Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital

(1)

STUDI METODE QUINE-McCLUSKEY UNTUK MENYEDERHANAKAN RANGKAIAN DIGITAL

S A F R I N A A M A N A H S I T E P U 0 3 0 8 2 3 0 4 2

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

STUDI METODE QUINE-McCLUSKEY UNTUK MENYEDERHANAKAN RANGKAIAN DIGITAL

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

S A F R I N A A M A N A H S I T E P U 0 3 0 8 2 3 0 4 2

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul : STUDI METODE QUINE-McCLUSKEY UNTUK MENYEDERHANAKAN RANGKAIAN DIGITAL

Kategori : SKRIPSI

Nama : S A F R I N A A M A N A H S I T E P U Nomor Induk Mahasiswa : 0 3 0 8 2 3 0 4 2

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIK Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PEGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan Medan,

Komisi Pembimbing

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs.Sawaluddin, M.IT Drs. Bambang Irawan, M.Sc

NIP.132206398 NIP.130535480

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematikan FMIPA USU

(4)

PERNYATAAN

STUDI METODE QUINE-McCLUSKEY UNTUK MENYEDERHANAKAN RANGKAIAN DIGITAL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 28 Maret 2009

(5)

A B S T R A K

(6)

D A F T A R I S I

Halaman

Persetujuan ... ii

Abstrak ... iii

Abstract ... iv

Daftar Isi ... v

Daftar Tabel ... vi

Daftar Istilah ... vii

Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Perumusan Masalah ... 1

1.3 Tujuan ... 1

1.4 Pembatasan Masalah ... 2

1.5 Metodologi Penelitian... 2

1.6 Kontribusi Penelitian ... 2

1.7 Tinjauan Pustaka ... 2

BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Boolean ... 4

2.1.1 Definisi Aljabar Boolean ... 4

2.2 Aljabar Boolean Dua Nilai ... 5

2.3 Prinsip Dualitas ... 7

2.4 Sifat-sifat Aljabar Boolean ... 8

2.5 Fungsi Boolean ... 9

2.6 Fungsi Komplemen ... 11

2.7 Bentuk Kanonik ... 13

2.8 Konversi Antar Bentuk Kanonik ... 16

2.9 Bentuk Baku ... 16

2.10 Penyederhanaan Fungsi Boolean... 17

2.11 Aplikasi Aljabar Boolean ... 18

2.11.1 Rangkaian Digital ... 18

Bab 3 PEMBAHASAN 3.1 Metode Quine-McCluskey ... 22

3.2 Menyederhanakan Fungsi Tunggal ... 24

3.2 Keunggulan dan Kelemahan Metode Quine-McCluskey KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan ... 33

4.2 Saran ... 33

(7)

DAFTAR TABEL

2.1 Tabel Operator Biner dalam Perkalian dan Penjumlahan ... 5

2.2 Tabel Hukum Distributif ... 6

2.3 Tabel Fungsi f(x,y,z) = x y’z ... 9

2.4 Tabel Fungsi f(x,y,z) = x’y’z + x’y z + x y’ dan Fungsi g(x, y, z) =x’z + x y’ ... 9

2.5 Tabel Minterm dan Maxterm 2 (dua) Variabel ... 12

2.6 Tabel Minterm dan Maxterm 3 (tiga) Variabel ... 12

2.7 Tabel Fungsi f(x,y,z) dalam bentuk Kanonik SOP dan POS ... 13

2.8 Tabel Gerbang (Gate) Rangkaian Logika Dasar ... 17

3.1 Tabel Kebenaran Suatu Fungsi dengan don’t Care ... 21

3.2 Tabel Proses Reduksi Tabulasi ... 22

3.3 Tabel Reduksi Esensial ... 25

3.4 Tabel Tereduksi Non Esensial ... 25

3.5 Tabel Ekspresi Logis Dalam Pilihan Tereduksi ... 26

3.6 Tabel Reduksi Fungsi Boolean Tunggal ... 27

(8)

D A F T A R I S T I L A H

Fundamental Product : Suatu perkalian Boolean yang merupakan

sebuah literal, atau perkalian dari 2 (dua) atau lebih literal, dengan ketentuan tidak ada dua literal yang mengandung variabel yang sama.

Karnaugh Map : Metode Grafik Untuk mnyederhanakan

Fungsi Boolean rangkaian digital. Metode ini diperkenalkan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953.

Literal : Suatu Variabel Boolean atau Komplemennya.

Literal Lengkap : Suatu Variabel yang mewakili dari tiap suku.

Maximum Term (Maxterm) : Suku penjumlahan Boolean yang memuat

seluruh variabel. Maxterm juga sering disebut sebagai suku penjumlahan fundamental.

Minimum Term (Minterm) : Suku perkalian Boolean yang memuat seluruh

variabel. Minterm juga sering disebut sebagai suku perkalian fundamental.

Prime Implicant (Implikan Utama) : Suku Perkalian yang diperoleh dari

pengkombinasian 2 (dua) buah minterm dan tidak dapat dikombinasikan lagi dengan minterm yang lain.

Product Of Sum Boolean : Perkalian dari suku-suku penjumlahan

Boolean

Sum Of Product Booean : Penjumlahan dari suku-suku perkalian

Boolean

Prosedur Covering : Prosedur Penentuan Prime implicant

(implikan utama) Inti yang mencakup sluruh minterm pada fungsi Boolean

(9)

BAB 1

P E N D A H U L U A N

1.1 Latar Belakang

Dalam perancangan suatu rangkaian digital diperlukan adanya penyederhanaan untuk memperoleh jumlah gerbang logika minimum ketika mengimplementasikan Fungsi Boolean rangkaian, karena semakin sedikit jumlah gerbang yang digunakan, akan menekan biaya dalam pembuatan rangkaian tersebut.

Adapun penyederhanaan rangkaian digital dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat dari Aljabar Boolean, akan tetapi membutuhkan waktu yang lama, sementara hasil yang diperoleh belum tentu merupakan Fungsi Boolean rangkaian yang paling sederhana.

(10)

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, yang menjadi permasalahan dalam Tugas Akhir ini adalah bagaimana cara menyederhanakan suatu rangkaian digital dengan menggunakan metode Quine-McCluskey.

1.3 Tujuan

Adapun tujuan penelitian ini adalah untuk mempelajari/memahami cara menyederhanakan suatu rangkaian digital yang rumit dengan menggunakan metode Quine-McCluskey.

1.4 Pembatasan Masalah

Agar pembahasan tidak menyimpang dari pokok permasalahan, penulis membatasi permasalahan hanya pada teori dan studi kasus dari metode Quine-McCluskey dalam penyederhanaan rangkaian digital.

1.5 Metodologi Penelitian

Adapun metode yang digunakan adalah sebagai berikut:

1. Menggunakan metode Quine-McCluskey untuk menyederhanakan Fungsi Boolean.

2. Mengimplementasikan Fungsi Boolean yang sederhana ke gerbang logika.

(11)

Memahami proses penyederhanaan Fungsi Boolean suatu rangkaian digital dengan menggunakan metode Quine-McCluskey.

BAB 2

L A N D A S A N T E O R I

2.1 Aljabar Boolean

Seorang ahli matematika dari Inggris, George Boole (1815-1864) pada tahun 1854 memaparkan aturan-aturan dasar logika dalam bukunya yang berjudul An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical

Theorities of Logic and Probabilities, yang kemudian dikenal sebagai logika Boolean.

Boole menyusun beberapa aturan hubungan antara nilai-nilai matematis yang dibatasi hanya dengan 2 (dua) nilai, yaitu true atau false, yang disimbolkan sebagai angka 1 atau 0. Sistem matematikanya ini kemudian dikenal sebagai aljabar Boolean. Dewasa ini aljabar Boolean telah menjadi dasar teknologi Komput er digital. Saat ini aljabar Boolean digunakan secara luas dalam perancangan rangkaian.

2.1.1 Definisi Aljabar Boolean

Aljabar Boolean adalah aljabar yang terdiri atas suatu himpunan B dengan 2 (dua) operator biner yang didefinisikan pada himpunan tersebut, yaitu: + (penjumlahan) dan

• (perkalian). Sehingga untuk setiap x, y, z ∈_B berlaku aksioma atau postulat

sebagai berikut:

(12)

2. Identitas : (i). Ada elemen tunggal 0 ∈_B, sedemikian hingga berlaku: x + 0 = 0 + x = x

(ii). Ada elemen tunggal 0 ∈_B, sedemikian hingga berlaku: x • 1 = 1 • x = 1

3. Komutatif : (i). x + y = y + x (ii). x • y = y • x

4. Distributif : (i). x • (y + z) = (x • y) + (x • z) (ii). x + (y • z) = (x + y) • (x + z) (iii). (x • y) + z = (x + z) • (y + z)

5. Komplemen : Untuk setiap x ∈_B, terdapat elemen tunggal x’∈_B sedemikian hingga berlaku: x + x’= 1 dan x • x’= 0

6. Terdapat sedikitnya 2 (dua) buah elemen, x dan y ∈ B , sedemikian hingga berlaku : x ≠_y.

7. Idempoten : (i). x • x = x (ii). x + x = x

8. Asosiatif : (i). x + (y + z) = (x + y) + z (ii). x • (y • z) = (x • y) • z

Kecuali aksioma 7 dan 8, ke enam aksioma pertama disebut Postulat Huntington, karena diformulasikan secara formal oleh E.V Huntington.

Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus memperlihatkan: 1. Elemen himpunan B

(13)

3. Himpunan B, bersama-sama dengan 2 (dua) operator tersebut, memenuhi

postulat Huntington.

2.2 Aljabar Boolean Dua Nilai

Aljabar Boolean 2 (dua) nilai didefinisikan pada sebuah himpunan dengan 2 (dua) buah elemen, yaitu: B = {0,1}, dengan kaidah untuk operator biner + (penjumlahan) dan • (perkalian),ditunjukkan pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Operator Biner untuk Perkalian dan Penjumlahan Logika

x y x • y x Y x + y

0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

Harus ditunjukkan bahwa postulat Huntington benar untuk himpunan B = {0,1} dan 2 (dua) operator biner yang didefinisikan di atas.

1. Closure, jelas dari Tabel karena hasil tiap operasi adalah 0 dan 1 ∈_B

2. Dari Tabel terlihat bahwa: (i). 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (ii). 1 • 0 = 0 • 1 = 0

yang memenuhi elemen identitas 0 dan 1

3. Hukum komutatif jelas terpenuhi.

4. (i). Hukum distributif:

(14)

Tabel 2.2 Kebenaran Hukum Distributif

x y z y + z x • (y + z) x • y x • z (x • y) + (x • z)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

(ii). Hukum distributif:

x + (y • z) = (x + y) • (x + z)

dapat ditunjukkan dengan membuat Tabel kebenaran seperti (i).

5. Tabel komplemen memperlihatkan bahwa:

(i). x + x’ = 1, karena 0 + 0’ = 0 + 1 = 1

(ii). x • x’ = 0, karena 0 • 0’ = 0 • 1 = 0

6. Postulat 6 dipenuhi karena aljabar Boolean dua nilai memiliki 2 (dua) buah elemen yang berbeda yaitu 1 dan 0.

2.3 Prinsip Dualitas

(15)

• mempertukarkan 1 0

Contoh:

Ekspresi Dualitas

x + x = x _x•_{x = x} _Idempoten

x + 1 = x _x•_{0 = 0} _Identitas

x•(y + z)=(x • y)+(x • z) x+(y • z)=(x + y)•(x + z)

2.4 Sifat-Sifat Aljabar Boolean

1. Hukum Identitas: (i). x + 0 = x (ii). x • 1 = x

2. Hukum Idempoten: (i). x • x = x

(ii). x + x = x 3. Hukum Komplemen:

(i). x + x = 1 (ii). x • x = 0

4. Hukum Dominan: (i). x • 0 = 0 (ii). x + 1 = 1 5. Hukum Involusi:

(i). x = x

6. Hukum Absorbsi (Penyerapan): (i). x • y + x • y = x

7. Hukum Komutatif: (i). x + y = y + x (ii). x • y = y • x

8. Hukum Asosiatif:

(i). x+(y + z)=(x + y)+ z (ii). x•(y • z)=(x • y)• z 9. Hukum Distributif:

(i). x+(y • z)=(x + y)•(x + z) (ii). x•(y + z)=(x • y)+(x • z)

10. Hukum De Morgan: (i). (x + y) = x • y (ii). (x • y) = x + y

(16)

Contoh dari sifat-sifat aljabar Boolean:

1. Buktikan bahwa: x + x’y = x + y Bukti:

x + x’y = (x + x y) + x’y (Absorbsi)

= x + (x y + x’y) (Asosiatif)

= x + (x + x’) y (Distributif)

= x + 1 . y (Komplemen)

= x + y (Identitas)

2. Buktikan bahwa: x (x’+ y) = x y Bukti:

x (x’ + y) = x x’ + x y (Distributif)

= 0 + x y (Komplemen)

= x y (Identitas)

2.5 Fungsi Boolean

(17)

operator komplemen (‘), tanda kurung ( ), dan tanda sama dengan (=). Setiap variabel Boolean, termasuk komplemennya disebut literal.

Contoh-contoh Fungsi Boolean: 1. f (x) = x

2. f (x,y) = x’y + x y’ + y’ 3. f(x,y) = x’y’

4. f(x,y) = (x + y)’ 5. f(x,y,z) = x y’ z

Dari contoh-contoh ke lima Fungsi Boolean tersebut, Fungsi 5 di atas yaitu: f(x,y,z)= x y’z terdiri atas 3 (tiga) literal x,y’ dan z.

Andaikan Fungsi tersebut mempunyai harga 1 (satu) untuk x = 1, y = 0, dan z = 1. Dengan demikian dapatlah dibuat Tabel kebenaran dari Fungsi:

f(x,y,z)= x y’z, pada Tabel 2.3.

Tabel 2.3 Kebenaran dari Fungsi f(x,y,z)= x y’z

x y z f(x,y,z)= x y’z

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

Fungsi Boolean tidak unik, artinya 2 (dua) buah Fungsi yang ekspresi aljabarnya berbeda, mungkin saja merupakan 2 (dua) buah yang sama karena keduanya mempunyai nilai yang sama pada Tabel kebenaran. Sebagai contoh:

Fungsi f(x,y,z)= x’y’z + x’yz + xy’ dan Fungsi g(x,y,z)= x’z + xy’ adalah 2 (dua) buah Fungsi Boolean yang sama. Lihat Tabel 2.4.

(18)

x y z _f(x,y,z) g(x,y,z)

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 1 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 1 0 0

Karena Fungsi Boolean tidaklah unik, dapatlah ditemukan 2 (dua) buah ekspresi Boolean yang menunjukkan Fungsi yang sama, yaitu dengan cara manipulasi aljabar. Perhatikan contoh berikut ini:

f(x,y,z) = x’y’z + x’y z + x y’

= x’z (y’+ y) + x y’

= x’z (1) + x y’

= x’z + x y’

2.6 Fungsi Komplemen

Fungsi komplemen dari suatu Fungsi F, dapat dicari dengan menukarkan nilai 0 menjadi 1, dan sebaliknya nilai 1 menjadi 0.

Ada 2 (dua) cara yang dapat digunakan untuk membentuk Fungsi komplemen:

1. Menggunakan Hukum De Morgan. Untuk 2 (dua) variabel, x1 dan x2 (x1 + x2)’ = x1’ x2’

dan dualnya;

(x1 . x2)’ = x1’ + x2’

Untuk 2 (dua) variabel, x1,x2, dan x3 (x1 + x2 + x3)’ = (x1 + y)’

Misal: x2 + x3 = y

(19)

= x1’ (x2 + x3)’ = x1’ x2’ x3’

Untuk n variabel, x1, x2, . . ., xn

(x1 + x2 +. . . .+ xn)’ = x1’, x2’, . . . . xn’

dan dualnya:

(x1 . x2 . . . . . xn)’ = x1’ + x2’ + . . . . + xn’

Contoh:

Fungsi komplemen f‘(x,y,z) dari Fungsi f(x,y,z) = x(y’z’+ y z) adalah: f‘(x,y,z) = (x(y’z’+ yz))’

= x’+ (y’z’+ yz)’

= x’+ (y’z’)’ . (yz)’

= x’+ (y + z ). (y’ +z’)

2. Menggunakan prinsip dualitas.

Cari dua l dari “f “ lalu komplemenkan setiap literalnya. Misalnya untuk Fungsi yang sama:

f(x,y,z) = x(y’z’+ y z)

Dual dari:

f: x +(y’+ z’).(y + z)

Komplemen tiap literalnya adalah: x’+ (y + z) . (y’+z’) = f‘

Jadi; f‘(x,y,z)= x’+(y + z).(y’+ z’)

2.7 Bentuk Kanonik

(20)

f (x, y) = x’ y’ dan g (x, y) = (x + y)’ adalah dua buah Fungsi yang sama.

Contoh lain:

f(x,y,z)= x’y’z + x y’z’+ x y z

dan

g(x,y,z)=(x+y+z)(x+y’+z)(x+y’+z’)(x’+y+z’)(x’+y’+z)

adalah 2 (dua) buah Fungsi yang sama.

Fungsi pertama f, tampil dalam bentuk penjumlahan dari hasil kali, sedangkan Fungsi yang ke dua g, muncul sebagai bentuk perkalian dari hasil penjumlahan. Setiap suku

(term) mengandung literal yang lengkap (x,y,z). Fungsi Boolean yang dinyatakan

sebagai jumlah dari hasil kali (SOP) dan hasil kali dari jumlah (POS), dengan setiap sukunya mengandung literal lengkap, disebut dalam bentuk kanonik.

Ada 2 (dua) macam bentuk kanonik:

1. Minterm atau sum-of- product (SOP)

2. Maxterm atau product-of-sum (POS)

Minterm dan Maxterm dari 2 (dua) variabel biner ditunjukkan pada Tabel 2.5.

Tabel 2.5 Minterm dan Maxterm dari 2 (dua) Variabel

x

y

Minterm Maxterm Suku Lambang Suku Lambang

0 0 x’y’ m0 x + y M0

0 1 x’y m1 x + y’ M1

1 0 x y’ m2 x’+ y M2

1 1 x y m3 x’+ y’ M3

Minterm dan Maxterm dari 3 (tiga) variabel biner ditunjukkan pada Tabel 2.6.

Tabel 2.6 Minterm dan Maxterm dalam 3 (tiga) Variabel

(21)

Suku Lambang Suku Lambang

0 0 0 x’y’z’ m0 x + y + z M0

0 0 1 x’y’z m1 x + y + z’ M1

0 1 0 x’yz’ m2 x + y’+ z M2

0 1 1 x’y z m3 x + y’+z’ M3

1 0 0 x y’z’ m4 x’+ y + z M4

1 0 1 x y’z m5 x’+ y +z’ M5

1 1 0 x y z’ m6 x’+ y’+ z M6

1 1 1 x y z m7 x’+ y’+z’ M7

Suatu Fungsi Boolean dapat dibentuk secara aljabar dari Tabel kebenaran yang diketahui dengan membentuk minterm dari setiap kombinasinya.

Untuk membentuk minterm, tinjau kombinasi variabel-variabel yang menghasilkan nilai 1. Kombinasi 001, 100 dan 111 ditulis sebagai:

x’y’z, x y’z’, dan x y z.

Untuk membentuk maxterm, tinjau kombinasi variabel-variabel yang menghasilkan nilai 0. Kombinasi 000, 010, 101 dan 110 ditulis sebagai:

(x + y + z), (x + y’+ z), (x’+ y + z’) dan (x’+ y’+ z’).

Contoh:

Tinjau Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam Tabel 2.7. Nyatakan Fungsi tersebut dalam bentuk Kanonik SOP dan POS.

Tabel 2.7: Fungsi f(x,y,z) dalam Bentuk Kanonik SOP dan POS x y Z f (x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

(22)

1 1 1 1

Jawab:

1. SOP: Tinjau kombinasi variabel yang menghasilkan nilai 1 f(x, y, z) = x’ y’ z + x y’ z’ + x y z

atau dalam bentuk lain,

f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = ∑ (1, 4, 7)

2. POS: Tinjau kombinasi variabel yang menghasilkan nilai 0

f(x, y, z) = (x + y + z) (x + y’+ z) (x + y’+ z’)

(x’+ y + z’) (x’+ y’+ z)

atau dalam bentuk lain,

f(x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = ∏ (0, 2, 3, 5, 6)

Notasi ∑ dan ∏ berguna untuk menyingkat penulisan ekspresi bentuk SOP dan

POS.

2.8 Konversi Antar Bentuk Kanonik

Misal: f adalah Fungsi Boolean dalam bentuk SOP:

f (x, y, z) = ∑ (1, 4, 5, 6, 7) dan f‘ adalah komplemen dari f

f‘ (x, y, z) = ∑ (0, 2, 3) = m0 + m2 + m3

Dengan menggunakan hukum de Morgan, dapat memperoleh Fungsi f dalam bentuk POS:

f’ (x, y, z) = (f’(x, y, z))’ = (m0 + m2 + m3)’

= m0’. m2’. m3’

= (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’

= (x + y + z) (x + y’+ z) (x + y’+ z’)

= M0 M2 M3

= ∏(0, 2, 3)

(23)

2.9 Bentuk Baku

2 (Dua) bentuk kanonik adalah bentuk dasar yang diperoleh dengan membaca Fungsi dari Tabel kebenaran. Bentuk ini umumnya sangat jarang muncul, karena setiap suku di dalam bentuk kanonik harus mengandung literal atau variabel yang lengkap, baik dalam bentuk normal (x) atau dalam bentuk komplemennya (x’). Cara lain untuk mengekspresikan Fungsi Boolean adalah bentuk baku (standard). Pada bentuk ini, suku-suku yang membentuk Fungsi dapat mengandung 1 (satu), 2 (dua), atau sejumlah literal. 2 (Dua) tipe bentuk baku adalah bentuk baku SOP dan bentuk baku POS.

Contoh:

f(x, y, z) = y’ + x y + x’ y z

f (x, y, z) = x (y’ + z) (x’ + y + z’)

2.10 Penyederhanaan Fungsi Boolean

Fungsi Boolean dapat disederhanakan dalam 3 (tiga) cara:

1. Secara aljabar, dengan menggunakan rumus atau aksioma yang berlaku pada Fungsi Boolean

2. Menggunakan Peta Karnaugh

3. Menggunakan metode Quine-McCluskey (metode Tabulasi)

2.11 Aplikasi Aljabar Boolean

(24)

2.11.1 Rangkaian Digital

Rangkaian digital elektronik biasanya dimodelkan dalam gerbang logika. Ada 3 (tiga) macam gerbang dasar: AND, OR dan NOT. Rangkaian yang dibentuk oleh gerbang logika disebut rangkaian logika. Dapat dilihat pada Gambar 1.a, 1.b, dan 1.c.

x

y xy

x

y x + y

Gambar 1.a Gerbang AND dua masukan Gambar 1.b Gerbang OR dua masukan

x x'

Gambar 1.c Gerbang NOT (inverter)

Selain gerbang dasar tersebut di atas, masih terdapat gerbang logika turunan, yaitu NAND, NOR, XOR, dan XNOR. Dapat dilihat pada Gambar 1.d, 1.e, 1.f, dan 1.g.

x

y (xy)'

x

y (x + y)'

(25)

x

y x + y

x

y (x + y)'

Gambar 1.f Gerbang XOR Gambar 1.g Gerbang XNOR

Adapun Tabel kebenaran dari Rangkaian Logika dasar dapat dilihat pada Tabel 2.8.

Tabel 2.8 Gerbang (Gate) Rangkaian Logika Dasar

AND x x.y

y

OR x x+y y

NOT x x

NAND x (x.y) y

x y x.y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

x y x+y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

x x 0 1

1 0

x y (x.y) 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

(26)

NOR x (x+y)

y

XOR x x y

y

XNOR x x y)

y

Contoh:

Nyatakan Fungsi Boolean berikut ke dalam rangkaian logika. f(x,y,z) = x y + x’y

Jawab:

a. Langkah I:

x x

y xy

y

x'

x' y

xy + x' y

b. Langkah II:

1 0 0 1 1 0

x y x y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

(27)

x

y xy

x'

x' y

xy + x' y

c. Langkah III:

x

y xy

x'

x' y

xy + x' y

BAB 3

P E M B A H A S A N

3.1 Metode Quine-McCluskey (Tabulasi)

Untuk Fungsi Boolean yang mempunyai lebih dari 6 (enam) variabel, digunakan metode Quine-McCluskey. Metode ini disebut juga metode Tabulasi.

Langkah-langkah:

(28)

3. Kombinasikan minterm dalam n variabel dengan kelompok lain yang jumlah nilai 1-nya berbeda 1 (satu), sehingga diperoleh prime implicant (implikan utama) yang terdiri dari n-1 variabel. Minterm yang dikombinasikan diberi tanda (√).

4. Kombinasikan minterm dalam n-1 variabel dengan kelompok lain yang jumlah nilai 1-nya berbeda 1 (satu), sehingga diperoleh prime implicant (implikan utama) yang terdiri dari n-2 variabel.

5. Ulangi langkah 4 (empat) sampai diperoleh prime implicant (implikan utama) yang paling sederhana.

6. Ambil semua prime implicant (implikan utama) yang tidak bertanda (√). Buatlah Tabel baru yang memperlihatkan minterm dari ekspresi Boolean semula yang dicakup oleh prime implicant (implikan utama) tersebut, tandai dengan (x). Setiap minterm harus dicakup oleh paling sedikit 1 (satu) buah prime implicant (implikan utama).

7. Pilih prime implicant (implikan utama) yang memiliki jumlah literal paling sedikit namun mencakup sebanyak mungkin minterm dari ekspresi Boolean semula, yaitu dengan cara:

a. Tandai kolom-kolom yang mempunyai satu buah tanda (x) dengan tanda (*), lalu beri tanda (√) di sebelah kiri prime implicant (implikan utama) yang berasosiasi dengan tanda asterisk (*) tersebut. Prime implicant (implikan utama) ini telah dipilih untuk Fungsi Boolean sederhana.

b. Untuk setiap prime implicant (implikan utama) yang telah ditandai dengan (√), beri tanda minterm yang dicakup oleh prime implicant (implikan utama) tersebut dengan tanda (√).

c. Periksa apakah masih ada minterm yang belum dapat dicakup oleh prime

implicant (implikan utama) terpilih. Jika ada, maka pilih dari prime

implicant (implikan utama) yang tersisa yang mencakup sebanyak

(29)

d. Ulangi langkah c sampai seluruh minterm sudah dicakup oleh semua

prime implicant (implikan utama).

Pendekatan otomatis untuk menyederhanakan ekspresi Boolean biasa digunakan pada Fungsi dengan keluaran tunggal atau jamak. Metode tabulasi atau juga dikenal dengan metode Quine-McCluskey, membentuk perkalian yang berbeda pada 1 (satu) variabel secara berturut-turut, dan kemudian dihasilkan himpunan suku tereduksi yang dapat mencakup semua Fungsi keluaran. Proses ini lebih mudah diimplementasikan pada komputer daripada metode peta, dan hasil suku-suku reduksinya dapat digunakan oleh lebih dari 1 (satu) Fungsi.

3.2 Menyederhanakan Fungsi Tunggal

Tabel kebenaran pada Tabel 3.1. menggambarkan f yang merupakan Fungsi 4 (empat) variabel x,y,z, dan w, yang menyertakan 3 (tiga) don’t care (= d). Proses reduksi secara Tabel dimulai dengan mengelompokkan minterm berdasarkan jumlah nilai 1 -nya. Minterm 0000, tidak mempunyai nilai 1, sehingga dijadikan grup tersendiri. Minterm 0001,0010,0100, dan 1000 mempunyai nilai 1 tunggal, tetapi hanya minterm 0001 yang menghasilkan nilai 1, sehingga minterm ini dijadikan grup lain.

Tabel 3.1 Kebenaran suatu Fungsi dengan don’t care

x y z w f

0 0 0 0 d

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

(30)

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 d

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

1 1 1 1 d

Grup berikutnya adalah minterm dengan 2 (dua) nilai 1, dan ada 6 (enam) kemungkinan minterm yang mempunyai 2 (dua) nilai 1, yang dapat masuk dalam grup ini. Hanya minterm 0011,0101,0110, dan 1010 yang menghasilkan keluaran 1, sehingga minterm inilah yang masuk dalam grup.

Ada 3 (tiga) minterm yang menghasilkan keluaran 1 dan mempunyai 3 (tiga) nilai 1, yaitu 0111, 1011, dan 1110. Akhirnya grup yang beranggotakan 4 (empat) nilai 1 ada satu minterm, dan merupakan grup terakhir.

(31)

[image:31.595.105.514.93.553.2]

Tabel 3.2: Proses Reduksi Tabulasi

Keadaan awal Setelah Reduksi I Setelah Reduksi II

x y z w x y Z w x y z w

0 0 0 0 √ 0 0 0 - * 0 - - 1 *

0 0 0 1 √ 0 0 - 1 √ - - 1 1 *

0 0 1 1 √ 0 - 0 1 √ - 1 - 1 *

0 1 0 1 √ 0 - 1 1 √ (c)

0 1 1 0 √ - 0 1 1 √

1 0 1 0 √ 0 1 - 1 √

0 1 1 1 √ - 1 0 1 √

1 0 1 1 √ 0 1 1 - *

1 1 0 1 √ 1 0 1 - *

1 1 1 1 √ - 1 1 1 √

(a) 1 - 1 1 √

1 1 - 1 √

(b)

Secara aljabar, teorema tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut: x y + x z + y z = x y + x z + y z (x + x)

= x y + x z + x y z + x y z

= x y + x y z + x z + x y z

= x y (1 + z) + x z (1 + y)

= x y + x z

Dengan menggunakan Teorema konsensus diperolehlah bentuk dualitasnya: (x + y) (x + z) (y + z) = (x + y) (x + z)

(32)

Minterm 0000 dan 0001 pada Tabel 3.2.a ditandai dengan cek (√) untuk menunjukkan bahwa entri ini sudah tercakup pada Tabel reduksi. Setelah semua suku pada grup pertama disilangkan dengan semua suku pada grup ke dua, kemudian beralih untuk membentuk konsensus antara grup ke dua dan ke tiga. Ada kemungkinan bahwa beberapa suku tidak dapat dikombinasi menjadi suku yang lebih kecil karena berbeda pada lebih dari 1 (satu) variabel.

Contohnya, suku 0001 dan 0011 dapat dikombinasi menjadi suku lebih kecil 00_1 namun 0001 dan 0110 tidak dapat dikombinasi karena berbeda pada 3 (tiga) variabel. Sekali suku sudah ditandai dengan (√), suku tersebut masih dapat dipergunakan untuk proses reduksi karena sifat idempotens. Tujuan dari langkah dalam proses ini adalah untuk menemukan semua kemungkinan suku tereduksi, sehingga dapat menemukan himpunan terkecil suku yang masuk dalam Fungsi pada langkah berikutnya.

Proses berlanjut untuk grup-grup sisanya. Setiap suku yang tidak tercakup dalam pengelompokan konsensus ditandai dengan asterisk (*) untuk menunjukkan bahwa ini adalah suku prime implicant (implikan utama). Pada Tabel 3.2.a. terlihat bahwa setelah reduksi pertama semua minterm sudah terpakai sehingga tidak ada prime

implicant (implikan utama).

Setelah reduksi pertama, dapat melanjutkan untuk literasi berikutnya, jika keduanya hanya berbeda 1 (satu) variabel saja, maka 2 (dua) suku dapat dikombinasikaan. Garis bawah harus pada posisi yang sama. Entri pertama pada Tabel 3.2.b. mempunyai garis bawah pada kolom paling kanan, sehingga tidak ada entri pada grup ke dua yang cocok.

(33)

(implikan utama) seperti pada Tabel 3.2.c. Setiap prime implicant (implikan utama) dikumpulkan untuk menyusun Fungsi, walaupun belum minimal.

Oleh karena itu entri ini ditandai dengan asterisk (*), yang menunjukkan bahwa suku ini adalah prime implicant (implikan utama) dan tidak dapat direduksi lagi. Beralih ke grup ke dua dan ke tiga pada Tabel 3.2.b. Suku 00_1 dan 01_1 dikombinasi menjadi suku 0_ _1 seperti tertera pada Tabel 3.2.c. Proses terus berlanjut hingga reduksi ke dua lengkap.

Untuk meminimalkan suku-suku yang digunakan, disusun Tabel pilihan seperti pada Tabel 3.3. Setiap prime implicant (implikan utama) dibuat 1 (satu) baris dalam Tabel pilihan dan kolom berisi minterm dari Fungsi asli yang harus dicakup. Kondisi don’t care tidak perlu dicakup sehingga tidak dimasukkan dalam daftar. Setiap kotak yang sesuai dengan prime implicant (implikan utama) dan mintermnya ditandai dengan asterisk (*).

Misalnya, prime implicant (implikan utama) 000_ tandai pada kolom minterm 0001. Beberapa prime implicant (implikan utama) mencakup beberapa minterm, seperti 0_ _1 akan mencakup 4 (empat) minterm.

Setelah semua kotak dicek, carilah kolom yang hanya berisi 1 (satu) tanda cek. Tanda cek tunggal pada kolom berarti hanya ada 1 (satu) prime implicant (implikan utama) yang mencakup minterm tersebut, dan prime implicant (implikan utama) yang mencakup minterm tersebut ditandai dengan yang menunjukkan bahwa prime

implicant (implikan utama) ini adalah esensial dan harus digunakan atau masuk dalam

[image:33.595.142.493.642.760.2]

persamaan akhir.

Tabel 3.3: Reduksi Esensial Prime implicant

(implikan utama)

Minterm

0001 0001 0101 0110 0111 1010 1101

000_ √

*011_ √ √

*101_ √

(34)

_ _11 √ √

*_1_1 √ √ √

Contoh prime implicant (implikan utama) esensial adalah 011_, 101_, dan _1_1.

Prime implicant (implikan utama) esensial dapat mencakup lebih dari satu minterm.

Untuk itu dibuatlah Tabel pilihan tereduksi yang tidak menyertakan prime implicant (implikan utama) esensial dan mintermnya, seperti pada Tabel 3.4. Tabel pilihan tereduksi dapat berisi prime implicant (implikan utama) esensial yang kemudian dikenai proses reduksi lagi, sampai Tabel pilihan tereduksi hanya berisi prime

[image:34.595.145.458.308.438.2]

implicant (implikan utama) non esensial.

Tabel 3.4. Tereduksi Non Esensial

Himpunan minterm Himpunan 1 Himpunan 2 Pilihan 0001 0011 000_ 0_ _1

x 000_ √ _ _11

y 0_ _1 √ √

z _ _11 √

Sisa prime implicant (implikan utama) dalam Tabel pilihan tereduksi membentuk himpunan pilihan, yang digunakan untuk mendapatkan himpunan minimal. Seperti pada Tabel 3.4. ada 2 (dua) himpunan prime implicant (implikan utama) yang menampung 2 (dua) minterm sisa. Karena himpunan 2 (dua) adalah suku paling sederhana, maka suku inilah yang dipilih untuk membentuk persamaan minimal untuk

F, yang terdiri atas prime implicant (implikan utama) esensial dan prime implicant (implikan utama) pilihan pada himpunan 2 (dua). (Persamaan berikut):

F = x y z + x y z + y w + x w

(35)

[image:35.595.106.519.371.533.2]

Tabel 3.5 Ekspresi Logis Dalam Pilihan Tereduksi

Kolom Penjumlahan 0001 (x + y)

0011 (y + z)

Untuk mencari himpunan yang mencakup semua kolom, prime implicant (implikan utama) dikelompokkan sehingga paling tidak setiap kolom ditandai sekali. Ini berarti bahwa relasi berikut harus terpenuhi, dengan F adalah suku dalam Tabel pilihan tereduksi:

F= (x + y) (y + z)

Dengan menerapkan sifat-sifat aljabar Boolean didapat:

F= (x + y) (y + z) = x y + x z + y + y z = x z + y

Setiap suku dalam persamaan ini menyatakan himpunan prime implicant (implikan utama) yang mencakup suku-suku dalam Tabel pilihan tereduksi. Suku terkecil (y) merupakan himpunan prime implicant (implikan utama), (0 1) terkecil yang mencakup suku-suku tersisa. Hasil akhir yang di dapat sama seperti cara sebelumnya:

F= x y z + x y z + y w + x w

3.3 Menyederhanakan Fungsi Jamak

Metode reduksi Tabel digunakan untuk mereduksi Fungsi Boolean tunggal. Namun demikian cara ini juga dapat dipergunakan untuk mereduksi Fungsi jamak yang menggunakan variabel yang sama, untuk menghasilkan persamaan kolektif yang kecil. Metode berikut menggunakan cara dengan mencari irisan dari semua kemungkinan kombinasi dari suku-suku yang dapat digunakan bersama, dan kemudian memilih himpunan terkecil yang mencakup seluruh Fungsi.

(36)

Bentuk lengkap persamaan Boolean dari kasus ini adalah: F0 (x, y, z) = m0 + m3 + m7

F1 (x, y, z) = m1 + m3 + m4 + m6 + m7

F2 (x, y, z) = m2 + m3 + m6 + m7

Irisan dibentuk dengan membuat semua kombinasi Fungsi seperti berikut: F0,1 (x, y, z) = m3 + m7

F0,2 (x, y, z) = m3 + m7

F1,2 (x, y, z) = m3 + m6 + m7

[image:36.595.198.449.551.705.2]

F0,1,2 (x, y, z) = m3 + m7

Tabel 3.6 Reduksi Fungsi Boolean Tunggal Minterm X Y Z F0 F1 F2

m0 0 0 0

m1 0 0 1

m2 0 1 0

m3 0 1 1

m4 1 0 0

m5 1 0 1

m6 1 1 0

m7 1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 1

0 1 0

0 0 0

0 1 1

1 1 1

Dengan menggunakan metode reduksi yang dijelaskan sebelumnya, dapat disusun

prime implicant (implikan utama) untuk masing-masing Fungsi.

Fungsi Prime implicant (implikan utama)

F0 000, _11

F1 0_1, 1_0, _11, 11_

F2 _1_

F0,1 _11

F0,2 _11

F1,2 _11, 11_

F0,1,2 _11

Daftar prime implicant (implikan utama) direduksi dengan mengeliminasi

(37)

yang lebih tinggi. Misalnya, _11 muncul di F0,1,2, sehingga tidak perlu dicantumkan

dalam Fungsi yang lain. Demikian juga, 11_ muncul di F1,2, dan tidak perlu

dimunculkan di F1 ataupun F2. Demikian seterusnya, sehingga didapat:

Fungsi Prime implicant (implikan utama)

F0 000

F1 0_1, 1_0

F2 _1_

F0,1 Kosong

F0,2 Kosong

F1,2 11_

F0,1,2 _11

Kemudian dapat disusun Tabel pilihan keluaran jamak seperti pada Tabel 3.7. Baris berisi prime implicant (implikan utama) dan kolom menunjukkan minterm yang harus tercantum pada masing-masing Fungsi.

Jika prime implicant (implikan utama) yang bersangkutan tidak dapat digunakan pada Fungsi di kolom-kolom yang bersangkutan, maka baris akan diisi dengan (×). Misalnya, prime implicant (implikan utama) 000 digunakan oleh Fungsi F tetapi tidak digunakan oleh Fungsi F maupun F , sehingga daerah perpotongan baris

[image:37.595.205.459.165.323.2]

000 dan kolom F dan F diisi ×.

Tabel 3.7 Reduksi Fungsi Boolean Jamak

Implikan

Minterm F

(x,y,z) F (x,y,z) F (x,y,z)

Utama m m m m m m m m m m m m

F *000 √ X x x x x x x x X

F *0_1 x x X √ √ x x x X

F *1_0 x x X √ √ x x x X

F *_1 _ x x X X x x x x √ √ √ √

F , *11_ x x X √ √ √ √

(38)

Bentuk minimal dari persamaan keluaran didapat dengan cara yang mirip dengan proses reduksi tabular. Dimulai dengan prime implicant (implikan utama) esensial. Misalnya, minterm m pada Fungsi F hanya dicakup oleh prime implicant (implikan utama) 000, sehingga 000 adalah esensial.

Baris yang berisi 000 kemudian dihapus dari Tabel, demikian juga kolom yang berisi tanda cek pada baris tersebut. Proses berlanjut sampai semua Fungsi sudah tercakup atau tinggal prime implicant (implikan utama) non esensial yang tersisa.

Cara menentukan himpunan terkecil dari prime implicant (implikan utama) yang mencakup semua Fungsi adalah dengan cara yang sudah dijelaskan pada bagian sebelumnya. Tanda asterisk (*) pada Tabel 3.7, adalah prime implicant (implikan utama) esensial.

Pada kasus ini, hanya ada satu prime implicant (implikan utama) non

esensial yang tersisa, tetapi semua mintermnya sudah terwakili oleh prime implicant

(implikan utama) esensial, sehingga tidak perlu dibuat Tabel reduksi. Persamaan tereduksinya menjadi:

F (x, y, z) = x y z + y z

F (x, y, z) = x z + x z + y z

F (x, y, z) = y

3.2 Keunggulan dan Kelemahan Metode Quine-McCluskey

(39)

(40)

BAB 4

K E S I M P U L A N D A N S A R A N

4.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:

1. Penyederhanaan Fungsi Boolean rangkaian dalam metode Quine-McCluskey dapat dilakukan dengan cara tabel reduksi.

2. Menetapkan suku perkalian yang tersisa sebagai prime implicant (implikan utama).

3. Mencari prime implicant (implikan utama) inti dari implikan- implikan utama yang diperoleh, dengan cara membentuk Tabel prime implicant (implikan utama).

4. Menerapkan prosedur covering untuk memperoleh Fungsi Boolean yang paling sederhana.

4.2 Saran

Adapun saran penulis dari kesimpulan pembahasan di atas, yaitu:

(41)

(42)

D A F T A R P U S T A K A

Hill, Fredrick J., Gerald R. Peterson., 1981, Introduction to Switching Theory &

Logical design, Third Edition, Jhon Wiley & Sons, New York.

Holdsworth, B., 1993, Digital Logic Design, Third Edition, Butterworth Heineman, London.

Lance, Larry R., John R. Hinton, 1986, Elementary Mathematics for Computing, Addison-Wesley Publishing Company, London.

Lee, Samuel C., Sutisno, 1994, Rangkaian Digital dan Rangkaian Logika, Erlangga, Jakarta.

Mowle, Frederic J., 1997, A Systematic Approach to Digital Logic Design, Addison Wesley Publishing Company, London.

Nelson, Victor P., Nagle, Troy H., 1996, Digital Logic Circuit Analysis and Design, Prentice Hall International Inc, London.