Implementasi Metode Elemen Hingga Dalam Aliran Persoalan Darah Pada Pembuluh Darah

(1)

DAFTAR PUSTAKA

Allaire, E.Paul. 1985. Basic Of The Finite Element Method :Usa. Wm. C. Brown.

Brenner, C.S, And L. Ridgway Scott. 2008. The Mathematical Theory Of Finite

Element Methods. Springer, Usa.

Campbell, N.A, J.B. Reece, Dan L.G. Mitchell, 2004. Biologi. Erlangga, Jakarta.

Elad, David dan Shmuel Einav. 2004. Standart Handbook of Biomedical

Engineering and Design. Mc.Graw-Hill.

Logan,Daryl L. 2007.Fourth Edition, A First Course In The Finite Element

Method. Thomson. Canada

Maktar, M.F.I., 2011. “Fluida Structure Interactioin of Blood Vessel Using

Comsol” (Laporan Penelitian). Malaysia: Universiti Kebangsaan Malaysia

Munson, B.R., D.F. Young, Dan T.H. Okii Shi, 2003. Mekanika Fluida.

Erlangga, Jakarta.

Potter, Merle C. And Wiggert, David C.2011. Schaum’s Outlines Mekanika

Fluida. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Rao, Singiresu S. 2011. Fifth Edition, The Finite Element Method Is Engineering.

British Library. USA.

Susatio,Yerri. 2004. Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga. Andi Offset.

(2)

BAB 3

ANALISIS DAN PERANCANGAN 3.1. Perancangan Geometri

Pada dinding pembuluh terdiri dari beberapa lapisan terpisah dari bahan yang

berbeda dengan sifat mekanik yang berbeda . Bahan tersebut terdiri dari sel-sel

endotel , sel otot halus dan kumpulan ekstracellular kolagen dan elastin . Hal ini

menunjukkan bahwa dinding pembuluh memiliki respon regangan - tegangan

yang tidak nonlinear namun dalam penelitian ini, model dianggap mampu

mengatasi beberapa keterbatasan sudut pandang numerik dan komputasi.

Untuk model penelitian ini, parameter dan material yang digunakan berdasarkan

data pada laporan penelitian “Fluida Structure Interactioin of Blood Vessel Using

Comsol” Maktar,M.F.I (2011) dan model aliran darah dalam pembuluh darah

(2D-Axisymmetric).

Tabel 3.1. Parameter Yang Digunakan Untuk Geometri Pembuluh Darah

nama Nilai Keterangan

r0 2.05 mm Radius pembuluh darah

h0 0.2 mm Ketebalan dinding pembuluh darah

L 30 mm Panjang pembuluh darah

p0 11865 Pa Rata-rata tekanan darah

K 0.362 Amplitude

�1 0.5125mm Radius plak pada pembuluh darah untuk penyempitan 25%

�2 1.025 mm Radius plak pada pembuluh darah untuk penyempitan 50%

�3 1.5375 mm Radius plak pada pembuluh darah untuk penyempitan 75%

Tabel 3.2. Material Properties Darah

Properties Nilai

Massa jenis 1000 �� ⁄ 3

(3)

Tabel 3.3. Material Properties Pembuluh Darah

Properties Nilai

Massa jenis � = 1200kg/�3

Lame constant λ = 8.22. 106 Pa

Lame constant �= 1.67. 105 Pa

Dengan Comsol digambarkan model pembuluh darah yang sesuai, berikut gambar

pembuluh darah beserta mesh dengan elemen segitiga sebagai berikut:

Gambar 3.1 : Model Geometri Pembuluh Darah

Gambar 3.1 menunjukkan bahwa model geometri pembuluh darah terdiri atas

bagian yang padat adalah dinding pembuluh darah dan bagian yang cair yaitu

(4)

3.2. Tahapan Analisis

3.2.1. Memaparkan hubungan-hubungan pergerakan aliran darah pada persamaan Navier-Stokes

Persamaan Navier Stokes didasarkan atas hukum gerakan Newton dan hukum

gesekan viskos dari Newton yang telah diperluas. Sejauh ini tidak dibatasi dengan

massa jenis yang konstan maupun viskositas yang konstan. Persamaan

Navier-stokes yang dinyatakan secara ringkas dalam notasi vektor sebagai:

� ��_�� + � .∇�� = −∇�+ ��+ �∇2� (3.1)

Bersama dengan persamaan kontinuitas

∇.�= 0 (3.2)

3.2.2. Menentukan kondisi awal dan batas

Untuk persoalan aliran darah dalam penelitian ini yaitu: fluida yang tak

mampu-mampat (Incompressible fluid), aliran laminar (Laminar flow)

3.2.3. Simulasi Dan Visualisasi Model Dengan Comsol Mutiphysics 4.2

Comsol Mutiphysics 4.2 adalah software untuk analisis Metode Elemen Hingga.

Dalam penelitian ini ada beberapa variasi bentuk penyempitan pembuluh darah

yang akan dilihat distribusi tekanan aliran darah didalamnya. Variasinya adalah

(5)

1. Pada Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

outlet

inlet

Gambar 3.2. model geometri dari Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

Gambar 3.2 merupakan model geometri yang menunjukkan bahwa tidak ada nya plak (plaque) yang terdapat disisi dinding pembuluh darah. Dari model geometri juga ditunjukkan arah dari aliran darah dari inlet (aliran masuk) lalu outlet (aliran keluar).

2. Pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 25% outlet

(6)

Gambar 3.3 Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan sebesar 25%

Gambar 3.3 menunjukkan bahwa adanya plak (plaque) yang terdapat disisi dinding pembuluh darah dengan bentuk setengah lingkaran. Plak (plaque) yang berukuran 0.5212 mm merupakan 25% dari radius pembuluh darah. Dari model geometri juga ditunjukkan arah dari aliran darah dari inlet (aliran masuk) lalu outlet (aliran keluar) yang sama dengan pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan.

3. Pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 50%

outlet

inlet

Gambar 3.4. Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan sebesar 50%

(7)

4. Pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 75%

outlet

inlet

Gambar 3.5. Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan sebesar 75%

Gambar 3.5 menunjukkan bahwa adanya plak (plaque) yang terdapat disisi dinding pembuluh darah. Plak (plaque) yang berukuran 1.5375 mm merupakan 75% dari radius pembuluh darah dengan bentuk setengah lingkaran. Dari model geometri juga ditunjukkan arah dari aliran darah dari inlet (aliran masuk) lalu outlet (aliran keluar) yang sama dengan pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan.

(8)

BAB 4 PEMBAHASAN 4.1. Persamaan Dasar Dalam Dinamika Fluida

Berdasarkan masalah pergerakan fluida (darah) dalam pembuluh darah, fluida yang akan dibahas dengan sifat sebagai berikut:

1. Incompressible fluid ( fluida tak mampu-mampat) 2. Laminar flow (aliran laminar)

Persamaan Navier-Stokes dalam penelitian ini adalah

� ��_�� + (�.��)�= �.�−��+� ��_{��} +��_{��}�� (4.1)

Solusi elemen hingga terhadap masalah aliran yang ideal (aliran tak kental

tak mampu-mampat) Contoh umum yang masuk dalam kategori ini adalah aliran

di sekitar silinder, mengalir keluar dari sebuah lubang, dan mengalir di sekitar

sebuah airfoil. Dua dimensi potensial aliran (aliran irrotattional) masalah dapat

dirumuskan dalam hal potensi kecepatan, persamaan yang mengatur untuk

masalah dua dimensi diberikan oleh

�2_ɸ

��2 +

�2_ɸ

��2 = 0

(4.5)

Dengan komponen kecepatannya adalah:

� = �ɸ

�� ,�= �ɸ ��

(4.6)

(9)

Dan kecepatan aliran dinyatakan sebagai

Dalam bentuk umum, pilihan antara kecepatan dan fungsi aliran di rumuskan

dalam analisis elemen hingga tergantung pada kondisi batas, yang lebih spesifik.

Jika geometrinya sederhana, dapat dinyatakan bahwa tidak ada keunggulan yang

satu dengan lainnya. Jika fluida ideal, gerakannya tidak menembus ke dalam atau

terpisah dari permukaan dan meninggalkan ruang kosong.

Hal ini memberikan kondisi batas yang merupakan komponen dari

kecepatan normal fluida ke permukaan harus sesuai dengan komponen dari

kecepatan permukaan ke arah yang sama.

Karena ��⃗.��⃗ = ��⃗_�.��⃗

Atau

�� + �� = ��+ �� (4.9) Dimana ��⃗ adalah kecepatan dari fluida, ��⃗_� adalah kecepatan kondisi batas, dan ��⃗

merupakan komponen yang ditarik normal keluar batas (arah cosinus). Jika batas

ditetapkan sebagai ( ��⃗_� = 0), maka tidak akan ada aliran sehingga tidak ada kecepatan yang tegak lurus ke batasnya. Hal ini mengakibatkan batasnya

dianggap sebagai garis arus karena tidak adanya kecepatan fluida yang tegak lurus

ke garis arus. Jika tedapat sebuah garis yang sejajar dengan simetris ke arah

alirannya, garis tersebut juga merupakan garis arus.

(10)

Persamaan (4.10) menyatakan derivatif tangensial dari fungsi arus

sepanjang kondisi batas yang ditentukan adalah nol, dimana persamaan (4.11)

menyatakan bahwa fungsi potensial (kecepatan normal dari batas yang

ditentukan) adalah nol.

4.2. Formulasi Fungsi Potensial

Masalah nilai batas untuk potensial aliran dapat dinyatakan sebagai berikut:

4.2.1. Bentuk Persamaan Differensial

Untuk menentukan kecepatan potensial ɸ(x, y) menunjukkan wilayah S yang dikelilingi oleh kurva C, sehingga:

�2_ɸ₌�2ɸ

(11)

4.3. Solusi Elemen Hingga

Langkah untuk menentukan solusi elemen hingga adalah sebagai berikut:

Langkah 1: memilih tipe elemen dan diskritisasi

Gambar : Diskritisasi Padatan Axisimetri Menjadi Elemen Segitiga

Langkah 2: pemilihan fungsi displacement

�� = 1

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.39) dan (2.40) ke persamaan (2.35),

(12)

Langkah 3: mendapatkan hubungan strain-displacement dan hubungan

stress-Subsitusikan nilai �₁,�₂, … sehingga membentuk persamaan:

[�] = 1

Dalam bentuk ringkas ditulis:

(13)

Sehingga bentuk umumnya menjadi

[�] = [�] |�|

dimana:

[�] = [�� ]

Stress didefinisikan sebagai:

[�] = [�] [�] |�|

Langkah 4: menurunkan matrik kekakuan elemen dan persamaan kesetimbangan

[�] = �[�]� [�] [�]��

� atau

[�] = 2� � [�]� [�] [�] ��

�

Untuk menghitung matriks kekakuan elemen [K] dapat dilakukan dengan 3 cara

yaitu:

1. Integrasi numerik (Gaussian Quadrature)

2. Perkalian matriks dari mengintegralkan bentuk yang ada

3. Menghitung matrik [B] pada pusat elemen r, z dimana

-4.4. Simulasi Dengan Comsol Multiphysics

Mesh pada pembuluh darah yang dengan elemen segiempat (dua dimensi) untuk diskritisasi elemen diperoleh masing-masing daerah dalam bentuk segitiga untuk mendapatkan estimasi nilai-nilai yang akurat

(14)

Gambar 4.1 menunjukkan bahwa ukuran mesh yang terbentuk pada daerah cair

(aliran darah) lebih besar dari pada mesh yang ada di daerah padat yaitu dinding

pembuluh darah pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan

Gambar 4.2. mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan

sebesar 25%

Gambar 4.2 menunjukkan bahwa mesh terbentuk pada daerah cair (aliran darah) ,

daerah padat (dinding pembuluh darah) dan pada plak (plaque) yang terjadi di

pembuluh darah sebesar 25% dari radius pembuluh darah. Ukuran mesh yang

terbentuk pada daerah cair (aliran darah) lebih besar dari pada mesh yang ada di

daerah padat yaitu dinding pembuluh dan di daerah plak (plaque) pembuluh darah

Gambar 4.3 mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan

sebesar 50%

Gambar 4.4 mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan

(15)

4.5. Tekanan Pada Pembuluh Darah

Tekanan merupakan gaya per satuan luas permukaan. Tekanan yang terjadi pada variasi dari penyempitan pembuluh darah akan dijelaskan dalam bentuk 2Dimensi-Axisimetri.

4.5.1. Tekanan Pada Permukaan Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

Gambar 4.5 Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

(16)

4.5.2. Tekanan Pada Permukaanpembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 25%

Gambar 4.6 menunjukkan bentuk tekanan yang terjadi pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 25%. Gambar 4.6 menunjukkan kondisi tekanan darah yang terjadi pada detik 3. Tekanan paling rendah ditunjukkan oleh warna biru dan tekanan yang paling tinggi terjadi di tunjukkan oleh warna merah. Pada gambar di tunjukkan bahwa tekanan tertinggi sebesar 11799 Pa dan tekanan yang terendah sebesar 11780 Pa

(17)

Gambar 4.7 menunjukkan bentuk tekanan yang terjadi pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 50%. Gambar 4.7 menunjukkan kondisi tekanan darah yang terjadi pada detik 3. Tekanan paling rendah ditunjukkan oleh warna biru dan tekanan yang paling tinggi terjadi di tunjukkan oleh warna merah. Pada gambar di tunjukkan bahwa tekanan tertinggi sebesar 11800 Pa dan tekanan yang terendah sebesar 11778 Pa.

Gambar 4.8 menunjukkan bentuk tekanan yang terjadi pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 75%. Gambar 4.8 menunjukkan kondisi tekanan darah yang terjadi pada detik 3. Tekanan paling rendah ditunjukkan oleh warna biru dan tekanan yang paling tinggi terjadi di tunjukkan oleh warna merah. Pada gambar di tunjukkan bahwa tekanan tertinggi sebesar 11800 Pa dan tekanan yang terendah sebesar 11781 Pa.

4.6. Distribusi Tekanan

(18)

4.6.1. Pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan

Gambar 4.9. Aliran tekanan pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan

(19)

4.6.2. Pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 25%

Gambar 4.10. Aliran tekanan pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan sebesar 25%

(20)

Gambar 4.11. Aliran Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 50%

(21)

Gambar 4.12: Aliran Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 75%

Dari gambar 4.12 menunjukkan perubahan masing-masing tekanan darah pada setiap waktu. Di waktu 0.18 detik menunjukkan bahwa tekanan yang terjadi sebesar 5860 Pa. Pada waktu 0.36 detik , tekanan terjadi sebesar 8892 Pa. Ketika waktu 1.18 detik, tekanan nya adalah 11443 Pa. Dan pada waktu 3 detik, tekanannya berubah menjadi 11781 Pa.

Dalam tabel berikut akan di tampilkan data distribusi tekanan yang terjadi pada variasi penyempitan pembuluh darah

Tabel Besar Tekanan Yang Terjadi Di Pembuluh Darah

Waktu (s) Penyempitan

0% 25% 50% 75%

0,18 5857 Pa 5864 Pa 5859 Pa 5860 Pa 0,36 8904 Pa 8906 Pa 8908 Pa 8892 Pa 1,18 11450 Pa 11446 Pa 11483 Pa 11443 Pa

(22)

Gambar 4.13. Distribusi Tekanan Aliran Pada Pembuluh Darah

Dapat dilihat bahwa distribusi tekanan aliran darah pada setiap penyempitan pembuluh darah, tidak mengalami perubahan yang signifikan. Besarnya tekanan pada setiap variasi penyempitan pembuluh darah memiliki nilai yang hampir sama sehingga masing-masing grafik dari besarnya tekanan di variasi penyempitan pembuluh darah saling berhimpit menyebabkan hanya satu garis yang terlihat pada grafik.

4.7. Tegangan Pada Pembuluh Darah

(23)

4.7.1.Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

Gambar 4.14 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan

Dapat diperhatikan bahwa tegangan terjadi pada di bagian dalam seluruh dinding pembuluh darah adalah konstan yaitu sebesar 14937 Pa. Tidak ada perubahan tegangan di bagian dalam dinding pembuluh darah.

4.7.2.Tegangan Yang Terjadi Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 25%

Gambar 4.15. Tegangan Yang Terjadi Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan Sebesar 25%

(24)

besar ketika sebelum dan sesudah aliran darah melewati plak (Plaque) yaitu sebesar 14932 Pa. Tegangan yang terjadi pada plak (plaque) hanya sebesar 6289Pa.

(25)

Dapat diperhatikan bahwa tegangan terjadi pada di bagian dalam seluruh dinding pembuluh darah memiliki nilai-nilai yang berbeda. Tegangan yang terjadi paling besar ketika sebelum dan sesudah aliran darah melewati plak (Plaque) yaitu sebesar 15968 Pa. Tegangan yang terjadi pada plak (plaque) hanya sebesar 8203Pa. Untuk memperlihatkan perubahan tegangan yang terjadi pada variasi penyempitan pembuluh darah, digambarkan dalam grafik berikut.

(26)

(27)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1. Kesimpulan

Hasil penelitian memperlihatkan distribusi tekanan aliran darah dari variasi

bentuk pembuluh darah. Hasil simulasi Comsol menunjukkan bahwa tekanan

yang terjadi dari variasi bentuk pembuluh darah tidak mengalami perubahan yang

signifikan. Namun, untuk tegangan yang terjadi pada variasi bentuk pembuluh

darah menunjukkan bahwa semakin besar plak (plaque) atau penyempitan yang

timbul di pembuluh darah maka semakin tinggi tegangan aliran darah yang terjadi.

Sehingga disimpulkan bahwa plak (plaque) atau penyempitan yang semakin

membesar tidak terlalu mengubah besar tekanan yang terjadi, namun sangat

berpengaruh pada tegangan dalam pembuluh darah.

5.2. Saran

Dalam penelitian ini membatasi penyelesaian persoalan aliran darah dengan

metode elemen hingga dan penurunan elemen matriks dan vektor dengan

menggunakan metode Galerkin, ada banyak metode lainnya yang dapat

digunakan. Untuk penelitian selanjutnya, diharapkan menggunakan metode yang

(28)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Fluida

2.1.1 Pengertian Fluida

Fluida didefinisikan sebagai zat yang berdeformasi terus-menerus selama

dipengaruhi suatu tegangan geser. Tegangan (gaya per satuan luas) geser

terbentuk apabila sebuah gaya tangensial bekerja pada sebuah permukaan,

(Munson, et al, 2003).

Apabila benda-benda padat biasa seperti baja atau logam-logam lainnya

dikenai oleh suatu tegangan geser, mula-mula benda ini akan berdeformasi

(biasanya sangat kecil), tetapi tidak akan terus-menerus berdeformasi (mengalir).

Namun, cairan yang biasa seperti air, minyak, dan udara memenuhi definisi dari

sebuah fluida artinya, zat-zat tersebut akan mengalir apabila padanya bekerja

sebuah tegangan geser.

2.1.2 Jenis – Jenis Fluida

Cairan : Fluida yang cenderung mempertahankan volumenya karena terdiri atas

molekul-molekul tetap rapat dengan gaya kohesif yang relatif kuat dan fluida

cairan praktis tak compressible.

Gas : Fluida yang volumenya tidak tertentu karena jarak antar

molekul-molekul besar dan gaya kohesifnya kecil sehingga gas akan memuai bebas sampai

tertahan oleh dinding yang mengukungnya. Pada fluida gas, gerakan momentum

antara molekulnya sangat tinggi, sehingga sering terjadi tumbukan antar molekul.

Fluida pada dasarnya terbagi atas dua kelompok besar berdasarkan sifatnya,

yaitu fluida cairan dan fluida gas. Fluida diklasifikasikan atas 2, yaitu:

1. Fluida Newtonian : fluida – fluida yang menunjukkan hubungan linier

antara tegangan geser dan gradien kecepatan ( laju perubahan bentuk yang

(29)

2. Fluida non-Newtonian : fluida yang tegangan gesernya tidak berhubungan

secara linier terhadap laju regangan geser (laju perubahan bentuk sudut),

seperti Dilatan dan pseudoplastik

Berbagai jenis fluida non-newtonian dibedakan dengan bagaimana viskositas

nyatanya berubah dengan laju geseran.

1. Untuk fluida yang mengencer akibat geseran (shear thinning fluids),

viskositas nyatanya berkurang dengan meningkatnya laju geseran-semakin

kuat fluida mengalami geseran, maka fluida tersebut semakin encer

(viskositasnya berkurang).misalnya, cat lateks tidak menetes dari kuas

karena laju geserannya kecil dan viskositas nyatanya besar. Namun, cat

tersebut mengalir mulus pada dinding karena lapisan tipis cat antara dinding

dengan kuas mengakibatkan laju geseran yang besar dan viskositas nyata

yang kecil.

2. Untuk fluida yang mengental akibat geseran (shear thickening fluids),

viskositas nyatanya meningkat dengan peningkatan laju geseran-semakin

kuat fluida mengalami geseran, maka semakin kental tersebut (viskositasnya

bertambah). Seperti campuran air-tepung jagung (maizena) dan campuran

air-pasir (“quicksand”). Jadi, sulitnya memisahkan sebuah benda dari

campuran air-pasir akan semakin meningkat tajam jika kecepatan

pemisahan meningkat.

2.1.3 Pergerakan Fluida

Secara umum, fluida dikenal memiliki kecenderungan untuk bergerak atau

mengalir. Sangat sulit untuk mengekang fluida agar tidak bergerak. Tegangan

geser yang sangat kecil saja sudah menyebabkan fluida bergerak. Demikian pula

halnya, suatu kesetimbangan dari tegangan (tekanan) normal akan menyebabkan

(30)

Gambar 2.1: Tempat Kedudukan Partikel Yang Dinyatakan Dengan Vektor

Posisinya.

Untuk menggambarkan suatu aliran fluida harus ditentukan berbagia

parameter, tidak hanya sebagai fungsi koordinat ruang (misalnya x, y, z) tetapi

juga sebagai fungsi waktu, t.

Contohnya untuk menyatakan temperatur, T didalam sebuah ruang, maka

medan temperaturnya adalah T = T (x, y, z, t). Pada seluruh ruangan pada suatu

waktu sepanjang siang atau malam.

Salah satu variabel yang paling penting dari pergerakan fluida adalah

kecepatannya, yaitu:

�=�(�,�,�,�)�̂+ �(��,�,�,�)�̂+ �(�,�,�,�)�� (2.1)

Dimana �,�, dan � merupakan komponen vektor kecepatan dalam arah �,�, dan

�. Kecepatan sebuah partikel adalah laju perubahan per satuan waktu dari vektor posisi partikel tersebut.

Dari gambar 2.1, posisi partikel A diberikan oleh vektor posisi �_�, yang

merupakan fungsi dari waktu (jika partikel bergerak), yaitu ��

��

=

�

� 2.1.4. Jenis – Jenis Aliran Fluida

2.1.4.1. Berdasarkan Kemampuan Menahan Tekanan :

Fluida incompressible (tidak termampatkan), yaitu fluida yang tidak dapat

dikompressi atau volumenya tidak dapat ditekan menjadi lebih kecil sehingga

(31)

yang dapat dikompressi atau volumenya dapat ditekan menjadi lebih kecil

sehingga massa jenis, � nya tidak konstan.

2.1.4.2. Berdasarkan Sifat Alirannya :

Fluida bersifat Turbulen, dimana alirannya mengalami pergolakan

(berputar-putar). Fluida bersifat Laminar (stream line), dimana alirannya memiliki lintasan

lapisan batas yang panjang, sehingga dikatakan juga aliran berlapis-lapis.

2.1.4.3. Berdasarkan Sifat Kekentalannya

Aliran kental (viscous) dan aliran tak kental (inviscid) : Pada fluida yang mengalir

terdapat perpindahan massa, momentum, energi dari suatu tempat ke tempat lain.

Perpindahan pada skala molekul menimbulkan fenomena difusi massa, viskositas,

dan konduksi termal. Semua aliran molekul memperlihatkan efek phenomena

transport, aliran ini disebut dengan aliran viskous sedangkan pada aliran inviscid

aliran diasumsikan tidak ada gesekan konduksi panas dan diffusi.

2.2.Darah

Darah adalah jaringan ikat dengan sel-sel yang tersuspensi dalam plasma. Tubuh

manusia pada umumnya mengandung 4 sampai 6 L darah. Jika sampel darah

diambil, sel-sel darah dapat dipisahkan dari plasma unsur seluler yang berkisar

sekitar 45% dari volume darah akan mengendap didalam alat sentrifuge yang

diputar dengan kecepatan tertentu. Plasma darah mengandung sekitar 90% air.

Didalamnya terdapat berbagai zat yang berpindah-pindah dari satu bagian tubuh

ke bagian yang lain, yang meliputi nutrien, produk buangan metabolisme, gas-gas

respirasi, dan hormon.

Terdapat tiga unsur sel yang tersebar diseluruh plasma darah: sel darah

merah (eritrosit), yang mengangkut oksigen, sel darah putih, yang berfungsi

dalam pertahanan tubuh, dan keping darah adalah bagian-bagian sel yang terlibat

(32)

2.2.1. Sistem Peredaran Darah Pada Manusia

Sistem peredaran darah atau sistem kardiovaskular adalah suatu sistem

berfungsi memindahkan zat ke dan dari

suhu dan pH tubuh.

Ada dua jenis sistem peredaran darah: sistem peredaran darah terbuka, dan

sistem peredaran darah tertutup. sistem peredaran darah, yang merupakan juga

bagian dari kinerja

dibentuk. Sistem ini menjamin kelangsungan hidup organisme, didukung oleh

metabolisme setiap sel dalam tubuh dan mempertahankan

sifat

1. Pertama, darah mengangkut oksigen dari paru-paru ke sel dan karbon

dioksida dalam arah yang berlawanan (lihat

2. Kedua, yang diangkut dari nutrisi yang berasal pencernaan seperti lemak,

gula dan protein dari saluran pencernaan dalam jaringan masing-masing

untuk mengonsumsi, sesuai dengan kebutuhan mereka, diproses atau

disimpan.

Metabolit yang dihasilkan atau produk limbah (seperti

yang kemudian diangkut ke jaringan lain atau organ-organ ekskresi

usus besar). Juga mendistribusikan darah seperti hormon, sel-sel kekebalan tubuh

dan bagian-bagian dari sistem pembekuan dalam tubuh.

Pembuluh nadi atau arteri adalah

membawa

fungsi

utamanya adalah menghantarkan

mengangkut zat buangan seperi

kejadian kematian utama disebabkan oleh

(33)

2.2.2. Penyempitan Pembuluh Darah Arteri

Aorta adalah arteri terbesar dalam tubuh. Arteri adalah pembuluh yang membawa

darah dari jantung. Berfungsi untuk membawa dan mendistribusikan darah yang

kaya oksigen ke seluruh arteri. Didalam aorta darah mengalir lebih dari seribu kali

lebih cepat (rata-rata sekitar 30 cm/detik) dibandingkan didalam kapiler (sekitar

0,026 cm/detik). Untuk memahami mengapa aliran darah mengalami penurunan

kecepatan, perlu dipertimbangkan hukum kontinuitas, yaitu hukum mengenai

aliran cairan melalui pipa. Jika diameter suatu pipa berubah sepanjang pipa

tersebut, cairan akan mengalir lebih cepat melalui segmen yang lebih sempit

dibandingkan dengan ketika cairan mengalir melewati segmen yang lebih lebar.

Volume aliran perdetik harus konstan disepanjang pipa tersebut, dengan demikian

cairan mengalir lebih cepat ketika luas penampang menyempit.

Cairan memberikan suatu gaya yang disebut tekanan hidrostatik terhadap

permukaan yang mengadakan kontak dengan cairan tersebut, dan tekanan inilah

yang menggerakkan cairan melalui pipa tersebut. Gaya hidrostatik yang diberikan

oleh darah terhadap dinding pembuluh darah disebut tekanan darah. Tekanan

darah adalah gaya utama yang mendorong darah dari jantung melalui arteri dan

arteriola kehamparan kapiler. Cairan selalu mengalir dari daerah bertekanan tinggi

ke daerah bertekanan rendah.

(34)

2.3. Medan Percepatan

Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap waktu dari sebuah partikel.

secara umum, kecepatan partikel dinyatakan dengan �_� untuk partikel A, adalah

sebuah fungsi dari lokasinya dan waktu.

�� = ��(��,�) = �� (��(�),��(�),��(�),�) (2.2)

Dimana �_� = �_�(�), �_� = �_�(�), �_� = �_�(�) mendefinisikan lokasi dari partikel

yang sedang bergerak.

Dengan menggunakan fakta bahwa komponen kecepatan partikel diberikan oleh:

�� = ��_��, �� = ��_��, dan �� = ��_�� (2.3)

Dengan menggunakan dalil rantai turunan, maka

�� = ��_�� +�� _�� +�� _��+ �� _�� (2.4)

Gambar 2.3 : Kecepatan dan posisi dari partikel A pada waktu t.

Sehingga, medan percepatan dapat dituliskan secara umum sebagai:

�= ��

(35)

Disebut sebagai turunan material atau turunan substansial. Turunan material

digunakan untuk menggambarkan laju perubahan terhadap waktu dari sebuah

partikel. Notasi ringkas yang sering digunakan untuk operator turunan material

adalah

∇ adalah operator gradien

,

∇( ) = �( )

Persamaan kontinuitas adalah pernyataan bahwa massa kekal. Jumlah massa

dalam sebuah sistem adalah konstan. Persamaan kontinuitas diturunkan dari

persamaan kekekalan massa.

Maka persamaan differensial untuk kekekalan massa (persamaan

kontinuitas) dengan massa jenis, � dan vektor kecepatan arusnya, v. Persamaan

kontinuitas dapat dituliskan adalah

��

Persamaan ini berlaku untuk aliran yang tunak dan tak tunak, dan fluida

mampu-mampat ataupun tak mampu-mampu-mampat. Dalam notasi vektor dapat dituliskan,

��

�� + �.��= 0

(2.11)

Untuk fluida tak mampu-mampat (incompressible), massa jenis fluida, � konstan.

Persamaan (2.10) dapat disederhanakan menjadi

(36)

Atau ��

Hal ini sesuai dengan menyatakan bahwa tidak terdapat dilatasi (pembesaran) dari

volume lokal.

2.5. Persamaan – Persamaan Gerak

Persamaan gerak diperoleh dengan penerapan hukum kedua Newton untuk

turunan volume (��) pada massa ��.

��= �� (2.13)

Gaya resultan , ��, yang bekerja pada massa differensial adalah kombinasi dari

gaya permukaan resultan (��_�) dan gaya badan (��_�)

�� =��_�+ ��_� (2.14)

�� =�� (2.15)

�� = ��̂+ ��̂+ �� (2.16)

Dimana komponen – komponennya:

�� = �� (2.17 a)

Dimana � adalah pernyataan vektor percepatan gravitasi, � adalah tegangan

normal, dan � adalah tegangan geser.

Dalam bentuk komponen, persamaan (2.12) dapat ditulis dalam bentuk

�� =�� (2.19 a)

(37)

�� = �� (2.19 c)

Dimana ��= ��, sehingga

��+ ��_�� + ��_�� + ��_�� = � ��_�� +� ��_��+� ��_��+ � ��_��

(2.20 a)

�� + ��_�� + ��_�� + ��_�� = � ��_�� +� ��_��+� ��_��+ � ��_�� (2.20 b)

�� + ��_�� + ��_�� + ��_�� = � ��_�� +� ��_��+� ��_�� + � ��_{�� } (2.20 c)

Dimana volume elemen �� saling meniadakan

Gambar 2.4: gaya – gaya permukaan dalam arah x yang bekerja pada elemen

fluida

Untuk fluida yang didalamnya tidak terdapat tegangan geser (tanpa gesekan /

inviscid / nonviskos), tegangan normal pada sebuah titik tidak tergantung pada

arahnya, artinya �_�� = �_�� = �_�� . Dalam hal ini, tekanan didefinisikan sebagai

negatif dari tegangan normal, sehingga

(38)

2.6. Hubungan Tegangan-Deformasi

Untuk fluida Newtonian tak mampu-mampat, diketahui bahwa tegangan

berbanding lurus terhadap laju deformasi dan dapat dinyatakan dalam koordinat

Cartesius sebagai (untuk tegangan normal)

�� = −�+ 2��_�� (2.22)

Dimana p adalah tekanan yang merupakan negatif dari rata-rata tiga tegangan

normal, artinya −�= �1

3� �� +�� +��

2.7. Persamaan Navier-Stokes

Tegangan yang telah didefinisikan sebelumnya dapat disubstitusikan kedalam

persamaan diferensial gerakan dan disederhanakan dengan menggunakan

persamaan kontinuitas untuk mendapatkan

(39)

� ��_�� +� ��

Suku-suku percepatan berada di ruas kiri dan suku-suku gaya diruas kanan.

Persamaan (2.26) disebut sebagai persamaan Navier-Stokes , dinamakan demikian

untuk menghormati ahli matematika Prancis, L.M.H Navier (1758-1836) dan ahli

mekanika Inggris Sir G.G.Stokes (1819-1903), yang menemukan rumus-rumus

tersebut. Persamaan Navier-Stokes dianggap sebagai persamaan differensial

pengatur dari gerakan fluida Newtonian tak mampu-mampat.

2.8. Potensial Kecepatan

Dimana ∅ disebut sebagai potensial kecepatan. Untuk suatu fluida tak mampu

mampat dari kekekalan massa bahwa

� .�=�

Dan oleh karena itu untuk aliran tak mampu-mampat, tak berotasi (dengan

�= �∅)

Fungsi arus didefinisikan sebagai

� = ��

��, dan �= − ��

�� v (2.31)

Sehingga persamaan kontinuitas dengan ��

�� = 0 terpenuhi untuk semua aliran

(40)

�� −

�� = 0

(2.32)

Dan dinyatakan dalam fungsi arus

�2_�

��2 +

�2_�

��2 = 0

(2.33)

Tiga sifat dari fungsi arus adalah:

• Fungsi arus memiliki nilai konstan di sepanjang streamline

• Streamline dan garis potensial konstan berpotongan pada sudut siku-siku

• Selisih fungsi-fungsi arus diantara dua garis arus adalah laju aliran � persatuan kedalaman diantara kedua garis arus, sehingga � = �₂− �₁

Untuk sebuah aliran tak-berotasi pada bidang, dapat menggunakan baik itu

potensial kecepatan atau fungsi arus, keduanya harus memenuhi persamaan

Laplace dua-dimensi.

2.10. Metode Elemen Hingga

Metode elemen hingga (MEH) adalah metode numerik yang digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan teknik dan problem matematis suatu gejala phisis

(Susatio, 2004).

Konsep dasar metode elemen hingga adalah:

1. Menjadikan elemen – elemen diskrit untuk memperoleh

simpangan-simpangan dan gaya-gaya anggota dari suatu struktur

2. Menggunakan elemen-elemen kontinu untuk memperoleh solusi pendekatan

terhadap permasalahan mekanika fluida, perpindahan panas, dan mekanika

solid

Langkah untuk menyelesaikan permasalahan fisik dengan metode elemen

hingga, yaitu:

Solusi dari masalah kontinum umum dengan metode elemen hingga selalu

mengikuti proses secara bertahap. Berkenaan dengan permasalahan struktural

(41)

1. Struktur dibagi menjadi elemen-elemen diskrit (diskritisasi),

2. Pilih interpolasi yang tepat atau model perpindahan (displacement),

3. Turunkan elemen matriks kekakuan dan vektor beban (gaya),

4. Merakit persamaan elemen untuk mendapatkan persamaan ekulibrium

keseluruhan,

Karena struktur yang terdiri dari beberapa elemen hingga, elemen

individual matriks kekakuan dan vektor beban yang akan dirakit dengan

cara yang sesuai dan persamaan ekuilibrium keseluruhan telah

dirumuskan sebagai

[�]Φ��⃗= P��⃗ (2.34)

di mana [�] adalah matriks kekakuan,Φ��⃗ adalah vektor perpindahan

nodal, dan P��⃗ adalah vektor dari gaya nodal untuk struktur lengkap.

5. Memecahkan untuk perpindahan nodal tidak diketahui,

6. Hitung elemen strain dan tekanan.

2.11. Diskritisasi Domain

Langkah awal dari metode elemen hingga adalah membagi daerah/ benda dalam

bagian – bagian kecil (disebut elemen). Langkah ini disebut sebagai diskritisasi.

Objek satu dimensi dibagi ke segmen garis pendek. Badan dua-dimensi dapat

dibagi menjadi segitiga, persegi panjang, segiempat atau sub daerah lain yang

sesuai.

(42)

(a) (b) (c)

(d)

Gambar 2.6 : Elemen Dua-Dimensi

(43)

(c)

Gambar 2.7 : Elemen Tiga –Dimensi

(a) (b)

Gambar 2.8 : elemen axisimetri

2.12. Fungsi Interpolasi (Elemen Simpleks Dua Dimensi)

Metode elemen hingga didasarkan atas konsep pendekatan dari fungsi – fungsi

kontinu (seperti temperatur, tekanan, dan perpindahan) ke model diskrit. Bentuk

yang sering digunakan dari fungsi interpolasi adalah bentuk polinomial. Derajat

dari polinomial dipilih bergantung pada banyaknya item yang diketahui dari

fungsi kontinu pada setiap elemen. Terdapat tiga macam fungsi interpolasi yang

dipakai dalam metode elemen hingga, yaitu: simpleks, kompleks, dan multipleks

(Susatio, 2004).

Elemen simpleks adalah pendekatan yang dilakukan dengan polinomial

(44)

polinomial sama dengan dimensi dari koordinat ruang yang ada ditambah satu

(Susatio, 2004).

Titik-titik tertentu dalam elemen-elemen, seperti sudut-sudut elemen segitiga,

ditunjuk sebagai titik nodal. Biasanya, polinomial digunakan sebagai fungsi

interpolasi karena mudah untuk didiferensialkan dan diintegralkan. Setiap fungsi

interpolasi polinomial akan selalu kontinu dalam suatu elemen., sehingga kondisi

tersebut berlaku untuk batas antar elemen. Elemen simpleks memiliki polinomial

linier (Allaire, 1985).

Elemen axisimetri terbentuk dari suatu luasan yang diputar disekitar sumbu yang

terletak pada luasan tersebut. Untuk elemen simpleks axisimetri adalah elemen

segitiga dengan fungsi interpolasi linier berbentuk

� (�,�) = �₁+�₂�+�₃� (2.35)

� (�,�) = �₄+�5�+�6� (2.36)

Banyaknya koefisien �_� adalah 6, yang sama dengan jumlah derajat kebebasan

elemen.

Displacement nodal adalah:

|�| = �

Evaluasi u pada node i:

�(�_� ,�_�) =�_� = �1+ �2��+ �3��

Bentuk umum dari fungsi displacment dinyatakan dalam bentuk matriks adalah:

(45)

(2.38)

Dengan mensubsitusikan koordinat nodal pada persamaan 2.36, maka besarnya a

masing-masing adalah

Untuk invers matriks pada persamaan 2.37 dan 2.38, dihasilkan

��12

2.13. Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor

Matriks karakteristik dan vektor karakteristik dari elemen hingga dapat diturunkan

(46)

2.13.1.Direct Approach (Pendekatan Langsung)

Metode ini ditunjukkan bersama dengan beberapa contoh dari bagian yang

berbeda. Metode ini didasari oleh penggunaan penalaran fisik untuk membangun

sifat elemen, yakni matriks karakteristik dan vektor dalam bentuk variabel yang

bersangkutan. Karena pendekatan menggunakan prinsip dasar dari ilmu teknik,

hal itu membantu memahami secara fisik dari metode elemen hingga.

Bagaimanapun, metode ini hanya sesuai untuk masalah sederhana, kesulitan yang

muncul dapat diatasi dengan menggunakan metode untuk masalah yang kompleks

dengan memasukkan dua dan tiga dimensi elemen hingga. Sehingga metode

langsung ini tidak digunakan dalam analisis elemen hingga dari masalah yang

paling praktis.

2.13.2.Varitional Approach (Pendekatan Variasi)

Pada metode ini, analisis elemen hingga diartikan sebagai pendekatan untuk

menyelesaikan masalah varisional. Karena banyak masalah fisik dan teknik dapat

di rumuskan dalam bentuk varisional, metode elemen hingga mudah diterapkan

untuk menemukan solusi pendekatannya. Pendekatan varisional paling banyak

diggunakan dalam literatur untuk merumuskan persamaan elemen hingga.

Keterbatasan utama dari metode ini adalah bahwa ia memerlukan masalah fisik

atau teknik untuk dinyatakan dalam bentuk varitional, yang tidak mungkin dalam

semua kasus.

2.13.3.Weight Residual Approach (Pendekatan Residu Bobot)

Dalam metode ini, elemen matriks dan vektor di turunkan secara langsung dalam

persamaan differensial umum tanpa bergantung dari masalah tanpa tergantung

pada pernyataan varisional dari masalah. Metode ini menawarkan prosedur yang

paling umum untuk menurunkan persamaan elemen hingga dan dapat diterapkan

untuk hampir semua masalah praktis ilmu pengetahuan dan rekayasa. Dalam

pendekatan residu bobot, prosedur penurunan, seperti metode Galerkin dan

metode kuadrat kecil (Least Square) dapat digunakan untuk menurunkan

(47)

2.14. Formula Weak

Persamaan weak form biasanya dalam bentuk integral dan memerlukan

kontinuitas lemah pada variabel bidang. Karena kebutuhan yang lebih

lemah pada variabel bidang dan bentuk integral dari persamaan yang

mengatur, formulasi didasarkan pada weak form yang diharapkan

mengarah pada suatu himpunan persamaan untuk sistem diskrit yang

menghasilkan hasil yang lebih akurat, terutama untuk sistem yang

melibatkan geometri yang kompleks. Oleh karena itu, jenis weak form dari

formulasi adalah lebih disukai untuk mendapatkan suatu solusi pendekatan.

Dengan demikian, metode elemen hingga, berdasarkan weak form dari

formulasi seperti prinsip energi atau pendekatan residual tertimbang, telah

menjadi sangat populer.Contoh berikut menunjukkan keuntungan dari

formulasi weak form.

Contoh:

Persamaan yang mengatur defleksi balok, �(�), diberikan oleh

��_��4�₄ =�(�) (C.1)

di mana �(�) adalah gaya didistribusikan sepanjang balok. Untuk balok

kantilever dikenakan beban akhir dan momen akhir seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 2.9, mencari defleksi balok menggunakan

metode Galerkin dengan solusi diasumsikan

��(�) =��(�) =�(3�2_{� − �}3₎ _(C.2)

di mana �(�) adalah fungsi trial dan � adalah konstanta. Juga,

menunjukkan keuntungan dari formulasi weak.

3.

Gambar 2.10. Kantilever beam dikenakan beban dan momen

(48)

Solusi:

Karena beban didistribusikan �(�) = 0 untuk balok yang ditunjukkan pada

Gambar 2.9, persamaan yang mengatur (governing equation) menjadi

��

4_�

��4 = 0 (C.3)

Dalam metode Galerkin, konstanta �dalam solusi diasumsikan ditemukan

dengan menggunakan hubungan

bobot/tertimbang yang diberikan oleh persamaan (C.2). Persamaan (C.4)

dapat ditulis kembali sebagai

� ��

Karena turunan keempat ��(�) adalah nol, akan dikurangi orde turunan

tertinggi ��(�) dengan mengintegrasikan per bagian (integral by parts)

persamaan (C.5):

Integrasi suku kedua di sisi kiri dari persamaan (C.6) per bagian

(49)

Dengan menggunakan dua kondisi pertama persamaan (C.8), persamaan

(C.7) dapat dinyatakan sebagai

� ��_��2�₂�_��2��₂ ��

Dari persamaan (C.2) dan Gambar 2.9 diperoleh

�(�) = 2�3_,�� Integral pada persamaan (C.9) dapat dihitung dengan hubungan pada

persamaan (C.2) sebagai

Gunakan persamaan (C.10) dan (C.11) pada persamaan (C.9), konstanta C

dapat ditemukan sebagai berikut:

�= �0 ��+

�0

4�� (C.12)

Maka, solusi pendekatan untuk defleksi balok menjadi

��(�) =��0 ��+

�0

4��(3�

2_{� − �}3₎ _(C.13)

yang menghasilkan defleksi pada ujung bebas (�= �) sebagai

��(�) =�0�

trial dan � integral berikut residu tertimbang ditetapkan sama dengan nol:

� ��

= 0 (2.41)

Persamaan (2.40) menyatakan � persamaan simultan di � tidak diketahui,

(50)

Misalkan persamaan diferensial pengatur (governing) dari masalah ekuilibrium

diberikan oleh

�(�) =� dalam � (2.42)

dan kondisi batas

��(�) = g�, �= 1, 2, … ,� pada � (2.43)

Metode Galerkin mengharuskan

� �� − �� = 0 �

, �= 1, 2, … ,� (2.44)

di mana fungsi trial �_� dalam solusi pendekatan

� =� �_��_� �

�=1

(2.45)

diasumsikan memenuhi kondisi batas persamaan (2.42). Perhatikan bahwa �_�

didefinisikan atas seluruh domain dari persoalan. Persamaan (2.43) dapat berlaku

untuk elemen � sebagai

��(�)_{� − �}(�)_��

�(�) ∙ ��(�) = 0, � = 1, 2, … ,� �(�)

(2.46)

di mana model interpolasi diambil dalam bentuk standar seperti

�(�) ₌_��(�)_�Φ��⃗(�) ₌_{� �}

�(�)Φ�(�) �

(2.47)

Persamaan (2.45) memberikan persamaan elemen hingga yang diperlukan untuk

elemen khusus. Persamaan elemen ini harus dirakit untuk mendapatkan sistem

(51)

2.16. Software Comsol

Comsol adalah software simulasi elemen hingga, yang pada dasarnya dapat

mensimulasikan berbagai aplikasi fisika dan teknik, seperti mensimulasikan

perpindahan panas melalui struktur yang kompleks, kristal fotonik pada skala

nano, lentur mekanik balok, aliran cairan, proses elektrokimia, fisika plasma dan

lainnya. Comsol Multiphysics 4.2 merupakan ekspansi yang signifikan dari

aplikasi software, fitur dan fungsi. Keuntungan utama dalam menggabungkan

simulasi komputer dan analisis prinsip-prinsip utama adalah bahwa penggguna

dapat mencoba banyak pendekatan yang berbeda untuk solusi dari masalah yang

sama yang diperlukan untuk mendapatkan solusi yang benar (atau setidaknya

mendekati benar).

(52)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Darah merupakan komponen penting di dalam tubuh sebagai alat transportasi

untuk metabolisme tubuh. Sistem peredaran darah atau sistem kardiovaskular

merupakan suatu sistem

pertukaran dengan sel-sel tubuh. Proses peredaran darah dipengaruhi oleh

kecepatan darah, luas penampang pembuluh darah, tekanan darah dan kerja otot

yang terdapat pada jantung dan pembuluh darah. Akibat dari aktivitas yang tidak

sehat, seperti merokok, mengonsumsi minuman keras, makan terlalu banyak

garam, tidak aktif berolahraga, dan sebagainya, mempengaruhi pengembangan

dan perkembangan penyakit arteri. Arteri yang menyempit disebabkan oleh

perkembangan plak (plaque) atau kerak yang berkembang pada dinding bagian

dalam arteri, dan menyempitkan luas pembuluh darah. Salah satu konsekuensi

paling serius adalah resistansi aliran meningkat dan terjadi pengurangan jumlah

aliran darah ketempat tertentu yang dipasok melalui arteri sehingga menyebabkan

kematian jaringan otot atau saraf dalam satu atau lebih arteri koroner, yang

mengalirkan darah yang membawa oksigen. Hal tersebut akan mengakibatkan

terjadinya Penyakit Kardiovaskuler yang umumnya mengakibatkan serangan

jantung atau stroke.

Gambar 1.1: Aliran Darah Yang Terjadi Pada Pembuluh Darah Tanpa

(53)

Cairan memberikan suatu gaya yang disebut tekanan hidrostatik terhadap

permukaan yang mengadakan kontak dengan cairan tersebut, dan tekanan inilah

yang menggerakkan cairan melalui pipa tersebut. Gaya hidrostatik yang diberikan

oleh darah terhadap dinding pembuluh darah disebut tekanan darah. Tekanan

darah adalah gaya utama yang mendorong darah dari jantung melalui arteri dan

arteriola kehamparan kapiler. Cairan selalu mengalir dari daerah bertekanan tinggi

ke daerah bertekanan rendah.

Dari permasalahan perubahan tekanan darah yang disebabkan perubahan

pengembangan arteri (pembuluh darah), maka peneliti akan melakukan analisis

pada penyempitan pembuluh darah. Analisis pembuluh darah ini cukup rumit dan

memerlukan perhitungan yang besar, oleh karena itu pemakaian komputer untuk

analisis ini akan mengurangi kesulitan

Teknik-teknik numerik berbasis komputer sangat luas digunakan untuk

menyelesaikan persoalan fluida yang rumit. Dari berbagai teknik yang tersedia

untuk penyelesaian numerik dari persamaan-persamaan differensial pengatur

aliran fluida, tiga jenis berikut adalah yang paling banyak digunakan: Metode

Beda Hingga, Metode Elemen Hingga (atau Volume Hingga), dan Metode Batas

Hingga. Dalam setiap metode ini medan aliran yang kontinu (misalnya kecepatan

atau tekanan sebagai fungsi ruang dan waktu) digambarkan dalam nilai-nilai

diskrit (bukan kontinu) pada lokasi yang telah ditentukan. Dalam teknik ini

persamaan diferensial digantikan dalam sehimpun persamaan-persamaan aljabar

yang dapat diselesaikan dengan komputer.

Dalam penelitian ini, persoalan aliran darah pada pembuluh darah akan

diselesaikan dengan menggunakan Metode Elemen Hingga (atau Volume Hingga)

pada persamaan Navier-Stokes. Untuk Metode Elemen Hingga (atau Volume

Hingga) , medan aliran dipecah menjadi sekumpulan elemen-elemen fluida kecil

(biasanya bidang segitiga jika aliran dua-dimensi). Persamaan-persamaan

kekekalan (yaitu kekekalan massa, momentum dan energi) dituliskan dalam

bentuk yang sesuai untuk setiap elemen dari himpunan persamaan aljabar yang

dihasilkan dengan penyelesaian secara numerik untuk medan aliran jumlah,

ukuran, dan bentuk dari elemen ini sebagian ditentukan oleh geometri aliran dan

(54)

Persamaan Navier-Stokes adalah persamaan differensial dasar yang

menggambarkan aliran dari fluida Newtonian tak mampu-mampat. Aplikasi dari

Metode Elemen Hingga banyak dilakukan pada problem kompleks seperti

rekayasa struktur, Steady State dan Time Dependent Heat Transfer, Fluid Flow,

dan Electrical Potential Problem, aplikasi bidang medikal.

Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penulis memilih judul penelitian

ini dengan, “Implementasi Metode Elemen Hingga dalam Persoalan Aliran

Darah pada Pembuluh Darah ”

1.1. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan diteliti adalah bagaimana distribusi tekanan didalam

pembuluh darah yang mengalami penyempitan dengan menggunakan Metode

Elemen Hingga pada Persamaan Navier Stokes

1.2. Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, penulis memiliki batasan dalam penelitian yang dilakukan

yaitu terbatas pada persoalan penyempitan aliran darah dalam pembuluh darah

arteri yang disimulasikan dengan software Comsol Multiphysics 4.2

1.3. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk Mengetahui bagaimana distribusi tekanan

aliran darah pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan dan yang

mengalami penyempitan

1.4. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai gambaran mengenai implementasi

Metode Elemen Hingga dalam distribusi tekanan pada pembuluh darah yang tidak

(55)

1.5. Metodologi Penelitian

Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah

sebagai berikut:

1. Memaparkan hubungan konsep aliran darah pada Persamaan Navier-Stokes.

2. Menentukan kondisi awal dan batas

3. Mencari formula weak dari persamaan Navier - Stokes

4. Menentukan model matematika dengan Metode Elemen Hingga

5. Perhitungan elemen matriks dan elemen vector dengan bantuan software

comsol 4.2

6. Menentukan model aliran jika terjadi penyempitan sebesar 25%, 50% dan

75% pada pembuluh darah

7. Menggunakan bantuan software comsol 4.2 untuk memberikan visualisasi

(56)

1.6. Kerangka Penelitian

Berikut adalah kerangka penelitian yang akan dilakukan dari keterangan

metodologi penelitian:

Aliran darah pada pembuluh darah

Persamaan Navier-Stokes

Metode Galerkin Kondisi Awal Dan Batas

Metode Elemen Hingga

(57)

IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH

ABSTRAK

Proses peredaran darah dipengaruhi oleh kecepatan darah, luas penampang

pembuluh darah, tekanan darah dan kerja otot yang terdapat pada jantung dan

pembuluh darah. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana distribusi

tekanan darah yang terjadi pada pembuluh darah yang tidak mengalami

penyempitan dan yang mengalami penyempitan oleh plak (plaque) sebesar 25%,

50% dan 75% dari radius pembuluh darah dengan mengimplementasikan metode

elemen hingga pada persamaan Navier-Stokes yang merupakan persamaan

differensial dasar yang menggambarkan aliran dari fluida Newtonian

takmampu-mampat. Dalam metode elemen hingga, medan aliran dipecah menjadi

sekumpulan elemen-elemen fluida kecil (diskritisasi domain), dalam penelitian ini

peneliti menggambarkan aliran darah 2D-Axisimetri, kemudian dipilih fungsi

interpolasi linier untuk elemen 2D-Axisimetri, dan menurunkan elemen matriks

dan vektor dengan metode Galerkin untuk mendapatkan persamaan global. Hasil

penelitian dari penelitian dengan bantuan komputer, memperlihatkan distribusi

tekanan aliran darah dari variasi bentuk pembuluh darah. Hasil simulasi Comsol

menunjukkan bahwa tekanan yang terjadi dari variasi bentuk pembuluh darah

tidak mengalami perubahan yang signifikan, namun untuk tegangan yang terjadi

pada variasi bentuk pembuluh darah dapat disimpulkan bahwa semakin besar

penyempitan, maka semakin besar tegangan aliran darah.

(58)

IMPLEMENTATION OF FINITE ELEMENT METHOD FOR THE PROBLEM OF BLOOD FLOW IN BLOOD VESSEL

ABSTRACT

The process of blood circulation influenced by the speed of blood, sectional area

of blood vessels, blood pressure and muscle work which is at the heart and blood

vessels. This research aims to see how the distribution of blood pressure that

occurs in blood vessels that are not narrowed and narrowed by plaque (plaque) by

25%, 50% and 75% of the radius of the blood vessels. by implementing the finite

element method to the Navier-Stokes equations that constitute the basis of

differential equations that describe the flow of Newtonian fluid is incompressible.

In the finite element method, the flow field is broken down into a set of elements

of the fluid is small (discretization of the domain), in this study the researchers

describe the flow of water 2D, then have the function of a linear interpolation of

the element 2D, and derivation of element matrices and vectors with Galerkin

method to get the global equation. The results of the research with the help of

computers, the distribution of blood flow from the pressure variation in blood

vessels. COMSOL simulation results show that the pressure of the variation in

blood vessels did not change significantly, but for the stress that occurs in a

variety of shapes blood vessels can be concluded that the greater the constriction ,

the greater the stress bloodflow.

(59)

IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM

PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH

SKRIPSI

ABNIDAR HARUN POHAN

120803006

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

(60)

IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM

PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai

gelar Sarjana Sains

ABNIDAR HARUN POHAN

120803006

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(61)

PERSETUJUAN

Judul

Kategori

Nama

Nomor Induk Mahasiswa

Program Studi

Departemen

Fakultas

: Implementasi Metode Elemen Hingga Dalam Aliran

Persoalan Darah Pada Pembuluh Darah

: Skripsi

: Abnidar Harun Pohan

: 1208030006

: Sarjana (S1) Matematika

: Matematika

: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Disetujui di

Medan, Juni 2016

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Drs. Suyanto,M.Kom Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D

NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 19620901 198803 1 002

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU,

Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D

(62)

PERNYATAAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2016

Abnidar Harun Pohan

(63)

PENGHARGAAN

Puji syukur penulis kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, yang telah

melimpahkan rahmat dan karuniaNya serta memberikan banyak kemudahan

sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Implementasi

Metode Elemen Hingga dalam persoalan Aliran Darah pada Pembuluh Darah”.

Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah Shallalahu ‘Alaihi wa

Sallam, keluarga, para sahabat dan orang-orang yang mengikutinya.

Terima kasih penulis sampaikan kepada Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D

selaku pembimbing 1 dan ketua Departemen Matematika yang banyak berjasa

kepada penulis dimana beliau telah meluangkan waktu dan pikirannya,

memberikan pengarahan, saran dan kritik terkait penulisan skripsi ini. Terima

kasih kepada bapak Drs. Suyanto, M.Kom selaku pembimbing 2, yang telah

meluangkan waktu, pikiran, dan saran untuk perbaikan skripsi ini.

Terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku

penguji 1 dan bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom selaku penguji 2 yang

telah meluangkan waktu, pikiran dan memberikan kritik maupun saran untuk

perbaikan skripsi ini dan sebagai pembelajaran bagi penulis.

Terima kasih penulis sampaikan kepada seluruh dosen Matematika USU

yang telah membagikan ilmu kepada penulis selama masa perkuliahan, Dekan dan

Wakil Dekan FMIPA USU, dan seluruh staff administrasi FMIPA USU.

Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada orang tua penulis

yang begitu sabar dan selalu mendukung penulis baik secara moril maupun

materi. Semoga Tuhan memberikan balasan kebaikan atas segala bantuan yang

telah semua berikan kepada penulis. Atas perhatiannya penulis ucapkan terima

kasih, penulis berharap tulisan ini bermanfaat bagi penulis sendiri maupun bagi

orang lain.

Medan, Juni 2016

(64)