KEKONVERGENAN DARI SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
LINEAR ORDE PERTAMA DENGAN TEOREMA PICARD’S
(Skripsi)
oleh:
WINDAYANTI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRAK
KEKONVERGENAN DARI SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE PERTAMA DENGAN TEOREMA PICARD’S
OLEH WINDAYANTI
Persamaan diferensial linear adalah persamaan diferensial yang variabel-variabel terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu dan tidak terdapat fungsi transenden dalam bentuk peubah tak bebas. Metode yang digunakan dalam
penyelesaiaan persamaan diferensial linear orde pertama ( ) dan menggunakan iterasi Picard, syarat Lipschitz dan Kekonvergenan.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tatakarya pada tanggal 14 Desember 1992, sebagai anak
pertama dari dua bersaudara, putri pasangan Bapak Warsino dan Ibu Sariyanti.
Pendidikan Taman Kanak-kanak (TK) Al Munawaroh Tatakarya pada tahun 1998,
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD Negeri 02 Tatakarya pada
tahun 2005, Pendidikan Sekolah Menengah Pertama (SMP) diselesaikan di SMP
Negeri 1 Abung Surakarta pada tahun 2008, Pendidikan Sekolah Menengah Atas
(SMA) diselesaikan di SMA Negeri Abung Semuli pada tahun 2011.
Tahun 2011 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur
Ujian Masuk Lokal. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah bergabung di
Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) yang diamanahkan menjadi
anggota biro kesekretariatan periode 2012-2013 dan dilanjutkan menjadi anggota
bidang keilmuan periode 2013-2014. Pada tahun 2012 penulis mengikuti Karya
Wisata Ilmiah (KWI) di Desa Sukabanjar, Kecamatan Kota Agung Timur,
Kabupaten Pesawaran. Pada tahun 2014 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP)
di Badan Pusat Statistik Kota Metro. Penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata
(KKN) Tematik di Dusun Gunung Sari, Desa Mulyo Sari, Kecamatan Padang
MOTO
Bara g siapa ya g menghendaki kehidupan dunia maka wajib baginya memiliki ilmu, dan barang siapa yang menghendaki kehidupan Akherat, maka wajib baginya memiliki ilmu, dan barang siapa yang menghendaki keduanya maka
wajib bagi ya e iliki il u.
(HR. Turmudzi)
Ja ga udah berputus ada jika menghadapi kesulitan, karena setiap tetes air
huja ya g jer ih berasal dari gu pala gu pala awa ya g gelap.
(windayanti)
ja ga berpura –pura jika tidak a pu, berterus tera g itu lebih baik
(windayanti)
padi se aki berisi se aki eru duk
PERSEMBAHAN
Kupersembahkan karya kecilku ini kepada Bapak dan Mamak tercinta yang dengan tulus memberi cinta, doa, semangat, dan pengorbanan untuk ananda
dalam menyelesaiakan skripsi ini. Serta adikku Puji Asriani tercinta.
Keluarga Besarku tercinta
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil’alamin, Puji syukur penulis panjatkan kehadiran Allah
SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini yang berjudul : “ Kekonvergenan Dari Solusi
Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama Dengan Teorema Picard’s”.
Sholawat serta salam semoga selalu tercurahkan kepada suri tauladan kita Nabi
Muhammad SAW yang di harapkan safaatnya di yaumil akhir.
Penulis menyadari bahwa terselesaikannya skripsi ini tidak terlepas dari dukungan
dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini Penulis mengucapkan
terimakasih kepada:
1. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I, yang telah sabar
membimbing penulis dan memberikan saran serta nasehat-nasehat sehingga
bisa menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak Drs.Tiryono Ruby, M.Sc.,Ph.D. selaku Dosen Pembimbing II serta
Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung yang telah
memberikan bimbing, saran dan nasehat-nasehat dalam menyelesaikan skripsi
ini.
3. Bapak Agus Sutrisno, M.Si. selaku Dose Penguji, yang telah memberikan
saran yang membangun dalam proses penyelesaian skripsi ini. Ibu Dian
4. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
5. Seluruh dosen dan staff Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak dan Mamak serta adikku Puji Asriani tercinta yang telah memberi
dukungan , semangat, do’a, dan kasih sayang yang tulus untuk penulis.
7. Mbah dan Mbok tercinta Keluarga besarku yang telah memberikan semangat
dan motovasi.
8. Adik sepupu Wahyu, Yusuf, Faris, Susi dan Reni yang telah memberi
semangat dan motivasi.
9. Anis, Yeni, Nafisah, Sabrina, Arista, Rusmi, dan Ita yang telah memberi
semangat untuk menyelesaikan skripsi ini.
10.Helmi, dan Wesly yang telah memberi masukan dan saran untuk
menyelesaikan skripsi ini.
11.Teman-teman jurusan Matematika angkatan 2011 yang memberi semangat
untuk penyelesaian skripsi ini.
12. Iis Sugiarti dan Agus yang telah memberi semangat serta motivasi.
13.Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini,
yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Semoga skripsi ini bisa bermanfaat bagi pembaca yang membutuhkan.
Bandar Lampung, Maret 2015 Penulis,
DAFTAR ISI
Halaman
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 3
C. Batasan Masalah ... 3
D. Tujuan Penelitian ... 4
E. Manfaat Penelitian ... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 5
A. Persamaan Diferensial ... 5
B. Persamaan Diferensial Biasa ... 6
C. Persamaan Diferensial Linear ... 8
D. Persamaan Diferensial Non Linear ... 10
E. Masalah Nilai Awal (MNA) ... 10
F. Barisan dan Deret ... 12
G. Kriteria Kekonvergenan ... 13
BAB III METODOLOGI PENELITIAN ... 17
A. Waktu dan Tempat Penelitian ... 17
Halaman
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 19
BAB V SIMPULAN DAN SARAN ... 29
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang mengalami perkembangan secara
terus-menerus dari tahun ke tahun, semakin berkembangnya ilmu pengetahuan
matematika maka akan mempermudah dalam menyelesaikan suatu permasalahan
pada bidang sains khususnya diferensial.
Turunan atau disebut dengan “differensial” memiliki penerapan dalam semua
bidang sains. Di bidang fisika, turunan dari perpindahan terhadap waktu adalah
kecepatan benda, dan turunan kecepatan terhadap waktu adalah percepatan.
Di bidang kimia, laju dari reaksi kimia adalah suatu turunan. Dalam bidang riset
operasi, turunan merupakan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan
mendisain pabrik. Dan permasalahan-permasalahan lainnya yang terjadi yang
berhubungan dengan ilmu matematika.
Persamaan ini diperkenalkan pertama kali oleh Leibniz pada tahun 1676.
Persamaan deferensial sering muncul dalam model matematika yang
menggambarkan suatu permasalahan. Sehingga , Persamaan diferensial
merupakan suatu persamaan yang memuat variable bebas, variable tak bebas, dan
derivative-derivatif dari variable tak bebas terhadap variable bebas. Persamaan
2 yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial non linear.
Persamaan diferensial linear adalah persamaan diferensial yang variabel-variabel
terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu dan tidak terdapat fungsi
transenden dalam bentuk peubah tak bebas, serta an(x) adalah fungsi kontinu.
Persamaan diferensial non linear adalah jika F tidak berbentuk polinom dalam
y, y’, … , y (m) dan F tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam
y, y’ ,…, y(m).
Metode yang digunakan dalam penyelesaian persamaan diferensial linear orde
pertama ini yaitu menggunakan teorema Picard dan syarat Lipschitz. Dengan
menggunakan teorema Picard’s persamaan diferensial linear orde pertama harus
menggunakan masalah nilai awal . Dalam menggunakan
teorema Picard’s maka persamaan akan membentuk
suatu deret dari suatu iterasi Picard.
y(x) = ∫ ,
y1(x) = ∫
y2(x) = ∫
y3(x) = ∫
y4(x) = ∫
y5(x) = ∫
3 yn(x) = ∫
yn+1(x) = ∫
Kemudian dalam metode iterasi Picard deret ke ( n+1) ini akan didapat
persamaan
yn+1(x) = ∫
dan didapat barisan hampiran :
, ,...
Sehingga dalam persamaan diferensial yang berbentuk deret tersebut apakah
konvergen atau tidak. Pengujian suatu deret tersebut menggunakan syarat
Lipschitz. Jika syarat Lipschitz terpenuhi maka memperoleh bentuk umumnya.
Kemudian dari bentuk umum yang di peroleh dari syarat Lipschitz uji
menggunakan kriteria kekonvergesi. Penulis menggunakan salah satu untuk
kriteria kekonvergenan yaitu deret mutlak
| |
| | .
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, rumusan masalah dalam penulisan ini adalah
mununjukan apakah penyelesaian tersebut konvergen atau divergen dengan
menggunakan persamaan diferensial linear orde pertama pada teorema Picard’s.
C. Batasan Masalah
Penelitian ini dibatasi pada penyelesaian persamaan diferensial linear dengan orde
4 D. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui penyelesaian suatu persamaan
diferensial linear orde pertama dan melihat kekonvergenan dari penyelesaian
persamaan diferensial linear orde pertama dengan menggunakan teorema Picard’s.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah mengetahui kekonvergenan dari persamaan
diferensial linear orde pertama menggunakan iterasi Picard dalam bentuk barisan
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
A. Persamaan Diferensial
Definisi 2.1 Persamaan diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat variabel bebas, variabel
tak bebas, dan derivatif-derivatif dari variabel tak bebas terhadap variabel bebas-n
(Marwan dan Said, 2009).
Contoh persamaan diferensial :
y’ + xy = 3
y” + 5y’ + 6y = cos x
y” = ( 1 + y’2
) (x2 + y2)
Dari contoh di atas fungsi yang tak diketahui dinyatakan dengan y dan dianggap
6 Menurut peubah bebas, persamaan differensial dapat dibedakan menjadi dua
macam yaitu persamaan differensial biasa dan parsial sedangkan persamaan
differensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi
dua yaitu persamaan differensial linear dan persamaan differensial non linear
(Marwan dan Said, 2009).
B. Persamaan Diferensial Biasa
Definisi 2.2 Persamaan Differensial Biasa
Persamaan diferensial yang mempunyai turunan hanya tergantung pada satu
variabel bebas, maka persamaan diferensial tersebut dikatakan persamaan
contoh tersebut merupakan persamaan diferensial biasa, karena vareabel tak bebas
y hanya bergantung pada variable bebas x.
Definisi 2.3
Suatu persamaan diferensial biasa orde-n adalah suatu persamaan yang dapat
ditulis dalam bentuk:
7 Persamaan di atas menyatakan hubungan antara peubah bebas x, fungsi u dan
turunanya u’, u”, u”’, …un
. untuk selanjutnya akan digunakan variabel y sebagai
, sehingga dapat ditulis dalam bentuk :
(Marwan dan Said, 2009).
Definisi 2.4 Persamaan Diferensial Biasa Orde Pertama
Suatu persamaan diferensial biasa orde pertama adalah persamaan yang memuat
satu variabel bebas, biasanya dinamakan x, satu variabel tak bebas dinamakan y,
dan derivative
. Suatu persamaan diferensial biasa orde pertama dapat
dinyatakan dalam bentuk:
.
Dengan adalah fungsi kontinu pada x dan y.
Secara umum, persamaan diferensial linier orde pertama mempunyai bentuk
umum :
dengan p dan g adalah fungsi kontinu pada interval
( Panggabean, 2008).
Berikut ini diberikan pengertian order dan derajat persamaan diferensial
Definisi 2.5 Tingkat (order)
Persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari derivatif yang terdapat dalam
persaman diferensial.
Definisi 2.6 Derajat (degree)
Persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari derivatif tingkat tertinggi yang
8
turut derivative pertama, kedua, ketiga, …, dan derivative ke-n. Dari variable tak
9 a. Variabel-variabel terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu dan tidak
terdapat fungsi transenden dalam bentuk peubah tak bebas, serta an(x) adalah
fungsi kontinu.
b. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan
variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya, atau
variabel terikat dengan sebuah turunan (Marwan dan Said, 2009).
Jadi istilah linear berkaitan dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam persamaan
diferensial itu, peubah-peubah y, y', , ynberderajat satu atau nol.
Bentuk umum persamaan differensial linear orde-n adalah:
an (x) yn + an-1 (x) yn-1+ … + a1(x)y’ + a0(x)y = f(x)
dimana a0 , a1,…, an , f merupakan fungsi dari x.
Contoh :
1.
2.
3.
4.
10 D. Persamaan Differensial Non Linear
Definisi 2.8 Persamaan Differensial Non Linear
Persamaan differensial yang bukan persamaan differensial linier (Pamuntjak dan
Santosa, 1990).
Dengan demikian persamaan differensial F( x, y’, …, y(m)
) = 0 adalah persamaan
differensial tak linier, jika salah satu dari berikut dipenuhi oleh F :
-F tidak berbentuk polinom dalam y, y’, , y (m)
- F tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam y, y’, , y (m)
Contoh :
1. yy’ + xy’’ = 0 ; persamaan diferensial tak linier karena
F(x, y, y’, y’’) = yy’ + xy’’ polinom berbangkat dua dalam y, y’, y’’.
Definisi 2.9 Masalah nilai awal suatu masalah yang melibatkan satu atau lebih fungsi yang tidak diketahui beserta turunannya dalam sebuah persamaan yang
memenuhi syarat awal yang diberikan.
Dengan definisi di atas, MNA untuk sistem persamaan diferensial orde pertama
diberikan dalam bentuk berikut ini
11 Persamaan ( ) pada interval akan mempunyai
penyelesaian tunggal jika fungsi F memenuhi syarat Lipschitz.
Teorema 2.1 Jika persamaan ( ) pada interval dan F
memenuhi syarat Lipschitz yaitu ada sebuah konstanta k sedemikian sehingga
| | | |
Untuk semua dan semua , kemudian ada fungsi y(x) yang
terdiferensial dan kontinu sedemikian hingga
( )
dengan syarat awal, ( Joseph, 2008).
Iterasi Picard untuk masalah nilai awal
Secara umum, permasalahan persamaan diferensial selalu melibatkan masalah
nilai awal, yang dapat ditulis sebagai berikut:
( )
Dengan kondisi awalnya dapat disebut sebagai masalah nilai awal.
Metode iterasi Picard digunakan untuk penyelesaian secara hampiran persamaan
diferensial dengan nilai awal.
( ) (2.1)
Dua ide yang mendasari metode ini. Pertama Integrasikan ke dua sisi (2.1)
12 Kemudian dalam metode iterasi Picard ini akan didapat persamaan pada interval
y1(x) = ∫
y2(x) = ∫
y3(x) = ∫
y4(x) = ∫
y5(x) = ∫
y6(x) = ∫
yn(x) = ∫
yn+1(x) = ∫ (2.3)
( Joseph, 2008).
F. Barisan dan Deret
Definisi 2.10 Barisan
Barisan adalah himpunan dari bilangan u1, u2, u3, … , un. dengan susunan aturan yang
pasti.
Contoh:
Barisan (xn ) dengan (xn ) = .
(xn ) =
13
Untuk menyelidiki konvergensi suatu deret dapat dilakukuan dengan menguju
(test) terhadap dirinya sendiri “ kriteria konvergensi” atau “test konvergensi”.
Definisi 2.12 Tes Rasio
Andaikan ∑ sebuah deret yang sukunya positif dan andaikan
14
seperti deret geometri dengan pembanding Deret geometri akan konvergen
15 Jadi untuk semua , yang berarti bahwa
tidak
mungkin sama dengan nol. Maka uji cob suku-n, deret ∑
iii. Diketahui jika ∑ divergen sedangkan ∑ konvergen. Untuk deret yng
pertama,
Jadi, uji hasilbagi ini tidak dapat membedakan deret yang konvergen dengan deret
16 i. Jika deret divergen
ii. Jika deret konvergen
iii. Jika pengujian ini tidak memberikan kepastian.
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
A. Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2014/2015 di Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung.
B. Metodologi Penelitian
Metodologi penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah studi literatur.
Studi literatur yaitu melakukan penelusuran dengan penelaahan terhadap beberapa
literatur yang mempunyai relevansi dengan topik pembahasan.
Langkah umum dalam penulisan ini adalah:
a. Merumuskan masalah
b. Mengumpulkan bahan atau sumber dan informasi dengan cara membaca dan
memahami literatur yang berkaitan dengan teorema Picard dan sistem
persamaan differensial biasa linear orde pertama.
c. Setelah mempelajari teorema Picard’s dan sistem persamaan differensial
linear, langkah selanjutnya melakukan dan menguraikan pembahasan
penyelesaian sistem persamaan differensial linear menggunakan iterasi
18 d. Dari hasil iterasi Picard yang berbentuk deret, uji bentuk deret dengan
teorema Lipschitz
e. Dari teorema Lipschit diperoleh bentuk umumnya dan uji lagi dengan
kriteria kekonvergenan.
f. Kemudian memberikan contoh dan penyelesaiannya dari sistem persamaan
differensial linear dengan menggunakan masalah nilai awal pada iterasi
BAB V SIMPULAN DAN SARAN
A. SIMPULAN
Kesimpulan dari hasil pembahasan pada bab IV, yaitu dari permasalahan
persamaan diferensial linear orde pertama dengan masalah nilai awal
menggunakan iterasi Picard terbentuk suatu deret dan memenuhi syarat lipschitz
| | | |
selalu konvergen. Karena teorema Picard menjamin kekonvergenan dari
Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama.
C. SARAN
Penelitian ini hanya menggunakan persamaan diferensial linear orde pertama,
untuk penelitian selanjutnya penulis mengharapkan pembaca dapat meneruskan
DAFTAR PUSTAKA
Finizio, N. dan G. Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan Modern. Erlangga. Bandung.
Gazali, Wikaria dan Soedadyatmodjo. 2007. Kalkulus. Edisi ke-2. Graham Ilmu.
Yogyakarta.
Linear Algebra and Series. New York and London. Academic Press, INC.
Marwan dan Munzir, Said. 2009. Persamaan diferensial. Ed. Ke-1. Graha Ilmu, Yogyakarta.
Panggabean.A.B . 2008. Kakulus. Yogyakartia.
Purcell,J. And Verberg, D.1992. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Erlangga. Jakarta.
Purcell,J. And Verberg, D. 2003. Calculus. Prentice Hall Inc., New Jersey, USA.
Trench, William F and Bernard Kolman. 1972. Multivariable Calculus with
