II. TINJAUAN PUSTAKA
Bab ini dibahas teori-teori yang digunakan dalam penulisan tugas akhir
ini yaitu mengenai pemodelan matematika, persamaan diferensial, persamaan
diferensial linier, dan pencemaran kanal sebagai bagian dari pembahasan hasil
penelitian.
A. Pemodelan Matematika
Model dan pemodelan telah membantu manusia memahami sistem alam yang
kompleks, mulai dari yang mikroskopik sampai yang makroskopik. Model tidak lain
adalah representasi suatu realitas dari seorang pemodel. Dengan kata lain, model
adalah jembatan antara dunia nyata dengan dunia berpikir untuk memecahkan suatu
masalah. Proses penjabaran atau merepresentasikan ini disebut sebagai modeling atau
pemodelan yang tidak lain merupakan proses berpikir melalui sekuen yang logis.
Model dibangun atas proses berpikir (melalui indra fisik) dari dunia nyata yang
kemudian diinterpretasikan melalui proses berpikir, sehingga menghasilkan
pengertian dan pemahaman mengenai dunia nyata. Pemahaman ini tidak bisa
sepenuhnya menggambarkan realitas dunia nyata, sehingga di dalam pemodelan
dikenal istilah “there is not such thing as one to one mapping” (tidak ada peta satu
banding satu). Selain itu, model dirancang bukan untuk memecahkan masalah sekali
untuk selamanya (one and for all) atau memecahkan semua masalah. Di dalam
yang menjadi kunci dari semua masalah, sehingga dalam pemodelan, penting untuk
merevisi dan meng-upgrade strategi.sehingga segala sesuatu cenderung berubah,
mengalir, dan tidak ada yang tetap. Jadi pemodelan juga dapat dikatakan sebagai
proses menerima, memformulasikan, memproses, dan menampilkan kembali persepsi
dunia luar.1
Penyusunan model matematika untuk berbagai bidang antara lain bidang
fisika, bidang biologi, bidang ekonomi, senantiasa diperlukan pengetahuan
matematika yang merupakan alat penyusun model seperti pengertian fungsi,
persamaan linear, persamaan diferensial dan aljabar matriks.
Adapun tujuan disusunnya model matematika antara lain:
1. Untuk mengetahui keterkaitan antara besaran yang satu terhadap besaran lain
yang terlibat dalam permasalahan yang dibahas. Dalam hal ini diharapkan dapat
diketahui nilai suatu besaran atau pengaruh yang ada sebagai akibat suatu
perubahan nilai besaran lain yang terkait pada bentuk model tersebut.
2. Untuk menentukan pendugaan nilai suatu besaran yang terlibat dalam
permasalahan tersebut untuk waktu yang akan datang. Pada umumnya dalam hal
ini model matematika merupakan model dari suatu permasalahan yang
bergantung pada besaran waktu.
3. Untuk menentukan harga optimum dari suatu besaran sebagai akibat
bervariasinya nilai besaran-besaran lain yang terlibat dengan permasalahan yang
dibahas.2
Dari ketiga tujuan disusunnya suatu model matematika memiliki maksud yang
berbeda tergantung model matematika yang dibentuk dan objek yang diteliti.
Misalkan pada tujuan pertama berkaitan terhadap hubungan antara variabel-variabel
model, tujuan kedua berkaitan terhadap mencari suatu nilai dugaan atau ramalan
suatu variabel dalam model yang dibentuk, dan tujuan ketiga berkaitan terhadap
mencari suatu nilai optimum suatu variabel dalam model matematika dengan
menginput nilai besaran variabel terkait.
Mengkonstruksikan suatu model matematika diperlukan langkah-langkah
sebagai berikut:
Langkah 1: Identifikasi masalah
Mengidentifikasi masalah adalah mengidentifikasi apa yang akan dikerjakan
atau diselesaikan. Seorang pemodel harus mampu cukup tepat merumuskan secara
verbal masalah tersebut agar berhasil dalam menerjemahkannya ke dalam bahasa
matematika. Perumusan masalah yang baik akan memudahkan menentukan tujuan
dari kegiatan pemodelan ini, sedangkan tujuan ini akan dipakai sebagai indikator
yang menunjukkan apakah model matematika yang dikonstruksi dapat menjawab
permasalahannya.
Pada langkah ini, seorang pemodel mulai melakukan identifikasi variabel apa
saja yang terlibat atau yang menggambarkan fenomena yang terjadi. Penentuan
variabel mana yang sebagai variabel tak bebas dan variabel mana yang sebagai
variabel bebasnya merupakan langkah yang sangat penting dan hati-hati.
Kehati-hatian diperlukan karena relasi kebergantungan anatar variabel yang terlibat
didalamnya tidak selalu berlaku bolak-balik. Misalkan dalam fenomena perubahan
ukuran populasi suatu spesies terhadap waktu. Dalam fenomena ini, sebagai variabel
tak bebasnya adalah ukuran populasi dan sebagai variabel bebasnya adalah waktu.
Langkah 2: Merumuskan asumsi-asumsi
Pada umumnya tidak semua faktor yang mempengaruhi perilaku yang telah
diidentifikasi melalui pengamatan akan dipakai dalam pemodelan matematikanya.
Sebuah model matematika memang berusaha menangkap, dalam bentuk abstrak,
karakteristik esensial dari suatu fenomena yang diamati. Keberhasilan dari usaha ini
bergantung pada pengetahuan emperis seorang pemodel dan kemampuan
matematisnya. Jika pengetahuan emperis tidak ada maka yang biasa dilakukan dalam
pemodelan adalah membuat asumsi-asumsi yang rasional. Seorang pemodel harus
dapat menyederhanakan banyaknya faktor tersebut, yaitu dengan mereduksi jumlah
yang tersisa harus ditentukan. Sebenarnya kompleksitas masalah dapat direduksi
dengan mengasumsikan saling keterhubungan yang relative sederhana. Jadi
pengasumsian meliputi dua kategori utama yaitu:
a. Identifikasi dan klasifikasi variabel
Hal-hal (faktor-faktor) apa saja yang mempengaruhi perilaku yang telah
diidentifikasi pada langkah 1. Daftarlah vfaktor-faktor ini sebagai variabel.
Kemudian klasifikasikan setiap variabel itu sebagai variabel bebas atau tak
bebas. Variabel-variabel dalam model yang dituntut untuk dijelaskan merupakan
variabel tak bebas dan sisanya merupakan variabel bebas. Pengetahuan yang
cukup tentang fenomena yang diamati akan mempermudah dalam melakukan
klasifikasi variabel ini, pengetahuan ini bias diperoleh dari refrensi-referensi
pendukung, atau bahkan melalui penelitian secara emperis.
b. Penentuan saling keterhubungan diantara variabel terpilih atau submodel
Sebelum dapat menduga suatu keterhubungan suatu variabel, pada umumnya
harus dibuat beberapa penyederhanaan. Masalah bisa cukup rumit manakala
relasi keterhubungan diantar variabel tidak dapat dilihat pada awalnya. Dalam
kasus demikian, diperbolehkan untuk mempelajari submodelnya, artinya satu
atau lebih variabel bebas dipelajari secara terpisah. Akhirnya submodel-submodel
ini dihubungkan bersama-sama dibawah asumsi model utamanya.
Langkah 3: Menyelesaikan model matematika
Model yang dikonstruksi berbentuk persamaan diferensial yang memodelkan
fenomena perubahan suatu objek yang terjadi. Penyelesaiaanya menggunakan
dilanjutkan dengan mengalisis solusi matematis yang telah didapatkan tersebut
tentang sifat dan kestabilannya bahkan mengeksplornya ke dalam hal-hal lain yang
terkait.
Langkah 4: Memvalidasi model
Sebelum menggunakan sebuah model untuk mencapai konklusi pada masalah
nyatanya, model harus diuji dahulu kevalidannya. Terdapat beberapa pertanyaan kritis
yang dapat diajukan sebelum mendesain pengujian validasi model (yang mungkin
merupakan sebuah proses yang dapat mahal dan menghabiskan waktu). Pertama,
apakah model ddapat menjawab masalah yang diidentifikasi pada langkah 1, atau
apakah model telah menyimpang dari isu kunci sebagaimana yang telah dikonstruksi
dalam model. Kedua, apakah model tersebut masuk akal. Ketiga, apakah data yang
perlu untuk pengujian dan mengoperasikan model dapat dikumpulkan, dan apakah
model mendukung ketika diuji.
Di dalam mendesain sebuah uji validasi untuk model, data actual yang didapat
dari observasi emperis digunakan secara hati-hati dengan melibatkan
observasi-observasi yang dibuat atas jelajah nilai yang sama untuk berbagai variabel bebas.
Pengasumsian pada langkah 2 dapat digunakan untuk memberikan batasan jelajah
variabel bebas. Jika data yang dihasilkan berdasarkan model mempunyai simpangan
(kesalahan) yang masih dapat ditoleransi terhadap data aktual maka model dapat
dikatakan valid dengan menyebutkan besarnya simpangannya.
Langkah 5: menginterpretasikan solusi matematis ke dalam masalah nyata
Setelah dilakukan uji validasi dan bahwa suatu model telah dinyatakan valid
nyatanya. Dari sinilah akan dihasilkan suatu kesimpulan atau keputusan, yang dalam
penyelesaian masalah nyata merupakan hal yang sangat penting.3
Seiring dengan kemajuan teknologi informasi, penyelesaian suatu masalah
matematis dapat diperoleh dengan mudah menggunakan perangkat lunak, yang
memudahkan mendapatkan solusi persamaan diferensial, menggambarkan grafik
solusi serta mengeksplornya. Misalkan sofhware matematica, matlab, minitab, maple,
dan lain-lain.
B. Persamaan Diferensial
Persamaan yang menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta
turunannya terhadap satu atau lebih peubah bebas disebut persamaan diferensial
(ordinary differential equation).4
Contoh :
Persamaan diferensial terbagi menjadi beberapa bentuk antara lain :
3Kartono. Persamaan Diferensial Biasa Model Matematika Fenomena Perubahan
(Yokyakarta: Graha Ilmu, 2012).h.10-12
4 Abdul Rahman, Nursalam, dan Wahidah Alwi. Persamaan Diferensial Biasa(Makassar: Lab
1. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang menyangkut satu
atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu peubah
bebas.
Bentuk umum :
F
(
x , y , y', y' ', … , ym)
=0 (1)Dimana
y adalah fungsi dari variabel bebas x
y', y' ', …, ym adalah turunan (differential quotient) dari fungsi y(x)
satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap lebih dari
satu peubah bebas.
C. Tingkat (orde) dan Derajat (Degree) pada Persamaan Diferensial
Suatu persamaan diferensial biasa orde m adalah persamaan berbentuk
F
(
x , y , y', y' ', … , ym)
=0 yang menyatakan hubungan antara peubah bebas x,
peubah tak bebas y(x) dan turunannya yaitu y , y', y'', … , ym , jadi suatu persamaan
persamaan diferensial itu adalah turunan ke m. Suatu persamaan diferensial disebut
Tingkat (orde) persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi turunan yang
timbul. Persamaan 1, 3, dan 6 adalah tingkat pertama, persamaan 2, 5, dan 7 adalah
tingkat kedua, dan persamaan 4 adalah tingkat ketiga. Derajat (degree) persamaan
diferensial adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang terjadi. Semua persamaan di
atas adalah mengenai derajat pertama kecuali persamaan 5 adalah derajat kedua.6
D. Persamaan Diferensial Linier
Suatu persamaan diferensial linier orde pertama mempunyai bentuk
dy
dx+p(x)y=r(x) (3)
5 Kartono.Penuntun Belajar Persamaan Diferensial(Yogyakarta: Andi Offset, 1994)
6 Frank Ayres, J.C. Ault, dan Lily Ratna.Persamaan Diferensial dalam satuan SI metric Seri
Kekhasan dari persamaan (3) adalah linier dalam y dan dydx , dengan p(x)
dan r(x) merupakan fungsi dari x atau konstanta yang diketahui. Jika r(x)
bernilai nol untuk semua nilai x dalam interval yang ditinjau maka persamaan itu
dinamakan homogen, tetapi sebaliknya dikatakan tak homogen. Solusi umum
persamaan ini adalah
y(x)=e−h
[
∫
ehr(x)dx+c
]
(4)Dimana
h=
∫
p(x)dx (5)Bila persamaannya mempunyai bentuk
dy
dx+p(x)y=r(x)y
n
,n ≠0 (6)
Maka dengan transformasi
z=y−n+1
dandy dx=
yn 1−n
dz
dx (7)
Akan menghasilkan persamaan diferensial linier orde pertama, yaitu
dz
Oleh karena itu, persamaan (8) ini diselesaikan seperti menyelesaikan
diferensial linier orde pertama, dan kemudian gantilah z dengan transformasi semula
untuk mendapatkan solusi umum. Persamaan diferensial (6) dinamakan persamaan
diferensial Bernoulli.7
E. Faktor Pengintegral
Diberikan suatu persamaan diferensial linier orde satu sebagai berikut
dy
Bagian kiri persamaan (9) adalah turunan dari ln|y−3| , maka
d
dengan C konstanta integran yang bernilai sembarang. Persamaan (12) dapat dituliskan juga dalam bentuk
ye
x
2=3ex2+C (13)
kemudian dengan mendiferensialkan ruas kiri dan ruas kanan persamaan (13),
diperoleh
(
y' +12 y
)
e x 2=32e x
2 (14)
terlihat bahwa persamaan (14) ekivalen dengan persamaan (9). Dengan
demikian dapat dikatakan bahwa salah satu langkah untuk menyelesaikan
persamaan (9) adalah mengalikan persamaan tersebut dengan ex2 . Karena
perkalian ini dapat mereduksi persamaan ke bentuk yang terintegralkan, maka
fungsi ex2 dinamakan faktor pengintegral untuk persamaan (9).8
F. Sistem Drainase
Air hujan yang jatuh di suatu daerah perlu dialirkan atau dibuang agar tidak
terjadi genangan atau banjir. Caranya yaitu dengan pembuatan saluran yang dapat
menampung air hujan yang mengalir dipermukaan tanah tersebut. Sistem saluran di
atas selanjutnya dialirkan ke sistem yang besar. Sistem yang terkecil juga
dihubungkan dengan saluran rumah tangga dan sistem bangunan infrastruktur
lainnya. Sehingga apabila cukup banyak limbah cair yang berada dalam saluran
tersebut perlu diolah. Seluruh proses ini disebut sistem drainase.9
8 Marwan & Said Munzir, Persamaan Diferensial(Banda Aceh: Graha Ilmu, 2008). h. 16.
9 Robert J. Kodoatie & Roestam Sjarief, Pengelolaan Sumber Daya Air Terpadu Edisi
G. Erosi dan Sedimentasi
Kanal atau terusan merupakan saluran air yang dibuat oleh manusia untuk
berbagai keperluan. Umumnya kanal merupakan bagian dari aliran sungai dengan
pelebaran atau pendalaman pada bagian tertentu. Knala dapat difungsikan sebagai
bagian dari sistem pengendalian banjir serta dapat berguna untuk jalur transportasi/
perdagangan.10 Kanal terdiri dari dua macam yaitu kanal yang hanya digunakan untuk
mengarahkan dan mengalirkan air saja dan kanal yang merupakan jalur transportasi
yang dapat di navoigasi, digunakan untuk angkutan barang dan orang, seringkali
terhubung dengan sungai, laut dan danau.
