Gelombang Soliter Internal pada Aliran Tunak (Studi kasus pada fluida dua lapisan)

GELOMBANG SOLITER INTERNAL

PADA ALIRAN TUNAK

(Studi kasus pada fluida dua lapisan)

Oleh:

SAIDAH

G54101040

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

RINGKASAN

SAIDAH. Gelombang soliter internal pada aliran tunak (Studi kasus pada fluida dua lapisan). Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI.

Gelombang internal adalah suatu gelombang yang terjadi di bawah permukaan laut. Karena gelombang ini terjadi di bawah laut, maka gelombang ini tidak terlihat secara kasat mata, tetapi dapat terdeteksi keberadaannya berdasarkan pola tertentu di permukaan. Salah satu gelombang internal yang memiliki peranan penting dalam aplikasi adalah gelombang soliter internal. Gelombang soliter ini bergerak tanpa mengalami perubahan bentuk dan kecepatan serta sering muncul pada waktu dan tempat yang sama. Keuntungan mengetahui perilaku gelombang soliter ini diantaranya dalam bidang perminyakan adalah pada pembangunan tiang penyangga anjungan minyak yang harus memperhitungkan kekuatan gelombang soliter tersebut.

GELOMBANG SOLITER INTERNAL

PADA ALIRAN TUNAK

(Studi kasus pada fluida dua lapisan)

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh:

SAIDAH

G54101040

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul : Gelombang Soliter Internal pada Aliran Tunak

(Studi kasus pada fluida dua lapisan)

Nama : Saidah

NRP : G54101040

Menyetujui :

Pembimbing I,

Dr. Jaharuddin, MS.

NIP 132045530

Pembimbing II,

Drs. Siswandi, MS.

NIP 131957320

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.

NIP 131473999

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tembilahan pada tanggal 28 Februari 1983 yang merupakan anak kedua dari tiga bersaudara dari pasangan H. Irham Said dan Hj. Nurasiah.

Pada tahun 1989 penulis memulai pendidikan formalnya di SD Inpres 16 Tekulai Hulu, dengan alasan mengikuti orang tua penulis melanjutkan tahun kedua pendidikan dasarnya di SD Negeri 008 Tembilahan (1990-1995). Kemudian penulis melanjutkan pendidikannya ke SLTP Negeri 2 Tembilahan (1995-1998) dan diteruskan ke SMU Negeri 1 Depok (1998-2001). Penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur UMPTN pada program studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

PRAKATA

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.

Puji syukur kehadirat Allah SWT penulis ucapkan atas limpahan nikmat yang tiada hentinya, serta rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, yaitu :

1. Kepada Bapak Dr. Jaharuddin, MS. selaku pembimbing I dan Bapak Drs. Siswandi, MS. selaku pembimbing II, yang telah memberikan nasehat, arahan, serta bimbingannya.

2. Untuk kedua orang tua yang tak henti-hentinya memberikan dukungan moral dan spritual dalam menyelesaikan skripsi ini. Aji dan Mamak adalah orang tua yang luar biasa bagi penulis.

3. Untuk kakak dan adik penulis, Dina dan Ari, walaupun dari kejauhan masih sempat memberikan perhatian dan kasih sayang yang berharga bagi penulis. Untuk paman penulis, Haris karena bisa menjadi seorang kakak laki-laki bagi penulis, serta seluruh keluarga besar H. Said Lailuk (alm) dan H. M. Nur (alm), khususnya keponakan tercinta Tsabita.

4. Untuk Retta sahabat masa sekolah yang masih setia berbagi kisah, cerita, tawa, dan air mata. Semoga persahabatan ini takkan memudar ditelan waktu.

5. Untuk teman-teman Math’38 yang telah melukis hari-hari penulis dengan berbagai warna empat tahun terakhir terutama Nia, Eva, Niken, Feidy, Nanik, Senny, Endah, Hawa, Yana, Linda, Wulan, Siti, serta Agam. Terima kasih pula pada Hasif, Azhari dan Niken atas kesediaannya menjadi pembahas, serta Devi yang berjuang bersama penulis.

6. Untuk seluruh dosen Matematika IPB yang telah mendidik, membimbing serta menurunkan ilmu pengetahuan yang sangat berguna bagi penulis.

7. Untuk seluruh staf TU, Bu Ade, Mas Yono, Mas Bono, Mas Deni, Bu Marissi, Mas Juanda, Mbak Yanti serta Bu Sam, yang telah banyak membantu penulis dari Tingkat I hingga sekarang, khususnya buat Bu Susi atas dorongan dan nasehat-nasehat berarti sebelum dan selama proses tugas akhir ini.

8. Untuk seluruh kakak angkatan 37, 36, dan 35 yang telah bersedia membagi pengalaman berharga baik dalam bidang akademik maupun perjalanan hidup, terutama Mbak Ida’37. Serta adik angkatan 39 dan 40 untuk kebersamaannya.

9. Untuk semua teman-teman masa TPB, khusunya Eka (Kimia 38) dan Adisti (Biologi 38). 10. Untuk teman-teman di SAFA khususnya Kak Siti (Terima kasih karena selalu ada untuk

penulis), Braja (Terima kasih untuk anti virus dan printer-printernya), Reli, Ami, Daffy, Joey, Mami Ati, Kang Syarief, Mbak Endar, Mbak Rani, Mbak Tina, Ning, Oki, Nidia, Wita, Novi, Iwa, Bill, Helmi, bersama kalian ada beban yang hilang.

Semoga skripsi ini bermanfaat bagi perkembangan ilmu pengetahuan dan berguna bagi mereka yang membacanya. Amin.

Akhir kata, Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.

Bogor, Februari 2006

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI………....vii

DAFTAR GAMBAR………..viii

DAFTAR LAMPIRAN………...viii

PENDAHULUAN………..………..………..1

Latar Belakang……….……...……….1

Tujuan………...1

Sistematika Penulisan………...1

LANDASAN TEORI………..………2

Persamaan Dasar Fluida………...……...……2

Syarat Batas………...………...3

Metode Asimtotik……….4

PEMBAHASAN……….6

Model dan Asumsi………...6

Formulasi Langrange………...…7

Persamaan Gerak Gelombang Internal……….8

Solusi Gelombang Soliter ……….9

Contoh Kasus Fluida dua Lapisan… .……..……..………..………...……...9

SIMPULAN ………..…….………....………..…..…...12

DAFTAR GAMBAR

Laju perubahan massa ………...….... 2

Komponen x dari elemen luas yang ditinjau……….………... 3

Komponen z dari elemen luas yang ditinjau………... 3

Hasil solusi persamaan………... 5

Garis-garis arus mode internal dengan d=0.1………...………...11

Garis-garis arus mode permukaan….………...11

Garis-garis arus mode internal dengan d=0.6…..…...……….…..….…………...11

...

DAFTAR LAMPIRAN

A...………...…... 13

B.………....………... 14

C……….………... 17

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Fluida merupakan zat yang dapat mengalir dan memberikan sedikit hambatan terhadap perubahan bentuk ketika ditekan. Zat yang termasuk fluida adalah zat cair dan gas. Pada penulisan ini, jenis fluida yang dibahas adalah fluida mengalir. Fluida disebut mengalir jika fluida itu bergerak terus terhadap sekitarnya.

Jika fluida yang mengalir tidak mengalami perubahan volume atau massa jenis ketika ditekan, maka aliran fluida dikatakan tak termampatkan (incompressible). Sedangkan, jika aliran dimana tegangan geser diabaikan, maka aliran disebut tak kental (inviscid). Fluida yang memiliki sifat tak termampatkan, dan tak kental disebut fluida ideal. Jika kecepatan partikel yang diberikan konstan terhadap waktu, maka aliran fluida dikatakan tunak. Tulisan ini hanya meninjau fluifa ideal yang tak berotasi (irrotasional) dan memiliki aliran yang tunak (steady).

Salah satu fenomena yang terjadi pada fluida adalah gelombang. Gelombang terjadi karena adanya perbedaan rapat massa pada batas antara dua fluida. Seperti gelombang yang terdapat di permukaan air, gelombang tersebut terjadi karena perbedaan rapat massa air dan udara.

Selain gelombang permukaan (surface wave), terdapat juga gelombang yang terjadi di bawah permukaan. Gelombang ini yang disebut gelombang internal. Gelombang internal juga dapat ditemui di atmosfir [Christie, 1992].

Salah satu jenis gelombang yang unik adalah gelombang yang hanya memiliki satu puncak, disebut gelombang soliter. Gelombang soliter internal dapat menjadi masalah bagi lingkungan, seperti robohnya tiang penyangga bangunan yang dibangun di laut, atau naiknya polutan dari dasar laut ke permukaan. Masalah-masalah ini memotivasi para peneliti untuk lebih mengenali karakteristik dan kekuatan gelombang tersebut. Motivasi tersebut juga melahirkan penulisan karya ilmiah ini.

Suatu penelitian mengenai gelombang internal dalam fluida ideal dengan rapat massa yang tidak konstan dilakukan oleh Long [Long, 1953], yaitu dengan meninjau aliran yang berbentuk tunak, dan persamaan gerak yang diperoleh dinyatakan dalam fungsi arus. Persamaan ini selanjutnya disebut persamaan Long. Dari penelitian Tung [Tung et al.,

1982], persamaan Long digunakan untuk memeriksa keberadaan suatu gelombang soliter. Sementara Grimshaw [Grimshaw, 1997], menyatakan bahwa untuk gelombang soliter dengan simpangan kecil, persamaan Long dapat disederhanakan menjadi bentuk tunak dari persamaan Korteweg-de Vries (KdV).

Dalam tulisan ini, akan dimulai dengan menurunkan suatu persamaan dasar fluida ideal. Persamaan dasar fluida ideal tersebut diturunkan dari prinsip kekekalan massa dan kekekalan momentum. Kemudian, persamaan dasar yang didapat, disederhanakan dengan menggunakan asumsi bahwa fluida yang ditinjau memiliki aliran yang tunak.

Formulasi berdasarkan asumsi aliran tunak akan menggunakan suatu formulasi Lagrange, kemudian dengan metode asimtotik memberikan persamaan gerak gelombang internal. Selanjutnya, penyelesaian persamaan gerak akan dimisalkan berupa gelombang soliter.

Studi kasus pada fluida dua lapisan akan diberikan sebagai contoh. Fluida dua lapisan adalah fluida yang terdiri atas dua lapisan yang masing-masing memiliki rapat massa yang konstan.

Tujuan

Berdasarkan latar belakang yang diuraikan di atas, tujuan penulisan ini adalah menyederhanakan persamaan Long menjadi bentuk tunak persamaan KdV dengan metode asimtotik, mencari solusi gelombang soliter dari persamaan KdV serta penerapan solusi gelombang soliter pada fluida dua lapisan dari gelombang soliter yang dipenuhi.

Sistematika Penulisan

LANDASAN TEORI

Teori-teori yang digunakan pada Bab Landasan Teori ini, disarikan dari buku [Streeter, 1948], [Jaharuddin, 2004] dan [Hinch, 1992]. Pada bagian pertama akan dibahas penurunan persamaan dasar fluida ideal. Persamaan ini banyak digunakan dalam penurunan persamaan gerak gelombang internal. Dalam proses penurunan persamaan gerak gelombang internal akan digunakan suatu metode yang disebut metode asimtotik. Pembahasan mengenai metode asimtotik diberikan pada bagian kedua bab ini.

Persamaan Dasar Fluida

Dalam menurunkan persamaan dasar fluida diperlukan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum.

Hukum kekekalan massa pada suatu sistem dinyatakan secara sederhana sebagai laju perubahan massa dalam elemen luas sama dengan selisih antara massa yang masuk dengan massa yang keluar pada elemen luas tersebut.

Misalkan rapat massa fluida dinotasikan dengan ρ, kecepatan horizontal partikel u dan kecepatan vertikal partikel w. Karena sistem fisis yang di tinjau berupa elemen luas yaitu dua dimensi, maka ρ,udan w masing-masing bergantung pada koordinat elemen luas

z

xdan , serta waktu t.

Jika ρu _x∆z dan ρw _z∆x masing-masing menyatakan massa yang masuk ke arah horizontal dan vertikal, ρu _x+∆x∆z dan

x w_z+∆_z∆

ρ masing-masing menyatakan

massa yang keluar pada arah horizontal dan vertikal, maka laju perubahan massa pada elemen luas yang disajikan dalam Gambar 1

berdasarkan prinsip kekekalan massa dapat ditulis

, x w

z u x w z u t z x

z z

x x z

x

∆ −

∆ −

∆ + ∆ = ∂ ∂ ∆ ∆

∆ +

∆ +

ρ

ρ ρ

ρ ρ

atau

(

)

(

w_z w_{z z}

)

. x

x x u x u z t z x

∆ + − ∆

+

∆ + − ∆

= ∂ ∂ ∆ ∆

ρ ρ ρ ρ ρ

(1)

Jika kedua ruas persamaan (1) dibagi dengan

z x∆

∆ , diperoleh

(

)

(

)

. z

w w x

u u t

z z z x x x

∆ − + ∆ − = ∂ ∂

∆ + ∆

+

ρ ρ ρ ρ ρ

(2)

Untuk ∆x→0 dan ∆z→0, maka persamaan menjadi

( ) ( )

_. z

w x

u

t ∂

∂ − ∂ ∂ − = ∂

∂ρ ρ ρ ₍₃₎

Selanjutnya, jika dinotasikan

⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∂

∂ = ∇

z x,

dan qr=

( )

u,w , serta notasi turunan total terhadap waktu seperti berikut

, z w x u t Dt

D

∂ ∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= maka persamaan (3) dapat dinyatakan dalam bentuk vektor

(

q

)

Dt

D r

• ∇ − = ρ ρ

. (4) Karena fluida ideal, berarti tak termampatkan, maka

, 0

=

Dt Dρ

(5) sehingga dari persamaan (4) memberikan

. 0

= •

∇ qr (6)

Persamaan (5) dan (6) masing –masing dapat ditulis

. 0

, 0

= +

= + +

z x

z x

w u

w uρ ρ

ρ

(7) Persamaan (7) disebut persamaan kontinuitas fluida yang tak termampatkan.

Selanjutnya, hukum kekekalan momentum dinyatakan sebagai laju perubahan momentum sama dengan selisih dari momentum yang

z

x

∆

z

∆

x

x

x

+

∆

x

z

z

z

+

∆

Gambar 1. Laju perubahan massa

x

u

ρ

z

w

ρ

x x

u _+∆

ρ z z

w _+∆

Gambar 2. Komponen x dari elemen luas yang ditinjau

z

x

∆

z

∆

x x _x+∆x z

z z+∆

x

zu u∆

ρ ρu∆zux+∆x

z

xu w∆ ρ

z z

xu w∆ +∆

ρ

Gambar 3. Komponen z dari elemen luas yang ditinjau

z

x

∆

z

∆

x x _x+∆x z

z z+∆

x

zw u∆

ρ ρu∆zwx+∆x

z

xw w∆

ρ

z z

xw w∆ +∆

ρ

masuk dengan momentum yang keluar ditambah gaya-gaya yang bekerja pada elemen luas yang ditinjau.

Untuk menyatakan hukum kekekalan momentum tersebut secara matematis, pandang elemen luas dalam dua komponen, yaitu komponen-x dan komponen-z yang masing-masing diillustrasikan pada Gambar 2 dan Gambar 3.

Perubahan rata-rata momentum pada arah x adalah

( )

(

)

(

)

(

_{x x x}

)

,

z z z

x x x

P P z

wu wu x

uu uu z t

u z x

∆ +

∆ +

∆ +

− ∆

+ −

∆

+ −

∆ = ∂ ∂ ∆ ∆

ρ ρ

ρ ρ ρ

(8)

sedangkan perubahan rata-rata momentum pada arah z adalah

( )

(

)

(

)

(

P P

)

g x z.

x

ww ww

x

uw uw

z t

w z x

z z z

z z z

x x x

∆ ∆ + −

∆

+ −

∆

+ −

∆ = ∂ ∂ ∆ ∆

∆ +

∆ +

∆ +

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ

(9)

Bentuk

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∆ ∆

t u z

x ρ

adalah laju perubahan momentum dalam elemen luas pada komponen-x, dan bentuk

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∆ ∆

t w z

x ρ

adalah perubahan momentum elemen luas pada komponen-z. Karena fluida ideal, berarti fluida tak kental, maka tegangan geser diabaikan. Jadi bentuk ∆z

(

P _x−P _x+∆x

)

pada persamaan (8) menyatakan jumlah gaya yang bekerja pada komponen-x, sedangkan bentuk

(

P P

)

g x z x _z − _{z z} + ∆ ∆

∆ _+∆ ρ pada persamaan

(9) menyatakan jumlah gaya yang bekerja pada komponen-z.

Untuk menyederhanakan persamaan (8) dan (9), kedua ruas dari persamaan tersebut dibagi oleh ∆x∆z dan untuk ∆x→0,

0

→

∆z diperoleh

( )

(

) (

)

,

x P z wu x

wu t

u

∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂

∂ ρ ρ ρ

(10)

( )

(

) (

)

g,

x P z ww x

uw t

w ρ ρ _ρ

ρ

+ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂

(11)

masing-masing pada komponen xdan z.

Dengan menggunakan persamaan kontinuitas untuk fluida tak termampatkan, persamaan (10) dan (11) menjadi

, ,

g z P Dt Dw

x P Dt Du

ρ ρ

ρ

+ ∂ ∂ − =

∂ ∂ − =

(12)

atau dapat juga ditulis

(

(

)

)

. 0 , 0

= + + + +

= + + +

g P ww uw

P wu uu u

z z x t w

x z x t

ρ ρ

ρ

(13) Persamaan (13) sering disebut sebagai persamaan momentum (persamaan Euler).

Dengan demikian, dari persamaan (7) dan (13), persamaan dasar fluida ideal diberikan dalam sistem persamaan berikut:

(

)

(

)

0.

, 0

, 0

, 0

= + + + +

= + + +

= +

= + +

g P ww uw w

P wu uu u

w u

w u

z z x t

x z x t

z x

z x t

ρ ρ

ρ

ρ ρ ρ

Syarat Batas

Berikut ini akan dibahas syarat batas kinematik dan syarat batas dinamik. Syarat batas kinematik terjadi karena gerak partikel, sedangkan syarat batas dinamik terjadi karena adanya gaya-gaya yang bekerja pada fluida.

Misalkan kurva yang membatasi air dan udara dengan persamaan z=η₀

( )

x,t . Bentuk implisit dari persamaan kurva dapat dinyatakan dengan S

(

x,z,t

)

=η₀

( )

x,t −z=0, sehingga diperoleh

. 0

=

Dt DS

(14) Berdasarkan notasi turunan total, persamaan (14) menjadi

η_0t+uη_0x−w=0 di z=η₀

( )

x,t. (15) Persamaan (15) disebut syarat batas kinematik pada permukaan fluida.

Berikut ini akan diturunkan syarat batas dinamik. Dalam notasi vektor persamaan (13) ditulis

. g p Dt

q

Dr _ρr

ρ =−∇ + (16)

Dengan menggunakan notasi turunan total diperoleh

( )

q. q. q

Dt q D

t

r r r r

∇ + ∂

= (17)

Persamaan (17) dapat ditulis

(

)

(

_{q q}

)

( )

₂1 _q2.

q Dt

q D

t

r r

r r r

∇ + × ∇ × + ∂ =

Jika partikel fluida diasumsikan tak berotasi

(

∇×qr=0

)

, maka terdapat suatu fungsi skalar

(

x,z,t

)

φ yang disebut kecepatan potensial dan memenuhi qr=∇φ. Persamaan (17) menjadi

t

( )

(

₂1

(

x2 z2

)

)

. Dt

q

Dr _{=∂ ∇φ +∇ φ +φ}

(18)

Selanjutnya, substitusi persamaan (18) ke dalam persamaan (16), kemudian setelah diintegralkan terhadap koordinat ruang, diperoleh

(

)

P gz C

( )

t

z x

t+ φ +φ +ρ+ =

φ 2 2

2

1 ₍₁₉₎

dengan C

( )

t fungsi sembarang dari t, sedangkan peubah zmenyatakan ketinggian partikel yang diamati dari dasar. Persamaan (19) disebut sebagai persamaan Bernoulli. Karena C

( )

t hanya fungsi dari t, maka dapat

digabung ke dalam fungsi φ. Untuk itu misalkan C

( )

t =0dan tekanan udara konstan, maka persamaan (19) dapat ditulis

1₂

(

2 2

)

_{g 0} 0 di z ₀(_x,_t).

z x

t φ φ η η

φ + + + = =

(20) Persamaan (20) disebut syarat batas dinamik pada permukaan fluida.

Metode Asimtotik

Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah nilai batas / MNA adalah dengan menggunakan Metode Asimtotik. Penyelesaian dengan metode ini dinyatakan dalam bentuk deret atau dalam bentuk uraian asimtotik.

Misalkan

(

)

n n

R R R R x t

f , ,α : × × → kontinu

terhadap t∈R dan x∈Rn, dan α >0

merupakan parameter kecil. Fungsi f mempunyai uraian terhadap parameter kecil

α. Untuk kasus yang khusus, f mempunyai uraian Taylor terhadap α, yaitu

(

)

(

)

( )

( )

t x f

( )

t x

f

x t f x t f x t f

n n

, ...

, , 0 , , ,

,

2 2

1

α α

α α

+ + +

+ =

dengan koefisien f1,f2,...bergantung pada t

dan x.

Perhatikan masalah nilai awal berikut: ,

0 4

4 + =

+ x x x& &

& α ,

dengan syarat awal x

( )

0 =1, x&

( )

0 =0. Solusi eksak yang diperoleh adalah

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

− +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

=

− −

t e

t e

t x

t t

2 2

2 2 2

1 2 sin 1

1 1 2 cos

α α

α

α

α α

Akan dicari solusi masalah di atas dengan metode asimtotik. Misalkan solusi persamaan tersebut dalam bentuk uraian asimtotik:

( )

( )

( )

2

( )

...

2 1

0 + + +

=x t x t x t

t

x α α

Substitusikan pemisalan solusi di atas ke dalam persamaan differensial, koefisien untuk

0

α memberikan persamaan &&x0+4x0 =0,

sedangkan koefisien α1 memberikan persamaan

&x&1+4x1+4x&0=0,

dan seterusnya diperoleh

&x&n+4xn+4x&n−1=0, n=1,2,....

( )

( )

( )

0 0,

( )

0 0, 1,2,.. ,

0 0 , 1

0 ₀

0

= = =

= =

n x

x

x x

n n &

&

diperoleh :

( )

( )

0 1

cos 2

sin 2 2 cos 2 ,

x t t

x t t t t

=

= −

Sehingga solusi MNA dengan metode asimtotik adalah

( )

cos 2

(

sin 2 2 cos 2

)

x t = t+α t− t t . Solusi masalah nilai awal di atas baik secara eksak maupun dengan metode asimtotik diilustrasikan pada Gambar 4 dengan menggunakan α=0.1.

Pada Gambar 4, terlihat bahwa solusi eksak dan solusi dengan metode asimtotik

tidak jauh berbeda sehingga dapat disimpulkan bahwa metode asimtotik dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah nilai awal.

Gambar 4. Perbandingan solusi MNA eksak dengan solusi MNA metode asimtotik

-4 -2 2 4

-2 -1 1

PEMBAHASAN

Model dan Asumsi

Tinjau persamaan dasar fluida ideal yang telah diperoleh pada bagian sebelumnya, seperti berikut:

(

)

(

)

0.

, 0

, 0

, 0

= + + + +

= + + +

= +

= + +

g P ww uw w

P wu uu u

w u

w u

z z x t

x z x t

z x

z x t

ρ ρ

ρ

ρ ρ ρ

(21)

Selanjutnya, gunakan asumsi aliran fluida yang tunak. Ilustrasi dari asumsi ini, dijelaskan dengan memisalkan suatu gelombang difoto, dan gelombang tersebut bergerak seakan-akan bingkai foto yang bergerak, sehingga kecepatan gelombang sama dengan kecepatan bingkai, gelombang tersebut akan terus bergerak misalkan ke arah kanan dengan kecepatan c, maka koordinat foto X dapat ditulis X =x−ct, sehingga

.

, _{t X}

X

x=∂ ∂ =−c∂

∂

Oleh karena itu, bentuk tunak dari persamaan (21a) dapat ditulis

0

= + +

−cρ_X uρ_X wρ_z , atau

0

= +w _z X Uρ ρ

dengan U =u−c. Sementara dari persamaan (21b) diperoleh

0

= +w_z

U_X

.

Dengan cara yang sama, diperoleh bentuk tunak dari persamaan (21c) dan (21d).

Untuk memudahkan penulisan, notasi

U pada setiap persamaan ditulis dalam notasi u, seperti pada persamaan berikut

(

)

(

)

0.

, 0

, 0

, 0

= + + +

= + +

= +

= +

g P ww uw

P wu uu

w u

w u

z z x

x z x

z x

z x

ρ ρ

ρ

ρ ρ

(22)

Persamaan (22) adalah persamaan dasar fluida ideal dengan aliran tunak. Persamaan ini akan disederhanakan menjadi persamaan Long. Untuk itu, turunkan persamaan (22c) terhadap z dan persamaan (22d) terhadap x, masing-masing diperoleh

(

+

)

+ =0,

∂ ∂

xz P z wu x uu zρ

(

+

)

+ + =0

∂ ∂

x g zx P z ww x uw

xρ ρ .

Eliminasi P_xz menghasilkan

(

)

(

+

)

− =0.

∂ ∂ − + ∂

∂

x g z ww x uw x

z wu x uu z

ρ ρ

ρ

(23)

Kemudian jika dimisalkan

z

x u

w −

=

ξ ,

maka persamaan (23) menjadi

, 0 2

2 2 1 1

2 2 2 1 1

= ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

∂ ∂ ∂ ∂ −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

∂ ∂ ∂ ∂ +

x g w u x x

w u z x Dt D

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ξ

(24) dengan

z w x u Dt

D

∂ ∂ + ∂

∂

= .

Selanjutnya, definisikan fungsi arus ψ , yaitu fungsi yang memenuhi

x

z w

u =−ψ , dan =ψ . (25) Berdasarkan persamaan (22a), diperoleh

, 0

=

Dt Dρ

sehingga ρ hanya bergantung pada ψ , misalkan ρ =ρ(ψ).

Jika persamaan (25) disubstitusikan ke dalam persamaan (24) dan selanjutnya diintegralkan terhadap koordinat ruang, maka diperoleh

), ( 2

1 2 1

1 _ψ 2 _ψ 2 _ψ

ψ ρ ρ

ψ ψ

G gz d

d

z x zz xx

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ +}

+ +

(26)

(Penurunan persamaan (26) dapat dilihat pada Lampiran A)

dengan G(ψ) adalah konstanta integrasi yang dapat diperoleh berdasarkan kondisi upstream

(

x→±∞

)

. Kondisi upstream adalah kondisi dimana jauh di kiri dan di kanan garis arus hampir berupa garis lurus. Jika kondisi upstream yang diberikan berbentuk ψ →cz

dan ρ=ρ₀(z), maka

.

2 1 1

)

( 2⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

= c

c g d d

G ψ

ψ ρ ρ

ψ (27)

Dengan demikian persamaan (26) menjadi

. 2 1 1

2 1 2 1 1

2

2 2

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ +}

+ +

c c g d

d

gz d

d

z x zz

xx

ψ ψ

ρ ρ

ψ ψ ψ

ρ ρ ψ ψ

Persamaan (28) sering disebut persamaan Long.

Dalam proses penurunan selanjutnya, diperkenalkan peubah tak berdimensi berikut

;

ch ψ

ψ′= ;

h x

x′= .

h z

z′= (29) Berdasarkan peubah baru ini, persamaan (28) menjadi

(

)

(

)

. 0 1 2

1 1

2 2

2

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{′ + ′ − + ′− ′}

′ +

′ + ′

′ ′ ′ ′ ′ ′

ψ ψ

ψ ψ

ρ ρ

ψ ψ

z c gh d

d

z x z z x x

(30) Untuk memudahkan penulisan, maka tanda aksen akan dihilangkan. Karena kondisi upstream yang diberikan, maka persamaan (30) menjadi

(

)

(

)

. 0 1 2

1 1

2 2 2 0 0

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ − + −}

+ +

ψ ψ

ψ ψ ρ ρ

ψ ψ

z c gh d

d

z x zz xx

(31) (Penurunan persamaan (31) dapat dilihat pada Lampiran A)

Untuk memudahkan interpretasi dalam penurunan persamaan gerak gelombang internal, maka akan digunakan formulasi seperti berikut ini.

Formulasi Lagrange

Formulasi Lagrange diperoleh dengan memisalkan z= f(x,ψ). Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh

. 1 1

, ,

1 ,

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ =

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂

∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂

∂ = =

− =

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

f f

f f f

f f f x f

f f

xx

x x

x xx

z x x

(32)

Jika persamaan (32) disubstitusikan ke dalam persamaan (31), diperoleh

(

)

0.

1 1 2

1

0

2 2

0 2 2

= − +

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

⎟⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎜ ⎜

⎝ ⎛

− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −

ψ ρ

ρ

ψ

ψ ψ

ψ ψ

z gh

f f

f c

f f c

x x x

(33)

Khususnya

f(x,Z)=Z +η(x,Z) (34) dengan Z =ψ, persamaan (33) menjadi

(

)

(

)

. 0

1 2 1 1

2 0

2 2 2 0

2 0

2

= +

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ − +

+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

+

η ρ

η η η η ρ η η ρ

N c c

Z Z

x Z Z x Z x

(35)

(Penurunan persamaan (32), (33) dan (35) dapat dilihat pada Lampiran B)

Persamaan (35) berlaku pada daerah

1

0<Z< , sedangkan untuk Z=0 dan Z=1

diperoleh dengan cara berikut.

Untuk Z =0, diasumsikan dasar rata sehingga w=0, atau ψ_x=0. Hal ini berakibat tidak terjadi gelombang di dasar permukaan (di Z=0). Jadi di Z=0, nilai η=0. Sedangkan untuk Z =1, syarat batas dinamiknya berbentuk

1₂

(

ψ_x2+ψ_z2−c2

)

+gz=0, di z=η_{. (36)} (Penurunan persamaan (36) dapat dilihat pada Lampiran B)

Kemudian, dengan menggunakan peubah pada persamaan (29) , persamaan (36) menjadi

(

2 2 1

)

.

2 1

2 _{′ + ′ −}

−

= σc ψ_x′ ψ_z′

η (37)

Untuk memudahkan penulisan, hilangkan tanda aksen pada persamaan (37).

Selanjutnya, substitusikan persamaan (32) dan f pada persamaan (34) ke dalam persamaan (37), sehingga diperoleh

(

)

(

1

)

2 . 2 2 2 1 2

Z x Z Z

c

η η η η σ η

+ − +

= (38)

aliran tunak dalam formulasi Lagrange diberikan oleh

(

)

(

)

, 0 1 2 1 1 2 0 2 2 2 0 2 0 2 = + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + η ρ η η η η ρ η η ρ N c c Z Z x Z Z x Z x (39)

dengan kondisi batas

0

=

η , di

Z

=

0

(

)

(

)

2 2 2 2 1 2

1

Z x Z Z

c

η

η

η

η

σ

η

+

−

+

=

, di

Z

=

1

.

(40) Selanjutnya akan ditentukan solusi persamaan (39) dengan syarat batas pada persamaan (40) dengan menggunakan metode asimtotik. Persamaan Gerak Gelombang Internal

Jika persamaan (39) diuraikan, maka diperoleh

xx

c2ρ₀η +

(

₂3 2

)

0

2

Z Z Z

c ρ η − η

+c ρ0

(

ηZZ −ηZηZZ

)

2

ZZ Z

c2ρ₀2η η

+

+ρ₀N2η+Q=0.

(41) dengan Q=

(

)

⎟⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + + 2 ... 2 0 2 1 _Z zx x xx Z xx Z c η η η η η η η ρ

(

)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + ₂ 2 2 1 4 2 3 3 0 2 1 2 Z x Z Z Z c η η η η ρ

(

)

(

)

. 1 2 1 8 12 7 3 2 5 3 4 3 2 0 2 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + − Z ZZ x ZZ Z Z ZZ Z ZZ Z ZZ Z c η η η η η η η η η η η η ρ (42) (Penurunan persamaan (41) dan (42) dapat dilihat pada Lampiran C)

Selanjutnya, misalkan uraian asimtotik dari

η

dan

c

berbentuk

η=αη1

(

X,Z

)

+α2η2

(

X,Z

)

+..., (43) c=c₀+αc₁+..., (44) dengan αsuatu parameter kecil yang menyatakan amplitudo gelombang dan

,

2 1

x

X =α yang menyatakan panjang

gelombang yang ditinjau cukup panjang.

Jika persamaan (43) dan (44) kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (41) dan (40), maka koefisien α memberikan persamaan berikut

(

c₀2ρ₀η_1Z

)

_Z +ρ₀N2η₁=0, 0<Z<1

η₁ =0, Z =0 (45) σc₀2η_1Z−η₁=0, Z =1. Kemudian, dengan menggunakan pemisahan peubah, yaitu

), ( ) (

1 A X φ Z

η = (46)

persamaan (45) memberikan masalah nilai eigen untuk φ

( )

Z , yaitu

. 1 Z , 0 0 Z , 0 1 Z 0 , 0 ) ( 2 0 2 0 0 2 0 = = − = = < < = + φ φ σ φ φ ρ φ ρ Z Z Z c N c (47)

Selanjutnya koefisien α2 memberikan

(

)

1 Z , 0 0 Z , 0 1 Z 0 , 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0 = = + − = = < < = + + M c F N c Z Z Z η η σ η η ρ η ρ (48) dengan ZZ Z Z Z ZZ Z Z XX c c c c c c c F 1 1 0 2 0 2 1 0 2 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 0 3 2 3 2 2 η η ρ η ρ η ρ η ρ η ρ − − + + = (49) dan

M =2σc₀c₁η_1Z −3₂σc₀2η_1Z2. (50) Jika η₁ pada persamaan (46) disubtitusikan ke dalam persamaan (49) dan (50), maka diperoleh

(

)

(

2

)

2

0 2 0 0 0 1 0 2 0 2 3 2 A c A c c A c F Z Z Z Z XX φ ρ φ ρ φ ρ − + = (51) dan

M =2σc0c1φZA−3₂σc02φZ2A2. (52)

Dengan demikian diperoleh dua masalah nilai eigen, yaitu untuk φ pada persamaan (47) dan untuk η2 pada persamaan (48).

(Penurunan persamaan (45), (48), (49), dan (50) dapat dilihat pada lampiran C).

kondisi terselesaikan (solvability condition) berikut

(

)

.

0 1 1

0 2

2 0 2

0 ₌

=

∫ = −

Z Z Z Z

c dZ

Fφ ρ η φ η φ (53)

[Jaharuddin,2001]

Jika F pada persamaan (51) dan M pada persamaan (52) disubstitusikan ke dalam persamaan (53), lalu dilakukan integral parsial, maka diperoleh

0,

2

1 2

1 + + =

−cA µA δA_XX (54) dengan koefisien µ dan δ berbentuk

, 2

3

1 0

2 0 0 1 0

3 2 0 0

dZ c

dZ c

Z Z

∫ ∫ =

φ ρ

φ ρ

µ (55)

dZ c

dZ c

Z

∫ ∫ =

1 0

2 0 0 1 0

2 2 0 0

2 ρ φ φ ρ

δ . (56)

(Penurunan persamaan (54), (55) dan (56) dapat dilihat pada lampiran C)

Persamaan (54) biasa disebut dengan persamaan KdV dalam bentuk tunak.

Solusi Gelombang Soliter

Berikut ini akan ditentukan solusi persamaan (54) dalam bentuk gelombang soliter. Untuk itu, kalikan setiap ruas pada persamaan (54) dengan A_X, kemudian diintegralkan, sehingga diperoleh

,

2 6 2

2 3

2

1 _{A A A G}

c

X =

+ +

− µ δ

dengan G adalah konstanta integrasi.

Jika diasumsikan penyelesaian berupa gelombang soliter (A dan seluruh turunannya nol di upstream), maka G=0. Sehingga persamaan di atas menjadi

0

2 6 2

2 3

2

1 _{+ + =}

−c A µ A δ A_X . (57) Persamaan (57) dapat diselesaikan seperti berikut. Berdasarkan persamaan (57) diperoleh

(

)

, 1

3 1

1 A

c A

AX = _δ − µ

atau

.

3

1

δ µ

dX A c A

dA ₌

−

Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh

. 3

1 tanh 2

1 1

1 δ

µ X

A c

c ⎟=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

−

− −

Sehingga

, 4 tanh 3

1 1

1

X c A

c δ

µ

− = −

atau

( )

.

4 h sec

3 1 2 ₁

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

= c c X

X A

δ

µ (58)

Dengan demikian diperoleh solusi gelombang soliter bagi persamaan KdV (54) sebagai berikut

A

( )

X =asech2

( )

βX , (59) dengan

c₁=₃1µa dan

δ µ β

12

2 ₌ a

. (60) Berdasarkan persamaan (60), diperoleh tiga parameter gelombang internal, yaitu a, β,

dan c₁. Jika salah satu parameter diketahui, maka dua parameter lainnya dapat diketahui.

Secara singkat, jika data fisis berupa rapat massa dan kedalaman fluida diketahui, maka untuk memperoleh simpangan, panjang gelombang dan kecepatan phase gelombang internal dilakukan dengan langkah berikut. Langkah pertama menentukan fungsi eigen φ dan nilai eigen c berdasarkan persamaan (52). Langkah kedua adalah menghitung koefisien persamaan KdV yaitu µdan δ

berdasarkan persamaan (55) dan (56). Langkah ketiga, menentukan bentuk A

( )

X

dengan c₁dan β dari persamaan (60). Untuk lebih jelasnya, diberikan contoh kasus berikut ini.

Contoh Kasus Fluida Dua Lapisan

Tinjau suatu fluida dua lapisan. Fluida dua lapisan adalah suatu fluida yang terdiri dari dua lapisan yang masing-masing lapisan mempunyai rapat massa yang konstan. Gelombang internal muncul pada batas kedua lapisan tersebut. Gelombang ini biasa disebut gelombang interfacial. Aliran air dan minyak dalam pipa, serta aliran lumpur di suatu perairan adalah sedikit contoh dari gelombang interfacial.

⎩

⎨

⎧

< ≤

≤ <

=

0 jika ,

1 jika

, )

(

2 1

0 _{Z d}

Z d Z

ρ ρ ρ

dan

, ) ( 2

1 2

1 2

ρ ρ

ρ ρ σ

+ −

= (61) seperti diberikan dalam [Grimshaw, 1997]. Penyelesaian masalah nilai eigen (47), yaitu fungsi eigen φ

( )

z berbentuk :

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

< ≤

≤ < −

− − − =

d. Z 0 jika ,

0 Z d jika , 1

1

2 0

d Z

c d

d Z M

Z σ

φ

(62) (Penurunan persamaan (62) dapat dilihat pada lampiran D)

Sedangkan nilai eigen c₀ ditentukan sebagai berikut. Persamaan (47a) diintegralkan dari

ke ξ

ξ +

− d

d . Kemudian dibuat ξ →0,

untuk memperoleh persamaan

c

₀2 berikut:

. 0 ) 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 1 1

( + σ c₀4− + σ c₀2+d −d = σ

(63) (Penurunan persamaan (63) dapat dilihat pada lampiran D)

Berdasarkan persamaan (63), diperoleh adanya dua penyelesaian untuk

c

02. Kedua

penyelesaian untuk

c

₀2 berkaitan dengan gelombang internal (mode internal) dan gelombang pada permukaan bebas (mode permukaan). Untuk mode internal

c

₀2

berbentuk

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

.

2 2

2 2 2

4 2

2 2

2

2

2 2

2 2 2

0

σ σ

σ σ σ

σ σ

σ

− −

+ − − − − + +

− −

+ − =

d d c

(64) Sedangkan untuk mode permukaan,

c

₀2

berbentuk

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

.

2 2

2 2 2

4 2

2 2

2

2

2 2

2 2 2

0

σ σ

σ σ σ

σ σ

σ

− −

+ − − − − + −

− −

+ − =

d d c

(65)

Pada mode internal dipilih M=1, agar maksimum dari φ sama dengan satu. Lalu,

dengan alasan yang sama, M pada mode permukaan berbentuk :

. 1

2 0

2 0

c c d

M σ

σ

+ − =

Kemudian, dengan menggunakan Software Mathematica 5, deret Taylor dari

c

₀2

terhadap σ yang diberikan pada persamaan (64) dan (65) adalah

( )

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

_{− + +}

− −

= 2 2

2 0

2 1 1 ) 1

( d σ d d Oσ

d c

(66) dan

c02=_σ1

{

1−σd

(

1−d

)

+O

( )

σ2

}

, (67)

masing-masing untuk mode internal dan mode permukaan.

Kecepatan fase gelombang internal dan gelombang permukaan yang diberikan masing-masing pada persamaan (66) dan (67) menggunakan asumsi σ yang cukup kecil atau dengan kata lain ρ2 ≈ρ1. Untuk

menginterpretasikan besaran-besaran yang diberikan di atas, maka berikut ini diberikan suatu contoh data, yaitu σ =0.05,

013 . 0

=

a , d =0.1dan ρ =2 1.1ρ1.

Untuk mode internal, dari persamaan (66) diperoleh

0.296909.

0 =

c Selanjutnya, dengan memilih M=1, maka fungsi eigen φ berbentuk

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≤ ≤

≤ < −

− =

1 . 0 Z 0 jika , 1 . 0

1 Z 0.1 jika , 0.895592

1 . 0 1

Z Z Z

φ

(68) sedangkan koefisien persamaan KdV, yaitu

δ

µdan masing-masing dihitung dari persamaan (55) dan (56), diperoleh

µ=3.99536 dan δ =0.00410504. Selanjutnya, karena β2 bernilai positif pilih

, 013 . 0

=

a sehingga dari persamaan (60),

diperoleh

c1=0.0173132 dan β2=1.05439.

Dengan demikian bentuk A

( )

X pada mode internal diberikan oleh

( ) (

X 0.013

)

sech2

(

1.02683X

)

.

Karena garis-garis arus dinyatakan dengan

( ) ( )

X Z

A φ , maka simpangan maksimum

gelombang akan tercapai di batas antara kedua fluida, yaitu pada saat φ

( )

Z mencapai maksimum. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 5.

X β

G_{ambar 5. Garis-garis arus mode internal}

dengan d=0.1

Sementara untuk mode permukaan, diperoleh

4.46206,

0 =

c dan fungsi eigen φ berbentuk

( )

(

)

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≤ ≤

≤ < −

+ =

1 . 0 Z 0 jika , 0.9955

0.0955

1 Z 0.1 jika , 0.9955

1 . 0 0.09593

Z

Z Z

φ

(74) sedangkan koefisien persamaan KdV,

δ

µdan masing-masing dihitung dari persamaan (55) dan (56), diperoleh

µ=6.69301 dan δ =0.733544. Selanjutnya dari persamaan (60), diperoleh c1=0.029003dan 0.0994211.

2₌

β

Sehingga diperoleh bentuk A

( )

X pada mode permukaan, yaitu

( ) (

X 0.013

)

sech2

(

0.00988455X

)

.

A =

Karena garis-garis arus dinyatakan dengan

( ) ( )

X Z

A φ , maka simpangan maksimum

gelombang akan tercapai di permukaan fluida, yaitu pada saat φ

( )

Z mencapai maksimum. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 6.

Selanjutnya, untuk mode internal dengan data yang sama namun dengan d atau ketebalan yang berbeda, akan dicari bentuk gelombang soliternya. Misalkan d =0.6

diperoleh

0.486703.

0 =

c

Selanjutnya, dengan memilih M=1, maka fungsi eigen φ berbentuk

X β

G_{ambar 6. Garis-garis arus mode permukaan}

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≤ ≤

≤ < −

− =

6 . 0 Z 0 jika , 6 . 0

1 Z 0.6 jika , 0.388156

6 . 0 1

Z Z Z

φ

(75) sedangkan koefisien persamaan KdV, yaitu

δ

µdan masing-masing dihitung dari persamaan (55) dan (56), diperoleh

µ=-0.615539 dan δ =0.0189439. Selanjutnya, karena β2 bernilai positif pilih

, 013 . 0

− =

a sehingga dari persamaan (60),

diperoleh

c1=0.00266734 dan β2=0.0352005.

Dengan demikian bentuk A

( )

X pada mode internal diberikan oleh

( ) (

X 0.013

)

sech2

(

0.187618X

)

,

A = −

dengan kurva A

( ) ( )

X φ Z diberikan pada Gambar 7. Pada Gambar 7, gelombang soliter di Z =0.6 (yaitu pada batas kedua fluida) berupa depresi. Hal ini berbeda dengan bentuk gelombang soliter di batas kedua fluida pada kasus d =0.1 yang berupa elevasi, seperti diberikan pada Gambar 5. Selain itu, dipermukaan gelombang relatif kecil dan berupa elevasi.

X β

G_{ambar 7. Garis-garis arus mode internal}

dengan d=0.6

( )d

Z

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Z

( )

d

0.2 0.4 0.8 1 0.2

0.4 0.6 0.8

SIMPULAN

Persamaan dasar bagi gelombang internal diturunkan berdasarkan asumsi fluida ideal yang irrotational. Asumsi tunak memberikan suatu persamaan dalam fungsi arus yang disebut persamaan Long. Selanjutnya, gelombang dengan simpangan yang kecil, persamaan Long dalam peubah Langrange dapat disederhanakan menjadi persamaan KdV.

Dalam proses penurunan persamaan KdV, metode asimtotik digunakan untuk mendapatkan persamaan gerak bagi gelombang internal pada fluida ideal yang irrotational. Hasilnya berupa dua masalah nilai eigen yang memberikan persamaan KdV berdasarkan kondisi terselesaikan dari kedua masalah nilai eigen tersebut. Penyelesaian persamaan KdV dalam bentuk gelombang

soliter menghasilkan tiga parameter gelombang internal, yaitu simpangan gelombang, panjang gelombang dan kecepatan phase gelombang. Jika salah satu parameter diketahui, maka dua parameter lainnya dapat diketahui.

Dalam aplikasinya pada fluida dua lapisan, diperoleh bahwa simpangan terbesar dari gelombang soliter tercapai di batas antara kedua fluida, berbeda dengan mode permukaan yang mencapai simpangan terbesar pada permukaan.

Untuk mode internal, jika lapisan atas lebih besar dari lapisan bawah gelombang berupa elevasi. Sebaliknya, gelombang berupa depresi, apabila ketebalan lapisan atas lebih kecil dari lapisan bawah.

DAFTAR PUSTAKA

1. Christie, D.R. 1992. The Morning Glory of The Gulf of Carpentaria: a Paradigm for Non Linear Waves in The Lower Atmosphere. Aust.Meteor.Mag. 41, 21-60 2. Grimshaw, R. 1997. Internal Solitary

Waves “Advances in Coastal and Ocean Engineering”, Ed. P.L.F. Liu World Scientific Pub. Company, 3, 1-30

3. Hinch, E.J, 1992. Perturbation Methods. Cambridge Univ. Press, Cambridge. 4. Jaharuddin, 2004. Gelombang soliter di

selat lombok dan simulasi numeric fenomena morning glory. PhD-Thesis. Bandung : ITB

5. Jaharuddin, Pudjaprasetya, S.R, 2001. Gelombang Soliter Interfacial Pada

Aliran Tunak. MIHMI, Vol. 7, No.1, 31-38.

6. Long, R.R., 1953. Some Aspects of the Flow of Stratified Fluids, Tellus, 5, 42-58.

7. Pudjaprasetya, S.R, 1996. Evolution of Waves above Slightly Varying Bottom: a Variational Approach, Phd-Thesis, Univ. of Twente, The Netherlands.

8. Streeter, V.L. 1948. Fluid Dynamics. McGrow-Hill Book Company, inc 9. Tung, K.K., Chan, T.F., and Kubota,

LAMPIRAN A

Penurunan persamaan (26)

Substitusikan persamaan ρ =ρ(ψ) ke dalam persamaan (24), dengan udan w pada persamaan (25), diperoleh . 0 2 1 2 1 1 2 1 2 1

1 2 2 2 2_{⎟+ =}

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ∂ ∂ ∂ ∂ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ∂ ∂ ∂ ∂

+ _{x x z z x z x}

d d g x z Dt D _ψ ψ ρ ρ ψ ψ ψ ψ ρ ρ ψ ψ ψ ψ ρ ρ ξ

Karena 1 _⎟⎟=0

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ gz d d x z _ψ ρ ρ

ψ , maka

• 1 0,

2 1 2

1

1 2 2 ₌

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + gz x z x z Dt D z x x z z x _ψ ρ ρ ψ ψ ψ ψ ψ ρ ρ ψ ψ ξ

• 0.

2 1 2

1

1 2 2 ₌

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + gz x z Dt D x z z

x _ψ ψ ψ

ρ ρ ψ

ψ ξ

Karena ξ =w_x+u_z dan , z w x u Dt D ∂ ∂ + ∂ ∂

= maka

•

(

)

0

2 1 2

1

1 2 2 ₌

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} ∂ ∂ + − gz Dt D u w Dt D x z z

x _ψ ψ ψ

ρ ρ

• 0.

2 1 2

1

1 2 2 ₌

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} ∂ ∂ + gz Dt D x z zz

xx _ψ ψ ψ

ρ ρ ψ ψ

Setelah diintegralkan terhadap koordinat ruang, persamaan di atas menjadi

ψ ψ

( )

ψ

ψ ρ ρ ψ

ψxx zz z x gz⎟=G

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} ∂ ∂

+ 2 2

2 1 2 1 1

.

Penurunan persamaan (31) Berikut adalah persamaan (28)

. 2 1 1 2 1 2 1

1 2 2 2

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} + + c c g d d gz d d z x zz xx ψ ψ ρ ρ ψ ψ ψ ρ ρ ψ ψ

Dengan menggunakan peubah tak berdimensi ; ch

ψ

ψ =′ ;

h x

x′= ,

h z

z′= ke dalam persamaan (28) diperoleh

( )

(

)

( )

( )

(

( )

)

(

)

(

( )

)

(

( )

)

(

)

⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ₊ ′ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ′ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ′ ∂ ′ + ′ ∂ ′ ∂ ′ ∂ ∂ + ′ ∂ ′ ∂ ′ ∂ ∂ 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 c c ch g ch d d h z g h z ch h x ch ch d d h z ch h z h x ch h x ψ ψ ρ ρ ψ ψ ψ ρ ρ ψ ψ

jika setiap ruas dikurangi dengan

(

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ′ ₊

′ 2 2

1 1 c c ch g ch d d ψ ψ ρ

ρ , maka diperoleh

(

1

)

(

)

0

2 1 1 2 2 2

2 ⎟⎟=

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− + ′− ′} ′ ′ + ′ ′ ′ + ′ ′ ′ + ′ ′ ′ ψ ψ ψ ψ ρ ρ ψ ψ z c gh z x d d z z x x h ch

Karena ₂ ≠0, h ch

maka

(

1

)

(

)

0.

2 1 1

2 2

2 _⎟=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{′ + ′ − + ′− ′} ′ + ′ + ′_{′′ ′′} ψ _′ ψ _′ ψ ψ ρ ρ ψ ψ z c gh d d z x z z x x

Setelah tanda aksen dihilangkan dan ρ =ρ0(ψ), persamaan di atas dapat ditulis

(

1

)

(

)

0.

LAMPIRAN B

Penurunan persamaan (32) dan (33)

Untuk mendapatkan persamaan (33), terlebih dahulu diturunkan persamaan (32). Misalkan

) , (xψ f

z= , maka

¾

ψ ψ

f f_x

x=−

diperoleh dari x f x x x f

dx

dz

∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ψ

ψ atau 0= fx+fψψx ¾ ψ ψ f z 1 = diperoleh dari z f z x x f

dz

dz

∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ψ

ψ atau 1=0+fψψz

¾ _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ = ψ ψ ψ ψ ψ f f f f f f x x x x xx diperoleh dari ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ = ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ f f f f f f x x f f x x f f x x x x x x xx ¾ _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ψ ψ ψ ψ f f zz 1 1 diperoleh dari ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ f f f f x x f z x f x z zz 1 1 1 0 . 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ =

Jika keempat persamaan dari persamaan (32) disubstitusi ke dalam persamaan (31), diperoleh

(

)

0 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 0 0 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ ψ ψ ρ ρ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ z c gh f f f d d f f f f f f f f x x x x x atau

Kalikan semua ruas dengan ρ0, kemudian kurangkan

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂ ∂ 2 1 0 _ψ

ρ pada ruas kiri, maka

(

)

0.

1 1 2 1 1 1 2 1 2 0 2 2 0 2 2 0 0 = − + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ψ ψ ρ ψ ρ ψ ρ ρ ψ ψ ψ ψ ψ z c gh d d f f f d d f f f f f x x x x

Jika kedua ruas dikalikan c2, maka

(

)

0. 1 1 2 1 0 2 2 0 2 0

2 _{+ − =}

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ρ ρ ρ_ψ ψ ψ ψ ψ ψ z gh f f f c f f x

c x x

Penurunan persamaan (35)

Dengan transformasi f(x,Z)=Z +η(x,Z), persamaan (33) dapat ditulis

1 1

(

)

0

2 1 0 2 2 0 2 0

2 _{+ − =}

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

− ghz Z

f f f c f f x c Z Z Z x Z x ψ ρ ρ ρ

Karena f_x=η_x dan f_Z =1+η_Z, maka persamaan di atas menjadi

1

(

)

0

1 1 1 2 1 1 0 2 2 0 2 0

2 _{+ + − =}

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂

− c ghZ Z

x c _Z Z Z Z x Z

x _{ρ η}

η η η ρ η η ρ

atau

(

)

(

1

)

0

2 1

1 2 0

2 2 0

2 0

2 _{+ =}

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ρ η η η η η ρ η η ρ gh Z c c _Z Z x Z Z x Z x

atau

(

)

(

1

)

0

2 1 1 2 0 2 2 2 0 2 0

2 _{− =}

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ρ η η η η η ρ η η

ρ c N

c Z Z x Z Z x Z x

atau

(

)

(

1

)

0

2 1 1 2 0 2 2 2 0 2 0

2 _{+ =}

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + η ρ η η η η ρ η η

ρ c N

c Z Z x Z Z x Z x dengan 0 0 2 σρ ρ _Z

N =− dan 1

gh σ = .

Penurunan persamaan (36)

Dalam notasi vektor persamaan (22c) dan (22d) ditulis

. g p Dt

q

Dr _ρr

ρ =−∇ + (36.1)

Dengan menggunakan notasi turunan total diperoleh

( )

q. q.

Dt q

Dr r r

∇

= (36.2) Persamaan (36.2) dapat ditulis

(

)

(

_{q q}

)

( )

1_{2 q}2.

Dt q

Dr r r r

∇ + × ∇ × =

Jika partikel fluida diasumsikan tak berotasi

(

∇×qr=0

)

, maka terdapat suatu fungsi skalar

(

x,z,t

)

φ yang disebut kecepatan potensial, dan memenuhi qr=∇φ. Persamaan (36.2) menjadi

(

₂1

(

2 2

)

)

.

z x

Dt q

Dr _{=∇ φ +φ}

Dengan substitusi persamaan (36.3) ke dalam persamaan (36.1), kemudian setelah diintegralkan terhadap koordinat ruang, diperoleh

(

)

P gz C

( )

t

z

x +φ +ρ+ =

φ 2 2 2

1 _(36.4)

dengan C

( )

t fungsi sembarang dari t, sedangkan peubah zmenyatakan ketinggian partikel yang diamati dari dasar. Persamaan (19) disebut sebagai persamaan Bernoulli. Dari persamaan (25), persamaan (36e) dapat ditulis

(

2 2

)

( )

.

2

1 P _{gz C t}

z

x +ψ +_ρ+ =

ψ (36.5)

Kerena kondisi upstream yang diberikan berbentuk ψ →cz, dan tekanan udara dianggap konstan, maka persamaan (36.5) dapat ditulis

(

2 2

)

1₂ 2.

2

1 _{gz c}

z

x +ψ + =

ψ

atau

(

ψx +ψz −c2

)

+gz=0, di z=η

2 2 2

1 ₍₃₆₎

LAMPIRAN C

Penurunan persamaan (41) dan (42)

Untuk memudahkan penyederhanaan, uraikan terlebih dahulu persamaan (35), seperti berikut

(

)

(

1

)

0

2 1 1 2 0 2 2 2 0 2 0

2 _{+ =}

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + η ρ η η η η ρ η η

ρ c N

c Z Z x Z Z x Z x

¾ Uraian persamaan (35), bagian *)

x Z x c _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +η η ρ 1 0 2 =

(

)

⎟⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + 2 2 0 2 0 2 1 _Z zx x xx Z xx Z xx c c η η η η η η η ρ η ρ

¾ Uraian persamaan (35), bagian **)

(

)

(

)

Z Z x Z Z c ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + 2 2 2 0 2 1 2 1 η η η η ρ =

(

(

)