KLASIFIKASI DENGAN ANALISIS DISKRIMINAN FISHER,
JARAK MAHALANOBIS, DAN ANALISIS BIPLOT
EVY MUFLIKHAH YUNI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Klasifikasi dengan Analisis Diskriminan Fisher, Jarak Mahalanobis, dan Analisis Biplot adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
ABSTRAK
EVY MUFLIKHAH YUNI. Klasifikasi dengan Analisis Diskriminan Fisher, Jarak Mahalanobis, dan Analisis Biplot. Dibimbing oleh SISWADI dan N. K. KUTHA ARDANA.
Pengklasifikasian suatu objek baru ke dalam suatu kelompok diharapkan dapat diperoleh dengan kesalahan minimum. Analisis diskriminan Fisher, jarak Mahalanobis (baik dengan matriks koragam terpisah maupun gabungan), dan analisis biplot digunakan dalam pengklasifikasian objek. Data yang digunakan adalah data Iris dan data bangkitannya untuk simulasi. Jarak Mahalanobis dengan matriks koragam terpisah memberikan salah klasifikasi minimum. Namun, jika pengklasifikasian suatu objek baru ke dalam suatu kelompok tidak hanya dilihat berdasarkan salah klasifikasi yang minimum tetapi juga berdasarkan visualisasi data, analisis diskriminan Fisher memberikan hasil terbaik.
Kata kunci: analisis diskriminan Fisher, biplot, jarak Mahalanobis, salah klasifikasi
ABSTRACT
EVY MUFLIKHAH YUNI. Classification with Fisher Discriminant Analysis, Mahalanobis Distance, and Biplot Analysis. Supervised by SISWADI and N. K. KUTHA ARDANA.
The classification of a new object into a group is expected to be solved with minimum error. Fisher discriminant analysis, Mahalanobis distance (either with separate or pooled covariance matrix), and biplot analysis are used for classification. The data being used are the Iris and the generated data for simulation. Mahalanobis distance with separate covariance matrix gives the minimum classification error. However, if the classification of a new object into a group is not only based on the minimum classification error but also based on the visualization of the data, Fisher discriminant analysis gives the best result.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Matematika
pada
Departemen Matematika
KLASIFIKASI DENGAN ANALISIS DISKRIMINAN FISHER,
JARAK MAHALANOBIS, DAN ANALISIS BIPLOT
EVY MUFLIKHAH YUNI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi: Klasifikasi dengan Analisis Diskriminan Fisher, Jarak Mahalanobis, dan Analisis Biplot
Nama : Evy Muflikhah Yuni
NIM : G54090018
Disetujui oleh
Prof Dr Ir Siswadi, MSc Pembimbing I
Ir N. K. Kutha Ardana, MSc Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Klasifikasi dengan Analisis Diskriminan Fisher, Jarak Mahalanobis, dan Analisis Biplot.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir Siswadi, MSc selaku dosen pembimbing I dan Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen pembimbing II atas segala ilmu, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini, serta Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak, Mama, Retry, Syai, Mbah Wakijan (Alm), Mbah Rakidah, dan seluruh keluarga atas segala doa, kesabaran, dukungan, kepercayaan, dan kasih sayangnya. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen, tenaga kependidikan, semua teman-teman Math 46 khususnya Fitria, Dedew, Randita, Nur Lasmini, Nurul, Fenny yang sudah menjadi sahabat yang baik dan banyak membantu dalam proses belajar, Nia yang sudah menjadi teman seperjuangan yang baik dan banyak membantu dalam menyelesaikan skripsi, kakak-kakak Math 45 khususnya Kak Devita dan Kak Rika Putra yang sudah membantu dalam menyelesaikan skripsi, Math 47, teman-teman Wisma Shinta, serta teman-teman di Institut Pertanian Bogor.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan 2
TINJAUAN ANALISIS 2
METODE PENELITIAN 7
Sumber Data 7
Prosedur Analisis Data 8
HASIL DAN PEMBAHASAN 10
Eksplorasi Data 10
Analisis Diskriminan Fisher 12
Jarak Mahalanobis 14
1 Jarak Mahalanobis dengan Matriks Koragam Terpisah 14 2 Jarak Mahalanobis dengan Matriks Koragam Gabungan 15
Analisis Biplot 15
SIMPULAN DAN SARAN 17
Simpulan 17
Saran 17
DAFTAR PUSTAKA 18
LAMPIRAN 19
DAFTAR TABEL
1 Format data untuk analisis diskriminan 2
2 Tabel klasifikasi kelompok 9
3 Rataan data tanaman Iris 10
4 Matriks koragam data tanaman Iris setosa 11
5 Matriks koragam data tanaman Iris versicolor 11
6 Matriks koragam data tanaman Iris virginica 11
7 Matriks koragam gabungan kelompok data tanaman Iris 11
8 Koefisien kanonik fungsi diskriminan 13
9 Nilai sentroid fungsi diskriminan 13
10 Hasil pengklasifikasian kelompok dengan analisis diskriminan Fisher 14 11 Hasil pengklasifikasian kelompok menggunakan jarak Mahalanobis
dengan matriks koragam terpisah 14
12 Hasil pengklasifikasian kelompok menggunakan jarak Mahalanobis
dengan matriks koragam gabungan 15
13 Hasil pengklasifikasian kelompok dengan analisis biplot 16
DAFTAR GAMBAR
1 Plot pencar data tanaman Iris dengan panjang sepal (sumbu-x) dan lebar
sepal (sumbu-y) 11
6 Plot pencar data tanaman Iris dengan panjang petal (sumbu-x) dan lebar
petal (sumbu-y) 12
7 Hasil pengklasifikasian menggunakan dua fungsi diskriminan dari data
tanaman Iris 13
8 Biplot dengan data asal tanaman Iris 16
9 Hasil pengklasifikasian menggunakan biplot dengan jarak Euclid 16
DAFTAR LAMPIRAN
1 Data tanaman Iris 19
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pada ilmu statistika, terdapat suatu analisis yang membahas masalah pengklasifikasian suatu objek baru ke dalam suatu kelompok. Dalam mengklasifikasikan suatu objek baru tersebut diperlukan beberapa peubah penciri yang dapat membedakan antara satu kelompok dengan kelompok lainnya. Pada umumnya pengklasifikasian suatu objek baru ke dalam suatu kelompok sering terjadi salah klasifikasi (classification error) karena suatu objek baru yang seharusnya masuk ke dalam kelompok tersebut diklasifikasikan ke dalam kelompok lainnya, sehingga diperlukan suatu analisis guna meminimumkan salah klasifikasi. Masalah pengklasifikasian suatu objek baru tersebut dapat diselesaikan antara lain dengan analisis diskriminan, jarak Mahalanobis (dengan menggunakan matriks koragam terpisah dan matriks koragam gabungan), serta analisis biplot.
Analisis diskriminan merupakan teknik statistika yang digunakan untuk memisahkan suatu objek dan mengalokasikan objek baru ke dalam suatu kelompok yang telah didefinisikan sebelumnya (Johnson dan Wichern 2007). Tujuan dari analisis diskriminan ialah mendapatkan fungsi diskriminan yang digunakan untuk memisahkan kelompok yang dapat digambarkan secara grafik pada dimensi tiga atau lebih rendah dan dari fungsi diskriminan tersebut dapat juga digunakan untuk mengklasifikasikan objek baru ke dalam kelompok yang sudah didefinisikan sebelumnya (Johnson dan Wichern 2007).
Fungsi diskriminan merupakan fungsi atau kombinasi linear peubah-peubah asal yang akan menghasilkan cara terbaik dalam pemisahan kelompok (Rencher 2002). Fungsi ini memberikan nilai sedekat mungkin bagi objek-objek dalam kelompok yang sama dan sejauh mungkin bagi objek-objek antarkelompok. Metode fungsi diskriminan pada awalnya diperkenalkan oleh Ronald A. Fisher pada tahun 1936, sehingga fungsi diskriminan yang terbentuk itu sering pula disebut sebagai fungsi diskriminan linear Fisher. Selain menggunakan analisis diskriminan Fisher, jarak Mahalanobis dapat pula digunakan untuk mengklasifikasikan suatu objek baru ke dalam suatu kelompok dengan cara yang paling sederhana yaitu menghitung jarak terdekat dari objek tersebut dengan vektor rataan setiap kelompok.
Seperti halnya analisis diskriminan Fisher dan jarak Mahalanobis, analisis biplot dapat pula digunakan untuk mengklasifikasikan suatu objek baru ke dalam suatu kelompok. Analisis biplot pertama kali diperkenalkan oleh Gabriel pada tahun 1971. Analisis biplot merupakan salah satu teknik peubah ganda yang antara lain dapat memberikan gambaran secara grafik dalam ruang berdimensi rendah dua (atau tiga) tentang kedekatan antarobjek, keragaman peubah, korelasi antarpeubah, serta keterkaitan peubah dengan objek. Pengklasifikasian suatu objek baru ke dalam suatu kelompok dengan analisis biplot dapat dilihat berdasarkan kedekatan objek dengan rataan kelompok menggunakan jarak Euclid.
2
Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah:
1 Mendapatkan gambaran salah klasifikasi suatu objek baru ke dalam suatu kelompok menggunakan analisis diskriminan Fisher, jarak Mahalanobis (dengan matriks koragam terpisah dan matriks koragam gabungan), dan analisis biplot.
2 Membandingkan hasil salah klasifikasi dari empat analisis tersebut guna diperoleh analisis terbaik yang menghasilkan salah klasifikasi minimum.
TINJAUAN ANALISIS
Analisis Diskriminan Fisher
Dalam Johnson dan Wichern (2007) dinyatakan bahwa tujuan utama analisis diskriminan Fisher adalah membentuk fungsi diskriminan yang digunakan untuk pemisahan kelompok dan juga digunakan untuk klasifikasi. Asumsi yang digunakan yaitu g kelompok tidak perlu menyebar normal ganda, tetapi memunyai matriks koragam sama (homogen) berukuran p x p.
3 diperoleh matriks jumlah kuadrat dan hasil kali data dalam kelompok W
, dengan adalah matriks jumlah kuadrat dan hasil kali dalam kelompok k, untuk k = 1, 2, …, g, yaitu untuk j,j’ = 1, 2, …, p, dan didefinisikan oleh:
(1)
Matriks jumlah kuadrat dan hasil kali antar kelompok dapat ditulis sebagai:
B (2)
dan T = W + B.
Jika x merupakan vektor amatan suatu objek dan bila fungsi diskriminan yang terbentuk adalah , maka yang akan dicari adalah vektor yang merupakan vektor koefisien dari fungsi diskriminan sehingga
(3)
bernilai maksimum, dengan kendala .
Fungsi yang akan dimaksimumkan merupakan rasio ragam antar kelompok dengan ragam dalam kelompok. Vektor diperoleh dengan menurunkan terhadap dan menyamakannya dengan nol, sehingga diperoleh
dengan menyederhanakan persamaan di atas diperoleh
Karena maka Jika W matriks tidak singular, maka ada - sehingga
-Dengan menyelesaikan persamaan - akan diperoleh nilai eigen tidak nol yang berpadanan dengan vektor eigen tidak nol yang bebas linear, i = 1, 2, …, s, sehingga banyaknya nilai eigen tidak nol
tidak lebih dari
Fungsi diskriminan yang diperoleh dari contoh yaitu
merupakan kombinasi linear pertama, merupakan kombinasi linear kedua, merupakan kombinasi linear ke-r, dengan (Johnson dan Wichern 2007).
4
disebut skor diskriminan kemudian dari skor diskriminan yang diperoleh dibandingkan terhadap sentroid fungsi diskriminan masing-masing kelompok. Objek dialokasikan ke kelompok k untuk k = 1, 2, …, g dengan r fungsi diskriminan yang terbentuk yakni dengan mencari nilai minimum dari persamaan
(4)
dengan merupakan vektor ciri yang memaksimumkan persamaan (3), merupakan skor diskriminan j, dan merupakan sentroid fungsi diskriminan j untuk kelompok k dengan .
Jarak Mahalanobis
Jarak Mahalanobis dengan Matriks Koragam Terpisah
Andaikan ada g kelompok contoh acak dengan masing-masing berukuran n1,
n2, …, ng dengan p peubah yang diamati, X1, X2, …, Xp. Vektor rataan dari g
contoh tersebut dapat dianggap sebagai dugaan vektor rataan populasi. Andaikan pula dugaan matriks koragam kelompok k adalah Sk. Jarak Mahalanobis suatu objek dapat dihitung terhadap g vektor rataan tersebut dan dapat diklasifikasikan pada suatu kelompok yang terdekat terhadap vektor rataannya (Siswadi dan Suharjo 1999). Jarak Mahalanobis antara suatu objek baru terhadap vektor rataan kelompok k diduga oleh
Sehingga aturan klasifikasinya ialah objek masuk ke dalam ke kelompok k jika
(5)
Jarak Mahalanobis dengan Matriks Koragam Gabungan
Andaikan ada g kelompok contoh acak dengan masing-masing berukuran n1,
n2, …, ng dengan p peubah yang diamati, X1, X2, …, Xp. Vektor rataan dari g
contoh tersebut dapat dianggap sebagai dugaan vektor rataan populasi. Andaikan pula dugaan matriks koragam gabungan kelompok adalah Sgab
dengan . Jarak Mahalanobis suatu objek
dapat dihitung terhadap g vektor rataan tersebut dan dapat diklasifikasikan pada suatu kelompok yang terdekat terhadap vektor rataannya (Siswadi dan Suharjo 1999). Jarak Mahalanobis antara suatu objek terhadap vektor rataan kelompok k diduga oleh - Sehingga aturan klasifikasinya ialah objek masuk ke dalam ke kelompok k jika
5 Analisis Biplot
Analisis biplot pertama kali diperkenalkan oleh Gabriel pada tahun 1971. Analisis biplot merupakan salah satu teknik peubah ganda yang antara lain dapat memberikan gambaran secara grafik tentang kedekatan antarobjek, keragaman peubah, korelasi antarpeubah, serta keterkaitan peubah dengan objek dari matriks X dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor dalam ruang berdimensi rendah, biasanya dua atau tiga yang mewakili vektor-vektor baris matriks X (gambaran objek) dan vektor-vektor kolom matriks X ( gambaran peubah). Informasi yang dapat diperoleh dari analisis biplot, antara lain:
1 Kedekatan antarobjek.
Dua objek yang memiliki karakteristik relatif sama akan digambarkan sebagai dua titik yang posisinya saling berdekatan.
2 Keragaman peubah.
Peubah dengan keragaman kecil digambarkan dengan vektor yang pendek, sedangkan peubah dengan keragaman besar digambarkan dengan vektor yang panjang.
3 Korelasi antarpeubah.
Peubah digambarkan sebagai vektor. Jika sudut antara dua peubah lancip maka korelasinya positif. Jika sudut antara dua peubah tumpul maka korelasinya negatif. Sedangkan jika sudut antara dua peubah siku-siku maka tidak saling berkorelasi.
4 Keterkaitan peubah dengan objek.
Karakteristik suatu objek dapat dilihat dari posisi relatifnya terhadap peubah. Jika objek letaknya searah dengan arah vektor peubah maka objek tersebut nilainya di atas rataan, jika berlawanan arah maka nilainya di bawah rataan, dan jika hampir di tengah-tengah maka nilainya mendekati rataan.
Analisis biplot dikembangkan atas dasar Dekomposisi Nilai Singular (DNS) atau Singular Value Decomposition (SVD). Misalkan nXp* adalah matriks data asal dengan n objek dan p peubah. Selanjutnya matriks dikoreksi terhadap rataannya sehingga diperoleh matriks X,
(7) dengan 1 adalah vektor berukuran n x 1 yang semua elemennya bernilai 1. Matriks koragam yang diperoleh dari matriks X adalah
(8)
dan matriks korelasi = (rij)
- - (9)
dengan
-Misalkan matriks X = [x1, x2, …, xn]’, maka jarak Euclid antara objek ke-i dan ke-j dapat didefinisikan sebagai
6
Jarak Mahalanobis antara objek ke-i dan ke-j adalah
- (11)
Matriks X berpangkat dapat diuraikan dengan SVD menjadi:
nXp= nUr Lr Ap’ (12) dengan U dan A yang merupakan matriks-matriks ortonormal kolom, sehingga
Matriks U adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen-vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen-nilai eigen positif dari matriks yaitu U L adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya adalah akar dari nilai eigen-nilai eigen positif matriks
atau , yaitu L dengan
dan disebut nilai singular dari matriks X, dan A adalah matriks yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen yang bepadanan dengan nilai eigen positif dari matriks yaitu A
Dalam Jolliffe (2002), persamaan (12) dapat diuraikan menjadi
(13)
dengan mendefinisikan dan
maka persamaan (13) menjadi
X (14)
Dengan demikian setiap elemen ke-(i,j) unsur matriks X dapat dinyatakan sebagai . Vektor merepresentasikan objek ke-i matriks X , dan vektor merepresentasikan peubah ke-j matriks X. Jika X berpangkat dua maka baris dan vektor kolom dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Namun, apabila matriks X berpangkat lebih dari dua maka dapat didekati dengan matriks
sebagai pendekatan terbaik bagi nXp maka
– menjadi minimum, dengan merupakan notasi
dari norma Frobenius dalam teorema Eckart - Young (Aitchison dan Greenacre 2001), sehingga dapat ditulis dengan dan masing-masing mengandung dua unsur pertama vektor dan , sehingga dengan matriks X dapat disajikan dalam ruang berdimensi dua.
Pengambilan nilai tertentu dapat berimplikasi penting dalam interpretasi biplot. Nilai yang digunakan merupakan nilai sebarang dari
a Jika maka G = U dan H = AL, akibatnya:
7 dengan artinya panjang vektor yang menggambarkan keragaman peubah ke-i.
Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j dijelaskan oleh kosinus sudut antara dan (misal : ), yaitu:
Jika X berpangkat p maka
-artinya kuadrat jarak Mahalanobis antara dan sebanding dengan kuadrat jarak Euclid antara dan , dengan S adalah matriks koragam yang
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder sebagai data asal yang diperoleh dari buku Johnson dan Wichern (2007) dan data simulasi yang diperoleh dari hasil membangkitkan data yang menyebar normal ganda. Data sekunder tersebut merupakan data populasi tanaman Iris dengan 3 kelompok masing-masing terdiri atas 50 objek yaitu Iris setosa, Iris versicolor, dan Iris virginica dengan 4 peubah yang sama pada masing-masing kelompok yaitu panjang sepal (X1), lebar sepal (X2), panjang petal (X3), dan lebar petal (X4).
8
Prosedur Analisis Data
Langkah-langkah dalam penelitian ini ialah: 1 Mengeksplorasi data
a Data asal
Data asal merupakan data sekunder dari data tanaman Iris yang digunakan untuk mencari rataan dan matriks koragam (Sk) masing-masing kelompok, matriks koragam gabungan (Sgab), fungsi diskriminan, sentroid fungsi diskriminan yang terbentuk pada masing-masing kelompok, serta gambaran plot pencar dari data tanaman Iris.
b Data simulasi
Langkah-langkah membangkitkan data untuk data simulasi ialah:
Bangkitkan 100 data Z = ~ N4(0,I) yang masing-masing diperoleh dari Z1, Z2, Z3, Z4 N(0,1), sehingga diperoleh data
sebanyak 400 dari peubah acak normal baku.
Gunakan nilai matriks koragam masing-masing kelompok dari data tanaman Iris yang menjadi acuan untuk mendapatkan Dekomposisi
Spektrum dengan dan
Tentukan data simulasi dengan mencari nilai yang merupakan matriks koragam dan rataan kelompok data tanaman Iris untuk k = 1, 2, 3.
2 Membuat aturan klasifikasi dari analisis diskriminan Fisher, jarak Mahalanobis dengan matriks koragam terpisah dan matriks koragam gabungan, serta analisis biplot.
a Analisis Diskriminan Fisher
Klasifikasi dilakukan dengan memasukkan objek baru dari data simulasi ke dalam fungsi diskriminan yang terbentuk yang disebut skor diskriminan kemudian dari skor diskriminan yang diperoleh bandingkan terhadap sentroid fungsi diskriminan masing-masing kelompok. Objek masuk ke dalam kelompok k dengan fungsi diskriminan yang terbentuk adalah r = 2 jika diperoleh nilai minimum dari persamaan
b Jarak Mahalanobis
i. Jarak Mahalanobis dengan Matriks Koragam Terpisah (Sk)
Gunakan matriks koragam (Sk) untuk mencari invers matriks koragam
pada masing-masing kelompok dari data tanaman Iris.
Klasifikasi dilakukan dengan menghitung nilai dari jarak objek baru dari data simulasi dengan rataan dan
invers matriks koragam - pada masing-masing kelompok dengan
rumus - dan objek masuk ke dalam
9 ii. Jarak Mahalanobis dengan Matriks Koragam Gabungan (Sgab)
Gunakan matriks koragam gabungan (Sgab) untuk mencari invers matriks koragam gabungan - dari data tanaman Iris.
Klasifikasi dilakukan dengan menghitung nilai dari jarak objek baru dari data simulasi dengan rataan dan
matriks 150Xa4 dikoreksi terhadap rataannya sehingga diperoleh matriks X,
X = 150Xa4 15011 ( 1’150Xa4). Menentukan matriks data baru dari data simulasi yang terkoreksi terhadap rataan dari data tanaman Iris, yaitu = 300Xs4 30011 (
1’150Xa4).
Ambil 2 komponen pertama dari sehingga nilai
Klasifikasi dilakukan dengan menghitung nilai dari jarak objek baru menggunakan 2 komponen utama dari data simulasi
Evaluasi hasil klasifikasi dapat diperoleh dengan menghitung jumlah salah klasifikasi dari semua kelompok seperti yang diberikan pada Tabel 2.
Salah klasifikasi , dengan = banyaknya anggota kelompok k yang diklasifikasikan menjadi anggota kelompok j.
Tabel 2 Tabel klasifikasi kelompok
Kelompok asal Kelompok prediksi Total
n11 n12 n13 n1.
n21 n22 n23 n2.
n31 n32 n33 n3.
10
4 Simpulan perbandingan hasil salah klasifikasi dari analisis diskriminan Fisher, jarak Mahalanobis dengan matriks koragam terpisah dan matriks koragam gabungan, serta analisis biplot.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder sebagai data asal yang diperoleh dari buku Johnson dan Wichern (2007) yakni data tanaman Iris dan data simulasi hasil pembangkitan data menyebar normal ganda yang diberikan dalam Lampiran 1 dan Lampiran 2. Data tanaman Iris digunakan untuk mencari rataan dan matriks koragam (Sk) pada masing-masing kelompok, matriks koragam gabungan (Sgab), serta fungsi diskriminan dan nilai sentroid dari fungsi diskriminan yang terbentuk pada masing-masing kelompok. Matriks koragam (Sk) yang diperoleh digunakan untuk mencari invers matriks koragam
masing-masing kelompok dan dari matriks koragam gabungan kelompok (Sgab) dapat diperoleh invers matriks koragam gabungan - Sedangkan data bangkitan digunakan untuk simulasi guna menggambarkan hasil ketepatan pengklasifikasian suatu objek baru ke dalam suatu kelompok yang sudah didefinisikan sebelumnya dari data tanaman Iris. Adapun hasil eksplorasi data tanaman Iris disajikan pada Tabel 3 sampai dengan Tabel 7.
11
Selain hasil yang diperoleh di atas, data tanaman Iris juga dapat digambarkan dalam bentuk plot pencar. Hasil plot pencar dari data tanaman Iris disajikan pada Gambar 1 sampai dengan Gambar 6.
Gambar 1 Plot pencar data tanaman
Tabel 7 Matriks koragam gabungan kelompok data tanaman Iris Panjang sepal Lebar sepal Panjang petal Lebar petal
Panjang sepal 0.265 0.093 0.168 0.038
Lebar sepal 0.093 0.115 0.055 0.033
Panjang petal 0.168 0.055 0.185 0.043
Lebar petal 0.038 0.033 0.043 0.042
Tabel 6 Matriks koragam data tanaman Iris virginica
Panjang sepal Lebar sepal Panjang petal Lebar petal Panjang sepal 0.404 0.094 0.303 0.049
Lebar sepal 0.094 0.104 0.071 0.048
Panjang petal 0.303 0.071 0.305 0.049
Lebar petal 0.049 0.048 0.049 0.075
Tabel 5 Matriks koragam data tanaman Iris versicolor
Panjang sepal Lebar sepal Panjang petal Lebar petal
Panjang sepal 0.266 0.085 0.183 0.056
Lebar sepal 0.085 0.098 0.083 0.041
Panjang petal 0.183 0.083 0.221 0.073
Lebar petal 0.056 0.041 0.073 0.039 Tabel 4 Matriks koragam data tanaman Iris setosa
Panjang sepal Lebar sepal Panjang petal Lebar petal Panjang sepal 0.124 0.099 0.016 0.010
Lebar sepal 0.099 0.144 0.012 0.009
Panjang petal 0.016 0.012 0.030 0.006
12
Gambar 3 Plot pencar data tanaman Iris dengan panjang sepal (sumbu-x) dan lebar petal (sumbu-y)
Gambar 4 Plot pencar data tanaman Iris dengan lebar sepal (sumbu-x) dan panjang petal (sumbu-y)
Gambar 5 Plot pencar data tanaman Iris dengan lebar sepal (sumbu-x) dan lebar petal (sumbu-y)
Gambar 6 Plot pencar data tanaman Iris dengan panjang petal (sumbu-x) dan lebar petal (sumbu-y)
Secara umum hasil plot pencar dari Gambar 1 sampai dengan Gambar 6 dapat memberi gambaran pemisahan antara kelompok Iris setosa, Iris versicolor, dan Iris virginica. Namun, pada Gambar 1 terlihat antara kelompok Iris versicolor dan Iris virginica banyak data yang saling tumpangtindih sehingga terlihat bergabung membentuk satu kelompok.
Analisis Diskriminan Fisher
13
Tabel 8 Koefisien kanonik fungsi diskriminan
Peubah Fungsi
Tabel 8 menunjukkan koefisien angka penyusun fungsi diskriminan yaitu: i. Fungsi diskriminan 1 (lihat pada kolom koefisien fungsi 1)
y1 = 2.105 0.829 x1 1.534 x2 + 2.201 x3 + 2.810 x4
ii. Fungsi diskriminan 2 (lihat pada kolom koefisien fungsi 2) y2 = 6.661 + 0.024 x1 + 2.165 x2 0.932 x3 + 2.839 x4
Tabel 9 Nilai sentroid fungsi diskriminan
Kelompok Fungsi
1 2
Iris setosa -7.608 0.215 Iris versicolor 1.825 -0.728 Iris virginica 5.783 0.513
Sentroid adalah rataan fungsi skor y dari setiap objek yang ada dalam kelompok. Kegunaan sentroid untuk mengetahui bagaimana penyebaran data dari setiap kelompok dan kedekatan antar sentroid dari masing-masing kelompok. Nilai sentroid fungsi diskriminan disajikan pada Tabel 9 terlihat bahwa titik sentroid untuk kelompok 1 adalah -7.608 pada fungsi 1 dan 0.215 pada fungsi 2,
titik sentroid untuk kelompok 2 adalah 1.825 pada fungsi 1 dan -0.728 pada fungsi
2, titik sentroid untuk kelompok 3 adalah 5.783 pada fungsi 1 dan 0.513 pada fungsi 2.
Hasil klasifikasi kelompok pada analisis diskriminan Fisher dapat digambarkan dalam ruang dimensi dua dengan menggunakan dua fungsi diskriminan dari data tanaman Iris yang disajikan pada Gambar 7.
Keterangan :
Sentroid Iris setosa Sentroid Iris versicolor Sentroid Iris virginica
14
Gambar 7 memberikan informasi gambaran secara visual dari Tabel 10 tentang hasil klasifikasi objek baru ke dalam kelompok Iris setosa, kelompok Iris versicolor, dan kelompok Iris virginica dengan menggunakan dua fungsi diskriminan. Klasifikasi objek baru ke dalam kelompok Iris setosa terlihat benar semua karena terpisah dengan jelas dari kelompok Iris versicolor dan Iris virginica. Sedangkan untuk klasifikasi objek baru ke dalam kelompok Iris versicolor dan kelompok Iris virginica terlihat adanya salah klasifikasi, karena ada data yang saling tumpangtindih dan sentroid antara kedua kelompok tersebut saling berdekatan sehingga memungkinkan terjadinya salah klasifikasi di antara kedua kelompok tersebut. Hasil numerik klasifikasi objek baru dari data simulasi ke dalam suatu kelompok menggunakan analisis diskriminan Fisher disajikan pada Tabel 10.
Tabel 10 memberikan informasi berapa banyak objek dengan salah klasifikasi pada masing-masing kelompok. Kelompok Iris setosa yang terdiri atas 100 objek baru dapat diklasifikasikan benar semua, sementara pada kelompok Iris versicolor terjadi salah klasifikasi sebanyak 4 objek yang diklasifikasikan ke kelompok Iris virginica, dan sebanyak 4 objek dari kelompok Iris virginica terjadi salah klasifikasi yang diklasifikasikan ke kelompok Iris versicolor. Dari hasil klasifikasi tersebut, diperoleh hasil salah klasifikasi sebesar 2.67% atau ketepatan klasifikasi kelompok sebesar 97.33%.
Jarak Mahalanobis
Jarak Mahalanobis dengan Matriks Koragam Terpisah
Klasifikasi objek baru dari data simulasi ke dalam suatu kelompok menggunakan jarak Mahalanobis dengan rataan masing-masing kelompok dan matriks koragam terpisah dari data tanaman Iris diperoleh hasil yang disajikan pada Tabel 11.
Tabel 11 memberikan informasi berapa banyak objek dengan salah klasifikasi pada masing-masing kelompok. Kelompok Iris setosa yang terdiri atas 100 objek baru dapat diklasifikasikan benar semua, sementara pada kelompok Iris
Tabel 11 Hasil klasifikasi kelompok menggunakan jarak Mahalanobis dengan matriks koragam terpisah
Kelompok asal
Kelompok prediksi
Total Iris setosa Iris versicolor Iris virginica
Iris setosa 100 0 0 100
Iris versicolor 0 97 3 100
Iris virginica 0 2 98 100
Tabel 10 Hasil klasifikasi kelompok dengan analisis diskriminan Fisher Kelompok
asal
Kelompok prediksi
Total Iris setosa Iris versicolor Iris virginica
Iris setosa 100 0 0 100
Iris versicolor 0 96 4 100
15 versicolor terjadi salah klasifikasi sebanyak 3 objek yang diklasifikasikan ke kelompok Iris virginica, dan sebanyak 2 objek dari kelompok Iris virginica terjadi salah klasifikasi yang diklasifikasikan ke kelompok Iris versicolor. Dari hasil klasifikasi tersebut, diperoleh hasil salah klasifikasi sebesar 1.67% atau ketepatan klasifikasi kelompok sebesar 98.33%.
Jarak Mahalanobis dengan Matriks Koragam Gabungan
Klasifikasi objek baru dari data simulasi ke dalam suatu kelompok menggunakan jarak Mahalanobis dengan rataan masing-masing kelompok dan matriks koragam gabungan dari data tanaman Iris diperoleh hasil yang disajikan pada Tabel 12.
Tabel 12 Hasil klasifikasi kelompok menggunakan jarak Mahalanobis dengan matriks koragam gabungan
Kelompok asal Kelompok prediksi Total
Iris setosa Iris versicolor Iris virginica
Iris setosa 100 0 0 100
Iris versicolor 0 96 4 100
Iris virginica 0 3 97 100
Tabel 12 memberikan informasi berapa banyak objek dengan salah klasifikasi pada masing-masing kelompok. Kelompok Iris setosa yang terdiri atas 100 objek baru dapat diklasifikasikan benar semua, sementara pada kelompok Iris versicolor terjadi salah klasifikasi sebanyak 4 objek yang diklasifikasikan ke kelompok Iris virginica, dan sebanyak 3 objek dari kelompok Iris virginica terjadi salah klasifikasi yang diklasifikasikan ke kelompok Iris versicolor. Dari hasil klasifikasi tersebut, diperoleh hasil salah klasifikasi sebesar 2.33% atau ketepatan klasifikasi kelompok sebesar 97.67%.
Analisis Biplot
Analisis biplot diperoleh dengan menggunakan paket Biplot Ver. 4.1.0 dan memilih (Ardana 2011) dengan software Mathematica 7.0 untuk data asal tanaman Iris dengan GF = 95.81% yang disajikan pada Gambar 8 dan hasil klasifikasi objek baru dengan dua komponen utama dari data simulasi ke dalam suatu kelompok menggunakan jarak Euclid disajikan pada Gambar 9.
16
Gambar 8 Biplot dengan data asal tanaman Iris
Gambar 9 memberikan informasi gambaran secara visual dari Tabel 13 tentang hasil klasifikasi objek baru ke dalam kelompok Iris setosa, kelompok Iris versicolor, dan kelompok Iris virginica. Klasifikasi objek baru ke dalam kelompok Iris setosa terlihat terpisah dengan kelompok Iris versicolor dan kelompok Iris virginica. Sedangkan hasil klasifikasi objek baru ke dalam kelompok Iris versicolor dan kelompok Iris virginica terlihat ada beberapa objek yang saling tumpangtindih dan sentroid antara kedua kelompok tersebut saling berdekatan dengan objek dari kelompok lainnya sehingga memungkinkan terjadinya salah klasifikasi di antara kedua kelompok tersebut.
Hasil numerik klasifikasi objek baru dengan dua komponen utama dari data simulasi ke dalam suatu kelompok menggunakan jarak Euclid dengan menghitung jarak terdekat dari objek baru tersebut terhadap rataan masing-masing kelompok data tanaman Iris yang disajikan pada Tabel 13.
Keterangan:
Sentroid Iris setosa Sentroid Iris versicolor Sentroid virginica
Gambar 9 Hasil klasifikasi menggunakan biplot dengan jarak Euclid
Tabel 13 Hasil klasifikasi kelompok dengan analisis biplot
Kelompok asal Kelompok prediksi Total
Iris setosa Iris versicolor Iris virginica
Iris setosa 100 0 0 100
Iris versicolor 0 67 33 100
17 Terkait dengan salah klasifikasi kelompok, kelompok Iris setosa yang terdiri atas 100 objek baru diklasifikasikan secara benar semua, sementara pada kelompok Iris versicolor terjadi salah klasifikasi sebanyak 33 objek yang diklasifikasikan ke kelompok Iris virginica dan sebanyak 24 objek dari kelompok Iris virginica terjadi salah klasifikasi yang diklasifikasikan ke kelompok Iris versicolor. Dari hasil klasifikasi tersebut, diperoleh hasil salah klasifikasi sebesar 19% atau ketepatan klasifikasi kelompok sebesar 81%. Hasil salah klasifikasi yang diperoleh menggunakan analisis biplot nilainya lebih besar dibandingkan dengan hasil salah klasifikasi dengan analisis diskriminan Fisher, jarak Mahalanobis (dengan matriks koragam terpisah dan matriks koragam gabungan). Hal ini dimungkinkan karena adanya reduksi dimensi pada analisis biplot yakni dari ruang berdimensi empat ke dalam ruang berdimensi dua, sehingga mengakibatkan adanya informasi yang hilang. Salah satu bentuk informasi yang hilang yakni hasil salah klasifikasi objek baru ke dalam suatu kelompok yang bernilai besar.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Gambaran salah klasifikasi suatu objek baru ke dalam suatu kelompok menggunakan analisis diskriminan Fisher, jarak Mahalanobis (dengan matriks koragam terpisah dan matriks koragam gabungan), serta analisis biplot dapat dilihat berdasarkan tabel klasifikasi kelompok. Salah klasifikasi menggunakan analisis diskriminan Fisher sebesar 2.67%, jarak Mahalanobis dengan matriks koragam terpisah sebesar 1.67%, jarak Mahalanobis dengan matriks koragam gabungan sebesar 2.33%, dan analisis biplot sebesar 19%.
Berdasarkan hasil salah klasifikasi tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk mengklasifikasikan suatu objek baru ke dalam suatu kelompok yang sudah didefinisikan sebelumnya menggunakan jarak Mahalanobis dengan matriks koragam terpisah menghasilkan salah klasifikasi minimum. Namun, jika klasifikasi suatu objek baru ke dalam suatu kelompok tidak hanya dilihat berdasarkan salah klasifikasi yang bernilai minimum tetapi juga berdasarkan visualisasi data, analisis diskriminan Fisher memberikan hasil terbaik.
Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
Aitchison J, Greenacre M. 2001. Biplot of Compositional Data. Applied Statistics. 51 : 375-392.
Ardana NKK. 2011. BiplotPack Ver.4.1.0 – A Mathematica Package for Multivariate Data Visualization. Bogor: Departemen Matematika FMIPA IPB. Gabriel KR. 1971. The Biplot Graphic Display of Matrices with Application to
Principal Component Analysis. Biometrika. 89: 423-436.
Johnson RA, Wichern DW. 2007. Applied Multivariate Statistical Analysis. 6th Edition. New Jersey: Prentice Hall.
Jolliffe IT. 2002. Principal Component Analysis. 2nd Edition. New York: Springer-Verlag.
Rencher AC. 2002. Methods of Multivariate Analysis. 2nd Edition. New York: Wiley.
Lampiran 1 Data tanaman Iris
2
23 4.6 3.6 1.0 0.2 6.3 2.5 4.9 1.5 7.7 2.8 6.7 2.0
24 5.1 3.3 1.7 0.5 6.1 2.8 4.7 1.2 6.3 2.7 4.9 1.8
25 4.8 3.4 1.9 0.2 6.4 2.9 4.3 1.3 6.7 3.3 5.7 2.1
26 5.0 3.0 1.6 0.2 6.6 3.0 4.4 1.4 7.2 3.2 6.0 1.8
27 5.0 3.4 1.6 0.4 6.8 2.8 4.8 1.4 6.2 2.8 4.8 1.8
28 5.2 3.5 1.5 0.2 6.7 3.0 5.0 1.7 6.1 3.0 4.9 1.8
29 5.2 3.4 1.4 0.2 6.0 2.9 4.5 1.5 6.4 2.8 5.6 2.1
30 4.7 3.2 1.6 0.2 5.7 2.6 3.5 1.0 7.2 3.0 5.8 1.6
31 4.8 3.1 1.6 0.2 5.5 2.4 3.8 1.1 7.4 2.8 6.1 1.9
32 5.4 3.4 1.5 0.4 5.5 2.4 3.7 1.0 7.9 3.8 6.4 2.0
33 5.2 4.1 1.5 0.1 5.8 2.7 3.9 1.2 6.4 2.8 5.6 2.2
34 5.5 4.2 1.4 0.2 6.0 2.7 5.1 1.6 6.3 2.8 5.1 1.5
35 4.9 3.1 1.5 0.2 5.4 3.0 4.5 1.5 6.1 2.6 5.6 1.4
36 5.0 3.2 1.2 0.2 6.0 3.4 4.5 1.6 7.7 3.0 6.1 2.3
37 5.5 3.5 1.3 0.2 6.7 3.1 4.7 1.5 6.3 3.4 5.6 2.4
38 4.9 3.6 1.4 0.1 6.3 2.3 4.4 1.3 6.4 3.1 5.5 1.8
39 4.4 3.0 1.3 0.2 5.6 3.0 4.1 1.3 6.0 3.0 4.8 1.8
40 5.1 3.4 1.5 0.2 5.5 2.5 4.0 1.3 6.9 3.1 5.4 2.1
41 5.0 3.5 1.3 0.3 5.5 2.6 4.4 1.2 6.7 3.1 5.6 2.4
42 4.5 2.3 1.3 0.3 6.1 3.0 4.6 1.4 6.9 3.1 5.1 2.3
43 4.4 3.2 1.3 0.2 5.8 2.6 4.0 1.2 5.8 2.7 5.1 1.9
44 5.0 3.5 1.6 0.6 5.0 2.3 3.3 1.0 6.8 3.2 5.9 2.3
45 5.1 3.8 1.9 0.4 5.6 2.7 4.2 1.3 6.7 3.3 5.7 2.5
46 4.8 3.0 1.4 0.3 5.7 3.0 4.2 1.2 6.7 3.0 5.2 2.3
47 5.1 3.8 1.6 0.2 5.7 2.9 4.2 1.3 6.3 2.5 5.0 1.9
48 4.6 3.2 1.4 0.2 6.2 2.9 4.3 1.3 6.5 3.0 5.2 2.0
49 5.3 3.7 1.5 0.2 5.1 2.5 3.0 1.1 6.2 3.4 5.4 2.3
50 5.0 3.3 1.4 0.2 5.7 2.8 4.1 1.3 5.9 3.0 5.1 1.8
20
3
Lampiran 2 Data bangkitan untuk simulasi
4
23 5.6 3.8 2.1 0.2 7.3 3.2 5.9 1.6 8.5 3.2 7.6 1.9
24 5.5 3.4 1.4 0.4 6.7 2.7 4.3 1.4 7.5 2.9 5.7 2.2
25 5.5 3.8 1.5 0.4 6.7 3.1 4.7 1.6 7.4 3.3 6.1 2.4
26 5.4 3.2 1.5 0.4 6.6 2.6 4.5 1.5 7.4 2.8 5.9 2.3
27 4.8 3.2 1.6 0.3 5.9 2.7 4.5 1.5 6.5 2.9 5.7 2.3
28 5.0 3.3 1.5 0.3 6.1 2.7 4.5 1.4 6.8 2.9 5.8 2.1
29 5.6 3.7 1.8 0.5 7.2 3.2 5.4 1.9 8.1 3.3 6.8 2.7
30 4.4 2.8 1.3 0.3 5.1 2.3 3.8 1.3 5.6 2.6 4.9 2.2
31 5.0 3.2 1.3 0.3 6.0 2.6 4.0 1.3 6.6 2.8 5.3 2.1
32 5.2 3.6 1.7 0.4 6.4 3.1 5.0 1.7 7.2 3.3 6.3 2.5
33 5.3 3.4 1.5 0.3 6.4 2.8 4.6 1.4 7.2 3.0 6.0 2.1
34 5.3 3.8 1.5 0.3 6.3 3.0 4.4 1.5 7.0 3.2 5.7 2.2
35 4.9 3.7 1.5 0.2 5.7 3.0 4.3 1.4 6.3 3.2 5.5 2.0
36 4.7 3.3 1.5 0.2 5.5 2.7 4.2 1.2 6.1 2.9 5.4 1.9
37 4.9 3.5 1.8 0.3 6.1 3.0 5.0 1.5 6.9 3.1 6.4 2.1
38 5.1 3.8 1.4 0.1 5.9 2.9 4.0 1.1 6.5 3.1 5.3 1.6
39 4.7 3.2 1.6 0.4 5.6 2.8 4.4 1.6 6.2 3.0 5.6 2.4
40 5.3 3.9 1.5 0.2 6.3 3.1 4.5 1.3 7.0 3.3 5.9 1.9
41 5.4 3.8 1.5 0.3 6.4 3.1 4.4 1.4 7.1 3.3 5.7 2.1
42 5.6 4.0 1.5 0.3 6.8 3.2 4.7 1.5 7.6 3.4 6.1 2.2
43 4.6 3.5 1.5 0.1 5.3 2.8 4.0 1.2 5.8 3.0 5.2 1.8
44 4.7 3.1 1.6 0.1 5.7 2.5 4.3 1.2 6.4 2.7 5.7 1.6
45 5.6 3.9 1.9 0.1 7.0 3.2 5.4 1.4 8.1 3.3 7.0 1.8
46 4.4 2.6 1.3 0.2 5.2 2.1 3.7 1.1 5.7 2.3 4.9 1.7
47 4.5 2.6 1.4 0.4 5.5 2.2 4.1 1.4 6.1 2.4 5.3 2.3
48 5.3 4.2 1.5 0.1 6.1 3.4 4.4 1.3 6.8 3.6 5.7 1.8
49 5.4 3.3 1.5 0.3 6.6 2.6 4.5 1.4 7.4 2.8 5.9 2.1
50 4.5 3.0 1.6 0.2 5.4 2.5 4.3 1.3 6.0 2.7 5.5 1.9
5
51 4.9 3.4 1.3 0.4 5.6 2.8 4.0 1.4 6.1 3.1 5.1 2.4
52 5.2 3.7 1.4 0.2 6.1 2.9 4.1 1.3 6.7 3.2 5.4 2.1
53 5.1 3.7 1.4 0.4 5.9 3.0 4.2 1.5 6.4 3.3 5.3 2.4
54 5.4 3.4 1.6 0.2 6.6 2.7 4.6 1.3 7.5 2.9 6.1 2.0
55 5.1 3.4 1.3 0.1 5.9 2.6 3.9 1.1 6.6 2.8 5.3 1.8
56 5.2 3.2 1.7 0.2 6.5 2.6 4.8 1.3 7.4 2.8 6.3 1.8
57 4.7 3.3 1.5 0.4 5.5 2.8 4.4 1.5 6.1 3.0 5.5 2.3
58 5.1 3.3 1.4 0.4 6.1 2.7 4.2 1.5 6.7 3.0 5.4 2.4
59 4.7 2.9 1.3 0.3 5.5 2.4 3.8 1.3 6.1 2.6 5.0 2.2
60 4.9 3.4 1.7 0.4 6.1 2.9 5.0 1.7 6.9 3.1 6.2 2.5
61 4.2 3.0 1.1 0.2 4.5 2.4 3.2 1.1 4.8 2.6 4.1 2.0
62 5.4 3.7 1.3 0.3 6.2 2.8 4.0 1.3 6.9 3.1 5.3 2.0
63 4.6 3.4 1.6 0.2 5.4 2.8 4.3 1.3 5.9 3.0 5.5 1.9
64 4.8 3.1 1.2 0.3 5.6 2.5 3.6 1.3 6.1 2.7 4.8 2.2
65 5.3 4.0 1.6 0.4 6.3 3.4 4.8 1.7 7.0 3.6 6.0 2.5
66 5.0 3.8 1.5 0.2 5.8 3.1 4.4 1.4 6.5 3.3 5.6 2.0
67 4.7 3.2 1.5 0.3 5.7 2.7 4.3 1.4 6.3 2.9 5.6 2.2
68 5.2 3.7 1.1 0.1 5.8 2.7 3.4 1.0 6.3 3.0 4.6 1.7
69 4.9 2.9 1.7 0.3 6.3 2.5 4.7 1.5 7.0 2.6 6.2 2.2
70 5.3 3.9 1.5 0.2 6.3 3.1 4.5 1.4 7.0 3.4 5.9 2.0
71 4.3 3.0 1.5 0.2 5.0 2.5 4.0 1.2 5.5 2.7 5.2 1.9
72 5.1 3.5 1.5 0.2 6.0 2.8 4.3 1.3 6.7 3.0 5.6 1.9
73 5.7 4.1 1.7 0.3 6.9 3.4 5.2 1.6 7.8 3.5 6.6 2.3
74 5.3 3.7 1.5 0.1 6.3 2.9 4.4 1.2 7.1 3.1 5.9 1.7
75 4.7 3.0 1.2 0.5 5.4 2.5 3.8 1.5 5.9 2.8 4.8 2.6
76 5.0 3.1 1.4 0.3 6.0 2.5 4.1 1.4 6.7 2.7 5.4 2.2
77 4.9 3.1 1.4 0.3 6.0 2.5 4.2 1.3 6.6 2.7 5.5 2.1
78 5.0 3.3 1.4 0.3 6.0 2.7 4.2 1.3 6.6 2.9 5.5 2.0
6
79 4.7 3.1 1.2 0.3 5.4 2.5 3.6 1.3 5.8 2.7 4.7 2.2
80 5.6 4.1 1.5 0.3 6.5 3.3 4.5 1.5 7.2 3.5 5.8 2.3
81 5.4 3.4 1.4 0.2 6.5 2.6 4.2 1.2 7.3 2.8 5.6 1.8
82 5.0 3.1 1.5 0.2 6.0 2.4 4.2 1.2 6.7 2.6 5.6 1.8
83 4.8 3.2 1.7 0.2 5.9 2.7 4.8 1.3 6.7 2.8 6.2 1.8
84 4.6 3.1 1.3 0.1 5.3 2.4 3.7 1.0 5.8 2.6 5.0 1.6
85 5.0 3.6 1.2 0.3 5.7 2.8 3.8 1.3 6.1 3.1 4.9 2.2
86 5.3 3.6 1.4 0.1 6.3 2.8 4.2 1.2 7.0 3.0 5.6 1.8
87 5.4 3.9 1.8 0.3 6.7 3.3 5.2 1.6 7.6 3.4 6.6 2.3
88 4.9 3.3 1.4 0.1 5.7 2.6 3.9 1.1 6.3 2.8 5.2 1.7
89 4.6 2.8 1.4 0.1 5.6 2.2 4.0 1.0 6.3 2.3 5.4 1.6
90 5.6 4.3 1.2 0.3 6.2 3.3 3.9 1.3 6.7 3.7 5.0 2.2
91 4.8 3.4 1.4 0.3 5.5 2.7 3.9 1.3 6.0 3.0 5.1 2.1
92 5.2 3.3 1.4 0.4 6.2 2.7 4.2 1.5 6.8 2.9 5.5 2.4
93 5.5 3.6 1.7 0.2 6.7 2.9 4.9 1.4 7.6 3.1 6.4 1.9
94 4.8 3.0 1.6 0.3 6.0 2.6 4.6 1.4 6.7 2.7 5.9 2.1
95 4.7 2.9 1.5 0.4 5.7 2.5 4.3 1.5 6.3 2.7 5.5 2.3
96 5.7 4.4 1.4 0.2 6.6 3.4 4.3 1.3 7.3 3.6 5.7 2.0
97 5.6 3.9 1.6 0.1 6.7 3.1 4.7 1.3 7.6 3.2 6.2 1.7
98 4.7 3.1 1.5 0.1 5.6 2.5 4.2 1.2 6.3 2.7 5.5 1.7
99 5.1 3.0 1.4 0.3 6.3 2.4 4.3 1.3 7.0 2.6 5.7 2.1
100 4.4 2.9 1.4 0.2 5.1 2.4 3.9 1.1 5.7 2.5 5.1 1.8
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 10 Juni 1991 dari bapak H. Kustadi, SE dan ibu Hj. Warniti. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara, penulis memunyai dua adik benama Retry Dwi Rahma dan Achmad Nur Kuswardana Al Isya’i.
Pendidikan formal yang ditempuh yaitu TK Islam Kemerdekaan lulus pada 1997, SD Negeri 1 Bageng-Jawa Tengah lulus pada tahun 2003, SMP Negeri 4 Jakarta lulus pada tahun 2006. Tahun 2009 penulis lulus dari SMAN 1 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
