RIDZAN DJAFRI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pengaruh Arus pada Gerak Gelombang Soliter Internal adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
study for two- layer fluid. Under supervision of JAHARUDDIN and FARIDA HANUM.
Abstract
Internal waves are waves that appear at the boundary of two- layers of fluid with different density. The internal wave motion model is derived based on the assumption that the bottom boundary of fluid is slowly varying, thus the resulting of equations motion is KdV equation with variable coefficients. KdV equation coefficients also depend on the current velocity. Solitary wave formulation, carried out to determine the dependence of the wave variables to the physical variables. A case study on two-layers of fluid is discussed.
RIDZAN DJAFRI. Pengaruh Arus pada Gerak Gelombang Soliter Internal, Studi Kasus pada Fluida Dua Lapisan . Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan FARIDA HANUM.
Gelombang internal merupakan gelombang yang terjadi pada batas dua lapisan fluida dengan rapat massa yang berbeda. Teori untuk gelombang internal pertama kali dikembangkan oleh Stokes, sedangkan teori umum untuk gelombang internal yang tidak tunak (unsteady) dengan rapat massa yang tidak konstan telah dikembangkan oleh Fjeldstand (1933). Kedua teori tersebut diterapkan pada fenomena yang terjadi pada bidang oseanografi. Salah satu gelo mbang internal yang banyak dikaji adalah gelombang soliter internal. Gelombang soliter internal terjadi di bawah permukaan fluida, sehingga keberadaannya tidak dapat dilihat secara langsung (kasat mata), namun dapat dideteksi melalui foto satelit berdasarkan pola gelap terang yang muncul di permukaan laut. Selain di laut, gelombang soliter juga terjadi di danau dan atmosfer.
Kebanyakan teori tentang gelombang soliter internal dikembangkan untuk kasus gerak gelombang yang hanya dipengaruhi oleh gaya gravitasi, sedangkan gerak pada arah horizontalnya berupa konstanta (Zhou 1985). Pada kenyataannya, gerak gelombang juga dipengaruhi oleh gerak pada arah horizontal, seperti yang terjadi pada gerak gelombang internal di selat dengan dasar tidak rata ataupun pengaruh topografi pada gerak gelombang soliter internal yang di bahas oleh (Grimshaw 1983). Pada gelombang internal di atmosfer, gerak pada arah horizontalnya berupa kecepatan angin. Berdasarkan kenyataan ini, para peneliti mengembangkan suatu model untuk menjelaskan persamaan gerak gelombang internal, dengan melibatkan va riabel arus dalam arah vertikal dan arah horizontal.
Untuk memprediksi pengaruh arus pada gerak gelombang soliter internal, terlebih dahulu ditinjau persamaan dasar untuk fluida ideal yang bersifat tak mampat (incompressible) dan takkental (inviscid) beserta syarat batas fluida, kemudian diturunkan persamaan lain untuk fluida yang telah diberi variabel arus. Persamaan dasar fluida dengan variabel arus merupakan masalah taklinear yang sulit diselesaikan, sehingga persamaan dasar dan syarat batasnya ini terlebih dahulu dibuat dalam uraian asimtotik. Kemudian untuk menyederhanakan, digunakan asumsi penyatuarahan. Asumsi ini berarti bahwa gelombang soliter internal yang diamati bergerak hanya searah dengan rambatan gelombang. Asumsi lain adalah bahwa gelombang yang diamati adalah fluida dangkal yaitu fluida yang memiliki panjang gelombang lebih besar dibandingkan dengan kedalamannya, sehingga dapat diterapkan persamaan Korteweg-de Vries (KdV).
Hak Cipta milik IPB, tahun 2009
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya tulis ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah.
b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.
RIDZAN DJAFRI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Nama : RIDZAN DJAFRI NRP : G551070401
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Jaharuddin, M.Si. Dra. Farida Hanum, M.Si. Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2008 ini adalah gelombang internal, dengan judul Pengaruh Arus pada Gerak Gelombang Soliter Internal.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, MS. dan Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. masing- masing selaku ketua dan anggota Komisi Pembimbing, serta ... selaku penguji luar Komisi yang telah banyak memberikan saran. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan pada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ibunda Saerah Dg Sanga, Hasriani Hapid, dan Nurul Fitria serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
H
Halaman I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ………...………...…... 1
1.2 Tujuan Penelitian.……..………...………. 2
II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Dasar Fluida..………...………... 3
2.2 Syarat batas.………...…………...………... 8
III METODOLOGI PENELITIAN IV PEMBAHASAN 4.1 Persamaan Gerak Gelombang...……...……….. 12
4.2 Penyelesaian Persamaan Gerak.………...………... 17
4.3 Fluida Dalam Keadaan Setimbang………...…………. 23
4.4 Contoh Kasus pada Fluida Dua Lapisan... 25
4.4.1 Kasus Pertama ?? ? ? ... 28
4.4.2 Kasus Kedua ?? ? ?... 30
4.5 Analisis Hasil... 33
V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan…………..………...………… 35
5.2 Saran………..………...……….. 36
DAFTAR PUSTAKA……….………... 37
LAMPIRAN……….………... 38
1 Laju perubahan massa pada elemen fluida... 3
2 Gaya kesetimbangan pada elemen fluida... 5
3 Batas fluida ... 9
4 Domain Fluida Dua Lapisan ... 26
Halaman
1. Penurunan persamaan 8.a dan 8.c ... 39
2. Penurunan persamaan 8.d dan 8.f... ... 41
3. Penurunan persamaan 10.a dan 10.d ... 42
4. Penurunan persamaan 12.a dan 12.b ... 45
5. Penurunan persamaan 12.d... 47
6. Penurunan persamaan 14.a dan 15... 48
7. Penurunan persamaan 16... 51
8. Penurunan persamaan 19 ... 53
9. Penurunan persamaan 21... 54
10. Penurunan persamaan 29... 61
11. Penurunan persamaan 31... 63
12. Penurunan persamaan 33.a dan 33.b ... 64
13. Penurunan persamaan 40 dan 42... 66
14. Penurunan persamaan 44.a,44.b, dan 44.c... .... 69
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Gelombang solit er adalah suatu gelombang taklinear yang memiliki sifat: (1)
terlokalisasi dan merambat tanpa perubahan bentuk maupun kecepatan, (2) stabil
melawan tumbukan dan mempertahankan identitasnya. Sifat pertama merupakan
kondisi gelombang soliter (solitary waves) yang dikenal dalam hidrodinamika sejak
abad ke-19. Sifat yang kedua berarti gelombang tersebut memiliki kelakuan sebagai
partikel.
Pengamatan gelombang soliter yang pertama kali terdokumentasi dengan baik
dilakukan pada 1834 oleh ilmuwan Skotlandia, John Scott-Russel. Ia mengamati
gerak sebuah perahu dari kudanya. Ketika perahu tiba-tiba berhenti, timbullah
gelombang air dengan sebuah puncak yang bergerak menjauh dari perahu. Pergerakan
gelombang air tersebut kemudian diamati dan ditelusuri olehnya hingga sekitar 2 mil.
Bentuk dan kecepatan gelombang air itu nyaris tidak berubah hingga akhirnya
menghilang dari pandangan karena masuk ke dalam terowongan air (Newell 1985).
Gelombang soliter internal biasanya muncul pada fluida dengan rapat massa
yang tidak konstan. Gelombang ini munc ul di selat dan di laut (Apel 1980) dan juga
muncul pada lapisan atmosfer (Clarke et al. 1981 ). Gelombang soliter internal dengan
amplitudo yang cukup besar disebabkan oleh bentuk taklinear yang muncul pada
persamaan dasar fluida. Persamaan yang dapat menjelaskan gerak gelombang ini
pada kedalaman yang dangkal adalah persamaan Korteweg de Vries (KdV),
sedangkan pada kedalaman yang cukup besar, gerak gelombang ini dapat dijelaskan
oleh persamaan Benjamin-Ono (BO).
Teori tentang gelombang soliter internal kebanyakan dikembangkan untuk
kasus gerak gelombang yang hanya dipengaruhi oleh gaya gravitasi, sedangkan gerak
gerak gelombang juga dipengaruhi oleh gerak arus pada arah horizontal yang tidak
berupa konstanta, seperti yang terjadi pada gerak gelombang internal di selat dengan
dasar tidak rata. Pengaruh topografi pada gerak gelombang soliter internal telah
dibahas dalam (Grimshaw 1983). Pada gelombang internal di atmosfer, gerak arus
pada arah horizontalnya berupa kecepatan angin. Berdasarkan kenyataan ini, para
peneliti mengembangkan suatu model untuk menjelaskan persamaan gerak
gelombang internal dengan melibatkan variabel arus dalam arah vertikal dan arah
horizontal.
1.2 Tujuan penelitian
Sebagai sebuah fenomena alam, gelombang soliter internal tentu harus dapat
dijelaskan secara fisis maupun matematis. Berdasarkan latar belakang di atas, maka
tujuan dari penelitian ini adalah menurunkan suatu persamaan gerak gelombang
internal yang melibatkan variabel arus dalam arah horizontal dan vertikal. Kemudian
berdasarkan persamaan gerak yang diperoleh, akan diformulasikan gerak gelombang
soliter internal. Selain itu, tujuan penelitian ini juga antara lain menentukan
kebergantungan parameter gelombang soliter (amplitudo, panjang gelombang dan
kecepatan fase) terhadap variabel fisis (rapat massa, variabel arus dan kedalaman)
berdasarkan hukum konservasi massa. Kemudian simulasi numerik akan dilakukan
II TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dibahas beberapa teori yang mendukung. Teori-teori
tersebut meliputi persamaan dasar fluida yang disarikan dari (Billingham & King
2000).
2.1 Persamaan Dasar Fluida
Fluida adalah zat cair yang mengalir, artinya zat yang mengalir terhadap
sekitarnya. Persamaan dasar akan diturunkan berdasarkan hukum kekekalan massa
dan momentum. Hukum kekekalan massa berdasar pada kesetimbangan massa. Untuk
itu maka tinjau elemen fluida dengan sisi ? ? ?sisi ? ?, dan sisi ? (? adalah ketebalan
elemen fluida dengan arah tegak lurus dengan bidang gambar) yang dilalui fluida
dengan rapat massa ? ??????? seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1.
?
?
Misalkan ? ?? ????? dan ? ?? ????? masing- masing adalah kecepatan fluida
pada arah ? dan ?G Pada arah horizontal laju perubahan massa pada elemen fluida
merupakan selisih antara massa yang masuk dan massa yang keluar yaitu
? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ??
? ? ? ??? ?? ? ?
? ??? ?
?? ? ? ? ? ? G
Pada arah vertikal, laju perubahan massa elemen fluida tersebut adalah:
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?
? ? ???? ?? ? ?
? ?? ? ?
? ? ? ? ? ? ??
sehingga total laju perubahan massa pada elemen fluida per satuan waktu adalah
jumlah perubahan massa pada arah horizontal dan arah vertikal yaitu
??? ? ? ? ? ??
Selanjutnya diasumsikan bahwa fluida yang ditinjau takmampat
(incompressible), maka diperoleh
? ?
sehingga persamaan (1.b) memberikan
??
Dalam kesetimbangan momentum, tekanan ? dan gravitasi ? memengaruhi
antara momentum yang masuk dan momentum yang keluar, ditambah semua gaya
yang bekerja pada elemen tersebut.
Misalkan ?????? dan ?????? masing-masing adalah gaya ?ang bekerja pada arah ?
dan arah ? pada elemen fluida dengan sisi dx, dz dan ketebalan b seperti diperlihatkan
pada Gambar 2.a .
Gaya pada arah horizontal dan arah vertikal masing- masing adalah
?? ? ? ? ???
? ?
Persamaan gaya pada arah horizontal diperoleh dengan menyubstitusi persamaan
?? G? ? ke persamaan ??G? ? sehingga diperoleh
sedangkan persamaan gaya yang bekerja pada arah vertikal adalah
? ?? ?
gaya tekan (pressure force) dan gaya kekentalan (viscous force). Misalkan gaya
badan, gaya tekan, dan gaya kekentalan masing- masing dinyatakan dengan
? ?? ?? ? • ?. Misalkan ?????? ??• ?? ?????? masing masing adalah gaya badan pada arah? dan
???????? ??• ?? ?????adalah gaya tekan pada arah ? dan z, sedangkan ?????? ??• ?? ?????? adalah
gaya kekentalan pada arah ? dan ??? maka total gaya yang bekerja pada arah ? dan z
pada elemen fluida tersebut adalah
??
???? ? ??????? ?? ????? ?? ????? ?? ??G? ?
dan
??
???? ? ?????? ? ?? ???? ? ?? ????? G? ??G? ?
Gaya badan adalah gaya yang bekerja langsung pada massa fluida seperti gaya
gravitasi, gaya sentrifugal, gaya elektromagnetik dan lain- lain. Misalkan ? dan ?
masing-masing adalah komponen gaya pada sumbu ? dan z, sehingga gaya badan
pada elemen fluida tersebut adalah
??
??
????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??G? ?
dimana pada arah sumbu z, gaya badan dipengaruhi pula oleh gaya gravitasi dengan
? adalah percepatan gravitasi. Selanjutnya, gaya tekan pada arah ? dan z seperti pada
Gambar 2.b masing- masing adalah
????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?
dengan P adalah tekanan pada fluida. Gaya kekentalan dianggap nol karena
diasumsikan fluida takkental (inviscid) sehingga diperoleh
??
dengan ? = ? ? merupakan total gaya elemen fluida pada arah horizontal, sedangkan
? ? ? ? ? ? dengan ? adalah frekuensi Buoyanc y yang merupakan suatu konstanta pada
Penurunan persamaan ?? G? ? dapat dilihat pada Lampiran 1. Konstanta ? juga biasa
digunakan pada frekuensi Brunt-Vaisala ? ??? dengan persamaan
?? ? ? ? ? ??? ? ??G? ?
untuk menggambarkan kepadatan fluida berlapis. Selanjutnya apabila persamaan
?? G? ?, ?? G? ? dan ?? G?? disubstitusikan ke persamaan ??G? ?, akan diperoleh gaya
elemen fluida pada arah vertikal yaitu
? ?? ? ?? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
????
? ?? ? ? ? ? ?
? ?
?? ? ?
? ?
? ?? ? ??? ? ? ?
? ?? ? ? ? ?
atau
??? ?? ? ?? ? ? ??? ? ?? ???? ? ?? ? ? ? ??G??
dengan ? ? ? ? merupakan total gaya pada arah vertikal, penurunan persamaan
?? G?? dapat dilihat pada Lampiran 1.
2.2 Syarat batas
Selanjutnya akan dibahas masalah nilai batas yang harus dipenuhi gerak
partikel fluida, yaitu syarat batas kinematik yang disebabkan oleh adanya gerak
partikel fluida dan syarat batas dinamik yang disebabkan oleh tekanan partikel fluida.
Misalkan batas atas fluida adalah kurva permukaan fluida, sedangkan batas bawahnya
adalah dasar yang cukup keras sehingga tak ada partikel fluida yang menembus dasar,
Gambar 3 Batas fluida.
Misalkan kurva permukaan fluida adalah z = ? ( ). Persamaan ini dapat
ditulis dalam bentuk implisit sebagai
Misalkan pula tak ada partikel fluida yang menembus permukaan, maka syarat batas
kinematik pada permukaan fluida merupakan turunan total S terhadap waktu
sehingga diperoleh
Dengan operator sebagai simbol untuk turunan total terhadap waktu
maka turunan total S terhadap waktu t adalah
(lihat Lampiran 2).
Pada syarat batas dinamik diasumsikan bahwa tekanan permukaan sama
dengan tekanan udara yang dimisalkan sama dengan nol, sehingga
Pada batas bawah fluida dimisalkan bahwa dasar fluida mengikuti persamaan
? ? ? ? ?? ? atau
? ????? ? ? ? ? ??? ? ?G
Dengan asumsi tak ada fluida yang menembus dasar, maka batas bawah kinematik
adalah turunan total ? terhadap waktu ?G Dengan cara yang sama dengan persamaan
?? G? ? diperoleh
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?G ??G? ?
Penurunan persamaan ?? G? ? dapat dilihat pada Lampiran 2.
Dengan demikian persamaan dasar fluida sebagai berikut:
??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ????? ? ??? ? ??? ? ?
? ?
?? ? ? ?
? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ???
?? ? ? ? ? ??
? ? ? ?
?? G? ?
dengan syarat batas
??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ????
P = 0 ? ? ? ? ? ? ??? ???,
III METODOLOGI PENELITIAN
Pada penelitian ini dibahas tinjauan matematis mengenai gelombang internal.
Salah satu persamaan yang dapat menggambarkan perilaku gerak gelombang internal
adalah persamaan Korteweg de Vries (KdV), yang merupakan suatu persamaan bagi
gerak gelombang yang panjang gelombangnya jauh lebih besar daripada
amplitudonya (asumsi fluida dangkal). Persamaan KdV ini diturunkan dari
persamaan dasar fluida ideal, yaitu fluida yang takmampat (incompressible) dan
takkental (inviscid).
Analog dengan penurunan persamaan KdV, maka dalam penelitian ini
diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau memiliki panjang gelombang yang
cukup besar dibandingkan dengan kedalaman fluida. Metode yang digunakan dalam
penurunan persamaan gerak gelombang internal adalah metode asimtotik. Dalam hal
ini semua variabel takbebas yang muncul dalam persamaan dasar akan dinyatakan
dalam uraian asimtotik. Hasilnya diharapkan berupa persamaan KdV dengan
koefisien variabel yang bergantung pada variabel arus, baik dalam arah horizontal,
maupun dalam arah vertikal.
Berdasarkan persamaan KdV yang dihasilkan, diformulasikan gerak
gelombang soliter internal dengan mengasumsikan penyelesaian persamaan KdV
berupa gelombang berjalan (gelombang soliter). Hasil formulasi ini akan digunakan
untuk menentukan kebergantungan parameter gelombang soliter (amplitudo, panjang
gelombang, dan kecepatan fase) terhadap variabel arus. Hubungan ini akan
digambarkan dengan menggunakan software Mathematica, dengan meninjau kasus
fluida dua lapisan yang masing- masing memiliki rapat massa yang konstan.
IV PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penurunan persamaan gerak gelombang internal
pada fluida takmampat dan takkental yang melibatkan variabel- variabel fluida dalam
keadaan setimbang, berdasarkan alur penelitian pada(Zhou 1989). Apabila kecepatan
arus dan rapat massa dalam keadaan setimbang diketahui pada kondisi upstream yaitu
kondisi jauh di kiri dan di kanan dimana garis arus nya hampir berupa garis lurus,
maka kecepatan arus dan rapat massa pada keseluruhan domain fluida akan
ditentukan berdasarkan persamaan dasar fluida dalam keadaan setimbang. Rumusan
persamaan dasar pada fluida dalam keadaan setimbang berdasarkan pada alur
penelitian dalam (Grimshaw 1979).
4.1 Persamaan Gerak Gelombang
Tinjau persamaan dasar fluida ideal yang diperoleh pada bagian
sebelumnya:
??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ?? ? ? ? ????? ? ??? ? ??? ? ? ? ?
?? ? ? ?
? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ???
?? ? ? ? ? ???
? ? ?
?? G? ?
dengan syarat batas
??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ????
P = 0 ? ? ? ? ? ? ??? ???,
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?G ??G? ?
Misalkan total kecepatan horizontal, kecepatan vertikal, rapat massa, tekanan
fluida dan batas permukaan masing- masing dinyatakan oleh ??? ? , ?? ? ? ? ?? ? ? ?
horizontal, rapat massa, tekanan fluida dan batas permukaan pada fluida dalam
keadaan setimbang. Selanjutnya diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau
memiliki amplitudo yang cukup kecil, sehingga didefinisikan
??? ??? dan ? ?? ??? (9.c)
dengan ? suatu parameter kecil dan total kecepatan partikel dalam arah vertikal
adalah ???? ? ? ? dengan ?? kecepatan vertikal dalam keadaan setimbang. Jika
dalam kondisi ini pengaruh gaya luar diabaikan, maka persamaan (9.a) dengan syarat
batas (9.b) memberikan
?? ? ??? ? ? ??? ? ????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ?
?? ? ?? ? ? ?
??? ? ? ????? ??? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ?? ???
? ???????? ?? ? ?
??? ?? ? ? ? ?
?? ? ? ?
??? ? ? ????? ???? ???? ? ??? ? ? ??? ? ??? ?? ? ? ??? ?????
? ??? ???? ???? ?
????? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ?? ? G??
dengan syarat batas
?? ? ???? ? ???? ? ??? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? G? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??
? ? ????? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? G
Penurunan persamaan (10.a-b) dapat dilihat pada Lampiran 3.
Selanjutnya didefinisikan variabel berikut :
? ? ?? ?? ? ? ???? ??• ? ? ? ? ? ?? ?
?
??
?
? ?? ? G? ?
dengan W(X’) adalah kecepatan fase gelombang linear.
Misalkan variabel–variabel takbebas pada persamaan ?? ?G?? dinyatakan oleh uraian
?
kemudian dari persamaan ??? G? ? diperoleh syarat batas
?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ??
Penurunan persamaan (12.a) bagian pertama diberikan dalam Lampiran 4.
Selanjutnya persamaan ?? ? G? ? akan disederhanakan, untuk itu substitusikan
variabel ?? ? pada persamaan ?? ?G? G???? ke persamaan (? ?G? G?? kemudian diturunkan
terhadap ?, dan variabel ?? pada persamaan ?? ? G? G??? disubstitusi ke persamaan
?? ?G? G???, maka variabel ??? ? dapat dieliminasi sehingga diperoleh
?? ?????? ? ?? ? ? ? ???? ???? ? ? ????? ? ? ?G ?? ? G? ?
Penurunan persamaan (12.d) dapat dilihat pada Lampiran 5.
Selanjutnya dengan pemisahan peubah, misalkan :
?? ? ? ??? ? ??? ? G (13)
Jika ?? pada persamaan (13) disubstitusikan ke dalam persamaan (12.d) dan syarat
batas (12.b), maka diperoleh masalah nilai batas untuk ? berikut:
????? ??
???? ??? ?? ? ?G ?? ?G? ?
? ? • ??• ?????? ?????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?G
Dari persamaan ??? G? ? diperoleh nilai ?? , ?? dan ?? masing- masing
?? ? ? ??? ? ?? , ?? ? ? ??? ??, ?? ? ? ???? ???? (15)
(lihat Lampiran 6) dengan fungsi ? ???? ? adalah suatu fungsi yang akan ditentukan
kemudian.
Selanjutnya dari koefisien ?? pada uraian asimtotik persamaan (10.a) dan
persamaan (10.b) diperoleh
????? ?? ? ? ? ???? ?? ? ?? ? ? ???
?? ? ? ?? ? ??? ?? ?? ??
?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ??
? ?? ?? ? ? ? ??? ?? ? ? ??? (16)
dengan
?? ? ? ?????????? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ??? ??? ???? ?? ??
?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ????
?? ? ? ?????? ? ???? ?? ???? ?? ? ? ??? ? ????? ?
dan syarat batas berikut:
? ?? ?? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ,
? ?? ? ???? ? ?????? ?
?? ??? ??
?
?? ? ? ? ? ? ? ?
??
?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? , (17)
dengan
? ? ? ? ????????? ??????? ? ???????? ? ???? ?? ?? ??? ????G
Penurunan persamaan (16) dapat dilihat pada Lampiran 7.
Selanjutnya ??? ?? ? ? • ?? dieliminasi pada persamaan (16), kemudian dimisalkan
? ?? ? ? ?? ?? ??? ?
maka diperoleh masalah nilai batas untuk ?? berikut :
????? ??? ??? ? ??? ??? ? ?? G
? ???? ??? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??
dengan
?? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ????? ?? ???? ???? ? ? ??? ? ? G
?? ? ? ?? ? ????? ? ? ?? ? ? ???? ?? ?? ? ??????? ? ? ??? ????? ?G
Penurunan persamaan (19) dapat dilihat pada Lampiran 8.
Persamaan (19) mempunyai penyelesaian, jika memenuhi syarat keterselesaian
? ??
(15), kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (20), maka diperoleh suatu
persamaan untuk A(s,?) sebagai berikut
??? ? ? ? ?? ? ??? ?
koefisien ? diberikan oleh
? ? ?
sedangkan J merupakan matriks Jacobi dari transformasi koordinat yang diberikan
pada persamaan (11.a).
Persamaan (21) merupakan persamaan gerak gelombang dengan koefisien
yang bergantung pada variabel s. Persamaan ini sulit diselesaikan secara analitik dan
numerik. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa dasar fluida berupa permukaan yang
hampir rata (bervariasi dengan sangat lambat). Ini berarti dimisalkan koefisien ? = 0,
sehingga persamaan (21) menjadi
??? ? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ? G (24)
Persamaan (24) merupakan persamaan gerak gelombang internal yang mirip dengan
persamaan KdV pada permukaan dasar yang rata (Grimshaw 1971). Berikut ini akan
ditentukan penyelesaian persamaan (24) yang berupa gelombang soliter.
4.2 Penyelesaian Persamaan Gerak
Kar ena penyelesaian dar i per samaan gelombang d’Alem bert
???? ???? ? ? ? adalah ? ?? ? ??? dan ? ?? ? ??? dengan c kecepatan gelombang
( Str auss 1992) , m aka d ap at d iaju kan t ebakan u n t u k penyelesaian persamaan
( 2 4) yaitu
? ? ? ? ? ? ?? ?G? ?
sehingga
? ? ? ? ? ? ? • ? ? ? ? ? ? ?G
Notasi c pada penyelesaian per samaan d’Alembert diganti dengan ?, sedangkan
fungsi ? diganti dengan fungsi ? . Per samaan ?? ?G? ? disubstitusi ke per samaan
( 2 4) sehingga diper oleh
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ??
?? ? ? ? G ?? ?G? ?
Dengan mengintegr alkan per samaan ?? ?G? ? ter hadap ? diper oleh
? ?? ? ? ??? ?
? ? ??? ? ??
? ? ? ? ?? ?? ?G??
d en gan ?? mer upakan tetapan integr asi. Apabila diasumsikan bahwa
tu r unannya mendekati n o l untuk ? ? ? , maka ?? ? ? . Selanjutnya
Integr alkan kedua r uas ter hadap ? , diper oleh
? ??? ? ?
Kar ena diasum sikan penyelesaian per sam aan ( 2 5.d ) ber upa gelombang soliter ,
maka ?? ? ? sehingga dapat dituliskan dalam bentuk
Dengan pemisahan var iabel, per samaan ?? ? G?? dapat ditulis
? ? ? ? ?
Pemilihan 0 sebagai batas integr asi, tidak mengur angi sifat umum per masalahan
kar ena titik awal ini dapat ditr ansfor m asikan secar a linear . Integr al r uas kanan
dapat diselesaikan dengan melakukan tr ansfor masi ber ikut.
? ? ? ?
??
? ?????
?? ?? ? G? ?
?? ? ? ? ?
?? ? ??• ? ? ? ?
?????? ?
?? ? ?
? ? ? ? ? ? ???• ?
?? G
Jadi per samaan ?? ? G? ? member ikan
? ? ? ? ? ?
??
? ?G
Jika dilakukan tr ansfor masi balik dar i per samaan ?? ? G? ?, maka diper oleh
? ? ? ?
? ?
????? ? ? ? ? ? ??
atau
? ? ? ? ? ?????
? ???
? ?
atau
? ? ? ????? ? ? ?? ?G? ?
den gan
? ? ? ?
? ?? ? ? ?
?
? ???
atau
? ? ? ?? ?????G ???G??
Dengan demikian penyelesaian persamaan ?? ? ? dapat ditulis sebagai
? ? ? ????? ? ? ?? ?G??
? ? ? ? ? ?
Penurunan persamaan ?? ? G?? dapat dilihat pada Lampiran 10.
Berdasarkan persamaan (25.i) diperoleh tiga parameter gelombang internal
yaitu ?, ? dan ?. Jika salah satu parameter diketahui, maka dua parameter lainnya
dapat ditentukan. Parameter ? bergantung pada nilai ? yang merupakan koefisien
dari persamaan KdV dan nilainya bergantung pada rapat massa dan kedalaman fluida.
selain itu bergantung pada nilai parameter ?G
Persamaan (24) memenuhi hukum konservasi massa yang dinyatakan sebagai
berikut (Grimshaw 1971)
sehingga dengan menyub stitusi persamaan (25) ke persamaan ?? ? G?? diperoleh
? ???
Persamaan ?? ?G? ? digunakan untuk memperoleh amplitudo yang bergantung
pada variabel s. Untuk itu, misalkan
? ? ???
Jika kedua ruas pada persamaan (27) diintegralkan, maka diperoleh
Selanjutnya substitusikan persamaan ?? ?G? ? dan ?? ?G?? ke persamaan ?? ? G? ?,
Penurunan persamaan (29) dapat dilihat pada Lampiran 10.
Berdasarkan persamaan (29) dapat diperoleh hubungan antara amplitudo
gelombang dan kondisi fisis (seperti rapat massa, kecepatan arus dan ketebalan
fluida). Besaran µ dan ? adalah koefisien per samaan ( 2 4) yang nilainya
ber gan tun g p ad a kon d isi fisis fluid a. Ap abila kecep atan ar us d an r ap at m assa
fluida diketahui d i upstream, m aka ked u a b esar an t er seb u t d ap at d it en t u kan
ber dasar kan r um usan per sam aan dasar pada fluida dalam keadaan setim bang.
Rum usan per sam aan dasar fluida dalam keadaan setim ban g diber ikan ber ikut
ini.
4.3 Fluida dalam Keadaan Setimbang
Untuk penyederhanaan, misalkan dalam keadaan setimbang fluida ideal yang
ditinjau bersifat tunak. Fluida tunak adalah fluida yang dalam perambatannya tidak
bergantung pada waktu (time independent flow). Ilustrasi dari asumsi gelombang
tunak ini adalah dimisalkan suatu gelombang difoto, gelombang tersebut bergerak
seakan-akan bingkai foto yang bergerak, sehingga kecepatan gelombang sama dengan
kecepatan ?G Dalam hal ini ? disebut juga kecepatan fase atau cepat rambat
gelombang (Grimshaw et al. 2006), maka koordinat foto ? setelah ? detik adalah
? ? ? ? ? ?,
sehingga
?? ? ?? ? ? • ?? ? ? ? ??G
Akibatnya persamaan (9.a) bagian pertama
?? ? ??? ? ? ?? ? ??
dapat ditulis
? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
atau
? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?G? ?
dengan ? ? ? ? ?.
Untuk memudahkan penulisan, notasi ? dan X pada persamaan ?? ?G? ? masing
masing ditulis dengan notasi ? ??• ?? sehingga diperoleh
? ?? ? ? ?? ? ?G ?? ?G? ?
Dengan cara yang sama, persamaan dasar fluida seperti pada persamaan ?? ? menjadi
? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ??? ? ?? ??
? ? ? ?
? ?? ?? ? ? ??? ? ?? ???? ? ?? ? ? ???
? ? ?
?? ? G? ?
dengan syarat batas
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??
? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ????
? ?? ? G? ?
(lihat Lampiran 11).
Selanjutnya dalam keadaan setimbang, dimisalkan bahwa fluida yang ditinjau
memiliki rapat massa ???? ???? tekanan ???????, kecepatan partikel dalam arah
horizontal dan vertikal masing- masing adalah ??????? dan ??? ??? ???, sedangkan
?????????, dengan? ? ? adalah suatu parameter kecil yang digunakan sebagai
pendekatan pada gelombang linear (Grimshaw et al. 2006).
Misalkan pula
dengan syarat batas
? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ???? ???
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????
?? ? ?????? ? ???? ? ? ? ? ?????
? ?? ? G? ?
(lihat Lampiran 12).
Dalam kondisi setimbang, ?? dan ?? dapat dianggap sebagai gaya badan dari
elemen fluida atau sebagai gaya gesekan atau juga dapat dianggap sebagai gaya luar.
Dalam kondisi setimbang, persamaan dasar fluida dalam keadaan tunak diberikan
oleh persamaan ?? ? G? ?. Jika persamaan ?? ?G? G???? diturunkan terhadap ? dan
? Selanjutnya, misalkan fungsi ? merupakan fungsi arus yang memenuhi
?? ? ?? dan ?? ? ? ???
atau dapat ditulis sebagai
Jika gaya luar ?? ? ? • ?? diabaikan, maka penyelesaian persamaan (35) adalah
? ? ? ?? ?, yang merupakan penyelesaian dari persamaan Long untuk kondisi tunak
pada fluida dua dimensi (Long 1953). Syarat batas (33.b.i) dan (33.b.iii) menjadi
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????
? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? (36)
dengan ? ??? adalah fluks massa pada aliran setimbang, sehingga syarat batas
dinamik yang ditinjau adalah
???? ? ?? ? ?? ? ? ? ???
?
???
? ? ?
??
?? ?
??
? ? ??? ? ? ??? ? ? ??
??? ????
? ? ? ? ? ? ???? ???
??? ?
Dengan demikian fungsi ? dapat diperoleh berdasarkan persamaan dasar fluida yang
diberikan oleh persamaan (35) dengan syarat batas (36). Hasil dari fungsi ? ?
diperoleh kecepatan arus dalam keadaan setimbang, yaitu ??G Untuk penyederhanaan,
dapat digunakan pendekatan Boussinesq, yaitu ? ? ?. Hal ini dapat dilakukan karena
? memenuhi nilai ? antara ? ?? ? dan ? ?? ? (Holloway et al. 2002). Berikut ini akan
dikaji gerak gelombang soliter dengan meninjau suatu kasus tertentu, dimana ?? dan
?? diketahui.
4.4 Contoh Kasus pada Fluida Dua Lapisan
Tinjau suatu fluida dua lapisan yaitu suatu fluida yang terdiri atas dua lapisan
yang masing- masing lapisan mempunyai rapat massa yang konstan. Gelombang
internal muncul pada batas kedua lapisan tersebut. Gelombang ini biasa disebut
gelombang interfacial. Aliran air dan minyak dalam pipa, serta aliran lumpur di suatu
perairan adalah contoh dari gelombang interfacial.
Misalkan rapat massa fluida dua lapisan yang akan dibahas diberikan dalam
bentuk
????? ? ??? ? ??• ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ??• ? ? ?? ? ? ? ? G
seperti diperlihatkan pada Gambar 4.
Berdasarkan domain fluida pada persamaan (38.b), persamaan (14.a) dengan syarat
batas (14.b) dapat ditulis
Penyelesaian MNB adalah
dengan
yang diperoleh dari syarat ? ?? ? ? ? ?G
Penurunan persamaan (40.a) dapat dilihat pada Lampiran 14.
Nilai ?? dapat ditentukan sebagai berikut. Jika persamaan ?? G?? disubstitusi ke
maka persamaan ?? ? G? ? dapat dinyatakan sebagai
? ? ?
Persamaan (41) memberikan persamaan untuk ???? yaitu
?? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
Selanjutnya gunakan pendekatan Boussinesq yaitu ?? ? ?? atau ? yang cukup
kecil, maka deret Taylor dari ??? terhadap ? yang diberikan pada persamaan (42.a),
adalah
?? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??
?? ? ? ? ????G ?? ?G? ?
Penurunan persamaan (42.b) dapat dilihat pada Lampiran 14.
Kemudian akan ditentukan ? dan ? yang merupakan koefisien persamaan
(26). Nilai ???? dan ?? diperoleh dari persamaan (24) dan bergantung pada kecepatan
arus ??. Dalam tulisan ini akan ditinjau dua kasus, yaitu kasus dengan ?? ? ? (tidak
ada arus) dan ?? ? ? (kecepatan arus dinyatakan dalam fungsi linear).
4.4.1 Kasus Tidak Ada Arus ??? ? ? ?
Dalam kasus ini dimisalkan tidak ada arus sehingga dari persamaan (12.c)
dan (42.b) diperoleh
?? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? G ??? ?
Dari persamaan (22) diperoleh
?? ? ? ? ??? ? ?
?? ? ? ? ?? ?
? ?
?? ? ? ? ?? ??? ?? ?G??
?? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????
?? ? ? ?? ?? ? ?? ?G? ?
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ?
?? ? ? ?? ??? G ?? ?G??
Besaran r menyatakan perbandingan rapat massa antara kedua fluida atau
? ? ??
?? G ??? ?
Dari persamaan (44.a-c) diperoleh koefisien ? dan ? sebagai berikut
Berikut ini akan ditentukan gerak gelombang interfacial berdasarkan pada
persamaan (29), tetapi dengan asumsi ? = 0, yaitu gaya gesekan diabaikan sehingga
persamaan (29) dapat dinyatakan sebagai
?? ? ? ?
? ??? ? G ?? ?G??
Jika ? ???? ??• ? masing-masing pada persamaan (46.a), (46.b), (44.a) dan (43)
disubstitusikan ke dalam persamaan (46.c), maka diperoleh
4.4.2 Kecepatan Arus Berupa Fungsi Linear (?? ? ?)
Misalkan ??? ?, maka persamaan (12.c) menjadi ?? ? ? ? ? sehingga ???? dan
?? pada persamaan (22) adalah sebagai berikut
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ??
? ? ??
? ?? ? ? ?
?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ???
? ? ? ?? ? ?
? ? ??? ? ? ?? ??? ?? ?G??
?? ?
?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?
?? ? ? ?? ?
?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?
?
?
? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?
?
??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ?
? ? ?? ?? ? ? ???
?
?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ???? ?
? ? ?? ?? ? ? ???
? ?? ? ? ? ? ? ?
? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??????
? ? ?? ?? ? ? ??? G ?? ?G? ?
?? ? ?
? ??? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?
? ?
? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?
?? ? ?? ???
? ?? ? ?? ? ? ? ?
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?
? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ?G??
Penurunan persamaan (48.a-c) dapat dilihat pada Lampiran 16.
Koefisien? dan ? pada persamaan (29) adalah sebagai berikut.
? ? ?
?? ??
??? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???
? ?
??
? ?? ??? ? ?? ?? ?? ??? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????
? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ??
? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ? ??
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??
? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ??? ? ???? ? ? ? ???
? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ???
? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ??? ?? ? ? ? ???? ?? ? G? ?
? ? ? ?? ? ? ?
?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ??
? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
?? ?? ? ??
?? ? ?? ? ? ??? ? ? ???
? ? ?? ??? ? ? ???? ? ?? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ??
? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ????
? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ???
? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??
dengan
? ? ? ?? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??
? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?
Dengan menyubstitusi persamaan (48.a), (49.a) dan (49.b) ke persamaan
(29) diperoleh hubungan amplitudo gelombang interfacial dengan kondisi fisis fluida,
yaitu
?? ?
? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ??
? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ?? ? ??? ?? ? ? ??? ? ??
? ?? ? ?? ? ? ? ???? ? ?? ?
??? ? ? ? ? ? ? ????
? ?? ? ??? ? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ???
? ?? ? ?? ?? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ??
? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????
? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ? ? ????? ????
dengan
4.5 Analisis Hasil
Kebergantungan amplitudo terhadap kondisi fisis fluida diberikan pada
persamaan (47) untuk kasus tak ada kecepatan arus dan pada persamaan
(50) untuk kecepatan arus berupa fungsi linear . Kedua kasus tersebut dapat
dijelaskan dalam Gambar 5.
Gambar 5 Grafik hubungan amplitudo dan perbandingan kedalaman fluida dua
lapisan untuk kasus (a) dan (b)
Pada kasus (tidak ada arus), gelombang interfacial dengan
amplitudo sangat kecil terjadi bilamana kedua lapisan fluida mempunyai ketebalan
yang hampir sama, sedangkan pada kasus (ada arus), amplitudo gelombang
sangat kecil bilamana lapisan bawah lebih tebal dari lapisan atasnya. Pada kedua
kasus, amplitudo gelombang cukup besar bilamana salah satu lapisan fluida sangat
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
?40
?20
0 20 40
h1 h
a
3
a
tipis atau mendekati fluida satu lapisan. Pada kasus ?? ? ? gelombang interfacial
berupa elevasi bilamana lapisan atas lebih tebal dari lapisan bawahnya. Sebaliknya
berupa depresi bila lapisan bawah lebih tebal dari lapisan atasnya. Pada kasus ?? ? ?
gelombang interfacial berupa elevasi bilamana perbandingan lapisan atas dengan
lapisan bawah lebih besar dari dua pertiga, sebaliknya gelombang interfacial berupa
depresi.
5.1 Simpulan
Gelombang internal dapat terjadi pada lapisan fluida dengan rapat massa yang
berbeda-beda. Persamaan dasar bagi gerak gelombang internal diturunkan
berdasarkan asumsi fluida ideal dengan menggunakan Hukum Kekekalan Massa dan
Hukum Kekekalan Momentum. Berdasarkan persamaan dasar fluida ideal yang
diperoleh, diturunkan persamaan gerak gelombang dengan melibatkan variabel arus.
Penurunan persamaan gerak gelombang internal dilakukan dengan menggunakan
metode asimtotik, dimana semua variabel tak bebas pada persamaan dasar fluida
ideal dinyatakan dalam uraian asimtotik terhadap suatu parameter kecil. Parameter
kecil tersebut menyatakan perbandingan antara ampitudo gelombang yang ditinjau
dengan kedalaman fluida (asumsi gelombang panjang dan amplitudo kecil).
Penyelesaian persamaan KdV standar dalam bentuk gelombang soliter menghasilkan
tiga parameter gelombang, yaitu amplitudo gelombang, panjang gelombang, dan
kecepatan fase gelombang. Jika salah satu parameter diketahui, maka dua parameter
lainnya dapat ditentukan. Ketiga besaran ini juga bergantung pada variabel arus
dalam arah horizontal.
Formulasi gelombang soliter internal persamaan KdV standar dengan
koefisien bergantung pada variabel arus diaplikasi pada fluida dua lapisan. Fluida dua
lapisan adalah fluida yang terdiri dari dua lapisan dengan rapat massa yang
masing-masing konstan. Dalam studi kasus ditinjau variabel arus berupa fungsi linear
terhadap kedalaman, sedangkan rapat massa dalam keadaan setimbang digunakan
rapat massa fluida dua lapisan. Hasil yang diperoleh dibandingkan dengan kasus tidak
ada arus. Dengan bantuan Software Mathematica diperoleh bahwa amplitudo
gelombang cukup besar bila salah satu lapisan cukup kecil (mendekati fluida satu
lapisam). Pada fluida tanpa variabel arus, gelombang soliter internal mempunyai
sangat kecil bilamana lapisan bawah lebih kecil dari lapisan fluida di atasnya. Pada
fluida yang melibatkan arus, gelombang soliter berupa elevasi bilamana perbandingan
lapisan atas dengan ketebalan fluida lebih besar dari sepertiga, sedangkan bila tanpa
arus gelombang soliter berupa elevasi bilamana perbandingan lapisan atas dengan
ketebalan fluidanya lebih besar dari setengah.
5.2 Saran
Pada penelitian ini hanya dibahas untuk kasus arus yang bergerak sejajar
dengan arah perambatan gelombang, sedangkan pada kenyataannya tidak selamanya
searah dengan perambatan gelombang. Fenomena alam ini tentu saja sangat mungkin
terjadi pada gelombang soliter internal, sehingga penelitian ini terbuka untuk
Apel JR. 1980. Satellite sensing of ocean surface dynamics. Ann. Rev. Earth Planet. Sci, 8: 308-342.
Billingham J, King AC. 2000, Wave Motion. Cambridge University Press.
Clarke S, Grimshaw R, Miller P, Pelinovsky E, Talipova T. 1981. On the Generation of soliton and breather in the modified Korteweg de-Vries equation. Chaos 10: 383-392.
Grimshaw R. 1971. The solitary wave in water of variable depth. Fluid Mech. 46: 611-622.
Grimshaw R. 1983. Evolution equations for nonlinear internal waves in stratified shear flows. Stud. Appl. Math. 65: 159-188.
Grimshaw R. 1979. Slowly varying solitary wave I. Korteweg-de Vries equation,
Proc. Roy. Soc. Ser. A. 368: 359-375.
Grimshaw R, Pelinovsky E, Talipova T. 2006 Modeling Internal Solitary Waves in the Coastal Ocean UK : Loughborough University.
Holloway P, Pelinovsky E, Talipova T. 2002. Internal tide transformation and oceanic internal solitary waves. USA: Dordrecht Kluwer.
Long RR. 1953. Some aspects of the flow of stratified fluids J. Tellus 5 : 42 – 58.
Newell A. 1985. Soliton in Mathematics and Physics. Pennsylvania: University of Arizona.
Strauss WA. 1992. Partial Differential Equations. USA: Malloy Lithographing Inc.
Zhou X. 1985. Effect of current on the fission of a solitary waves. Sci. Sinica. 28: 1278 – 1290.
? ? ? ? ? ?? ?
Persamaan ??G? ? disubstitusi ke persamaan ?? G?? diperoleh
? ? ? ? ? ? ?? ?
sehingga persamaan ??G?? dapat ditulis
? ?? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ? ? ?????G? ??G? ?
Karena
??
???? ? ?????? ? ?? ???? ? ?? ?????? ??G? ?
dengan
??
????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ??
? ?
? ?? ? ? ? ? ? ? ? • ??????? ?? ????? ? ? ??
maka diperoleh
????? ? ?? ? ? ??? ? ?? ???
?? ?? ? ? ? ??G??
Dari persamaan permukaan fluida
? ????? ? ?????? ? ? ? ? ?
diperoleh turunan total ? terhadap waktu ?
? ?
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????
atau
?
? ??? ? ?? ? ? ?
atau
?
? ??? ? ?? ? ? ?
? ?????? ? ?? ? ? ?
? ????? ? ? ?? ? ??
sehingga diperoleh
??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???G ?? G? ?
Selanjutnya dari persamaan pada batas bawah fluida
? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
diperoleh turunan total ? terhadap waktu ? adalah
? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??
atau
?
? ??? ? ? ???? ? ?
atau
?
? ??? ? ? ?? ?? ? ? ?
? ??? ? ? ?? ?? ? ? ?
? ??? ? ? ???? ? ? ?
Dari persamaan (9.a)
??? ??? ? ? ?? ? ?? ???
?? ? ?? ? ?? ????
? ???? ??? ? ? ??? ? ?? ??
? ? ? ? ?????
? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ???
?? ? ? ? ? ????
dengan syarat batas (9.b)
??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?? ??
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???G ?????
Apabila kecepatan horizontal, kecepatan vertikal, rapat massa, dan tekanan
fluida masing- masing dinyatakan oleh ?? ? ? , ???? ? ? , ?? ? ? dan ?? ? ? ?
maka dari persamaan (9.a.i) dapat dinyatakan sebagai
??? ??? ? ????? ? ? ?? ? ? ???
? ? ? ???? ? ??? ? ? atau
?? ? ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? G (9.a.i.i)
Dari persamaan (9.c) diperoleh ? ?? ? ??? ? ? sehingga persamaan (9.a.i.i) dapat
ditulis
?? ? ???? ???? ? ? ? ? ?
? ? ? ??? ? ???? ? ? ?
??
?? ? ??? ? ? ? ? ??
? ? ? ??? ? ?
atau
?? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ?
atau
?? ? ???????? ?? ?????? ? ???? ? ??? ?
? ???
? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ?
? ? ?? ?G (9.a.i.ii)
Apabila setelah t detik, kordinat gelombang ? dinyatakan dalam ? ? ? ? ? ?,
maka
? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
atau
???? ? ?? ? ? ?? ? ? G (9.a.i.iii)
Misalkan ? ? ? ? ?? sehingga persamaan (9.a.i.iii) dapat ditulis
? ?? ? ? ?? ? ?.
Untuk penyederhanaan ? ? ??? ??? ? sehingga
? ?? ? ? ?? ? ? G (9.a.i.iv)
Selanjutnya dimisalkan fluida yang ditinjau memiliki rapat massa ???????? , tekanan
???? ????, gaya badan arah horizontal adalah ?????????? dan gaya badan arah
horizontal adalah ?????? ????, sedangkan kecepatan partikel dalam arah horizontal
dan vertikal masing- masing adalah ???????? dan ???
??? ????, sehingga persamaan (9.a.i.iv) menjadi
?? ?? ? ? ??? ??? ? ? ? ?? G?G?G??
atau
?? ?? ? ??? ?
?? ? ?
??
??? ? ? ?
atau
???? ?? ? ?? ?????? ? ? ?
atau
???? ??? ???? ? ? ? G ??G? G?G???
Dengan menyubstitusi persamaan ?? G? G?G??? ke persamaan (9.a.i.ii) diperoleh
?? ? ???? ? ??? ? ? ???
? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ? ?G
Dengan cara sama diperoleh
???G ? ???? ? ?? ? ? ??? ? ?? ??? ? ?
? ???? ??????? ???? ??? ? ?????? ??? ? ?????? ? ????? ????
? ???????? ?? ? ???? ?? ? ?? ??? ? ? G
?? G ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ????? ? ? ? ?
? ??
?? ? ??? ?? ???? ? ?? ? ? ??
? ? ? ??
?? ??? ?? ?? ???? ? ???
? ???????? ??? ?
?? ? ?? ? ? ? ???
? ? ?? ? ?? (G = 0).
? G ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????
? ?? ? ???? ? ? ??? ? ??
? ? ? ? ??
Dari persamaan ??? G? ?
? ? ?? ?? ? ? ???? ??•
? ? ?? ?? ? ?? ? ?
? ????• ???
? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ?G
Dengan aturan rantai diperoleh
?? ? ?? ? ?
sehingga persamaan (10.a.iii) menjadi
??? ? ? ??? ????? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ?? ??
??? ?? ??? ?? ? ??
?????? ??? ? ? ???? ?? ? ?? ?
?? ? ??? ? ? ?? ? G? G???G??
Apabila uraian asimtotik pada persamaan (11.b) disubstitusikan ke persamaan
??? ? ??? ? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??????? ? ? ??? ? ??????? ? ? ???????? ?
? ?? ? ??????? ? ? ?? ? ??????? ? ? ??? ? ????????? ?? ? ??????? ?
? ????? ???? ? ????? ??? ?? ?????? ?? ??? ? ??????? ?
? ??? ? ??
????? ? ? ? ??
????? ? ? ? ??
????? ?? ? ??
????? ?
? ??? ? ??????? ? ? ???????? ? ? ??? ? ? ??????? ?
? ?????? ??? ? ??? ??? ???? ? ??? ??? ??? ?
? ??? ? ??????? ?? ??? ???? ?? ??? ? ? ??????? ? ? ??? ? ? ??????? ?
? ??? ? ? ??????? ? ? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ?????? ????
? ??? ???? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? G
Dari koefisien ?? diperoleh
??? ? ???? ? ??? ? ??????? ? ? ????????? ? ? G ?? ? G?G???G???
Misalkan ?? ? ? ? ??,
dalam kondisi tunak ? = 0 sehingga persamaan ??? G? G???G??? menjadi
??? ? ??
? ? ? ??? ? ????? ??? ? ????????? ? ?
??? ? ???? ? ? ????? ??? ? ? ??????? ? ?
???? ?? ??? ? ? ??????? ?? ? ?? ? ? ?? (12.a.i)
?? ?? ?? ? ?? (12.a.ii)
??? ? ? ? ? ? ? ?? (12.a.iii)
? ?? ??? ? ? ?????
? ? ?? (12.a.iv) Substitusikan variabel ?? ? pada persamaan ?? ? G?G???? ke persamaan (? ? G?G??
sehingga diperoleh
?????? ?? ?? ?? ? ? ??????? ???? ?? ? ? ? ?
selanjutnya diturunkan terhadap ? sehingga diperoleh
?????? ? ?? ? ? ? ??????? ????? ?? ? ? ? ? G (12.a.v)
?? ? ? ? • ?? pada persamaan (12.a.ii) masing- masing diturunkan terhadap ? kemudian
disubstitusi ke persamaan (12.a.v) sehingga diperoleh
?? ?? ? ?? ? ?????
? ? ? G ?? ? G???
Selanjutnya dengan menyubstitusi persamaan (12.vi) ke persamaan (12.v) diperoleh
?? ?????? ? ??? ? ? ??????? ????? ? ??? ??
???? ?? ?? ? ? ? ??????? ?? ? ??? ? ?? (12.a.i)
?? ?? ?? ? ?? (12.a.ii)
??? ? ? ??? ? ?? (12.a.iii)
? ?? ?? ? ? ? ??? ??? ? ?? (12.a.iv)
Misalkan
? ? ? ? ??? ? ??? ? G (13)
Jika persamaan (13) disubstitusi ke pesamaan (12.a.iii), maka diperoleh
?? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ? atau
?? ? ? ????? ? ??
kedua ruas diintegralkan terhadap ? sehingga diperoleh
?? ? ? ??? ? ??G (15.a)
Jika persamaan (15.a) disubstitusi ke pesamaan (12.a.iv), maka diperoleh
? ?? ?? ? ? ? ?????? ??? ? ??? ? ?
atau
?? ? ? ??? ?? ?? kedua ruas diintegralkan terhadap ? sehingga diperoleh
?? ? ? ??? ?? G (15.b)
Dengan menyubstitusi persamaan (15.b) ke persamaan (12.a.ii) diperoleh
?? ? ? ? ??? ?? ? ?
karena ?????????? ? ??? ?? ? ? maka ??? ? ?????????? , sehingga diperoleh
?? ? ? ??????? . (15.c)
Selanjutnya persamaan (13) disubstitusi ke persamaan (12.a.iv) sehingga diperoleh
?? ?????? ? ?? ??? ? ??? ? ??? ? ????? ??? ? ??? ? ????? ? ??? ??? ??? ? ??? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
atau
????? ?? ??? ? ?? ? ????? ? ??? ? ??? ??. (12.a.v)
Karena
??? ? ?? ? ???? ? ????
atau
?? ??? ? ?? ? ?? ???? ? ???? ??
atau
? ???? ? ? ?? ?? ??? ? ?
? ? ????? ? ??
maka persamaan (12.a.v) dapat dinyatakan sebagai
?? ?????? ??? ? ??? ??
atau
?????????? ? ????? ? ?. (14.a)
Dengan menyubstitusi persamaan (15.c ) ke persamaan (12.b.ii) diperoleh
? ? ??????? ? ???? ? ?
atau
? ? ?? ??
? ? ?? ? ??yang apabila diturunkan terhadap ? maka diperoleh
? ???? ??
? ? ?? ?. (12.b.iv) Pada batas atas fluida di ? ? ??, substitusikan persamaan (13) ke persamaan (12.b.i)
sehingga diperoleh
?? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ?
atau
? ???? ??? ? ???
atau
? ????? ? ?
atau
? ????
Koefisien ?? dari uraian asimptotik pada persamaan (11.b) seperti pada halaman 46
adalah
?? ? ? ? ? ? ?? ? ???????? ? ?? ? ??????? ? ? ??? ? ????? ????
?? ? ??????? ?? ????? ????? ????? ??? ?? ?????? ?? ? ? ??? ?????? ??
??? ??? ??? ? ? ??? ? ??????? ?? ?? ? ? ? ? ? ?
• ? ? ? ? ???? ?????? ? ? • ??• ?? ? ? sehingga diperoleh
? ? ? ??????? ? ?????? ? ? ? ???? ??? ? ?????? ? ? ??? ???? ? ?????? ? ?
???? ?? ? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ?
????
? ? ? ??? ???? ?? ???? ?? = ? ??? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ???? ? ? ???? ?? ? ? ?
? ? ??? ????? ? ? ??? ? ? ???? ??
atau
?? ? ??? ? ??? ? ? ???? ?? ? ?? (16.i)
dengan
?? ? ? ??? ? ??? ?? ?? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ?
? ??? ?????? ? ??? ? ? ? ??? ??G
Bagian
? ??? ???? ?? ? ???? ? ? ??? ?? ? ??
???? ?? ???? ?? ? ?? ????? ?? ???? ?? ?? ? G???
dalam kondisi tunak persamaan (9.a.iii) adalah
???????? ?? ???? ?? ? ?? ?? ? ? ??
??
atau
? ??? ???? ?? ? ???? ? ? ??? ?? ? ??
???? ?? ? ??? ? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ??
atau
? ??? ???? ?? ? ???? ? ? ??? ?? ? ??
???? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??
sehingga diperoleh
?? ? ? ??? ? ??? ?? ?? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ??
???? ?? ? ??? ?? ? ? ?
? ??.
? ?? ?? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? (17.a)
? ?? ? ???? ? ? ???? ? ?
?? ??? ??
?
?? ? ? ? ? ? ? ?
?, (17.b)
?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? G (17.c)
Pada persamaan (17.a) ? ? • ?????• ??• ?? ?? variabel ?? dieliminasi sehingga
diperoleh
???? ? ? ???? ? ? ? ??
???G (17.d) Kedua ruas pada persamaan (17.b) diturunkan terhadap ?
? ?? ? ? ???? ? ? ? ??????? ? ? ??? ?? ? ???
??
? , nilai ???? ? disubstitusikan ke
persamaan (17.d) sehungga diperoleh
? ?? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ??????? ? ? ???????? ?G (17.e)
Selanjutnya kedua ruas pada persamaan (17.a) dikalikan ? diperoleh
? ? ???? ?? ? ? ? ??? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ??, kemudian disubstitusi ke persamaan
(17.e) sehingga diperoleh
? ?? ? ????? ?? ? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ????? ? ???? ? ???????? ? ? ??? ????? ?
? ???? ?? ? ? ???? ? ?? (19.b)
dengan
?? ? ? ??? ??
??? ? ? ?? ? ? ???? ?? ?? ? ??????? ? ? ???????? ?G Selanjutnya dari persamaan (17.c)
?? ? ? ? ? ?????
atau
? ? ?? ? ????
atau
Pada bagian ini akan diformulasikan persamaan gerak gelombang internal. Untuk itu
substitusi variabel
?? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ??? ? ??? ? ?? ?
? ? ?? ????? ?, ? ? ?? ???????? dari persamaan persamaan (13) dan (15), ke persamaan (16.i) sehingga diperoleh
?? ? ? ??????????? ???
Selanjutnya Jika variabel ?? pada persamaan (19) disubstitusi ke persamaan (20),
maka
Untuk memudahkan, maka ruas kanan persamaan (20.a) akan dievaluasi secara
? ? ?? ?
dengan ?? seperti pada persamaan (16) yaitu
? ? ? ?
Untuk memudahkan, maka koefisien ? dihilangkan sehingga
? ? ?
selanjutnya subtitusikan persamaan (14.b.i) ke persamaan (20.d) sehingga
persamaan (20.d) dapat ditulis sebagai
?
dengan menyubstitusi persamaan (14.a) ke persamaan (20.e) diperoleh
?
sehingga persamaan (20.f) menjadi
? ? ? ????? ?? ?? ??
? ?
? ? ?
atau
? ? ? ?? ? ?????? ?????
??
? ?
? ? ?
• ???? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???? ?
?? ? ??????????? ? ? ? ? ???? ???
sehingga
? ? ??? ?? ???? ??? ? ? ???????
??
? ?
?? ? ???? ?
atau
? ? ???? ? ?? ? ? ???? ???
??
? ?
Dari persamaan (26.b)
kedua ruas diintegralkan sehingga diperoleh
?? ? ? ? ? ? ?
Jika persamaan (25.j) disubstitusi ke persamaan (27.b), maka diperoleh
??
Jika persamaan (25. i) disubstitusi ke persamaan (28.d), maka diperoleh
