PARAMETER ESTIMATION OF THE CONSTANT ELASTICITY OF SUBTITUTIONS (CES) PRODUCTION MODEL WITH NONLINEAR LEAST SQUARE METHOD

(1)

PENDUGAAN PARAMETER

MODEL PRODUKSI CONSTANT ELASTICITY OF SUBTITUTIONS (CES) DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL NONLINEAR

Oleh

Noferdis Setiawan

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(2)

ABSTRACT

PARAMETER ESTIMATION

OF THE CONSTANT ELASTICITY OF SUBTITUTIONS (CES) PRODUCTION MODEL WITH NONLINEAR LEAST SQUARE METHOD

By

NOFERDIS SETIAWAN

Constant Elasticity of Subtitutions (CES) production model is one of nonlinear model intrisically nonlinear. The aim of parameters estimation is to get parameters value of CES production model. Parameters estimation of the CES production model use nonlinear least square method. In nonlinear least square method, if the sum square of error are minimum it will get the normal equations.

The result of this study get the equations which is cannot be solved analytically. So that itterative methods are necessary. This study are using Newton Rapshon method in SAS. Newton Rapshon method need Starting Value. If not sure about the starting values, it can use a grid by offering SAS more than one starting value. It will calculate the initial residual sum of squares for all combinations of starting values and start the iterations with the best set. The values of parameter with least sum of square are starting values.

(3)

(4)

(5)

(6)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... xiv

DAFTAR TABEL ... xv

I. PENDAHULUAN 1.1Latar Belakang dan Masalah ... 1

1.2Tujuan Penelitian ... 3

1.3Manfaat Penelitian ... 3

II. LANDASAN TEORI 2.1Model Nonlinear ... 4

2.2Model Produksi Constant Elasticity of Subtitutions (CES) ... 5

2.3Pendugaan Parameter ... 6

2.4Metode Pendugaan Kuadrat Terkecil Nonlinear (Nonlinear Least Square Estimation) ... 7

2.5Metode Newton Raphson ... 8

III. METODELOGI PENELITIAN 3.1Waktu dan Tempat Penelitian ... 10

3.2Metode Penelitian ... 10

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1Pendugaan Parameter Model Nonlinear model produksi CES dengan Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear ... 12

4.1.1 Pendugaan parameter ... 12

4.2Metode Newton Rapshon untuk Pendugaan Parameter 1, 2, dan 3 ... 18

4.3 Simulasi ... 25

V. KESIMPULAN

(7)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Analisis regresi merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelidiki

atau membangun model hubungan antara beberapa variabel. Dalam analisis

regresi terdapat 2 bentuk model yaitu model linear dan model nonlinear. Suatu

model dikatakan linear bila segugus data diplotkan dan terletak pada suatu garis

lurus. Tetapi bila segugus data tersebut tidak terletak pada suatu garis lurus atau

membentuk suatu kurva maka ini disebut model nonlinear.

Model nonlinear dapat dibedakan menjadi dua yaitu model nonlinear pada

variabel dan model nonlinear pada parameter. Berikut ini berturut-turut contoh

model nonlinear pada variabel dan model nonlinear pada parameter

(1.1)

(1.2)

Model nonlinear pada parameter dapat dibagi menjadi dua yaitu model nonlinear

secara intrinsik linear (intrisnsically linear) dan nonlinear secara intrinsik nonliear

(8)

2 yang dapat ditransformasi kedalam bentuk linier dengan menggunakan fungsi ln.

Sedangkan model nonlinear secara intrinsik nonlinear adalah model yang tidak

dapat ditranformasi kedalam bentuk linear. Sebagai contoh diberikan model

nonlinear secara intrinsik linear (intrisnsically linear) dan nonlinear secara

intrinsik nonliear (intrinsically nonlinear)

(1.3)

jika Persamaan (1.3) ditransformasi dengan fungsi ln, sehingga diperoleh

Persamaan sebagai berikut

(1.5)

Untuk contoh model nonlinear secara intrinsik nonliear (intrinsically nonlinear)

banyak ditemukan pada model-model ekonomi salah satunya adalah model

produksi CES (Constant Elasticity of Subtitutions). Bentuk model produksi CES

dapat dilihat pada Persamaan (1.2) meskipun dilakukan transformasi dengan

fungsi ln, Persamaan (1.2) tetap dalam bentuk nonlinear.

Berdasarkan uraian diatas penulis tertarik dilakukanya pendugaan

parameter-parameter pada model nonlinear secara intrinsik nonlinear yaitu model produksi

CES. Dengan diminimumkan jumlah kuadrat akan diperoleh Persamaan normal

dan dikembangkan suatu teknik iteratif untuk memecahkanya. Metode pendugaan

dan iteratif yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kudrat terkecil

(9)

3 1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dalam penelitian ini adalah :

1. Menduga parameter model nonlinear secara intrinsik nonlinear dengan

menggunakan metode kuadrat terkecil nonlinear (Nonlinear Least Square).

2. Mendapatkan nilai dugaan bagi parameter model nonlinear secara intrinsik

nonlinear dengan metode Newton Rapshon.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Dapat menambah pengetahuan tentang model nonlinear.

2. Dapat menambah pengetahuan tentang metode kuadrat terkecil nonlinear.

(10)

II. LANDASAN TEORI

2.1 Model Nonlinear

Model nonlinear merupakan bentuk hubungan antara peubah respon dengan

peubah penjelas yang tidak linear dalam parameter. Secara umum model nonlinear

ditulis sebagai berikut :

(2.1)

(i= 1,2,...,n)

dengan,

: peubah respon ke-i

f(.) : fungsi nonlinear

: peubah penjelas respon ke-i

: parameter

: galat ke-i

diasumsikan saling bebas dan menyebar normal dengan nilai tengah 0 dan

ragam σ2 .

Model nonlinear dapat dibagi menjadi dua yaitu model nonlinear secara intrinsik

linear (intrisnsically linear) dan nonlinear secara intrinsik nonliear (intrinsically

nonlinear). Model yang secara intrinsik linear adalah model nonlinear yang dapat

(11)

5 nonlinear yaitu model yang tidak bisa ditransformasi menjadi bentuk linear

(Draper and Smith, 1981).

Adapun contoh model nonlinear secara intrinsik nonlinear yaitu pada model

produksi CES (Constant Elasticity of Subtitution), yaitu fungsi dengan elastisitas

konstan.

2.2 Model Produksi CES (Constant Elasticity of Subtitutions)

Menurut Rasidin dan Bonar (2006) fungsi constant elasticity of subtitution

disingkat dengan CES dikembangkan oleh Arrow, Chenery, Minhan, dan Solow

(1961). Elastisitas subtitusi adalah ukuran bagaimana perusahaan dengan mudah

mensubtitusikan satu input dengan input lainnya untuk menjaga tingkat produksi

pada level yang sama.

Model produksi CES didefinisikan sebagai berikut :

(2.2)

Dimana Y=output, x1=input kapital, x2=input tenaga kerja, dengan >0, 0< <1,

dan ≥-1 serta merupakan input bivariat. dinyatakan sebagai

parameter efisiensi, sebagai parameter distribusi, sebagai parameter

subtitusi, dan sebagai parameter return to scale. Berikut model produksi CES

dinyatakan dalam bentuk logaritma natural:

(2.3)

Dapat dilihat model produksi CES pada Persamaan 2.3 tidak dapat ditransformasi

(12)

parameter-6 parameter dari model produksi CES. Pendugaan parameter akan dijelaskan pada

subbab 2.3 Pendugaan Parameter.

2.3 Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter adalah proses untuk menduga atau menaksir parameter

populasi yang tidak diketahui berdasarkan informasi dari sampel. Menurut Hoog

dan Craig (1995), kriteria penduga yang baik adalah takbias, varians minimum,

konsisten, statistik cukup dan kelengkapan. Berikut ini hanya akan dibahas dua

kriteria penduga yang baik, yaitu takbias dan varians minimum karena dianggap

sudah cukup untuk melihat suatu penduga yang baik.

1. Takbias. Suatu statistik dikatakan penduga tidak bias dari parameter apabila nilai harapan penduga sama dengan parameter , sebaliknya jika nilai

harapan statistik tersebut tidak sama dengan parameter maka disebut

penduga yang berbias.

2. Varians Minimum. Suatu penduga U(X) dikatakan mempunyai varians minimum apabila penduga tersebut memiliki varians yang kecil. Apabila

terdapat lebih dari satu penduga, penduga yang efisiens adalah penduga yang

memiliki varians terkecil.

Dalam penelitian ini metode pendugaan yang digunakan untuk menduga model

produksi CES adalah metode kuadrat terkecil nonlinear. Definisi metode kuadrat

(13)

7 2.4 Metode Pendugaan Kuadrat Terkecil Nonlinear (Nonlinear Least

Square Estimation)

Misalkan model nonlinear yang dipostulat dengan bentuk :

(2.4)

misalkan

maka Persamaan (2.3) dapat diringkas menjadi :

(2.5)

dengan asumsi dan maka jumlah kuadrat

galat untuk model nonlinear di atas didefinisikan sebagai berikut :

(2.6)

Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi akan dilambangkan dengan . Nilai dugaan ini adalah nilai yang meminimumkan . Untuk mendapatkan nilai dugaan

kuadrat terkecil yaitu dengan mendiferensialkan Persamaan (2.5) terhadap

kemudian disamadengankan nol. Ini akan menghasilkan Persamaan normal

dengan bentuk :

(2.7)

Persamaan (2.6) disebut Persamaan normal untuk model nonlinear. Kebanyakan

model nonlinear tidak dapat diselesaikan secara analitik, maka diperlukan metode

iterasi. Salah satu cara yang digunakan adalah dengan teknik iteratif yaitu metode

Newton Raphson. Metode ini sederhana dan mempunyai konvergensi yang cepat.

(14)

8 2.5 Metode Newton Rapshon

Apabila dalam proses pendugaan parameter didapat persamaan akhir yang non

linear maka tidak mudah memperoleh pendugaan parameter tersebut, sehingga

diperlukan suatu metode numerik untuk memecahkan persamaan nonlinear

tersebut. Salah satu metode yang sangat popular digunakan untuk memecahkan

sistem persamaan non linear adalah metode Newton Raphson. Metode Newton

Raphson adalah metode untuk menyelesaikan persamaan nonlinear secara iteratif.

Jika merupakan nilai awal dari atau merupakan nilai ke-1 dari , maka

dapat dimisalkan dan dengan i awal = 0.

Metode ini dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan lebih

dari satu parameter. Misal maka iterasinya sebagai berikut:

Vektor gradien atau vektor turunan pertama jumlah kuadrat terhadap

parameter-parameter dandilambangkan dengan g( yaitu :

Matriks Hessian atau matriks turunan kedua dari jumlah kuadrat terhadap

(15)

9 (Seber and Wild, 2003).

Untuk memudahkan melakukan iterasi dengan metode Newton-Raphson pada

penelitian ini peneliti menggunakan software SAS. Pada metode Newton Rapshon

dengan menggunakan SAS diperlukan nilai awal paramater. Nilai awal bisa

dilakukan secara trial and error atau dengan menggunakan nilai awal

grid/interval. Penentuan nilai grid berdasarkan nilai parameter yang mungkin dari

suatu model. Dari hasil yang diperoleh yang digunakan sebagai nilai awal untuk

menduga parameter adalah nilai dengan jumlah kuadrat paling kecil. Karena nilai

dengan jumlah kuadrat paling kecil mengindikasikan bahwa proses iterasi yang

(16)

III. METODELOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester genap tahun ajaran

2012/2013.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan untuk mendapatkan nilai pendugaan parameter pada

model produksi CES (Constant Elasticity of Subtitution) yaitu 1, 2, dan 3

dengan menggunakan metode Kuadrat Terkecil Nonlinear (Nonlinear Least

Square). Kemudian menggunakan software SAS untuk menduga parameter model

nonlinear produksi CES.

Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan adalah :

1. Mendefinisikan model produksi CES.

2. Menentukan jumlah kuadrat galat dari model produksi CES.

3. Menduga parameter 1, 2, 3, dan 4 model nonlinear produksi CES

dengan menggunakan metode Kuadrat Terkecil Nonlinear (Nonlinear

(17)

11 4. Menyelesaikan persamaan yang tidak dapat diselesaikan secara eksak

dengan Metode Newton Rapshon.

5. Menggunakan software SAS untuk menduga parameter model nonlinear

produksi CES.

Input Data

Menentukan g(Ɵ) Input Model

Input Ɵ

i=0

Apakah ?

Ya

[image:17.595.128.527.187.636.2]

i=i+1 Tidak

(18)

V. KESIMPULAN

Dari pembahasan penelitian dapat disimpulakn sebagai berikut

1. Pendugaan model nonlinear yaitu model produksi CES dengan

menggunakan metode nonlinear kuadrat terkecil tidak dapat dinyatakan

secara eksplisit. Karena tidak dapat diselesaikan secara eksak maka

digunakan metode numerik yaitu Metode Newton Rapshon.

2. Dalam penggunaannya metode Newton Rapshon memerlukan nilai awal.

Penentuan nilai awal yang baik untuk mendapatkan nilai dugaan yang baik

adalah dengan cara melakukan iterasi dengan nilai awal grid. Nilai

parameter dengan jumlah kuadrat terkecil adalah yang dijadikan sebagai

nilai awal dalam menduga parameter.

3. Dari penilitian yang dilakukan didapat nilai dugaan untuk model produksi

CES dengan menggunakan data pada buku (Rasidin dan Bonar, 2006)

adalah = 11.2135, = 0.4053, = -0.5963, dan = 0.8272 dengan

kuadrat galat sebesar 980. Dari nilai dugaan tersebut dapat dibentuk model

produsi CES untuk data tersebut sebagai berikut

.

4. Dari penilitian yang dilakukan didapat nilai dugaan untuk model produksi

(19)

30 0.3999, = -0.5288, dan = 0.9227. Dari nilai dugaan tersebut dapat

dibentuk model produsi CES untuk data tersebut sebagai berikut

.

5. Nilai-nilai parameter pada Persamaan (4.12) dianggap sebagai nilai

parameter sebenarnya, sedangkan nilai-nilai parameter pada Persamaan

(4.13) sebagai nilai dugaan parameter Persamaan (4.12), sehingga

diperoleh bias bagi masing-masing parameter sebagai berikut = -1.021,

(20)

DAFTAR PUSTAKA

Draper, N. and Smith, H. 1981. Analisis Regresi Terapan Edisi Kedua. Sumantri B, penerjemah. Jakarta: Gramedia, Terjemahan dari: Applied Regression Analysis.

Hogg, R.V. and Allen T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. Princtice-Hall Internasional Inc, New Jersey.

Novalina. 2006. Pendugaan Parameter Model Nonlinier. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Lampung, Bandar Lampung.

Seber, G.A.F and Wild, C.J. 2003. Nonlinear Regression. Departement of Statistics. University Auckland, New Zealand.

Sitepu, K. Rasidin dan Sinaga, M. Bonar. 2006. Aplikasi Model Ekonometrika. Program Studi Ilmu Ekonomi Pertanian Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Bogor.