
2.2.4 Harga – Energi dan Fungsi – Eigen
Harga energi didapat dari persamaan keadaan – tunak Schrodinger yang dapat
dipecahkan disebut harga – eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian disebut
fungsi eigen. (Istilah ini berasal dari bahasa Jerman Eigenwert, yang berarti “harga
sesungguhnya”. Misalnya untuk tingkat energi diskrit atom hidrogen yang merupakan
sekelompok harga – eigen dirumuskan:
(2.15)
Begitu juga tingkat energi (harga eigen) yang diperoleh untuk partikel dalam kotak
dirumuskan:
(2.16)
2.3 Transformasi Lorentz
2.3.1 Transformasi Galilie
Andaikata kita berada dalam kerangka acuan S yang memiliki koordinat kejadian S
(x,y,z,t). Pengamatan berada pada kerangka acuan lain S’ (x’,y’,z’,t’) yang bergerak
dengan kecepatan v. Ditinjau arah kecepatan v yang searah dengan sumbu x.
Selanjutnya akan ditentukan hubungan antara hasil pengukuran x, y, z, t dengan x’, y’,
z’, t’.
y y’
S x S x’
z z
Gambar 2.1. Kerangka S’ bergerak dengan kecepatan v terhadap kerangka S
Jika waktu kedua sistem diukur dari saat ketika titik awal S dan S’ berimpit,
pengukuran dalam arah x yang dilakukan di S akan melebihi yang di S’ dengan vt
x' = x – vt (2.17)
Pada arah y dan z tidak terdapat gerak relatif sehingga :
y' = y (2.18)
z' = z (2.19)
Dalam hal ini tidak terdapat indikasi yang bertentangan dengan pengalaman
sehari-hari sehingga :
t' = t (2.20)
Persamaan (2.17) sampai dengan (2.18) dikenal sebagai transformasi Galilei.
2.3.2 Transformasi Kecepatan Galilei
Transformasi kecepatan Galilei dapat diperoleh dengan diferensiasi x’, y’, dan z’
terhadap waktu.
Selama transformasi Galilei dan transfromasi kecepatan menghasilkan sesuatu yang
cocok dengan ekspektasi intuisi kita maka transformasi tersebut melanggar kedua
postulat relativitas khusus. Postulat pertama mensyaratkan persamaan yang sama
kedua persamaan fisis tersebut baik dalam kerangka S maupun S’, ternyata persamaan
pokok dalam kelistrikan dan kemagnetan memiliki bentuk yang berbeda jika
digunakan transformasi Galilei untuk mengubah kuantitas yang terukur pada suatu
kerangka acuan ke kuantitas yang setara dalam kerangka acuan lain. Postulat kedua
mensyaratkan harga yang sama untuk kelajuan cahaya c baik dalam kerangka S
maupun S’. Jika dilakukan pengukuran kelajuan cahaya dalam arah x maka dalam
kenyataan tersebut maka transformasi Galilei gagal sebagai cara penggambaran gejala
relativistik secara taat asas.
2.3.4Transformasi Lorentz
Kaitan antara x dan x’ yang rasional adalah memenuhi:
x' = k (x – vt) (2.24)
dengan k menyatakan faktor pembanding yang tak tergantung dari besaran x atau t
tetapi dapat merupakan fungsi v. Pemilihan persamaan (2.24) sebagai alternatif
transformasi adalah didasarkan pada pertimbangan-pertimbangan sebagai berikut :
a. Persamaan tersebut linear terhadap x dan x’, sehingga suatu kejadian dalam
kerangka S bersesuaian dengan kejadian tunggal dalam kerangka S’, seperti
seharusnya.
b. Bentuk persamaan tersebut cukup sederhana, sehingga pemecahannya mudah
dipahami.
c. Persamaan tersebut dapat direduksi menjadi bentuk persamaan (2.17) yang dapat
dibuktikan kebenarannya dalam persamaan-persamaan mekanika klasik.
2.3.5Transformasi Balik untuk x
Berpijak pada postulat pertama relativitas khusus maka persamaan fisika harus
berbentuk sama dalam kerangka S dan S’, sehingga kaitan x sebagai fungsi x’ dan t’
dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
x = k (x’ + vt’) (2.25)
Sedangkan pada arah koordinat y’ dan z’ memenuhi persamaan :
y' = y (2.26)
z' = z (2.27)
2.3.6Transformasi t
Koodinat t dan t’ tidak sama, hal ini dapat dilihat dengan mensubstitusikan x’ yang
x = k2(x – vt) + kvt’ (2.28)
Dari persamaan ini tersebut dapat diperoleh :
x
Persamaan (2.24), (2,25) hingga persamaan (2.29) merupakan transformasi
koordinat yang memenuhi postulat relativitas khusus.
Penentuan Faktor k :
Pada saat t =0, titik asal kedua kerangka S dan S’ berada pada tempat yang sama.
Menurut persamaan awal t’ = 0 juga, dan pengamat pada masing-masing koordinat
melakukan pengukuran kelajuan cahaya yang menuju ke titik itu. Kedua pengamat
harus mendapatkan kelajuan yang sama yaitu c.
Dalam kerangka S :
x = ct (2.30)
Sedangkan dalam kerangka S’ :
x‘ = ct’ (2.31)
Substitusi x’ dan t’ pada persamaan (2.24) dan (2.29) ke persamaan (2.31),
dihasilkan :
Rumusan x di atas sama dengan yang diberikan oleh persamaan (2.30) yaitu x
1
Dengan memasukkan nilai k ke dalam persamaan (2.24) diperoleh persamaan
transformasi lengkap dari pengukuran suatu kejadian dalam kerangka S terhadap
pengukuran yang sesuai yang dilakukan dalam kerangka S’ :
2.4 Persamaan Klein Gordon (KG)
Persamaan KG pertama kali diperkenalkan oleh fisikawan Oskar Klein dan Walter
Gordon pada tahun 1927. Persamaan Klein Gordon seperti yang telah dijelaskan
sebelumnya dapat diturunkan dari hubungan energi – momentum relativistik dengan
mensubstitusikan operator – operator diferensial untuk energi E dan momentum
yang diberikan dalam mekanika kuantum. Kita akan mengawali dengan menurunkan
Operator-operator diferensial dalam mekanika kuantum untuk energi E dan
momentum diberikan oleh
(operator energi) (2.34a)
(operator momentum) (2.34b)
Dalam limit non-relativistik, energi kinetik dari sebuah partikel bebas dengan massa m
dan momentum diberikan oleh
(2.35)
Disini E adalah energi kinetik partikel. Jika operator-operator diferensial untuk energi
dan momentum disubstitusikan ke persamaan (2.35) maka diperoleh
(2.36)
Analog dengan penurunan persamaan Schrodinger, sebuah persamaan kovarian (sama
dalam setiap kerangka acuan) dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan energi
dan momentum 4-vektor relativistik dari sebuah partikel,
(2.37)
Operator-operator diferensial persamaan (2.34a) dan (2.34b) kemudian dapat
dinyatakan dalam notasi 4-vektor
(2.38)
Dalam ungkapan ini, operator energi adalah komponen ke nol persamaan (2.38).
Substitusi persamaan (2.38) ke persamaan (2.37), dengan mengingat bahwa operator
selalu bekerja pada suatu keadaan (state), , persamaan (2.37) menghasilkan
persamaan diferensial orde-2,
Persamaan (2.39) selanjutnya dinamakan persamaan Klein-Gordon (KG). Dengan
memperkenalkan operator d’Alembert
(2.40)
dengan
(2.41)
Operator adalah invarian Lorentz, jadi persamaan KG adalah persamaan kovarian
relativistik jika adalah fungsi skalar. Yaitu terhadap transformasi Lorentz
bertransformasi sebagai berikut
, (2.41)
sehingga adalah invarian. Persamaan (2.39) adalah persamaan orde-2 dalam
derivative waktu, sehingga mudah dilihat bahwa solusi persamaan KG adalah solusi
gelombang bidang,
(2.42)
dimana adalah konstanta normalisasi. Jika disubstitusikan solusi gelombang bidang
di atas ke persamaan KG maka solusi untuk energi dari persamaan ini memberikan
dua buah nilai energi, yaitu energi positif dan energi negatif,
(2.43)
diperoleh
Solusi energi negatif adalah sebuah permasalahan ketika ditafsirkan
sebagai sebuah fungsi gelombang untuk partikel tunggal. Untuk sebuah partikel bebas,
energi total E sepenuhnya dinyatakan oleh energi kinetiknya sehingga energinya
konstan, karenanya dapat dipilih partikel dengan keadaan energi positif dan
mengabaikan keadaan energi negatif. Namun ketika partikel berinteraksi, ada
pertukaran energi dengan lingkungan yang berarti ada sejumlah energi yang
diemisikan dalam proses. Kemudian energi dari sebuah partikel akan menuju ke
keadaan energi negatif tak berhingga dan ini tidak mungkin terjadi untuk sebuah
partikel tunggal jika ditafsirkan sebagai sebuah fungsi gelombang. Namun
demikian kita tidak dapat mengabaikan begitu saja solusi energi negatif sebagai solusi
tidak fisis. Karena solusi ini diperlukan untuk mendefinisikan kelengkapan suatu
keadaan. Berbeda halnya jika ditafsirkan sebagai sebuah medan kuantum, kedua
solusi energi bukan masalah. Solusi energi positif dan negatif terkait dengan
operator-operator untuk partikel tercipta atau teranihilasi. Permasalahan kedua dengan tafsiran
fungsi gelombang yang muncul adalah ketika kita mencoba untuk merealisasikan
rapat probabilitas. Dalam persamaan Schrodinger, jika adalah fungsi gelombang
maka rapat probabilitas, , diberikan oleh
(2.45)
Karena probabilitas adalah kekal maka haruslah memenuhi persamaan kontinuitas
= 0 (2.46)
dimana adalah arus probabilitas. Arus probabilitas yang memenuhi persamaan
kontinuitas ini adalah
) (2.47)
Akan tetapi, rapat probabilitas yang didefinisikan oleh persamaan (2.44) tidak kekal
dalam persamaan KG. Ini karena persamaan KG adalah persamaan orde-2 dalam
derivative waktu, serupa dengan persamaan gerak Newton dalam mekanika. Syarat
turunannya pada persamaan KG. Untuk kasus partikel bebas relativistik
maka persamaan rapat probabilitas dan arus probabilitas haruslah melibatkan
komponen waktu sehingga kedua besaran ini akan bertransformasi sebagai sebuah
vektor (4-vektor). Dalam kasus ini persamaan kontinuitas dapat dinyatakan secara
kovarian,
(2.48)
dimana (ρ , ). Karena itu secara relativistik, rapat probabilitas bukan sebuah
kuantitas skalar tetapi komponen ke nol dari sebuah 4-vektor. Agar persamaan
kontinuitas dipenuhi maka ρ dan dapat dipilih sebagai berikut
(2.48a)
(2.48b)
Tampak perbedaan yang jelas antara persamaan (2.48a) dan (2.45). Pada kasus tak
relativistik rapat arus probabilitas memiliki nilai definitif positif
sedangkan dalam kasus relativistik tidak definitif positif , karena
kita masih bisa memilih E bernilai negatif. Akibatnya arus tidak memberikan
tafsiran ρ sebagai rapat probabilitas (karena tidak definitif positif) seperti dalam
persamaan Schrodinger.
(Sokolov, 1966)
2.4.1 Interaksi dengan Medan Elektromagnetik Luar
Untuk menghitung efek dari suatu medan elektromagnetik luar dengan potensial
A, kita harus membuat pergantian
(2.49a)
(2.49b)
(2.50)
Dengan mengambil partikel yang digambarkan oleh fungsi gelombang yang
memiliki muatan .
Dengan substitusi
(r,t)
(2.51)
Persamaan (2.50) menjadi
+
= [
(2.52)
Andaikan
(2.53)
Dan dengan meniadakan dengan membagi dengan persamaan (2.52) menjadi
(2.54)
Yang merupakan persamaan elektromegnetik schrodinger nonrelativistik.
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Metodologi penelitian
Adapun metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah persamaan
Schrodinger tak bergantung waktu dikonstruksi menjadi persamaan KG dengan
memasukkan efek relativitas dan mengganti energi dengan operator energi dan
momentum dengan operator momentum kemudian dengan mengganti koordinat
koordinat dalam koordinat bola dan memasukkan potensial listrik diperoleh
persamaan KG dalam koordinat bola, karena yang dihitung adalah energi maka
diambil persamaan dalam arah radial saja. Untuk lebih jelas dapat dilihat pada
3.2 Diagram Alir Penelitian
Persamaan Gelombang Schrödinger
E2 = p2c2 + m2c4
Persamaan Klein Gordon (KG)
dalam koordinat Bola
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penentuan persamaan KG dengan Pengaruh Medan Elekromagnetik Luar
Dengan mensubstitusikan hubungan antara energi relativistik dengan momentum
relativistik yang pengaruh medan magnetik luar kedalam persamaan Schrödinger,
maka akan didapatkan persamaan KG seperti tertulis dalam persamaan (2.50), yaitu :
(4.1)
Persamaan ini berlaku untuk partikel dengan pengaruh medan elektromagnetik luar.
4.2 Solusi Persamaan KG
Dengan mengalikan fungsi gelombang dalam bentuk pada persamaan KG pada
persamaan (4.1) diatas dapat dituliskan dalam bentuk :
(4.2)
dimana kembali dijelaskan bahwa adalah potensial skalar dan adalah vektor
4.2.1 Solusi Keadaan State Persamaan KG
Andaikan bahwa dan tidak bergantung terhadap waktu, maka solusi keadaan state
dari persamaan (4.2) diatas memiliki bentuk
(4.3)
Dengan mensubstitusikan persamaan (4.3) ini kedalam persamaan (4.2) diperoleh
(4.4)
Dalam keadaan ini, (didasarkan pada prinsip bahwa potensial hanya
dipengaruhi oleh adanya jarak , sehingga potensial vektornya dianggap tidak
berpengaruh) sedangkan adalah dalam simetris bola. Maka persamaan diatas
menjadi
(4.5)
Persamaan ini akan tereduksi menjadi persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen
jika efek relativistik ditiadakan dalam bentuk
(4.6)
dengan
4.2.2 Pemisahan Variabel
Dengan memilih (laplace) dalam koordinat bola dan dalam bentuk .
Gambar 4.1 Koordinat bola
(laplace) dalam koordinat bola
(4.8)
dengan memasukkan nilai dan pada persamaan (4.5) diperoleh
(4.9)
(4.10)
Dengan mengalikan persamaan (4.10) diatas dengan diperoleh
(4.10)
dengan melakukan pemisahan variabel pada persamaan diatas dalam bentuk
(4.11)
dengan
adalah fungsi untuk r saja
adalah fungsi untuk saja
adalah fungsi untuk saja
Fungsi akan menunjukkan bagaimana variasi dari fungsi gelombang
sepanjang vektor jari – jari dari nukleon saat dan kosntan. Fungsi akan
menunjukkan bagaimana variasi dari fungsi gelombang dengan sudut zenith
sepanjang putaran terhadap nukleon saat dan kosntan sedangkan akan
menunjukkan bagaimana variasi dari fungsi gelombang dengan sudut azemuth
sepanjang putaran terhadap sumbu OZ saat dan kosntan.
dari persamaan (4.11) diperoleh
(4.12)
(4.13)
(4.14)
Perubahan dari turunan parsial menjadi turunan biasa dapat dilakukan karena masing
Dengan mensubstitusikan untuk dan persamaan (4.12), (4.13) dan (4.14)
kedalam persamaan (4.10) diperoleh
(4.15)
persamaan diatas dibagi dengan diperoleh
(4.16)
(4.17)
Persamaan ruas kanan dari persamaan (4.17) hanya bergantung pada saja, sehingga
persamaan diatas benar jika ruas kanan dan ruas kiri memiliki konstanta yang sama.
Dan andaikan konstanta tersebut adalah . Maka diperoleh
(4.18)
sehingga dapat dituliskan bahwa
(4.19)
(4.20)
(4.21)
Dapat dilihat persamaan (4.21) diatas ruas kiri hanya bergantung pada saja dan ruas
kanan terhadap saja, sehingga kedua ruas harus memiliki konstanta yang sama dan
misalkan konstanta tersebut adalah maka diperoleh
(4.22)
sehingga dapat dituliskan
(4.23)
sehingga diperoleh 3 persamaan yang berbentuk
Persamaan untuk (4.24)
Persamaan untuk Q (4.25)
Persamaan untuk R
(4.26)
Pemecahan persamaan (4.24) dan (4.25) dapat dilihat pada lampiran.
4.2.3 Solusi Persamaan untuk Arah Radial (R)
Jika persamaan (4.25) diselesaikan (lampiran) maka akan dihasilkan nilai
(4.26)
(4.27)
(4.28)
andaikan
(4.29)
(4.30)
(4.31)
maka persamaan diatas akan tereduksi menjadi persamaan Schrodinger untuk atom
hidrogen dalam bentuk:
(4.32)
dimana solusi dari persamaan ini memiliki bentuk (dapat dilihat dilampiran)
(4.33)
dimana n disini adalah bersesuaian dengan bilangan kuantum yang dapat diambil
dengan nilai 1,2,3,…., sehingga dengan menyamakan energinya diperoleh
(4.34)
dimana , dengan melakukan ekspansi pada persamaan (4.31) dalam deret pangkat dalam bentuk
(4.36)
Maka diperoleh
(4.37)
Suku kedua pada persamaan diatas adalah solusi energi persamaan schrodinger untuk
atom hidrogen, dan suku yang lain menjadi koreksi relativistik
4.3 Aplikasi dari Persamaan KG
4.3.1 Untuk atom Pion
Atom pion sebagaimana yang telah diketahui memiliki 273 untuk atom pion
bermuatan dan 264 untuk atom pion netral. Maka dengan memasukkan nilai ini
pada persamaan (4.33) dan mengambil nilai pada suku kedua saja maka diperoleh:
(untuk pion bermuatan) (4.38)
(untuk pion netral) (4.39)
4.3.2 Untuk Photon
Sebagaimana yang telah diketahui bahwa photon tidak memiliki massa dan
tidak bermuatan maka persamaan (4.5) menjadi
(4.40)
dengan mensubstitusi kembali operator energi diperoleh
(4.42)
Persamaan (4.43) diatas merupakan medan elektromagnetik dalam ruang vakum, baik
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 KESIMPULAN
Kesimpulan yang diperoleh dari hasil pembahasan dalam Bab IV adalah
1. Konstruksi persamaan Klein Gordon (KG) untuk atom pion prinsipnya sama
dengan konstruksi persamaan Schrodinger tak bergantung waktu untuk atom
hindrogen, hanya saja dalam konstruksi persamaan Klein Gordon (KG)
terhadap atom pion efek relativitik telah dilibatkan. Dan dengan
memperkenalkan operator Energi dan Operator Momentum maka telah
diperoleh persamaan Klein Gordon (KG) untuk atom pion (persamaan 4.1).
2. Pemecahan persamaan Klein Gordon (KG) untuk atom pion yang telah
diberikan dapat dilakukan dengan membandingkan solusi energi persamaan
Schrodinger tak bergantung waktu untuk atom hindrogen dengan energi yang
diperoleh untuk atom pion (persamaan 4.37) dan dapat dilihat bahwa
persamaan energi tersebut merupakan tingkatan energi yang bersesuaian
dengan bilangan kuantum utama (n) yang dapat bernilai 1,2,3…, sehingga
dengan mengambil suku kedua dari persamaan tersebut telah diperoleh
tingkatan energi untuk atom pion bermuatan dan untuk atom pion tak
5.2 SARAN
Berbicara mengenai atom – atom, maka tidak bisa dilepaskan dengan yang namanya
bilangan – bilangan kuantum. Oleh karena itu diharapkan untuk peneliti – peneliti
selanjutnya dapat mengkaji bagaimana pengaruh dari bilangan – bilangan kuantum ini
dalam terhadap keadaan (“state”) dari atom – atom ketika adanya pengaruh dari luar,
serta karena dalam pengkajian ini banyak menggunakan matematika diharapkan untuk
peneliti yang ingin mengambangkan penelitian ini menguasai matematika terutama
DAFTAR PUSTAKA
Anugraha, R., 2005, Pengantar Teori Relativitas dan kosmologi, UGM PRESS,
Yogyakarta.
Beiser Arthur, 1999, Konsep Fisika Modern, Edisi Keempat, Erlangga, Jakarta.
Bethe, Hans Albrecht. 1986. Intermediate Quantum Mechanics.Third Edition.
Benjamin Cummings Publishing, New York.
Pauling, Wilson. 1935. Introduction to Quantum Mechanics With Application to
Chemistry. McGRAW-HILL BOOK COMPANY: New York.
Schiff, Leonard, 1939, Quantum Mechanics, Second edition. McGRAW-HILL BOOK
COMPANY: New York.
Soedojo Peter, 2000, Azas-azas Mekanika Analitik, Universitas Gajah Mada Press,
Yogyakarta
Sokolov, Loskutov. 1966. Quantum Mechanics. Publishing House of the Ministry of
Education of RSFSR, Moscow.
LAMPIRAN
1. Solui untuk persamaan yang bergantung terhadap
Dengan menuliskan kembali persamaan yang bergantung terhadap
1
Solusi dari persamaan ini adalah
2
dimana A adalah konstanta dan (bilangan imajiner). Fungsi gelombang
harus memiliki sebuah nilai tunggal untuk nilai yang diberikan dan harus tidak
berubah jika diubah dengan radians (karena hal ini akan menyebabkan
kembali keposisi semula). Sehingga kondisi untuk syarat ini adalah
Parameter selanjutnya disebut sebagai Bilangan Kuantum Magnetik
Persamaan untuk adalah
persamaan 11 dapat juga ditulis dalam bentuk
14
dengan mensubstitusikan persamaan – persamaan ini (10, 11, 12, 13, 14)
kepersamaan (9) diperoleh
persamaan diatas akan berubah menjadi persamaan Legendre jika bernilai
19
dimana persamaan ini dipenuhi jika nilai
20
dengan
21
selanjutnya disebut Bilangan Kuantum Orbital .
3. Solusi untuk persamaan Radial atom hidrogen
22
dengan sedikit modifikasi
23
dimana bisa tidak bilangan bulat.
Untuk menyelesaikan persamaan diatas pertama harus diketahui sifat persamaan
tersebut untuk nilai yang kecil. Potensial Coulomb dapat diabaikan
dibandingkan dengan “sentrifugal barrier” atau turunan kedua sehingga yang
diambil hanya yang ada dalam tanda kurung. Untuk untuk .
24
sehingga diperoleh Diperoleh nilai
Nilai yang terakhir tersebut singular untuk Karenanya, untuk
Dengan menuliskan dimana Persamaan menjadi
25
Untuk solusi “bound state” dituliskan untuk Untuk nilai
pergeseran yang besar didominasi oleh turunan kedua karena untuk pergeseran
26
Sifat dari pergeseran yang besar kemudian menjadi
Dapat juga ditulis Dengan mensubstitusikan bentuk ini kedalam
persamaan (22) diperoleh
Dengan mengambil dalam bentuk polinom dalam ,
29
persamaan diferensial (28) menjadi
30
dengan mengumpulkan koefisien dari , memberikan hubungan rekursi dalam
bentuk
Dengan mengingat kembali persamaan yang mengandung dapat ditemukaan
34
35
dimana dan yang bersesuaian dengan
bersesuaian dengan bilangan kuantum bilangan utama.
3. Pembuktian (4.27) menjadi persamaan (4.280
36
37
38
39
40
Untuk lebih menyederhanakan persamaan ini, diandaikan
41
perlu diperhatikan bahwa meskipun dalam persamaan ini hadir kuantitas c, bukan
berarti persamaan ini adalah kasus relativistik. Sekali lagi hal ini dimaksudkan agar
persamaan lebih sederhana. Dengan mensubstitusikan persamaan (41) kepersamaan
(40) diperoleh
