ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO
DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI
LIKELIHOOD
TESIS
Oleh JEMONO 117021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO
DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI
LIKELIHOOD
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh JEMONO 117021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2013
Judul Tesis : ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN
FUNGSI LIKELIHOOD
Nama Mahasiswa : Jemono Nomor Pokok : 117021005
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Sutarman, M.Sc) (Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada Tanggal 3 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc
Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Prof. Dr. Muhammad Zarlis 3. Dr. Marwan Ramli, M.Si
PERNYATAAN
ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN
MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kuti-pan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 3 Juni 2014 Penulis,
ABSTRAK
Metode Bayes merupakan metode yang menggabungkan informasi dari cuplikan dengan informasi lain yang diketahui atau disebut juga dengan prior sehingga lebih dikenal se-bagai peluang subjektif. Andaikan X1, X2, . . . , Xn, . . . merupakan suatu barisan
varia-bel acak yang terdistribusi dan saling bebas dengan suatu distribusi kumulatif, F(x), serta fungsi densitas probabilitas, f(x). Selanjutnya, barisan {U(n), n ≥ 1} disebut dengan jumlah cuplikan informasi. Distribusi Pareto merupakan suatu distribusi yang digunakan di bidang sosial, ilmiah, geofisika, aktuaria dan fenomena di bidang lainnya. Estimasi Bayes yang digunakan pada suatu parameter Pareto merupakan suatu fungsi implisit tanpa adanya penyelesaian secara numerik. Penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk mengkaji estimasi Bayes pada parameter Pareto dengan serta dilakukan penyempurnaan bilangan (iterasi numerik) dengan metode Newton-Raphson. Sehingga, model dapat digunakan di berbagai bidang, khususnya bidang sosio-ekonomi.
Kata Kunci : Estimasi bayes, Distribusi pareto, Fungsi likelihood.
ii
ABSTRACT
Bayesian Method is a method that combines information of records with any known other information or also called priors known as subjective probability. Suppose that
x1, x2, . . . , Xn, . . . is a sequence of random variables distributed and independent with a
cumulative distribution, F(x), and the probability density function, f(x). Furthermore, the sequence {U(n), n ≥ 1} is called by the number of pieces of information records. Pareto distribution is a distribution that is used in the social, scientific, geophysical, actuarial and other phenomena in the field. Bayesian estimation in a Pareto parameter is only an implicit function without any numerical solution. This research is conducted to assess the parameters of Bayesian estimate and made improvements by numerical iterations with the Newton-Raphson method. Thus, the model can be used in many fields, especially in the field of socio-economic development.
KATA PENGANTAR
Dengan rasa rendah hati, penulis mengucapkan puju dan syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia yang telah dilimpahkan-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis ini. Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains di Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara Medan.
Dalam penyusunan tesis ini, penulis telah banyak mendapat dukungan, bimbingan dan petunjuk dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya pada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan Ketua Komisi Pembimbing yang telah mem-berikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matema-tika di Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkangselaku ketua Program Studi Magister Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan juga selaku anggota komisi pembimbing yang telah penuh memberikan motivasi dan bimbingan kepada penulis hingga penulisan tesis ini telah diselesaikan.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Scselaku sekretaris Program Studi Magister Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan masukan dalam perbaikan dan kesempurnaan tesis ini.
Prof. Dr. Muhammad Zarlisselaku anggota komisi pembanding yang telah banyak memotivasi dan membimbing dalam penulisan tesis ini.
Dr. Marwan Ramli, M.Si sebagai anggota komisi pembanding yang telah banyak memberikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Bapak Drs. H. Pargino, M.Si selaku Kepala SMA Negeri 1 Teluk Mengkudu.
iv
Ibunda tercintaIbunda Ngadiyem dan seluruh keluarga.
Istri tercinta, Siti Hidayani, S.Pddan anak-anakku tersayang, yaitu Aisyah Nabi-lah dan Muhammad Azmi Pramono.
Seluruh teman-teman stambuk 2011 ganjil Program Studi Magister Matematika.
Seluruh teman-teman di SMA Negeri 1 Teluk Mengkudu Semoga tesis ini bermanfaat.
Medan, Juni 2013 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Jemono dilahirkan di Kw.Bingai Kabupaten Langkat pada tanggal 18 Juni 1976 dan merupakan anak ke-11 dari 13 bersaudara. Anak dari Ayah Poniman (Alm.) dan Ibu Ngadiyem. Menamatkan Sekolah Dasar (SD) Negeri 050659 di Stabat pada tahuun 1988, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Stabat Kabupaten Langkat pada tahun 1991 dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri di Stabat jurusan Fisika pa-da tahun 1994. Tahun 1996 memasuki perguruan tinggi di Universitas Negeri Mepa-dan (UNIMED) jurusan Pendidikan Matematika dan memperoleh gelar sarjana pendidikan pada tahun 2002. Tahun 2003 sampai dengan tahun 2008 mengajar bidang studi Mate-matika dan sebagai guru kelas di SD Swasta Harapan 2 Medan. Tahun 2008 mengajar bidang studi Matematika di SMA Negeri 1 Teluk Mengkudu Kabupaten Serdang Berda-gai sampai sekarang. Tahun 2011 mengikuti sekolah pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara (USU) Medan.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA 4
2.1 Estimasi Bayes 4
2.2 Parameter Pareto 6
2.3 Distribusi Posterior 8
BAB 3 LANDASAN TEORI 14
3.1 Metode Estimasi Bayes 14
3.2 Parameter Pareto 16
3.3 Distribusi Posterior 18
BAB 4 ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN
MENG-GUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD 20
4.2 Estimasi Bayes untuk Parameter Pareto 22
4.2.1 Distribusi prediktif 23
4.3 Prosedur Algoritma Newton-Raphson 25
BAB 5 KESIMPULAN 27
5.1 Kesimpulan 27
5.2 Riset Lanjutan 27
DAFTAR PUSTAKA 28
viii
ABSTRAK
Metode Bayes merupakan metode yang menggabungkan informasi dari cuplikan dengan informasi lain yang diketahui atau disebut juga dengan prior sehingga lebih dikenal se-bagai peluang subjektif. Andaikan X1, X2, . . . , Xn, . . . merupakan suatu barisan
varia-bel acak yang terdistribusi dan saling bebas dengan suatu distribusi kumulatif, F(x), serta fungsi densitas probabilitas, f(x). Selanjutnya, barisan {U(n), n ≥ 1} disebut dengan jumlah cuplikan informasi. Distribusi Pareto merupakan suatu distribusi yang digunakan di bidang sosial, ilmiah, geofisika, aktuaria dan fenomena di bidang lainnya. Estimasi Bayes yang digunakan pada suatu parameter Pareto merupakan suatu fungsi implisit tanpa adanya penyelesaian secara numerik. Penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk mengkaji estimasi Bayes pada parameter Pareto dengan serta dilakukan penyempurnaan bilangan (iterasi numerik) dengan metode Newton-Raphson. Sehingga, model dapat digunakan di berbagai bidang, khususnya bidang sosio-ekonomi.
ABSTRACT
Bayesian Method is a method that combines information of records with any known other information or also called priors known as subjective probability. Suppose that
x1, x2, . . . , Xn, . . . is a sequence of random variables distributed and independent with a
cumulative distribution, F(x), and the probability density function, f(x). Furthermore, the sequence {U(n), n ≥ 1} is called by the number of pieces of information records. Pareto distribution is a distribution that is used in the social, scientific, geophysical, actuarial and other phenomena in the field. Bayesian estimation in a Pareto parameter is only an implicit function without any numerical solution. This research is conducted to assess the parameters of Bayesian estimate and made improvements by numerical iterations with the Newton-Raphson method. Thus, the model can be used in many fields, especially in the field of socio-economic development.
Keywords : Bayesian estimate, distribution Pareto, likelihood function.
iii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori keputusan statistikal merupakan bentuk solusi persoalan proses pengambi-lan keputusan dengan adanya unsur ketidakpastian dengan tujuan untuk memperoleh solusi keputusan dalam suatu kerangka kerja rasional. Penaksiran Bayes merupakan suatu cara khusus dalam memformulasikan dan menyelesaikan persoalan pengambi-lan keputusan statistikal. Lebih jelasnya, penaksiran ini memberikan banyak metode dalam memformulasikan suatu prior tingkat kepercayaan dan menggabungkannya de-ngan pengamatan yang ada, dede-ngan tujuan digunakan suatu turunan rasional dari kriteria keputusan optimal.
Dalam persoalan estimasi, suatu himpunan semesta mengambil nilai pada suatu himpunan kontinu dengan skalarS ∈R. Tujuan dari estimasi adalah untuk menentukan pernyataan yang bernilai benar pada suatu himpunan semestaA=S dari pengamatan yang diuji x. Prior ps(s) merupakan fungsi densitas probabilitas karena S adalah
kon-tinu, sehingga fx(x) dan fx(x|s) adalah densitas probabilitas (kontinu X) atau fungsi
bobot (diskrit X).
Madi dan Raqab (2004) memberikan pandangan mengenai metode Bayes. Andai-kan X1, X2, . . . , Xn, . . . merupakan suatu barisan variabel acak yang terdistribusi dan
saling bebas dengan suatu distribusi kumulatif,F(x), serta fungsi densitas probabilitas, f(x). Jika{U(n), n≥1} didefinisikan olehU(1) = 1, U(n) = min{j|j > U(n−1), Xj >
XU(n−1)}untukn≥2, maka{XU(n), n≥1}dan diperoleh suatu barisan cuplikan
infor-masi maksimum. Selanjutnya, barisan {U(n), n ≥ 1} disebut dengan jumlah cuplikan informasi. Sehingga, diasumsikan bahwaX1, X2, . . . , Xn, . . ., memiliki distribusi Pareto
dengan fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut
F(x) = 1−
k x
a
2
dengan distribusi Pareto mempunyai dua parameter,kdana, dari data yang diuji. k merupakan batas bawah dari data yang diuji dan dinormalisasikan ke 1, sehingga distribusi dapat dinyatakan menjadi
F(x) = 1−x−a
dan fungsi densitas dinyatakan sebagai
f(x) =ax−(a+1)
Lebih lanjut, (Madi dan Raqab, 2004) menjelaskan bahwa cuplikan informasi dalam statistika didefinisikan sebagai suatu model pada suatu barisan variabel acak yang terdistribusi dan saling bebas, sebagai contoh data perusahaan asuransi dalam jangka waktu yang berturut-turut, ketinggian air atau ketinggian temperatur. Aki-batnya, muncul persoalan mengenai penentuan prediksi informasi di masa yang akan datang. Youssef (2009) menjelaskan tentang estimasi Quasi-Bayesian dengan meng-gunakan fungsi quasi-likelihood. Andaikan x1, x2, . . . , xn adalah suatu sampel acak
independen dengan mean µ = µ(θ), dengan θ sebagai parameter vektor dan varians var(x) = φV(µ), dengan V(.) adalah suatu fungsi varians danφ adalah parameter dis-persi yang mungkin diketahui atau tidak diketahui. Sehinggaquasi-likelihoodQ(x;µ, φ) dapat diturunkan sebagai definisi dari relasi
∂ ∂µi
Q(xi, µi) =
xi−µi
V(µi)
dimana eksponensial asli Q(x;µ, φ) akan digunakan sebagai fungsi likelihood.
Distribusi Pareto ganda muncul sebagai fungsi eksponensial pada distribusi eks-ponensial ganda dan dapat diturunkan dengan menggabungkan distribusi Pareto dan distribusi pada suatu variabel acak Pareto yang memiliki sifat nol dan tak hingga (Reed, 2001; Kotz et al., 2001). Cobo et al., (2010) juga telah menunjukkan suatu algoritma yang diimplementasikan kedalam distribusi Pareto ganda lognormal. Analisis pada parameter Pareto merupakan teknik pengambilan keputusan yang digunakan dalam menentukan keputusan terhadap data yang diuji dari semua data yang ada. Penelitian ini memberikan estimasi Bayes untuk parameter Pareto yang digunakan untuk mem-peroleh distribusi prediktif Bayes dalam menaksir prior tingkat kepercayaan atau nilai suatu data di masa yang akan datang pada suatu data yang duji.
3
Distribusi pada parameter Pareto memiliki peran yang sangat penting dalam per-soalan sensus penduduk, menentukan adanya sumber daya alam pada suatu daerah ter-tentu, analisis resiko bisnis dan asuransi. Parameter ini juga dapat digunakan di bidang lainnya seperti bidang biologi, peramalan cuaca, bursa keuangan dan sebagainya. Para-meter Pareto dan bentuk generalisasinya digunakan untuk memperoleh suatu distribusi yang bersifat fleksibel dan dapat digunakan dalam memodelkan suatu distribusi penda-patan di bidang sosio-ekonomi seperti klaim asuransi, aset-aset perusahaan, fluktuasi harga stok dan fenomena di bidang sosio-ekonomi lainnya.
1.2 Perumusan Masalah
Kelemahan estimasi parameter Pareto dengan metodeMaximum-Likelihoodadalah hasil estimasi yang merupakan fungsi implisit. Untuk itu perlu diteliti pemakaian fungsi Likelihooddalam estimasi Bayes untuk parameter Pareto disertai dengan prose-dur Newton-Raphson.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah mengkaji estimasi Bayes untuk parameter Pareto. Hasil yang diperoleh dari estimasi pada parameter Pareto dengan metode Maximum-Likelihood yang disertai dengan prosedur Newton-Raphson.
1.4 Manfaat Penelitian
BAB 2
LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA
2.1 Estimasi Bayes
Definisi 1 Estimasi Bayes yang paling mungkin dari suatu nilai kebenaran θ0 yang
tidak diketahui pada parameterθ adalah nilaθˆyang meminimumkan distribusi posterior fungsi densitas atau marginal probabilitas π(θ|x). Sehingga estimasi Bayes yang paling mungkin diberikan oleh
π(ˆθ|x) = sup
θ∈Θ
π(θ|x)
Sebagai contoh, asumsikan X1, X2, . . . , Xn sebagai suatu sampel acak dari distribusi
binomialB(m, θ) dengan m diketahui dan asumsikan suatu distribusi prior Beta (α, β) untuk θ. Sehingga,
π(θ|x) ∝ likelihood. prior
∝θt(1−θ)nm−tθα
−1(1−θ)β−1
B(α, β)
∝θα+t−1(1−θ)nm−t+β−1
(2.2)
Distribusi posterior yang diperoleh adalah Beta(α+t, nm−t+β) dan
π(θ|x) = θ
α+t−1(1−θ)nm−t+β−1
B(α+t, nm−t+β) , 0< θ <1 (2.3)
Sehingga, estimasi Bayes yang mungkin yang diperoleh dapat dituliskan sebagai berikut
ˆ
θ = α+t−1
nm+α+β−2 (2.4)
4
5
Definisi 2 Keakuratan pada suatu estimasi ϑ pada parameter θ diberikan oleh
acc(ϑ) = (ϑ−µp)2+σ2p
dengan µp dan σp2 merupakan rata-rata dan variansi pada distribusi posterior,
berturut-turut.
Dari Definisi 2, asumsikan bahwa keakuratan pada suatu estimasi adalah memini-mumkan jika estimasi yang dipilih sama dengan rata-rata posteriorµp, yaitu ˆθ =µp. Ini
mengakibatkan beberapa Bayesian lebih menggunakan nilai rata-rata distribusi poste-rior sebagai estimasi padaθ dibandingkan dengan estimasi Bayes yang paling mungkin. Jikaµp danσ2p adalah mean dan variansi berturut-turut pada distribusi posterior, maka
acc(ϑ) =
Z
Θ
(ϑ−µp +µp−θ)2π(θ|x)dθ
=
Z
Θ
(ϑ−µp)2π(θ|x)dθ+
Z
Θ
(θ−µp)2π(θ|x)dθ
+ 2
Z
Θ
(ϑ−µp)(µp−θ)π(θ|x)dθ
= (ϑ−µp)2+σ2p+ 2(ϑ−µp)
Z
Θ
(µp−θ)π(θ|x)dθ
= (ϑ−µp)2+σ2P + 0
= (ϑ−µp)2+σ2P
(2.5)
Definisi 3 Nilai rata-rata pada distribusi posterior adalah
µp =E(θ|x) =
Z
Θ
θπ(θ|x)dθ
(dengan integral adalah hasil penjumlahan seluruh Θ dengan asumsi bahwa Θ adalah diskrit) merupakan estimasi pada θ dengan keakuratan yang rendah. Sehingga estimasi pada µp selanjutnya disebut sebagai estimasi Bayes pada θ.
Definisi 4 Asumsikan φ(θ) merupakan suatu fungsi pada parameter θ dan ϑ meru-pakan suatu estimasi pada φ(θ). Keakuratan pada ϑ didefinisikan oleh
acc(ϑ)−
Z
Θ
6
(dengan integral adalah hasil penjumlahan seluruh Θ dengan asumsi bahwa Θ adalah diskrit). Asumsikan
µp(φ) =E(φ(θ)|x) =
Z
Θ
φ(θ)π(θ|x)dθ
(dengan integral adalah hasil penjumlahan seluruh Θ dengan asumsi bahwa Θ adalah diskrit) sebagai nilai rata-rata atau ekspektasi pada φ(θ) terhadap distribusi posterior pada θ. Sehingga,
acc(ϑ) = (ϑ−µp(φ))2+σ2p(φ)
merupakan variansi pada φ(θ) terhadap distribusi posterior pada θ dan estimasi pada
φ(θ) dengan keakuratan terendah adalah φˆ=µp(φ).
Definisi 5 Estimasi µp(θ) = E(φ(θ|x)) =
R
Θ
φ(θ)π(θ|x)dθ merupakan estimasi pada
φ(θ) dengan keakuratan terendah dan disebut sebagai estimasi Bayes pada φ(θ).
Metode Bayes merupakan metode yang menggabungkan informasi dari informasi lain yang diketahui atau disebut juga dengan prior sehingga lebih dikenal sebagai pelu-ang subjektif. Dalam Bayesian, hasil dari sebarpelu-ang masalah inferensi ypelu-ang dinyatakan dalam distribusi posterior merupakan gabungan dari informasi yang disediakan oleh da-ta dan informasi prior relevan yang ada. Andaikan tidak terdapat informasi prior, maka dipilih suatu fungsi prior yang relatif uniformative, yaitu fungsi prior yang memberikan pengaruh minimum pada inferensi fungsi posterior.
2.2 Parameter Pareto
Distribusi Pareto diperkenalkan oleh seorang pengamat ekonomi, Vilfredo Pareto, yaitu suatu distribusi yang digunakan di bidang sosial, ilmiah, geofisika, aktuaria dan fenomena di bidang lainnya. Andaikan X adalah suatu variabel acak dengan distribusi Pareto, maka probabilitas dimanaX adalah lebih besar dari sejumlah bilangan tertentu x dapat dinyatakan sebagai
7
dengan xm merupakan nilai minimum yang mungkin pada X dan α adalah suatu
pa-rameter positif. Adapun karakteristik distribusi Pareto (Tipe I) yaitu terdapat suatu parameter skala xm dan suatu parameter kondisi α, yang juga disebut sebagai index
akhir (tail index). Sehingga α disebut sebagai parameter Pareto.
Adapun fungsi distribusi kumulatif dan fungsi densitas probabilitas pada parameter Pareto berturut-turut adalah
Asumsikan terdapat suatu data merupakan n variabel acak berdistribusi saling bebas identik yang masing-masing mempunyai distribusi Pareto dengan parameter pertidak-samaan α dan parameter konsentrasi τ. Sehingga bentuk likelihood pada data dapat dinyatakan sebagai berikut
yang diperoleh dari hasil estimasi maximum likelihood yaitu
ˆ
dengan ketentuan sebagai berikut.
1. Jika τ diketahui, maka prior konjugasi natural pada densitas untukα merupakan gamma.
2. Jika α diketahui, maka prior konjugasi natural pada prior τ merupakan Pareto.
Dari dua kondisi diatas, dapat ditentukan densitas pada prior konjugasi. Asumsikan bahwa nilai α dan τ tidak diketahui, maka untuk densitas diperoleh:
1. Diberikan densitas kondisional pada τ adalah α dengan parameter pertidak-samaan γ(τ) dan parameter intensitas λ(τ) yaitu
8
dengan mean dan variansi adalah
E(α|τ) =−(1 +a2+m12logτ) (a1+m11logτ)
(2.7)
var(α|τ) =−(1 +a2+m12logτ) (a1+m11logτ)2
(2.8)
2. Diberikan densitas kondisional pada α adalah τ dengan parameter pertidak-samaan δ(α) dan parameter konsentrasiυ(α) yaitu
f(τ|α)∝υ(α)δ(α)[υ(α)τ]−(τ(α)+1)I(υ(α)τ >1 (2.9)
dengan
δ(α) =−(1 +b+m11α+m12logα) dan υ(α) =c (2.10)
3. Densitas marginal untukα dan τ masing-masing dapat dinyatakan sebagai
f(α)∝exp(a1α+a2logα)
c−[b+m11α+m12logα+1]
−[b+m11α+m12logα+ 1]
(2.11)
f(τ)∝ τb Γ[a2+m12logτ+ 1]
[−a1−m11logτ]a2+m12logτ+1
I(τ c >1) (2.12)
Untuk fungsi densitas probabilitas pada distribusi Pareto adalah
f(x|α, τ) =αταx−(α+1) (2.13)
dan fungsi densitas kumulatif pada distribusi Pareto adalah
F(x|α, τ) = 1−x τ
−α
(2.14)
dengan x≥τ(α, τ >0),∀x.
2.3 Distribusi Posterior
Asumsikan terdapat mcuplikan informasi yang diindekskan sebagaiY1 =y1, Y2 =
y2, . . . , Ym = ym dengan fungsi densitas probabilitas f(x|θ) dan fungsi densitas
ku-mulatif F(x|θ) dengan parameter θ ∈ Rk. Fungsi densitas probabilitas joint pada
Y = (Y1, Y2, . . . , Ym) adalah
f1,2,...,m(y1, y2, . . . , ym|θ) = m−1
Y
i=1
h(yi|θ)f(ym|θ),−∞< y1 <· · ·< ym <∞ (2.15)
9
dengan h(y|θ) = f(y|θ)/[1−F(y|θ)]. Sehingga fungsi densitas probabilitas marginal pada cuplikan informasi k padaYk adalah
fk(y|θ) =
[H(y|θ)]k−1
Γ(k) f(y|θ) (2.16)
dengan H(y|θ) = −ln(1−F(y|θ)). Dengan parameter Pareto α dan τ yang belum diketahui, diberikan fungsi likelihood yaitu
L(α, τ|y)∝αmταy−α
m I[y1 > τ] (2.17)
dengan I[A] merupakan fungsi indikator pada kejadian A.
Suatu prior konjugasi joint untuk (α, τ) digeneralisasikan dengan prior Lwin atau prior power-gamma yang didenotasikan sebagai P G(υ, λ, µ, L0) yaitu
π(α, τ)∝αυτλα−1µ−α(α >0,0< τ < L
0) (2.18)
dengan υ, λ, µ, L0 merupakan konstanta positif dan L0 < µ. Prior mengidentifikasikan
π(α) sebagaiGa(υ,lnµ−λ,lnL0) danπ(τ|α) sebagai distribusi fungsi powerP F(λα, L0)
yaitu
π(τ|α)∝λατλα−1L−λα
0 (0< τ < L0) (2.19)
Dengan menggabungkan persamaan (3.13) dan (3.14), diperoleh densitas posterior pada α dan τ sebagai berikut
π(α, τ|y)∝ α
m+υ
τ exp{−α[Λ1−(λ+ 1) lnτ]}I[τ < M1] (2.20)
denganM1 = min(y1, L0) dan Λ1 = lnµ+lnym. Integrasikanαdanτ sehingga diperoleh
densitas prior pada α dan τ, berturut-turut yaitu
π(α|y)∝αm+υ−1exp{−α[Λ
1−(λ+ 1) lnM1]} (2.21)
dan
π(τ|y)∝ 1
τ[Λ1−(λ+ 1) lnτ]
−(m+υ+1)I[τ < M
1] (2.22)
Sehingga, diperoleh estimator Bayesian pada α secara eksplisit yaitu
αB =
m+υ
[Λ1−(λ+ 1) lnM1]
(2.23)
10
tertentu. Penerapan dari analisis ini biasanya banyak digunakan di bidang kedokteran yang berkaitan dengan pemodelan ketahanan hidup penderita penyakit tertentu (Lee, 1992) dan di bidang pertanian yang berkaitan dengan pemodelan ketahanan hidup benda-benda produksi (Barlow dan Proschan, 1996).
Freud (1992) menjelaskan persoalan utama dalam estimasi Bayes adalah meng-gabungkan suatu parameter dengan sampel tertentu secara langsung dengan menen-tukan ϕ(θ|x), dengan kondisional densitas pada θ adalah X = x. Reiss dan Thomas (1999) memberikan cara lain dalam menentukan estimasi Bayes pada parameter Pareto. Asumsikan terdapat suatu fungsi distribusi Pareto yaitu
Fα(y) = 1−(1 +y)−α, y≥0
dengan parameter kondisi yang tidak diketahui, α > 0, dan proses homogen Poisson dengan intensitas yang tidak diketahui, λ >0.
Diberikan data (t1, y1), . . . ,(tk, yk), maka maximum likelihood estimate (MSE) pada
Estimator Bayes, λ, α dinotasikan sebagai prior gamma yang saling independen. De-ngan fungsi quadratic loss, diperoleh estimasi Bayes pada λ dan α yaitu
(ˆλ,α) =ˆ
Reed (2001) menjelaskan tentang estimasi parameter pada distribusi Pareto yang berhubungan dengan estimator Hill di bidang asuransi. Ini disebabkan oleh estimator lain yang digunakan pada distribusi Pareto memiliki kinerja yang kurang baik jika pa-rameter yang digunakan tidak sama dengan 0 pada model Pareto. Sehingga diperlukan suatu formula alternatif dalam hal estimasi dengan adanya estimasi Bayes. Andaikan terdapat fungsi densitas probabilitas dan fungsi distribusi kumulatif pada distribusi simetrik ganda Pareto berturut-turut
11
untuk beberapa θ >0 dan β >0, berturut-turut.
Abdul-Sathar et al., (2005) memberikan penjelasan sebagai berikut. Andaikan X1, X2, . . . , Xnadalah suatu sampel acak dari distribusi UniformU(0, θ) dan asumsikan
suatu distribusi prior Pareto untuk θ dengan fungsi densitas probabilitas yaitu
π(θ) = β Adapun prior fungsi densitas probabilitas
π(θ) = β
dan estimasi Bayes yang mungkin yaitu
ˆ
θ−max( max
1≤i≤nxi, α)
Doostparast dan Balarishnan (2012) memberikan pandangan mengenai estimasi Bayes. Andaikan terdapat suatu barisan {R1, K1, . . . , Rm, Km ≡ 1} dari suatu
para-meter Pareto P ar(β, α). Sehingga dengan fungsi likelihood diperoleh
L(β, α|r, k) = α
mβαPm
i=1k1
Πm
i=1rαk1+1i
12
Diberikan suatu himpunannpengamatan saling bebas (X1, X2, . . . , Xn) =X dari
suatu distribusi dengan fungsi densitasf(x|θ) dengan nilai data yang diuji (x1, x2, . . . , xn) =
x. Dari Persamaan (2.10) - (2.15), dapat ditentukan distribusi prediktif untuk para-meter Pareto dalam menentukan nilai suatu data di masa yang akan datang, Xn+1.
Diberikan definisi sebagai berikut
E(f(x|θ)|x) =
= distribusi kondisional fungsi densitas
dengan X =x
(2.26)
Distribusi kondisional pada Xn+1 dengan X = x merupakan distribusi prediktif dari
Xn+1. Estimasi Bayes dari fXn+1(x|θ) = f(x|θ), likelihood pada pengamatan di masa
yang akan datang merupakan fungsi densitas dari distribusi prediktif dari Xn+1 yang
diperoleh dari estimasi Bayes di f(x|θ).
Asumsikan terdapat suatu data pengamatan X1, X2, . . . , Xn sebagai sampel acak
dari distribusi eksponensial dengan fungsi densitas probabilitas f(x|θ) = θeθxi, x >
0. Asumsikan terdapat prior Gamma(α, β) untuk θ. Dari prior pada fungsi densitas probabilitas tersebut, dapat ditentukan distribusi prediktif untuk pengamatan Xn+1
dimana likelihood dengan nilaix= (x1, x2, . . . , xn) adalah
dan fungsi densitas probabilitas prior dinyatakan dengan
π(θ) = β
αθα−1e−βθ
Γ(α) ∝θ
α−1e−βθ (2.28)
13
Dari fungsi densitas probabilitas prior danlikelihoodpada distribusi eksponensial, diper-oleh fungsi densitas probabilitas posterior yang dapat diformulasikan sebagai
π(θ|x) ∝ likelihood.prior
∝θne−θ
dengan distribusi posterior adalah Gamma(n+α,Pn
i=1
xi +β) dan fungsi densitas
pro-babilitas yang diperoleh dinyatakan sebagai berikut
π(θ|x) =
dan distribusi prediktif untuk Xn+1 mempunya fungsi densitas probabilitas yaitu
BAB 3
LANDASAN TEORI
Bab ini terdiri atas beberapa teori yang berhubungan dengan persoalan estimasi Bayes pada parameter Pareto. Beberapa teori yang relevan dengan persoalan estimasi Bayes adalah sebagai berikut:
3.1 Metode Estimasi Bayes
Definisi 6 Estimasi Bayes yang paling mungkin dari suatu nilai kebenaran θ0 yang
tidak diketahui pada parameterθ adalah nilaθˆyang meminimumkan distribusi posterior fungsi densitas atau marginal probabilitas π(θ|x). Sehingga estimasi Bayes yang paling mungkin diberikan oleh
π(ˆθ|x) = sup
θ∈Θ
π(θ|x)
Definisi 7 Keakuratan pada suatu estimasi ϑ pada parameter θ diberikan oleh
acc(ϑ) = (ϑ−µp)2+σ2p
dengan µp dan σp2 merupakan rata-rata dan variansi pada distribusi posterior,
berturut-turut.
Dari Definisi 2, asumsikan bahwa keakuratan pada suatu estimasi adalah memini-mumkan jika estimasi yang dipilih sama dengan rata-rata posteriorµp, yaitu ˆθ =µp. Ini
mengakibatkan beberapa Bayesian lebih menggunakan nilai rata-rata distribusi poste-rior sebagai estimasi padaθ dibandingkan dengan estimasi Bayes yang paling mungkin.
Definisi 8 Nilai rata-rata pada distribusi posterior adalah
µp =E(θ|x) =
Z
Θ
θπ(θ|x)dθ
(dengan integral adalah hasil penjumlahan seluruh Θ dengan asumsi bahwa Θ adalah diskrit) merupakan estimasi pada θ dengan keakuratan yang rendah. Sehingga estimasi pada µp selanjutnya disebut sebagai estimasi Bayes pada θ.
14
15
Definisi 9 Asumsikan φ(θ) merupakan suatu fungsi pada parameter θ dan ϑ meru-pakan suatu estimasi pada φ(θ). Keakuratan pada ϑ didefinisikan oleh
acc(ϑ)−
Z
Θ
(ϑ−φ(θ))2π(θ|x)dθ
(dengan integral adalah hasil penjumlahan seluruh Θ dengan asumsi bahwa Θ adalah diskrit). Asumsikan
µp(φ) =E(φ(θ)|x) =
Z
Θ
φ(θ)π(θ|x)dθ
(dengan integral adalah hasil penjumlahan seluruh Θ dengan asumsi bahwa Θ adalah diskrit) sebagai nilai rata-rata atau ekspektasi pada φ(θ) terhadap distribusi posterior pada θ. Sehingga,
acc(ϑ) = (ϑ−µp(φ))2+σ2p(φ)
dengan
σ2
p(φ) =V ar(φ(θ)|x) =
Z
Θ
(φ(θ)−µp(φ))2π(θ|x)dθ
merupakan variansi pada φ(θ) terhadap distribusi posterior pada θ dan estimasi pada
φ(θ) dengan keakuratan terendah adalah φˆ=µp(φ).
Definisi 10 Estimasi µp(θ) = E(φ(θ|x)) =
R
Θ
φ(θ)π(θ|x)dθ merupakan estimasi pada
φ(θ) dengan keakuratan terendah dan selanjutnya disebut sebagai estimasi Bayes pada
φ(θ).
Metode Bayes merupakan metode yang menggabungkan informasi dari cuplikan dengan informasi lain yang diketahui atau disebut juga dengan prior sehingga lebih dikenal sebagai peluang subjektif. Dalam pandangan Bayesian, hasil dari sebarang masalah inferensi yang dinyatakan dalam distribusi posterior merupakan gabungan dari informasi yang disediakan oleh data dan informasi prior relevan yang ada. Andaikan tidak terdapat informasi prior, maka dipilih suatu fungsi prior yang relatifuniformative, yaitu fungsi prior yang memberikan pengaruh minimum pada inferensi fungsi posterior.
Andaikan X1, X2, . . . , Xn merupakan suatu sampel acak dari distribusi binomial
16
π(θ|x) ∝ likelihood · prior
∝θt(1−θ)nm−tθ
α−1(1−θ)β−1
B(α, β) ∝θα+t−1(1−θ)nm−t+β−1
Distribusi posterior yang diperoleh adalah Beta(α+t, nm−t+β). Sehingga,
π(θ|x) = θ
α+t−1(1−θ)nm−t+β−1
B(α+t, nm−t+β) , 0< θ <1
Untuk memaksimumkan π(θ|x) terhadap θ, gunakan logaritma dengan differesiasi ter-hadap θ, sehingga
yang memberikan estimasi Bayes
ˆ
θ = α+t−1 nm+α+β−2
3.2 Parameter Pareto
Distribusi Pareto diperkenalkan oleh seorang pengamat ekonomi, Vilfredo Pareto, yaitu suatu distribusi yang digunakan di bidang sosial, ilmiah, geofisika, aktuaria dan fenomena di bidang lainnya. Andaikan X adalah suatu variabel acak dengan distribusi Pareto, maka probabilitas dimanaX adalah lebih besar dari sejumlah bilangan tertentu x dapat dinyatakan sebagai
17
dengan xm merupakan nilai minimum yang mungkin pada X dan α adalah suatu
pa-rameter positif. Adapun karakteristik distribusi Pareto (Tipe I) yaitu terdapat suatu parameter skala xm dan suatu parameter kondisi α, yang juga disebut sebagai index
akhir (tail index). Sehingga α disebut sebagai parameter Pareto.
Adapun fungsi distribusi kumulatif dan fungsi densitas probabilitas pada parameter Pareto berturut-turut adalah
Asumsikan terdapat suatu data merupakan n variabel acak berdistribusi saling bebas identik yang masing-masing mempunyai distribusi Pareto dengan parameter pertidak-samaan α dan parameter konsentrasi τ. Sehingga bentuk likelihood pada data dapat dinyatakan sebagai berikut
yang diperoleh dari hasil estimasi maximum likelihood yaitu
ˆ
dengan ketentuan sebagai berikut.
1. Jika τ diketahui, maka prior konjugasi natural pada densitas untukα merupakan gamma.
2. Jika α diketahui, maka prior konjugasi natural pada prior τ merupakan Pareto.
Dari dua kondisi diatas, dapat ditentukan densitas pada prior konjugasi. Asumsikan bahwa nilai α dan τ tidak diketahui, maka untuk densitas diperoleh:
1. Diberikan densitas kondisional pada τ adalah α dengan parameter pertidak-samaan γ(τ) dan parameter intensitas λ(τ) yaitu
18
dengan mean dan variansi adalah
E(α|τ) =−(1 +a2+m12logτ) (a1+m11logτ)
(3.2)
var(α|τ) =−(1 +a2+m12logτ) (a1+m11logτ)2
(3.3)
2. DIberikan densitas kondisional pada α adalah τ dengan parameter pertidak-samaan δ(α) dan parameter konsentrasiυ(α) yaitu
f(τ|α)∝υ(α)δ(α)[υ(α)τ]−(τ(α)+1)I(υ(α)τ >1 (3.4)
dengan
δ(α) =−(1 +b+m11α+m12logα) dan υ(α) =c (3.5)
3. Densitas marginal untukα dan τ masing-masing dapat dinyatakan sebagai
f(α)∝exp(a1α+a2logα)
c−[b+m11α+m12logα+1]
−[b+m11α+m12logα+ 1]
(3.6)
f(τ)∝ τb Γ[a2+m12logτ+ 1]
[−a1−m11logτ]a2+m12logτ+1
I(τ c >1) (3.7)
Untuk fungsi densitas probabilitas pada distribusi Pareto adalah
f(x|α, τ) =αταx−(α+1) (3.8)
dan fungsi densitas kumulatif pada distribusi Pareto adalah
F(x|α, τ) = 1−x τ
−α
(3.9)
dengan x≥τ(α, τ >0),∀x.
3.3 Distribusi Posterior
Asumsikan terdapat mcuplikan informasi yang diindekskan sebagaiY1 =y1, Y2 =
y2, . . . , Ym = ym dengan fungsi densitas probabilitas f(x|θ) dan fungsi densitas
ku-mulatif F(x|θ) dengan parameter θ ∈ Rk. Fungsi densitas probabilitas joint pada
Y = (Y1, Y2, . . . , Ym) adalah
f1,2,...,m(y1, y2, . . . , ym|θ) = m−1
Y
i=1
h(yi|θ)f(ym|θ),−∞< y1 <· · ·< ym <∞ (3.10)
19
dengan h(y|θ) = f(y|θ)/[1−F(y|θ)]. Sehingga fungsi densitas probabilitas marginal pada cuplikan informasi k padaYk adalah
fk(y|θ) =
[H(y|θ)]k−1
Γ(k) f(y|θ) (3.11)
dengan H(y|θ) = −ln(1−F(y|θ)). Dengan parameter Pareto α dan τ yang belum diketahui, diberikan fungsi likelihood yaitu
L(α, τ|y)∝αmταy−α
m I[y1 > τ] (3.12)
dengan I[A] merupakan fungsi indikator pada kejadian A.
Suatu prior konjugasi joint untuk (α, τ) digeneralisasikan dengan prior Lwin atau prior power-gamma yang didenotasikan sebagai P G(υ, λ, µ, L0) yaitu
π(α, τ)∝αυτλα−1µ−α(α >0,0< τ < L
0) (3.13)
dengan υ, λ, µ, L0 merupakan konstanta positif dan L0 < µ. Prior mengidentifikasikan
π(α) sebagaiGa(υ,lnµ−λ,lnL0) danπ(τ|α) sebagai distribusi fungsi powerP F(λα, L0)
yaitu
π(τ|α)∝λατλα−1L−λα
0 (0< τ < L0) (3.14)
Dengan menggabungkan persamaan (3.13) dan (3.14), diperoleh densitas posterior pada α dan τ sebagai berikut
π(α, τ|y)∝ α
m+υ
τ exp{−α[Λ1−(λ+ 1) lnτ]}I[τ < M1] (3.15)
denganM1 = min(y1, L0) dan Λ1 = lnµ+lnym. Integrasikanαdanτ sehingga diperoleh
densitas prior pada α dan τ, berturut-turut yaitu
π(α|y)∝αm+υ−1exp{−α[Λ
1−(λ+ 1) lnM1]} (3.16)
dan
π(τ|y)∝ 1
τ[Λ1−(λ+ 1) lnτ]
−(m+υ+1)I[τ < M
1] (3.17)
Sehingga, diperoleh estimator Bayesian pada α secara eksplisit yaitu
αB =
m+υ
[Λ1−(λ+ 1) lnM1]
BAB 4
ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN
MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD
Tesis ini menjabarkan tentang metode estimasi Bayes untuk parameter Pareto. Persoalan ini banyak digunakan dalam persoalan analisis data uji statistik terhadap daya tahan hidup suatu benda atau individu didasarkan pada keadaan operasional ter-tentu. Penerapan dari analisis ini biasanya banyak digunakan di bidang kedokteran yang berkaitan dengan pemodelan ketahanan hidup penderita penyakit tertentu (Lee, 1992) dan di bidang pertanian yang berkaitan dengan pemodelan ketahanan hidup benda-benda produksi (Barlow dan Proschan, 1996). Ketahanan atau daya tahan tersebut selanjutnya disebut sebagai reliabilitas (realibility). Dalam tesis ini, persoalan estimasi Bayes untuk parameter Pareto dikaji dalam bentuk atau fungsi-fungsi umum sebagai berikut.
4.1 Estimasi Maximum-Likelihood
Suatu variabel acak X mempunyai distribusi Pareto yang didenotasikan sebagai X ∼ P ar(β, α) dengan distribusi Gamma-normal kondisional. Maka, diperoleh fungsi densitas probabilitas yaitu
f(x;β, α) = αβαx−(α+1), x≥β >0, α >0 (4.1)
dan fungsi densitas kumulatif
F(x;β, α) = 1−
β x
α
, x≥β >0, α >0 (4.2)
dengan nilai ekspektasi yang ditentukan oleh
E(x) =µ = αβ
β −1, β >1 (4.3)
dan nilai variansi yang ditentukan oleh
V ar(x) = α−1 α(α−2)µ
2, α >2 (4.4)
20
21
Asumsikan terdapat barisan data pengamatan {X1, X2, . . . , Xn} dari suatu distribusi
Pareto (β, α), sehingga fungsi likelihood diformulasikan dengan
L(β, α;xi, ki) =
dan fungsi log-likelihood adalah
l(β, α;xi, ki) =mlnα−α
Untuk fungsi maximum-likelihood,L, untuk distribusi Pareto mempunyai bentuk yang diyatakan sebagai berikut
L(x, α|β) =
Maximum likelihood digunakan untuk mengestimasi nilaixdanαdengan tujuan diper-oleh hasil estimasi semaksimal mungkin pada data yang diberikan untuk fungsi likeli-hood L.
22
Set turunan dari fungsi sama dengan 0, sehingga L merupakan maksimum dengan ketentuan
ˆ
α= n n
P
i=1
logxi k
4.2 Estimasi Bayes untuk Parameter Pareto
Dalam penelitian ini diberikan beberapa asumsi dalam estimasi Bayes untuk pa-rameter Pareto sebagai berikut. Asumsikan terdapat barisan data pengamatan yang saling bebas kontinu {X1, X2, . . . , Xm} dimana Ki adalah jumlah pengamatan yang
dilakukan dalam memperoleh nilai minimum Xi agar diperoleh nilai data pengamatan
yang baru, Xi+1. Dari barisan data pengamatan yang ada, data yang diuji dinotasikan
dengan (x, k) := (x1, k1, x2, k2, . . . , xm, km) dimana xi adalah data pengamatan dan ki
menatakan jumlah pengamatan yang dilakukan terhadap data pengamatan xi.
Andai-kan terdapat dua parameter Pareto P ar(β, α), maka fungsi fungsi kumulatif densitas dinyatakan dengan
F(x;β, α) = 1−
β x
α
, x≥β >0, α >0 (4.9)
dan fungsi probabilitas densitas adalah
f(x;β, α) =αβαx−(α+1), x≥β >0, α >0 (4.10)
Dari asumsi tersebut diperoleh fungsi probabilitas densitas joint pada X = (X1, X2,
. . . , Xm) yaitu
F1,2,...,m(x1, x2, . . . , xm) = m−1
Y
i=1
h(xi|θ)f(xm|θ), −∞< x1 <· · ·< xm <∞ (4.11)
dan fungsi probabilitas densitas marginal pada data pengamatan Xk adalah
fk(x|θ) =
[H(x|θ)]k−1
Γ(k) f(x|θ) (4.12)
dimanaH(x|θ) =−ln(1−F(x|θ)). Maka, untuk parameter Paretoβ danα yang tidak diketahui, diperoleh fungsi likelihood
L(β, α|x)∝βmαβx−β
m I[x1 > α] (4.13)
23
dimana I[A] merupakan fungsi indikator suatu kejadian A.
Suatu prior konjugasi joint untuk (β, α) diperoleh dari prior distribusi Gamma, yaitu Gamma(ν, λ, µ, Lo) yang dinyatakan sebagai berikut
π(β, α)∝βνααβ−1µ−β
(β >0,0< α < Lo) (4.14)
dimana ν, λ, µ, Lo merupakan konstanta positif danLo < µ dengan prior π(α) sebagai
Gamma(ν, lnµ−λlnLo) dan π(α|β) adalah fungsi distribusi (λβ, Lo) dengan bentuk
pi(α|β)∝λβλβ−1L−λβ
o (0 < α < Lo) (4.15)
Kombinasikan Persamaan (3.13) dan (3.14), diperoleh densitas posterior pada β danα sebagai
π(β, α|x)∝ β
m+ν
α exp {−β[Λ1−(λ+ 1) lnα]}I[α < M1] (4.16) dimanaM1 = min(x1, Lo) dan Λ1 = lnµ+ lnxm. Integrasikanα dan β dari Persamaan
(3.16), sehingga diperoleh posterior densitas β dan α, berturut-turut, yaitu
π(β|x)∝βm+ν−1 exp {−β[Λ
1−(λ+ 1) lnM1]} (4.17)
dan
π(α|x)∝ 1
α[Λ1−(λ+ 1) lnα]
−(m+ν−1)I[α < M
1] (4.18)
Akibatnya, diperoleh estimator Bayes pada β secara eksplisit dinyatakan dengan
βB =
m+ν
[Λ1 −(λ+ 1) lnM1]
(4.19)
dan estimasi Bayes pada fungsi realibilitas R(t) = P(X > t) berdasarkan pada m pengamatan dinyatakan dengan
RB(t) =
λ+ 1 λ+ 2
Λ1−(λ+ 1) lnM1
Λ1+ lnt−(λ+ 2) lnM1
(4.20)
4.2.1 Distribusi prediktif
Akan ditunjukkan distribusi prediktif Bayes untuk nilai data pengamatan masa yang akan datang diujiX = (x1, x2, . . . , xm). Gunakan estimator Bayes dari Persamaan
(3.19) untuk menentukan nilai data ke-mdari Xn(1≤m < n) dengan tujuan
24
Barisan data pengamatan {Xi, i≥1} merupakan rantai Markov dimana fungsi
proba-bilitas densitas kondisional Xn dengan X =x dan parameter θ∈Rk adalah
fn(xn|x, θ) =
dengan 1 ≤ m < n. Untuk distribusi Pareto dengan fungsi kumulatif densitas pada Persamaan (3.9) dan fungsi probabilitas densitas pada Persamaan (3.10) diperoleh
fn(xn|x, β, α) =
Dari hasil perkalian fn(xn|x, β, α) dan hasil perolehan densitas posterior joint β dan α
dari Persamaan (3.11), maka model Bayes dapat diformulasikan sebagai berikut
π(β, α, xn|x) ∝
densitas xn dengan X =x adalah
fn(xn|x)∝
[lnxn−lnxm]n−m−1
xn[Λ2+ lnxm]n+ν
I[xm < xn] (4.24)
dimana Λ2 = lnµ−(λ+ 1) lnM2.
Diberikan W > 0 untuk fungsi densitas yang diperoleh pada Persamaan (3.24) dimana Xn =xmeW pada data pengamatan yang diujix, sehingga fungsi probabilitas
densitas kondisional W untuk xadalah
p(w|x) = (Λ2+ lnxm)
dimanaW mempunyai distribusi GammaGamma(a, b, c) dengan parametera=m+ν, b= Λ2+ lnxm dan c=n−m. Maka, parameter prediksi Bayes terhadap W adalah
w=E(w|x) = (Λ2+ lnxm)[(n−m)/(m+ν−1)] (4.26)
Set suatu himpunan C ⊂(0,∞) dari bentuk C ={xn|p(xn|x)≥cα}dimanacα adalah
konstanta dengan P(Xn ∈ C|x) = 1−α, yaitu 100(1−α)% untuk densitas posterior
tertinggi untuk Xn. Dari bentuk Persamaan (3.24) dimana interval prediksi densitas
25
posterior tertinggi adalah 100(1 −α)% dinotasikan sebagai (I∗
1, I
Rxn(t|x) masing-masing menyatakan fungsi densitas prediktif dan fungsi realibilitas di
Xn. Ini ekuivalen dengan Rw(I1|x)−Rw(I2|x) = 1−β dan e−I1pw(I1|x) =e−I2pw(I2|x)
dimana I∗
1 = xmeIi. pw dan Rw masing-masing menyatakan fungsi densitas prediktif
dan fungsi realibilitas di W, sehingga diperoleh interval I1 dan I2 sebagai berikut
(Λ2+ lnxm)m+ν
4.3 Prosedur Algoritma Newton-Raphson
Prosedur Newton-Raphson dalam menentukan estimasi Bayes pada parameter Pareto sebagai berikut.
1. Set nilai awal ˆβ0.
2. Hitung nilai fungsi untuk parameter Pareto β, yaituf( ˆβ) dengan ketentuan
f( ˆβ) = n
3. Hitung nilai fungsi f′( ˆβ) dengan ketentuan
26
6. Hitung parameter Pareto α dengan ketentuan
BAB 5 KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Dalam tesis ini telah ditunjukkan estimasi Bayes untuk parameter Pareto pada suatu distrubusi joint dalam persoalan parameter ganda dengan menggunakan meto-de maximum like-lihood. Hasil yang diperoleh merupakan suatu estimator maximum-likelihood dengan kelebihan yaitu kemudahan yang terdapat dalam estimasi untuk di-implementasikan secara komputasi sehingga diperoleh nilai kelayakan pada suatu pa-rameter Pareto pada suatu kondisi tertentu.
5.2 Riset Lanjutan
DAFTAR PUSTAKA
Abdul-Sathar, E.I., Jeevand, E.S., and Nair, K.R.M. (2005). Bayesian estimation of Lorenz curve, Gini-index and variance of logarithms in a pareto distribution, Sta-tistica, anno LXV, Vol.2, pp.193-205.
Barlow,R.E. and Proschan, F. (1996). Mathematical theory of reliability, Society for industrial and applied mathematics, Philadelphia.
Cobo, P.R., Lillo, R.E., Wilson, S. and Wiper, M.P. (2010). Bayesian inference for double pareto lognormal queues,Ann. Applied Stat., Vol.4, pp.1533-1557.
Doostparast, M., and Balarishnan, N. (2012). Pareto analysis based on records, Depart-ment of Statistics, University of Mashhad, Iran.
Freud, J. (1992). Mathematical Statistics, Arizona State University, Prentice Hall, New Jersey.
Madi, M.T., and Raqab, M.Z. (2004). Bayesian prediction of temperature records using the Pareto model,Environmentrics, pp. 701-710.
Kotz, S., Kozubowski, T.J. and Podgorski, K. (2001). The Laplace distribution and generalizations: A revisit with applications to communications, economics, engi-neering and finance. 1st Edn., Birkhauser, Boston, pp.349.
Lee, E.T. (1992). Statistical models for survival data analysis 2nd Edn., John Wis-ley&Sons, Inc.
Reed, W.J. (2001). The Pareto, Zipf and other power laws.Econ. Lett, Vol.74, pp.15-19.
Reiss, R.D, and Thomas, M. (1999). A new class of Bayesian estimators in paretian excess-of-loss reinsurance,Astin Bulletin, Vol.29, pp.339-349.
Saifudin, T. (2006). Pendekatan terbaik diantara distribusi Pareto, Pareto tergeneralisir dan Mixture-Pareto dalam pemodelan reliabilitas,Jurnal Ilmu Dasar, Vol. 7, No. 2, pp. 146-154.
Youssef, M.S. (2009). Bayesian estimation for the Pareto parameters using Quasi-Likelihood function,Applied Mathematical Sciences, Vol.3, No.11 , pp.509-517.
28
