PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK METODE ZILLMER DAN ILLINOIS
(Skripsi)
Oleh Mahfuz Hudori
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK METODE ZILLMER DAN ILLINOIS
Oleh Mahfuz Hudori
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
pada
Program Studi Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
PENDEKATAN DISTRIBUSI GOMPERTZ
PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK METODE ZILLMER DAN ILLINOIS
Oleh
MAHFUZ HUDORI
Laju mortalita merupakan bagian yang mempengaruhi besarnya premi yang akan dibayarkan oleh nasabah kepada perusahaan asuransi jiwa. Oleh karena itu, perusahaan asuransi jiwa perlu memperkirakan laju mortalita nasabahnya serta jumlah premi yang akan diterima pada waktu tertentu untuk menjamin pembayaran santunan. Untuk memperkirakan dan menghitung laju mortalita yang terjadi serta fungsi survival-nya, perusahaan asuransi jiwa dapat menggunakan pendekatan distribusi Gompertz. Sedangkan untuk mengukur kewajiban perusahaan asuransi atas polis yang dikelolanya tersebut, digunakan metode Zillmer dan Illinois. Pada penelitian ini digunakan Life Table for the Total Population United States, Tahun
1979-1981, dan diperoleh nilai koefisien Gompertz-nya, yaitu c = 1.059, dan B = 0.001. Hasil penelitian menunjukkan bahwa cadangan Zillmer dan Illinois pada
asuransi jiwa seumur hidup, endowment murni dan dwiguna akan menghasilkan nilai cadangan yang sama besarnya apabila persentase biaya yang digunakan pada cadangan Zillmer untuk masing-masing asuransi jiwa tersebut bernilai 12.557 %, 3.86512 %, dan 3.5885 %. Metode Zillmer dapat diterapkan pada semua jenis asuransi jiwa, sedangkan metode Illinois hanya dapat digunakan pada asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran kurang dari 20 kali, endowment murni dan Dwiguna.
PADA CADANGAN ASURANSI JIWA
UNTUK METODE ZILLMER DAN ILLINOIS
Nama Mahasiswa : Mahfuz Hudori
Nomor Pokok Mahasiswa : 0717031007
Program Studi : Matematika S1
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI 1. Komisi Pembimbing
Drs. Rudi Ruswandi, M.Si NIP. 19560208 198902 1001
Widiarti, S.Si., M.Si
NIP. 19800502 200501 2003
2. Mengetahui
Ketua Jurusan Matematika FMIPA Unila
1. Tim Penguji
Ketua : Drs. Rudi Ruswandi, M.Si. ………..
Sekretaris : Widiarti, S.Si., M.Si. ………..
Penguji
Bukan Pembimbing : Warsono, Ph.D. ………..
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D.
NIP. 19690530 199512 1001
Penulis dilahirkan di Desa Gunung Sugih Kecamatan Kedondong Kabupaten
Pesawaran pada tanggal 11 April 1989, sebagai anak kelima dari Bapak M. Sareh
dan Ibu Suparmi.
Penulis memulai pendidikan dasarnya di SDN 1 Gunung Sugih Kecamatan
Kedondong Kabupaten Pesawaran pada tahun 2001. Kemudian melanjutkan ke
MTs MA Tempel Rejo Kecamatan Kedondong Kabupaten Pesawaran dan selesai
pada tahun 2004. Di tahun yang sama, penulis masuk sekolah menengah atas di
Madrasah Aliyah Negeri (MAN) Kedondong Kecamatan Kedondong Kabupaten
Pesawaran dan menyelesaikannya pada tahun 2007.
Pada tahun 2007, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika
FMIPA Unila melalui jalur PKAB. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif di
berbagai organisasi kampus, diantaranya : Unit Kegiatan Mahasiswa Fakultas
(UKMF) Rohani Islam (ROIS) FMIPA Unila periode 2008-2009 sebagai anggota
Biro Bimbingan Baca Qur’an (BBQ), Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) FMIPA Universitas Lampung periode 2008-2009 sebagai Ketua
Bidang I (Kaderisasi dan Kepemimpinan) serta HIMATIKA FMIPA Universitas
Lampung periode 2009-2010 sebagai Ketua Umum, Badan Eksekutif Mahasiswa
KBM Universitas Lampung periode 2011-2012.
Selain itu, selama menjadi mahasiswa di Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung, penulis terlibat aktif dalam kegiatan bidang akademik, diantaranya
sebagai peserta Olimpiade Sains Tingkat Nasional di Yogyakarta tahun 2009
mewakili mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Unila, serta sebagai penerima
MOTTO :
“Jadikanlah Hidup Lebih Bermakna dengan Ilmu yang Bermanfaat”
Kupersembahkan karya ini untuk :
Matematika and Statistika Lover’s
Kedua orang tua dan keluargaku
Para Dosen dan Guru-guruku
Sahabat dan teman-temanku
SANWACANA
Puji syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan hidayah dan nikmat-Nya
kepada penulis sehingga mampu menyelesaikan skripsi ini secara masksimal.
Sholawat dan salam semoga tetap tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW.
Penulisan skripsi ini dilakukan sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar
Sarjana Sains (S.Si) di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Oleh karena itu, dengan
terselesaikannya skripsi ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si., selaku Dosen Pembimbing I yang selalu
memberikan bimbingan, dan ilmunya selama dalam penyelesaian skripsi
1. IbuWidiarti, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing II yang telah memberikan
ide, saran, dan ilmunya kepada penulis selama proses pengerjaan skripsi
2. Bapak Warsono, Ph.D., selaku Penguji Bukan Pembimbing yang telah
memberikan ide, saran dan kritik kepada penulis
3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas MIPA Universitas Lampung
4. Bapak Amanto, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika Fakultas MIPA
Universitas Lampung
5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
6. Kedua orang tuaku (M. Sareh dan Suparmi), serta saudara-saudaraku
(Nurkholis, Ahmad Bahromi, Aziz Munazar, Fida ’Alina, Fahad Almafakir,
Masturoh, dan Saiful Rohman). Terima kasih atas do’a, motivasi dan
bimbingannya yang telah diberikan
7. Rekan sekaligus sahabatku selama dalam masa bimbingan: Rohman, Roza,
Sorta, dan Eva. Terimakasih atas kebersamaan dan bantuannya selama ini
8. Rekan sekaligus sahabatku di Animasi 07 : Ardi, Ibnu, Gayoh, Herdumi,
Juanda, Tukino, Ales, Wayan, Henoh, Agung, Meli, Ning, Ana, Sela, Ayu,
Ria, dan lainnya, terimakasih atas rasa kekeluargaan yang diberikan selama ini
9. Sahabat-sahabatku : Agung Nurmawan, Rani Sabtelasari, Mardiyah, dan
Marlina (Presidium HIMATIKA Periode 2009-2010), dan Dwi Fitrian S,
Nurtika, Ade H (Presidium dan Pimpinan BEM FMIPA Periode 2010-2011).
Terimakasih atas ilmu dan kerja samanya
10.Keluarga TKM (Team Kretivitas Mahasiswa) DPM-U/MPM Periode
2011-2012 : Indra W, Eko A, Hariansyah, Usep, Agoes SH, Tommi, Cahyo, Janwar,
Andro, Sujarwo Songha, Ali, Abdul, Desta, Yesi, Hesti, Eny, Serly, Shinta,
Vina, dan Tanti. Terima kasih atas motivasi yang telah diberikan, semoga
ukhuwah ini tetap dijaga oleh-Nya.
11.Para sesepuh : K Rahmadi, K Rochfi’i, K Adi, Mba Yuli, Mba Nuraini.
Terima kasih atas nasehat dan ilmu-ilmunya
Semoga Allah senantiasa memberikan kebaikan dan balasan atas jasa dan budi
yang telah diberikan. Aamiin.
Bandar Lampung, Desember 2012 Penulis
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Sistem pembayaran benefit/santunan pada
asuransi jiwa berjangka ... 20
2. Sistem pembayaran benefit/santunan pada
asuransi jiwa endowment murni ... 21
3. Sistem pembayaran benefit/santunan pada
asuransi jiwa dwiguna ... 22
4. Sistem pembayaran benefit/santunan pada
asuransi jiwa seumur hidup ... 23
5. Ilustrasi dana yang akan diperoleh dan dikeluarkan
oleh perusahaan asuransi ... 35
6. Ilustrasi dari dana yang terkumpul dengan
menggunakan metode retrospektif ... 36
7. Ilustrasi dari dana yang terkumpul dengan
menggunakan metode prospektif ... 39
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
4.3.1 Nilai total biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan asuransi ... 57
4.3.2 Biaya yang dikeluarkan perusahaan asuransi pertahunnya (p) ... 57
4.3.3 Premi Zillmer dengan jenis asuransi jiwa yang digunakan ... 58
4.3.4 Premi Illinois untuk masing-masing asuransi jiwa
yang digunakan ... 63
4.3.5 Nilai cadangan Zillmer dan Illinois asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran 10 kali dengan usia x = 25 Tahun,
benefit = 10.000, i= 6%, δ = 0,0582689, m = 0,017444376,
c = 1,059, B = 0,001, dan f = 5 % ... 67
4.3.6 Nilai cadangan Zillmer dan Illinois asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran 10 kali dengan usia x = 25 Tahun, benefit = 10.000, i= 6%, δ = 0,0582689, m = 0,017444376,
c = 1,059, B = 0,001, dan f = 12,557 % ... 68
4.3.7 Nilai cadangan Zillmer dan Illinois asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran 10 kali dengan usia x = 25 Tahun, benefit = 10.000, i= 6%, δ = 0,0582689, m = 0,017444376,
c = 1,059, B = 0,001, dan f = 12,6 % ... 69
4.3.8 Nilai cadangan Zillmer dan Illinois asuransi jiwa berjangka 10 tahun dengan usia x = 25 Tahun,
benefit = 10.000, i= 6%, δ = 0,0582689, m = 0,017444376,
c = 1,059, B = 0,001, dan f = 5 % ... 70
4.3.9 Nilai cadangan Zillmer dan Illinois asuransi jiwa endowment murni 10 tahun dengan usia x = 25 Tahun, benefit = 10.000, i= 6%, δ = 0,0582689, m = 0,017444376,
4.3.10 Nilai cadangan Zillmer dan Illinois asuransi jiwa endowment murni 10 tahun dengan usia x = 25 Tahun, benefit = 10.000, i= 6%, δ = 0,0582689, m = 0,017444376,
c = 1,059, B = 0,001, dan f = 3,86512 % ... 72
4.3.11 Nilai cadangan Zillmer dan Illinois asuransi jiwa endowment murni 10 tahun dengan usia x = 25 Tahun, benefit = 10.000, i= 6%, δ = 0,0582689, m = 0,017444376,
c = 1,059, B = 0,001, dan f = 3,864 % ... 73
4.3.12 Nilai cadangan Zillmer dan Illinois asuransi jiwa dwiguna 10 tahun dengan usia x = 25 Tahun, benefit = 10.000, i= 6%, δ = 0,0582689, m = 0,017444376, c = 1,059,
B = 0,001, dan f = 5 % ... 74
4.3.13 Nilai cadangan Zillmer dan Illinois asuransi jiwa dwiguna 10 tahun dengan usia x = 25 Tahun, benefit = 10.000, i= 6%, δ = 0,0582689, m = 0,017444376, c = 1,059,
B = 0,001, dan f = 3,5885 % ... 75
4.3.14 Nilai cadangan Zillmer dan Illinois asuransi jiwa dwiguna 10 tahun dengan usia x = 25 Tahun, benefit = 10.000, i= 6%, δ = 0,0582689, m = 0,017444376, c = 1,059,
DAFTAR SIMBOL
Notasi Keterangan
X Waktu sisa hidup nasabah
x Usia nasabah pada saat polis asuransi ditanda tangani
� Perkiraan batas maksimal usia nasabah akan tetap hidup, yaitu 110 tahun T(x) Peubah acak waktu sisa hidup nasabah
� Fungsi distribusi dari T(x)
f(t) Fungsi densitas dari T(x)
� Fungsi hidup mencapai usia survival yang menyatakan peluang bayi yang baru lahir dapat x tahun
�
� Peluang orang yang berusia tahun x tahun akan meninggal sebelum usia x+t
�
� Peluang orang yang berusia tahun x tahun akan tetap hidup sampai usia x+t
� � +
Force of mortality (laju tingkat kematian), yang menyatakan probabilitas (peluang) sisa umur hidup seseorang yang berusia x tahun antara t dan t +
∆ tahun dengan syarat ia masih hidup pada usia x sampai x + t tahun �� Jumlah orang yang diharapkan masih hidup sampai usia sekelompok orang yang jumlahnya lo ketika baru lahir x tahun dari
dx Banyaknya orang yang berusia x tahun akan meninggal sebelum mencapai
usia x+1 tahun
i Rate of interest annually, tingkat suku bunga
bt Besarnya santunan (benefit)
v Nilai tunai (present value)
� Laju tingkat suku bunga (force of interest)
Z Fungsi peubah acak (Actuarial Present Value) pembayaran benefit pada saat polis asuransi dikeluarkan
A̅ ′x:n|̅ Premi tunggal bersih asuransi jiwa berjangka berusia x tahun n tahun untuk nasabah yang
A̅x:n|̅′ Premi tunggal bersih asuransi jiwa nasabah yang berusia x tahun endowment murni n tahun untuk
A̅x Premi tunggal bersih asuransi jiwa seumur hidup untuk nasabah yang berusia x tahun
�̅ x:n|̅ Anuitas hidup berjangka n tahun untuk nasabah yang berusia x tahun
�̅ �̅�:�| ′̅̅̅ Premi bersih datar dari asuransi jiwa berjangka setiap awal periode untuk nasabah yang berusia nx tahun yang dibayarkan tahun
�̅ �̅�:�| ′̅̅̅ Premi bersih datar dari asuransi jiwa dibayarkan setiap awal periode untuk nasabah yang berusia endowment murni n tahun yang x tahun
�̅ �̅�:�|̅̅̅ Premi bersih datar dari asuransi jiwa dwiguna setiap awal periode untuk nasabah yang berusia n tahun yang dibayarkan x tahun
�̅(�̅�) Premi bersih datar dari asuransi jiwa seumur hidup yang dibayarkan setiap awal periode untuk nasabah yang berusia x tahun
�̅�
� Cadangan asuransi jiwa akhir tahun ke-t untuk nasabah yang berusia tahun x
�̅� Premi untuk perhitungan cadangan asuransi jiwa dengan metode Zillmer
Besarnya biaya yang dikeluarkan perusahaan asuransi setiap tahunnya
f Biaya permulaan yang dinyatakan dalam persentase dari santunan atau
premi tunggal asuransi jiwa
�̅�
� (�̅�) Cadangan asuransi jiwa seumur hidup akhir tahun ke-t dengan metode Zillmer untuk nasabah yang berusia x tahun
k k = min (n, 20), yaitu batas maksimal pembayaran premi dengan metode
Illinois
� Premi untuk tahun pertama pada metode Illinois
� Premi untuk tahun kedua sampai dengan k tahun pada metode Illinois
�̅�
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Di dalam asuransi jiwa terdapat suatu perjanjian tertulis (polis asuransi) antara
pihak tertanggung (pemegang polis asuransi/nasabah) dan penanggung
(perusahaan asuransi). Dari polis asuransi tersebut, terdapat kontrak yang
menyatakan bahwa tertanggung akan melakukan sejumlah pembayaran tertentu
secara teratur kepada pihak perusahaan asuransi sebagai imbalan persetujuan
penanggung untuk membayar benefit atau santunan yang telah disepakati dalam
polis asuransi jika orang yang ditanggung meninggal dunia.
Polis asuransi jiwa dapat dibeli dengan pembayaran tunggal atau pembayaran
tetap berkala. Pada awal kontrak (polis asuransi ditandatangani), perusahaan
asuransi akan mengalami resiko klaim lebih kecil dari premi yang dibayarkan oleh
nasabah. Dengan kata lain premi tetap tahunan yang diperoleh oleh perusahaan
asuransi akan melampaui biaya asuransi tahunannya, sedangkan di akhir kontrak,
klaim semakin besar dari premi yang diterima oleh perusahaan asuransi. Hal
tersebut dikarenakan laju mortalita yang semakin meningkat (semakin bertambah
usia seseorang, maka peluang meninggalnya semakin besar). Sehingga kelebihan
tersebut dapat disimpan untuk membayar santunan bagi pemegang polis sampai
dibutuhkan kelak.
Oleh karena itu, penting bagi perusahaan asuransi untuk mendapatkan sebuah
perkiraan laju mortalita nasabah serta jumlah premi yang akan diterima pada
waktu tertentu guna menjamin pembayaran santunan apabila terjadi klaim dalam
selang waktu yang telah ditentukan.
Distribusi Gompertz merupakan bentuk distribusi yang dapat digunakan untuk
memperkirakan serta menghitung besarnya laju mortalita nasabah beserta fungsi
survival-nya, dan untuk mengukur kewajiban perusahaan asuransi (membayarkan
santunan kepada ahli waris nasabah) atas polis yang dikelolanya, maka
perusahaan asuransi jiwa dapat menggunakan konsep cadangan asuransi jiwa.
Cadangan asuransi pada perusahaan asuransi jiwa merupakan ukuran nilai
kewajiban perusahaan kepada pemegang polis. Jadi, cadangan premi merupakan
milik pemegang polis selama belum jatuh tempo (klaim) dan kewajiban terpenting
bagi perusahaan asuransi jiwa.
Premi yang disajikan oleh perusahaan asuransi jiwa kepada masyarakat adalah
gross premium (premi kotor) yang terdiri dari premi netto (premi bersih) dan
biaya. Biaya yang dibayarkan melalui premi tidak akan cukup untuk membiayai
pengeluaran perusahaan asuransi pada tahun-tahun permulaan polis. Akan tetapi,
kekurangan tersebut akan tertutupi oleh premi pada tahun-tahun terakhir polis,
karena biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan asuransi pada tahun-tahun terakhir
ini memaksa perusahaan asuransi mencari sumber dana tambahan untuk menutupi
biaya tahun-tahun permulaan yang kemudian akan dibayar kembali dari premi
tahun-tahun berikutnya.
Untuk mengatasi masalah tersebut, maka cadangan asuransi perlu disesuaikan dan
penyesuaian ini akan memungkinkan perusahaan mendapatkan sumber dana baru
unuk menutupi biaya di tahun-tahun permulaan polis. Dana tersebut dapat
dianggap sebagai pinjaman yang akan dibayar kemudian dari pembayaran premi
di tahun-tahun mendatang. Diantara metode yang dapat digunakan untuk
memodifikasi besarnya cadangan asuransi adalah metode Zillmer dan Illinois.
Berdasarkan uraian tersebut, dalam penelitian ini penulis akan mengkaji tentang “Pendekatan Distribusi Gompertz Pada Cadangan Asuransi Jiwa untuk Metode Zillmer dan Illinois” dengan pembayaran premi dilakukan satu kali dalam satu tahun dan produk asuransi yang digunakan adalah asuransi jiwa
seumur hidup, asuransi jiwa berjangka, asuransi jiwa endowment murni, dan asuransi jiwa dwiguna.
1.2 Perumusan Masalah
Rumusan permasalahan dalam skripsi ini adalah bagaimana cara menentukan nilai
cadangan asuransi yang dimodifikasi (disesuaikan) dengan menggunakan metode
1.3 Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah tersebut, tujuan penulisan skripsi ini adalah : 1. Menentukan nilai cadangan asuransi jiwa dengan metode Zillmer dan Illinois
2. Mengkaji nilai cadangan dari kedua metode tersebut melalui studi kasus
BAB II
LANDASAN TEORI
Untuk menghitung nilai cadangan asuransi secara umum, maka dibutuhkan
beberapa teori dasar yang dapat menyederhanakan permasalahan dan
mempermudah proses perhitungan dan analisis pada kajian cadangan asuransi
tersebut.
2.1Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function)
Misalkan (x) adalah seseorang yang berusia x tahun pada saat polis asuransi
ditanda tangani dan sedangkan jarak waktu antara (x) sampai meninggal dunia (X)
akan disebut sisa umur bagi (x), sehingga terdapat peubah acak T(x), yaitu
T(x) = X-x untuk x ≥ 0. T(x) menyatakan sisa umur bagi (x).
Fungsi distribusi dari T(x) dinyatakan dengan F(t) dan didefinisikan (Bowers,
1997) dengan :
= , (2.1.1)
menyatakan peluang seseorang yang berusia x tahun akan meninggal
sebelum berusia x+t tahun.
Secara umum fungsi kelangsungan hidup dapat dinyatakan dengan : + = 1 - FT(x)(t) = P (T(x) > t) ; t > 0 (2.1.2)
2.2 Peluang Waktu Sisa Hidup
Dalam fungsi kelangsungan hidup untuk kasus kontinu, simbol T(x) menyatakan
sisa umur bagi seseorang berusia x atau T(x) = X - x, dengan fungsi distribusinya
dinyatakan sebagai berikut :
� = | >
= − | >
= + | >
= + −−
=( − + − ( −
= − +
= − +
= − +
= (2.2.1)
Dalam ilmu aktuaria dinyatakan sebagai peluang orang yang berusia x tahun
akan meninggal sebelum usia x+t tahun. Sedangkan fungsi hidupnya, yaitu :
> = −
= −
= − − +
= +
Jadi dapat diartikan bahwa adalah peluang seseorang yang berusia x tahun
akan hidup sampai dengan usia x+t tahun. Jika x = 0 dan t = x, maka
menyatakan peluang bayi yang baru lahir dapat mencapai usia x tahun dan dikenal
dengan sebagai fungsi survival yang dinyatakan :
= (2.2.3)
Di dalam matematika aktuaria diberikan beberapa definisi peluang bersyarat,
antara lain sebuah kondisi yang menyatakan bahwa x akan berlangsung hidup
sampai t tahun dan meninggal dalam u tahun, berarti x akan meninggal antara usia
x+t tahun dan x+t+u tahun. Kondisi ini disebut sebagi peluang meninggal yang
ditangguhkan dan didefinisakan sebagai berikut :
| = < +
= + −
= + −
=( − + + − ( − +
= + − + +
= − +
= [ + . ++ ] − [ ++ . + + ]
= + [ − + ++ ]
= . − +
Jika u = 1, maka peluang meninggal yang ditangguhkan dapat dinyatakan dengan
| , sehingga :
| = . + (2.2.5)
Dalam kasus diskrit, peluang meninggal sering disebut Curtate Future Life Time,
dengan symbol K(x). Secara teori, definisi dari peubah acak K(x) adalah
K(x) = [T(x)], dengan simbol [T(x)] yang menyatakan bilangan bulat terbesar
yang lebih kecil atau sama dengan dari T(x). Adapun secara informal K(x)
meyatakan berapa kali lagi ulang tahun yang dapat dirayakan oleh (x) sebelum ia
meninggal dunia atau peubah acak diskrit yang menyatakan lamanya hidup (x).
adalah variabel acak diskrit dengan fungsi distribusi yang dinyatakan
dengan :
= = =
= [ ] =
= < +
= + −
= + −
= . ( − +
= . +
2.3 Laju Tingkat Kematian (Force of Mortality)
Laju kematian dari seseorang yang baru lahir dan akan meninggal antara usia x dan x + ∆x dengan syarat hidup pada usia x dapat dinyatakan dengan :
’ = = − ’ (2.3.3)
Sehingga diperoleh nilai laju kematian pada usia x adalah :
� = − ′ = − . (
=− ln . (
=− ln
� = − ln
Dengan mengganti x menjadi y, maka diperoleh :
� = − ln
dan dengan menggunakan intergral tertentu pada batas x sampai x+t maka
diperoleh :
∫ � +
= − ∫ ln +
= −ln | +
= −{ln + − ln }
= − ln +
= − ln ( + )
= − ln
Jika nilai laju kematiannya konstan (� = � untuk semua x ≥ 0, artinya besarnya nilai dari force of mortality (laju tingkat kematian) adalah sama untuk semua usia nasabah yang hidup, maka diperoleh :
= = − ∫ �� = −� (2.3.5)
Diketahui sebelumya bahwa adalah fungsi distribusi dari T(x), sehingga
fungsi densitas dari T(x) adalah :
=
= ( −
= ( − + )
= (− + )
= − ′ +
= + . − ′ ++
= . � + (2.3.6)
2.4 Tabel Mortalitas
Pada tabel mortalitas terdapat variable dan dx. menyatakan jumlah orang
yang diharapkan masih hidup sampai usia x tahun dari sekelompok orang yang jumlahnya lo ketika baru lahir. Dalam hal ini, lo yang menyatakan banyaknya bayi
Misalkan = . , lalu diberi indeks j = 1, 2, 3, …, (orang ke-1, ke-2, …, ke- ), dan ℒ menyatakan banyaknya bayi yang hidup sampai dengan usia x,
sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut :
ℒ = ∑ = � (2.4.1)
dimana Ij adalah indikator untuk bayi yang bertahan hidup dari j, dan dapat pula dinyatakan dengan :
� = { ,, ℎ
karena Ij adalah random variable, dan berdasarkan asumsi bahwa mempunyai fungsi survival yang sama dengan s(x), maka akan diperoleh nilai peluangnya sebagai berikut :
(� = = (2.4.2)
(� = = − (2.4.3)
Dari persamaan (2.4.2) dan (2.4.3), diperoleh nilai harapan dari Ij sebagai berikut :
E[Ij] = 1.s(x) + 0.(1 – s(x)) = s(x)
Sehingga nilai ekspekstasi dari ℒ dapat dinyatakan dengan :
[ℒ ] = [∑ �
= ]
= ∑ [� ] =
=⏟ + + ⋯ +
= . (2.4.4)
= . exp(∫ � (2.4.5)
Selanjutnya, variabel dx menyatakan banyaknya orang yang berusia x tahun akan
meninggal sebelum mencapai usia x+1 tahun.
Misalkan, menyatakan banyaknya bayi yang meninggal antara usia x tahun
sampai dengan usia x+n tahun, maka berlaku persamaan berikut :
< < + = − +
Selanjutnya indikator yang berlaku adalah sebagai berikut :
� = { ,, + ℎ
Karena Ij adalah random variable, maka akan diperoleh nilai peluangnya sebagai
berikut :
(� = = − + (2.4.6)
(� = = − { − + } (2.4.7)
Dari persamaan (2.4.6) dan (2.4.7), diperoleh nilai harapan dari Ij sebagai berikut:
E[Ij] = 1. − + + 0.(1 –{ − + } = − +
Sehingga nilai ekspekstasi dari dapat dinyatakan dengan :
[ ] = [∑ �
= ]
= ∑ [� ] =
= . − . +
= − + (2.4.8)
dimana menyatakan banyaknya orang yang berusia x tahun yang meninggal
sebelum mencapai usia x+n tahun.
Berdasarkan persamaan (2.4.4) dan (2.4.8) diperoleh persamaan sebagai berikut:
= . ⟹ =
= � (2.4.9)
dan
= − = − �
=
− �=
� (2.4.10)Sehingga peluang (x) akan meninggal sebelum mencapai usia x+t tahun dapat dinyatakan dengan :
= −
= − +
= − +
= � �
� (2.4.11)
dan sebuah peluang meninggal yang ditangguhkan atau kondisi yang menyatakan
bahwa x akan berlangsung hidup sampai t tahun dan meninggal dalam u tahun,
didefinisakan sebagai berikut :
| = − |
| = . +
= + . + +
= + . .
2.5Distribusi Gompertz
Terdapat beberapa bentuk distribusi yang dapat digunakan untuk menghitung
mortalita dan fungsi survival, yaitu distribusi De Moivre (1729), Gompertz
(1825), Makeham (1860) dan Weibull (1939). Dalam tulisan ini hanya digunakan
distribusi Gompertz sebagai perhitungan untuk simulasi data. Survival Distribution Function (SDF) untuk distribusi Gompertz didefinisikan sebagai
berikut (London, 1997) :
= exp [− ∫ � ]
= exp [− ln − ]
= exp [− − ] (2.5.1)
dengan B > 0, c > 1, x ≥ 0, dan = −
n . Dari SDF tersebut didapatkan Cumulative Distribution Function (CDF) sebagai berikut :
= − = − exp [− ln − ]
dan dari CDF tersebut diperoleh probability distribution function (pdf) sebagai berikut :
= ′ =
( − exp [− ln − ])
= {− exp [− ln − ]} −
= exp [− ln − ]
= exp [ − ] (2.5.2)
Sehingga diperoleh Force of Mortality-nya sebagai berikut :
� = = exp [− ln − ]
exp [− ln − ]
= , B > 0, c > 1, dan x ≥ 0
2.6Bunga (Interest)
Bunga merupakan pembayaran yang dilakukan oleh peminjam sebagai balas jasa
atas pemakaian uang yang dipinjam. Secara umum perhitungan bunga dibagi
menjadi dua, yaitu :
2.6.1 Bunga Sederhana (Simple Interest)
Bunga tunggal atau bunga sederhana adalah besarnya bunga dihitung dari nilai
pokok awal dikalikan dengan tingkat bunga dan waktu (Frensidy, 2010). Besarnya
bunga sederhana dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
� = . . (2.6.1)
dengan :
I : Interest value (nilai bunga)
P0 : Pokok investasi
i : rate of interest annually, tingkat suku bunga
Sehingga setelah n tahun nilai total investasi menjadi :
= + � = + . . = + . (2.6.2)
2.6.2 Bunga Majemuk (Compound Interest)
Bunga majemuk adalah pehitungan bunga dimana besar pokok jangka investasi
selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya di tambah dengan besar bunga yang
diperoleh (Futami, 1993). Besar bunga majemuk dapat dihitung dengan
menggunakan rumus :
� = . (2.6.3)
dengan :
I : Interest value (nilai bunga)
P0 : Pokok investasi
i : rate of interest annually, tingkat suku bunga
n : time, jangka waktu (lama) investasi (tahun)
Setelah n tahun nilai total investasinya menjadi :
= + (2.6.4)
Dalam bunga majemuk didefinisikan suatu fungsi v sebagai berikut :
= + (2.6.5)
Persamaan (2.6.4) dapat juga dituliskan sebagai berikut :
= + = . . .
Jika n = 1 dan = 1, maka = , v adalah nilai sekarang (present value) dari
Didefinisikan fungsi tingkat diskon d sebagai berikut :
= + = . = − (2.6.7)
Karena v adalah nilai sekarang (present value) untuk pembayaran sebesar 1 satuan
yang akan dibayarkan 1 tahun kemudian, apabila pembayarannya dilakukan 1
tahun lebih cepat, maka besarnya bunga yang hilang adalah d = 1 – v (Futami, 1993).
Tingkat suku bunga selalu dinyatakan pertahun atau per annum (p.a). tingkat bunga tahunan yang dinyatakan itu apakah diakhiri dengan p.a atau tidak, disebut
tingkat bunga nominal (Frensidy, 2010). Simbol untuk tingkat bunga nominal
adalah i(k). Untuk suku bunga nominal dan suku bunga diskonto nominal dengan k
kali pembayaran dalam satu tahun dapat didefinisikan sebagai berikut :
+ = + � (2.6.8)
= [ + �− ] (2.6.9)
− = + � (2.6.10)
= [ − − �] = [ − �] (2.6.11)
dengan k adalah banyaknya pembayaran yang dilakukan dalam 1 tahun.
2.6.3 Laju Tingkat Suku Bunga (Force of Interest)
Dengan menggunakan persamaan (2.6.8) dan menambahkan fungsi ln dikedua ruas dari persamaan tersebut diperoleh :
Untuk k → ∞, dengan kata lain pembungaannya dapat dilakukan setiap saat,
diperoleh nilai � dan dinyatakan sebagai berikut :
lim → ∞ = ln + = �
� = ln +
−� = + − =
dan � disebut dengan laju tingkat suku bunga (force of Interest).
2.7Asuransi Jiwa
Asuransi jiwa adalah usaha kerjasama atau koperasi dari sejumlah orang yang
sepakat memikul kesulitan keuangan bila terjadi musibah terhadap salah seorang
anggotanya (R.K Sembiring, 1986).
2.7.1 Jenis-jenis Asuransi Jiwa
Pada Asuransi dengan perhitungan kontinu, pembayaran benefit kepada ahli
waris nasabah dilakukan sesaat setelah nasabah meninggal dunia. Jumlah dan
waktu pembayaran benefit pada asuransi jiwa tergantung pada panjang interval
dari dikeluarkannya polis sampai tertanggung meninggal dunia. Berdasarkan
uraian tersebut, asuransi jiwa terdiri dari fungsi benefit atau santunan (bt) dan vt.
Fungsi vt adalah nilai sekarang dari pembayaran bt dan t adalah panjang interval
pada saat polis dikeluarkan sampai dengan (x) meninggal dunia. Keduanya
membentuk suatu peubah acak yang dilambangkan dengan Zt yang didefinisikan
sebagai berikut :
Zt = bt . vt
Karena T(x) adalah peubah acak dari sisa waktu hidup nasabah atau waktu dari
peubah acak (Actuarial Present Value) pembayaran benefit pada saat polis
asuransi dikeluarkan.
Adapun jenis-jenis jiwa asuransi yang umum digunakan adalah sebagai berikut :
2.7.1.1Asuransi Jiwa Berjangka (Term Life Insurance)
Asuransi jiwa berjangka adalah suatu asuransi yang membayarkan benefit atau
santunan kepada ahli waris nasabah apabila si nasabah meninggal dunia selama
dalam jangka waktu polis asuransi yang telah ditentukan.
Gambar 1. Sistem pembayaran benefit pada asuransi jiwa berjangka
Besarnya manfaat (bt) sebesar satu satuan diberikan sesaat setelah meninggal,
maka :
bt = 1 ; t ≤ n
bt = 0 ; t > n
dengan
Zt= {
−� = ,
, >
Sehingga nilai APV dari asuransi berjangka adalah :
E[Zt] = E[ ] = A̅′x:n|̅ = ∫ .
E[Zt] = E[ ] = A̅′x:n|̅ = ∫ . . � + . .
Berdasarkan (2.5.2), persamaan (2.7.1) menjadi seperti berikut : t
A̅′x:n|̅ = ∫ −� . − �+�− � . . + . .
Persamaan (2.7.2) adalah nilai APV dari asuransi jiwa berjangka n tahun dengan
benefit sebesar 1 satuan.
2.7.1.2Asuransi Jiwa Endowment Murni (Pure Life Endowent Insurance)
Asuransi jiwa endowment murni yaitu suatu asuransi yang apabila tertanggung
(nasabah) masih hidup sampai masa polis asuransinya berakhir maka tertanggung
(nasabah) akan mendapatkan sejumlah uang santunan. Tetapi, jika nasabah
meninggal dunia dalam jangka waktu tertentu (dalam periode polis asuransi),
maka ahli waris nasabah tidak adakan mendapatkan benefit/santunan.
Gambar 2. Sistem pembayaran benefit pada asuransi jiwa endowment murni
Besarnya manfaat (bt) sebesar satu satuan diberikan sesaat setelah masa kontrak
habis dan tertanggung masih hidup, maka :
bt = { ,, >
vt = { ,, >
dengan
Zt= { ,, >
Sehingga nilai APV dari asuransi endowment murni ini adalah :
E[Zt] = E[ ] = A̅ ′x:n|̅ = ∫
∞ .
t
A̅x:n| ′̅ = ∫ ∞
Catatan :
= > = ∫∞
= = ∫
Dari keterangan tersebut nilai APV dari asuransi endowment murni menjadi :
A̅ ′x:n|̅ = . (2.7.3)
Berdasarkan (2.5.2), dari persamaan (2.7.3) diperoleh persamaan baru seperti
berikut :
A̅ ′x:n|̅ = − . ∫ − +− . . + ∞
. .
Persamaan (2.7.4) adalah nilai APV untuk asuransi endowment murni n tahun dengan benefit sebesar 1 satuan.
2.7.1.3Asuransi Jiwa Dwiguna
Asuransi jiwa dwiguna adalah suatu asuransi yang apabila tertanggung meninggal
dunia dalam jangka waktu polis asuransi yang telah ditanda tangani atau masih
tetap hidup sampai masa polis asuransinya berakhir, maka ahli waris nasabah akan
tetap mendapatkan uang santunan.
Gambar 3. Sistem pembayaran benefit pada asuransi jiwa dwiguna t
Besarnya manfaat/benefit sebesar satu satuan diberikan sesaat setelah meninggal
atau diberikan sesaat setelah masa kontrak habis dan tertanggung masih hidup,
maka :
bt = { ,, ><
vt = { ,, ><
dengan
Zt= { ,, ><
Maka besarnya APV untuk asuransi ini adalah :
E[Zt] = A̅x:n|̅ =∫ . +∫ .
∞
. .
Berdasarkan (2.5.2), persamaan (2.7.5) dapat diubah menjadi seperti berikut :
A̅x:n|̅ =∫ −� . − +− . . + + − . ∫ − +− . . +
∞
A̅x:n|̅ = A̅′x:n|̅ + A̅ ′x:n|̅ (2.7.6)
Persamaan (2.7.6) adalah nilai APV dari asuransi jiwa dwiguna n tahun dengan
benefit atau santunan sebesar 1 satuan
2.7.1.4Asuransi Jiwa Seumur Hidup (Whole Life Insurance)
Asuransi jiwa seumur hidup adalah asuransi yang menjamin seumur hidup
tertanggung dan akan mendapatkan uang pertanggungan apabila tertanggung
tersebut meninggal dunia.
Gambar 4. Sistem pembayaran benefit pada asuransi jiwa seumur hidup t
Diilustrasikan bahwa besarnya benefit (bt) sebesar satu satuan dibayarkan sesaat
setelah nasabah meninggal dunia, maka : bt = , t
dan
vt = , t
sehingga diperoleh : Zt= , t
Dan untuk nilai dari APV dari asuransi sumur hidup ini adalah :
E[Zt] = E[ ] = A̅x=∫ .
∞
=∫ . ∞
. .
Berdasarkan (2.5.2), persamaan (2.7.7) dapat diubah menjadi seperti berikut :
A
̅x = ∫ −�
∞
. − �+�− � . . + . .
Persamaan (2.7.8) adalah nilai APV dari asuransi jiwa seumur hidup dengan
santunan atau benefit sebesar 1 satuan.
2.8Anuitas (Annuity)
Anuitas didefinisikan sebagai suatu rangkaian pembayaran dengan jumlah tertentu
dalam selang dan periode waktu tertentu (R.K. Sembiring, 1997)
2.8.1 Anuitas Tentu (Pembayaran Tahunan)
Anuitas tentu adalah serangkaian pembayaran berkala yang dilakukan selama
jangka waktu tertentu dengan syarat dan besarnya pembayaran berkala tidak perlu
awal waktu pembayaran disebut anuitas awal (due annuity) dan anuitas yang
dibayarkan di akhir waktu pembayaran disebut anuitas akhir (immediate annuity).
Total nilai sekarang dari anuitas akhir diberi notasi ̅̅̅| (immediate annuity)
adalah :
� = ̅̅̅| = + + + ⋯ + (2.8.1)
Dengan menggunakan rumus geometri, maka diperoleh :
|
̅̅̅= . ( −
− )
= . ( −. ) , dengan = + = . = −
= − . .
Sedangkan total nilai sekarang dari anuitas awal (due annuity) yang diberi notasi ̈̅̅̅|adalah :
� = ̈̅̅̅| = + + + + ⋯ + − (2.8.3)
Dengan cara yang sama, maka diperoleh :
|
̅̅̅= . ( −
− )
= −
2.8.2 Anuitas Tentu (Pembayaran Kontinu)
2.8.3 Anuitas Hidup Kontinu (Continous Life Annuity)
Anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran yang sifatnya periodik dan
pembayarannya hanya akan dilakukan apabila orang yang ditunjuk masih hidup
pada saat pembayaran jatuh tempo.
Anuitas hidup sebesar satu satuan per akhir tahun yang pembayarannya dilakukan
secara kontinu atau setiap saat disebut anuitas hidup kontinu. Dengan nilai
sekarang (Present Value) dari pembayaran anuitas tersebut dinotasikan dengan
peubah acak Y, yaitu : = ̅� dengan T ≥ 0. Dari persamaan (2.8.5) diperoleh :
̅� = −
�
� . .
Actuarial Present Value (APV) dari anuitas tersebut adalah :
̅ = E[Y] = E[̅�]= ∫ ̅� . ∞
= ∫ −� .� ∞
Dengan menggunakan pengintegralan parsial tentu :
∫ = [ ] − ∫
Misalkan :
⊙ = ̅�
= −�
= −�
= − �
= − � . .ln = � . .ln + −
= � . .� =
=
⊙ =
= � +
= −
Sehingga :
̅ =∫ ̅� . ∞
̅ = ̅�. − ]∞− ∫ − .
maka :
̅ = E[̅�]=∫ . ∞
. .
Berdasarkan (2.5.1), persamaan (2.8.8) menjadi seperti berikut :
̅ =∫ −�
∞
. − �+�− �
. .
Persamaan (2.8.9) adalah nilai APV dari anuitas seumur hidup. Dengan cara yang
sama, akan diperoleh nilai anuitas berjangka n-tahun sebagai berikut :
̅ x:n|̅ = E[̅ ] = ∫ . . .
atau
̅ x:n|̅ = E [ −� ]=∫ −�
= � − � ∫
= � − � ̅ ′: |̅̅̅
̅ x:n|̅ = − ̅ : |̅̅̅ ′
�
Berdasarkan (2.5.1), persamaan (2.8.10) menjadi seperti berikut :
̅ x:n|̅ = ∫ −� . − �+�− � . .
2.8.4 Anuitas Hidup Diskrit (Discrete Life Annuity)
Anuitas hidup diskrit menggunakan anuitas awal (due annuity) yang pembayarannya dilakukan setiap awal tahun. Nilai sekarang dari pembayaran
anuitas tersebut yang merupakan peubah acak dari Y adalah : = ̈�+̅̅̅̅̅̅| , K ≥ 0
dari persamaan (2.8.4) akan diperoleh :
̈�+̅̅̅̅̅̅| = −
dengan cara yang sama, akan didapat nilai Actuarial Present Value (APV) untuk
2.9Premi Asuransi Jiwa
Premi adalah uang yang harus dibayarkan oleh pemegang polis kepada
perusahaan asuransi sebagai imbalan persetujuan penanggung untuk membayar
benefit atau santunan yang telah disepakati dalam polis asuransi jika orang yang
ditanggung meninggal dunia. Ada tiga unsur utama yang menentukan perhitungan
premi asuransi jiwa, yaitu :
a. Mortalitas (Harapan Hidup)
b. Suku Bunga
c. Loading, yaitu biaya yang dikeluarkan untuk operasional perusahaan asuransi (R.K Sembiring, 1986)
Premi asuransi dapat dibayarkan sekaligus atau secara tetap berkala. Premi yang
dibayarkan sekaligus disebut premi tunggal (Net Single Premium), sedangkan premi tetap berkala dapat dibayarkan per tahun, per tri wulan dan per bulan serta
dilakukan pada permulaan tiap selang waktu.
Premi asuransi terbagi menjadi dua macam, yaitu premi netto dan premi bruto. Premi netto adalah premi yang dibayarkan pemegang polis atau konsumen
berdasarkan perkiraan tingkat mortalita dan perkiraan tingkat suku bunga,
sedangkan tingkat biaya tidak dipergunakan. Premi netto dihitung atas dasar
prinsip keseimbangan antara pemasukan dan pengeluaran, yaitu nilai tunai dari
premi netto yang akan diterima oleh perusahaan asuransi di waktu yang akan datang harus sama dengan nilai tunai dari benefit atau santunan yang akan
dibayarkan oleh perusahaan asuransi. Premi netto tidak mencakup nilai biaya yang
dikeluarkan oleh perusahaan asuransi, adapun biaya tersebut seperti : biaya
Akan tetapi, pada umumnya biaya-biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan
asuransi dibebankan kepada pemegang polis (nasabah). Biaya-biaya tersebut
sudah dimasukkan kedalam premi yang dibayarkan oleh pemegang polis. Premi
yang mengandung nilai biaya tersebut disebut sebagai premi brutto atau gross premium. Premi brutto diperoleh dari nilai premi netto ditambah biaya atau dapat ditulis sebagai berikut :
Premi Brutto (Gross Premium) = Premi Netto + Biaya
2.9.1 Fungsi Kerugian
Pada saat polis asuransi ditandatangani terdapat dua jenis kewajiban di dalamnya,
yaitu :
1. Kewajiban pihak perusahaan asuransi adalah membayar santunan yang
besarnya sesuai perjanjian yang telah ditetapkan diawal kontrak manakala
sewaktu-waktu terjadi klaim.
2. Kewajiban pihak nasabah adalah membayar premi langsung sekaligus diawal
kontrak atau secara berkala pada setiap periode yang telah ditentukan.
Kedua jenis kewajiban tersebut membentuk suatu fungsi total kerugian polis
asuransi yang disimbolkan dengan L. Untuk penanggung, L adalah perbedaan
antara nilai sekarang dari santunan dan nilai sekarang dari pembayaran premi
(Bowers, 1997). Nilai kerugian (L) ini merupakan peubah acak dari nilai sekarang
dari santunan yang dibayarkan oleh penanggung tak sebanyak premi anuitas yang
dibayarkan oleh tertanggung. Besarnya kerugian yang akan ditanggung oleh pihak
perusahaan asuransi dihitung dengan :
= = �− ̅ ̅
atau
L = M – P.Q
dengan L = nilai dari fungsi kerugian, M = premi tungal asuransi jiwa, P = premi
datar asuransi jiwa, dan Q = nilai APV dari anuitas hidup.
Resiko kerugian perusahaan terjadi ketika nilai kerugiannya memberikan nilai
positif, dimana nilai santunan yang dibayarkan kepada pihak nasabah lebih besar
dari premi yang diterima oleh pihak perusahaan asuransi. Secara teoritis nilai
kerugian yang positif terjadi ketika pihak nasabah meninggal dunia pada awal
kontrak asuransi.
2.9.2 Prinsip Ekuivalen (Equivalence Principle)
Prinsip ekuivalen menyatakan bahwa ekspektasi dari fungsi kerugian adalah sama
dengan nol. Prinsip ekuivalen ini digunakan untuk mengantisipasi kerugian yang
akan diterima oleh perusahaan asuransi pada periode tertentu, sehingga jumlah
benefit/santunan yang akan dikeluarkan oleh perusahaan asuransi akan sebanding
dengan besarnya nilai premi yang harus dibayarkan oleh nasabah kepada
perusahaan asuransi.
Prinsip ekuivalen mempunya syarat bahwa :
E[L] = 0
maka :
Berdasarkan fungsi kerugian dan prinsip ekuivalen, maka untuk Premi yang
dibayarkan kontinu ̅ , nilai sekarang dari kerugian untuk penanggung jika
meninggal terjadi pada saat t dan jumlah santunan yang harus diberikan kepada
nasabah sebesar B satuan adalah :
= . �− ̅ ̅
� (2.9.1)
Karena T(x) merupakan peubah acak, maka dengan prinsip ekuivalen diperoleh :
[ ] = [ . �− ̅ ̅
�] =
. [ �] − .̅ [̅�] =
̅ = . [[̅ �]
�] . .
Berdasarkan (2.9.2), maka akan diperoleh nilai premi bersih (net single premium)
dari produk atau jenis asuransi jiwa sebagaimana berikut :
a. Premi Bersih (net single premium) Asuransi Jiwa Berjangka n tahun :
̅ ̅ ′: |̅̅̅ = . ̅�:�|̅̅̅ ′
̅�:�|̅̅̅ (2.9.3)
Persamaan (2.9.3) adalah nilai premi bersih dari asuransi jiwa berjangka n
tahun yang dibayarkan satu kali per tahunnya.
b. Premi Bersih (net single premium) Asuransi Jiwa Endowment Murni n tahun :
̅ ̅ ′: |̅̅̅ =
.
̅ ′: |̅̅̅̅ : |̅̅̅ . .
c. Premi Bersih (net single premium) Asuransi Jiwa Dwiguna n tahun :
̅ ̅ : |̅̅̅ = . ̅ : |̅̅̅
̅ : |̅̅̅ . .
Persamaan (2.9.5) adalah nilai premi bersih dari asuransi jiwa Dwiguna n
tahun yang dibayarkan satu kali per tahunnya.
d. Premi Bersih (net single premium) Asuransi Jiwa Seumur Hidup :
̅ ̅ = . ̅
̅ . .
Persamaan (2.9.6) adalah nilai premi bersih dari asuransi jiwa seumur hidup
yang dibayarkan satu kali per tahunnya.
2.10 Cadangan Asuransi Jiwa
Cadangan dalam asuransi jiwa merupakan liabilitas (kewajiban) perusahaan
asuransi terhadap pemegang polis yang berupa sejumlah dana yang harus
disiapkan oleh perusahaan asuransi untuk membayar klaim yang akan terjadi di
kemudian hari atas polis-polis yang diterbitkan perusahaan asuransi (R.K
Sembiring, 1986). Jadi, cadangan bukanlah milik perusahaan tapi milik pemegang
polis. Cadangan diperlukan semata-mata agar perusahaan asuransi dapat berjalan
sesuai dengan dasar-dasar yang sudah ditemukan. Besarnya cadangan tergantung
kepada perkembangan premi, artinya semakin banyak jumlah pemegang polis,
semakin besar jumlah cadangan yang dibutuhkan.
Pada awal kontrak (polis asuransi ditandatangani), perusahaan asuransi akan
mengalami resiko klaim lebih kecil dari premi tetap tahunan yang dibayarkan oleh
asuransi akan melampaui biaya asuransi tahunannya, sedangkan di akhir kontrak,
klaim semakin besar dari premi yang diterima oleh perusahaan asuransi. Hal
tersebut dikarenakan laju mortalita yang semakin meningkat (semakin bertambah
usia seseorang, maka peluang meninggalnya semakin besar). Sehingga kelebihan
dana premi yang diterima oleh perusahaan asuransi pada awal penanggungan
tersebut dapat disimpan untuk membayar santunan bagi pemegang polis sampai
dibutuhkan kelak.
Oleh karena itu, penting bagi perusahaan asuransi untuk mendapatkan sebuah
perkiraan jumlah premi yang akan diterima pada waktu tertentu guna menjamin
pembayaran santunan apabila terjadi klaim dalam selang waktu yang telah
ditentukan, dan konsep cadangan asuransi-pun muncul untuk mengukur kewajiban
perusahaan asuransi atas polis yang dikelolanya.
Misalkan seorang yang berusia x menandatangani polis asuransi jiwa seumur hidup dengan P adalah premi tahunan dengan santunan/benefit sebesar 1 satuan.
Maka perusahaan asuransi sebagai pihak penanggung harus menyiapkan dana
sebesar 1 satuan di akhir tahun agar sewaktu-waktu terjadi klaim, benefit atau
santunan dapat langsung diberikan kepada ahli waris nasabah. Sedangkan nasabah
harus melakukan pembayaran premi setiap tahunnya sebesar P yang dilakukan setiap awal tahun. Perhatikan ilustrasi di bawah ini :
Gambar 5. Ilustrasi dana yang akan diperoleh dan dikeluarkan oleh perusahaan asuransi
Berdasarkan ilustrasi pada gambar (5), keseimbangan antara dana yang
dikeluarkan dan yang diterima oleh perusahaan asuransi akan terjadi apabila
jumlah dana yang akan dikeluarkan (benefit/santunan) oleh perusahaan asuransi
sama dengan jumlah premi yang dibayarkan nasabah kepada perusahaan asuransi.
Sehingga dari gambar (5) diperoleh persamaan sebagai berikut :
. + + . . + ⋯ + �− . . �− − = . . +
Cadangan retrospektif adalah perhitungan cadangan dengan berdasarkan jumlah
total pendapatan di waktu yang lalu sampai saat dilakukan perhitungan cadangan
dikurangi dengan jumlah pengeluaran di waktu lampau, untuk tiap pemegang
polis (Futami, 1993).
Perhitungan cadangan retrospektif ini dimulai dengan mengambil titik tumpu
perhitungan dananya dari usia x+t tahun ke x tahun. Sehingga dana yang terkumpul pada usia x+t tahun akan menjadi akumulasi. Perhatikan gambar berikut ini :
Gambar 6. Ilustrasi dari dana yang terkumpul dengan menggunakan metode retrospektif
Berdasarkan gambar (6), akan didapat persamaan sebagai berikut :
Nilai akumulasi dari dana yang terkumpul tersebut merupakan liabilitas (cadangan
asuransi) pada saat nasabah berusia x+t tahun. Berdasarkan (2.4.12) dan (2.4.9),
Selanjutnya jumlah seluruh dana liabilitas pada akhir tahun dibagi sama rata oleh
tertanggung yang masih hidup pada saat x+t. Bagian untuk setiap nasabah ini
� = . ̈ : |̅
. −
. ′∶ |̅
. . .
Jika benefit yang dikeluarkan oleh perusahaan asuransi adalah sebesar N satuan,
maka dari (2.10.3) diperoleh persamaan sebagai berikut :
� = . ̈ : |̅
. −
. ′∶ |̅
. . .
Persamaan (2.10.4) merupakan cadangan asuransi jiwa berjangka t tahun yang dihitung secara retrospektif. Selanjutnya, perhitungan cadangan asuransi jiwa
lainnya dengan menggunakan metode retrospektif dapat menyesuaikan.
2.10.2 Prospektif
Perhitungan cadangan prospektif yang didefinisikan sebagai selisih antara nilai
sekarang (present value) dari benefit atau manfaat yang akan diterima dengan
nilai sekarang dari premi bersih yang akan datang sesuai dengan anuitas yang
telah ditentukan (Futami, 1993).
Berdasarkan gambar (5), untuk mengetahui dana cadangan yang terkumpul pada
saat usia nasabah mencapai x+t tahun dengan santunan sebesar 1 satuan dengan
metode prospektif, perhitungan dananya dimulai dengan mengambil titik tumpu
dari usia x+t tahun sampai � − + tahun. Sehingga dana yang terkumpul
pada usia x+t tahun dapat dihitung dengan cara present value, yaitu total nilai sekarang dari dana yang akan dikeluarkan perusahaan asuransi (benefit) dikurangi
dengan total nilai dana yang akan diterima oleh perusahaan asuransi (premi).
Gambar 7. Ilustrasi dari dana yang terkumpul dengan menggunakan metode prospektif
Berdasarkan gambar (7), akan didapat persamaan sebagai berikut :
+ ℎ
) = ( ) − ( � ) (2.10.5)
= ( + . . + + + . . + ⋯ + �− . . �− +
− ( + . + + + . . + ⋯ + �− . . �− + −
Total nilai sekarang dari dana yang terkumpul tersebut merupakan liabilitas
(cadangan asuransi) pada saat nasabah berusia x+t tahun. Berdasarkan (2.4.12) dan (2.4.9), dari (2.10.5) akan didapat nilai liabilitas (cadangan asuransi) pada saat
x+t sebagai berikut :
+ ℎ
= | + . + | + . + ⋯ +�− + − | + . �− +
− ( + + . + + . + ⋯
Berdasarkan (2.8.13), persamaan liabilitas tersebut menjadi :
+ ℎ
= . + − . ̈ + (2.10.6)
karena jumlah seluruh dana liabilitas tersebut merupakan rata-rata dari dana untuk
akan diberikan oleh perusahaan asuransi adalah sebesar N satuan, maka
persamaan (2.10.6) menjadi seperti berikut ini :
� = . + − . ̈ + (2.10.7)
Persamaan (2.10.7) merupakan persamaan cadangan asuransi jiwa seumur hidup
yang dihitung secara prospektif ketika nasabah berusia x+t tahun. Selanjutnya, perhitungan cadangan asuransi jiwa lainnya dengan menggunakan metode
prospektif dapat menyesuaikan.
Selain itu, perhitungan cadangan asuransi dapat dilakukan dengan berdasarkan
fungsi kerugian serta menggunakan prinsip ekuivalen yang mempunyai syarat :
E[L] = 0
Berdasarkan prinsip ekuivalen, maka diperoleh :
� = [ ] = [ �] − ̅ [̅
�] (2.10.8)
Dari persamaan (2.10.8) diperoleh beberapa konsep perhitungan Cadangan Netto asuransi sesuai dengan produk atau jenis asuransi jiwa yang digunakan, yaitu :
a. Cadangan Asuransi Jiwa Berjangka n-tahun
�̅ ̅ ′: |̅̅̅ = ̅ ′+ : − |̅̅̅̅̅̅̅− ̅ ′: |̅̅̅ . ̅ + : − |̅̅̅̅̅̅̅
b. Cadangan Asuransi Jiwa Endowment Murni n tahun
c. Cadangan Asuransi Jiwa Dwiguna n tahun
�̅ ̅ : |̅̅̅ = ̅ + : − |̅̅̅̅̅̅̅− ̅ : |̅̅̅ . ̅ + : − |̅̅̅̅̅̅̅
d. Cadangan Asuransi Jiwa Seumur Hidup
BAB III
MODIFIKASI CADANGAN ASURANSI JIWA DENGAN METODE ZILLMER DAN ILLINOIS
Perusahaan asuransi memerlukan biaya dalam melaksanakan tugasnya. Oleh
karena itu, premi yang disajikan oleh perusahaan asuransi jiwa kepada masyarakat
adalah premi kotor atau gross premium yang terdiri dari premi netto dan biaya. Beberapa biaya yang terpenting diantaranya adalah biaya pemeriksaaan kesehatan
bagi orang yang diasuransikan, pembayaran komisi agen dan pembuatan polis
asuransi.
Sebagian dari biaya tersebut harus dibayarkan pada tahun pertama, sehingga biaya
pada tahun kedua dan seterusnya jauh lebih kecil dari biaya tahun pertama.
Biaya-biaya tersebut tentunya menjadi tanggungan pemegang polis yang dibayarkan
melalui premi kepada perusahaan asuransi. Biaya yang dibayarkan melalui premi
tidak akan cukup untuk membiayai pengeluaran perusahaan asuransi pada
tahun-tahun permulaan polis. Akan tetapi, kekurangan tersebut akan tertutupi oleh premi
pada tahun-tahun terakhir polis, karena biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan
asuransi pada tahun-tahun terakhir polis lebih kecil dari biaya yang dibayarkan
lewat premi. Keadaan ini memaksa perusahaan asuransi mencari sumber dana
tambahan untuk menutupi biaya tahun-tahun permulaan yang kemudian akan
Untuk mengatasi masalah tersebut, maka cadangan asuransi perlu disesuaikan dan
penyesuaian ini akan memungkinkan perusahaan mendapatkan sumber dana baru
unuk menutupi biaya di tahun-tahun permulaan polis. Dana tersebut dapat
dianggap sebagai pinjaman yang akan dibayar kemudian dari pembayaran premi
di tahun-tahun mendatang.
Jadi, suatu cara penilaian cadangan dapat dibuat dengan memandang biaya yang
semakin kecil sehingga tersedia biaya yang lebih besar pada polis tahun pertama,
dan biaya tersebut akan diambil dari premi tahun pertama.
Misalkan P menyatakan premi bersih datar untuk suatu jenis asuransi. Premi
tersebut akan diganti dengan α pada tahun pertama dan β pada tahun-tahun
berikutnya. α dan β adalah premi yang disesuaikan. Sebenarnya pemegang polis
hanya membayar premi kotor yang sama besarnya tiap tahun, yaitu P + biaya.
Nilai α dan β hanya ada dalam perhitungan para aktuaris dan tidak ada sangkut
pautnya dengan pemegang polis. P di satu pihak dan α dan β di pihak lain dihubungkan oleh :
Nilai tunai seluruh P = Nilai tunai α + Nilai tunai seluruh β
Persamaan ini berlaku pada waktu polis dikeluarkan. Apabila n menyatakan jangka waktu penyesuaian cadangan, maka hubungan di atas dapat dinyatakan
secara matematis sebagai berikut :
α + β . ̅ :�+1|̅̅̅̅̅̅̅ = �. ̅ :�|̅̅̅
α < P, karena sebagian dari P dipakai untuk biaya tahun pertama yaitu sebesar
untuk membayar santunan di tahun tersebut. Sisanya P – α dipinjam perusahaan
dan pinjaman tersbut akan dibayar kelak dari premi-premi tahun berikutnya.
Karena itu β > P. Jadi, α < P < β.
Berdsarkan uraian tersebut, dalam tulisan ini besarnya cadangan asuransi yang
disesuaikan akan dihitung dengan menggunakan Metode Zillmer dan Illinois.
3.1Cadangan Zillmer
Metode Zillmer merupakan metode perhitungan yang umumnya digunakan di
Eropa dan Indonesia. Metode Zillmer ini ditemukan oleh Dr. August Zillmer
(1831-1893). Di dalam metode Zillmer, perhitungan nilai cadangan asuransinya
melibatkan premi kotor dan premi bersih. Premi kotor merupakan gabungan
antara premi bersih dan beberapa macam biaya.
Secara umum biaya-biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan asuransi terdiri dari :
1. Biaya permulaan (tahun pertama), yaitu biaya yang harus dikeluarkan waktu
polis dikeluarkan (komisi, pemeriksaan kesehatan, alat-alat tulis dan
sebagainya).
2. Biaya lanjutan, yaitu biaya tahun-tahun selanjutnya (komisi lanjutan, biaya
mengadministrasikan polis, biaya penyelesaian tagihan dan sebagainya).
Selain itu, biaya dapat diklasifikasikan menjadi :
1. Biaya yang sebanding dengan premi, misalnya komisi untuk agen atau tenaga
lapangan, terutama sekali pada tahun kedua dan seterusnya.
2. Biaya yang sebanding dengan besar santunan, misalnya komisi pertama untuk
3. Biaya yang tidak tergantung pada premi maupun santunan, misalnya biaya
pemeriksaaan kesehatan, alat tulis dan sebagainya.
Misalkan premi bersih datar asuransi jiwa seumur hidup dinyatakan dengan �̅,
premi kotor dinyatakan dengan �̅′′ dan besarnya biaya yang dikeluarkan oleh
perusahaan asuransi dinyatakan dengan . Ketiganya membentuk persamaan
sebagai berikut :
Misalkan biaya dari santunan adalah b %, maka persamaan (3.1.2) menjadi:
�̅′′
= − � �̅ +
Misalkan f menyatakan selisih antara biaya permulaan (biaya yang harus dikeluarkan pada saat polis asuransi ditandatangani) dengan biaya lanjutan (biaya
tahun-tahun selanjutnya) per 1 rupiah santunan atau sering pula disebut sebagai
biaya permulaan yang dinyatakan dalam persentase dari santunan, dan disebut
dengan kuota Zillmer (Zillmer’s - quota). Sehingga premi yang dibayarkan secara
tahunan menjadi :
�̅′′. ̅ = �̅ + ̅
− � +
�̅′′ = �̅ +
Telah diketahui sebelumnya bahwa cadangan prospektif dengan santunan sebesar
1 satuan didefinisikan sebagai berikut :
�̅
� = �̅ +�− �̅. ̅ +�
Sehingga berdasarkan (3.1.3), diperoleh persamaan cadangan asuransi jiwa yang
disesuaikan dengan metode Zillmer sebagai berikut :
�̅
�̅ disebut premi Zillmer, maka rumus (3.1.4) menjadi :
�̅
� = �̅ +�− �̅. ̅ +�− �. ̅ +�
= �̅ +�− �̅ + � . ̅ +�
�̅
� = �̅ +�− �̅ . ̅ +� (3.1.5)
Persamaa (3.1.5) merupakan bentuk cadangan Zillmer untuk asuransi jiwa seumur
hidup dalam bentuk prospektif. Untuk jenis asuransi lainnya menyesuaikan
sebagaimana berikut :
Cadangan Zillmer Asuransi Jiwa Berjangka n tahun �̅
� �̅ ′:�|̅̅̅ = �̅ ′+�:�−�|̅̅̅̅̅̅̅− �̅ . ̅ x+t ∶ n−t|̅̅̅̅̅̅ (3.1.6)
Cadangan Zillmer Asuransi Jiwa Endowment Murni n tahun �̅
� �̅ :�|̅̅̅ ′
Cadangan Zillmer Asuransi Jiwa Dwiguna n tahun �̅
� �̅ :�|̅̅̅ = �̅ +�:�−�|̅̅̅̅̅̅̅− �̅ . ̅ x+t ∶ n−t|̅̅̅̅̅̅ (3.1.8)
3.2Cadangan Illinois
Polis asuransi jiwa dikelompokkan menjadi dua kelompok sebagai berikut :
a. Polis asuransi yang mempunyai nilai premi tahunan (premi bersih datar) yang
dibayarkan oleh tertanggung lebih besar dari nilai premi tahunan (premi bersih
datar) asuransi seumur hidup dengan jangka pembayaran premi 20 tahun pada
usia dan santunan yang sama
b. Polis asuransi lainnya yang tidak terdapat pada point (a)
Untuk semua polis dalam kelompok (a) digunakan metode Illinois, sedangkan
untuk kelompok (b) tetap menggunkan metode berjangka permulaan penuh.
Dalam metode Illinois, terdapat beberapa nilai premi bersih yakni � (premi
bersih untuk tahun pertama), � (premi bersih untuk k-1 tahun berikutnya), dan �̅
(premi bersih untuk setelah k tahun). Selanjutnya nilai � dan � untuk cadangan
Illinois dapat dihitung sebagaimana berikut :
�+ �̅ :�−1|̅̅̅̅̅̅̅= � ̅ :�|̅̅̅ (3.2.1)
Berdasarkan persamaan (3.4.8), maka � dan � dapat dinyatakan seperti berikut :
� = �̅ +k−1P̅ A̅x+1 − �̅ ∶ 1̅|
Berdasarkan perumusan premi tersebut, perhitungan cadangan yang disesuaikan
dengan menggunakan metode Illinois didefinisikan sebagai berikut :
�̅�
� (�̅ ) = �̅� �̅ – �− �̅ �̅ ̅ +�:�−�|̅̅̅̅̅̅̅ (3.2.4)
dengan :
k = min (n, 20)
n : Jangka Waktu Asuransi Jiwa
t : Periode pembayaran premi pada tahun ke-n
dengan t = 0, 1, …, n
Persamaan (3.2.4) merupakan rumus perhitungan cadangan asuransi jiwa seumur
hidup yang disesuaikan dengan metode Illinois. Sehingga untuk produk asuransi
lainnya diperoleh perhitungannya sebagai berikut :
Cadangan Illinois Asuransi Jiwa Berjangka n tahun
�̅�
� �̅ ′:�|̅̅̅ = �̅� �̅ ′:�|̅̅̅ – ( �− �̅ �̅ ′:�|̅̅̅ ) ̅ +�:�−�|̅̅̅̅̅̅̅ (3.2.5)
Cadangan Illinois Asuransi Jiwa Endowment Murni n tahun
�̅�
� �̅ ′:�|̅̅̅ = �̅� �̅ ′:�|̅̅̅ – ( �− �̅ �̅ ′:�|̅̅̅ ) ̅ +�:�−�|̅̅̅̅̅̅̅ (3.2.6)
Cadangan Illinois Asuransi Jiwa Dwiguna n tahun
�̅�
� �̅ :�|̅̅̅ = �̅� �̅ :�|̅̅̅ – ( �− �̅ �̅ :�|̅̅̅ ) ̅ +�:�−�|̅̅̅̅̅̅̅ (3.2.7)
Adapun proses yang dilakukan dalam penelitian ini terangkum dalam diagram alir
Gambar 8. Diagram alir penelitian Mulai
[
Menentukan asumsi-asumsi yang digunakan dalam penelitian
Menentukan nilai anuitas dan Premi Tunggal Asuransi Jiwa
Menentukan Premi Bersih Datar Asuransi Jiwa
Menghitung Nilai Cadangan Netto Asuransi Jiwa
Menentukan Premi Cadangan Zillmer dan Illinois
Menghitung Nilai Cadangan Zillmer dan Illinois
BAB V KESIMPULAN
Dari hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan, maka ada beberapa
kesimpulan yang diperoleh, yaitu :
1. Cadangan Zillmer dan Illinois pada asuransi jiwa seumur hidup, endowment murni dan dwiguna akan menghasilkan nilai cadangan yang sama besarnya
apabila persentase biaya yang digunakan pada cadangan Zillmer untuk
masing-masing asuransi jiwa tersebut bernilai 12,557 %, 3,86512 %, dan
3,5885 %. Jika persentase biaya yang digunakan oleh perusahaan asuransi
lebih kecil dari persentase biaya tersebut, maka nilai cadangan Zillmer akan
lebih besar dari nilai cadangan asuransi yang menggunakan metode Illinois.
Begitu pula sebaliknya, yakni jika persentase biaya yang digunakan oleh
perusahaan asuransi lebih besar dari persentase biaya tersebut, maka nilai
cadangan Zillmer akan lebih kecil dari nilai cadangan asuransi yang
menggunakan metode Illinois
2. Perhitungan Cadangan asuransi Jiwa dengan metode Zillmer dapat diterapkan
pada semua jenis asuransi jiwa. Sedangkan metode Illinois hanya dapat
digunakan pada asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran kurang dari
