KAJIAN MODEL FUZZY PADA ANALYTIC HIERARCHY
PROCESS
SKRIPSI
HAPPY DAHLIA MANALU
050803057
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2010
KAJIAN MODEL FUZZY PADA ANALYTIC HIERARCHY PROCESS
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains.
HAPPY DAHLIA MANALU 050803057
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKUTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2010
PERSETUJUAN
Judul : KAJIAN MODEL FUZZY PADA ANALYTIC
HIERARCHY PROCESS
Kategori : SKRIPSI
Nama : HAPPY DAHLIA MANALU
Nomor Induk Mahasiswa : 050803057
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di Medan, Juni 2010 Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Prof. Dr. Iryanto, M. Sc Drs. Marwan Harahap, M. Eng NIP. 194604041971071001 NIP. 194612251974031001
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua
Dr.Saib Suwilo, M.Sc NIP. 196401091988031004
PERNYATAAN
KAJIAN MODEL FUZZY PADA ANALYTIC HIERARCHY PROCESS
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2010
HAPPY DAHLIA MANALU 050803057
PENGHARGAAN
Terima kasih kepada Yesus Kristus atas anugerah terindah dan kasih yang melimpah yang telah diberikan-Nya kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan sebaik mungkin.
Ucapan terima kasih juga saya sampaikan kepada :
1. Bapak Marwan Harahap M.Eng dan Bapak Prof Iryanto, M.Si, selaku pembimbing yang telah memberikan panduan dan kepercayaan kepada saya untuk menyelesaikan skripsi ini.
2. Ucapan terimakasih tidak lupa saya tujukan kepada Bapak Dekan dan pembatu Dekan FMIPA USU.
3. Ucapan terima kasih juga saya tujukan kepada bapak Dr. Saib Suwilo M. Sc, selaku ketua Departemen Matematika Fakultas Matematika dan semua doasen-dosen matematika seluruhnya.
4. Teman-teman seperjuangan jurusan Matematika USU stambuk 2005 yang telah mendukung saya untuk tetap berusaha dalam penulisan skripsi ini.
5. Akhirnya tidak terlupakan kepada Ayah dan Ibu yang sangat saya kasihi, Tolu Manalu abang saya beserta keluarganya, Pesta dan Victor adik-adik saya yang selama ini selalu setia mendoakan dan mendorong saya untuk tetap bertekun di dalam doa dan dalam setiap pencobaan.
6. Dan yang tidak terlupakan buat rekan sepelayanan saya, Tim Pelayan Chapel beserta Majelis yang menjadi tiang-tiang doa buat saya, terkhusus buat Bunda Gloria dan Tante Rita yang berperan menjadi orang tua saya di Medan, dan kepada rekan-rekan White House buat semua dukungan yang diberikan.
7. Dan juga buat Elyonai (k’intan, Vero, Ruth Flora, Edward, dan Dedi) Kasih Yesus Kristus selalu menyertai kita semua. Amin.
Medan, Juni 2010 Penulis
Happy Dahlia Manalu
ABSTRAK
AHP merupakan suatu metode pengambilan keputusan dengan memberikan prioritas pilihan dari berbagai alternatif. Penggunaan AHP dimulai dengan membuat struktur hierarki dari kriteria-kriteria dan sub-sub kriteria. Dan karena menggunakan pemikiran manusia yang mempunyai pandangan berbeda sehingga sulit memberikan nilai yang pasti. Maka untuk menangani hal tersebut perlu adanya pendekatan metode fuzzy.
STUDY OF FUZZY MODEL OF ANALYTIC HIERARCHY PROCESS
ABSTRACT
AHP is a decision making methode with the using choice of priority from the alternatifs. Application of AHP is begin by making the hierarchy structur of studied problem. And, bacause of using the thinking of human it is so hard to take a decision. So, to handling the situation it used the fuzzy methode.
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan ii
Penyataan iii
Penghargaan iv
Abstrak v
Abstract vi
Daftar Isi vii
Daftar Tabel ix
Daftar Gambar x
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Tinjauan Pustaka 2
1.4 Tujuan Penelitian 5
1.5 Kontribusi Penelitian 5
1.6 Metode Penelitian 6
BAB 2 LANDASAN TEORI 7
2.1 Analityc Hierarchy Process (AHP) 7
2.1.1 Proses Penentuan Prioritas dengan Metode AHP 9
2.1.2 Penyusunan Prioritas 10
2.1.3 Eigen value dan Eigen vector 13
2.1.4 Uji Konsistensi Indeks dan Rasio 18
BAB 3 PEMBAHASAN 3.1 Analityc Hierarchy process 29
3.2 Transformasi Logika Fuzzy terhadap AHP 30
3.3 Perhitungan Bobot Fuzzy AHP 34
3.4 Analisis Numerik 36
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 43
4.1 Kesimpulan 43
4.2 Saran 43
DAFTAR PUSTAKA 44
DAFTAR TABEL
TABEL Halaman
1.3.1 Tabel Matriks Comparison 3
2.1 Matriks Perbandingan Berpasangan 11
2.2 Skala Saaty 12
2.4 Nilai indeks random 17
3.2.2 Skala TFN dalam variabel Linguistik 32
3.2.4 Matriks Perbandingan AHP 33
3.2.5 Matriks dalam skala TFN 34
3.4.2 Tabel perbandingan AHP untuk Kriteria 39 3.4.3 Tabel Perbandingan AHP untuk criteria
Bentuk dengan alternative peristiwa 39 3.4.4 Tabel Perbandingan AHP untuk criteria Kegunaan
dengan alternative peristiwa 39
3.4.5 Tabel Perbandingan AHP untuk criteria Tahan lama
dengan alternative peristiwa 40
3.4.6 Tabel Perbandingan Fuzzy AHP criteria 40 3.4.7 Perbandingan untuk alternatif peristiwa
dari konsep produk dengan Fuzzy AHP 41 3.4.8 Hasil penilaian Alternatif berdasarkan Kriteria 42
DAFTAR GAMBAR
GAMBAR Halaman
2.1 Bilangan fuzzy Triangular 20
2.2 Himpunan fuzzy : BERAT (kurva triangular) 21
2.3 Bilangan fuzzy Trapezoidal 22
2.4 Himpunan fuzzy : BERAT (kurva trapezoidal) 22 2.5 Support set untuk himpunan fuzzy BERAT 23 2.6 Nilai Alfa-Cut untuk himpunan fuzzy BERAT 24
3.2.1 Grafik Fungsi keanggotaan Fuzzy 31
3.2.2 Fungsi Keanggotaan Linguistik Variabel 31
3.4 Analisis Numerik 38
3.4.1 Hierarki Keputusan 38
ABSTRAK
AHP merupakan suatu metode pengambilan keputusan dengan memberikan prioritas pilihan dari berbagai alternatif. Penggunaan AHP dimulai dengan membuat struktur hierarki dari kriteria-kriteria dan sub-sub kriteria. Dan karena menggunakan pemikiran manusia yang mempunyai pandangan berbeda sehingga sulit memberikan nilai yang pasti. Maka untuk menangani hal tersebut perlu adanya pendekatan metode fuzzy.
STUDY OF FUZZY MODEL OF ANALYTIC HIERARCHY PROCESS
ABSTRACT
AHP is a decision making methode with the using choice of priority from the alternatifs. Application of AHP is begin by making the hierarchy structur of studied problem. And, bacause of using the thinking of human it is so hard to take a decision. So, to handling the situation it used the fuzzy methode.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1Latar belakang
Dalam memilih sesuatu, mulai yang memilih yang sederhana sampai ke hal yang sangat rumit yang dibutuhkan bukanlah berpikir yang rumit, tetapi bagaiman berpikir secara sederhana.
AHP adalah prosedur yang berbasis matematis yang sangat baik dan sesuai untuk kondisi evaluasi atribut-atribut tersebut. Secara matematika dikuantitatifkan dalam satu set perbandingan berpasangan. Perbandingan berpasangan dipergunakan untuk membentuk hubungan di dalam struktur. Hasil dari perbandingan berpasangan ini membentuk matriks dimana skala rasio diturunkan dalam bentuk eigen vektor utama.
Kelebihan AHP dibandingkan dengan yang lainnya karena adanya struktur yamg berhirarki, sebagai konsekuensi dari kriteria yang dipilih, sampai kepada sub-sub kriteria yang paling mendetail. Memperhitungkan validitas sampai dengan batas toleransi inkonsistensi berbagai kriteria dan altenatif yang dipilih oleh para pengambil keputusan (Saaty, 1990). Penggunaan AHP dimulai dengan membuat struktur atau jaringan dari permasalahan yang ingin diteliti. Di dalam hierarki terdapat tujuan utama, kriteria-kriteteria, sub-sub kriteria, dan alternatif-alternatif yang akan dibahas.
Karena menggunakan input persepsi manusia, model ini dapat mengolah data yang bersifat kualitatif maupun kuantitatif. Selain itu AHP mempunyai kemampuan untuk memecahkan masalah yang multi-objektif dan multi-kriteria yang didasarkan pada perbandingan preferensi dari setiap element dalam hierarki.
Di dalam penerapan Analytical Hierarchy Proses (AHP) untuk pengambilan keputusan dengan banyak kriteria yang bersifat subjektif, seringkali seorang pengambil keputusan dihadapkan pada suatu permasalahan yang sulit dalam penentuan bobot setiap kriteria. Untuk membantu para pengambil keputusan diperlukan suatu metode yang lebih memperhatikan keberadaan kriteria-kriteria yang bersifat subjektif tersebut. Salah satu metode pendekatan yang sering dipakai adalah konsep Fuzzy.
Logika Fuzzy merupakan sebuah logika yang memiliki nilai kekaburan atau kesamaran (Fuzyness) antara benar dan salah. Dalam teori Fuzzy sebuah nilai bisa bernilai benar dan salah secara bersamaan namun berapa besar kebenaran dan kesalahan suatu nilai tergantung kepada bobot keanggotaan yang dimilikinya. Pedekatan logika Fuzzy terhadap AHP akan didekati melalui Fuzzy triangular dengan mengkoversikan nilai skala Saaty ke dalam bilangan Fuzzy. Dan bilangan Fuzzy digunakan untuk merepresentasikan penilaian terhadap berbagai kriteria dan besar kemungkinan dari berbagai tingkat kesuksesan.
1.2 Perumusan Masalah
Sesuai dengan latar belakang yang telah dikemukakan sebelumnya, maka masalah yang akan di bahas dalam penelitian ini adalah bagaimana memberikan pembobotan dengan logika Fuzzy pada AHP
1.3 Tinjauan Pustaka
Dalam jurnal Latifah, Siti [2] menjelaskan tentang metode AHP yang telah banyak digunakan untuk menetukan prioritas pilihan-pilihan dengan banyak kriteria tetapi penerapannya telah meluas sebagai model alternatif mamfaat biaya, peramalan dan lain-lain. Pendeknya AHP menawarkan penyelesaian masalah keputusan yang melibatkan seluruh sumber kerumitan seperti yang didefinisikan diatas.
Pada bukunya Saaty, L [6] menguraikan metode AHP yang menjelaskan tentang pemodelan permasalahan dilakukan cara memodelkan permasalahan secara bertingkat yang terdiri dari kriteria dan altematif. Metode AHP tidak saja digunakan untuk menentukan prioritas pilihan dengan banyak kriteria (multikriteria), tetapi penerapannya telah meluas sebagai metode alternatif untuk menyelesaikan bermacam-macam masalah.
Saaty juga memakai metode matriks perbandingan dalam menentukan bobot kriteria dalam membuat keputusan yang terbaik, adapun bentuk matriksnya adalah sebagai berikut:
1.3.1 Tabel matriks comparison
Dalam jurnal Raharjo, Jani [5] Juga menguraikan tentang Analytical hierarchy Proses (AHP) untuk pengambilan keputusan dengan banyak kriteria yang bersifat subjektif, seringkali seorang pengambil keputusan dihadapkan pada suatu permasalahan yang sulit dalam penetuan bobot setiap kriteria.
Jurnal itu juga menjelaskan tentang langkah-langkah dalam mengambil keputusan berdasarkan bobot kriteria yang mengacu pada AHP.
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
Pada langkah (1) yaitu penilaian alternatif, pengambil keputusan diminta memberikan suatu rangkaian penilaian terhadap altrnatif x yang ada dalam bentuk bilangan fuzzy triangular (triangular fuzzy number (TFN)), yang disusun berdasarkar variabel linnguistik. Selanjutnya, nilai fuzzy didefinisikan bagi setiap alternatif pada setiap kriteria.
Dalam langkah (2), yaitu pembobotan kriteria, Zeleiny (1983) membaginya menjadi dua tipe yaitu: (1) bobot prior w yang sifatnya relatif stabil, menggambarkan keadaan psikologis dan sosial dari pengambil keputusan, (2) bobot informasi A,, sifatnya tidak stabil.
Bobot prior, pada dasamya merupakan modifikasi pembobotan AHP yang dikembangkan oleh Saaty. Dimana langkah-langkah perhitungannya adalah sebagai berikut:
Menentukan perbandingan berpasangan
,
,...,
2
,
1
,
i
j
n
w
w
a
j i
ij
=
=
=
di mana n menyatakan jumlah kriteria yang dibandingkan, wibobot untuk kriteria ke- i, dan aijadalah perbandingan bobot kriteria ke- i dan j . Jika indeks konsistensi lebih dari satu, maka perbandingan berpasangan harus diulang.
Menormalkan setiap kolom dengan cara membagi setiap nilai pada kolom ke-i dan baris ke- j dengan nilai terbesar pada kolom ke- i
j i a a a ij ij
ij , ,
max
ˆ = ∀
Menjumlahkan nilai pada setiap kolom ke-i, yaitu = ∀ j
ij
i a i
aˆ ˆ ,
Akhirnya bobot prior bagi setiap kriteria ke-i, didapat dengan membagi setiap
nilai a, dengan jumlah kriteria yang dibandingkan (n),yaitu:
i n a
w i
i = ,∀
ˆ
Dalam bukunya Sri Kusumahdewi [4] menjelaskan bahwa keanggotaan fuzzy
memberikan suatu ukuran terhadap pendapat atau keputusan. Sehingga ada beberapa
alasan mengapa orang menggunakan logika fuzzy, antara lain:Konsep logika fuzzy
mudah dimengerti, Konsep matematis yang mendasari penalaran fuzzy sangat
sederhana dan mudah dimengerti. Logika fuzzy juga sangat fleksibel dan memiliki
toleransi terhadap data-data yang tidak tetap. Fuzzy mampu memodelkan
fungsi-fungsi nonlinear yang sangat kompleks.
Pada buku Robandi iman [6] mendefeniskan keanggotaan Fuzzy, bahwa derajat
fungsi keanggotaan suatu himpunan fuzzy sebagai vektor bilangan yang dimensinya
tergantung level diskrit.
Pada bukunya Widodo dkk [7] halaman (100-106) mengatakan bahwa nilai
atau data yang diambil dari suatu alat ukur adalah tidak pasti. Posisi nilai ini pada
interval yang pasti R, x ε[a1,a2] dengan a1 ≤ a2. Hal ini menunjukkan bahwa untuk
memastikan nilai x lebih atau sama dengan a2.
1. 3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan memperoleh hasil yang lebih akurat dari metode Analytical
Hierarchy Process dalam pengambilan keputusan dengan logika Fuzzy.
1.4 Kontribusi Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan dapat memperkaya metode pengambilan keputusan
dan sangat membantu pimpinan untuk mengambil keputusan yang lebih akurat.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat studi kasus terhadap permasalahan sehari-hari yang disusun
berdasarkan rujukan pustaka dengan tahapan sebagai berikut:
1) Melakukan studi dari jurnal, buku dan artikel di internet yang
berhubungan dengan proses AHP dan fuzzy AHP.
2) Mendefenisikan AHP (skala saaty) ke dalam Bilangan fuzzy
3) Melakukan study kasus untuk dimodelkan terhadap fuzzy
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Analytic Hierarchy Process
Metode Analytic Hierarchy Process (AHP) dikembangkan oleh Prof. Thomas Lorie
Saaty dari Wharston Business school untuk mencari ranking atau urutan prioritas dari
berbagai alternatif dalam pemecahan suatu permasalahan. Dalam kehidupan
sehari-hari, seseorang senantiasa dihadapkan untuk melakukan pilihan dari berbagai
alternatif. Disini diperlukan penentuan prioritas dan uji konsistensi terhadap
pilihan-pilihan yang telah dilakukan. Dalam situasi yang kompleks, pengambilan keputusan
tidak dipengaruhi oleh satu faktor saja melainkan multifaktor dan mencakup berbagai
jenjang maupun kepentingan.
Pada dasarnya AHP adalah suatu teori umum tentang pengukuran yang
digunakan untuk menemukan skala rasio baik dari perbandingan berpasangan yang
diskrit maupun kontinu. Perbandingan-perbandingan ini dapat diambil dari ukuran
aktual atau skala dasar yang mencerminkan kekuatan perasaan dan preferensi relatif.
AHP memiliki perhatian khusus tentang penyimpangan dari konsistensi, pengukuran
dan ketergantungan di dalam dan di luar kelompok elemen strukturalnya.
Analytic Hierrchy Process (AHP) mempunyai landasan aksiomatik yang terdiri dari:
1. Resiprocal Comparison, yang mengandung arti bahwa matriks
perbandingan berpasangan yang terbentuk harus bersifat
berkebalikan. Misalnya, jika A adalah k kali lebih penting daripada B maka B adalah 1/k kali lebih penting dari A.
2. Homogenity, yang mengandung arti kesamaan dalam melakukan
perbandingan. Misalnya, tidak dimungkinkan membandingkan
jeruk dengan bola tenis dalam hal rasa, akan tetapi lebih relevan
jika membandingkan dalam hal berat.
3. Dependence, yang berarti setiap jenjang (level) mempunyai kaitan
(complete hierarchy) walaupun mungkin saja terjadi hubungan
yang tidak sempurna (incomplete hierarchy).
4. Expectation, yang artinya menonjolkan penilaian yang bersifat
ekspektasi dan preferensi dari pengambilan keputusan. Penilaian
dapat merupakan data kuantitatif maupun yang bersifat kualitatif.
Dalam menyelesaikan persoalan dengan metode Analytic Hierarchy Process (AHP)
ada beberapa prinsip dasar yang harus dipahami antara lain:
1. Decomposition;
2. Comparative judgment;
3. Synthesis of Priority;
4. Logical Consistency.
1. Decomposition
Pengertian decomposition adalah memecahkan atau membagi problema
yang utuh menjadi unsur-unsurnya ke dalam bentuk hierarki proses
pengambilan keputusan, dimana setiap unsur atau elemen saling
berhubungan. Untuk mendapatkan hasil yang akurat, pemecahan
dilakukan terhadap unsur-unsur sampai tidak mungkin dilakukan
pemecahan lebih lanjut, sehingga didapatkan beberapa tingkatan dari
persoalan yang hendak dipecahkan. Struktur hirarki keputusan tersebut
dapat dikategorikan sebagai complete dan incomplete. Suatu hirarki
keputusan disebut complete jika semua elemen pada suatu tingkat
memiliki hubungan terhadap semua elemen yang ada pada tingkat
berikutnya, sementara hirarki keputusan incomplete kebalikan dari hirarki
yang complete.
2. Comparative judgment
Comparative Judgment dilakukan dengan membuat penilaian tentang
kepentingan relatif dua elemen pada suatu tingkat tertentu dalam
kaitannya dengan tingkatan diatasnya. Penilaian ini merupakan inti dari
AHP karena akan berpengaruh terhadap urutaan prioritas dari
elemen-elemenya. Hasil dari penilaian ini lebih mudah disajikan dalam bentuk
matriks pairwise comparisons yaitu matriks perbandingan berpasangan
memuat tingkat preferensi beberapa alternatif untuk tiap kriteria. Skala
preferensi yang digunakan yaitu skala 1 yang menunjukkan tingkat yang
paling rendah (equal importance) sampai dengan skala 9 yang
menunjukkan tingkatan yang paling tinggi (erxtreme importance).
3. Synthesis of Priority
Synthesis of Priority dilakukan dengan menggunakan egine vector method
untuk mendapatkan bobot relatif bagi unsur-unsur pengambilan keputusan.
4. Logical Consistency
Logical Consistency merupakan karakteristik penting AHP. Hal ini dicapai
dengan mengagregasikan seluruh eigenvector yang diperoleh dari berbagai
tingkatan hirarki dan selanjutnya diperoleh suatu vector composite
tertimbang yang menghasilkan urutan pengambilan keputusan.
2.1.1 Proses Penentuan Prioritas dengan Metode AHP
Tahapan-tahapan pengambilan keputusan dalam metode AHP pada dasarnya
meliputi:
1. Mendefinisikan masalah dan menentukan solusi yang diinginkan
2. Membuat struktur hirarki yang diawali dengan tujuan umum,
dilanjutkan dengan kriteria-kriteria, sub kriteria dan
alternatif-alternatif pilihan yang ingin di ranking
3. Membentuk matriks perbandingan berpasangan yang
menggambarkan kontribusi relatif atau pengaruh setiap elemen
terhadap masing-masing tujuan atau kriteria yang setingkat
diatasnya. Perbandingan dilakukan berdasarkan pilihan atau
“judgment” dari pembuat keputusan dengan menilai tingkat
kepentingan suatu elemen dibandingkan elemen lainnya
4. Menormalkan data yaitu dengan membagi nilai dari setiap elemen
di dalam matriks yang berpasangan dengan nilai total dari setiap
kolom
5. Menghitung nilai eigen vector dan menguji konsistensinya, jika
tidak konsisten pengambil data (preferensi) perlu diulangi. Nilai
eigen vector yang dimaksud adalah nilai eigen vector maximum
yang diperoleh dengan menggunakan matlab maupun manual
6. Mengulangi langkah 3,4, dan 5 untuk seluruh tingkat hirarki
7. Menghitung eigen vector dari setiap matriks perbandingan
berpasangan. Nilai eigen vector merupakan bobot setiap elemen.
Langkah ini mensintesis pilihan dan penentuan prioritas
elemen-elemen pada tingkat hirarki terendah sampai pencapaian tujuan
8. Menguji konsistensi hirarki. Jika tidak memenuhi dengan
CR<0,100 maka penilaian harus diulang kembali.
2.1.2 Penyusunan Prioritas
Menentukan susunan prioritas elemen adalah dengan menyusun perbandingan
berpasangan yaitu membandingkan dalam bentuk berpasangan seluruh elemen untuk
setiap sub hirarki. Perbandingan tersebut ditransformasikan dalam bentuk matriks.
Contoh, terdapat n objek yang dinotasikan dengan (A1, A2,...,An) yang akan dinilai
berdasarkan pada nilai tingkat kepentingannya antara lain Ai dan Aj dipresentasikan
dalam matriks Pairwise Comparison.
Tabel 2.1 Matriks Perbandingan Berpasangan
A1 A2 . . . An
A1 a11 a12 . . . a1n
A2 a21 a22 . . . a2n
An am1 am2 ann
Membuat matriks perbandingan berpasangan memerlukan besaran-besaran yang
mampu mencerminkan perbedaan antara faktor satu dengan faktor lainnya. Untuk
menilai perbandingan tingkat kepentingan satu elemen terhadap elemen lainnya
digunakan skala 1 sampai 9. Pendekatan AHP menggunakan skala Saaty mulai dari
bobot 1 sampai 9, seperti terlihat pada tabel berikut ini.
Tabel 2.2 Skala Saaty
Tingkat
kepentingan
Definisi
1 Sama pentingnya dibanding yang lain
3 Moderat (cukup) pentingnya dibanding yang lain
5 Kuat pentingnya dibanding yang lain
7 Sangat kuat pentingnya dibanding yang lain
9 Ekstrim pentingnya dibanding yang lain
2,4,6,8 Nilai diantara dua nilai yang berdekatan
Resiprokal Jika elemen i memiliki salah satu angka diatas ketika
dibandingkan elemen j, maka j memiliki kebalikannya
ketika dibanding elemen i
Model AHP didasarkan pada pairwise comparison matrix, dimana
elemen-elemen pada matriks tersebut merupakan judgment dari decision maker. Seorang
decision maker akan memberikan penilaian, mempersepsikan, ataupun
memperkirakan kemungkinan dari sesuatu hal/peristiwa yang dihadapi. Matriks
tersebut terdapat pada setiap level of hierarchy dari suatu struktur model AHP yang
membagi habis suatu persoalan.
Berikut ini contoh suatu Pairwise Comparison Matrix pada suatu level of
Hierarchy, yaitu.
i j k
i 1 8
2 1
A= j 2 1 4
k 1
4 1 8
1
Membacanya atau membandingkannya, dari kiri ke kanan.
Jika i dibandingkan dengan j, maka jvery strong importance dari pada i dengan
nilai judgment sebesar 4. Dengan demikian pada baris 1 kolom 2 diisi dengan
kebalikan dari 4 yaitu 1 4. Artinya,
i dibanding j→ j lebih penting dari i
jika i dibandingkan dengan k, maka i extreme importance daripada k dengan nilai
judgment sebesar 8. Jadi baris 1 kolom 3 diisi dengan 8, dan seterusnya.
2.1.3 Eigen value dan Eigenvector
Definisi. Jika A adalah matriks n n× maka vektor tak nol x di dalam n
ℜ dinamakan
eigen vector dari A jika Ax kelipatan skalar x, yakni :
Ax=
λ
xSkalar
λ
dinamakan eigenvalue dari A dan x dikatakan eigenvector yang bersesuaiandengan
λ
. untuk mencari eigenvalue dari matriks A yang berukuran n n× maka dapat ditulis pada persamaan berikut :Ax=
λ
xatau secara ekivalen
(λI−A)=0
Agar
λ
menjadi eigen value, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan ini.Akan tetapi, persamaan diatas akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya
jika:
det (λI−A)=0
Ini dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah
eigen value dari A.
Bila diketahui bahwa nilai perbandingan elemen Ai terhadap elemen Aj adalah
ij
a , maka secara teoritis matriks tersebut berciri positif berkebalikan, yakni aij =1 aij. Bobot yang dicari dinyatakan dalam vektor w=(w w w1, 2, 3,...,wn). Nilai wn
menyatakan bobot kriteria An terhadap keseluruhan set kriteria pada sub sistem
tersebut.
Jika aij mewakili derajat kepentingan i terhadap faktor j dan ajk manyatakan kepentingan dari faktor j terhadap faktor k, maka agar keputusan menjadi konsisten,
kepentingan i terhadap faktor k harus sama dengana aij. jk atau jikaa aij. jk =aik untuk semua i,j,k maka matriks tersebut konsisten.
Untuk suatu matriks konsisten dengan faktor w, maka elemen
a
ij dapat ditulismenjadi :
i ij j
w
a
w
=
;∀
i j
,
=
1, 2, 3,...,
n
(1)Akan diperoleh hubungan persamaan berikut:
0 0
. j = ij j − i =
ij w atau a w w
a (2)
Jadi matriks konsisten adalah:
. i . j i
ij jk ik
j k k w
w w
a a a
w w w
= = = (3)
Seperti yang diuraikan diatas, maka untuk pairwise comparison matrix diuraikan
seperti berikut ini:
1
1
j ji i i ij jw
a
w
w
a
w
=
=
=
(4)Dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa
. i 1 ji
j w a
w = ; ∀i j, =1, 2, 3,...,n (5)
Dengan demikian untuk pairwise comparison matrix yang konsisten menjadi:
1 1 . . n ij ij j ij
a w n
w
=
= ; ∀i j, =1, 2, 3,...,n (6)
1 . n
ij ij ij j
a w nw
=
= ; ∀i j, =1, 2, 3,...,n (7)
Persamaan di atas ekivalen dengan bentuk persamaan matriks di bawah ini:
.
.
A w
=
n w
(8)Dalam teori matriks, formulasi ini diekspresikan bahwa w adalah eigenvector dari
matriks A dengan eigen value n. Perlu diketahui bahwa n merupakan dimensi matriks
itu sendiri. Dalam bentuk persamaan matriks dapat ditulis sebagai berikut:
1 1
1 1 1
1 2 2 2
2 2 2
1 2
. n
n n n
w w
w w w
w w w w w
A n
w w w
w w w w w
= = (9)
Pada prakteknya, tidak dapat dijamin bahwa :
ik ij
jk
a
a
a
=
(10)
Salah satu faktor penyebabnya yaitu karena unsur manusia (responden) tidak selalu
dapat konsisten mutlak (absolte consistent) dalam mengekpresikan preferensinya
terhadap elemen-elemen yang dibandingkan. Dengan kata lain, judgment yang
diberikan tidak untuk setiap elemen persoalan pada suatu level hierarchy dapat saja
inconsistent.
2.1.3 Uji Konsistensi Indeks dan Rasio
Dalam teori matriks dapat diketahui kesalahan kecil pada koefisien akan
menyebabkan penyimpangan kecil pada eigenvalue. Dengan mengkombinasikan apa
yang telah diuraikan sebelumnya, jika diagonal utama dari matriks A bernilai satu dan
jika A konsisten maka penyimpangan kecil dari aijakan tetap menunjukkan
eigenvalue terbesar
λ
maks, nilainya akan mendekati n dan eigenvalue sisanya akanmendekati nol. Penyimpangan dari konsistensi dinyatakan dengan indeks konsistensi
dengan persamaan:
( )
( 1)
maks n CI
n
λ
− =− (11)
Di mana: CI = Rasio penyimpangan (deviasi) konsistensi (consistency index)
maks
λ
= eigenvalue maksimumn = ukuran matriks
Apabila CI bernilai nol, berarti matriks konsisten, batas ketidakkonsistensi
(inconsistency) yang ditetapkan Saaty diukur dengan menggunakan Rasio Konsistensi
(CR), yakni perbandingan indeks konsistensi dengan nilai random indeks (RI) yang
diperlihatkan seperti tabel 2.3. Nilai ini bergantung pada ordo matriks n. Dengan
demikian, Rasio Konsistensi dapat dirumuskan :
CI CR
RI
= (12)
Tabel 2.3 Nilai Indeks Random (RI)
Ukuran
Matriks
1,2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
RI 0,00 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,48 1.56 1,58 1,59
2.2Teori Himpunan Fuzzy
Himpunan A dikatakan crisp jika sebarang anggota-anggota yang ada pada himpunan
A tersebut dikenakan suatu fungsi, akan bernilai 1 yakni jika a∈A maka fungsi a=1.
Namun jika a∉A, maka nilai fungsi yang dikenakan pada a adalah 0. Nilai fungsi
yang dikenakan pada sebarang anggota himpunan A dikatakan sebagai nilai
keangotaan. Jadi pada himpunan crisp, hanya mempunyai 2 nilai keanggotaan yaitu 0
atau 1. Tetapi pada himpunan fuzzy, nilai keanggotaan dari anggota-anggota nya tidak
hanya 1 dan 0 saja. Tapi berada pada interval tertutup [0,1]. Dengan kata lain
himpunan A dikatakan fuzzy selama fungsi
µ
:A→[ ]
0,1.Misalkan diketahui klasifikasi sebagai berikut :
MUDA umur < 35 tahun
SETENGAH BAYA 35 ≤ umur ≤ 55 tahun
TUA umur > 55 tahun,
dengan menggunakan pendekatan crisp, amatlah tidak adil untuk menetapkan nilai
SETENGAH BAYA. Pendekatan ini bisa saja dilakukan untuk hal-hal yang bersifat
diskontinu. Misalkan klasifikasi untuk umur 55 dan 56 sangat jauh berbeda, umur 55
tahun termasuk SETENGAH BAYA, sedangkan umur 56 tahun sudah termasuk tua.
Demikian pula untuk kategori MUDA dan TUA. Orang yang berumur 34 tahun
dikatakan MUDA, sedangkan orang yang berumur 35 tahun sudah TIDAK MUDA
lagi. Orang yang berumur 55 tahun termasuk SETENGAH BAYA, orang yang
berumur 55 tahun lebih 1 hari sudah TIDAK SETENGAH BAYA lagi. Dengan
demikian pendekatan crisp ini sangat tidak cocok diterapkan pada hal-hal yang
bersifat kontinu, seperti umur. Selain itu, untuk menunjukkan suatu umur pasti
termasuk SETENGAH BAYA atau tidak termasuk SETENGAH BAYA, dan
menunjukkan suatu nilai kebenaran 0 atau 1, dapat digunakan nilai pecahan, dan
menunjukkan 1 atau nilai yang dekat 1 untuk umur 45 tahun, kemudian perlahan
menurun menuju ke 0 untuk umur dibawah 35 tahun dan diatas 55 tahun.
2.3 Fungsi Keanggotaan Fuzzy
Sebuah himpunan fuzzy A dari bilangan riil ℜ didefinisikan oleh fungsi
keanggotaannya (dinotasikan oleh A)
A : ℜ → [ 0,1 ]
Jika x∈ℜ maka A(x) dikatakan sebagai derajat keanggotaan x dalam A. Himpunan fuzzy dalam ℜ disebut normal jika terdapat x∈ℜ sehingga A(x) =1.
Himpunan fuzzy dalam ℜ disebut convex jika A adalah unimodal (sebagai
sebuah fungsi). Bilangan fuzzy A adalah himpunan fuzzy dari bilangan riil dengan
normal, (fuzzy) convex dan fungsi keanggotaan yang kontinu dari penyokong yang
terbatas.
2.3.1 Bilangan Fuzzy Triangular
Sebuah himpunan fuzzy A disebut bilangan fuzzy triangular dengan nilai tengah a, sebelah kiri α > 0, dan sebelah kanan β > 0.
Fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut :
− − − − = 0 1 1 ) (
β
α
a t t a t A jika, lainnnya a t a a t aβ
α
+ ≤ ≤ ≤ ≤ − (13)Penyokong A adalah ( a−
α
,b+β
). Bilangan fuzzy triangular dengan nilai tengah a dilihat sebagai nilai kwantitas fuzzy.1
“x dekat terhadap a “ atau “x hampir sama dengan a “.
Gambar 2.1 Bilangan Fuzzy Triangular
Contoh 2.2 :
Fungsi keanggotaan triangular untuk himpunan BERAT pada variabel berat badan
(kg) seperti terlihat pada gambar 2.2.
BERAT
µ
[23] = (23-15)/(25-15)= 8/10
= 4/5
BERAT
(Berat Badan)
Gambar 2.2 Himpunan fuzzy : BERAT (kurva triangular)
2.3.2 Bilangan Fuzzy Trapezoidal
Sebuah himpunan fuzzy A disebut bilangan fuzzy trapezoidal dengan interval
toleransi [ a, ], sebelah kiri αb dan kanan
β
.Fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut :
− − − − = 0 1 1 1 ) (
β
α
b t t a t A jika, lainnya b t a b t a a t aβ
α
+ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − (14)Penyokong A adalah ( a−
α
,b+β
). Bilangan fuzzy trapezoidal dapat dilihat sebagaikwantitas fuzzy.
“ x mendekati pada interval [ a, ] “ b
α
−
[image:30.595.184.452.88.210.2]a a b b+
β
Gambar 2.3 Bilangan Fuzzy Trapezoidal
Contoh 2.3 :
Fungsi keanggotaan trapezoidal untuk himpunan BERAT pada variabel berat badan
(kg) terlihat seperti gambar 2.4.
BERAT
µ
[23] = (35-32)/(35-27)= 3/8
BERAT
[image:30.595.110.303.527.717.2]
(Berat badan)
Gambar 2.4 Himpunan fuzzy : BERAT (kurva trapezoidal)
2.4 Himpunan Penyokong ( Support Set )
Terkadang bagian tidak nol dari suatu himpunan fuzzy tidak ditampilkan dalam
domain. Sebagai contoh, domain untuk BERAT adalah 15 kg hingga 35 kg, namun
kurva yang ada dimulai dari 17 kg hingga 33 kg (gambar 2.5). Daerah ini disebut
dengan himpunan penyokong (support set). Hal ini penting untuk menginterpretasikan
dan mengatur daerah fuzzy yang dinamis.
BERAT
[image:31.595.106.336.254.403.2]
Gambar 2.5 Support set untuk himpunan fuzzy BERAT
2.5 Nilai Alfa – Cut
Salah satu teknik yang erat hubungannya dengan himpunan penyokong adalah
himpunan level-alfa (α -cut). Level-alfa ini merupakan nilai ambang batas domain
yang didasarkan pada nilai keanggotaan untuk tiap-tiap domain. Himpunan ini berisi
semua nilai domain yang merupakan bagian dari himpunan fuzzy dengan nilai
keanggotaan lebih besar atau sama dengan α.
Gambar 2.6 Nilai alfa-cut untuk himpunan fuzzy BERAT
[image:31.595.116.360.597.738.2]α
- cut lemah dapat dinyatakan sebagai :µ
A( )
x ≥α
α
-cut kuat dapat dinyatakan sebagai :µ
A( )
x >α
2.6 Operasi – operasi Pada Himpunan Fuzzy
Seperti halnya himpunan biasa, ada beberapa operasi yang didefinisikan secara khusus
untuk mengkombinasi dan memodifikasi himpunan fuzzy. Berikut ini beberapa
operasi logika fuzzy yang didefinisikan oleh Zadeh :
Interseksi :
µ
A∩B =min(
µ
A[ ]
x,µ
B[ ]
y)
(15) Union :µ
A∪B =max(
µ
A[ ]
x,µ
B[ ]
y)
(16) Komplemen :µ
A'=1−µ
A[ ]
x (17)Karena himpunan fuzzy tidak dapat dibagi dengan tepat, seperti halnya pada
himpunan crisp, maka operasi-operasi ini diaplikasikan pada tingkat keanggotaan.
Suatu elemen dikatakan menjadi anggota himpunan fuzzy jika :
1. Berada pada domain himpunan tersebut.
2. Nilai kebenaran keanggotaannya ≥0
3. Berada diatas
α
- cut yang berlaku2.6.1 Interseksi Himpunan Fuzzy
Pada himpunan crisp, interseksi antara dua himpunan berisi elemen-elemen yang
berada pada kedua himpunan. Hal ini ekivalen dengan operasi aritmatik atau logika
AND. Pada logika fuzzy konvensional, operator AND diperlihatkan dengan derajat
keanggotaan minimal antar kedua himpunan. Berikut adalah aturan dasar Zadeh untuk
interseksi fuzzy, daerah diantara dua himpunan ditentukan oleh aplikasi operasi
tersebut.
[ ]
[ ]
(
A x B y)
B
A
µ
µ
µ
∩ =min ,2.6.2 Union Himpunan Fuzzy
Union dari dua himpunan dibentuk dengan menggunakan operator OR. Pada logika
fuzzy konvensional, operator OR diperlihatkan dengan derajat keanggotaan minimal
antar kedua himpunan. Operator fuzzy OR jarang sekali digunakan dalam pemodelan
sistem, karena operasi OR pada dasarnya dapat dibentuk sebagai gabungan dari 2
proposisi fuzzy.
Sebagai contoh :
If x is A OR y is B then z is C Dapat dibentuk :
If x is A then z is C If y is B then z is C
Pada kedua kasus, kekuatan nilai keanggotaan antara konsekuen z dan daerah Fuzzy
C oleh max
(
µ
A[ ]
x,µ
B[ ]
y)
. Seperti halnya pada operator AND, dapat jugamemvisualisasikan proses ini sebagai peng-OR-an bit pada vector Boolean yang
merepresentasikan kebenaran dari ekspresi himpunan karakteristik untuk tiap-tiap
kategori.Untuk membangun himpunan fuzzy menggunakan union dari dua himpunan
berikut digunakan aturan Zadeh dasar untuk union Fuzzy, ditentukan oleh operasi
sebagai berikut :
[ ]
[ ]
(
A x B y)
B
A
µ
µ
µ
∪ =max , (18)2.6.3 Komplemen (Negasi)
Komplemen atau negasi suatu himpunan A berisi semua elemen yang tidak berada di
A dan direpresentasikan dengan :
[ ]
x AA
µ
µ
'=1− (19)Pada logika fuzzy, komplemen dihasilkan dengan cara menginversikan fungsi
kebenaran untuk tiap-tiap titik pada himpunan fuzzy tersebut.
2.7 Perhitungan Dasar Logika fuzzy
2.7.1 Fuzzyfikasi
Fuzzyfikasi dalah suatu proses pengubahan nilai tegas/real yang ada ke dalam fungsi
keanggotaan fuzzy.
2.7.2 Defuzzyfikasi
Merupakan proses pemetaan himpunan fuzzy ke himpunan tegas (crips). Proses ini
merupakan kebalikan dari proses fuzzyfikasi
Proses defuzzyfikasi diekspresikan sebagai berikut :
Z = defuzzidier (Z)
Dimana :
Z = Hasil penalaran fuzzy
Z = keluaran fuzzy logic
Defuzzier = Operasi defuzzie
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1Analytical Hierarchy Process (AHP)
Secara umum, langkah-langkah dasar dari AHP dapat diringkas dalam penjelasan
berikut ini:
1. Mendefinisikan masalah dan menetapkan tujuan.
2. Menyusun masalah dalam struktur hirarki.
3. Menyusun prioritas untuk tiap elemen masalah pada tingkat hirarki.
4. Melakukan pengujian konsistensi terhadap perbandingan antar elemen yang
didapatkan pada tiap tingkat hirarki.
5. Melakukan pengujian konsistensi hirarki.
Berikut ini adalah langkah-langkah perhitungan menggunakan AHP:
Langkah 1: Menentukan perbandingan berpasangan
i ij
j
w
a
w
=
; ∀i j, =1, 2, 3,...,nLangkah 2: Menormalisasikan setiap kolom dengan cara membagi setiap kolom ke-I
dan baris ke-j dengan nilai terbesar pada kolom ke-i
i
j
a
a
a
ij j ij
ij
,
,
max
∀
=
Langkah 3: Menjumlahkan nilai pada setiap kolom ke-i, yaitu
∀ =
j ij
ij a i
a ,
Langkah 4: Akhirnya bobot prior bagi setiap kriteria ke-j, didapat dengan membagi
setiap nilai
ai dengan jumlah kriteria yang di bandingkan (n), yaitu
i n a wi = i ,∀
ˆ ˆ
3.2 Transformasi Logika Fuzzy terhadap AHP
Tidak seperti pada metode AHP orisinal yang menggunakan skala 1-9 dalam pairwise
comparison, tulisan ini sebagai gantinya menggunakan fuzzy numbers.
} ), ( ,
{x x x R
M =
µ
M ∈ yang mana nilai x terletak dalam R1 (−∞≤ x≤∞) danµ
M(x)adalah kontinu di R1 pada interval [0,1]. Dan
µ
M(x) adalah didefenisikan di dalam fungsi keanggotaan fuzzy seperti terlihat dibawah ini:3 3 2 2 3 3 2 1 1 2 1 1 0 ) ( : ) ( ) ( : ) ( 0 ) , , , ( a x untuk a x a untuk a a x a a x a untuk a a a x a x untuk c b a x > ≤ ≤ − − ≤ ≤ − − < =
µ
(1)3.2.1 Grafik fungsi keanggotaan fuzzy
Sehingga peratingan dengan skala 1-9 oleh Saaty (1980 ) dapat direpresentasikan
menjadi fuzzy set M1 = ‘mendekati satu’ sampai dengan M9 = ‘mendekati sembilan’,
dapat dilihat dalam grafik linguistik variabel berikut :
Grafik. Fungsi keanggotaan Linguistik Variable
Dari grafik di atas, dapat ditentukan untuk masing-masing fungsi keanggotaan
dan dapat juga ditentukan nilai fuzzy nya (Fuzzifikasi).
Tabel 3.2.2 Skala TFN dalam Variabel Linguistik
Variable linguistic Nilai
kepentingan
pada AHP
Bilangan
fuzzy untuk
fuzzy AHP
Skala
TFN
Fuzzy
(a,b,c)
Skala
(derajat
keangotaan
fuzzy)
Equal 1 ~1 (1,1,2) 0,5
Equal –Moderate 3 ~3 (2,3,4) 0,5-0,6
Moderate 5 ~5 (4,5,6) 0,6-0,7
Moderate-Fairly
Strong
7 ~7 (6,7,8) 0,7-0,8
Absolute 9 ~9 (8,9,9) 0,9-1
Nil;ai antar dua
pertimbangan
yang bedekatan
2,4,6,8
[image:37.595.121.491.368.748.2]Untuk lebih jelasnya bagaimana pengunaan transformasi bilangan fuzzy terhadap
AHP, diambil contoh sebagai berikut:
Contoh 3.2.3:
Apabila seorang customer memberi penilaian pada suatu kriteria A sama dengan
delapan yang berarti ‘baik’. Dari penilaian ini dapat di buat TFNs M8 = ‘mendekati
8’ = (7.8.9) yang direprensentasikan sebagai berikut:
9 0 9 8 ) 8 9 /( ) 9 ( 8 7 ) 7 7 /( ) 7 ( 7 0 ) , , , ( > ≤ ≤ − − ≤ ≤ − − < = x untuk x untuk x x untuk x x untuk c b a x
µ
(2)fungsi diatas berarti kemungkinan kriteria A di beri rating delapan adalah
µ
M8 (8) = 1, Kemungkinan kriteria A diberi rating yang lebih rendah, misalkan tujuh setengahadalah
µ
M7(7,5)= lima puluh persen, sedangkan untuk rating lebih tinggi, misalkandelapan setengah adalah
µ
M7(8,5) = lima puluh per sen.Soal diatas hanya sebagai contoh bagaimana AHP di transformasikan ke dalam
himpunan fuzzy khususnya Fuzzy Triangular, dibawah ini akan diberikan contoh
matriks AHP akan ditransformasikan kedalam bilangan fuzzy.
Contoh 3.2.4.
[image:38.595.109.453.594.723.2]Diberikan matriks perbandingan AHP:
Tabel 3.2.4
X1 X2 X3 X4 X5
X1 1 5 3 3 6
X2 1/5 1 1/6 1/3
X3 1/3 6 1 ½ 8
X4 1/3 6 2 1 6
X5 1/6 3 1/8 1/6 1
Sehingga dalam bilangan fuzzy (TFNs):
Tabel 3.2.5
X1 X2 X3 X4 X5
X1 (1,1,2) (4,5,6) (2,3,4) (2,3,4) (5,6,7)
X2 (1/6,1/5,1/4) (1,1,2) (1/7,1/6,1/5) (1/7,1/6,1/5) ¼,1/3,1/2
X3 (1/4,1/3,1/2) (5,6,7) (1,1,2) (1/3,1/2,1) (7,8,9)
X4 (1/4,1/3,1/2) (5,6,7) (1,2,3) (1,1,2) (5,6,7)
X5 (1/7,1/6,1/5) (2,3,4) (1/9,1/8,1/7) (1/7,1/6,1/5) (1,1,2)
3.3 Perhitungan Bobot Fuzzy AHP
Langkah-langkah fuzzy AHP ada 2 cara :
3.3.1 Chang’s Method (1996)
Penggunaan fuzzy AHP Chang’s methode yang paling sederhana dibandingkan
metode Fuzzy AHP yang banyak sudah dikembang para peneliti, adapun caranya
adalah:
3.3.1.1Menentukan Prioritas Lokal (Perbandingan criteria I)
Dengan mengkombinasikan prosedur AHP yang orisinil dengan operasi aritmatik
untuk bilangan fuzzy, diperoleh persaman berikut:
{
n}
i a a a v n in i l
i ) , 1,2,3...,
~ ... ~ ~ ( ~ 1 2
1 ⊗ ⊗ ⊗
ε
= (3)
3.3.1.2 Menentukan Prioritas Global (Perbandingan Kriteria I dengan Sub
Kriteria )
Yang menunjukan rangking dari masing-masing metoda peramalan, yang
bersangkutan. Persamaan nya dapat ditulis:
) ~ ~ ( ... ) ~ ~ ( ) ~ ~ ( ~ 2 2 1
1 i i j ij
i w v w v w v
P = ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ (4)
3.3.1.3 Defuzzyfikasi
Nilai defuzzyfikasinya dapat diperoleh dari persamaan berikut (Tang et al 2000):
(
)
(
)
[
]
i i i i i i LP LP MP LP UPDP = − + − +
3 , (5)
dengan Pi=
(
LPi,MPi,UPi)
, nilai defuzzyfikasi akan dinormalkan dengan membagi nilai defuzzifikasi tersebut dengan nilai penjumlahan semua nilai defuzzifikasi.3.3.2 Rata-rata Geometris
3.3.2.1 Mengubah variabel linguistic dalam bentuk bilangan fuzzy.
Data kuisioner dalam bentuk variabel linguistic dikonversikan ke bentuk bilangan
fuzzy. Contoh bilangan fuzzy untuk bilangan fuzzy triangular (Triangular Fuzzy
Number atau TFN) terlihat pada Tabel 1 dimana variabel linguistic dikonversikan ke
dalam tiga tingkat fuzzy, yaitu low (c); medium (b); dan high (b).
3.3.2.2 Menyusun matriks perbandingan berpasangan diantara semua
elemen/criteria dalam dimensi sistem hirarki berdasarkan penilaian
dengan variabel linguistic.
= 1 ~ .... ~ ... 1 ~ ~ ... 1 ˆ 1 2 21 1 12 n n n a a a a a A = 1 ~ 1 . . ~ 1 1 ~ 1 ~ ... ~ 1 1 2 12 1 12 n n n a a a a a
, (6)
di mana :
= j terhadap penting kurang i kriteria j terhadap penting sama i kriteria j terhadap penting relatif i kriteria aij 8 ~ , 6 ~ , 2 ~ 1 9 ~ , 7 ~ , 5 ~ , 3 ~ , 1 ~ ~
3.3.2.3 Menghitung rata-rata geometris dari penilaian responden
Langkah selanjutnya adalah merekap hasil penilaian seluruh responden dan
menghitung rata-rata geometris dari nilai batas bawah (c); nilai tengah (a); dan nilai
batas atasnya (b) dari keseluruhan responden. Berikut ini rumus yang digunakan untuk
menghitung rata-rata
geometris :
c c
c
c= 1 2 .... (7)
n a a
a
a = 1 2.... (8)
n b b
b
b= 1 2... (9)
3.3.2.4 Defuzzifikasi
Setelah perhitungan rata-rata geometris, hasil tersebut dilakukan defuzzifikasi untuk
mendapatkan nilai crisp dari nilai rata-rata geometris bilangan fuzzy untuk diolah
kembali dalam AHP. Salah satu teknik defuzzifikasi adalah centre of gravity (COG).
Adapun rumus dari defuzzifikasi adalah sebagai berikut :
(
)
(
)
(
)
(
)
b c a c b c a c bx x b a cx x c a x b x b a x c x b a COG − − + − − − − + − − = 2 3 2 2 2 3 2 3 3 1 1 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 (10)3.3.2.5 Menghitung bobot dengan AHP
Perhitungan bobot dilakukan apabila hasil kuesioner terbukti konsisten, yaitu jika nilai
Consistency Ratio (CR) < 0.1. Untuk mendapatkan CR dilakukan perhitungan
Consistency Index (CI) terlebih dahulu. Berikut ini rumus untuk menghitung CI :
1
− − =
n n CI
λ
maks, (11)
di mana :
maks
λ
= nilai eigen maksimumN = ukuran matriks
CI = Consistency Index.
Nilai CI tersebut kemudian dibandingkan dengan nilai Ratio Index (RI) sesuai
dengan ukuran matriks sehingga diperoleh nilai Consistency Ratio (CR). Matriks
dinyatakan konsisten jika nilai CR tidak lebih dari 0,1.
3.4. Analisis Numerik
Penggunaan fuzzy AHP yang akan digunakan dalam Analisis numeric ini adalah
dengan cara Chang’s Method.
Sekarang mari kita lihat problem keputusan seperti pemilihan konsep produk
yang tepat untuk dikembangkan. Pengambil keputusan dihadapkan pada ketidak
pastian dari peristiwa seperti apakah produk akan ‘sangat sukses’ dengan probabilitsas
S1, ‘cukup sukses’ dengan probabilitas S2, atau ‘gagal ‘ dengan probabilitas S3.
Dengan problem keputusan dapat digambarkan sebagai berikut.
Kemungkinan sukses atau gagalnya produk di pasar sulit ditentukan sacara
akurat. Pengambil keputusan akan menggunakan subyektivitasnya ketika mengukur
apakah konsep produk akan berhasil atau tidak. Tentu ada beberapa criteria yang
dapat digunakan untuk mengukur tingkat kesuksesan alternative konsep produk yang
ada. Problem keputusan kemudian dapat distrukturkan menjadi problem
MCDM(AHP) dengan hierarki keputusan seperti terlihat dalam Gambar. Untuk
keperluan diskusi, hanya ada desaian (Bentuk, Kegunaan, dan Tahan lama) dan tiga
kemungkinan peristiwa (S1, S2, S3) yang diperhitungkan.
Tujuan utama
Kriteria
Alternatif
[image:43.595.107.498.292.485.2]peristiwa
Gambar 3.4.1 Herarki Keputusan Untuk mengukur Kesuksesan Konsep Produk
Dengan menggunakn pendekatan AHP, pertama kali kita mencoba mencari bobot dari
masing-masing criteria.
Tabel 3.4.2 Tabel perbandingan AHP untuk Kriteria
Bentuk Kegunaan Tahan lama
Bentuk 1 3 7
Kegunaan
3
1 1 5
Tahan lama
7 1
5
1 1
! " #
$ $ $
[image:43.595.98.525.620.744.2]Tabel 3.4.3 Tabel Perbandingan AHP untuk criteria Bentuk dengan alternative
[image:44.595.103.521.346.480.2]peristiwa
Tabel 3.4.4 Tabel Perbandingan AHP untuk criteria Kegunaan dengan
alternative peristiwa
Tabel 3.4.5 Tabel Perbandingan AHP untuk criteria Tahan Lama dengan
alternative peristiwa
Bentuk S1 S2 S3
S1 1 3 7
S2
3
1 1 5
S3
7 1
5
1 1
Kegunaan S1 S2 S3
S1 1
6 1
5 1
S2 6 1 5
S3 5
5
1 1
Tahan Lama S1 S2 S3
S1 1 5 9
S2
5
1 1 5
S3
9 1
5
1 1
[image:44.595.100.523.593.715.2]Tabel 3.4.6 Tabel Perbandingan Fuzzy AHP kriteria
Bentuk Kegunaan Tahan lama
Bentuk (1,1,1) (2,3,4) (6,7,8)
Kegunaan ( 4 1 , 3 1 , ) 2
1 (1,1,1) (4,5,6)
Tahan lama ( , 8 1 7 1 , 6 1 ) ( , 6 1 5 1 , ) 4 1 (1,1,1)
Terlihat bahwa criteria Bentuk sebagai criteria terpenting, dibandingkan , dan
Tahan lama Dari persamaan (3) , diperoleh bilangan fuzzy untuk bobot dari
masing-masing sebagai berikut:
30 , 0 ; 10 , 0 ; 05 , 0 ( ) 73 , 0 ; 26 , 0 ; 1 , 0 ( ), 40 , 1 ; 64 , 0 ; 25 , 0 ( = = = tahanlama kegunaan bentuk v v v
Proses perbandingan kemudian dilanjutkan pada level alternative peristiwa untuk
setiap konsep produk.
Tabel 3.4.7 Perbandingan untuk alternatif peristiwa dari konsep produk dengan
Fuzzy AHP
Bentuk S1 S2 S3
S1 (1,1,1) (2,3,4) (6,7,8)
S2 ( 4 1 , 3 1 , ) 2
1 (1,1,1) (4,5,6)
S3 , 8 1 7 1 , 6 1 ) ( , 6 1 5 1 , ) 4 1 (1,1,1)
Kegunaan S1 S2 S3
S1 (1,1,1) (2,3,4) (6,7,8)
S2 ( ) 2 ` 1 , 3 1 , 4
1 (1,1,1) (4,5,6)
S3 ( ) 6 1 , 7 1 , 8 1 ) 4 1 , 5 1 , 6 1 (1,1,1)
[image:45.595.101.523.103.229.2]Hasil penilaian tiap kandidat pemasok berdasarkan masing-masnig criteria
[image:46.595.101.533.351.462.2]diperoleh sebagai berikut:
Tabel 3.4.8 Hasil penilaian Alternatif berdasarkan Kriteria
Bentuk Kegunaan Tahan lama
O,25 0,64 1.40 0,10 0,26 0,73 0,05 0,10 0,30
S1 0,09 0,19 0,36 0,08 0,18 0,42 0,43 0,73 1,22
S2 0,05 0,08 0,18 0,10 0,16 0,42 0,09 0,19 0,36
S3 0,43 0,.73 1,22 0,27 0,66 1,38 0,05 0,08 0,18
Dengan menggunakan persamaan (4), akhirnya diperoleh urutan terbaik dari
setiap kandidat pemasok, yaitu
S1 = (0.05,0.24,1.18);S2= (0.03,0.11,0.67);S3 = (0.14,0.64,2.78)
Hasil yang Fuzzy diatas dapat dijadikan angka defuzzifikasi dengan menggunakan
persamaan (5) dan hasilnya:
S1 = 0.49; S2 = 0.27; S3 = 1.19.
Atau setelah dinormalkan akhirnya diperoleh penilaian masing-masing pemasok
sebagai berikut :
(S1)n =0,24 ; (S2)n = 0,14; ( S3)n = 0,61
Dengan demikian konsep produk yang sedang dinilai memiliki kemungkinan ‘sangat
sukses’ sebesar 25%, ‘cukup sukses’ sebesar 14% dan ‘gagal’ 61%.
Tahan Lama S1 S2 S3
S1 (1,1,1) (4,5,6) (8,9,9)
S2
) 4 1 , 5 1 , 6
1 (1,1,1) (4,5,6)
S3
) 8 1 , 9 1 , 9 1
) 4 1 , 5 1 , 6
1 (1,1,1)
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 KESIMPULAN
1. Logika Fuzzy pada AHP dapat mendefinisikan batasan berdasarkan kebutuhan
yang diukur dengan perasaan/subjektifitas yang tidak bisa dikemukakan secara
tepat oleh batasan crisp (AHP konvensional).
2. Penggunaan Fuzzy AHP yang dilakukan oleh Chang’ method lebih sederhana
dan mudah dimengerti.
4.2 SARAN
Fuzzy AHP mempunyai kelebihan yaitu tingkat subyektivitas dari pengambil
keputusan dapat diakomodasikan, dan kekurangan dari Fuzzy AHP adalah perlunya
informasi tambahan yaitu nilai opimistik dan pesimistik. Dan, untuk lebih memahami
kelebihan dari Fuzzy AHP sebaiknya diaplikasikan dalam persoalan yang lebih
Multikriteria.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Chang, D Y. 1996. Appliation of extent analysis methode on fuzzy AHP. European
journal of operational Research, Eropa.
[2] Latifah, siti. 2005. Prinsip-prinsip Dasar Analitycal Hierarchy Proses, jurnal
Studi Kasus Fakultas Pertanian, Universitas Sumatra Utara(USU), Medan.
[3] Kusumadewi, Sri dkk.2004. Aplikasi logika fuzzy untuk pendukung
Keputusan,Yogyakarta
[4] Raharjo, Jani. 2002. Aplikasi Fuzzy AHP dalam Seleksi Karyawan, jurnal dosen
fakultas teknik industri, jurusan teknik industri, Universitas kristen Petra,
Surabaya.
[5] Robandi, Iman. 2006. Desain Tenaga Modern Optimisasi, Logika Fuzzy, dan
Algoritma Geetika. Yogyakarta.
[6] Saaty, T. Lorie.1980. Decision Making Dependence And Fee back, The Analytic
Network Process, McGraw-Hill, USA.
[7] Widodo,Tomas Sri.2005.Sistem Neuro Fuzzy untuk Pengolahan Informasi,
Pemodealan dan Kendali.Yogyakarta.